Formulaire de probabilités

Formulaire de probabilités
Lois de probabilité usuelles
Lois discrètes
Dénomination Loi de probabilité Moyenne Variance
X E(X)V(X)
Loi binomiale B(n, p)P[X=k] = Ck
npk(1 −p)n−knp np(1 −p)
nentier positif; 0< p < 1k= 0,1,2, . . . , n
Loi multinomiale n;p1, . . . , pk,P[X1=n1et X2=n2et Xk=nk]
nentier positif; =n!
n1!n2!···nk!pn1
1·pn2 2···pnk
kE(Xi) = npi
var (Xi) = npi(1 −pi)
cov (Xi, Xj) = −npipj
pour i6=j
p1+p2+···+pk= 1 nientier positif; Pk
i=1 ni=n.
Loi de Poisson de P[X=k] = e−λλk
k!
kentier positif ou nul λ λ
paramètre λ(λ > 0)
Loi binomiale négative de
paramètres net p
nentier positif - 0< p < 1
(n= 1 −→ loi géométrique)
P[X=k] = Cn−1
n+k−1pn(1 −p)k
kentier positif ou nul
n(1 −p)
p
n(1 −p)
p2

Lois continues
Dénomination Loi de probabilité Moyenne Variance
X E(X)V(X)
Loi uniforme sur [a, b]f(x) = 
1
b−apour a≤x≤b
0
a+b
2
(b−a)2
12
Loi normale N(µ, σ2)
σpositif f(x) = 1
σ√2πe
−
1
2x−µ σ2
µ σ2
Loi Gamma G(a,p)
a et p strictement positifs
f(x) = 
ap
Γ(p)xp−1e−ax si x > 0
0si x≤0
où Γ(p) = R+∞
0xp−1e−xdx
p
a
p
a2
Loi Beta B(p, q)
p > 0q > 0
f(x) = 
1
B(p, q)xp−1(1 −x)q−1
si 0< x < 1
0 sinon
où B(p, q) = R1
0xp−1(1 −x)q−1dx
p
p+q
pq
(p+q)2(p+q+ 1)
Loi de χ2àνdegrés
de liberté, νentier positif
ou encore G1
2,ν 2
f(x) = 
e−x
2xν 2−1
2ν
2Γν
2si x > 0
0si x≤0
ν2ν
Loi de Student (ou T) à ν
degrés de liberté,
νentier strictement positif
f(x) = 1 + x2
ν−ν+1
2
√νB 1
2,ν 2
0pour ν≥2
non définie
pour ν= 1
ν
ν−2pour ν≥2
Loi de Fisher (ou F) de
paramètres ν1et ν2
entiers strictement positifs
f(x) =
νν1/2
1νν2/2 2xν1/2−1
B(ν1
2,ν2 2)(ν1x+ν2)ν1+ν2
2
pour x > 0
0pour x≤0
ν2
ν2−2pour ν2≥3
non définie
pour ν2<3
2ν2
2(ν1+ν2−2)
ν1(ν2−2)2(ν2−4)
si ν2≥5
Loi de Cauchy f(x) = 1
π(1 + x2)non définie non définie
Loi de Laplace
de paramètre θ > 0
f(x) = 1
θexp −1 2
x
θ
0θ2
2

.
.
Combinaisons linéaires de variables aléatoires usuelles
Hypothèses Loi de probabilité
Xibinomiale : B(ni, p)
(Xi)indépendantes; Y=
k
X
i=1
Xi
=⇒Ybinomiale B k
X
i=1
ni, p!
Xide Poisson : P(λi)
(Xi)indépendantes; Y=
k
X
i=1
Xi
=⇒Yloi de Poisson P k
X
i=1
λi!
Xinormale : N(µi, σ2
i)
(Xi)indépendantes; Y=
n
X
i=1
aiXi
=⇒Ynormale N k
X
i=1
aiµi,
n
X
i=1
a2
iσ2 i!
Cas particulier : µi=µet σi=σ
X=1
n
n
X
i=1
Xi
=⇒Xnormale Nµ, σ2
n
Xiloi gamma : G(a, pi)
(Xi)indépendantes; Y=
n
X
i=1
Xi
=⇒Yloi gamma G a,
n
X
i=1
pi!
Cas particulier : Xiloi de χ2àγidd` =⇒Yloi de χ2àn
X
i=1
γidd`