Formulaire de probabilités Lois de probabilité usuelles Lois discrètes Dénomination X Loi de probabilité Moyenne E(X) Variance V (X) Loi binomiale B(n, p) n entier positif ; 0 < p < 1 k pk (1 − p)n−k P [X = k] = Cn k = 0, 1, 2, . . . , n np np(1 − p) Loi multinomiale n; p1 , . . . , pk , P [X1 = n1 et X2 = n2 et Xk = nk ] E(Xi ) = npi var (Xi ) = npi (1 − pi ) cov (Xi , Xj ) = −npi pj pour i 6= j P [X = k] = e−λ λk! k entier positif ou nul λ λ n−1 P [X = k] = Cn+k−1 pn (1 − p)k k entier positif ou nul n(1 − p) p n(1 − p) p2 n entier positif ; p1 + p2 + · · · + pk = 1 n! nk 2 pn1 · pn 2 · · · pk n1 !n2 ! · · · nk ! 1 P ni entier positif ; ki=1 ni = n. = k Loi de Poisson de paramètre λ(λ > 0) Loi binomiale négative de paramètres n et p n entier positif - 0 < p < 1 (n = 1 −→ loi géométrique) Lois continues Dénomination X Loi de probabilité Loi uniforme sur [a, b] f (x) = Loi normale N (µ, σ 2 ) f (x) = σ positif Loi Gamma G(a,p) f (x) = a et p strictement positifs q>0 de liberté, ν entier positif ou encore G 1 ν , 2 2 1 √ σ 2π 1 e 2 − x−µ σ Loi de Student (ou T ) à ν degrés de liberté, ν entier strictement positif Loi de Fisher (ou F) de paramètres ν1 et ν2 entiers strictement positifs Loi de Cauchy ap p−1 −ax x e si x > 0 Γ(p) 0 si x ≤ 0 R où Γ(p) = 0+∞ xp−1 e−x dx − x ν −1 e 2 x2 ν ν 22 Γ f (x) = 2 0 (b − a)2 12 µ σ2 p a p a2 p p+q pq (p + q)2 (p + q + 1) ν 2ν si x > 0 si x ≤ 0 ν+1 2 − 2 1 + xν f (x) = √ νB 12 , ν2 ν1/2 ν2/2 ν ν1 ν2 x 1/2 −1 2 B( ν1 , ν2 )(ν x + ν ) ν1 +ν 2 1 2 2 2 f (x) = pour x > 0 0 pour x ≤ 0 f (x) = Loi de Laplace f (x) = de paramètre θ > 0 a+b 2 2 f (x) = Loi de χ2 à ν degrés Variance V (X) 0 1 xp−1 (1 − x)q−1 B(p, q) si 0 < x < 1 0 sinon R 1 p−1 où B(p, q) = 0 x (1 − x)q−1 dx Loi Beta B(p, q) p>0 1 pour a ≤ x ≤ b b−a Moyenne E(X) 1 π(1 + x2 ) 1 1 exp − θ 2 x θ 0 pour ν ≥ 2 non définie ν pour ν ≥ 2 ν−2 pour ν = 1 ν2 pour ν2 ≥ 3 ν2 − 2 non définie pour ν2 < 3 2ν22 (ν1 + ν2 − 2) ν1 (ν2 − 2)2 (ν2 − 4) si ν2 ≥ 5 non définie non définie 0 θ2 2 . . Combinaisons linéaires de variables aléatoires usuelles Hypothèses Loi de probabilité Xi binomiale : B(ni , p) (Xi ) indépendantes ; Y = k X i=1 Xi Xi de Poisson : P(λi ) (Xi ) indépendantes ; Y = k X i=1 Xi normale : N (µi , σi2 ) (Xi ) indépendantes ; Y = n X i=1 Xi ai Xi =⇒ (Xi ) indépendantes ; Y = n X i=1 Cas particulier : 2 Xi Y binomiale B ni , p ! i=1 =⇒ Y loi de Poisson P k X λi ! i=1 =⇒ Y normale N k X ai µ i , i=1 Cas particulier : µi = µ et σi = σ n 1X =⇒ X= Xi n i=1 Xi loi gamma : G(a, pi ) k X =⇒ Xi loi de χ à γi dd` =⇒ n X i=1 2 X normale N µ, σn Y loi gamma G a, n X i=1 2 Y loi de χ à n X i=1 γi dd` pi ! a2i σi2 !