Ondes Électromagnétiques et Optique Physique

UNIVERSITÉ DE NGAOUNDÉRÉ
FACULTÉ DES SCIENCES
DÉPARTEMENT DE PHYSIQUE
LICENCES DE PHYSIQUE
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES ET
OPTIQUE PHYSIQUE
SML5PH03 - UE Optionnelle
CM : 35h - TD : 25h - Crédits : 6
NANA ENGO
Année académique 2012 − 2013
c Nana Engo - Sous la licence CC BY-SA 3.0
2012 TABLE DES MATIÈRES
Avant-propos
ii
I
1
COURS MAGISTRAL
1 Champ électromagnétique
1.1 Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Les équations de Maxwell . . . . . . . . . . . .
1.1.2 L’équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Structure d’une onde électromagnétique . . . .
1.1.4 Les potentiels électromagnétiques . . . . . . . .
1.2 Champs macroscopiques . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2.1 Champs macroscopiques . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Conditions de continuité . . . . . . . . . . . . .
1.3 Considérations énergétiques . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Le vecteur de Poynting . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 L’intensité lumineuse détectée . . . . . . . . . .
1.4 Équations de propagation . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.1 Équation de dispersion . . . . . . . . . . . . . .
1.4.2 Ondes planes progressives sans atténuation . .
1.4.3 Onde évanescente . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4.4 Ondes planes progressives atténuée ou amortie
1.4.5 Bande passante et fréquence de coupure . . . .
1.5 Spectre des ondes électromagnétiques . . . . . . . . . .
1.5.1 Radiofréquences . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.2 Hyper-fréquence ou micro-ondes . . . . . . . .
1.5.3 Infrarouge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.4 Lumière visible . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.5 Ultraviolet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.6 Rayons X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5.7 Rayons gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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2 Propagation dans les milieux linéaires
2.1 Polarisabilité . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Modèle de Drude . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Constante diélectrique . . . . .
2.2.2 Indice de réfraction . . . . . . .
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TABLE DES MATIÈRES
2.3
2.4
2.5
ii
2.2.3 Relation de Clausius-Mossoti . . . . . . . . . . . .
Plasmas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Fréquence de plasma . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.2 Oscillations libres d’un plasma . . . . . . . . . . .
2.3.3 Plasmons . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.4 Ionosphère . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Conducteurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Dispersion dans les conducteurs . . . . . . . . . . .
2.4.2 Indice de réfraction complexe dans un conducteur
2.4.3 Propagation dans un conducteur . . . . . . . . . .
Anisotropie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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27
3 Réflexion et réfraction des ondes électromagnétiques
3.1 Équations de Fresnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Lois de Descartes . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2 Polarisation perpendiculaire au plan d’incidence
3.1.3 Polarisation parallèle au plan d’incidence . . . .
3.1.4 Réflectance et transmittance . . . . . . . . . . .
3.1.5 Incidence normale . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.6 Angle de Brewster . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.7 Réflexion totale interne . . . . . . . . . . . . . .
3.1.8 Réflexion métallique . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Ondes stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Polarisation de la lumière
4.1 Représentation matricielle d’une onde polarisée
4.1.1 Polarisation linéaire ou rectiligne . . . .
4.1.2 Polarisation circulaire . . . . . . . . . .
4.1.3 Polarisation elliptique . . . . . . . . . .
4.2 Représentation matricielle d’un polariseur . . .
4.2.1 Polariseur et analyseur . . . . . . . . . .
4.2.2 Matrice de Jones . . . . . . . . . . . . .
4.2.3 Polariseur linéaire . . . . . . . . . . . .
4.2.4 Polariseur à retard de phase . . . . . . .
4.2.5 Rotateur . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3 Paramètres de Stokes . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Onde monochromatique . . . . . . . . .
4.3.2 Onde quasi-monochromatique . . . . . .
4.3.3 Onde non polarisée . . . . . . . . . . . .
4.3.4 Sphère de Poincaré . . . . . . . . . . . .
4.3.5 Détection . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.6 Matrices de Mueller et Prisme de Nicol
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5 Production d’une lumière polarisée
5.1 Polarisation linéaire de la lumière . . . .
5.1.1 Polarisation par réflexion . . . .
5.1.2 Polarisation par diffusion . . . .
5.1.3 Polarisation par biréfringence . .
5.1.4 Polarisation par dichroı̈sme . . .
5.2 Polarisation rotatoire de la lumière . . .
5.2.1 Matériau dextrogyre ou lévogyre
5.2.2 Loi de Biot . . . . . . . . . . . .
c Nana Engo - Sous la licence CC BY-SA 3.0
2012 .
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Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
TABLE DES MATIÈRES
5.3
5.4
iii
Écrans plats . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.1 Cristaux liquides . . . . . . . . . . . . . . .
5.3.2 Fonctionnement d’un pixel d’écran plat . .
5.3.3 Du pixel à l’écran plat . . . . . . . . . . . .
Biréfringence artificielle . . . . . . . . . . . . . . .
5.4.1 Action d’un champ électrique : effet Pockels
5.4.2 Action du champ magnétique . . . . . . . .
5.4.3 Biréfringence mécanique ou photoélasticité
6 Antennes
6.1 Antenne linéaire . . . . . . . . . . . .
6.2 Résistance de rayonnement . . . . . .
6.3 Antennes réceptrices . . . . . . . . . .
6.4 Réseaux d’antennes . . . . . . . . . . .
6.5 Radar à balayage électronique . . . . .
6.5.1 Radar . . . . . . . . . . . . . .
6.5.2 Radar à balayage électronique .
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7 Diffraction d’une onde lumineuse et réseaux optiques
7.1 Le phénomène de diffraction . . . . . . . . . . . . . . . .
7.1.1 Mise en évidence expérimentale . . . . . . . . . .
7.1.2 Principe de Huyghens-Fresnel . . . . . . . . . . .
7.1.3 Écrans d’amplitude et de phase . . . . . . . . . .
7.2 Diffraction de Fraunhofer par un diaphragme plan . . .
7.2.1 Approximation de Fraunhofer . . . . . . . . . . .
7.2.2 Formule fondamentale . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.3 Pupille rectangulaire . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.4 Fente infiniment longue . . . . . . . . . . . . . .
7.2.5 Pupille circulaire . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2.6 Critère de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3 Fentes d’Young et réseaux de N fentes . . . . . . . . . .
7.3.1 Fentes d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.2 Réseaux plans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.3.3 Relation fondamentale des réseaux . . . . . . . .
7.3.4 Intensité de l’onde diffractée par le réseau . . . .
7.3.5 Réseau en lumière polychromatique . . . . . . .
7.3.6 Spectromètres à réseaux . . . . . . . . . . . . . .
7.3.7 Types de réseaux plan . . . . . . . . . . . . . . .
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8 Interférences Lumineuses
8.1 Principe de superposition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.1 Phénomènes d’interférence . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.1.2 Superposition de deux ondes électromagnétiques . . . .
8.2 Condition d’interférence de deux ondes . . . . . . . . . . . . . .
8.2.1 Intensité résultante de la superposition de deux ondes .
8.2.2 Ordre d’interférence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.3 Facteur de visibilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2.4 Systèmes interférentiels par divisions du front d’onde ou
8.2.5 Interférence de deux ondes planes . . . . . . . . . . . . .
8.2.6 Interférence de deux ondes sphériques . . . . . . . . . .
8.3 Interférence par division du front d’onde . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Fentes d’Young . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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d’amplitude
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100
103
103
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Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
TABLE DES MATIÈRES
8.4
8.5
II
iv
8.3.2 Interférence en lumière blanche. Spectre cannelé . . . . . .
8.3.3 Dispositifs dérivés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Systèmes interférentiels par division d’amplitude . . . . . . . . . .
8.4.1 Interféromètre de Michelson . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Lames à faces parallèles. Franges d’Haidinger . . . . . . . .
8.4.3 Lames à épaisseur variable et coin d’air. Franges de Fizeau
8.4.4 Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interférences d’ondes multiples. Interféromètre de Fabry-Pérot . . .
8.5.1 Interférences d’ondes multiples . . . . . . . . . . . . . . . .
8.5.2 Interféromètre de Fabry-Pérot . . . . . . . . . . . . . . . . .
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TRAVAUX DIRIGES
105
105
107
107
108
111
114
114
114
117
119
9 QUESTIONS DIVERSES
120
10 ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
10.1 Propagation d’une onde dans un plasma . . . . . . . . . . .
10.2 Formule de dispersion de Sellmeier . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Effet de peau dans un conducteur imparfait . . . . . . . . .
10.4 Pourquoi les métaux sont-ils brillants ? . . . . . . . . . . . .
10.5 Transmissions sous-marines . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5.1 Indice complexe et profondeur de pénétration . . . .
10.5.2 Facteur de transmission énergétique . . . . . . . . .
10.6 Pertes d’énergie et pouvoir réflecteur des alcalins dans l’UV
10.7 Onde stationnaire et résonateur électromagnétique . . . . .
10.8 Ensemble de polariseurs et effet Zénon . . . . . . . . . . . .
10.9 Couche antireflet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.10Traitement multicouches - miroir froid . . . . . . . . . . . .
10.10.1 Étude d’une couche ou cellule élémentaire . . . . . .
10.10.2 Traitement multicouches d’un verre . . . . . . . . .
10.11Pouvoir rotatoire du quartz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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131
131
132
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135
11 OPTIQUE PHYSIQUE
11.1 Spectroscope à réseau plan parfait par transmission .
11.2 Radar à réseau d’antennes . . . . . . . . . . . . . . .
11.3 Guidage radio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.4 Interféromètre de Mach-Zehnder . . . . . . . . . . .
11.5 Photographie de Lippmann . . . . . . . . . . . . . .
11.5.1 Préliminaires . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11.5.2 Application à la photographie couleur . . . .
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
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AVANT-PROPOS
Ce cours présente les outils essentiels permettant de comprendre la propagation des ondes électromagnétiques
dans un espace à trois dimension et leurs utilisations. Les différents concepts de l’optique physique
seront abordés sous l’angle des différentes transformations que l’on peut chercher à effectuer sur le
champ électromagnétique : émettre ou détecter des ondes, les additionner les ondes, les analyser. On
cherchera systématiquement à étendre les concepts dégagés à tout le spectre électromagnétique, en
particulier dans le domaine des ondes hertziennes et des micro-ondes.
Programme
• Les ondes à trois dimensions
Du conducteur parfait au conducteur réel
Principe d’Huygens-Fresnel
Modèle de Drude des conducteurs
Réflexion, réfraction, formation des images
Oscillations plasma
Ondes électromagnétiques à trois dimensions
Effet de peau
• Émettre et détecter
électromagnétiques
des
Les antennes : introduction
terférences et à la diffraction
• Additionner des ondes
ondes
Polarisation, milieux anisotropes
aux
Dispositifs interférométriques
in-
Notions de cohérence
Diagramme de rayonnement : antennes multiples, antennes étendues
• Analyser les ondes
Milieux dispersifs
La détection de la lumière
Interférences à ondes multiples
• Plasmas, métaux et milieux conducteurs
Réseaux optiques, cavités optiques
Ce Cours est publié sous la licence libre Creative Commons-BY-SA :
http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0/fr
BY : Paternité. Vous devez citer le nom de l’auteur original.
SA : Partage des Conditions Initiales à l’Identique. Si vous modifiez, transformez ou adaptez cette création,
vous n’avez le droit de distribuer la création qui en résulte que sous un contrat identique à celui-ci.
En outre, à chaque réutilisation ou distribution, vous devez faire apparaı̂tre clairement aux autres les conditions
contractuelles de mise à disposition de cette création. Chacune de ces conditions peut être levée si vous obtenez
l’autorisation du titulaire des droits.
v
Première partie
COURS MAGISTRAL
1
CHAPITRE
1
CHAMP ÉLECTROMAGNÉTIQUE
Sommaire
1.1
Les équations de Maxwell
1.2
Champs macroscopiques
1.3
Considérations énergétiques
1.4
Équations de propagation
1.5
Spectre des ondes électromagnétiques
Objectif : Rappeler les propriétés fondamentales du champ électromagnétique : les équations de
Maxwell, l’existence des champs macroscopiques, les potentiels, l’énergie et l’impulsion des champs
électromagnétiques, l’équation de dispersion. Revue des diverses gammes du spectre électromagnétique.
1.1
1.1.1
Les équations de Maxwell
Les équations de Maxwell
Le champ électromagnétique est décrit par les champs vectoriels électriques E(r, t) et magnétique
B(r, t) qui vérifient les équations de Maxwell
ρtot
, (Maxwell-Gauss)
ε0
∇ · B = 0, (Maxwell-Thomson)
∂B
∇×E =−
, (Maxwell-Faraday)
∂t
∂E
∇ × B = µ0 (J tot + ε0
), (Maxwell-Ampère)
∂t
∇·E =
(1.1.1a)
(1.1.1b)
(1.1.1c)
(1.1.1d)
ρtot est la densité de charge totale et J tot la densité de courant totale. L’index totale signifie que
toutes les charges sont incluses dans ces densités, même les charges liées en permanence aux atomes
et molécules et qui ne peuvent être déplacées sur de longues distances par application d’un champ
électrique.
2
1.1. LES ÉQUATIONS DE MAXWELL
3
Sous forme intégrale, on a, grâce aux théorème de la divergence de Gauss et théorème de Stokes,
I
ΨE =
ΦB =
CE =
IA
Z
E · dA =
Zτ
B · dA =
A
I
CB =
Qtot
,
ε0
(1.1.2a)
(∇ · B)dτ = 0,
(1.1.2b)
τ
E · dr =
Z
(∇ × E) · dA = −
A
C
I
(∇ · E)dτ =
B · dr =
Z
A
C
∂ΦB
,
∂t
(∇ × B) · dA = µ0 I tot +
(1.1.2c)
∂ΨE
∂t
,
(1.1.2d)
où ΨE , ΦB et I tot sont respectivement le flux électrique, le flux magnétique et le courant électrique
à travers la surface A fermée.
• L’équation (1.1.2a) est la loi de Gauss : le flux électrique sortant d’une surface fermée est
Qtot
ε0 (il ne se conserve pas).
• L’équation (1.1.2b) stipule que le flux magnétique sortant d’une surface fermée se conserve.
Autrement, les charges magnétiques n’existent pas !
• L’équation (1.1.2c) est la loi d’induction de Faraday : la circulation du champ électrique le
long d’un contour fermé, ou force électromotrice, est proportionnelle à la dérivée temporelle
du flux magnétique à travers une surface bordée par ce contour.
Le signe − signifie que si le contour était un fil conducteur, la force électromotrice induite
engendrerait un champ électrique qui serait la source d’un champ magnétique s’opposant à la
variation du flux magnétique ΦB . C’est la loi de Lenz.
• L’équation (1.1.2d) est la loi d’Ampère : la circulation du champ magnétique le long d’un
contour fermé est proportionnelle au courant électrique Itot passant à travers au contour et à la
dérivée temporelle du flux électrique à travers une surface bordée par ce contour (ou courant
de déplacement de Maxwell1 ).
1.1.2
L’équation d’onde
L’un des caractères fondamentaux des équations de Maxwell est qu’elles permettent la propagation
de champs électrique et magnétique même en l’absence de charge et de courant, ce qu’on appelle
justement des ondes électromagnétiques. Pour s’en convaincre, posons ρtot = 0 et J tot = 0 et
calculons le rotationnel de l’équation (1.1.1c) :
∇ × (∇ × E) +
avec
1
c2
∂
1 ∂2E
∇ × B = [∇(∇ · E) − ∆E] + 2
= 0,
∂t
c ∂t
(1.1.3)
= µ0 ε0 . En vertu de (1.1.1a), ∇ · E = 0 pour ρtot = 0, et on trouve
∆E −
1 ∂2E
= 0 ou E = 0.
c2 ∂t
(1.1.4)
De même, en calculant le rotationnel de l’équation (1.1.1d), on trouve
∆B −
1 ∂2B
= 0 ou B = 0.
c2 ∂t
(1.1.5)
1
La mise en évidence de ce terme de déplacement, qui ne peut se faire qu’en régime de haute fréquence (à cause du
terme dérivé) et dans un milieu vide ou peu conducteur (pour que le courant de conduction soit négligeable), constitue
la validation historique des équations de Maxwell par Hertz !
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
1.1. LES ÉQUATIONS DE MAXWELL
4
Une solution acceptable de ces équations d’onde est une onde progressive de forme quelconque,
se propageant dans la direction k̂ (vecteur unité quelconque), à la vitesse c, s ≡ E, B,
s = s0 f (k̂ · r − ct), s0 · k̂ = 0,
(1.1.6)
où la fonction f est une fonction quelconque, et s0 est un vecteur de norme constante, perpendiculaire
à k̂, de sorte à respecter la condition ∇ · s = 0. Une telle onde ne se disperse pas, i.e., que sa
forme ne fait que se déplacer dans l’espace, sans se modifier. Cette absence de dispersion est propre
aux ondes électromagnétiques se propageant dans le vide.
1.1.3
Structure d’une onde électromagnétique
Une onde électromagnétique est dite monochromatique lorsqu’elle possède une dépendance temporelle sinusoı̈dale. Elle s’écrit alors
s = |s0 | cos(k · r − ωt + φ) = <{s0 ei(k·r−ωt) },
(1.1.7)
où le vecteur d’onde
2π
k̂.
(1.1.8)
λ
L’utilisation des nombres complexes est très commode car elle permet d’inclure dans la quantité s0
à la fois l’amplitude et la phase de l’onde : s0 = |s0 |eiφ , où |s0 | et φ sont les amplitude et phase de
l’onde à r = 0 et t = 0. Par la suite, nous allons généralement omettre le symbole ”Re” et il sera
implicite qu’il faut toujours considérer la partie réelle des expressions impliquant une exponentielle
oscillante et une amplitude complexe.
k=
Une onde électromagnétique monochromatique est dite
• plane si son champ électrique est de la forme
E(r, t) = E(x, t) = E 0 ei(kx−ωt) ,
(1.1.9)
où E 0 , de module constant, appartient au plan (y, z) ;
• sphérique si son champ électrique est de la forme
E(r, t) = E(r, t) =
A0 i(kr−omegat)
e
,
r
(1.1.10)
où A0 , de module constant, appartient au plan (eθ , eϕ ) ;
• cylindrique si son champ électrique est de la forme
A0
E(r, t) = E(r, t) = √ ei(kr−omegat) ,
r
(1.1.11)
où A0 , de module constant, appartient au plan (eθ , ez ).
1.1.4
Les potentiels électromagnétiques
Les équations (1.1.1b) et (1.1.1c) nous permettent d’exprimer les champs B et E en fonction du
potentiel vecteur A et du potentiel électrique ψ :
B = ∇ × A,
E = −∇ψ −
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2012 (1.1.12a)
∂A
.
∂t
(1.1.12b)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
1.2. CHAMPS MACROSCOPIQUES
5
En effet, en vertu du théorème d’Helmholtz, la relation la relation ∇ · B = 0 entraı̂ne l’existence
d’un champ vectoriel A tel que B = ∇ × A. Ensuite, la loi de Faraday s’écrit
∂A
∇× E+
∂t
= 0,
(1.1.13)
et donc, toujours d’après le théorème de Helmholtz, la quantité entre accolades est le gradient d’une
fonction , d’où la représentation (1.1.12b).
Les potentiels ne sont pas uniques. On peut toujours effectuer une transformation de jauge :
∂ζ
,
∂t
A → A + ∇ζ,
ψ→ψ−
(1.1.14a)
(1.1.14b)
où ζ(r, t) est une fonction quelconque de la position et du temps. Cet arbitraire dans les potentiels
nous permet de leur imposer des conditions particulière appelées jauges. On utilise principalement
• la jauge de Lorentz :
∇·A+
∂ψ
= 0,
∂t
(1.1.15)
• et la jauge de Coulomb, ou jauge transverse :
∇ · A = 0.
1.2
1.2.1
(1.1.16)
Champs macroscopiques
Champs macroscopiques
Dans les matériaux, les équations de Maxwell microscopiques sont difficilement applicables en pratique, car les charges liées aux atomes et aux molécules jouent un rôle important et difficilement
contrôlable. Pour surmonter cette difficulté, on introduit des champs macroscopiques (D et H) dont
les sources excluent les charges et les courants liés. Nous allons brièvement justifier l’origine de ces
champs macroscopiques.
Par définition, la charge liée ne peut s’étendre que sur une très courte distance, c’est-à-dire à
l’échelle d’un atome. L’effet de cette charge liée peut donc être complètement représenté par une
distribution de dipôles électriques et de dipôles magnétiques, qui sont soient créés par une redistribution des mouvements électroniques ou une réorientation des molécules sous l’influence de champs
externes, soit présents de manière spontanée. Le moment dipolaire électrique par unité de volume,
ou polarisation, est noté
P
p
P =
.
(1.2.1)
V
Le moment dipolaire magnétique par unité de volume, ou aimantation, est noté
P
M=
m
.
V
(1.2.2)
Le potentiel électrique ψ(r) causé par la présence d’un dipôle ponctuel p situé au point r 0 est
ψ(r) =
p · (r − r 0 )
,
|r − r 0 |3
(1.2.3)
et par superposition, le potentiel électrique résultant d’une distribution de dipôles électriques est
Z
ψ(r) =
V
d3 r0
P (r 0 ) · (r − r 0 )
=−
|r − r 0 |3
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2012 Z
V
d3 r0 P (r 0 )∇0
1
.
|r − r 0 |
(1.2.4)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
1.2. CHAMPS MACROSCOPIQUES
6
Il est possible d’interpréter cette formule en fonction d’une densité de charge en procédant à une
intégration par parties. L’intégration par parties en dimension trois se fait de plusieurs façons, dont
la suivante : si G est un champ vectoriel et f une fonction scalaire, on a la relation
∇ · (f G) = G · ∇f + f ∇ · G.
(1.2.5)
En intégrant sur un volume V et en appliquant le théorème de la divergence de Gauss, on trouve
I
f G · dA =
Z
d3 rG · ∇f +
Z
V
A
d3 rf ∇ · G,
(1.2.6)
V
où A est la surface frontière orientée du volume V. En appliquant cette relation à l’équation (1.2.4),
1
0
où G → P et f → |r−r
0 | et où l’intégration et les dérivées sont prises par rapport à r , on trouve
ψ(r) = −
Z
d3 r0
V
∇0 · P (r 0 )
+
|r − r 0 |
I
dA ·
A
P (r 0 )
.
|r − r 0 |
(1.2.7)
Ce résultat signifie que le potentiel électrique engendré par une densité de charge quelconque ρ(r)
est
Z
ρ(r 0 )
ψ(r) = − d3 r0
,
(1.2.8a)
|r − r 0 |
où
ρ(r 0 ) = −∇ · P + P · n,
(1.2.8b)
ρ0 = −∇ · P ,
(1.2.8c)
ρ0s = P · n.
(1.2.8d)
avec la densité volumique des charges
et la densité surfacique des charges
Ainsi, la polarisation P se ramène à une distribution de charge liée, volumique et surfacique. Cette
polarisation peut aussi engendrer une densité de courant si elle varie au cours du temps en vertu de
l’équation de continuité exprimant la conservation de la charge liée :
∇ · J0 +
∂ρ0
= 0.
∂t
(1.2.9)
Le potentiel vecteur engendré par un dipôle magnétique ponctuel m situé au point r 0 est
A(r) =
m × (r − r 0 )
,
|r − r 0 |3
(1.2.10)
et par superposition, le potentiel vecteur résultant d’une distribution de dipôles magnétiques est
M (r 0 ) × (r − r 0 )
1
=
d3 r0 M (r 0 ) × ∇0 (
),
0
|r − r |3
|r − 0 |
V
V
Z
I
0
0
M (r 0 )
3 0 ∇ × M (r )
=
d r
−
dA
×
.
|r − r 0 |
|r − r 0 |
V
Z
A(r) =
Z
d3 r0
(1.2.11)
A
Puisque le potentiel vecteur engendré par une densité de courant quelconque J est
Z
A(r) =
V
d3 r0
J (r 0 )
,
|r − r 0 |
(1.2.12)
l’aimantation agit comme une densité de courant
J (r 0 ) = ∇ × M + M × n,
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2012 (1.2.13)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
1.2. CHAMPS MACROSCOPIQUES
7
où la densité de courant
J0 = ∇ × M,
(1.2.14)
J 0s = M × n,
(1.2.15)
est lié au matériau et la densité surfacique
qui n’apparaı̂t qu’à la surface du matériau. Les densités de charge liée et de courant lié sont donc,
en vertu de (1.2.9),
ρ0 = −∇ · P ,
(1.2.16a)
∂P
J0 = ∇ × M +
.
∂t
(1.2.16b)
Les densités de charge et de courant totales peuvent alors s’écrivent
ρtot = ρ + ρ0 ,
(1.2.17a)
0
(1.2.17b)
J tot = J + J ,
où ρ et J représentent la charge libre, tandis que ρ0 et J 0 représentent la charge liée au matériau. En
insérant cette décomposition dans les équations de Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère, on trouve
∇ · ε0 E = ρ − ∇· P ⇒ ∇ · (ε0 E + P ) = ρ,
∂E
1
∂(ε0 E + P )
∂P
+ ε0
) ⇒ ∇ × ( B − M) = J +
.
∇ × B = µ0 (J + ∇ × M +
∂t
∂t
µ0
∂t
(1.2.18a)
(1.2.18b)
De là vient la nécessité de définir les champ d’induction électrique ou déplacement électrique
D et champ d’excitation magnétique H
D = ε0 E + P ,
1
H=
B − M.
µ0
(1.2.19a)
(1.2.19b)
En fonction des champs macroscopiques, les équations de Maxwell sont donc
∇ · D = ρ,
(1.2.20a)
∇ · B = 0,
(1.2.20b)
∂B
,
∂t
∂D
.
∇×H =J +
∂t
∇×E =−
(1.2.20c)
(1.2.20d)
La résolution des équations de Maxwell est possible en principe si l’on connaı̂t les relations
constitutives du milieu étudié, i.e., les relations entre les champs D et H et les champs E et D.
Dans les milieux linéaires et isotropes,
D = εr ε0 E = εE,
(1.2.21a)
B = µr µ0 H = µH,
(1.2.21b)
ε est la perméabilité électrique ou constante diélectrique du milieu et µ la perméabilité
magnétique. La résolution des équations de Maxwell nécessite en outre la spécification des conditions
initiales et des conditions aux limites en nombre suffisant.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
1.3. CONSIDÉRATIONS ÉNERGÉTIQUES
1.2.2
8
Conditions de continuité
Que se passe-t-il lorsqu’une onde électromagnétique rencontre une surface séparant un milieu 1 d’un
milieu 2 ? En absence de charge ou courant libre de surface, nous admettrons que sont continues à
l’interface,
• la composante normale des vecteur D et H ;
• la composante tangentielle des vecteurs E et B.
Soit n12 la normale à l’interface, dirigée du milieu 1 vers le milieu 2. Cette interface peut supporter
une densité surfacique de charge libre ρs et une densité surfacique de courant libre J s . Les relations
de passage s’écrivent :
(D 2 − D 1 ) · n12 = ρs ,
(1.2.22a)
(E 2 − E 1 ) × n12 = 0,
(1.2.22b)
(B 2 − B 1 ) · n12 = 0,
(1.2.22c)
(H 2 − H 1 ) × n12 = −J s .
1.3
(1.2.22d)
Considérations énergétiques
1.3.1
Le vecteur de Poynting
Lorsque nous sommes dans un pièce obscure et que nous appuyons sur l’interrupteur, d’un seul coup,
la pièce est pleine de lumière et nous avons une sensation de chaleur : il y a de l’énergie dans le
champ, alors qu’il n’y avait pas avant. L’énergie du champ varie quand la matière effectue un certain
travail sur le champ et vice-versa.
Dans un milieu linéaire et isotrope, l’énergie électromagnétique est concentrée dans les régions de
l’espace où règne un champ électromagnétique, avec la densité volumique d’énergie
1
w = (E · D + H · B).
2
(1.3.1)
Le flux d’énergie électromagnétique est donné par le vecteur de Poynting
S = E × H.
(1.3.2)
Ce vecteur indique la vitesse à laquelle l’énergie du champ électromagnétique se déplace
dans l’espace.
Théorème 1.3.1 (Poynting.) Le flux du vecteur de Poynting à travers une surface fermée A
délimitant un volume V donne la puissance rayonnée à travers cette surface :
I
P = − S · ndA =
A
∂
∂t
Z
wdV+E · J ,
(1.3.3)
V
où E · J est l’énergie est perdue par le champ et transférée à la matière, sous forme thermique (effet
Joule). On dit encore c’est la densité volumique de puissance perdue par le champ et transférée à la
matière lors de la circulation de courants.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
1.3. CONSIDÉRATIONS ÉNERGÉTIQUES
9
L’équation (1.3.3) exprime la conservation de l’énergie électromagnétique. C’est l’équation fondamentale de l’énergie électromagnétique.
Dans le vide, l’impulsion du champ électromagnétique
π = E × B,
(1.3.4)
elle est proportionnelle au vecteur de Poynting S. La densité de moment cinétique est donnée par
` = r × (E × B).
1.3.2
(1.3.5)
L’intensité lumineuse détectée
L’intensité lumineuse I est par définition, l’énergie lumineuse reçue par unité de surface et par
unité de temps. C’est également une puissance par unité de surface. Nous devrions donc avoir une
intensité lumineuse dépendant du temps. Or l’expérience montre qu’il n’y a pas de fluctuation temporelle de la lumière. Donc l’intensité que nous percevons ne coı̈ncide pas avec cette définition.
L’oeil est un détecteur optique de type photodétecteur, c’est-à-dire sensible à la lumière. En
général, on attend d’un instrument de mesure qu’il effectue une mesure la plus instantanée possible.
Dans la pratique, sa limitation est due à son propre temps d’acquisition τ . Ainsi, si X(t) est la
grandeur physique à mesurer, l’instrument effectue une mesure Xm (t) au temps t telle que
1
Xm (t) =
τ
Z t+τ
X(t0 )dt0 .
(1.3.6)
t
Si le temps d’acquisition τ est inférieur au temps caractéristique T de variation de la quantité mesurée,
cette mesure peut être considérée comme instantanée. En effet, avec X(t) ≈ X(t0 ) pour t ≤ t0 ≤ t + τ ,
il vient
Z
1 t+τ 0
Xm (t) ≈ X(t)
dt = X(t).
(1.3.7)
τ t
En revanche, dès que le temps d’acquisition τ devient du même ordre de grandeur que le temps
caractéristique T , voire plus grand, la mesure Xm (t) de X correspond à une valeur moyennée entre
t et t + τ .
Puisque la lumière est une onde électromagnétique correspondant à des fréquences de l’ordre de
15
10 Hz, c’est-à-dire à des temps caractéristique de l’ordre de T = 1015 s, seule la valeur moyenne de
l’intensité lumineuse est perceptible.
L’éclairement pour une unité de surface ou intensité lumineuse d’une onde décrite par son
champ électrique E est alors définie comme l’énergie lumineuse moyennée en temps par unité de
surface :
I = hE × Hi.
(1.3.8)
On rappelle que
1
T
Z t+T
cos2 (ωt0 )dt0 =
t
1
T
Z t+T
t
1
sin2 (ωt0 )dt0 = .
2
(1.3.9)
Exemple 1.3.1 On considère deux faisceaux lumineux monochromatiques issus de deux sources
lasers. Les deux faisceaux de longueurs d’ondes voisines ont des fréquences telles que ω2 − ω1 = ∆ω.
Les ondes associées aux faisceaux sont caractérisées par leurs champs électriques supposés colinéaires
E 1 et E 2 et éclairent un détecteur dont le temps de réponse τ ω11 , ω12 .
Le champ électrique associés à l’onde résultante est
E(t) = E1 (t) + E2 (t) = E1 cos(ω1 t + ϕ1 ) + E2 cos(ω2 t + ϕ2 ),
(1.3.10)
et l’intensité lumineuse mesuré par un détecteur est
I = KhE 2 (t)i = I1 + I2 + 2 I1 I2 hcos(ω1 t + ϕ1 ) cos(ω2 t + ϕ2 )i,
p
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2012 (1.3.11)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
1.4. ÉQUATIONS DE PROPAGATION
10
avec
hcos(ω1 t + ϕ1 ) cos(ω2 t + ϕ2 )i = hcos((ω1 + ω2 )t + ϕ1 + ϕ2 )i + hcos(∆ωt + ϕ2 − ϕ1 )i.
Comme τ 1
1
ω1 , ω2 ,
Si le temps de réponse τ (1.3.12)
hcos((ω1 + ω2 )t + ϕ1 + ϕ2 )i = 0.
(1.3.13)
hcos(∆ωt + ϕ2 − ϕ1 )i = 0,
(1.3.14)
I = I1 + I2 .
(1.3.15)
p
(1.3.16)
1
∆ω ,
et on a
Si au contraire τ 1
∆ω ,
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(∆ωt + ϕ2 − ϕ1 ),
et un phénomène de battement est perçu par le détecteur : si la pulsation de deux ondes
n’est pas mesurable, leur écart peut être mesuré. Ainsi, si le temps de réponse de l’oeil est de
l’ordre de 0.1 s, ∆ω τ1 = 10 Hz.
1.4
Équations de propagation
1.4.1
Équation de dispersion
Considérons un milieu ohmique (J = γE) linéaire sans charges (ρ = 0) dans lequel se propage une
onde monochromatique de pulsation ω et de vecteur d’onde k. Les champs sont de la forme
E = E 0 ei(k.r−ωt) et B = B 0 ei(k.r−ωt) ,
(1.4.1)
et par conséquent,
∇ = ik,
∂
= −iω.
∂t
(1.4.2)
Supposons ω connue ou fixée et cherchons la relation de dispersion k = f (ω). Des relations de
Maxwell (1.2.20), on a
∇ · D = 0 ⇒ k · D = 0, i.e., D et E sont transverses.
(1.4.3a)
∇ · B = 0 ⇒ k · B = 0, i.e., B et H sont transverses.
k×E
∂B
∇×E =−
⇒B=
, relation de structure
∂t
ω
∂D
iγ
γ
∇×H =J +
⇒ k × B = −ωµ ε +
E = −ωµε̃E, avec ε̃ = ε + iε0 , ε0 = .
∂t
ω
ω
(1.4.3b)
(1.4.3c)
(1.4.3d)
En insérant la relation de structure (1.4.3c) dans l’équation (1.4.3d) on a
− ωµε̃E = k ×
k×E
ω
=
1
[(k · E)k − (k · k)E],
ω
(1.4.4)
et en tenant compte de MG (1.4.3a), on trouve
(k 2 − ω 2 µε̃)E = 0,
(1.4.5a)
(∆ + ω 2 µε̃)E = 0.
(1.4.5b)
ou
qui est l’équation d’Helmholtz. La relation (1.4.5a) donne
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
1.4. ÉQUATIONS DE PROPAGATION
11
k 2 = ω 2 µε̃,
(1.4.6)
qui est l’équation de dispersion des ondes électromagnétiques dans un milieu ohmique
linéaire sans charge.
Dans le vide où µ = µ0 , γ = 0, on a ε̃ = ε0 et l’équation de dispersion devient
k 2 = ω 2 µ 0 ε0 =
ω2
.
c2
(1.4.7)
La variation de ε̃ et µ avec ω et surtout la possibilité pour ces constantes de prendre des valeurs
complexes quelconques nous obligent à discuter succinctement du contenu physique de la dispersion
et de l’absorption.
1.4.2
Ondes planes progressives sans atténuation
Rappelons qu’une onde est qualifiée de plane si elle se propage dans une direction bien définie et de
monochromatique si elle possède une fréquence ω bien définie. Dans un milieu linéaire et isotrope
de constante diélectrique ε et de perméabilité magnétique µ, le produit µε̃ = µε est réel positif
et par conséquent, k 2 de la relation (1.4.5a) est aussi réel positif dont on tire aisément k. L’onde
E(r, t) garde les caractéristiques d’une onde plane dans le vide. En particulier, son amplitude E 0
reste constante au cours de la propagation : il n’y a pas d’atténuation.
Par contre, il y a en général dispersion (voir la figure 1.4.1). La vitesse de phase de l’onde et
l’indice de réfraction étant définis par
s
ω
1
vp = =
,
k
µε
r
µε
c
√
n=
=
= εr µ r .
vp
µ 0 ε0
1.4.3
(1.4.8a)
(1.4.8b)
Onde évanescente
Les plasmas sont des milieux conducteurs dans lesquels les interactions entre particules chargées
sont peu intenses, avec µε̃ réel négatif et donc k 2 est aussi un réel négatif. k est donc un imaginaire
pur, i.e., k = ik 00 . L’onde est alors de la forme
00
E(r, t) = E 0 e±k r e−iωt .
(1.4.9)
00
L’amplitude A(r) = E 0 e±k r décroı̂t exponentiellement tout en vibrant partout en phase. On
00
dit qu’on a une onde évanescente. Le signe de l’argument de e±k r doit être tel qu’il traduise
effectivement cette décroissance.
1.4.4
Ondes planes progressives atténuée ou amortie
Dans un milieu conducteur ou diélectrique, µε̃ est complexe et k est de la forme k = k 0 + ik 00 et
00
E(r, t) = E 0 e±k r ei(kr−omegat) .
(1.4.10)
00
Comme précédemment, le signe de e±k r doit être choisi de manière à ce que l’amplitude A(r) =
00
E 0 e±k r décroisse à partir de la région où elle est excité. Cette décroissance est d’autant plus marquée
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
1.5. SPECTRE DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
12
que k 00 est grand. Le terme ei(kr−omegat) assure la propagation de l’onde. On a donc une ondes planes
progressives atténuée ou amortie. L’indice de réfraction est complexe :
c
k = n0 + in00 .
ω
c
c
n0 = k 0 , n00 = k 00 .
ω
ω
n=
(1.4.11a)
(1.4.11b)
n0 est appelé indice de réfraction et n00 , indice d’extinction.
1.4.5
Bande passante et fréquence de coupure
Puisque ε̃ et µ varient avec ω, un même milieu peut, en fonction de valeur de la fréquence, correspondre à une onde électromagnétique de l’un ou l’autre des trois types précédents.
Un domaine de fréquences pour lequel les ondes sont progressives constitue une bande passante
(figure 1.4.1). Elle est bornée par des fréquences de coupure, au-delà desquelles la propagation cesse,
et l’onde prend un caractère évanescent. C’est pourquoi la recherche des fréquences de coupure est
essentielle pour fixer les conditions de propagation, dans un milieu, d’un signal électromagnétique
sinusoı̈dal.
Figure 1.4.1 – Dans un milieu dispersif, la courbe ω(k) n’est plus une droite passant par l’origine comme
dans le vide. Dans le cas de notre figure, on note deux bandes passantes : 0 < ω < ω0 et ω > Ω.
1.5
Spectre des ondes électromagnétiques
La figure 1.5.1 donne une vue d’ensemble des rayonnements électromagnétiques. La théorie de la
propagation dans le vide de tous ces rayonnements est identique. Par contre, les dispositifs émetteurs
et récepteurs de ces rayonnement, leurs interactions avec la matière et leurs utilisations pratiques
dépendent de leur fréquence.
Nous détaillons les diverses gammes de fréquences de ces ondes. Les limites des diverses gammes ne
sont pas toujours définies très précisément. Par exemple, certains auteurs considèrent que la gamme
des radiofréquences s’étend jusqu’aux fréquences 1 GHz ou même plus (au lieu de 300 MHz).
1.5.1
Radiofréquences
Les radiofréquences correspondent aux ondes électromagnétiques de fréquences inférieures à 300 MHz
(longueurs d’onde dans le vide plus grandes que 1 m). En principe, la fréquence peut être très voisine
de 0, mais sans être nulle.
Ces ondes sont engendrées par des courants électriques oscillants. On peut les émettre et les
détecter à l’aide d’antennes couplées à des systèmes électroniques.
Les plus basses fréquences observées expérimentalement sont produites lors des aurores boréales
et sont de l’ordre de 0, 001 Hz.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
1.5. SPECTRE DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
13
Figure 1.5.1 – Spectre des ondes électromagnétismes. Types des ondes en fonctions de la fréquence,
de l’énergie E = hν d’un photon ou de la longueur du vide λ = νc . Les spectres thermiques représentent la
répartition du rayonnement d’un corps noir à 6000 K (approximativement la température du Soleil) et à 300 K
(approximativement la température du corps humain).
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1.5. SPECTRE DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Fréquence ν
< 3 Hz
3 − 30 Hz
30 − 300 Hz
0.3 − 3 kHz
3 − 30 kHz
30 − 300 kHz
0.3 − 3 MHz
3 − 30 MHz
30 − 300 MHz
Longueur d’onde λ
> 100 Mm
10 − 100 Mm
1 − 10 Mm
0.1 − 1 Mm
10 − 100 km
1 − 10 km
0.11 km
10 − 100 m
1 − 10 m
14
Bande
ELF (Extremely Low Frequency)
SLF (Super Low Frequency)
ULF (Ultra Low Frequency)
VLF (Very Low Frequency)
LF (Low Frequency)
MF (Medium Frequency)
HF (High Frequency)
VHF (Very High Frequency)
Table 1.5.1 – Spectre des radiofréquences
Citons quelques applications de ces ondes (voir le tableau (1.5.1)) : détection des métaux (ELF),
communications avec les sous-marins (ELF, SLF), aide à la navigation (ULF, VLF, LF), radio en modulation d’amplitude en grandes ondes (LF), ondes moyennes (MF) et ondes courtes (HF), téléphone
(HF, VHF), CB (citizen-band), radio en modulation de fréquence (VHF), télévision (VHF), Communications de la police et de l’armée.
1.5.2
Hyper-fréquence ou micro-ondes
Les ondes électromagnétiques hyperfréquences (ou micro-ondes) correspondent aux fréquences de
300 MHz à 1 THz. Ces ondes sont aussi appelées ondes sub-millimétriques, millimétriques, centimétriques et décimétriques suivant leur longueur d’onde dans le vide.
On peut émettre et détecter ces ondes à l’aide d’antennes couplées à des systèmes électroniques,
mais elles correspondent aussi à des transitions entre niveaux de rotation des molécules. Ainsi, la
molécule d’eau absorbe très fortement la fréquence 2.45 GHz, ce qui est mis en application dans les
fours à micro-ondes. L’atome d’hydrogène présente une raie à la fréquence 1.42 GHz (λ = 21 cm) très
intéressante pour l’astrophysique.
Les hyperfréquences peuvent facilement être canalisées dans des guides d’ondes (lignes coaxiales,
microrubans, guides métalliques creux, . . . ) pour éviter les pertes dans le transport du signal ou de
l’énergie.
Elles ont un très large domaine d’applications (voir le tableau (1.5.2)) : télécommunications (satellites, GPS, GSM), télévision (UHF), détection à distance (radars), horloge atomique, météorologie, astronomie, accélérateurs de particules (cyclotrons, synchrotrons), plasmas (chauffage), applications industrielles (chauffage, séchage, polymérisation, vulcanisation du caoutchouc, traitement des déchets)
et domestiques (fours micro-ondes), . . .
1.5.3
Infrarouge
Les ondes infrarouges ont des fréquences de 3 × 1011 à 3.8 × 1014 Hz (en longueurs d’onde dans le
vide : 1 mm à 780 nm). Elles sont émises en grande quantité par les corps chauds et lors de transitions
entre niveaux de vibration des molécules. Environ la moitié de l’énergie émise par le soleil l’est dans
l’infrarouge et une lampe à incandescence émet beaucoup plus d’infrarouges que de lumière visible.
Les corps à la température ordinaire émettent également ces radiations, même dans le noir, ce qui
permet des applications comme la vision nocturne de certains animaux, les lunettes infrarouges, les
satellites espions, le guidage des missiles par infrarouge.
On peut aussi construire des lampes et des lasers (laser à CO2 , diodes laser, . . . ) pour produire
des ondes infrarouges. Pour les détecter, on peut les transformer en chaleur (bolomètres) ou électricité
(photodiodes). Il existe aussi des films photographiques sensibles dans l’infrarouge proche (3000 nm
à 780 nm).
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1.5. SPECTRE DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Fréquence ν
0.3 − 3 GHz
1 − 2 GHz
2 − 4 GHz
3 − 30 GHz
4 − 8 GHz
8 − 12 GHz
12 − 18 GHz
18 − 27 GHz
30 − 300 GHz
27 − 40 GHz
40 − 60 GHz
60 − 80 GHz
80 − 100 GHz
0.3 − 1 THz
Longueur d’onde λ
10 − 100 cm
1 − 10 cm
1 − 10 mm
0.3 − 1 mm
15
Bande
UHF (Ultra High Frequency)
Bande L
Bande S
SHF (Super High Frequency)
Bande C
Bande X
Bande Ku
Bande K
EHF (Extremely High Frequency)
Bande Kα
Bande U
Bande V
Bande W
Sub-milimétrique
Table 1.5.2 – Spectre des hyperfréquences ou micro-ondes
Sur le plan industriel, les cameras thermographiques sont très utiles en maintenance prédictive
et en maintenance non destructive.
1.5.4
Lumière visible
La lumière visible est formée d’ondes électromagnétiques dans la gamme de fréquences 3.8 × 1014 −
7.7 × 1014 Hz (en longueurs d’onde dans le vide : 780 − 390 nm). Cette gamme est définie par les
limites de sensibilité de l’oeil.
La lumière visible est émise par les corps très chauds (lampes, soleil), par des transitions entre
niveaux d’atomes et molécules, par rayonnement synchrotron (une particule chargée en mouvement
circulaire uniforme émet des ondes électromagnétiques ; dans un synchrotron, le mouvement des
électrons ou protons émet des ondes allant de l’infrarouge aux rayons X).
La lumière visible peut être détectée par des films photographiques, des dispositifs photoélectriques
qui la transforme en signal électrique, par l’oeil.
1.5.5
Ultraviolet
Les ondes ultraviolettes ont des fréquences de 7.7 × 1014 − 3 × 1016 Hz (en longueurs d’onde dans le
vide : 390 nm à 10 nm).
Ces radiations sont émises par les corps très chauds. Les ultraviolets émis par le soleil sont
en grande partie absorbés par l’ozone O3 de l’atmosphère. Elles correspondent également à des
transitions entre niveaux d’atomes, molécules et ions.
On peut en produire à l’aide de lampes (lumière noire), de lasers et par rayonnement synchrotron.
Il existe des films photographiques sensibles dans l’ultraviolet.
Applications : astrophysique, stérilisation des aliments, bronzage.
1.5.6
Rayons X
Les rayons X ont été découverts par Wilhelm Conrad Röntgen en 1895. Ils correspondent à des
photons d’énergie allant de 100 eV à 0.2 MeV (fréquences de 2.4 × 1016 Hz à 5 × 1019 Hz, longueurs
d’onde dans le vide : 12 nm à 6 pm). Ils correspondent à des transitions faisant intervenir les couches
électroniques internes des atomes.
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1.5. SPECTRE DES ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
16
On peut en produire par rayonnement de freinage (bremsstrahlung : des électrons lancés à grande
vitesse sur une plaque de cuivre sont freinés brutalement et émettent des rayons X) et par rayonnement synchrotron.
Applications : radiographie médicale et industrielle, radiothérapie, astrophysique.
1.5.7
Rayons gamma
Les rayons gamma correspondent à des photons d’énergie au dessus de 10 keV (fréquences supérieures
à 2.4 × 1018 Hz, longueurs d’onde dans le vide inférieures à 1 Å). Ils correspondent à des transitions
faisant intervenir les noyaux radioactifs. Le rayonnement gamma présent dans l’univers arrive sur
Terre dans le rayonnement cosmique. La longueur d’onde étant très petite, il est difficile d’observer
les propriétés ondulatoires de ce rayonnement. On observe le plus souvent des effets corpusculaires
(collisions des photons gamma avec d’autres particules).
Applications : traitement du cancer, physique des particules, astrophysique.
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CHAPITRE
2
PROPAGATION DANS LES MILIEUX LINÉAIRES
Sommaire
2.1
Polarisabilité
2.2
Modèle de Drude
2.3
Plasmas
2.4
Conducteurs
2.5
Anisotropie
Objectifs : Étudier les principales caractéristiques de la propagation des ondes électromagnétiques
dans un milieu linéaire et isotrope caractérisé par une constante diélectrique ε(ω) qui dépend de la
fréquence. Cette dépendance est la cause de la dispersion d’un paquet d’onde non monochromatique. L’étude se fera à travers un modèle classique simple pour la dépendance en fréquence de la
constante diélectrique dans divers matériaux : le modèle de Drude qui permettra de dégager certaines
caractéristiques essentielles pour les gaz, les liquides, les métaux et les plasmas.
2.1
Polarisabilité
La plupart des atomes ou molécules ne présentent pas spontanément de moment dipolaire électrique
(polarisation naturelle), à l’instar de la molécule d’eau, car le barycentre des charges positives coı̈ncide
avec celui des charge négatives. Il paraı̂t assez naturel que, dans la plupart des milieux, les polarisations électriques ou magnétiques répondent aux champs appliqués : c’est le phénomène de polarisation induite (voir la figure 2.1.1). De façon très générale, on doit pouvoir, avec un modèle
microscopique du milieu, écrire les densités de polarisation en fonction des champs. Si les champs
appliqués ne sont pas trop grand, cette relation est à priori linéaire. Dans la plupart des matériaux,
à l’exception notable des ferromagnétiques et des ferroélectriques, les polarisations induites s’annulent en l’absence de champ. On doit donc pouvoir écrire une relation linéaire homogène entre les
polarisations et les champs. Cette relation permet de définir la notion de susceptibilité ou réponse
linéaire χ du matériau.
Ainsi, dans un matériau diélectrique linéaire homogène et isotrope, le champ électrique E appliqué
engendre une polarisation P telle que
P = ε0 χe E.
(2.1.1)
17
2.2. MODÈLE DE DRUDE
18
Figure 2.1.1 – (a). En l’absence de champ extérieur, le barycentre des charges positives (le noyau
atomique) coı̈ncide avec celui des charges négatives (le nuage électronique). (b). En présence d’un champ
électrique externe E, la force électrique déplace les barycentres dans des directions opposées. Le champ crée
un dipôle électrostatique interne à l’atome.
Cette polarisation est toujours orientée dans le sens du champ et il en résulte que χe est un nombre
positif sans dimension qui décrit la réaction macroscopique du milieu matériel au champ électrique.
La relation (1.2.19a) conduit à
D = ε0 E + P = ε0 (1 + χe )E,
(2.1.2)
soit
D = εE,
(2.1.3a)
ε = ε0 (1 + χe )
(2.1.3b)
εr = 1 + χe .
(2.1.3c)
ε est la permittivité du matériau et εr est la permittivité relative ou constante diélectrique
du matériau. Le tableau (2.1.1) donne les valeurs de la constante diélectrique εr et de la susceptibilité
électrique χe de quelques matériaux. Il est important de préciser la température et, surtout pour les
gaz, la pression.
Gaz (20 ◦ C −1 atm)
Air sec
Gaz carbonique
Oxygène
106 χe
537
921
495
Liquides (20 ◦ C)
Eau
Éthanol
Acétone
εr
80.36
25.1
21.2
Solides
Diamant
Nylon
Verres
εr
5.5
3.5
4−7
Table 2.1.1 – Susceptibilités et constantes diélectriques statiques de quelques fluides et solides.
2.2
Modèle de Drude
Lorsque les corps sont soumis à des champs électriques variables, la polarisation peut ne pas arriver à
suivre instantanément le champ électrique. Cela se traduit par une constante diélectrique dépendant
de la fréquence - c’est le phénomène de dispersion - et par une absorption et dissipation d’énergie
dans le milieu. Le modèle de Drude nous permet d’obtenir la forme générale de cette dépendance en
fréquence de la constante diélectrique, en considérant l’atome comme un oscillateur ou comme un
ensemble d’oscillateurs. Dans ce modèle, l’électron (ou le nuage électronique) est lié harmoniquement
au noyau, avec une fréquence caractéristique ω0 . En fait, pour une espèce donnée d’atomes, on doit
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2.2. MODÈLE DE DRUDE
19
supposer qu’il existe plusieurs oscillateurs indépendants, un pour chaque fréquence caractéristique
ωa de l’atome associée à une transition possible d’énergie ~ωa .
2.2.1
Constante diélectrique
Nous désirons étudier la réponse d’un tel oscillateur à l’imposition
d’un champ électrique externe oscillant à une fréquence ω,
E = E 0 ei(kr−ωt) .
(2.2.1)
Supposons que ce champ a une polarisation linéaire et qu’il exerce
une force −eE qui subit une force de rappel −mω02 r. On suppose
en outre qu’il existe une force de friction (ou d’amortissement ou de
Figure 2.2.1 – Modèle de freinage) proportionnelle à la vitesse de l’électron, −mγ ṙ, avec γ le
l’électron élastiquement lié
coefficient de friction par unité de masse.
L’équation du mouvement pour l’électron oscillant est donc
mr̈ = −mγ ṙ − mω02 r − eE,
ou
r̈ + γ ṙ + ω02 r = −
e
E.
m
(2.2.2)
(2.2.3)
La solution du régime permanent est de la forme r(t) = r 0 e−iωt . En remarquant que
ṙ = −iωr, r̈ = −ω 2 r,
(2.2.4)
et en substituant dans l’équation du mouvement, on obtient
r0 = −
e
E0
.
2
m ω0 − ω 2 − iγω
(2.2.5)
Le mouvement oscillant de l’électron équivaut à l’induction d’un dipôle oscillant de−iωt où
d = −er 0 =
e2
E0
.
m ω02 − ω 2 − iγω
(2.2.6)
Supposons maintenant qu’un milieu comporte ρ molécules par unité de volume, N oscillateurs par
molécule et qu’une fraction1 fa de ces oscillateurs ait une fréquence caractéristique ωa et un amortissement γa . La polarisation P étant le moment dipolaire par unité de volume, on conclut que
P =
X
X
fa
ρe2
EN
,
fa = 1.
2
2
m
a ωa − ω − iωγa
a
(2.2.7)
La susceptibilité électrique est alors, en vertu de l’Eq. (2.1.1)
χe =
ρe2
Γ(ω),
ε0 m
Γ(ω) = N
X
2
a ωa
(2.2.8a)
fa
,
− ω 2 − iωγa
(2.2.8b)
et la constante diélectrique est, en vertu de l’Eq. (2.1.3c)
εr (ω) = 1 +
ρe2
Γ(ω).
ε0 m
(2.2.9)
Comme Γ(ω) est complexe, la constante diélectrique l’est aussi et un déphasage est possible entre E
et D.
1
fa , appelé force d’oscillateur, précise le poids respectif de la contribution de chaque terme de la somme (2.2.7) et
est calculable lorsqu’on connaı̂t les fonctions d’onde de l’état fondamental et des états excités de l’atome.
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2.2. MODÈLE DE DRUDE
2.2.2
20
Indice de réfraction
Dans les gaz la densité est suffisamment petite pour que εr − 1 soit très petit. On peut alors faire
l’approximation
q
ρe2
ρe2
εr (ω) ' 1 +
Γ(ω) = 1 +
(Γ0 (ω) + iΓ00 (ω)),
(2.2.10a)
2ε0 m
2ε0 m
avec
fa (ωa2 − ω 2 )
,
2
2 2
2 2
a (ωa − ω ) + ω γa
X
fa ωγa
.
Γ00 (ω) = N
2 − ω 2 )2 + ω 2 γ 2
(ω
a
a
a
Γ0 (ω) = N
X
(2.2.10b)
(2.2.10c)
Examinons la forme de (2.2.10) pour un seul type d’oscillateur avec (ω0 , γ). La partie réelle de
l’indice de réfraction tend vers la valeur
n(0) = 1 +
ρe2
2ε0 mω02
(2.2.11)
dn
quand ω → 0. Elle augmente ensuite jusqu’à ω = ω1 < ω0 , fréquence à laquelle dω
= 0 (figure
dn
2.2.2). Dans cette plage de fréquence la dispersion est dite normale, parce que dω > 0. La lumière
bleue est alors réfractée davantage que la lumière rouge (ωb < ωr ) et la partie imaginaire n00 (indice
d’extinction) est relativement petite. Cette partie imaginaire toujours positive, augmente de zéro vers
un maximum à ω = ω0 , pour ensuite diminuer. La partie réelle est égale à 1 à ω = ω0 , pour ensuite
être < 1. Une partie réelle < 1 signifie
que lavitesse de phase est plus grande que c. La partie réelle
dn
atteint un minimum à ω = ω2 > ω0 dω
= 0 , pour ensuite remonter vers 1 (n2 = 1). Dans la plage
dn
de fréquence ω1 < ω < ω2 la dispersion est dite anormale, parce que dω
< 0. La vitesse de phase
dv
augmente alors avec la fréquence ( dω > 0) et l’absorption peut être importante. Le milieu est alors
relativement opaque.
Figure 2.2.2 – Variation de ε0r (indice de réfraction) et ε00r (indice d’extinction) au voisinage de la fréquence
ω.
Dans les domaines d’application des diélectriques, il est courant d’écrire la permittivité relative
sous la forme
ε00
εr = ε0r 1 + i r0 = ε0r + iε0r tan θp .
(2.2.12)
εr
La quantité ε0r tan θp est appelée facteur de perte car il caractérise l’aptitude du milieu matériel à
absorber l’énergie électromagnétique, en général convertie en énergie thermique. L’angle θp est, lui,
appelé l’angle de perte.
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2.3. PLASMAS
21
Grâce à un facteur de perte élevé (ε0r tan θp ' 12 à une fréquence ν = 2 450 MHz), l’eau absorbe
particulièrement bien l’énergie dans le domaine des micro-ondes. C’est à la suite de travaux sur le
radar micro-ondes pendant la seconde guerre mondiale que des ingénieurs américains eurent l’idée
d’utiliser cette technologie pour chauffer les aliments, particulièrement riches en eau.
2.2.3
Relation de Clausius-Mossoti
La constante diélectrique (2.2.9) n’est applicable qu’aux milieux relativement dilués, tels les gaz, pour
la raison qu’on a supposé que le champ local E ressenti par l’électron était le même que le champ
macroscopique traversant le milieu. Ceci est valable pour les gaz, car l’effet de la polarisation d’une
molécule sur sa distante voisine est négligeable. Dans les liquides ou les solides, il faut cependant
distinguer E ` , le champ local en un point précis, du champ macroscopique E.
Considérons par exemple un liquide, c’est-à-dire un milieu isotrope. Prélevons de ce liquide une
sphère microscopique qui contient, supposons, une seule molécule en moyenne. Si P est la polarisation
du milieu, on démontre que le champ local à l’intérieur de cette sphère est
E` = E +
P
,
3ε0
(2.2.13)
parfois appelé champ de Lorentz. C’est ce champ qui est appliqué aux électrons de la molécule qui
s’y trouve. La relation (2.2.7) doit alors être remplacée par la relation
P
P = E+
3ε0
ρe2
Γ(ω).
m
(2.2.14)
Sachant que P = ε0 (εr − 1)E, on en déduit que
εr − 1
1 ρe2
=
Γ(ω),
εr + 2
3ε0 m
(2.2.15)
qui est la relation de Clausius-Mossoti. Elle établit le lien entre la grandeur microscopique Γ(ω) et la grandeur macroscopique εr . En fonction de l’indice de réfraction
√
n = εr l’équation de Clausius-Mossoti prend la forme
n2 − 1
1 ρe2
=
Γ(ω),
n2 + 2
3ε0 m
(2.2.16)
et porte alors le nom de relation de Lorentz-Lorenz.
Comme le membre de gauche ne dépend pas de la densité moyenne ρ mais uniquement du type
de molécule impliqué et de la fréquence, il est indépendant de la température2 . La relation (2.2.16)
permet de déduire la dépendance en température de l’indice de réfraction d’un liquide (ou d’un gaz)
si on sait comment la densité dépend de la température.
2.3
2.3.1
Plasmas
Fréquence de plasma
Un plasma (physique) est un gaz partiellement ou totalement ionisé. Ce type de milieu constitue le
quatrième état de la matière après l’état solide, l’état liquide et l’état gazeux. Dans un tel milieu les
charges (ions et électrons) ne sont pas liées (ω0 = 0) et l’amortissement est très faible (γ → 0) car
2
Ceci n’est strictement vrai que si les molécules sont non polaires, car seule la polarisabilité électronique est considérée
ici. Cependant, aux fréquences optiques, seule la contribution électronique est importante de toute manière.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
2.3. PLASMAS
22
il provient surtout du rayonnement d’ondes électromagnétiques par les particules chargées. Ainsi, en
vertu du résultat (2.2.9), la constante diélectrique
ωp2
ρe2
εr = 1 −
= 1 − 2,
ε0 mω 2
ω
(2.3.1)
où on a défini la fréquence de plasma
ωp2 =
ω2
ρe2
.
ε0 m
(2.3.2)
La relation de dispersion d’une onde électromagnétique dans un plasma est, en vertu de la relation
2 2
= c εkr et de (2.3.1,)
!
ωp2
ω2
2
2
2 2
2
ω = ωp + c k , ou k = 2 1 − 2 .
(2.3.3)
c
ω
• Si ω > ωp , la constante diélectrique εr est positive et l’indice de réfraction est réel : il y a
propagation non dispersive.
• Si, au contraire, ω < ωp , la constante diélectrique εr est réelle négative et l’indice de réfraction
est imaginaire pur, ce qui signifie une extinction de l’onde (figure 2.3.1). Autrement dit, si
ω < ωp , la fréquence de l’onde est suffisamment petite pour laisser au plasma le temps de réagir
face au champ E de l’onde incidente en se réarrangeant pour annuler le champ total E tot dans
le milieu. L’onde est alors amortie dans le plasma et complètement réfléchie.
Un gaz ionisé agit donc comme un filtre passe-haut : il n’autorise pas la propagation d’ondes de
fréquences inférieures à la fréquence plasma.
Figure 2.3.1 – (a). Variation de εr du plasma en fonction de la fréquence ω. (b). Relation de dispersion
du plasma.
La vitesse de phase vp est donnée par
vp =
ω
ω
= cq
> 1,
k
ω2 − ω2
(2.3.4)
p
alors que la vitesse de groupe vg est plutôt donnée par
vg =
dω
k
c2
= c2 = 2 < 1.
dk
ω
vp
(2.3.5)
L’énergie et l’information se propagent à la vitesse de groupe qui est inférieur à la célérité
de la lumière dans le vide.
À ce stade une question importante se pose : les électrons du plasma constituent-ils une charge liée
ou une charge libre, du point de vue des champs macroscopiques ? Nous les avons traités ici comme
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2.3. PLASMAS
23
s’ils constituaient une charge libre, parce que nous avons représenté leur effet par une constante
diélectrique. En fait, la distinction entre charge liée et libre est largement matière de convention. Il
est pratique de considérer la charge d’un plasma comme étant liée et d’appliquer à ces milieux le
formalisme des champs macroscopiques et de la constante diélectrique. De toute façon, à fréquence non
nulle, les charges en question ne se déplacent pas sur de grandes distances et sont donc effectivement
liées. L’exception se produit notablement à fréquence nulle, où traiter une charge physiquement
libre comme si elle était liée mène à une constante diélectrique infinie. Cette remarque s’applique
particulièrement aux conducteurs (voir Section 2.4).
2.3.2
Oscillations libres d’un plasma
La fréquence ωp est la fréquence à laquelle le plasma peut avoir des oscillations collectives libres. Pour
s’en convaincre, considérons une portion de plasma affectant la forme d’une plaque d’épaisseur a et
d’aire A a2 . Supposons que le nuage d’électrons dans le plasma est déplacé collectivement d’une
distance x par rapport au nuage d’ions (x a). Comme le plasma est neutre au total, l’effet de ce
déplacement est de créer une densité surfacique de charge ρs = ±eρx de chaque côté de la plaque. Le
champ électrique induit entre les plaques est alors E = ρε0s et la force de rappel exercée sur chaque
électron est (on considère les composantes suivant x)
F = −eE = −
ρe2
x = −mωp2 x.
ε0
(2.3.6)
Cette force étant linéaire en x, le mouvement associé est donc harmonique, avec fréquence ω = ωp .
2.3.3
Plasmons
Dans la théorie quantique, cette oscillation collective d’un plasma à la fréquence ωp est quantifiée
comme pour un oscillateur harmonique. L’énergie associée à une telle oscillation est supérieure à
celle de l’état fondamental par un multiple entier de ~ω. Ces oscillations quantifiées sont appelées
plasmons, de la même façon qu’une onde sonore dans un solide est constituée de phonons. On
peut détecter ces excitations de plasma quand des électrons d’énergie modérée (102 − 103 eV) passent
au travers d’un film métallique. On constate alors que l’énergie perdue par l’électron au passage est
un multiple entier de ~ω ; l’électron a alors cédé une partie de son énergie en créant au passage un
nombre entier de plasmons.
2.3.4
Ionosphère
L’ionosphère est une couche atmosphérique ionisée située entre 60 et 800 km d’altitude. On peut donc
lui appliquer les considérations ci-dessus sur les plasmas. La densité ρ étant beaucoup plus faible que
pour les métaux, la fréquence plasma ωp est beaucoup plus petite, de sorte que la lumière visible est
transmise sans problèmes, alors que les ondes radio (basses fréquences, ω < ωp ) sont atténuées et
par conséquent réfléchies dans l’atmosphère. Ce principe est utilisé dans la communication radio : les
ondes radio peuvent, par réflexions multiples sur l’ionosphère et la surface terrestre (et les océans), se
propager jusqu’aux antipodes. Pour communiquer avec les satellites, il faut plutôt utiliser des ondes
dites courtes, qui auront une fréquence supérieure à ωp et pourront donc traverser l’ionosphère. En
pratique, l’angle d’incidence de l’onde sur l’ionosphère est important : même si ω > ωp , il peut y
avoir réflexion totale interne de l’onde vers la Terre pour un angle d’incidence suffisamment grand.
D’autre part, la densité d’électrons libre varie selon l’activité solaire et surtout selon l’heure de la
journée. Les détails de la propagation et de la réflexion des ondes radios par l’ionosphère peuvent
donc être relativement compliqués.
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2.4. CONDUCTEURS
2.4
2.4.1
24
Conducteurs
Dispersion dans les conducteurs
Un conducteur est caractérisé par la présence d’électrons libres. D’après le modèle de Drude, cela
correspond au cas d’une fréquence de résonance nulle (ωa = 0). A la différence d’un plasma cependant,
on ne peut négliger les facteurs d’amortissement. Soit la densité ρ d’électrons libres dans le milieu,
qui peut aussi contenir des électrons liés. Si on applique le résultat (2.2.9) à ce cas, on trouve
εr = ε −
ωp2
ρe2
1
=
ε
−
.
ε0 m ω 2 + iγω
ω 2 + iγω
(2.4.1)
où ε représente la contribution des électrons liés (ωa > 0), pour laquelle on a négligé les facteurs
d’amortissement. Ici γ est la constante d’amortissement pour les électrons libres (directement liée à
la résistivité) et ωp est la fréquence plasma associée à la densité d’électrons libres. Notons que la distinction entre conducteur et diélectrique n’a pleinement de sens qu’à fréquence nulle (les diélectriques
étant alors des isolants). Pour des fréquences non nulles, les phénomènes de conduction et de polarisation sont semblables, puisque tous les deux résultent du même mouvement périodique des électrons. La
caractéristique d’un conducteur est simplement que la partie imaginaire de la constante diélectrique
diverge quand ω → 0.
Expliquons maintenant la relation qui existe entre εr et la conductivité du milieu. Revenons à
l’équation du mouvement d’un électron libre en présence d’un champ oscillant
mr̈ + mγ ṙ = −eE 0 e−iωt .
(2.4.2)
La solution s’exprime en fonction de la vitesse de l’électron
ṙ(ω) = −
e
m
γ − iω
E.
(2.4.3)
Si on suppose que tous les électrons du conducteur réagissent de la même façon au champ appliqué
et que la densité d’électrons est ρ, La densité de courant est alors
J (ω) = −ρeṙ =
ρe2
m
γ − iω
E.
(2.4.4)
Par définition, la conductivité est la constante de proportionnalité entre la densité de courant
et le champ électrique appliqué. On définit alors une conductivité complexe
σ(ω) =
ρe2
m
γ − iω
=
ωp2 ε0
σ0
=
,
γ − iω
1 − i ωγ
(2.4.5)
ω2 ε
avec σ0 = pγ 0 la conductivité dc (direct current ou à fréquence nulle). La relation J (ω) = σ(ω)E,
où σ(ω) est en général complexe, signifie que le courant n’est pas en phase avec le champ électrique
appliqué.
À des fréquences petites en comparaison à γ, à savoir le domaine infrarouge ou moins, pour la plupart des métaux, on peut utiliser l’approximation σ ≈ σ0 . Dans les bons conducteurs, l’amortissement
ω ε
γ est considérablement plus faible que la fréquence plasma ωp . Comme ωσ0p = pγ 0 , la conductivité dc
σ0 est plus grande que la fréquence plasma : σ0 ωp . Dans le cadre du modèle de Drude, il n’y a
pas de différence profonde entre un plasma et un conducteur : tout dépend du régime de fréquence
considéré.
• Si ω γ, on se trouve en présence d’un authentique plasma.
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2.4. CONDUCTEURS
25
• Si, au contraire, ω γ, alors on se trouve en plein comportement métallique et on peut négliger
la dépendance en fréquence de la conductivité, c’est-à-dire se limiter à la conductivité dc. Dans
cette situation dite de basse fréquence, on peut écrire la constante diélectrique comme
εr (ω) = ε + i
σ
,
ε0 ω
(2.4.6)
σ et ε sont réels. On se trouve alors à négliger l’absorption autre que par les électrons libres.
Cette forme de la conductivité sera souvent employée.
Remarquons qu’il serait illusoire d’espérer comprendre l’origine de la conductivité des métaux
à l’aide du seul modèle de Drude. Ce modèle est purement classique, alors qu’un métal peut être
considéré comme un gaz d’électrons très dégénéré, qui ne saurait donc être décrit sans l’aide de la
mécanique quantique. En somme, le modèle de Drude permet de paramétriser les propriétés d’un
conducteur à l’aide des constantes γ et ωp , sans que l’on puisse interpréter littéralement γ comme
une constante de frottement. En fait, le facteur d’amortissement γ représente tout ce qui peut altérer
la course d’un électron dans un solide : les impuretés du cristal, les vibrations du cristal (phonons)
et les autres électrons3 .
2.4.2
Indice de réfraction complexe dans un conducteur
Calculons maintenant l’indice de réfraction complexe n(ω) = n0 (1 + iκ), sans utiliser l’approximation
ω γ, de sorte que le résultat sera valable même dans le domaine optique. On pose εr (ω) = n2 (ω) =
n02 (1 − κ2 + 2iκ) avec εr donnée par (2.4.1). En identifiant les partie réelle et imaginaire, on trouve
ωp2
ωc2 − γ 2
=
ε
−
,
ω2 + γ 2
ω2 + γ 2
ωp2
γ
γ ωc2 − γ 2
n02 κ =
=
,
2ω ω 2 + γ 2
2ω ω 2 + γ 2
n02 (1 − κ2 ) = ε −
(2.4.7a)
(2.4.7b)
avec la fréquence critique
ωc2 = ωp2 − γ 2 .
(2.4.8)
On voit que κ > 1 si ω < ωc et vice-versa (gardons à l’esprit qu’en pratique, γ ωc ≈ ω). Le
milieu présente donc une forte atténuation aux basses fréquences, mais est relativement transparent
aux fréquences élevées (il se comporte alors comme un plasma avec ω > ωp ). Pour les métaux alcalins,
cette fréquence critique se situe dans l’ultraviolet.
2.4.3
Propagation dans un conducteur
Rappelons qu’en tenant compte de la perméabilité magnétique, la relation de dispersion dans un
2 2
milieu linéaire prend la forme ω 2 = µc rkεr . Dans un bon conducteur, à une fréquence assez basse
(ω σ), on néglige la partie réelle de la constante diélectrique (2.4.6) et on a
k2 =
L’indice de réfraction est alors, sachant que
s
n(ω) =
√
ω 2 iµr σ
.
c2 ε0 ω
(2.4.9)
2i = 1 + i,
iµr σ
=
ε0 ω
r
µr σ
(1 + i).
2ε0 ω
(2.4.10)
3
Contrairement à l’intuition classique, un électron se déplaçant dans un réseau cristallin d’ions parfaitement régulier
ne rencontre aucune résistance, car son caractère ondulatoire lui fait traverser ce réseau sans altération de sa quantité
de mouvement (ce sont les imperfections et vibrations du réseau qui sont la source de la résistance). Ce résultat est
l’essence du théorème de Bloch et est le point de départ d’une compréhension sommaire des propriétés électroniques
des métaux (voir le cours de Théorie Quantique).
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2.4. CONDUCTEURS
26
Le nombre d’onde associé à la fréquence (réelle) ω est alors
k=
1
ω
n(ω) =
c
c
1+i
µr σω
(1 + i) =
,
2ε0
δ
r
(2.4.11)
où on a défini la profondeur de pénétration ou profondeur de l’effet de peau
s
δ=c
2ε0
.
µr σω
(2.4.12)
Le facteur exponentiel de propagation de l’onde dans le conducteur, disons, dans la direction x,
est alors
ei(kx−iωt) = e−x/δ ei(x/δ−ωt) .
(2.4.13)
L’onde est donc amortie exponentiellement sur une distance δ (d’où l’appellation profondeur
de l’effet de peau). δ est la longueur caractéristique d’amortissement du champ électrique dans le
conducteur et varie en gros comme la racine carrée inverse de la fréquence. Un courant de haute
fréquence se propageant dans un fil sera donc confiné à la surface de ce dernier4 , alors qu’un courant de
basse fréquence en remplira tout l’intérieur. À 60 Hz, la longueur de pénétration des bons conducteurs
est d’une fraction de centimètre et augmente notablement la résistance d’une ligne de transmission
à haute tension, en comparaison de la transmission dc sur la même ligne. Dans la technologie microonde, la petitesse de la longueur de pénétration permet d’utiliser des conducteurs plutôt médiocres,
quitte à vaporiser sur les surfaces une mince couche d’un excellent conducteur, car la conduction sera
limitée à cette dernière.
Si on considère une plaque d’aluminium d’épaisseur x = 1 mm et de conductivité σ = 3.5 ×
107 S m−1 , l’évolution du facteur d’amortissement en fonction de la fréquence, avec ω < ωp , est
donnée par le tableau 2.4.1. On y note que les ondes radio FM et les ondes typiques des téléphones
portables (GSM) sont très vite arrêtées.
Type d’ondes
LW
FM
GSM
ω(MHz)
0.2
100
1000
δ(µm)
190
8.5
2.7
ex/δ
5 × 10−3
6 × 10−52
< 10−99
Table 2.4.1 – Évolution du facteur d’amortissement en fonction de la fréquence
En d’autres termes, ce qui peut être vu comme un inconvénient pour qui veut écouter la radio
ou communiquer avec son téléphone portable en toute circonstance, est mis à profit pour isoler les
appareillages électriques des rayonnements électromagnétiques extérieurs.
Le tableau 2.4.2 donne les valeurs de la conductivité de quelques substances à 295 K et l’épaisseur
de pénétration.
Puisque B = n(ω)k × E, le champ magnétique est forcément transverse, et orthogonal au champ
électrique. Cependant, puisque n(ω) est complexe, il y a différence de phase entre les champs électrique
et magnétique. D’après l’équation (2.4.10), l’argument de l’indice de réfraction est π4 , et les champs
électrique et magnétique sont donc déphasés de π4 . On voit facilement qu’à un endroit donné, le
champ électrique s’annule un huitième de période avant le champ magnétique, alors qu’à un instant
donné, il s’annule un huitième de longueur d’onde après le champ magnétique. Les deux champs sont
aussi très différents en grandeur, car
r
µr σ
|B| = |n(ω)||E| =
|E|,
(2.4.14)
ε0 ω
4
Le passage du courant uniquement en surface s’accompagne d’une augmentation de la puissance dissipée par effet
Joule. Ainsi, l’effet de peau explique les limitations techniques de la miniaturisation en haute fréquence, puisque la
puissance thermique à évacuer augmente avec ω.
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2.5. ANISOTROPIE
27
Substance
Argent
Cuivre
Or
Aluminium
Eau de mer
σ(S m−1 )
5.55 × 107
5.22 × 107
4.10 × 107
3.35 × 107
3.6
c
σ (nm)
0.54
0.57
0.73
0.89
8.3 × 10−3
δ à 60 Hz (cm)
0.83
0.85
0.96
1.06
32 m
Table 2.4.2 – Conductivité de quelques substances à 295 K
et |n(ω)| 1 dans le régime de fréquences considéré. Le champ électrique de l’onde est donc beaucoup
plus faible que le champ magnétique.
2.5
Anisotropie
Le vecteur induction électrique
D = [ε]E,
(2.5.1)
définit la direction de propagation d’une onde. [ε] est la matrice du tenseur permittivité diélectrique
qui caractérise le milieu de propagation.
• Dans un milieu isotrope, [ε] = ε[I] où [I] est la matrice identité. Dans ce cas, D et E sont
proportionnels et la direction de polarisation de l’onde est donné par la direction du champ D
ou E.
• Dans un milieu anisotrope, les éléments non-diagonaux de la matrice [ε] sont non nuls. La
direction de polarisation de l’onde est donné par la direction du champ D qui est différente de
celle de E (voir la figure 2.5.1).
Figure 2.5.1 – Plan d’onde et plan de polarisation dans un milieu anisotrope
Considérons un champ harmonique s = s0 ei(k·r−ωt) dans un milieu anisotrope. On a Di = εij Ej
et Bi = µij Hj . En vertu des équations de MT et MA,
∇ · B = 0 ⇒ ik · B = 0 ⇒ B et H sont transverses,
∂D
⇒ ik × H = −iωD ⇒ D est transverse et D ⊥ H.
∇×H =
∂t
(2.5.2a)
(2.5.2b)
(D, H, k) forme un trièdre directe comme on le voit sur la figure 2.5.1 : le plan contenant D et H
est perpendiculaire à la direction de propagation k (ou vitesse de phase) de l’onde et est appelé plan
d’onde.
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2.5. ANISOTROPIE
28
Le plan contenant D et k et perpendiculaire à H est appelé plan de polarisation.
Puisqu’en vertu de l’équation de MF
∇×E =−
∂B
⇒ ik × E = iωB ⇒ B ⊥ E et H ⊥ E,
∂t
(2.5.3)
le plan contenant E et H est perpendiculaire à la direction de propagation du flux d’énergie S =
E × H (ou vitesse de groupe) de l’onde : le plan contenant E et k est appelé plan de vibration.
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CHAPITRE
3
RÉFLEXION ET RÉFRACTION DES ONDES
ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Sommaire
3.1
Équations de Fresnel
3.2
Ondes stationnaires
Objectifs : Déduire, à travers l’étude de la réflexion et de la réfraction à l’interface de deux
milieux matériels différents, les lois de Descartes de l’optique géométrique, mais aussi les coefficients
de Fresnel donnant les amplitudes relatives des ondes transmises et réfléchies.
3.1
Équations de Fresnel
Figure 3.1.1 – Réflexions et transmissions perpendiculaire et parallèle à l’interface de deux milieux
diélectriques n1 et n2 .
29
3.1. ÉQUATIONS DE FRESNEL
30
Considérons deux milieux linéaires avec constantes diélectriques1 ε1 et ε2 et perméabilités µ1 et
√
√
µ2 séparés par le plan z = 0. Les indices de réfraction sont n1 = ε1 µ1 et n2 = ε2 µ2 . Soit une onde
plane incidente sur l’interface, en provenance du milieu (1). En général, cette onde sera partiellement
réfractée dans l’autre milieu (2) et partiellement réfléchie (figure 3.1.1). Les relations qui existent
entre les ondes incidente, réfractée et réfléchie sont appelées relations ou équations de Fresnel.
Nous les trouverons en appliquant les conditions de continuité appropriées à ces trois ondes : les
quantités E k , D ⊥ , B ⊥ , H k , sont continues à l’interface. Ces conditions aux limites sont appliquées
ici aux cas où aucun courant superficiel libre (Js = 0) ou charge surfacique libre n’existent (ρs = 0).
Notons tout de suite que la perméabilité µ est en pratique égale à l’unité dans tout le domaine
optique. En effet, la réponse magnétique d’un matériau est relativement lente et inexistante à ces
fréquences. Nous conserverons cependant le facteur µ dans ce qui suit, afin que nos conclusions
puissent être applicables à plus basse fréquence, notamment dans le domaine des micro-ondes.
Les champs électriques et magnétiques des trois ondes incidente, réfléchie et réfracté ou transmise
sont
ωi
1
E 0i ei(ki ·r−ωi t) , ki = n1 ,
Z1 k i
c
1
ωr
E r = E 0r ei(kr ·r−ωr t) , H r =
E 0r ei(kr ·r−ωr t) , kr =
n1 ,
Z1 k r
c
1
ωt
E t = E 0t ei(kt ·r−ωt t) , H t =
E 0t ei(kt ·r−ωt t) , kt = n2 ,
Z2 k t
c
E i = E 0i ei(ki ·r−ωi t) , H i =
(3.1.1a)
(3.1.1b)
(3.1.1c)
où on a défini l’impédance caractéristique
µ
Z= =
n
3.1.1
r
µ
.
ε
(3.1.2)
Lois de Descartes
Il est important que les conditions aux limites soient satisfaites partout sur l’interface. Pour ce faire
il faut que les différents champs aient la même périodicité le long de l’interface (c.-à-d. à z = 0).
Autrement dit, les facteurs de phase ei(k·r−ωt) doivent être les mêmes pour les trois ondes à z = 0.
Cette condition se traduit par
ωi = ωr = ωt ,
(3.1.3a)
kix = krx = ktx ,
(3.1.3b)
kiy = kry = kty .
(3.1.3c)
D’après l’équation (3.1.3a) la réflexion et la réfraction se conservent.
Si on choisit l’orientation des axes x et y de manière à ce que kty = 0, ce qui est toujours possible,
on est alors forcé d’admettre que kiy et kry sont également nuls, ce qui signifie que les trois vecteurs
d’ondes kiy , kry et kty sont tous dans le même plan (y = 0). Ce plan, perpendiculaire à l’interface,
est appelé plan d’incidence. On définit alors les angles θi , θr et θt que font respectivement ki , kr
et kt avec ẑ dans le plan d’incidence (figure (3.1.2)). Ce sont respectivement les angles d’incidence,
de réflexion et de réfraction. L’équation (3.1.3c) peut donc s’écrire
ki sin θi = kr sin θr = kt sin θt ,
(3.1.4)
qui signifie que les ondes incidente, réfléchie et réfracté sont dans le plan d’incidence : premières lois de la réflexion et de la réfraction.
1
Pour des raisons de simplicité d’écriture, nous omettons les indices r i.e., εr ≡ ε et µr ≡ µ.
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3.1. ÉQUATIONS DE FRESNEL
31
Comme d’après la relation de dispersion et en vertu de l’équation (3.1.3a),
ki
kr
kt
=
=
,
n1
n1
n2
(3.1.5)
il s’ensuit que
θi = θr ,
(3.1.6a)
n1 sin θi = n2 sin θt .
(3.1.6b)
L’équation (3.1.6a) est la deuxième loi de la réflexion qui stipule que les angles de
réflexion et d’incidence sont égaux, alors que l’équation (3.1.6b) est la deuxième la
loi de la réfraction.
Une onde générale peut être considérée comme une superposition de deux polarisations : une
polarisation linéaire avec E 0 perpendiculaire au plan d’incidence (σ) et une autre avec E 0 parallèle
à ce plan (π). Nous allons traiter ces deux polarisations séparément et résoudre dans chaque cas les
conditions de continuité de (E k , H k ) et (E ⊥ , H ⊥ ) à l’interface.
3.1.2
Polarisation perpendiculaire au plan d’incidence
Les champs électriques des trois ondes sont perpendiculaires au plan d’incidence (figure 3.1.2). La
continuité de E k implique que
E0i + E0r = E0t ,
(3.1.7)
alors que la continuité de H k implique
1
1
(E0i − E0r ) cos θi =
E0 cos θt ,
Z1
Z2 t
ou
E0i − E0r =
Z1 cos θt
E0 .
Z2 cos θi t
(3.1.8)
(3.1.9)
La combinaison des équations (3.1.7) et (3.1.9) donne les coefficients de réflexion et de transmission en polarisation perpendiculaire
E0r
E0i
E0t
E0i
Z2 cos θi − Z1 cos θt
Z2 cos θi + Z1 cos θt
sin(θt − θi )
=
(µ1 = µ2 )
sin(θt + θi )
=
⊥
2Z2 cos θi
Z2 cos θi + Z1 cos θt
2 cos θi sin θt
=
(µ1 = µ2 )
sin(θt + θi )
=
⊥
(3.1.10a)
(3.1.10b)
(3.1.11a)
(3.1.11b)
sin θi
La deuxième ligne de chaque équation est obtenue en utilisant la loi de Descartes, n2 = n1 sin
θt
et les formules d’addition trigonométriques sin(a ± b) = sin a cos b ± cos a sin b.
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3.1. ÉQUATIONS DE FRESNEL
32
Figure 3.1.2 – Orientations des champs dans la
polarisation perpendiculaire (σ) au plan d’incidence
(mode TE).
3.1.3
Figure 3.1.3 – Orientations des champs dans la
polarisation parallèle (π) au plan d’incidence (mode
TM).
Polarisation parallèle au plan d’incidence
Les champs électriques des trois ondes sont maintenant parallèle au plan d’incidence (figure 3.1.3).
Les équations de continuité sont
(E0i − E0r ) cos θi = E0t cos θt ,
1
1
(E0i + E0r ) =
E0 ,
Z1
Z2 t
(3.1.12a)
(3.1.12b)
desquelles ont obtient les coefficients de réflexion et de transmission en polarisation parallèle
E0t
E0i
E0r
E0i
=
Z1 cos θi − Z2 cos θt
Z1 cos θi + Z2 cos θt
(3.1.13a)
=
tan(θt − θi )
(µ1 = µ2 )
tan(θt + θi )
(3.1.13b)
k
=
2Z2 cos θi
Z2 cos θi + Z1 cos θt
(3.1.14a)
=
2 cos θi sin θt
(µ1 = µ2 )
sin (θt + θi ) cos(θt − θi )
(3.1.14b)
k
Les équations (3.1.10), (3.1.11), (3.1.13) et (3.1.14) sont les équations de Fresnel.
3.1.4
Réflectance et transmittance
Réflectance et transmittance ou facteurs de réflexion et transmission sont les quantités
définies par
It
Ir
(3.1.15)
R= , T = ,
Ii
Ii
avec I = hS u i =
c
2
2Z |E0u |
(afin d’alléger les notations). Ainsi,
R⊥ =
Rk =
E0r
E0i
E0r
E0i
2
sin2 (θt − θi )
=
sin2 (θt + θi )
=
tan2 (θt − θi )
=
tan2 (θt + θi )
=
⊥
2
k
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2012 n1 cos θi − n2 cos θt
n1 cos θi + n2 cos θt
2
n2 cos θi − n1 cos θt
n1 cos θi + n2 cos θt
2
,
(3.1.16a)
.
(3.1.16b)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
3.1. ÉQUATIONS DE FRESNEL
33
et
n2 cos θt
T⊥ =
n1 cos θi
n2 cos θt
Tk =
n1 cos θi
E0t
E0i
E0t
E0i
2
=
4n1 n2 cos θt cos θi
sin 2θi sin 2θt
=
,
2
2
(n
sin (θt + θi )
1 cos θi + n2 cos θt )
(3.1.17a)
=
sin 2θi sin 2θt
4n1 n2 cos θt cos θi
.
=
(n2 cos θi + n1 cos θt )2
sin2 (θt + θi ) cos2 (θt − θi )
(3.1.17b)
⊥
2
k
Il est facile de vérifier que
R⊥ + T⊥ = Rk + Tk = 1,
(3.1.18)
en raison de la conservation de l’énergie.
On définit le coefficient de réflexion moyen RM = 12 (R⊥ + Rk ), adéquat pour une onde non
polarisée. On vérifie que le flux d’énergie moyen pour une polarisation arbitraire est justement la
somme des flux moyens pour les deux polarisations considérées ici.
Comme R⊥ ≥ Rk (figure 3.1.4), la lumière réfléchie est donc toujours partiellement polarisée, si
la lumière incidente est non polarisée (c’est-à-dire naturelle).
Figure 3.1.4 – Coefficients de réflexion perpendiculaire (R⊥ ) et parallèle (Rk ) en fonction de l’angle d’indice
θi à l’interface air-verre (n2 ' 1.5).
3.1.5
Incidence normale
A incidence normale, θi = θt = 0, et les équations de Fresnel se réduisent à,
E0r
Z2 − Z1
=
,
E0i
Z2 + Z1
E0t
2Z2
=
.
E0i
Z2 + Z1
(3.1.19a)
(3.1.19b)
Les coefficients de réflexion et de transmission sont
hS r i
Z2 − Z1 2
R=
=
,
hS i i
Z2 + Z1
hS t i
4Z1 Z2
T =
=
.
hS i i
(Z2 + Z1 )2
(3.1.20a)
(3.1.20b)
0r
Remarque 3.1.1
1. 1. Si Z1 > Z2 alors E
E0i < 0 : lorsque la réflexion normale se fait du
milieu le moins réfringent vers le milieu le plus réfringent, les ondes incidente et
réfléchie sont déphasées de π (réflexion molle ou externe). C’est le cas à l’interface
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
3.1. ÉQUATIONS DE FRESNEL
34
2
= 4%. Le verre ordinaire ne réfléchit qu’une faible portion de la
air-verre : R = 1.5−1
1.5+1
lumière tombant sous incidence normale et, ainsi que le montre la pratique quotidienne, le
verre ne peut dans ces conditions servir de miroir.
0r
2. Si, au contraire, Z1 < Z2 alors E
E0i > 0 : lorsque la réflexion normale se fait du milieu le
plus réfringent vers le milieu le moins réfringent, les ondes incidente et réfléchies
sont en phase (réflexion dure ou interne). L’énergie radiante reste en totalité enfermée
dans le milieu le plus réfringent : c’est la réflexion interne totale. C’est le cas dans la fibre
optique.
3. Si Z1 = Z2 , c’est-à-dire si les impédances caractéristiques sont les mêmes dans les deux milieux,
alors E0r = 0 et E0t = E0i , comme on s’y attend.
3.1.6
Angle de Brewster
Supposons que µ1 = µ2 comme dans la plupart des situations pratiques. L’équation (3.1.13) indique
que l’onde réfléchie est nulle si θi + θt = π2 et tan(θi + θt ) → ∞. L’angle incident θi qui satisfait cette
contrainte est l’angle de Brewster θB ou de polarisation totale θp . On a
n2
sin θp
= tan θp .
=
n1
sin( π2 − θp )
(3.1.21)
Sous incidence brewstérienne, l’onde réfléchie parallèle au plan
d’incidence disparaı̂t et seule l’onde polarisée perpendiculairement au plan d’incidence est réfléchie (voir la figure 3.1.5). Il
s’agit donc d’une façon simple de polariser la lumière. On parle de
polarisation par réflexion. A l’interface air-verre, θp = 56.3 ◦
et à l’interface air-eau, θp = 53.1 ◦ .
Sur le plan pratique, on utilise par exemple les fenêtres de
Brewster dans les lasers : On place un tube de verre dans une
cavité résonante. Au premier passage de la lumière, le facteur de
réflexion est de 4%. Au n-ième passage, les pertes de lumière sont
(0.04)n , donc plus faibles. Si n = 10, (0.04)10 = 1. 048 6 × 10−14 .
L’existence d’un tel angle peut être comprise par l’argument
suivant : lorsqu’une onde électromagnétique est incidente sur un
diélectrique, les électrons du matériau se mettent à osciller dans
Figure 3.1.5 – Angle de Brewster la direction du champ électrique réfracté. Cette oscillation des
électrons cause un rayonnement qui produit les ondes réfractée
et réfléchie. Ce rayonnement ne peut se produire dans la direction du mouvement (il y a dépendance
angulaire en sin2 θi ). Donc il ne saurait y avoir d’onde réfléchie si la direction de cette onde fait un
angle de π2 avec celle de l’onde réfractée. Notons que l’onde réfractée ne peut pas être polarisée de
cette façon.
3.1.7
Réflexion totale interne
Considérons maintenant le cas n1 > n2 , c’est-à-dire où le milieu incident est le plus dense. Il y
a alors un angle critique θc au-delà duquel l’onde réfractée ne semble plus exister. Selon la loi de
Snell-Descartes, on trouve
θc = sin
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2012 −1
n2
.
n1
(3.1.22)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
3.1. ÉQUATIONS DE FRESNEL
35
Même si l’onde réfractée ne se propage pas, le champ pénètre tout de même dans le milieu (2)
sur une certaine profondeur (onde évanescente). En effet, en fonction de l’angle de transmission,
l’onde réfractée s’écrit ainsi
(3.1.23)
E t = E 0t ei(kt ·r−ωt) ,
où
kt · r = kt (x sin θt + z cos θt ).
(3.1.24)
On peut exprimer cos2 θt comme
cos2 θt = 1 − sin2 θt = 1 −
sin2 θi
n2
,
< 0, n =
2
n
n1
(3.1.25)
i.e., cos θt (et donc ktz ) est imaginaire pur et vaut
s
cos θt = i
sin2 θi
ktz
.
− 1 = iγ =
2
n
kt
(3.1.26)
L’onde réfractée se propage alors comme
E t = E 0t e−kt γz ei(ktx x−ωt) ,
(3.1.27)
c’est-à-dire que l’onde réfractée se propage le long de l’interface et est atténuée dans le milieu avec
une longueur caractéristique k1t γ . Ainsi, l’onde réfractée ou transmise ne peut être observée que dans
une mince pellicule au voisinage de la surface : c’est une onde de surface.
Les relations de Fresnel sont dans ce cas :
E0r
E0i
E0r
E0i
=
⊥
=
k
1
cos θi − iγ Z
Z2
1
cos θi + iγ Z
Z2
2
cos θi − iγ Z
Z1
2
cos θi + iγ Z
Z1
,
(3.1.28a)
.
(3.1.28b)
On voit tout de suite que
E 2
E 2
0r
0r
=
= 1,
E0i ⊥ E0i k (3.1.29)
ce qui confirme que le coefficient de réflexion est égal à 1 (réflexion totale interne).
3.1.8
Réflexion métallique
Considérons maintenant la réflexion et la transmission d’une onde à l’interface entre un diélectrique
de constante ε1 et un conducteur avec constante diélectrique ε2 et conductivité σ2 . Nous allons nous
limiter au cas d’incidence normale. Il n’est pas nécessaire de répéter les calculs précédents, qui sont
directement applicables ici : rien ne supposait dans ces calculs que les indices de réfraction étaient
réels. Il suffit d’appliquer les relations (3.1.19) avec l’impédance caractéristique Z2 complexe et donnée
par, en vertu de (2.4.6),
1
1
σ
=
(ε2 + i
).
(3.1.30)
µ2
ε0 ω
Z22
Considérons premièrement le cas d’un conducteur idéal ou parfait : σ → ∞. Dans ce cas, Z2 = 0
et donc
(3.1.31)
E0r = −E0i et E0t = 0.
Il y a réflexion complète avec déphasage π entre les ondes incidente et réfléchie.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
3.2. ONDES STATIONNAIRES
36
Si la conductivité σ est grande sans être infinie (σ ω), alors l’impédance caractéristique Z2 est
très petite (sans être nulle) et on peut utiliser l’approximation suivante
1−
E0r
=−
E0i
1+
En négligeant ε2 devant
σ
ε0 ω ,
Z2
'
Z1
r
Z2
Z1
Z2
Z1
Z2
'− 1−2
.
Z1
(3.1.32)
on trouve
µ2
c ω 1 √
µ2 2πδ 1 − i
µ 2 ε0 ε1 ω
q
√
=
ε1 µ 1 =
,
ωσµ
2 c
iσµ1
µ1
µ1 λ
2
2i
2ε
(3.1.33)
0
où δ est la profondeur de pénétration et λ la longueur d’onde de l’onde incidente (dans le premier
Z2
est complexe, le coefficient de réflexion est donné, à cet ordre d’apmilieu). Comme le rapport Z
1
proximation, par
1 − Z2 2
Z2
µ2 δ
Z1 R=
= 1 − 4π
.
(3.1.34)
' 1 − 4 Re
Z
2
1 +
Z1
µ1 λ
Z
1
Essentiellement, cela signifie qu’un matériau ayant une grande capacité à atténuer une onde qui s’y
propage (σ- élevé) réfléchira une onde incidente d’autant : une bonne absorption entraı̂ne une
bonne réflexion.
L’onde incidente crée, à la surface du métal, un courant surfacique harmonique qui rayonne un
champ qui se propage selon les lois de Descartes, de façon à annuler le champ total à la surface du
miroir.
3.2
Ondes stationnaires
Considérons, placé en O, un plan parfaitement conducteur, perpendiculaire à l’axe z 0 Oz. Du vide, une
onde plane (ω, k) polarisée rectilignement, vient frapper normalement ce miroir2 . Il en ressort une
onde réfléchie (ω, −k). Les champs incidents et réfléchis sont respectivement, sachant que l’impédance
caractéristique du vide Z0 = µ0 c = 377 Ω,
E0 i(kz−ωt)
e
,
Z0
rE0 i(kz+ωt)
E r = êx rE0 e−i(kz+ωt) , H r = −êy
e
Z0
E i = êx E0 ei(kz−ωt) , H i = êy
(3.2.1a)
(3.2.1b)
On peut caractériser le dispositif réfléchissant par l’impédance Z = H
E . Le métal étant parfait, on a,
en vertu de (3.1.31 ), r = −1 et il apparaı̂t que la réflexion du champ électrique à lieu avec
un déphasage π et celle du champ magnétique sans déphasage.
Dans la région de l’espace où se superposent les ondes incidente et réfléchie, le champ résultant
est
E t = E i + E r = êx E0 e−iωt (eikz − e−ikz ) = êx 2iE0 sin(kz)e−iωt ,
E0
E0
H t = H i + H r = êy e−iωt (eikz + e−ikz ) = êy 2
cos(kz)e−iωt .
Z0
Z0
(3.2.2a)
(3.2.2b)
Il n’y a plus propagation, mais vibration sur place du champ électromagnétique avec des nœuds
pour lesquels E et H sont nuls a tous instant, et des ventres pour lesquels les amplitudes de E
et H sont maximales en valeurs absolues à un instant donné. On a une onde stationnaire (figure
(3.2.1)).
2
L’onde incidente crée, à la surface du conducteur, un courant surfacique harmonique. Celui-ci rayonne un champ
qui se propage selon les lois de Descartes, de façon à annuler le champ total à la surface du miroir. L’onde ne pouvant
pas se propager en profondeur dans le conducteur, l’énergie doit être renvoyée.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
3.2. ONDES STATIONNAIRES
37
Figure 3.2.1 – Ondes stationnaires. On note qu’un ventre de E coı̈ncide avec un nœud de B et vice-versa.
A l’origine, E est nul.
Le champ électrique a des nœuds en
z=
πm
λ
=m ,
k
2
(3.2.3)
et le champ magnétique en
π m+
1
2
λ
= (2m + 1) .
(3.2.4)
k
4
Le passage d’une amplitude en sin kz pour E à une amplitude en cos kz pour H montre que les
nœuds de E sont les ventres de H et vice-versa.
Si on place, à une distance ` quelconque, un second miroir parfait M 0 en face du miroir précédent
M , l’onde réfléchie par M se réfléchie à son tour sur M 0 pour donner une onde identique à l’onde
incidente, mais déphasée par rapport à elle. Toutes les ondes se superposent et aucune situation bien
remarquable n’en résulte. Mais si M 0 est place telle que
z=
λ
`=n ,
2
(3.2.5)
l’onde stationnaire devient stable. On dit qu’on a réalisé une cavité résonante sur un des ses modes
propres.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
CHAPITRE
4
POLARISATION DE LA LUMIÈRE
Sommaire
4.1
Représentation matricielle d’une onde polarisée
4.2
Représentation matricielle d’un polariseur
4.3
Paramètres de Stokes
La lumière naturelle est, en générale, caractérisée par un champ électrique dont la direction varie
aléatoirement au cours de la propagation : on dit que la lumière est non polarisée. C’est-à-dire
qu’elle est formée d’un mélange statistique aléatoire de toutes les orientations possibles ou toutes
les polarisations possibles du vecteur E. Lorsque que le champ E garde une direction constante
au cours de la propagation, elle est polarisée. Un mélange de lumière polarisée et de lumière non
polarisée produit une lumière partiellement polarisée. La polarisation de la lumière est une preuve
expérimentale de son caractère transverse.
Nous étudierons dans ce chapitre, en utilisant la méthode matricielle, les différents types de polarisation de la lumière. Dans le chapitre suivant, nous examinerons en détails, les processus physiques
qui produisent cette polarisation.
4.1
Représentation matricielle d’une onde polarisée
Une onde plane monochromatique se propageant dans le vide dans la direction des z positifs est
décrite par un champ de la forme
E(z, t) = (êx E0x eiϕx + êy E0y eiϕy )ei(kz−ωt) .
(4.1.1)
Puisque l’état de polarisation de l’onde est complètement déterminé par l’amplitude et les phases
des composantes de E(z, t), on introduit
une matrice colonne de deux ligne ou colonne de Jones
!
iϕ
x
E0x e
ou vecteur de Jones
telle que,
E0y eiϕy
Ex
Ey
!
!
=
E0x eiϕx i(kz−ωt)
e
=
E0y eiϕy
38
!
E0x
ei(kz−ωt+ϕx ) .
E0y eiϕ
(4.1.2a)
4.1. REPRÉSENTATION MATRICIELLE D’UNE ONDE POLARISÉE
39
avec
ϕ = ϕy − ϕx .
(4.1.2b)
Figure 4.1.1 – Polarisation linéaire Pθ .
Si l’on considère que le plan de vibration1 fait un angle θ avec l’axe horizontal Ox (figure 4.1.1),
on peut poser
!
!
!
E0x
cos θ
A cos θ
=A
,
(4.1.3)
=
sin θ
E0y
A sin θ
dans la forme générale (4.1.2a)
Ex
Ey
!
!
!
cos θeiϕx i(kz−ωt)
cos θ
ei(kz−ωt+ϕx ) .
=A
e
=A
sin θeiϕ
sin θeiϕy
(4.1.4)
L’équation (4.1.4) représente une vibration monochromatique cohérente, polarisée elliptiquement
(E0x 6= E0y , ϕy 6= ϕx ), car ses composantes vérifient l’équation
Ex
E0x
2
+
Ey
E0y
!2
−2
Ex Ey
cos ϕ = sin2 ϕ.
E0x E0y
(4.1.5)
L’intensité lumineuse
2
I ∝ |E| =
∗ −iϕy
∗ −iϕx
E0x
e
, E0y
e
E eiϕx
0x
E0y eiϕy
!
= |E0x |2 + |E0y |2 = |A|2 .
(4.1.6)
Pour des raisons de simplicité, on peut choisir de poser l’amplitude A = 1 de sorte que le vecteur
de Jones soit normalisé. Ce que nous adopterons dans ce qui suit.
Il est à noter qu’il n’y a pas de vecteur de Jones pour une radiation partiellement polarisée ou non
polarisée. Pour le traitement matriciel d’une radiation partiellement polarisée, on utilise les vecteurs
colonne 1 × 4 de Stokes et les matrices 4 × 4 de Mueller.
4.1.1
Polarisation linéaire ou rectiligne
Une onde électromagnétique présente une polarisation linéaire ou rectiligne si le
champ électrique E garde, au cours de la propagation, une direction constante, c’est-àdire ϕx = ϕy (Ex et Ey sont en phases ou ϕ = mπ, m ∈ N.
1
Plan contenant le champ E et la direction de propagation k.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
4.1. REPRÉSENTATION MATRICIELLE D’UNE ONDE POLARISÉE
40
L’équation (4.1.5) devient (ϕ = 0)
soit
Ex
E0x
2
+
Ey
E0y
!2
Ex Ey
−2
=
E0x E0y
Ex
Ey
−
E0x E0y
!2
= 0,
Ex
Ey
Ex
E0x
=
ou
=
,
E0x
E0y
Ey
E0y
(4.1.7a)
(4.1.7b)
avec l’inclinaison θ donnée par (figure 4.1.1)
θ = tan
−1
Ey
Ex
= tan
−1
E0y
.
E0x
(4.1.7c)
Ceci veut dire que le vecteur de Jones est réel et se simplifie en
E0x
E0y
!
!
cos θ
.
sin θ
=
(4.1.8)
On vérifie bien que |E0x |2 + |E0y |2 = cos2 θ + sin2 θ = 1.
Figure 4.1.2 – Simulation des polarisations linéaires P0 , P45 , P90 , P−45 .
On a une onde polarisée (figure 4.1.2)
• dans l’état P0 (P comme Plane) ou suivant Ox en posant θ = 0,
E0x
0
!
!
=
1
,
0
(4.1.9)
• dans l’état P90 ou suivant Oy en posant θ = 90 ◦ ,
0
E0y
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2012 !
!
=
0
,
1
(4.1.10)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
4.1. REPRÉSENTATION MATRICIELLE D’UNE ONDE POLARISÉE
41
• dans l’état P45 en posant θ = 45 ◦ ,
E0x
E0y
!
!
1 1
=√
,
2 1
(4.1.11)
• dans l’état P−45 en posant θ = −45 ◦ ,
E0x
E0y
4.1.2
!
!
1
1
=√
.
−1
2
(4.1.12)
Polarisation circulaire
Une onde électromagnétique présente une polarisation circulaire lorsque la norme du
champ électrique E est constante au cours de la propagation, c’est-à-dire E0x = E0y .
L’équation (4.1.5) devient
2
Ex2 + Ey2 − 2Ex Ey cos ϕ = E0x
sin2 ϕ,
soit, pour un déphasage ϕ = ± π2 ou π 2m ±
1
2
(4.1.13a)
,
2
Ex2 + Ey2 = E0x
.
(4.1.13b)
On a l’équation d’un cercle centré à l’origine et ayant l’amplitude E0x pour rayon.
Figure 4.1.3 – Simulation de la polarisation circulaire gauche (a) et de la polarisation circulaire droite (b).
Le vecteur de Jones ici (E0x = E0y , ϕ = ± π2 ou π(2m ± 12 )) est
E0x eiϕx
E0y eiϕy
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2012 !
=
E0x
E0x eiϕ
!
= E0x
1
±i
!
(4.1.14)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
4.1. REPRÉSENTATION MATRICIELLE D’UNE ONDE POLARISÉE
En posant E0x =
√1
2
42
pour des raisons de normalisation, le vecteur de Jones pour une polarisation
circulaire gauche (ϕ = + π2 ou π 2m +
est
1
2
, rotation dans le sens trigonométrique, (figure 4.1.3.(a)))
!
1 1
√
,
2 i
(4.1.15)
et pour une polarisation circulaire droite (ϕ = − π2 ou π 2m −
(figure 4.1.3.(b)))
!
1
1
√
.
2 −i
1
2
, rotation dans le sens horaire,
(4.1.16)
Soulignons que deux vibrations circulaires se propageant suivant Oz et polarisées circulairement
l’une à droite et l’autre à gauche, sont équivalentes à une vibration polarisée rectilignement suivant
Ox et réciproquement, puisque
!
1
1 1
1
√
+√
2 −i
2 i
!
!
1 2
=√
2 0
=
√
!
1
2
.
0
(4.1.17)
Il est aussi à noter qu’un préfacteur devant un vecteur de Jones affecte l’amplitude et
par conséquent l’intensité, mais pas le mode de polarisation.
4.1.3
Polarisation elliptique
Une onde électromagnétique présente une polarisation elliptique lorsque la norme du
champ électrique E décrit dans le plan d’onde une ellipse, c’est-à-dire E0x 6= E0y et ϕ
quelconque (figure 4.1.4).
Figure 4.1.4 – Polarisations elliptique lorsque E0x > E0y et E0x < E0y
• Pour ϕ = ± 21 π ou π 2m ±
1
2
, E0x = A, Eoy = B, les vecteurs de Jones sont
!
1
√
2
A + B2
A
, polarisation elliptique gauche,
iB
1
√
2
A + B2
A
, polarisation elliptique droite,
−iB
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2012 (4.1.18a)
!
(4.1.18b)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
4.1. REPRÉSENTATION MATRICIELLE D’UNE ONDE POLARISÉE
• Pour ϕ 6= πm, π 2m ±
Jones sont
1
2
43
, E0x = A, Eoy = b, de sorte que be±iϕ = B ± iC, les vecteurs de
!
1
√
2
A + B2 + C 2
A
, polarisation elliptique gauche,
B + iC
1
√
2
A + B2 + C 2
A
, polarisation elliptique droite,
B − iC
(4.1.19a)
!
(4.1.19b)
L’inclinaison θ est donnée par
tan 2θ =
2E0x E0y cos ϕ
.
2 − E2
E0x
0y
(4.1.20)
Les ellipses de la figure 4.1.4 sont dans des rectangles de côtés 2E0x et 2E0y . En termes des
paramètres A, B et C,
E0x = A, E0y =
p
B 2 + C 2 , ϕ = tan−1
C
.
B
(4.1.21)
La figure (4.1.5) montre quelques cas de polarisation elliptique gauche.
Figure 4.1.5 – Simulation de quelques cas de polarisations gauches pour ϕ = π4 , ϕ =
π
2
et ϕ = − π4 .
!
Exemple 4.1.1 Analysons le vecteur de Jones
3
2+i
pour montrer qu’il représente une onde
polarisée elliptiquement.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
4.2. REPRÉSENTATION MATRICIELLE D’UN POLARISEUR
44
La différence de phase entre les composantes de la vibration est
ϕ = tan−1
1
2
= 26. 565 ◦ .
(4.1.22)
√
√
22 + 12 = 5, l’inclinaison
√
◦
1
−1 2 × 3 × 5 × cos(26. 565 )
θ = tan
= 35. 783 ◦ .
2
32 − 5
Comme E0x = 3 et E0y =
(4.1.23)
L’équation de cette ellipse est, en vertu de (4.1.5),
Ex2 Ey2
+
− 0.267Ex Ey = 0.2.
9
5
(4.1.24)
Exercice 4.1.1 Spécifier l’état de polarisation des vecteurs de Jones suivants :
!
3i
,
i
!
i
,
1
!
4i
,
5
!
!
5
,
0
!
2
2
,
,
2i
3
!
2
.
6 + i8
(4.1.25)
Exercice 4.1.2 Écrire les vecteurs de Jones normalisés pour chaqu’une des ondes suivantes, et
décrire leur état de polarisation.
1. E = (êx − êy )E0 cos(kz − ωt)
2. E = (êx + êy )E0 sin 2π
z
λ
− νt
3. E = êx E0 sin(kz − ωt) + êy E0 sin kz − ωt −
π
4
4. E = êx E0 cos(kz − ωt) + êy E0 cos kz − ωt +
π
2
4.2
4.2.1
Représentation matricielle d’un polariseur
Polariseur et analyseur
Un polariseur est un dispositif optique qui ne transmet qu’une seule composante de vibration de
la lumière non polarisée, soit en réfléchissant l’autre composante avec des combinaisons de prismes
convenablement taillés, soit en l’absorbant.
Tout dispositif capable de détecter une onde polariser est un analyseur. Son principe de fonctionnement est analogue à celui du polariseur. Si un polariseur et un analyseur sont croisés, l’analyseur
est orienté pour laisser passer les ondes qui se trouvent dans un plan perpendiculaire aux ondes
transmises par le polariseur. Le système a ainsi pour effet d’arrêter la lumière.
L’intensité I émergente de l’analyseur est liée à l’intensité incidente I0 et à l’angle θ entre les
plans de vibration du polariseur et de la radiation, par la loi de Malus
I(θ) = I0 cos2 θ.
(4.2.1)
Ainsi, lorsque le polariseur et l’analyseur sont parallèles, c’est-à-dire si les plans de vibration du
polariseur et de l’analyseur sont parallèles, la radiation lumineuse est transmise intégralement. Si ces
plans sont perpendiculaires, aucune radiation n’émerge de l’analyseur. On dit qu’il y a extinction.
Exemple 4.2.1 Cherchons l’orientation relative de deux polariseurs linéaires parfaits pour qu’une
lumière naturelle soit transmise avec une intensité réduite à la moitié du maximum possible.
Le maximum de transmission intervient pour θ = 0. Nous cherchons θ tel que I(θ) = 21 I0 . La loi
de Malus conduit à
1
π
cos2 θ = ⇒ θ = .
(4.2.2)
2
4
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4.2. REPRÉSENTATION MATRICIELLE D’UN POLARISEUR
45
Figure 4.2.1 – Analyseur orienté suivant θ par rapport à l’axe de transmission vertical du polariseur.
L’intensité de la lumière avant l’analyseur est I0 et I = I0 cos2 θ après l’analyseur.
Exemple 4.2.2 Soient deux polariseurs linéaires croisés dont les axes sont vertical et horizontal.
On insère entre les deux, un troisième polariseur linéaire dont l’axe fait un angle π4 avec la verticale.
Déterminons l’intensité émergente du système, avant et après l’introduction du 3e polariseur en
fonction de l’intensité incidente I0 .
Avant l’introduction du polariseur intermédiaire, il y a extinction de la lumière puisque θ = π2 .
Avec l’introduction du troisième, celui-ci devient l’analyseur du premier. Et à la sortie de cette analyseur, on a I0 cos2 π4 = 21 I0 , qui l’incidente pour le deuxième polariseur. A la sortie de ce polariseur,
l’intensité est 14 I0 et la lumière est dans l’état P45 .
4.2.2
Matrice de Jones
Un système optique ayant un effet sur la polarisation d’un faisceau lumineux est caractérisé par une
matrice 2 × 2 dite matrice de Jones !
ou matrice de polarisation, J.
E0x eiϕx
entrant dans un système polarisant J émergera avec les
Une vibration lumineuse
E0y eiϕy
0
0 eiϕx
E0x
0 eiϕ0y
E0y
caractéristiques
!
:
0
0 eiϕx
E0x
0 eiϕ0y
E0y
!
!
E0x eiϕx
=J
.
E0y eiϕy
(4.2.3)
Il existe trois grandes familles de matrices de Jones jouant un rôle important dans la définition
de la polarisation du faisceau émergent.
4.2.3
Polariseur linéaire
Il a pour effet de supprimer une des composantes du champ. Il s’agit donc d’une projection sur la
direction de l’axe de transmission (AT) du polariseur.
• Ainsi, la projection sur l’axe Ox (AT horizontal) correspond à la matrice
!
Jx =
telle que
1
0
!
=
a b
c d
!
a b
,
c d
(4.2.4)
!
1
, soit
0
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4.2. REPRÉSENTATION MATRICIELLE D’UN POLARISEUR
46
!
Jx =
1 0
.
0 0
(4.2.5)
• La matrice de polariseur linéaire dans la direction θ par rapport à Ox (AT horizontal) est
J1 = R−1 (θ)Jx R(θ),
(4.2.6)
avec R(θ) la matrice de rotation autour de l’axe Oz
!
cos θ sin θ
,
− sin θ cos θ
R(θ) =
(4.2.7)
qui est unimodulaire, det R(θ) = 1 et vérifie
R−1 (θ) = R(−θ).
(4.2.8)
Ainsi,
J1 =
cos θ − sin θ
sin θ cos θ
!
1 0
0 0
!
cos θ sin θ
− sin θ cos θ
π
2
• Les matrices suivant les axes Oy (θ =
π
4 ) sont
!
!
cos2 θ
cos θ sin θ
.
cos θ sin θ
sin2 θ
=
(4.2.9)
ou AT vertical) et la bissectrice xy (θ =
π
4
ou AT à
!
0 0
,
0 1
Jy =
(4.2.10a)
!
1 1 1
.
=
2 1 1
Jxy
4.2.4
(4.2.10b)
Polariseur à retard de phase
Ce polariseur introduit un retard ou différence de phase ϕ entre les composantes du champ E. Ce
qui veut dire qu’une des composantes est plus rapide que l’autre, malgré le fait que les deux ondes
soient simultanément présent en tout point le long de l’axe. C’est pourquoi on parle d’un axe rapide
(AR) et un axe lent (AL).
Si d est l’épaisseur de la lame retard, on a
2πd
2πd
nx , ϕy =
ny
λ0
λ0
2πd
ϕ=
|ny − nx |,
λ0
ϕx =
(4.2.11a)
(4.2.11b)
avec d|ny − nx | est la différence des chemins optiques suivants les directions privilégiées de la lame.
On appelle axe rapide, l’axe suivant lequel l’indice de réfraction est le plus faible (et donc la vitesse
de propagation la plus grande puisque n = vc ).
La matrice de polarisation retard J2 est telle que
E0x eiϕx
E0y eiϕy
!
!
= J2
E0x
,
E0y
(4.2.12)
i.e.,
J2 =
eiϕx
0
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2012 0
eiϕy
!
!
=e
iϕx
1 0
.
0 eiϕ
(4.2.13)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
4.2. REPRÉSENTATION MATRICIELLE D’UN POLARISEUR
47
1. Lorsque la lame est quart-d’onde,
d|ny − nx | =
π
λ0
et ϕ = .
4
2
(4.2.14)
(a) Si Ox est l’AR (AR horizontal), i.e., ϕx < ϕy ou par exemple ϕx = − π4 , ϕy = + π4 ,
ϕ = ϕy − ϕx = π2 ,
J2 = e
−i π4
!
1 0
.
0 i
(4.2.15)
(b) Si Oy est l’AR (AR vertical), i.e., ϕx > ϕy ou par exemple ϕx = + π4 , ϕy = − π4 ,
ϕ = ϕx − ϕϕ = π2 ,
i π4
J2 = e
!
1 0
.
0 −i
(4.2.16)
Il apparaı̂t que la lame quart-d’onde polarise elliptiquement la lumière incidente (voir la
figure 5.1.5.(b))
2. Lorsque la lame est demi-d’onde,
d|ny − nx | =
λ0
et ϕ = π.
2
(4.2.17)
(a) Si Ox est l’AR (AR horizontal), i.e., ϕx < ϕy ou par exemple ϕx = − π2 , ϕy = + π2 ,
ϕ = ϕy − ϕx = π,
J2 = e
−i π2
!
1 0
.
0 1
(4.2.18)
(b) Si Oy est l’AR (AR vertical), i.e., ϕx > ϕy ou par exemple ϕx = + π2 , ϕy = − π2 ,
ϕ = ϕx − ϕϕ = π,
i π2
J2 = e
!
1 0
.
0 −1
(4.2.19)
Il apparaı̂t que la lame demi-onde symétrise l’état de polarisation par rapport à l’axe
perpendiculaire à l’axe optique (voir la figure 5.1.5.(a)).
4.2.5
Rotateur
Il a pour effet de faire roter d’un angle β les axes d’un faisceau incident linéairement polarisé (voir
la figure 5.1.5.(c)) :
!
!
!
cos (θ + β)
a b
cos θ
=
,
(4.2.20)
sin (θ + β)
c d
sin θ
i.e.,
cos (θ + β) = cos θ cos β − sin θ sin β = a cos θ + b sin θ,
(4.2.21)
sin (θ + β) = cos θ sin β + cos β sin θ = c cos θ + d sin θ.
(4.2.22)
On trouve par identification,
a = cos β, b = − sin β, c = sin β, d = cos β.
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2012 (4.2.23)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
4.2. REPRÉSENTATION MATRICIELLE D’UN POLARISEUR
48
La matrice de Jones de rotation d’un angle β est donc
!
cos β − sin β
.
sin β cos β
J3 =
(4.2.24)
Il est à noter que tout comme les vecteurs de Jones, les matrices de Jones ne sont pas uniques.
Exemple 4.2.3 Montrons qu’une vibration P45 tombant sur une lame quart-d’onde émergera en
vibration circulaire droite ou gauche suivant que l’AR est horizontal ou vertical.
• Si l’AR est horizontal, on a
!
1 0 1 1
√
0 i
2 1
−i π4
e
!
π
!
e−i 4
= √
2
1
,
i
(4.2.25)
qui est une vibration circulaire gauche.
• Si l’AR est vertical, on a
e
i π4
!
1 1
1 0
√
0 −i
2 1
!
π
ei 4
= √
2
!
1
,
−i
(4.2.26)
qui est une vibration circulaire droite.
Exemple 4.2.4 Cherchons la polarisation d’une vibration circulaire gauche qui passe à travers une
lame λ8 .
π
La matrice de Jones d’une telle lame, qui introduit un déphasage ϕ = 2π
8 = 4 , est si on pose
ϕx = 0,
!
1 0
π
,
(4.2.27)
J2 =
0 ei 4
ce qui conduit au vecteur de Jones
1 0
π
0 ei 4
avec ei
3π
4
!
!
1 1
√
2 i
1
1
=√
i 3π
2 e 4
!
,
(4.2.28)
= − √12 (1 − i). Ce qui veut dire que le vecteur Jones est de la forme
!
1
1
√
.
√1 (1 − i)
−
2
2
(4.2.29)
On a une vibration émergente de polarisation elliptique gauche, de déphasage ϕ =
√
Comme E0x = 1, E0y = 1 = 1, l’inclinaison
θ=
2 × 1 × 1 cos 3π
1
4
tan
= 45 ◦ ,
2
1−1
3π
4
= 135 ◦ = −45 ◦ .
(4.2.30)
par rapport à l’axe Ox.
!
1 i
Exercice 4.2.1 Montrer que la matrice
représente un polariseur circulaire droite. Quelle
−i 1
est la matrice propre représentant un polariseur circulaire gauche ?
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
4.3. PARAMÈTRES DE STOKES
4.3
49
Paramètres de Stokes
En 1852, G.G. Stokes a montré que toute onde électromagnétique (dont notamment la lumière visible), entièrement polarisée, partiellement
polarisée
ou entièrement non polarisée peut être représentée

  
I
S0
S  Q
   
par un vecteur de Stokes Sµ =  1  ≡  . Ce sont là les deux notations couramment utilisées.
S2  U 
V
S3
Le grand intérêt des quatre paramètres de Stokes, S0 , S1 , S2 , S3 , est que l’on peut les mesurer
de façon assez directe car chaque paramètre correspond à une somme ou une différence d’intensités
facilement mesurables. Il est noter le formalisme de Jones ne permet de décrire que la lumière
totalement polarisée.
4.3.1
Onde monochromatique
On considère une onde plane monochromatique se propageant dans le vide dans la direction des z
positifs. Au facteur 21 ε0 nc près, les paramètres de Stokes, qui ont les dimensions de l’irradiance, sont
|Ex |2 + |Ey |2
S0
S   |E |2 − |E |2 

 1 
x
y

 =
S2   Ex∗ Ey + Ey∗ Ex 
−i(Ex∗ Ey − Ey∗ Ex )
S3




(4.3.1)
!
En utilisant les paramètres de Jones
Eox = A cos θ
, la relation (4.3.1) devient
Eox = A sin θ
2 + E2
E0x
S0
A2
0y
S   E 2 − E 2   A2 cos 2θ 
 1 


0x
0y 
 =

=
S2  2E0x E0y cos ϕ A2 sin 2θ cos ϕ
A2 sin 2θ sin ϕ
S3
2E0x E0y sin ϕ






(4.3.2)
D’après leur définition, les quatre paramètres de Stokes ne sont pas indépendantes ; ils vérifient
l’égalité
S02 = S12 + S22 + S32 .
(4.3.3)
De la relation (4.3.2), il apparaı̂t que
• Le paramètre S0 ≡ I mesure l’intensité totale de l’onde, I > 0. Il ne contient pas l’information
sur la polarisation.
• Le paramètre S1 ≡ Q mesure la prépondérance de l’intensité de la polarisation linéaire horizontale sur l’intensité de la polarisation linéaire verticale de l’onde. On dit encore que S1 caractérise
la quantité de polarisation linéaire dans l’onde.
• Le paramètre S2 ≡ U mesure la prépondérance de l’intensité de la polarisation linéaire P+45
sur l’intensité de la polarisation linéaire P−45 de l’onde. On dit encore que S2 évalue le degré
de polarisation linéaire P45 dans l’onde.
• Le paramètre S1 ≡ V mesure la prépondérance de l’intensité de la polarisation circulaire droite
sur l’intensité de la polarisation circulaire gauche de l’onde. On dit encore que S3 évalue le
degré de polarisation circulaire dans l’onde.
Tous ces paramètres sont facilement mesurables. En effet, en mesurant par exemple l’intensité après
un polariseur orienté selon Ox, puis en recommençant la mesure en tournant ce polariseur dans
la direction Oy, on peut en déduire S0 et S1 par la somme et la différence de ces deux mesures
respectivement.
On rappelle que
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
4.3. PARAMÈTRES DE STOKES
50
• pour − π2 ≤ ϕ ≤ 0, on a les polarisations dans le sens gauche ou sens trigonométrique ;
• pour 0 ≤ ϕ ≤ + π2 , on a les polarisations dans le sens droite ou sens horaire.
Ainsi, compte tenu du fait qu’on a les états de polarisation suivantes pour les valeurs ±1 des
paramètres de polarisation de Stokes
S1
S2
S3
−1
Linéaire suivant Oy
Linéaire à 45◦ suivant Oy
Circulaire gauche
+1
Linéaire suivant Ox
Linéaire à 45◦ suivant Ox
Circulaire droite
on a, dans le tableau 4.3.1, les vecteurs de Stokes suivants pour les états de polarisation usuels de la
lumière.
État de polarisation
Vecteur de Jones
!
Polarisation linéaire P0
1
0
Polarisation linéaire P90
0
1
!
Polarisation linéaire P±45
√1
2
1
±1
cos θ
sin θ
Polarisation linéaire Pθ
!
!
!
Polarisation circulaire droite
√1
2
1
−i
Polarisation circulaire gauche
√1
2
1
+i
!
Vecteur de Stokes
en unité S0
 
1
1
 
 
0
0
 
1
−1
 
 
 0 
0
 
1
 0 
 
 
±1
0 

1
cos 2θ 




 sin 2θ 
0
 
1
0
 
 
0
1
 
1
 0 
 
 
 0 
−1
Table 4.3.1 – Les vecteurs de Jones et Stokes pour les états de polarisation usuels de la lumière
4.3.2
Onde quasi-monochromatique
Une onde monochromatique est caractérisée par les constantes Eox , Eoy et ϕ. Pour une onde polychromatique ou quasi-monochromatique, ces quantités ont une variation temporelle. Ainsi, pour préserver
l’intérêt des paramètres de Stokes qui sont des grandeurs mesurables, il est naturelle de les remplacer
dans (4.3.1) ou (4.3.2) par leurs valeurs moyennes :
2 i + hE 2 i
hEx∗ Ex i + hEy∗ Ey i
hE0x
S0
0y
S   hE ∗ E i − hE ∗ E i   hE 2 i − hE 2 i 
 1 


x
y
x
y
0x
0y 
=
 =

S2   hEx∗ Ey i + hEy∗ Ex i  2hE0x E0y cos ϕi
S3
−i(hEx∗ Ey i − hEy∗ Ex i)
2hE0x E0y sin ϕi



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2012 


(4.3.4)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
4.3. PARAMÈTRES DE STOKES
51
Les valeurs moyennes temporelles sont prises sur des durées de l’ordre du temps de réponse typique
des détecteurs, grand devant la période des ondes et devant la durée du train d’ondes. Dans ce cas,
la composante dont la polarisation subsiste après cette opération de moyenne ne représente qu’une
partie de l’énergie lumineuse, et l’égalité (4.3.3) devient l’inégalité
S02 ≥ S12 + S22 + S32 .
(4.3.5)
La différence entre S02 et S12 + S22 + S32 correspond à la composante non polarisée de l’onde. On appelle
donc taux ou degré de polarisation, le rapport
p=
4.3.3
S12 + S22 + S32
.
S02
(4.3.6)
Onde non polarisée
Le concept d’ellipse de polarisation n’est pas applicable à une onde complètement non-polarisée
puisque son amplitude et sa phase varient rapidement avec le temps. En plus, l’intensité d’une onde
complètement non-polarisée est insensible à l’orientation d’un polariseur linéaire ou la présence d’une
lame retard sur son chemin. Par conséquent,
2 i = hE 2 i
hE0x
0y
hcos ϕi = hsin ϕi
(4.3.7)
Ainsi, pour une onde complètement non-polarisée
soit
hEx∗ Ex i + hEy∗ Ey i = S0
hEx∗ Ex i − hEy∗ Ey i = 0
hEx∗ Ey i = −hEy∗ Ex i
(4.3.8)
hEx∗ Ex i = hEy∗ Ey i = S20
hEx∗ Ex i = hEy∗ Ey i = 0
(4.3.9)
Une onde complètement non-polarisée est donc caractérisée par sa seule intensité dans le vecteur de
Stokes,
 
 
S0
1
S 
0
 1
 
(4.3.10)
  = S0  
S2 
0
S3 np
0
L’inégalité (4.3.5) prend la forme
2
2
S02 = 2hE0x
i = 2hE0y
i ≤ 0,
(4.3.11)
pour une onde complètement non-polarisée.
Les relations (4.3.9) impliquent que les composantes d’une onde complètement non-polarisée sont
complètement non-corrélées.
Incidemment, les composantes orthogonale d’une onde non-polarisée, si elles sont amenées au
même état de polarisation, ne peuvent interférer. Ce qui est en accord avec l’une des lois énoncées
par Fresnel et Arago sur l’interférence des ondes lumineuses.
Il est à noter que contrairement aux vecteurs de Jones, les vecteurs de Stokes représentant les états
de polarisation linéaire horizontale (Ox) et verticale (Oy), s’additionnent pour donner un vecteur de
Stokes d’une onde non-polarisée, d’intensité double à celle de chaque état de polarisation, i.e.,
 


 
1
1
1
1 −1
0
   
 
  +   = 2 .
0  0 
0
0
0
0
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2012 (4.3.12)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
4.3. PARAMÈTRES DE STOKES
52
Ceci exige que les champs représentant les polarisations linéaires horizontale et verticale soient
mutuellement incohérentes puisqu’on a additionné leurs intensités et pas leurs amplitudes. Ce résultat
s’applique aussi aux ondes mutuellement incohérentes de polarisation circulaire. En effet,
 

 

1
1
1
0
0  0 
 
   
  +   = 2 .
0
0  0 
0
−1
1
(4.3.13)
Ces résultats peuvent être généralisés. Un mélange à parts égales d’états de polarisation orthogonaux
mais mutuellement incohérents produit une onde non polarisée dans le représentation de Stokes.
L’inverse de ce résultat est également valable. Les paramètres de Stokes permettent la représentation
d’une onde non-polarisée en fonction d’un nombre infini d’états de polarisation orthogonaux d’ondes
mutuellement incohérents. Ceci contraste avec la représentation de Jones où aucune combinaison de
vecteurs de Jones peut décrire non polarisée la lumière.
Une onde partiellement polarisée peut être traitée comme un mélange incohérent d’une onde
complètement
polarisée et une onde complètement non-polarisée, décrite par les vecteurs de Stokes
 0
 
S0
S0
0
S 
 
 1
  et   respectivement, i.e.,
0
S2 
0 np
S3 p
S0 + S00
S0
S00
 S
 S   0 

  1  
1

 =   +  .
 S2  S2   0 
0
S3
S3






(4.3.14)
La relation (4.3.14) peut s’exprimer sous la forme équivalente






S0
S0
pS0
S 
0 S 
 1
   1
  = (1 − p)   + 
.
S2 
 0   S2 
S3
0
S3
(4.3.15)
où le degré de polarisation
• p = 1 pour une onde totalement polarisée,
• p = 0 pour une onde totalement non-polarisée,
• 0 ≤ p ≤ 1 pour une onde partiellement polarisée.
On peut également une onde partiellement polarisée en deux ondes de polarisation égale et opposées en écrivant
 




S0
pS0
pS0
S 



1+p
 1
 S1  1 − p −S1 
(4.3.16)
 =

+

.
S2 
2p  S2 
2p −S2 
S3
S3
−S3
4.3.4
Sphère de Poincaré
La sphère de Poincaré permet la visualisation géométrique de l’état de polarisation d’une onde
électromagnétique complètement polarisée dans laquelle la polarisation est représentée par un point
sur une sphère.
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4.3. PARAMÈTRES DE STOKES
53
Figure 4.3.1 – Représentation des états de polarisation classiques dans la sphère de Poincaré. Les angles θ
et ϕ correspondent à l’orientation et à l’ellipticité de la polarisation.
Le paramètre S0 , qui correspond à l’intensité totale du faisceau, s’interprète comme la norme du
vecteur de Stokes S de coordonnées (S1 , S2 , S3 ). Ce vecteur S caractérise complètement l’état de
polarisation et s’exprime aisément à partir de l’orientation et θ de l’ellipticité ϕ (voir la figure 4.3.1) :
S1 = S0 cos 2ϕ cos 2θ
S2 = S0 cos 2ϕ sin 2θ
(4.3.17)
S3 = S0 sin 2ϕ
L’examen de ces trois relations suggère immédiatement une représentation sphérique des états de
polarisation. Pour cela, on introduit la sphère de Poincaré de rayon S0 . Un état de polarisation
quelconque correspondant au vecteur S est alors repéré par les angles polaires 2θ et 2ϕ sur cette
sphère.
Ainsi chaque parallèle de la sphère correspond à des états de polarisation d’ellipticité fixe et chaque
méridien représente des états dont l’orientation est fixe. En particulier, le plan équatorial défini par
(S1 , S2 ) regroupe l’ensemble des états de polarisation linéaire (ϕ = 0) et les pôles correspondent aux
états de polarisation circulaire σ+ et σ− (ϕ = ± π4 ).
De manière générale, deux états de polarisation diamétralement opposés sur la sphère de Poincaré
sont orthogonaux. En effet, la transformation ϕ → ϕ ± π2 et ϕ → −ϕ donne ici S → −S . Par
exemple, un état représenté suivant S1 correspond à un état polarisé horizontalement tandis que un
état polarisé verticalement est aligné suivant −S1 .
4.3.5
Détection
La probabilité de détection d’une onde lumineuse caractérisée par les paramètres de Stokes (1 D)
dans une onde caractérisée par SS0 est
S0
1
W = (1 D)
2
S
!
1
= (S0 + D · S)
2
(4.3.18)
• Un détecteur non sensible à la polarisation est caractérisé par la ligne (1 0 0 0). Il ne détectera
que l’intensité lumineuse
!
1
S0
S0
W = (1 0 0 0)
=
= I0 .
(4.3.19)
2
S
2
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4.3. PARAMÈTRES DE STOKES
54
• Un détecteur sensible à la polarisation linéaire horizontale est caractérisé par la ligne (1 1 0 0).
• Un système optique sensible à la polarisation va changer les paramètres du faisceau par l’intermédiaire d’une matrice de transfert de polarisation T , matrice Mueller particulière. Ainsi,
quand un faisceau (S0 S) passe à travers un système optique de matrice de transfert de polarisation T et est ensuite détecté avec un analyseur (1 D), l’intensité lumineuse est
!
1
S0
W = (1 D)T
.
2
S
(4.3.20)
Il est donc nécessaire de connaı̂tre la matrice de transfert de polarisation T de tout système
polariseur ou analyseur.
4.3.6
Matrices de Mueller et Prisme de Nicol
I
S
La matrice 4 × 4 qui fait passer un faisceau incident
I0 S 0 est la matrice de Mueller-Stokes M :
I0
S0
!
(avec S ≡ (Q U V )) à un faisceau émergeant
!
I
=M
.
S
(4.3.21)
Posons pour des raisons de simplification,
Ck = cos kθ, Sk = sin kθ.
(4.3.22)
polariseur idéal orienté dans la direction θ
Ainsi, la matrice de Mueller représentant l’action d’un
suivant Ox est

1
C2
1
C22
C2
M (θ) = 
2  S2 C2 S2
0
0
S2
C2 S2
S22
0

0
0

.
0
0
(4.3.23)
Un prisme de Nicol d’axe Ox ne laisse passer que les ondes (1 1 0 0). Sa matrice de transfert de
polarisation T est obtenue de (4.3.23) pour θ = 0 :

1
1
1
T = 
2 0
0
Un faisceau incident non polarisé
1
0
 
1
1
0
0

0
0
0
0
0
0

.
0
0
(4.3.24)
tombant sur un prisme de Nicol,

1
1 1
0
1 1
1
 

T = 
0
2 0 0
0
0 0
0
0
0
0
 

0
1
1
1
0

 
 =  ,
0 2 0
0
0
(4.3.25)
sera polarisé linéairement à sa sortie.
Si le vecteur E fait l’angle θ avec l’axe Ox, on obtient le faisceau émergeant par application de
de la matrice de rotation R(θ),

1
0
0
0 C
S

2
2

0 −S2 C22
0
0
0
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2012  


0
1
1
  

0
 1  C2 
  = 
.
0 0 −S2 
0
0
0
(4.3.26)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
4.3. PARAMÈTRES DE STOKES
55
Après le passage à travers le prisme de Nicol analyseur, la radiation émergente est

1
1
1

2 0
0
1
1
0
0
0
0
0
0


 
 
1
1
0
1


1
1
1
0

  C2 

 
 = (1 + cos 2θ)   = cos2 θ   .

0
0
0 −S2  2
0
0
0
0
(4.3.27)
Un détecteur insensible à la polarisation mesure donc l’intensité lumineuse
 
 
1
1
1
 
1
1
1
 
2 1
W = (1 0 0 0)T   = (1 0 0 0)T cos θ   = cos2 θ,
0
0
2
2
2
0
0
(4.3.28)
c’est-à-dire, en vertu de (4.3.19),
I = I0 cos2 θ.
(4.3.29)
C’est la loi de Malus.
Bien qu’apparemment plus compliquées que les matrices de Jones, les matrices de Mueller-Stokes
sont plus pratiques pour décrire des phénomènes de polarisation,
• tout d’abord parce qu’elles ne peuvent être confondues avec les matrices 2 × 2 de l’optique
géométrique ;
• ensuite parce qu’elles donnent simultanément toutes les caractéristiques physique d’un faisceau ;
• enfin parce les paramètres de Stokes (S1 , S2 , S3 ) ne sont autres que les valeurs moyennes des
matrices de Pauli. En effet, les paramètres de Stokes contiennent toutes les informations de la
matrice de cohérence, et lui sont liés linéairement au moyen de la matrice d’identité et les trois
matrices de Pauli :
3
1X
Sj σj .
(4.3.30)
Ψ=
2 j=0
La méthode est donc généralisable à la polarisation de particules de spin quelconque.
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CHAPITRE
5
PRODUCTION D’UNE LUMIÈRE POLARISÉE
Sommaire
5.1
Polarisation linéaire de la lumière
5.2
Polarisation rotatoire de la lumière
5.3
Écrans plats
5.4
Biréfringence artificielle
Une lumière est non-polarisée lorsque le comportement spatio-temporelle du champ électrique
est aléatoire. C’est le cas de la lumière dite naturelle, qu’elle soir blanche (i.e., comportant toutes
les longueurs d’onde) ou monochromatique. En effet, la lumière ordinaire est formée d’un grand
nombre d’atomes qui, du fait des collisions, émettent de la lumière polarisée de façon indépendante
et aléatoire. Comme la durée moyenne entre deux collisions (τ ∼ 10 ns) est très petite devant la durée
de détection (Td ∼ 10−1 s), la lumière naturelle apparaı̂t comme la superposition d’un grand nombre
d’états de polarisation.
Il existe diverses méthodes pour obtenir la lumière cohérente totalement ou partiellement polarisée :
• en utilisant de la lumière laser qui est de la lumière monochromatique complètement cohérente
(toutes les vibrations lumineuses vibrent en phase) et polarisée ;
• en envoyant de la lumière ordinaire sur une fibre optique, un filtre spectroscopique (verre coloré,
prisme, réseau, système interférentiel) et un polariseur (prisme de Nicol, polariseur de GlanFoucoult, film polaroid) ;
• en utilisant des phénomènes optiques polarisants, réflexion optique sur une surface polie transparente, diffusion rasante.
5.1
5.1.1
Polarisation linéaire de la lumière
Polarisation par réflexion
Un des moyens les plus simples pour produire de la lumière polarisé est la réflexion par la surface
séparant deux milieux diélectriques d’indices n1 et n2 (figure 5.1.1). Sous l’incidence de Brewster
56
5.1. POLARISATION LINÉAIRE DE LA LUMIÈRE
tan θp =
57
n2
π
, θ p + θr = ,
n1
2
(5.1.1)
le faisceau réfléchi est polarisé dans la direction perpendiculaire au plan d’incidence (n1
est l’indice du milieu incident).
Figure 5.1.1 – Polarisation par réflexion.
Exemple 5.1.1 On désire utiliser une plaque de verre (n = 1.5) comme polariseur. L’angle de
polarisation est θp = tan−1 1.5 = 56. 310 ◦ et l’angle de réfraction est θr = 90 ◦ −56. 310 ◦ = 33. 69 ◦ .
5.1.2
Polarisation par diffusion
Le phénomène de diffusion par des molécules, et plus généralement par des particules en suspension,
constitue une autre source de polarisation de la lumière naturelle. Lorsqu’une onde lumineuse se
propage dans un tel milieu, elle provoque un mouvement oscillatoire forcé des charges électriques
des molécules ou des particules en suspension. Ces dernières se comportent alors comme des dipôles
électriques oscillants qui émettent un rayonnement polarisé dans les directions perpendiculaires à la
direction de propagation de l’onde incidente (figure 5.1.2).
Les abeilles, lors de leurs vols entre leur ruche et les sources de pollen, s’orientent au moyen de
la polarisation de la lumière venant du ciel. Les yeux des abeilles contiennent un dispositif incorporé
de détection de la polarisation. Il en est de même des écrevisses et des fourmis.
La théorie de diffusion de Rayleigh1 montre que l’intensité de la lumière diffusée par le ciel
est proportionnelle2 à λ14 , ce qui fait que la lumière bleue est plus diffusée que la lumière rouge, ce
qui explique pourquoi le ciel soit bleu au zénith. Puisque la lumière transmise est d’autant
plus rouge que l’épaisseur qu’elle traverse est importante, à l’aurore ou au crépuscule, le ciel
est rougeâtre.
5.1.3
Polarisation par biréfringence
Cristal biréfringent
Un matériau est dit biréfringent si son indice de réfraction pour la propagation d’une onde lumineuse dépend de la direction de polarisation de cette onde (figure 5.1.4). C’est donc un matériau
anisotrope. Il possède un axe optique ∆.
1
La taille des molécules ou particules en suspension est petite par rapport à longueur d’onde de la lumière.
2
La puissance du rayonnement diffusée est P =
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2012 2
2ω 4 r0
.
12ε0 c3
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
5.1. POLARISATION LINÉAIRE DE LA LUMIÈRE
58
Figure 5.1.2 – Polarisation par diffusion. L’onde lumineuse naturelle, après collision avec les molécules et
particules en suspension dans le milieu, est polarisée dans les deux directions perpendiculaires à la direction
de propagation de l’onde incidente.
Lorsque l’onde incidente sur le cristal est caractérisée par un champ électrique parallèle à ∆, la
lame présente un indice ne ou nk , dit extraordinaire (figure 5.1.3.(c)).
Si, par contre le champ électrique est perpendiculaire à ∆, la lame présente un indice no ou n⊥ ,
dit ordinaire (figure 5.1.3.(b)).
Figure 5.1.3 – Biréfringence avec un cristal de calcite. (a) Double image avec le cristal. (b) Le polariseur
ne transmet que le rayon ordinaire. (c) Le polariseur après une rotation de
extraordinaire.
π
2
ne transmet que le rayon
Lame cristalline
Considérons une lame mince d’épaisseur d taillée dans un matériau biréfringent, parallèlement à l’axe
optique, et un rayonnement incident normale sur cette lame.
La différence de marche entre les deux vibrations décomposées suivant les lignes neutres 3 dans la
lame vaut
δ = |no − ne |d,
(5.1.2)
3
Ce sont les deux directions particulières, perpendiculaire et parallèle à l’axe optique, qui sont dans le plan de la
lame.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
5.1. POLARISATION LINÉAIRE DE LA LUMIÈRE
59
Figure 5.1.4 – Prismes polariseurs. Ils sont construits en raccordant deux prismes d’un cristal uniaxe. Pour
les trois dispositifs en dessous du prisme de Nicol, la direction de l’axe optique est indiquée par des rayures ou
des points quand il sort de la page.
et le déphasage correspondant
ϕ=
2πd
|no − ne |.
λ0
(5.1.3)
1. Lorsque le déphasage ϕ = 2πm, m ∈ N, c’est-à-dire δ = mλ, la lame est dite lame d’onde : la
direction de polarisation est identique en entrée et en sortie de la lame.
2. Lorsque ϕ = (2m + 1)π, c’est-à-dire δ = (m + 21 )λ, la lame est dite lame demi-d’onde : la
direction de polarisation en sortie de la lame est symétrique de la direction de polarisation en
entrée de la lame, par rapport à la ligne neutre perpendiculaire à l’axe optique (figure 5.1.5.(a)).
On dit que la lame demi-onde symétrise l’état de polarisation par rapport à l’axe perpendiculaire
à l’axe optique.
3. Lorsque ϕ = π(m + 12 ), c’est-à-dire δ = (m + 12 ) λ2 , la lame est dite lame quart-d’onde : la
direction de polarisation en sortie de la lame est elliptique, les axes de l’ellipse coı̈ncident avec
les ligues neutres. Cette polarisation est, à 2ω près,
(a) elliptique gauche pour ϕ ∈]0, π[ ;
(b) elliptique droite pour ϕ ∈]π, 2π[.
Dans le cas particulier où la polarisation à l’entrée de la lame est symétrique par rapport aux
lignes neutres (θ = π4 ), l’onde à la sortie de la lame est polarisée circulairement (figure 5.1.5.(b)).
Un cristal uniaxe est positif lorsque ne > no et négatif lorsque ne < no (voir le tableau (5.1.1)).
5.1.4
Polarisation par dichroı̈sme
Le dichroı̈sme est l’absorption sélective par certains matériaux d’une direction de polarisation de
l’onde lumineuse qui les traverse.
L’absorption dans les matériaux dichroı̈ques est anisotropes car elle est liée aux indices ordinaire
et extraordinaire de ces matériaux. Cette propriété permet de les utiliser comme polariseur, mais elle
est à l’origine d’une propriété beaucoup plus visuel. Pour un indice de réfraction donné, l’absorption
dépend de la longueur d’onde. Aussi, les différentes longueurs d’onde du spectre visible sont-elles
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5.1. POLARISATION LINÉAIRE DE LA LUMIÈRE
60
Figure 5.1.5 – Polarisation par une lame cristalline. (a) La lame demi-onde symétrise l’état de polarisation
par rapport à la ligne neutre perpendiculaire à l’axe optique. La lumière Pθ devient P−θ . (b) La lame quartd’onde produit une lumière circulaire partir d’une lumière P45 (E0x = E0y ). (c) Lame demi-onde en rotateur :
lorsqu’elle rote de θ produit une lumière qui a roté de 2θ.
différemment absorbées selon que l’onde qui les transporte est polarisée suivant l’axe optique ou
perpendiculairement à celui-ci. Ainsi la coloration d’un cristal dichroı̈que éclairé en lumière blanche
polarisée rectilignement varie avec l’orientation du cristal. C’est pour cette raison que ces cristaux ont
reçu le nom de dichroı̈ques (deux couleurs, pour les deux indices de réfraction). Les axes du cristal
(l’axe optique associé à l’indice extraordinaire et les deux autres axes associés à l’indice ordinaire )
portent les noms des teintes principales du cristal..
Les polariseurs les plus courants sont réalisés à l’aide de feuilles polarisantes ou feuilles Polaroı̈d
inventées en 1938 par Edwin Land. Le Polaroı̈d est constitué de nombreux petits cristaux dichroı̈ques
enrobés dans du plastique et tous orientés identiquement (cristal de sulfate de quinine et cristaux
longiformes dans du polymère extrudé). Les feuilles Polaroı̈d forme une grille organique qui se comporte comme une grille métallique : la composante électrique suivant la direction de la grille est
fortement absorbée, alors que celle suivant la direction perpendiculaire est transmise avec un facteur
Cristal
Glace
Quartz
Wurzite
Calcite
Niobate de Lithium
Tourmaline
Nitrate de Sodium
Dolomite
Sidérite
Formule
H2 O
SiO2
ZnS
CaCO3
LiNbO3
NaFe3 B3 Al6 Si6 O27 (OH)4
NaNO3
CaO.MgO.2CO2
FeO.CO2
no
1.309
1.541
2.356
1.658
2.29
1.669
1.5854
1.681
1.875
ne
1.313
1.553
2.378
1.486
2.21
1.638
1.3369
1.500
1.635
Table 5.1.1 – Indices de réfraction de quelques matériaux mesures dans du sodium à λ = 589.3 nm
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5.2. POLARISATION ROTATOIRE DE LA LUMIÈRE
61
Figure 5.1.6 – Polarisation par dichroı̈sme. (a) Lorsque deux feuilles Polaroı̈des sont croisées il y a extinction de la lumière. (b) La composante du champ électrique est totalement amortie par la tourmaline dans la
direction de propagation, et faiblement amorti dans la direction perpendiculaire.
de l’ordre de 50%. Le faisceau qui émerge de telles feuilles est donc polarisé. Le rayonnement d’une
grande surface plane comme de l’eau ou une route mouillée est constitué de lumière partiellement
polarisée et un Polaroı̈d correctement orienté peut absorber plus de la moitié de ce rayonnement.
Cela explique l’efficacité des lunettes de soleil en Polaroı̈d (figure 5.1.6.(a).
La tourmaline ou borosilicate d’aluminium est l’une des substances naturelles dichroı̈ques les
plus connues. Suivant une direction, les électrons de l’édifice cristallin absorbent l’énergie fournie par
l’onde incidente : la composante du champ électrique s’amortit totalement au cours de la propagation
dans le matériau. Dans la direction perpendiculaire, le champ est faiblement amorti (figure 5.1.6.(b).
Comme ces propriétés dépendent de la longueur d’onde, la tourmaline présente une couleur verdâtre
suivant la direction transmise et apparaı̂t opaque dans la direction d’amortissement.
5.2
Polarisation rotatoire de la lumière
Le pouvoir rotatoire ou activité optique est la propriété de certains matériaux, dit actifs, de
faire tourner la direction du champ électrique dans le plan d’onde. Cette propriété s’observe pour
certains cristaux, comme le quartz, ou encore pour des solutions, comme relie de saccharose (sucre).
5.2.1
Matériau dextrogyre ou lévogyre
Les substances optiquement actives sont classées en deux catégories. Un matériau optiquement actif
est dit :
1. lévogyre, si l’observateur qui reçoit la lumière voit la direction de polarisation tourner dans le
sens trigonométrique (polarisation circulaire gauche) ;
2. dextrogyre, si l’observateur qui reçoit la lumière voit la direction de polarisation tourner dans
le sens horaire (polarisation circulaire droite).
Il est important de rappeler qu’une substance optiquement active ne dévie pas la lumière : modifier
la direction de polarisation ne veut pas dire dévier le faisceau lumineux !
5.2.2
Loi de Biot
L’angle de rotation α de la direction de polarisation au passage d’une substance optiquement
active est proportionnel à la longueur L de la substance traversée :
α = KL.
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2012 (5.2.1)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
5.3. ÉCRANS PLATS
62
C’est la loi de Biot4 . La constante K dépend de la nature de la substance. Il est possible
d’exprimer K en fonction de grandeurs caractéristiques de la substance optiquement active :
• pour un cristal,
K = ρλ ,
(5.2.2)
où ρλ est le pouvoir rotatoire caractéristique du cristal à la longueur d’onde λ.
• Pour un liquide ou un gaz (par exemple l’essence de térébenthine (C10 H16 ), les vapeur de
camphre),
K = µ[α]λ ,
(5.2.3)
où [α]λ est le pouvoir rotatoire spécifique la longueur d’onde λ et µ, la masse volumique du
fluide.
• Pour une solution (de saccharose, d’acide tartrique,. . . ),
K=
X
ci [α]i,λ ,
(5.2.4)
i
où [α]i,λ (◦ m2 / kg) est le pouvoir rotatoire spécifique du composé i en solution à la longueur
d’onde λ et ci (g /`) sa concentration.
Le pouvoir rotatoire [α]λ dépend de la longueur d’onde : ce phénomène est appelé la dispersion
rotatoire. La loi de variation du pouvoir rotatoire avec la longueur d’onde est donnée par
[α]λ ∝
1
.
λ2
(5.2.5)
A titre d’exemple, K est égale à 21 ◦ / mm pour le quartz éclairé avec la lumière jaune du sodium.
Le pouvoir rotatoire du quartz est exploitée dans les lasers à gaz (Ar ou Kr).
5.3
Écrans plats
Les écrans plats sont de plus en pins présents dans notre vie quotidienne : écran de téléviseurs, de
téléphone portables, d’ordinateurs, de calculatrices de poche, etc. Pour ces écrans, différentes technologies sont utilisées. Mais pour les écrans de faibles dimensions, la technologie la plus répandue est
celle des écrans à cristaux liquides (LCD, Liquid Cristal Display). Ils consomment peu et permettent
une bonne lisibilité dans des conditions d’éclairage variées. Le fonctionnement de ces écrans met enjeu
une interaction entre un état de la matière, appelé cristal liquide, et la lumière polarisée.
5.3.1
Cristaux liquides
Le cristal liquide est un état de la matière intermédiaire entre l’état liquide et le cristal. Les molécules y
conservent une orientations privilégiée les unes par rapport aux autres, comme dans un cristal, mais
elles sont libres de se déplacer comme un liquide. On est actuellement capable de synthétiser des
familles entières de composés cristaux liquides. Ils présentent tous la même forme : ils comportent
une partie peu déformable, coeur rigide, qui les entraı̂ne vers l’état cristallin, associée à des chaı̂nes
flexibles, qui les empêchent de devenir des cristaux dans un certain intervalle de température.
Les cristaux liquides, entre autres propriétés, agissent sur la polarisation de la lumière : ils possède
un pouvoir rotatoire. C’est cette propriété qui est utilisée dans les écrans à cristaux liquides.
4
Biot a obtenu la médaille de Rumford de la Royal Society de Londre pour ses études sur la polarisation et la
dispersion rotatoire.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
5.3. ÉCRANS PLATS
5.3.2
63
Fonctionnement d’un pixel d’écran plat
Un écran à cristaux liquide est constitué de pixels. Dans un pixel, cellule élémentaire d’une image, le
cristal liquide est pris en sandwich entre deux plaques de verre (figure 5.3.1.a). Une plaque est gravée
de sillons horizontaux tandis que l’autre plaque est gravée de sillons verticaux. Au voisinage de chaque
plaque, les molécules du cristal liquide, de forme allongée, s’alignent avec les sillons et, parce que, par
ailleurs, elles s’ordonnent naturellement de manière parallèle les unes les autres, il se forme entre les
deux plaques une spirale de cristaux qui tourne de π2 et dont l’axe est perpendiculaire aux plaques.
Un premier polariseur induit une polarisations rectiligne de la lumière parallèlement aux sillons de
la première plaque. La polarisation est alors guidée par les molécules orientées à travers la couche
de cristal liquide et subit une rotation de π2 . Elle passe alors à travers le second filtre polariseur ; la
direction de ce dernier étant croisée avec le premier, la lumière le traverse et donne ainsi un
éclairement maximal sur l’écran.
Pour obtenir un éclairement nul, on utilise une seconde propriété des cristaux liquides : l’application du champ électrique permet de forcer l’alignement des molécules du cristal liquide (figure
5.3.1.b). Ainsi, en appliquant entre les plaques une différence de potentiel, on dénoue la spirale. La
lumière polarisée par le filtre à l’entrée dans la courbe de cristal liquide garde sa polarisation jusqu’à
ce qu’elle rencontre le second filtre ; ce dernier étant croisé avec le premier, la lumière ne passe pas :
le pixel apparaı̂t sombre. On a ainsi réalisé un élément qui est transparent en l’absence d’un
électrique et opaque en présence d’un champ électrique (figure 5.3.2). En modulant l’intensité du
champ, on déforme plus ou moins la spirale, ce qui permet d’obtenir tous les dégradés d’intensité
lumineuse.
Figure 5.3.1 – Fonctionnement d’un pixel d’un écran à cristaux liquide. Les flèches 1 et 2 représentent
respectivement les filtres polarisants et les plaques striées. Les flèches a et b représentent les plans de polarisation de la lumière. (a). En l’absence d’un champ électrique entre les plaques striées, les molécules du cristal
liquide représentées par des bâtonnets, forment une spirale : le pixel apparaı̂t clair. (b). En présence d’un
champ électrique, le pixel apparaı̂t sombre.
5.3.3
Du pixel à l’écran plat
Un écran noir et blanc est formé d’un ensemble de ces pixels élémentaires ; le nombre de pixels définit
la résolution de l’écran. Pour les écrans à cristaux liquides, la résolution est relativement faible,
typiquement de 600 × 200.
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5.4. BIRÉFRINGENCE ARTIFICIELLE
64
Figure 5.3.2 – Écran LCD. (a) L’écran utilise des segments de cristaux liquides pour former des nombres.
Cristal liquide dans son état ON (b) et son état OFF (c). Dans la pratique, un dispositif polariseur-analyseur
croisés est incorporé à l’écran LCD. Lorsque le segment LCD est ON, aucune lumière n’est transmise et on
observe un segment noir.
Dans le cas de écrans couleurs, chaque pixel de l’image est constitué d’une cellule décrite précédemment
et devant laquelle est placé un filtre rouge, vert, un bleu (les trois couleurs fondamentales)5 . L’ensemble des trois forme ce qu’on appelle le pixel logique. Comme ce pixel logique est petit, l’oeil moyenne
sur les trois couleurs et ne voit qu’une couleur, combinaison du rouge, du vert et du bleu.
5.4
Biréfringence artificielle
De nombreuses substances isotropes solides (verres minéraux et organiques ; cristaux cubiques) et
fluides, peuvent être rendues anisotropes sous l’action d’un champ électrique, d’un magnétique ou
d’un champ mécanique. En outre, les propriétés optiques de certains matériaux anisotropes sont
sensiblement modifiées par de tels champs.
5.4.1
Action d’un champ électrique : effet Pockels et effet Kerr
Dans les matériaux dits électro-optique, les caractéristiques optique du milieu dépendent du champ
électrique que l’on applique. On distingue deux effets :
1. l’un linéaire, l’effet Pockels, découvert par C. Pockels en 1593 ;
2. l’autre quadratique, l’effet Kerr, découvert par J. Kerr en 1875.
Ces effets jouent un rôle important dans les nouvelles applications de l’optique (télécommunication),
notamment lorsqu’on veut moduler l’intensité ou la phase d’un faisceau lumineux. Il permettent entre autres le multiplexage et la commutation (interrupteur) à haut débit (plusieurs Gbits / s) compte
tenu des temps de réponse très courts (ps) des propriétés électro-optiques à l’excitation extérieure.
Effet Pockels
Il n’apparaı̂t que dans certains matériaux qui ne présentent pas de centre de symétrie : le nobiat de
Lithium (LiNbO3 ), le phosphate dihydrogéné d’ammonium ou ADP, le phosphate dihydrogénés de
potassium ou KHP, le phosphate dideutéré de potassium ou KDP et l’arsénium de gallium (GaAs).
Lorsqu’on applique un champ électrique entre deux électrodes limitant ces matériaux, on rend
ces derniers biréfringent ou on modifie leur biréfringence initial, c’est l’effet Pockels (figure 5.4.1).
On a alors
5
Les combinaisons des couleurs fondamentales permettent d’obtenir les autres couleurs : bleu+rouge=violet par
exemple.
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5.4. BIRÉFRINGENCE ARTIFICIELLE
65
Figure 5.4.1 – Cellule Pockels en niobate de lithium : configuration transverse des électrodes.
ne − n0 = αE.
(5.4.1)
α est un coefficient caractéristique de la substance. Le déphasage les vibrations extraordinaire et
ordinaire est alors
2πd
ϕP = −
αE.
(5.4.2)
λ0
Si L est la distance qui sépare les électrodes (dans la cas transversal) et V la différence de potentiel,
ce déphasage est, pour un champ électrique appliqué parallèlement à la direction de propagation,
ϕP = −
2π
αV,
λ0
(5.4.3)
et pour un champ électrique appliqué perpendiculairement à la direction de propagation,
ϕP = −
2π d
αV.
λ0 L
(5.4.4)
Effet Kerr
Un champ électrique appliqué peut rendre anisotrope les propriétés optiques de substances isotropes
centro-symétriques (céramiques et liquides (explosifs et nocifs) tels que le nitrobenzène (C6 H5 NO2 ) et
le sulfure de carbone (CS2 )). Les matériaux acquièrent ainsi des propriétés de biréfringence analogues
à celles des cristaux uniaxes : la direction de l’axe optique du milieu anisotrope ainsi formé coı̈ncide
alors avec celle du champ électrique E,
ne − n0 = Kλ0 E 2 ,
(5.4.5)
La constante positive ou négative K appelée constante de Kerr. On en déduit le déphasage
introduit par la biréfringence
V
ϕK = −2πKd( )2 ,
(5.4.6)
L
V étant la tension transversale entre les électrodes, d l’épaisseur du matériau traversé et L la distance
qui les sépare.
On explique l’effet Kerr par l’orientation des molécules polaires de la substance sous l’action
du champ électrique. Comme l’agitation thermique contrebalance cette orientation, l’effet est plus
important à basse température.
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5.4. BIRÉFRINGENCE ARTIFICIELLE
5.4.2
66
Action du champ magnétique
Effet Cotton-Mouton et effet Voigt
Ces effets quadratiques, dus à l’anisotropie optique provoquée par un champ magnétique transversal,
sont analogues à l’effet Kerr. Les matériaux se comportent alors comme des milieux uniaxes dont
l’axe optique est dirigé suivant le champ magnétique B,
ne − no = M λ 0 B 2 ,
(5.4.7a)
2
ϕB = −2πdM B .
(5.4.7b)
M est une constante positive ou négative appelée constante de Cotton-Mouton dans le cas
des liquides et constante de Voigt dans le cas des gaz. L’interprétation est analogue à celle de l’effet
Kerr : sous l’action du champ magnétique les molécules dotées d’un moment magnétique s’orientent
suivant le champ, ce qui modifie la polarisation diélectrique du milieu.
Effet Faraday
Certaines substances inactives acquièrent des propriétés de biréfringence circulaire sous l’action d’un
champ magnétique appliqué B a parallèle au faisceau lumineux. On l’observe aisément sur un cristal
de verre lourd (flint6 ), placé dans l’entrefer d’un électro-aimant. Un faisceau lumineux traverse successivement un polariseur, le cristal perforé et un analyseur. En l’absence du champ magnétique, on
croise le polariseur et l’analyseur de telle sorte qu’il y ait extinction. Lorsqu’on fait agir le champ, on
constate que la lumière réapparaı̂t. On retrouve l’extinction en tournant l’analyseur d’un angle qui
augmente avec l’épaisseur d du verre traversé. L’angle de rotation est
α = Ve Ba d,
(5.4.8)
où Ve est la constante de Verdet.
L’effet Faraday présente une différence essentielle avec l’activité naturelle : l’angle de rotation
change lorsqu’on inverse le sens du champ magnétique par rapport au sens de propagation de la
lumière. L’effet est donc doublé si, après une première traversée, le faisceau est réfléchi par un miroir.
Dans le cas d’une substance naturellement active, une telle expérience restitue la polarisation initiale
après la seconde traversée.
5.4.3
Biréfringence mécanique ou photoélasticité
L anisotropie optique par contrainte mécanique, appelée photoélasticité, est une technique très
utile pour observer le champ des contraintes qui s’exercent sur des matériaux solides tels que les
bakélites, les résines synthétiques le verre, etc.
On forme, en éclairage monochromatique, l’image d’un bloc transparent de plexiglas placé entre
polariseur et analyseur croisés : il y a extinction. Lorsqu’on soumet le bloc à une contrainte mécanique
uniforme, on constate que la lumière réapparaı̂t ; comme une rotation de l’analyseur ne restitue pas
l’extinction, la vibration émergente est elliptique. En revanche, en tournant la lame sous contrainte, on
retrouve l’extinction pour deux directions perpendiculaires. Ainsi, le matériaux est devenu anisotrope
avec un axe optique dirigé suivant la direction du champ de contraintes.
La relation entre la biréfringence et la pression p est approximativement linéaire,
6
SiO2 dopé au potassium et au plomb, éventuellement aussi au fluor et au baryum. Un verre flint est fortement
réfringent, contrairement aux verres de type crown.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
5.4. BIRÉFRINGENCE ARTIFICIELLE
67
ne − no = Cm p,
2πd
ϕm = −
Cm p
λ0
(5.4.9a)
(5.4.9b)
Cm , est une constante positive ou négative que l’on exprime en Pa−1 .
Différents matériaux courants sont biréfringents par photo-élasticimétrie : ruban de scotch, cellophane, plastique d’emballage, boı̂tier de CD, règle en plastique,. . . . Cela est souvent dû à des effets
de contrainte lors de la fabrication de ces matériaux, qui leur confère une certaine anisotropie, visible
en lumière polarisée par l’apparition de couleurs.
Que retenir sur la biréfringence ?
1. Anisotropie linéaire
(a) Cristaux naturels :
i. la calcite (CaCO3 ), et donc le spath,
ii. le quartz (SiO2 ),
iii. le fluorure de magnésium MgF2 , utilisé en couches minces pour des traitements antireflets.
Les milieux désordonnés tels que les fluides ou les solides amorphes ne présentent pas
d’anisotropie, mais une fois ordonnés, comme dans les cristaux liquides, il apparaı̂t une
biréfringence.
(b) Biréfringence provoquée :
Par des contraintes extérieures, telles que des contraintes
i. électriques (effet Pockels, effet Kerr)
ii. magnétiques (effet Voigt)
iii. mécaniques (photoélasticité)
Ces contraintes appliquées à des matériaux isotropes les rendent biréfringents.
2. Anisotropie circulaire
(a) Cristaux naturels :
L’anisotropie circulaire est due à l’absence de centre de symétrie du cristal (il peut
néanmoins exister des plans de symétrie). Le quartz, par exemple, présente une anisotropie
circulaire (en plus de son anisotropie linéaire) : en effet, les molécules de SiO2 sont arrangées en hélices droites ou gauches.
(b) Molécules en solution :
C’est le cas des molécules chirales comme le saccharose, la plupart des molécules biologiques et en particulier les acides aminés.
(c) Anisotropie circulaire provoquée :
par un champ magnétique : c’est l’effet magnéto-optique dit de Faraday, que l’on peut
rencontrer dans un barreau de verre (isotrope) de type flint.
3. Anisotropie elliptique
(a) Anisotropie elliptique provoquée :
par un champ électrique : c’est l’effet Kerr que l’on peut rencontrer dans les molécules
polaires.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
CHAPITRE
6
ANTENNES
Sommaire
6.1
Antenne linéaire
6.2
Résistance de rayonnement
6.3
Antennes réceptrices
6.4
Réseaux d’antennes
6.5
Radar à balayage électronique
Dans ce chapitre on s’intéresse au calcul du rayonnement produit par une ou plusieurs antennes
linéaires. En général, la dimension des antennes peut être comparable à la longueur d’onde et donc
on ne peut pas utiliser le développement multipolaire.
6.1
Antenne linéaire
Considérons une antenne faite d’une tige conductrice de hauteur totale `. On suppose que le courant
circulant dans l’antenne est sinusoı̈dal en t et varie d’une certaine façon en z. La densité de courant
correspondante est alors
J (r) = δ(x)δ(y)I(z)ẑ.
(6.1.1)
Le potentiel vecteur correspondant dans la zone de rayonnement est
µ0 eik·r
N (k),
4π r
A(r) =
(6.1.2)
où vecteur de rayonnement
Z
N (k) =
3 0
0
−ik·r 0
d r J (r )e
Z
= ẑ
dzI(z)e−ikz cos θ ,
(6.1.3)
avec θ l’angle entre la point d’observation et l’axe ẑ.
Avant de continuer, nous devons connaı̂tre la distribution I(z) du courant dans l’antenne. On peut
supposer que le courant est le résultat d’une onde se propageant dans un guide et que sa dépendance
spatiale dans l’antenne est sinusoı̈dale en z avec nombre d’onde k = ωc . Ceci est intuitivement
68
6.1. ANTENNE LINÉAIRE
69
raisonnable, mais pas tout-à-fait évident. En réalité, cette supposition est correcte uniquement dans
la limite où l’antenne est infiniment fine. Dans le cas d’un diamètre fini, il faut solutionner un difficile
problème aux limites. Nous nous limiterons ici à l’approximation sinusoı̈dale.
Figure 6.1.1 – Graphique du courant I(z) pour une antenne alimentée en son milieu, pour quatre valeurs
de k`. On remarque la symétrie z → −z.
Supposons maintenant que l’antenne est alimentée en courant en son milieu, par un câble coaxial.
Le courant sera donc nul aux extrémités (figure 6.1.1). On écrit alors
1
I(z) = I0 sin
k` − k|z| .
2
(6.1.4)
La valeur absolue est essentielle : le courant doit être symétrique par rapport à z = 0, car les deux
conducteurs coaxiaux du câble d’alimentation doivent avoir des courants opposés en tout temps. En
substituant dans la formule (6.1.3), on obtient
Z +`/2
N (k) = I0 ẑ
dz sin
−`/2
Z +`/2
1
k` − k|z| e−ikz cos θ
2
1
k` − k|z| cos(cosθ)
2
0
Z +`/2
1
1
dz sin
= I0 ẑ
k` − kz(1 − cos θ) + sin
k` − kz(1 + cos θ)
2
2
0
=2
I0
ẑ
k
dz sin
= 2I0 ẑ
cos
1
2 k` cos θ
− cos
1
2 k`
sin2 θ
(6.1.5)
.
Nous avons appliqué l’identité trigonométrique
2 sin a cos b = sin(a + b) + sin(a − b),
(6.1.6)
en passant de (??) à (6.1.5).
Les champs sont
µ0 ikeik·r
k̂ × N (k),
4π r
cµ0 ikeik·r
E(r) = cB(r) × k̂ =
[N (k) − k̂(k̂ · N (k))].
4π
r
B(r) = ∇ × A(r) =
(6.1.7a)
(6.1.7b)
Le vecteur de Poynting moyenné dans le temps est
hSi =
1
c
<(E × B ∗ ) =
|B|2 k̂.
2µ0
2µ0
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2012 (6.1.8)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
6.1. ANTENNE LINÉAIRE
70
La quantité d’intérêt ici est la puissance rayonnée par angle solide
dP
c µ20 k 2
= r2 hS · k̂i =
|k̂ × N (k)|2
dΩ
2µ0 16π 2
k2
=
|N (k)|2 sin2 θ
32π 2 ε0 c
=
La valeur de
quelques cas.
1
2 k`
I02
8π 2 ε

0c
cos
1
2 k` cos θ

− cos
1
2 k`
sin θ
(6.1.9a)
(6.1.9b)
2
 .
(6.1.9c)
influence énormément la distribution angulaire du rayonnement. Considérons
1. Antenne courte : k` 1. Dans ce cas
1
1
1
cos
k` cos θ − cos
k` ' (k`)2 (1 − cos2 θ),
2
2
8
(6.1.10)
I02 (k`)4
dP
=
sin2 θ.
dΩ
8 × 64π 2 ε0 c
(6.1.11)
ce qui mène à
Ceci concorde avec le rayonnement d’un dipôle de grandeur d =
I0 `2
4c .
2. Antenne demi-onde : k` = π ou ` = λ2 . On a
dP
I 2 cos2 π2 cos θ
= 20
.
dΩ
8π ε0 c
sin2 θ
(6.1.12)
On constate que la puissance rayonnée chute comme θ2 quand θ est petit.
3. Antenne onde : k` = 2π ou ` = λ. On a
I 2 (cos(π cos θ) + 1)2
dP
I02 cos4 π2 cos θ
= 20
=
.
dΩ
8π ε0 c
2π 2 ε0 c
sin2 θ
sin2 θ
(6.1.13)
Le rayonnement antenne onde est encore plus directionnel que rayonnement de l’antenne demionde.
Remarque 6.1.1
1. Nous avons négligé la résistance ohmique de l’antenne, ce qui mène à une
exagération du courant circulant près des extrémités. Le courant étant réduit à mesure qu’on
s’éloigne du point d’alimentation, le patron de rayonnement en est certainement affecté.
2. Nous avons supposé que l’antenne est isolée. En réalité, le sol est un conducteur et un traitement
plus correct inclut une image de l’antenne qu’on place au-dessous du sol et qui interfère avec
l’antenne principale.
3. On appelle le gain de l’antenne g (θ, ϕ), la dépendance angulaire de la puissance rayonnée,
normalisée à l’unité :
Z
1 dP
,
dΩg(θ, ϕ) = 1.
(6.1.14)
g(θ, ϕ) =
P dΩ
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6.2. RÉSISTANCE DE RAYONNEMENT
6.2
71
Résistance de rayonnement
Sachant que
Z π
cos2 π2 cos θ
sin θ
0
dθ = 1. 218 8,
la puissance rayonnée totale dans le cas de l’antenne
I2
P = 20
8π ε0 c
Z
λ
2
(6.2.1)
est,
cos2 π2 cos θ
1
I02
≈
dϕdθ sin θ
2.44
.
2
4πε0 c
sin2 θ
(6.2.2)
Cette puissance (moyennée dans le temps) varie comme le carré du courant. On définit la résistance
radiative Rr par analogie avec la loi d’Ohm pour les courants alternatifs :
1
P = Rr I02 .
2
(6.2.3)
Le facteur 21 provient de la dépendance sinusoı̈dale du courant dans le temps. En effet, la moyenne
temporelle de I02 sin2 ωt = 12 I02 .
• Dans le cas de l’antenne demi-onde,
Rr =
• Dans le cas de l’antenne λ, en vertu de
Rr =
2.44
≈ 73 Ω .
4πε0 c
R π cos4 ( π2 cos θ)
0
sin θ
(6.2.4)
dθ = 0.829 53, la résistance radiative est
0.829 53 × 8
≈ 200 Ω .
4πε0 c
(6.2.5)
L’antenne λ, à courant constant, est donc un radiateur plus efficace que l’antenne λ2 . Cependant, en
pratique, on doit aussi considérer le raccordement d’impédance entre le guide d’onde qui alimente
l’antenne et cette dernière. L’antenne peut être considérée comme une charge qu’on ajoute en série
avec le circuit du guide d’onde (ou du câble de transmission) et la puissance rayonnée en fonction de
la tension d’entrée du câble dépend de la résistance de rayonnement et de l’impédance caractéristique
du câble.
6.3
Antennes réceptrices
Bien entendu, une antenne peut servir à la fois d’émetteur et de récepteur d’ondes électromagnétiques.
La situation de récepteur est a priori assez différente de celle d’un émetteur : au lieu d’un transfert
d’énergie de l’antenne vers l’extérieur via une onde émise radialement, on assiste plutôt à un transfert
d’énergie d’une onde plane incidente vers le circuit de l’antenne. De la même manière que l’émission
par une antenne se fait préférablement dans certaines directions, la réception par une antenne est
meilleure pour des ondes incidentes à partir de certaines directions, les mêmes d’ailleurs que pour
l’émission.
La puissance transmise à un circuit par une antenne dépend beaucoup de la charge (load) de
ce circuit. Nous avons vu plus haut qu’une antenne, dans un mode d’émission particulier, peut être
caractérisée par une résistance de rayonnement Rr . En fait, la relation entre la tension alternative
de fréquence ω qui alimente l’antenne à ses bornes et le courant qui y circule peut être pleinement
qualifiée par une impédance d’entrée Zi dont la partie réelle est précisément la résistance de
rayonnement. Du point de vue de la théorie des circuits, on peut simplement remplacer l’antenne par
une impédance équivalente Zi (figure 6.3.1). Lors de la réception d’un signal, maintenant, on observe
une tension V aux bornes de l’antenne et son impédance d’entrée devient ici une impédance interne.
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6.4. RÉSEAUX D’ANTENNES
72
La puissance communiquée à la charge du circuit est maximale lorsque l’impédance Zc de la charge
est la conjuguée complexe de l’impédance de l’antenne Zi : Zc = Zi∗ . Notons que le calcul précis de
la réactance de l’antenne est assez difficile, alors que sa résistance est pratiquement donnée par la
résistance de rayonnement.
Nous allons maintenant énoncer, sans le démontrer, un théorème sur la puissance absorbée, Pabs ,
par la charge d’une antenne dans le cas où Zc = Zi∗ , quand une onde plane est incidente de la
direction k̂0 = (θ0 , ϕ0 ) :
λ2
g(θ0 , ϕ0 )S 0 |0 · r (k0 )|2 .
4π
Pabs =
(6.3.1)
λ la longueur d’onde, g(θ0 , ϕ0 ) est le gain de l’antenne (en émission) dans la direction de k0 , S 0
est le flux d’énergie (vecteur de Poynting) associé à l’onde incidente, 0 est le vecteur de polarisation
de l’onde incidente et r (k0 ) est le vecteur de polarisation de l’onde qui serait émise par l’antenne
dans la direction k̂0 . On voit que non seulement l’onde incidente doit parvenir d’une direction de
fort gain de l’antenne, mais avec la polarisation adéquate pour une réception optimale. Notons que
λ2
la quantité 4π
g(θ0 , ϕ0 ) joue en quelque sorte le rôle de la surface efficace de l’antenne.
Figure 6.3.1 – Représentation schématique d’une
Figure 6.3.2 – Réseau d’antennes de pas a dis-
antenne réceptrice comme élément de circuit.
posées linéairement le long de l’axe des x.
6.4
Réseaux d’antennes
Il est souvent utile de disposer des antennes en réseau, afin de mieux contrôler la dépendance angulaire
du rayonnement, en particulier par un contrôle du déphasage des différentes antennes.
Considérons un ensemble de N antennes identiques, disposées à des positions r j (j = 1, 2, . . . , N )
et alimentées avec des courants de même formes, mais de valeurs différentes Ij = I0 γi , où I0 est
une valeur typique du courant ; le facteur γj peut représenter une grandeur et une phase relative du
courant de l’antenne j par rapport à une valeur de référence. Soit N 0 l’amplitude du rayonnement
produit par une antenne située à l’origine et alimentée par un courant I0 . La même antenne, située
à la position r j et alimentée par un courant I0 γj résultant d’une densité de courant J 0 γj , produirait
une amplitude
Z
N j = γj
0
d3 r0 J (r 0 − r j )e−ik·r = γj e−ik·r N 0 .
(6.4.1)
L’amplitude totale provenant des N antennes est donc
N = N0
N
X
γj e−ik·r .
(6.4.2)
j=1
Notons qu’il n’est pas nécessaire que les antennes soient linéaires. Cette relation vaut pour toute
collection de systèmes rayonnants identiques.
Considérons maintenant N antennes également espacées le long de l’axe des x, avec une distance
a séparant deux antennes consécutives (figure 6.3.2). Les positions des antennes sont alors r j = jax̂.
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6.4. RÉSEAUX D’ANTENNES
73
Supposons de plus qu’elles sont toutes alimentées en phase, avec des courants de même amplitude
(γj = 1). On trouve alors
N = N0
N
X
e−iak·x̂ = N 0
j=1
N
X
e−ijα ,
(6.4.3)
j=1
où α = ak · x̂ = ak sin θ cos ϕ. Comme
N
X
qj =
j=1
on trouve
N
X
1 − qN
,
1−q
(6.4.4)
Nα
1 − e−iN α
−i(N −1)α/2 sin 2
.
=
e
1 − e−iα
sin α2
e−ijα =
j=1
(6.4.5)
L’amplitude du rayonnement est alors
N = N 0 e−i(N −1)α/2
sin N2α
,
sin α2
(6.4.6)
et la dépendance angulaire du rayonnement est
dP
dP sin2 N2α
,
=
dΩ
dΩ 0 sin2 α2
(6.4.7)
où le préfacteur est la dépendance angulaire du rayonnement pour une seule antenne. Le dernier
facteur module en quelque sorte le patron de rayonnement d’une antenne simple.
La fonction
sin2 N x
,
(6.4.8)
sin2 x
revient à chaque fois qu’un réseau linéaire d’antennes ou de systèmes rayonnants identiques
est considéré.
fN (x) =
C’est une fonction de période π en x. Plus N est grand, plus cette fonction est piquée autour des
π
valeurs x = nπ (n un entier). Le premier zéro de cette fonction est à x = N
et donc les pics ont une
2π
largeur ax = N (figure 6.4.1). Si N est grand mais x petit, fN (x) est approximativement égale à
sin2 N x
. Comme
x2
1 sin N x 2
lim
= πδ(x),
(6.4.9)
N →∞ N
x
on a la correspondance avec un peigne de Dirac,
X
1 sin2 N x
=
π
δ(x − nπ).
N →∞ N sin2 x
n∈Z
lim
(6.4.10)
Supposons maintenant que le rayonnement d’une antenne isolée soit maximal sur l’équateur (θ =
Le rayonnement du réseau d’antennes, lui, sera maximal dans les direction telles que α = 2nπ
(interférence constructive), où n est un entier, ou encore
π
2 ).
ak cos ϕ = 2nπ.
(6.4.11)
Si ak < 2π, la seule solution est à ϕ = ± π2 , correspondant à n = 0. Sinon, d’autres maximums
peuvent survenir. Plus N est grand, plus le rayonnement est directionnel. Un arrangement linéaire
d’antennes permet donc de diriger le rayonnement plus efficacement dans un direction donnée (figure
6.4.2). La largeur du maximum à ϕ = π2 est 2δ, où δ est déterminé par
2π
π
λ
2πa
= ak cos
−δ '
δ⇒δ'
.
N
2
λ
Na
α=
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2012 (6.4.12)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
6.5. RADAR À BALAYAGE ÉLECTRONIQUE
Figure 6.4.1 – Représentation graphique de
2
Nx
fN (x) = sin
sin2 x pour N = 6. Quand N → ∞,
la fonction devient proportionnelle à un peigne de
Dirac.
6.5
6.5.1
74
Figure 6.4.2 – Distribution angulaire de la puissance rayonnée par trois antennes alimentées en
phase (γi = 1) et séparées par une distance a = λ4
(ka = π2 ) et a = λ2 (ka = π). On remarque que
le rayonnement est principalement dirigé le long de
l’axe y.
Radar à balayage électronique
Radar
Le radar (radio detection and ranging)1 est un dispositif qui émet une onde hyper-fréquence et
reçoit les ondes réfléchies par les objets (avions, navires, . . . ) distants. On peut ainsi déterminer la
position et la vitesse (et donc la distance) des objets et parfois leur nature.
Le tableau (1.5.2) décrit les bandes de fréquences utilisées dans les radars. Les lettres qui les
désignent étaient à l’origine, pendant la deuxième guerre mondiale, un code secret permettant de
nommer les fréquences radar sans les divulguer.
Le radar envoie des impulsions très courtes (1 µs) dans une direction donnée. Si un objet-cible
se trouve dans cette direction, il réfléchit une fraction de l’onde vers le radar et le récepteur capte
un signal, appelé écho radar. Le retard ∆t du signal reçu par rapport au signal émis donne la
distance d = c ∆t
2 entre le radar et l’objet, ce qui détermine la position de l’objet. Lorsque l’objetcible s’approche du radar avec la vitesse radiale vr , il voit une onde de fréquence ν 0 décalée par effet
Doppler (ν 0 − ν = vr vc ). L’onde reçue par le radar est décalée une seconde fois en fréquence par effet
Doppler (la source de cette onde est l’objet-cible qui est en mouvement par rapport au radar). Soit
ν 00 la fréquence reçue par le radar et ∆ν = ν 00 − ν le décalage en fréquence de ce double effet Doppler.
On a ν 00 − ν 0 = vr vc et ∆ν = vr vc . On obtient la vitesse radiale vr de l’objet-cible par mesure de ∆ν
(si l’objet-cible s’éloigne, vr < 0 et ∆ν < 0).
Un radar de veille utilise une antenne directive tournant autour d’un axe vertical (à la vitesse
∼ 0.1 tour par seconde). L’antenne émet dans un dièdre d’arête verticale et de faible ouverture
(de l’ordre de 1 ◦ ). Ce système permet d’afficher sur un oscilloscope, appelé indicateur, la position
horizontale des avions sous forme de points lumineux. Le radar correspond au centre C de l’écran et
le faisceau électromagnétique qui balaye l’espace est visualisé par une aiguille lumineuse qui tourne
sur l’écran autour de C.
Mis au point à l’origine comme instrument de guerre, le radar est aujourd’hui également utilisé
dans d’autres domaines, comme la navigation, le contrôle du trafic aérien, la météorologie et la
radioastronomie.
6.5.2
Radar à balayage électronique
Le balayage électronique du faisceau radar est une application concrète de la mise en réseau des
antennes qui a pour finalité d’éviter de faire tourner une antenne. Considérons que les N antennes
1
Système de détection et de télémétrie par ondes radio
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6.5. RADAR À BALAYAGE ÉLECTRONIQUE
75
identiques alignées sur l’axe Ox sont numérotées par les entiers m = m1 , m1 + 1, · · · , m1 + N − 1 avec
m1 = − N2 . L’antenne numéro m est située au point Pm d’abscisse x = ma. La différence de phase,
en un point M du plan Oxz, entre les ondes émises par les antennes m et m + 1 est
φ = ka sin θ − φb .
(6.5.1)
Pour un grand nombre d’antennes (N 1), il n’y a des interférences constructives que si φ = 2πn
(n ∈ Z). Le réseau d’antennes n’émet donc que dans les directions θ satisfaisant à la relation
ka sin θ = φb + 2πn.
(6.5.2)
Figure 6.5.1 – Directions d’émission du radar à balayage électronique
La figure 6.5.1 donne une construction géométrique des directions d’émission du radar :
• on trace la sphère de centre O et de rayon ka ;
• on trace les plans d’équations X = φb + 2πn ;
• toute intersection Q de ces plans et de la sphère correspond une direction OQ d’émission du
faisceau radar.
Les directions d’émission se répartissent sur des cônes d’axe OX (deux cônes sur la figure 6.5.1).
Il y aura 0 ou 1 cône si a < λ2 .
Lorsqu’on fait varier φb , les demi-angles au sommet des cônes se modifient ce qui permet de faire
varier les directions d’émission. Mais ce système, par suite de la symétrique de révolution autour
de OX, ne permet pas le contrôle total de la direction d’émission. Pour corriger ce défaut, certains
dispositifs utilisent des antennes placées aux noeuds d’un quadrillage (réseau à deux dimensions). Ils
permettent de façon pratiquement instantanée de diriger le faisceau radar vers n’importe quel point
de l’espace par la modification électronique des phases des antennes.
Habituellement, le même réseau d’antennes radar est aussi utilisé pour recevoir l’onde renvoyée
par l’objet-cible. Pour cela, on superpose les signaux collectés par toutes les antennes, le signal de
l’antenne numéro m étant déphasé de mφb . Les signaux des N antennes sont alors en phase si la
condition (6.5.2) est vérifiée.
Cette méthode permet de réaliser un récepteur très directif, ce qui évite la détection de signaux
parasites provenant de directions non visées par le faisceau radar.
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CHAPITRE
7
DIFFRACTION D’UNE ONDE LUMINEUSE ET RÉSEAUX OPTIQUES
Sommaire
7.1
Le phénomène de diffraction
7.2
Diffraction de Fraunhofer par un diaphragme plan
7.3
Fentes d’Young et réseaux de N fentes
On peut qualitativement définir la diffraction comme le phénomène d’éparpillement de la
lumière lié à la rencontre d’obstacles D de dimensions comparables à la longueur d’onde lumineuse.
La diffraction entraı̂ne, en effet, une modification brusque de la marche des rayons lumineux après
la traversée de l’obstacle D et se traduit par une tache qui entoure l’image géométrique. On ne peut
expliquer ce phénomène à l’aide des résultats de l’optique géométrique dans laquelle λ est au contraire
négligeable devant les dimensions du système optique.
La diffraction joue un rôle essentiel dans la formation des images puisque tout système optique
limite irrémédiablement l’étendue d’une onde incidente. On peut observer la diffraction de la lumière
en regardant, à travers la toile d’un parapluie, les lumières de la rue ou du Soleil (figure 7.1.2 (b)).
Ordinairement, les phénomènes de diffraction sent peu visibles et en doit les observer attentivement.
La théorie de diffraction permet aussi de comprendre le principe des réseaux optiques, objets ayant
une structure périodique.
La diffraction représente l’essence même du comportement ondulatoire. Cependant,
le traitement complet à partir des équations de Maxwell est extrêmement lourd du point de vue
numérique pour des obstacles de forme quelconque. L’onde est, dans ce cas, une quantité vectorielle.
Kirchhoff a développé une théorie scalaire de ce phénomène qui permet de simplifier le traitement.
L’expression de Kirchhoff reste néanmoins trop complexe pour un traitement aisé. Deux approximations très importantes dans ce contexte sont celles de Fresnel et Fraunhofer. C’est cette dernière
qui nous intéresse dans ce chapitre.
7.1
Le phénomène de diffraction
7.1.1
Mise en évidence expérimentale
On considère le dispositif expérimental représenté par la figure 7.1.1. Le faisceau sortant du laser
étant parallèle, en pourrait s’attendre, d’après l’optique géométrique, à obtenir sur l’écran une tache
76
7.1. LE PHÉNOMÈNE DE DIFFRACTION
77
Figure 7.1.2 – Simulation de la diffraction d’une
Figure 7.1.1 – Mise en évidence de la diffraction. Le diaphragme D est une fente fine de largeur
a, situé à la distance L de l’écran d’observation (E)
supposée grande devant a et λ.
onde par une ouverture circulaire (a) et une ouverture
carrée (b). La tache centrale est entourée de taches
secondaires beaucoup moins intenses.
de largeur a. Il n’en est rien et on constate, au contraire, que la tache de lumière sur l’écran s’élargit
lorsque a diminue. En examinant la répartition de l’intensité lumineuse sur l’écran, on observe plutôt
une tache centrale entourée de taches secondaires beaucoup moins intenses (figure 7.1.2).
La largeur angulaire de la tache centrale est égale à y = 2θL = 2 λa L si a L.
Exemple 7.1.1 Pour λ = 632.8 nm (laser He-Ne), a = 0.5 mm et L = 3 m, on obtient une largeur
de tache centrale sur l’écran d’environ7.6 mm, c’est-à-dire que le phénomène de diffraction facilement
visible.
7.1.2
Principe de Huyghens-Fresnel
Figure 7.1.3 – Illustration du principe de Huyghens. Tout point M d’une surface
P d’onde
P
se
comporte comme une source secondaire émettant une ondelette sphérique. La surface d’onde
est donnée
par
P0
l’optique géométrique : le point P 0 est laissé dans l’ombre par le cône de lumière. La surface d’onde
est
donné par le principe de Huygens : le point P est touché par des ondes secondaires.
Il permet, par une théorie scalaire, de donner une interprétation qualitative et quantitative du
phénomène de diffraction, d’expliquer et de calculer la répartition de l’intensité lumineuse dans une
tache de diffraction.
Son énoncé comporte deux parties :
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7.1. LE PHÉNOMÈNE DE DIFFRACTION
78
1. Contribution d’Huyghens (1678). La lumière se propage de proche en proche. Chaque
élément de surface dA centré en M qu’elle atteint se comporte comme une source secondaire
qui émet des ondelettes sphériques dont l’amplitude est proportionnelle à cet élément et à
l’amplitude de l’onde au point M (figure 7.1.3).
2. Contribution de Fresnel (1818). L’amplitude complexe de la vibration lumineuse au point
P est la somme des amplitudes complexes des vibrations produites par toutes les sources secondaires. Ces vibrations interfèrent pour former la vibration au point P .
Il est à noter que l’addition des amplitudes complexes découle naturellement de la linéarité des
équations de Maxwell. Dans la suite, nous travaillerons avec des ondes monochromatiques de fréquence
ω et d’amplitude complexe ψ : ψe−iωt . Dans ces conditions, le facteur e−iωt par commodité sera omis.
Considérons une onde monochromatique tombant sur un diaphragme D. L’amplitude complexe de
l’ondelette émise en M dans la direction M P est dA ψ(M )Q, avec dA l’élément de surface entourant
M ∈ D et Q le coefficient d’inclinaison, homogène à l’inverse d’une longueur, qui dépend de l’angle
θ que fait M P avec la normale en M à la surface A. L’amplitude complexe de cette ondelette (émise
ikr
en M ) en P est dAψ(M )Q e r avec r = M P . Ainsi, l’amplitude complexe de la vibration en P s’écrit
eikr
,
(7.1.1)
r
A
sommation des amplitudes complexes des ondelettes émises par les points tels M situés à
l’intérieur du domaine D.
Z
ψ(P ) =
dA ψ(M )Q
On fait très souvent les hypothèses simplificatrice suivantes :
• les rayons diffractés sont peu inclinés sur l’axe optique, i.e., Q = cte ;
• l’onde incidente est plane, i.e., ψ(M ) = t(M )ψi (M ) = t(M )ψi e−ik·OM , t(M ) étant la transmittance de la surface diffractante. Cette transmittance est souvent de type binaire, i.e., t(M ) = 1
pour tout point M à l’intérieur de D et t(M ) = 0 autrement.
Les phénomènes de diffraction sont usuellement classés en deux catégories :
1. La diffraction de Fresnel pour laquelle l’ouverture ou l’obstacle est à une distance finie de
la source ponctuelle et du point d’observation. Les calculs sont assez compliquées.
2. La diffraction de Fraunhofer pour laquelle la source et l’écran sont assez éloigné de l’ouverture. Les calculs sont plus simples.
Nous nous limiterons dans ce chapitre à ce deuxième type de diffraction.
7.1.3
Écrans d’amplitude et de phase
On distingue deux grandes familles d’écrans. Ceux qui n’agissent que sur l’amplitude de l’onde et
ceux qui agissent sur sa phase.
1. Écrans d’amplitude. Dans ce cas t(x, y) est réel positif et représente la transparence du
masque ou écran diffractant. Les filtres, fentes ou diaphragme appartiennent à cette catégorie
de masque. On définit une quantité appelée densité
D(x, y) = − log10 t(x, y),
(7.1.2)
c’est-à-dire qu’un filtre de densité 4 a un coefficient de transmission constant de 10−4 .
2. Écrans de phase. Sont concernés les prismes, lentilles, certains types de réseaux de diffraction,
les lames de verre, etc. . . Ce sont généralement des écrans qui
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7.2. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER PAR UN DIAPHRAGME PLAN
79
• ont un indice de réfraction dépendant de la position (ex : bulles de gaz, atmosphère
turbulente...) ;
• ont un indice fixe, différent de celui du milieu environnant, et dont l’épaisseur est fonction
de la position (ex : prisme).
7.2
Diffraction de Fraunhofer par un diaphragme plan
Considérons un diaphragme D pris dans le plan Oxy. Désignons par Oz la normale à ce plan,
M (x, y, z) et P (X, Y, z) (figure 7.2.1.(a). La relation entre r = M P et R = OP est
r=
q
(X − x)2 + (Y − y)2 + z 2 =
q
X 2 + Y 2 + z 2 + x2 + y 2 − 2xX − 2yY
s
=
q
R2 + x2 + y 2 − 2xX − 2yY = R 1 +
x2 + y 2
xX + yY
−2
.
2
R
R2
(7.2.1a)
(7.2.1b)
Figure 7.2.1 – Diffraction par un diaphragme plan.
7.2.1
Approximation de Fraunhofer
Cette approximation consiste à supposer R est très grand devant les autres dimensions de telle sorte
que le coefficient
i
,
(7.2.2)
Q'
2λ
et que le développement binomial (7.2.1b) de r ne contienne que des termes linéaires en x ou y :
r ' R(1 −
xX + yY
xX + yY
)=R−
= R − (αx + βy),
2
R
R
(7.2.3)
où
X
Y
, β= ,
(7.2.4)
R
R
sont les coefficients directeurs du vecteur unitaire ê dans la direction du vecteur d’onde1 . Ainsi,
α=
r ' R − ê · OM .
(7.2.5)
α
1
β , avec α2 + β 2 + γ 2 = 1.
k = 2π
λ γ
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7.2. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER PAR UN DIAPHRAGME PLAN
7.2.2
80
Formule fondamentale
En vertu de (7.2.5) et (7.2.2), l’expression (7.1.1) devient
ieikR
ψ(P ) ≈
2λR
soit, en posant ψ0 =
Z
dA t(M )ψi (M )e−ik·OM ,
(7.2.6)
A
ieikR
2λR ψi (M ),
Z
ψ(P ) = ψ0
dA t(M )ψi (M )e−ik·OM .
(7.2.7)
A
C’est la formule fondamentale de diffraction dans l’approximation de Fraunhofer.
Dans l’approximation de Fraunhofer, les ondes qui se superposent dans le plan d’observation
sont véhiculés par des rayons qui se rencontrent (interfèrent) à l’infini. Ainsi, les rayons à
considérer, issus des points O et M de la pupille diffractante doivent être parallèles (figure
7.2.1.(b)).
Le terme de phase linéaire e−ik·OM , caractéristique de la diffraction de Fraunhofer, s’écrit
2π
e−ik·OM = e−ik(αx+βy) = e−i2π(ux+vy) = e−i λ (x sin θx +y sin θy ) ,
(7.2.8)
avec
α
sin θx
β
sin θy
=
, v= =
,
(7.2.9)
λ
λ
λ
λ
les fréquences spatiales en raison de leur dimension physique qui est l’inverse d’une longueur.
En raison de l’intérêt de l’approximation de Gauss en optique géométrique, on suppose les angles
petits, sin θx ≈ θx , sin θy ≈ θy , et R ≈ z. L’expression de l’amplitude (7.2.7) devient
u=
ZZ
ψ(u, v) = ψ0
dxdy t(x, y)e−i2π(ux+vy) ,
(7.2.10a)
D
avec
θx
X
θy
Y
≈
, v≈
≈
.
λ
λz
λ
λz
L’intensité diffractée dans la direction (u, v) est donc
u≈
2
I(u, v) = |ψ(u, v)| = |ψ0
ZZ
dxdy t(x, y)e−i2π(ux+vy) |2 .
(7.2.10b)
(7.2.11)
D
7.2.3
Pupille rectangulaire
Considérons la fente rectangulaire de cotés (a, b) éclairée par une onde monochromatique en incidence
normale (figure 7.2.2). Sur la fente, t(x, y) = 1.
D’après (7.2.10a),
Z a/2
ψ(u, v) = ψ0
−a/2
dx e−i2πux
Z b/2
dy e−i2πvy ,
(7.2.12a)
−b/2
= ψ0 ab sinc(πua) sinc(πvb),
(7.2.12b)
La fonction sinus cardinal, sinc x = sinx x , admet un maximum absolu en 0 et s’annule pour
x = mπ (figure 7.2.3).
L’intensité de l’onde se déduit aisément de (7.2.12a) :
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7.2. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER PAR UN DIAPHRAGME PLAN
Figure 7.2.2 – Pupille rectangulaire
81
Figure 7.2.3 – Fonction sinus cardinal sinc x =
(a, b)
I(u, v) = |ψ(u, v)|2 = I0 sinc2 (πua) sinc2 (πvb), I0 = I(0, 0) = |ψ0 ab|2 ,
sin
x .
(7.2.13)
La fonction sinc2 x admet un maximum en x = 0 et s’annule pour x = mπ (figure 7.2.4).
Figure 7.2.4 – Fonction sinc2 x. (a) pour |x| > π, l’intensité reste inférieur à 5% de principale. (b)
Représentation en 3D.
L’intensité I(u, v) a donc sa valeur maximale lorsque u et v sont simultanément nuls. Les maxima
secondaires sont définis par
1
1
ua ≈ m1 + , vb ≈ m2 + , m1 , m2 ∈ Z.
2
2
(7.2.14)
Entre ces maxima, elle s’annule pour
ua = m1 , vb = m2 .
(7.2.15)
Quant à la largeur totale à mi-hauteur du maximum, elle varie en sens inverse des dimensions du
diaphragme :
0.89
1
0.89
1
∆u1/2 =
≈ , ∆v1/2 =
≈ .
(7.2.16)
a
a
b
b
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7.2. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER PAR UN DIAPHRAGME PLAN
82
Pour |ua| > 1 et |vb| > 1, l’intensité reste inférieur à 0.05I0 . En effet
1
I
=
= 0.045, 0.016, 0.0083, . . .
I0
m + 12 π 2
(7.2.17)
Puisque plus le pic central contient plus de 45 de l’énergie lumineuse, on assimile le plus souvent la
figure de diffraction à ce pic.
Plutôt que d’observer la figure de diffraction à l’infini, on utilise un écran placé dans le plan
focal image d’une lentille convergente afin de rendre compacte le montage. Dans ce cas, l’intensité
du faisceau de rayons diffracté dans la direction (u, v) se focalise au point P après avoir traversée la
lentille. Alors
X
Y
θ x ≈ 0 , θy ≈ 0 ,
(7.2.18)
f
f
et
I(X, Y ) = I0 sinc2
7.2.4
πa
πb
X sinc2
Y
λf 0
λf 0
.
(7.2.19)
Fente infiniment longue
Lorsque la fente est très longue dans une direction, par exemple si b a, avec λ b, la figure de
diffraction est modifiée. En effet, le maximum central est beaucoup plus étroit dans la direction u
que dans la direction v : (k = 2π(u, 0)). Et par conséquent,
2
2
I(u) = I0 sinc (πua) = I0 sinc
πa
X .
λf 0
(7.2.20)
La figure 7.2.5 montre la figure de diffraction observée à l’écran.
Figure 7.2.5 – Figure de diffraction obtenue pour une fente rectangulaire infiniment longue dans la direction
Oy. L’observation est faite dans le plan focal d’une lentille. (a) Représentation en 3D. (b) Représentation en
niveau de gris ou photographie.
7.2.5
Pupille circulaire
La diffraction par une pupille circulaire est d’une grande importance pratique puisque dans la plupart
des instruments optiques, les faisceaux lumineux sont limités par des diaphragmes circulaires, les
lentilles elles-mêmes constituants de tels diaphragmes.
Considérons donc une onde incidente normale sur un diaphragme circulaire de rayon R (figure
7.2.6). Si cet éclairement incident est normal au plan du diaphragme, la figure de diffraction présentera
la même symétrie de révolution que le diaphragme.
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7.2. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER PAR UN DIAPHRAGME PLAN
83
Figure 7.2.6 – Pupille circulaire de rayon R. Un point M de cette pupille est repéré par (ρ, θ).
La figure de diffraction est analogue à celle trouvée précédemment, sauf que la symétrie de
révolution amène à remplacer dans (7.2.20) la fonction sinus par une fonction de Bessel sphérique du
premier ordre
"
I(ρ) = I0
2J1 ( 2πR
λf 0 ρ)
2πR
λf 0 ρ
#2
, ρ=
p
X 2 + Y 2.
(7.2.21)
ρ est le rayon de la figure de diffraction dans plan focal image (00 , X, Y ) d’une lentille placée
derrière la pupille. La fonction de Bessel du premier ordre est définit par
z
J1 (z) =
π
Z 1
p
du cos(zu) 1 − u2 .
(7.2.22)
0
La figure de diffraction est constituée d’un disque lumineux appelé disque d’Airy (figure 7.1.2.(a)),
entouré de franges alternativement claires et sombres. La représentation dans le plan (O0 , X, Y ) est
donnée par la figure 7.2.6.
Figure 7.2.7 – Figure de diffraction par une pupille circulaire. L’observation est faite dans le plan focal de
la lentille. Représentations en 2D (a) et en 3D (b).
Le tableau (7.2.1) donne en plus du maximum principal, les premiers extremum de la fonction
d’Airy f (q) =
2J1 (q) 2
.
q
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7.2. DIFFRACTION DE FRAUNHOFER PAR UN DIAPHRAGME PLAN
q
0
3.83
5.14
7.02
8.42
10.17
f (q)
1
0
0.0175
0
0.042
0
84
ρ
0
0
1. 22 λf
2R
0
1. 63 λf
2R
0
2. 23 λf
2R
0
2. 68 λf
2R
0
3. 24 λf
2R
Table 7.2.1 – Premiers maxima et minima de la fonction d’Airy. Les positions sont repérées par les rayons
ρ sur un écran place dans le plan focal image d’une lentille convergente.
On remarque que la quasi-totalité de l’énergie est contenu dans le disque d’Airy dont le rayon
angulaire est donné par le premier zéro, i.e.,
ρ = 1. 22
λf 0
.
2R
(7.2.23)
C’est ce résultat important qui intervient dans la limite de résolution ou pourvoir séparateur des
instruments optiques.
7.2.6
Critère de Rayleigh
C’est le critère de séparation des images de deux points lumineux indépendants données par un
instrument.
On admet donc que deux points A1 et A2 de l’espace objet seront séparés par un instrument
optique si le maximum principal de la la figure de diffraction de A1 coı̈ncide avec le premier minimum
nul de la figure de diffraction de A2 dans l’espace image (figure 7.2.8).
Ainsi la limite de résolution spatiale d’un instrument optique est
ρ ≥ 1. 22
λf 0
,
2R
(7.2.24)
i.e., qu’elle est de l’ordre de grandeur de la longueur d’onde du rayonnement utilisé.
Figure 7.2.8 – Distribution d’intensités des images de deux points lumineux indépendants.
(a). Les deux points ne sont pas résolus ou distinctes. Les deux points sont quasiment confondus. Ici, ρ <
λ
. Les traits discontinus représentent le diagramme de l’intensité résultante. (b). Les deux points sont
1.22 2R
λ
justes résolus ou distinctes. Ici, ρ = 1.22 2R
. Le maximum principal d’un des points coı̈ncide avec le premier
minimum de l’autre point. Le creux de l’intensité résultante commence à être visible. (c). Les deux points sont
λ
suffisamment résolus ou distinctes. Ici, ρ > 1.22 2R
.
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7.3. FENTES D’YOUNG ET RÉSEAUX DE N FENTES
7.3
85
Fentes d’Young et réseaux de N fentes
7.3.1
Fentes d’Young
Il s’agit ici des fentes d’Young ayant de largeur ` chacune, éclairées par une source étendue monochromatique. La figure de diffraction observée sur un écran (E) placé à la distance D des sources et
parallèles à S1 S2 est une combinaison de la diffraction par les deux fentes de largeur ` et de l’interférence des deux faisceaux d’ondes diffractées. Au point M de l’écran, deux faisceaux F1 et F2
issus respectivement de S1 et de S2 interfèrent.
Supposons que l’écran d’observation soit placé très loin des fentes, i e., D a et D `. Les
faisceaux F1 et F2 forment le même angle θ par rapport à l’axe Oz. Les amplitudes complexes pour
chaque fente diffractante s’écrivent
Z `/2+a/2
ψ1 (θ) = ψ0 b
dx e
sin πλ `θ
π
ψ0 be−i λ aθ
π
λθ
π
sin λ `θ
iπ
aθ
ψ0 be λ
.
π
λθ
=
−`/2+a/2
Z `/2−a/2
ψ2 (θ) = ψ0 b
−i 2π
xθ
λ
2π
dx e−i λ xθ =
−`/2−a/2
,
(7.3.1a)
(7.3.1b)
L’amplitude complexe résultante est donc
ψ(θ) = 2ψ0 b` cos
π
π
aθ sinc
`θ .
λ
λ
(7.3.2)
Le terme cos πλ aθ rend compte de l’interférence des ondes issues des deux sources distantes de a ;
le terme sinc πλ `θ est caractéristique de la diffraction par une fente infiniment longue de largeur `
dans la direction θ.
x
Puisque dans le montage nous avons θ ≈ D
, l’amplitude résultante s’écrit
ψ(x) = 2ψ0 b` cos
π
π
ax sinc
`x ,
λD
λD
(7.3.3)
et la distribution de l’intensité est
π
1
`x
I(x) = I0 sinc2
2
λD
1 + cos
2π
ax
λD
.
(7.3.4)
Si l’écran est plutôt placé dans le plan focal image d’une lentille convergente,
1
π
I(x) = I0 sinc2
`x
2
λf 0
1 + cos
2π
ax
λf 0
.
La fonction I(x) est formée d’une fonction sinusoı̈dale, de période i =
L = f 0 ), modulée par l’enveloppe d’un sinus cardinal.
(7.3.5)
λ
aL
(L = D ou
La largeur de centrale de l’enveloppe, entre les deux premiers minima, est telle que,
π
2λ
`x = ±π ⇒ ∆x1/2 =
L.
0
λf
`
(7.3.6)
La figure 7.3.1 permet de visualiser les figures de diffraction par une et deux fentes.
7.3.2
Réseaux plans
Un réseau est un arrangement matériel régulier qui impose, à une onde plane incidente, une variation
périodique de son amplitude ou de sa phase ou des deux fois. Le réseau est alors dit d’amplitude, de
phase, ou d’amplitude et de phase. Ainsi, la caractéristique fondamental d’un réseau est sa période
a que l’on donne le plus souvent sous la forme de traits ou lignes par millimètre.
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7.3. FENTES D’YOUNG ET RÉSEAUX DE N FENTES
86
Figure 7.3.1 – Simulation des figures de diffrac-
Figure 7.3.2 – Réseau plan simple constitué par
tion par une et deux fentes.
un ensemble de fentes parallèle réalisant une transmittance t(x) périodique binaire.
Le réseau le plus simple est constitué par un ensemble de fentes parallèles réalisant une transmittance t(x) périodique binaire (figure 7.3.2).
Dans les sections suivantes, nous allons considérer un réseau plan de N fentes parallèle et sur
lequel tombe une onde plan monochromatique sous incidence θ0 par rapport à la normale au plan du
réseau (figure 7.3.3.(a)).
Figure 7.3.3 – Diffraction de Fraunhofer par un réseau de N fentes parallèles sous l’angle θ0 . (a). Le
dispositif d’observation est dans le focal d’une lentille convergente. θ est l’angle que font avec la normale les
rayons diffractés qui se rencontrent en P du point focal. (b). Chemins optiques du rayon passant par O et celui
passant par M , point homologue.
7.3.3
Relation fondamentale des réseaux
C’est l’équation donnant la position des maxima principaux d’intensité. On l’établit simplement en
traduisant un état interférentiel constructif entre toutes les ondes véhiculées par les rayons diffractés
qui se rencontrent en P (figure 7.3.3.(a)).
Puisque la différence de marche entre le rayon passant par O et celui passant par le point homologue M (figure 7.3.3.(b)) vaut
δ = OH − M H0 = a(sin θm − sin θ0 ).
(7.3.7)
On a des interférences constructives pour
2π
a(sin θm − sin θ0 ) = 2πm,
λ
(7.3.8)
soit
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7.3. FENTES D’YOUNG ET RÉSEAUX DE N FENTES
a(sin θm − sin θ0 ) = mλ,
87
(7.3.9a)
ou encore
λ
sin θm = sin θ0 + m .
(7.3.9b)
a
C’est la relation fondamentale des réseaux par transmission : pour une incidence
donnée θ0 , on obtient, pour une suite de valeurs m appelé ordre du spectre, des directions
θm correspondant à des maxima d’intensité ou maxima principaux.
Pour une longueur d’onde donnée, on ne trouve qu’un nombre fini de maxima principaux, puisque
| sin θm | ≤ 1,
(7.3.10)
et par conséquent,
λ
.
(7.3.11)
a
Ainsi, l’ordre maximal observable est λa . Ceci s’explique physiquement par le fait que la différence de
marche maximale entre deux ondes successives, obtenue quand l’onde émergente se propage verticalement (θ = π2 ), est égale à la distance inter-fente a.
On appelle spectre la partie de la figure de diffraction comprenant le maximum principal. Le
spectre d’ordre m contient le maximal principal associé à l’entier m.
La relation fondamentale des réseaux (7.3.9a) peut se mettre sous une forme vectorielle en introduisant les grandeurs vectorielles représentées sur les figures 7.3.4 (a) et (b) et le vecteur période du
réseau, a = ax̂.
m≤
Figure 7.3.4 – (a). Vecteurs d’ondes incidente k0 et émergente k. (b). K = k−k0 est le vecteur de diffusion
élastique. (c) Réseau par réflexion.
Comme les composantes de k0 et k suivant x̂ sont respectivement k0 sin θ0 et k sin θ, (7.3.9a)
s’écrit
a · (k − k0 ) = 2πm.
(7.3.12)
C’est sous cette forme vectorielle que l’on écrit généralement la relation des réseaux dans le cas de
la diffraction des rayons X par des cristaux.
Dans le cas des réseaux par réflexion (figure 7.3.4 (c)), l’angle θ0 est obtus, aussi, est-il plus
commode d’introduire l’angle d’incidence i = θ0 − π. La formule des réseaux devient alors
λ
sin θm + sin i = m ,
a
(7.3.13a)
ou
λ
sin θm = − sin i + m .
(7.3.13b)
a
On traduit géométriquement la relation fondamentale des réseaux en traçant un cercle trigonométrique
et le réseau suivant l’axe des ordonnées (figure 7.3.5). On porte successivement sur l’ordonnée sin θ0
(ou -sin i), m λa et la somme vaut sin θm . On en déduit alors θ.
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7.3. FENTES D’YOUNG ET RÉSEAUX DE N FENTES
88
Figure 7.3.5 – Représentation géométrique de la relation fondamentale des réseaux.
7.3.4
Intensité de l’onde diffractée par le réseau
Supposons que les N fentes du réseau, de pas a, ont un largeur ` et que N est impair. On repère les
positions des sources Sn par xn = na, avec n variant de −p à p, p = N 2−1 . Le centre repéré par x = 0
correspond à la fente centrale du réseau. Lorsque N est pair, on prend p = N2 et le centre x = 0
correspond au milieu de deux sources. En P convergent N , ondes résultant de la diffraction dans la
direction θ par les fentes de sources Sn centrés en xn = na, d’amplitude complexe
Z `/2+na
ψn (θ) = ψ0
dx
−i 2π
xθ
λ
π
sinc
`θ .
λ
−in 2π
aθ
λ
= ψ0 `e
−`/2+na
(7.3.14)
L’amplitude complexe totale en P s’écrit
ψ(θ) = ψ0 ` sinc
π
`θ
λ
X
p
2π
e−in λ aθ = ψ0 ` sinc
n=−p
π
`θ
λ
X
p 2π
e−i λ aθ
n
,
(7.3.15a)
n=−p
avec
p X
−i 2π
aθ
λ
e
n
= e
−i 2π
aθ
λ
N
2π
−p 1 − e−i λ aθ
2π
1 − e−i λ aθ
n=−p
=
iN π
aθ
λ
e
e
iπ
aθ
λ
−iN π
aθ
λ
π
= ei λ (N −1)aθ
1 − e−iN
2π
aθ
λ
2π
1 − e−i λ aθ
(7.3.15b)
sin N πλ aθ
.
=
sin πλ aθ
−e
π
− e−i λ aθ
Soit
sin N πλ aθ
sin N πλ aθ
π
π
.
ψ(θ) = ψ0 ` sinc
`θ
=
N
ψ
`
sinc
`θ
0
λ
sin πλ aθ
λ
N sin πλ aθ
Dans cette expression le terme sinc
π
λ `θ
finiment longue et de largeur ` et le terme
(7.3.16)
est caractéristique de la diffraction de la source in-
sin(N π
aθ)
λ
sin( π
aθ)
λ
caractéristique de l’interférence de N ondes
sphériques issues de sources distantes de a. Rappelons que dans le montage de la figure 7.3.3.(a),
θ ≈ fx .
La distribution de l’intensité diffractée est
2
I(θ) = I0 sinc
π
`θ
λ
"
#2
sin N πλ aθ
N sin πλ aθ
.
(7.3.17)
Elle est graphiquement représentée par la figure 7.3.6. La quantité
#2
sin N πλ aθ
R(θ) =
N sin πλ aθ
"
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2012 ,
(7.3.18)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
7.3. FENTES D’YOUNG ET RÉSEAUX DE N FENTES
89
appelée fonction du réseau est périodique et paire. Sa période a1 permet de retrouver la relation
fondamental des réseaux, puisque l’intensité de la lumière est maximale pour (règle de l’Hospital)
m
sin θm − sin θ0
m
θ
=
soit
= .
λ
a
λ
a
(7.3.19)
Figure 7.3.6 – Figure de la distribution d’intensité de diffraction par un réseau plan à N fentes. Pour
a = 6` ( = `), le sixième pic principal a une hauteur nulle.
La répartition de l’intensité dans le voisinage d’un maximum est celle de la figure de diffraction
d’une fente de largeur égale à la largeur totale L du réseau. Ainsi la largeur à demi-hauteur est, pour
u = λθ ,
0.89
1
∆u1/2 ≈
∼ .
(7.3.20)
L
L
7.3.5
Réseau en lumière polychromatique
Dispersion angulaire ou pouvoir dispersif
Les directions θm des maxima d’ordre m dépendent de la longueur d’onde λ de la radiation incidente :
le réseau disperse donc la lumière polychromatique. Sa dispersion angulaire est
Da =
dθm
m
1 sin θm − sin θ0
=
.
=
dλ
a cos θm
λ
cos θm
(7.3.21)
La dispersion est donc plus forte lorsque m est élevé et le pas a faible (réseau serré). Notons que
contrairement au prisme, le violet sera moins dévié que le rouge, autrement, les ondes de grandes
longueurs d’onde sont plus dispersées que celles de courtes longueurs d’onde.
Si on opère à incidence normale, θ0 = 0,
Da =
tan θm
1 sin θm
=
.
λ cos θm
λ
(7.3.22)
Si en plus les angles θm sont petits (réseau serré), les spectres sont symétriques par rapport à la raie
centrale et leur distance y à cette raie blanche dans le plan focal de la lentille est
λ
y = f 0 θm = mf 0 .
a
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2012 (7.3.23)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
7.3. FENTES D’YOUNG ET RÉSEAUX DE N FENTES
90
Ce type de spectre est appelé spectre normal : la distance y est proportionnelle à la longueur
d’onde λ. Dans un prisme, elle dépend de la loi de dispersion du verre utilisé. Les réseaux fournissent
donc un résultat facilement comparable entre eux.
On définit la dispersion linéaire par
dy
dθm
m
D` =
= f0
= f 0 = f 0 Da .
(7.3.24)
dλ
dλ
a
Lorsque m augmente, les spectres d’ordre m et (m + 1) se chevauchent. Ainsi, la gamme spectrale
libre ou (Free Spectral Range) Fm est la gamme des longueurs d’onde qui ne se chevauchent pas
dans le spectre. Si λ1 est la plus petite longueur d’onde détectable dans le faisceau incident, alors la
plus grande longueur d’onde λ2 qui ne chevauche pas à l’ordre m coı̈ncide avec le début du spectre
de l’ordre (m + 1), i.e.,
mλ1 = (m + 1)λ2 ,
(7.3.25)
et
λ1
.
m
On note que cette gamme spectrale est d’autant plus petite que l’ordre m est grande.
Fm = λ2 − λ1 =
(7.3.26)
Exemple 7.3.1 La plus petite longueur d’onde de la lumière visible est 400 nm. Les gammes spectrales libres des trois premiers ordre de diffraction sont
F1 =
F2 =
F3 =
400
1
400
2
400
3
= 400 nm
= 200 nm
= 133 nm
i.e.,
i.e.,
de 400 nm à 800 nm à l’ordre 1
de 400 nm à 600 nm à l’ordre 2
de 400 nm à 533 nm à l’ordre 3
Exemple 7.3.2 On observe à incidence normale, au foyer d’une lentille L, de distance focale image
f 0 = 20 cm, l’ordre 2 de la figure de diffraction d’un réseau éclairé par une onde plane incliné sous
θ0 (figure 7.3.7 gauche). Si le réseau a 5 000 traits par cm, a = 2 µm, les dispersions angulaire et
linéaire dans le plan focal sont
m
= 10−3 rad nm−1 ,
a
D` = f 0 Da = 0.2 mm nm−1 .
Da =
(7.3.27a)
(7.3.27b)
Si λ = 578 nm,
θ0 = sin
−1
2λ
−
a
= sin
−1
2 × 578 nm
−
2 µm
= −35. 31 ◦ .
(7.3.28)
Figure 7.3.7 – A gauche : Réseau éclairé sous incidence θ0 et observé normalement (θ ' 0) au foyer de la
lentille convergente L. A droite : minimum de déviation Dm = 2θ0 .
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7.3. FENTES D’YOUNG ET RÉSEAUX DE N FENTES
91
Minimum de déviation ou de dispersion
Pour un ordre m donné et une raie de longueur d’onde λ donnée, la déviation D = θm − θ0 passe par
un minimum lorsqu’on fait tourner le réseau en laissant fixe le faisceau incident,
dD
dθm
=
− 1.
dθ0
dθ0
(7.3.29)
dθm
cos θ0
dD
=
⇒
= 0,
dθ0
cos θm
dθ0
(7.3.30)
Or en vertu de (7.3.9a),
pour θm = −θ0 , en excluant le cas θm = θ0 correspondant au rayon non diffraction (pic d’ordre 0).
Dans ces conditions (figure 7.3.7 droite),
Dm = −2θ0 .
(7.3.31)
La relation fondamentale s’écrit dans ce cas
Dm
2 sin
2
λ
=m .
a
(7.3.32)
Dans la pratique, la valeur de θ0 réalisant le minimum de déviation peut être déterminée avec
précision de sorte que sa mesure permet de déterminer soit le pas a du réseau, soit la longueur d’onde
λ.
Soulignons que le terme déviation est quelque peu impropre ici car il laisse entendre que les rayons
lumineux sont déviés au passage du réseau, comme ils le seraient au passage d’une interface entre
deux milieux.
7.3.6
Spectromètres à réseaux
Pouvoir de résolution d’un réseau
Figure 7.3.8 – A gauche : Une source ponctuelle, placée dans le plan focal d’une lentille, éclaire le réseau
sous un angle θ0 . Une seconde lentille, de distance focale image f , permet de visualiser dans son plan focal la
figure de diffraction du réseau, autour de la valeur θm . A droite : Répartition de l’intensité en fonction de la
position X ≈ f (θ − θm ).
Dans l’étude de la composition spectral des ondes émises par les sources réelles, les réseaux ont
pratiquement remplacé les prismes. Le montage utilisé est généralement celui de la figure 7.3.8 gauche.
Puisque la seconde lentille ne coı̈ncide plus avec la normale au réseau, mais fait avec elle un angle
0
λf 0
0
θm , la largeur des pics de diffraction n’est plus f 0 ∆θ = λf
L mais f ∆θ = L cos θm , L cos θm étant la
largeur de la fente diffractante équivalente.
Si l’onde plane qui tombe sur le réseau est constituée de deux ondes monochromatiques de
longueurs d’onde λ1 et λ2 , chacune de ces ondes donne sa propre figure de diffraction et les deux
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7.3. FENTES D’YOUNG ET RÉSEAUX DE N FENTES
92
coexistent. Sur la figure 7.3.8 droite, nous avons représenté la distribution de l’intensité en fonction
de X ≈ f 0 (θ − θm ).
Si ∆λmin , le plus petit écart détectable ou limite de résolution du réseau, d’après le critère de
Rayleigh, est défini par la largeur totale à mi-hauteur ∆X1/2 d’un pic de diffraction, alors ∆X1/2 =
λf 0
L cos θm et on a
∆X1/2
a cos θm
λf 0
λa
λ
∆λmin =
×
=
=
=
.
(7.3.33)
D`
L cos θm
f 0m
m
mN
Le pouvoir de résolution, qui mesure la qualité de la dispersion d’un réseau de largeur L et
ayant N traits, est défini par
R=
λ
L
= mN = (sin θm − sin θ0 ),
∆λmin
λ
(7.3.34)
avec λ la longueur d’onde moyenne des deux raies spectrale les plus proches que le réseau
est capable de séparer.
La valeur maximale du pouvoir de résolution du réseau est
L
Rmax = 2 .
λ
(7.3.35)
Le pouvoir de résolution d’un réseau est bien meilleur que celui qu’on obtient pour les spectromètre
à prismes.
Exemple 7.3.3 Pour un réseau de largeur L = 2.5 cm ayant 5 000 traits par cm, et pour l’ordre 2
avec θm = 0,
R = 2 × 5 000 × 2.5 = 25 000.
(7.3.36)
Si λ = 500 nm,
∆λmin =
500 nm
= 0.02 nm .
25 000
(7.3.37)
Spectromètres réels.
Les spectromètres réels diffèrent du montage de la figure 7.3.8 gauche sur quelques points essentiels :
• Les réseaux travaillent généralement par réflexion et sont accompagnés d’une optique de miroirs
sphériques afin d’éviter les aberrations chromatiques et les réflexions parasites introduites par
les lentilles.
• Ce sont des réseaux échelettes dont le motif permet de concentrer la lumière sur quelques ordres
déterminer (voir la figure 7.3.10).
• Le détecteur est le plus souvent constitué d’un réseau de photodiodes.
Afin d’avoir une excellente réduction des aberrations géométriques et chromatiques, on utilise très
souvent des monochromateurs à réseaux (figure 7.3.9 gauche) dans lesquels une fente matérielle
située dans le plan du spectre ne transmet au détecteur qu’une radiation quasi-monochromatique.
La figure 7.3.9 droite représente un spectromètre formé d’un réseau que l’on a collé sur la face de
sortie d’un prisme de petit angle. On les appelle grisms, contraction de grating et prisme. L’angle
A du prisme est choisi de sorte que l’angle d’incidence θ0 sur le réseau corresponde, à l’ordre m
considéré, à une direction diffractée qui coı̈ncide avec la direction incidente du faisceau à l’entrée du
prisme. ion Ce type de système permet aussi de réduire les aberrations.
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7.3. FENTES D’YOUNG ET RÉSEAUX DE N FENTES
93
Figure 7.3.9 – Spectromètres. A gauche : Monochromateur avec un miroir sphérique concave et deux
miroirs plans. Cette configuration géométrique avec uniquement des miroirs permet de réduire les aberrations
géométriques. A droite : Spectromètre formé d’un réseau collé sur la face de sortie d’un prisme de petit angle.
On les appelle grating en anglais. Le rôle du prisme est de compenser la déviation qui accompagne la diffraction
produite par le réseau.
7.3.7
Types de réseaux plan
Les deux types de réseaux les plus utilisés sont
• le réseau échelettes par réflexion qui permet la concentration de la lumière sur un seul ordre,
et donc de réaliser des spectres très lumineux dans des spectromètres et des monochromateurs
performants ;
• le réseau acousto-optique dont le pas variable permet de commander la déflexion d’un
faisceau lumineux.
Réseau échelettes
Figure 7.3.10 – Réseau échelettes. (a). Les facettes sont inclinées d’un angle γ appelé angle de blaze
(signifie éclat en anglais). (b). La largeur angulaire de la figure de diffraction du motif est égale à la distance
angulaire qui sépare deux maxima principaux de la figure de diffraction du réseau.
Dans un réseau de fentes, l’intensité lumineuse est repartie sur plusieurs pics et présente sa valeur
maximale sur le pic central, ce qui n’offre aucun intérêt spectroscopique, puisque c’est ce point où
u = 0 que toutes les radiations se superposent.
Avec un réseau à échelonne représenté par la figure 7.3.10, on concentre la lumière sur un seul
ordre en choisissant sa géométrie de telle sorte que :
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7.3. FENTES D’YOUNG ET RÉSEAUX DE N FENTES
94
• l’ordre m choisi soit différent de 0 grâce à l’inclinaison des différents motifs réfléchissants ; ces
facettes sont inclinées d’un angle γ appelé angle de blaze2 (figure 7.3.10 (a)) ;
• la largeur angulaire de la figure de diffraction du motif soit égale à la distance angulaire qui
sépare deux maxima principaux de la figure de diffraction du réseau figure (7.3.10 (b)).
Sur la figure 7.3.10 (a), er représente la normale au plan du réseau et ef la normale à la facette.
Les relations algébriques entres les angles d’incidence et de diffraction par rapport aux deux normales
sont
i = α0 + γ et θm = α + γ.
(7.3.38)
Le maximum de la figure de diffraction donnée par une facette est situé dans la direction réfléchie
α = −α0 , définie par l’optique géométrique (Descartes) et par suite
γ=
i + θm
.
2
(7.3.39)
Quant à la largeur angulaire qui sépare ce maximum des premiers minima nuls de cette figure, elle
vaut
λ
∆α =
,
(7.3.40)
b cos α
puisque b cos α est la largeur de la facette selon le plan perpendiculaire à la direction analysée qui est
celle du maximum d’intensité. La distance angulaire qui sépare deux maxima principaux successif
est donnée par la fonction R(θ) :
λ
∆θ =
,
(7.3.41)
a cos θm
avec a cos θm la période du réseau selon un plan perpendiculaire à la direction du maximum d’intensité.
L’égalité ∆α = ∆θ définit complètement la géométrie qui convient :
b
cos θm
=
.
a
cos α
(7.3.42)
Exemple 7.3.4 Dans le cas où α0 ≈ 0, θm ≈ γ et ab = cos γ. La facette forme alors avec le plan
du réseau un triangle rectangle. On arrive ainsi à concentrer, sur un seul ordre, plus de 70% de la
lumière incidente.
Réseau acousto-optique
Figure 7.3.11 – Réseau acousto-optique. (a). Déflecteur acousto-optique. (b). Variation de l’indice de
réfraction.
On réalise un réseau acousto-optique capable de diffracter l’onde lumineuse émise par un laser
en produisant dans un matériau des variations d’indice, à l’aide d’une onde acoustique sinusoı̈dale
2
Blaze signifie éclat en anglais.
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7.3. FENTES D’YOUNG ET RÉSEAUX DE N FENTES
95
de grande fréquence (νa ∼ 30 MHz), produite par effet piézoélectrique. Le pas a du réseau de phase
ainsi constitué est la longueur d’onde acoustique :
a = λa =
va
∼ 20 µm,
νa
(7.3.43)
puisque va ∼ 600 m s−1 . Il en résulte qu’en faisant varier la fréquence du signal électrique, on peut
modifier l’inclinaison du faisceau diffracté. Un tel réseau est appelé déflecteur acoustique (figure
7.3.11 (a)). Dans de telles conditions, l’indice se met sous la forme
n(x) = n0 + n1 cos
2πx
,
a
(7.3.44)
avec n0 et n1 des constantes positives(figure 7.3.11 (b)). La différence de phase est donc
ϕ(x) = 2π
n(x)e
,
λ0
(7.3.45)
avec e l’épaisseur du matériau traversé et λ0 la longueur d’onde de la lumière émise par le laser. Il
en résulte que
e
2πx
πw
2πx
n0 + n1 cos
= ϕ0 +
,
(7.3.46a)
ϕ(x) = 2π
cos
λ0
a
2
a
en posant
en0
en1
ϕ0 = 2π
, w=4
.
(7.3.46b)
λ0
λ0
La fonction f (θ) telle l’amplitude complexe totale diffractée est
sin N πλ aθ
ψ(θ) = N ψ0 `f (θ)
,
N sin( πλ aθ)
avec
iϕ0
f (θ) = e
Z a/2
iπw
2πx
cos
dx exp
2
a
−a/2
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2012 (7.3.47)
2π
e−i λ xθ .
(7.3.48)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
CHAPITRE
8
INTERFÉRENCES LUMINEUSES
Sommaire
8.1
Principe de superposition
8.2
Condition d’interférence de deux ondes
8.3
Interférence par division du front d’onde
8.4
Systèmes interférentiels par division d’amplitude
8.5
Interférences d’ondes multiples. Interféromètre de
Fabry-Pérot
On dit qu’il y a interférence entre deux ondes ou que deux ondes interfèrent, lorsque l’intensité
résultant de la superposition de ces deux ondes n’est pas la somme de leurs intensités. Historiquement,
ce résultat a beaucoup surpris au point qu’on a parlé du paradoxe de l’interférence, parfois résumé
de façon provocante par la formule
lumière + lumière = obscurité
C’est par ce phénomène que l’on a pu établir expérimentalement la nature vibratoire de la lumière
et que Fresnel pu déterminer, la première fois, l’ordre de grandeur d’une longueur d’onde optique.
8.1
8.1.1
Principe de superposition
Phénomènes d’interférence
Les phénomènes d’interférence d’ondes mécaniques sont aisés à mettre en évidence. Par exemple, des
vaguelettes, créées par deux pierres tombant dans l’eau, se rejoignent au cours de leur propagation ; on
observe alors que la hauteur des vaguelettes résultantes est une combinaison des hauteurs de chaque
vaguelette. Ainsi, lorsqu’une crête rencontre un creux, il peut en résulter une élévation nulle de l’eau.
En acoustique, les dispositifs anti-bruits, notamment dans l’industrie automobile, reposent sur l’idée
qu’une onde acoustique, construite pour être en opposition de phase avec un bruit gênant, réduira
son intensité par interférence destructive. En optique, l’obtention d’interférence est plus délicate et
fait apparaı̂tre de façon cruciale la notion de cohérence entre les ondes susceptibles d’interférer.
96
8.2. CONDITION D’INTERFÉRENCE DE DEUX ONDES
8.1.2
97
Superposition de deux ondes électromagnétiques
Le principe de superposition des ondes résulte de la linéarité des équations de Maxwell.
Principe 8.1.1 (Superposition.) Si une onde décrite par le champ électrique E 1 (r, t)
rencontre une seconde onde décrite par le champ électrique E 2 (r, t), l’onde résultante est
correctement décrite par le champ E(r, t) :
E(r, t) = E 1 (r, t) + E 2 (r, t).
(8.1.1)
En revanche, l’intensité lumineuse résultante, qui ne vérifie pas des équations linéaires, n’est pas
égale à la somme des intensités lumineuses.
Dans la pratique, nous calculons donc le champ décrivant la superposition de deux ou plusieurs
ondes, l’intensité résultante étant donnée, comme d’habitude par le module du champ total. Ainsi,
avec E(r, t) = E 1 (r, t) + E 2 (r, t), nous avons le plus souvent
I(r) 6= I1 (r) + I2 (r).
(8.1.2)
En radio, une interférence est la superposition de deux ou plusieurs ondes. Il est fréquent, pour
les fréquences supérieures à quelques centaines de kHz, qu’une antenne de réception reçoive simultanément l’onde directe en provenance de l’émetteur et une (ou plusieurs) onde réfléchie par un
obstacle. Les deux signaux vont se superposer et, en fonction de la différence de phase entre eux, voir
leurs amplitudes s’additionner ou se soustraire. Ce genre d’interférence est responsable du fading,
terme anglo-saxon désignant une variation plus ou moins rapide de l’amplitude du signal reçu. Mais
le phénomène ne se limite pas aux seules ondes radio.
Dans le sens commun, pour la radio, cela a pris le sens de parasite (il s’agit en fait de l’interférence
entre l’onde radio et une onde parasite).
8.2
Condition d’interférence de deux ondes
8.2.1
Intensité résultante de la superposition de deux ondes
Considérons deux ondes harmoniques déphasées d’une phase ϕ(t). L’onde 1 étant prise comme
référence de phase, nous pouvons écrire les champs électriques associés aux deux ondes :
E 1 (r, t) = E1 (r)ei(k1 ·r−ω1 t) e1 ,
(8.2.1a)
E 2 (r, t) = E2 (r)ei(k2 ·r−ω2 t+ϕ(t)) e2 .
(8.2.1b)
Le principe de superposition des ondes donne le champ résultant
E(r, t) = E 1 (r, t) + E 2 (r, t).
(8.2.2)
L’intensité résultante s’écrit comme le carré du module du champ électrique, soit
I(r) = KhE(r, t) · E ∗ (r, t)i
= I1 (r) + I2 (r) + I12
(8.2.3a)
(8.2.3b)
avec
I12 = 2KhE 1 (r, t) · E 2 (r, t)i
q
(8.2.4a)
= 2 I1 (r)I2 (r)hcos[(k1 − k2 ) · r − (ω1 − ω2 )t − ϕ(t))]ie1 · e2 ,
(8.2.4b)
le terme d’interférence entre les deux ondes, qui représente l’écart à la somme des
intensités (I1 + I2 ). Lorsque ce terme est nul, il n’y a pas d’interférence.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
8.2. CONDITION D’INTERFÉRENCE DE DEUX ONDES
98
Ainsi, deux ondes interfèrent si les conditions ci-dessous sont réalisées :
• Condition de cohérence de polarisation : les directions de polarisation des deux ondes ne
sont pas orthogonales,
e1 · e2 6= 0.
(8.2.5)
Dans la pratique, les ondes qui interfèrent sont souvent prises avec le même état de polarisation.
• Condition de cohérence spatiale : les deux ondes ont même fréquence et leur déphasage
est constant. En effet, la moyenne temporelle hcos f (t)i, compte tenu de l’expression de f (t), est
nulle dès que f (t) n’est pas constante. La moyenne temporelle hcos[(k1 − k2 ) · r − (ω1 − ω2 )t − ϕ(t)]i
est donc non nulle uniquement si ω1 − ω2 = 0, i.e., ω1 = ω2 , et si ϕ(t) = Cte.
L’intensité lumineuse résultant de la superposition de deux ondes vérifiant la cohérence de polarisation et la cohérence spatiale s’écrit :
q
I(r) = I1 (r) + I2 (r) + 2e1 · e2 I1 (r)I2 (r)hcos(k1 − k2 ) · r − ϕ)i.
(8.2.6)
Notons que ces conditions, que nous supposons vérifiées dans la suite du chapitre, sont réalisées
lorsque les deux ondes qui interfèrent sont issues de la même source lumineuse. Le déphasage entre
les deux ondes ne dépend alors que des trajets géométriques suivis par les deux ondes et, en un point
donné, il est donc constant dans le temps.
8.2.2
Ordre d’interférence
Lorsque les champs se superposent parallèlement (e1 · e2 = 1), nous pouvons écrire l’intensité lumineuse I(r) sous la forme
q
I(r) = I1 (r) + I2 (r) + 2e1 · e2 I1 (r)I2 (r) cos φ,
(8.2.7)
avec φ = (k1 − k2 ) · r − ϕ la différence de phase entre les deux ondes.
Définition 8.2.1 (Ordre d’interférence.) L’ordre d’interférence p est défini par
p(r) =
φ(r)
.
2π
(8.2.8)
En fonction des valeurs prises par p(r) et donc par φ(r), l’intensité varie entre un maximum et
un minimum :
p
• p entier équivaut à un éclairement maximum : Imax = ( I1 (r) +
p
p
I2 (r))2 ,
• p demi-entier équivaut à un éclairement minimum : Imin = ( I1 (r) −
8.2.3
p
I2 (r))2 .
Facteur de visibilité
Le phénomène d’interférence se manifeste donc par une alternance de zones sombres pour lesquelles
l’intensité lumineuse est égale Imin et de zones claires où l’intensité vaut Imax . On peut alors caractériser le contraste entre ces deux zones d’éclairement extrême par le facteur de visibilité
p
I1 (r)I2 (r)
Imax − Imin
V =
=2
≤ 1.
Imax + Imin
I1 (r) + I2 (r)
(8.2.9)
Ainsi, l’intensité (8.2.7) se réécrit comme
I(r) = (I1 (r) + I2 (r))(1 + e1 · e2 V cos φ).
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2012 (8.2.10)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
8.2. CONDITION D’INTERFÉRENCE DE DEUX ONDES
99
Exemple 8.2.1 Soient deux faisceaux avec des champ électrique parallèles
π
) (kV m−1 ),
3
π
E2 = 5 cos(k2 · r − ωt + ) (kV m−1 ).
4
E1 = 2 cos(k1 · r − ωt +
(8.2.11a)
(8.2.11b)
On a
1
1
2
I1 = ε0 cE01
= ε0 c(2 000)2 = 5 309 W m−2 ,
2
2
1
1
2
I2 = ε0 cE02
= ε0 c(5 000)2 = 33 180 W m−2 ,
2
2
p
√
π π
I12 = 2 I1 I2 cos φ = 2 5 309 × 33 180 cos( − ) = 25 640 W m−2 .
3
4
Les intensités maximale est minimale sont
√
√
Imax = ( 5 309 + 33 180)2 = 65 033 W m−2 ,
√
√
Imin = ( 5 309 − 33 180)2 = 11 945 W m−2 .
(8.2.12a)
(8.2.12b)
(8.2.12c)
(8.2.13a)
(8.2.13b)
On en déduit le facteur de visibilité
V =
8.2.4
65 033 − 11 945
= 0.689 65.
65 033 + 11 945
(8.2.14)
Systèmes interférentiels par divisions du front d’onde ou d’amplitude
On distingue usuellement deux familles d’interféromètres, dont nous donnons ici les caractéristiques
et qui sont étudiées en détail dans les sections suivantes.
Systèmes interférentiels par division du front d’onde
Un faisceau, issu de la source primaire S qui émet une onde d’amplitude A, est divisé en deux
faisceaux isolés spatialement et portant des ondes de mêmes amplitudes A (figure 8.2.1). Ces deux
faisceaux, S1 et S2 , suivent des chemins différents puis se rencontrent pour interférer. Cette technique
est notamment utilisé dans le dispositif des trous d’Young. On peut aussi citer le miroir de Fresnel
et le biprisme de Fresnel.
Figure 8.2.1 – Principe d’un système interférentiel par division du front d’onde. Les
deux faisceaux S1 et S2 , issus de la même source,
traversent un système optique quelconque puis interfèrent.
c Nana Engo - Sous la licence CC BY-SA 3.0
2012 Figure 8.2.2 – Principe d’un système interférentiel par division d’amplitude. Les deux
faisceaux d’amplitudes différentes traversent un
système optique quelconque puis interfèrent.
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
8.2. CONDITION D’INTERFÉRENCE DE DEUX ONDES
100
Systèmes interférentiels par division d’amplitude
Un faisceau, issu de la source primaire S qui émet une onde d’amplitude A, est séparé par une lame
semi-réfléchissante (figure 8.2.2). Les deux faisceaux, réfléchi (de sommet S2 ) et transmis (de sommet
S) portent des ondes d’amplitudes respectives rA et tA. Après des trajets différents, ils se rejoignent
dans une région de l’espace (zone d’interférence) où ils sont susceptibles d’interférer. L’exemple le
plus célèbre d’un système interférentiel par division d’amplitude est probablement l’interféromètre
développé par Michelson. On peut aussi citer l’interféromètre de Mach-Zehnder et l’interféromètre
de Sagnac.
8.2.5
Interférence de deux ondes planes
Le cas de la superposition de deux ondes monochromatiques, isochrones, planes était autrefois
rarement considéré. Cependant, il présente un intérêt à la fois sur les plans didactique et scientifique.
En effet, ces ondes donnent des résultats plus simples que les ondes sphériques (pas d’amortissement
de l’amplitude, franges rectilignes) ; en outre, les sources lasers produisent des ondes lumineuses bien
représentées par des ondes planes (8.2.3).
Considérons deux ondes planes dans le même état de polarisation. Dans les calculs, nous pourrons
donc omettre le caractère vectoriel des champs électriques et ne considérer que la fonction scalaire ψ,
souvent appelée fonction d’onde, telle que E(r) = ψ(r)e−iωt u. Les champs des deux ondes planes
sont donc décrits par leurs fonctions d’onde scalaires
ψ1 (r) = A1 eik1 ·r ,
(8.2.15a)
ψ2 (r) = A2 eik2 ·r+ϕ .
(8.2.15b)
Rappelons que, pour une onde plane, l’amplitude A est constante et que les vecteurs d’onde k1 et k2
sont constants.
L’intensité résultante de la superposition des deux ondes est
p
I(r) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos(K · r + ϕ), K = k2 − k1 .
(8.2.16)
La figure 8.2.3 représente la figure d’interférence des deux ondes planes.
On note que lorsque K est orienté suivant OX, la figure d’interférence est invariante
dans la direction OY et périodique dans la direction OX.
Il est commode d’introduire l’interfrange i, définie comme la périodicité de l’intensité suivant
X.
Définition 8.2.2 (Interfrange.) L’interfrange i est définie comme la période spatiale de
la figure d’interférence.
Si α désigne l’angle formé par les vecteurs d’onde k1 et k2 (figure 8.2.3), il vient
α
2
K · r = 2kX sin
et
X
α
2π
sin
, λ=
,
λ
2
k
= 4π
(8.2.17)
X
I(X, Y ) = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos 2π + ϕ ,
i
(8.2.18)
λ
2π
=
K
2 sin
(8.2.19)
p
avec
i=
α
2
.
Si de plus les deux ondes ont même amplitudes, A1 = A2 = A, on trouve
X
1 + cos 2π + ϕ
i
I(X, Y ) = 2I0
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2012 .
(8.2.20)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
8.2. CONDITION D’INTERFÉRENCE DE DEUX ONDES
101
Figure 8.2.3 – Représentation en niveau de gris des intensités des champs électriques associés aux deux
ondes planes de vecteurs d’onde k1 et k2 et de l’intensité due à leur interférence. Les ondes interfèrent dans
la zone où les deux faisceaux qui les transportent se croisent.
L’interfrange est d’autant plus grande que l’angle α est petit. Aussi réalise-t-on le plus souvent
α petit ; on a alors i ≈ αλ .
L’ensemble des points d’égale intensité maximale, définissant les franges d’interférence
brillantes, est formé de droites perpendiculaires à l’axe X distantes de i.
On rappelle que ces surfaces sont les surfaces pour lesquelles l’argument du cosinus est égal à mπ
où m est entier.
8.2.6
Interférence de deux ondes sphériques
Considérons deux ondes sphériques dans le même état de polarisation émises par deux points sources
S1 et S2 , respectivement repérées au point d’observation P par les vecteurs position r 1 et r 2 . Les
champs sont décrits par les fonctions scalaires
A1 ikr1
e ,
r1
A2 ikr2 +ϕ
ψ2 (r) =
e
.
r2
ψ1 (r) =
(8.2.21a)
(8.2.21b)
Comme la variation des amplitudes avec r1 et r2 est négligeable dans le voisinage de P (dans l’hypothèse où P est loin des sources), la fonction scalaire résultante de la superposition des deux ondes
s’écrit
i
1h
ψ(r) =
A1 eikr1 + A2 eikr2 +ϕ ,
(8.2.22)
r
et
q
I(r) = I1 (r) + I2 (r) + 2 I1 (r)I2 (r) cos(k(r2 − r1 ) + ϕ).
(8.2.23)
Loin des sources, on admet, sans le démontrer, que les variations de l’intensité I(r) dépendent peu de
la décroissance en
1
r2
des intensités I1 (r) et I2 (r) (Ii =
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2012 A2i
)
r2
et que ses variations sont dues au terme
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
8.2. CONDITION D’INTERFÉRENCE DE DEUX ONDES
102
de phase φ = k(r2 − r1 ) + ϕ. Les surfaces d’intensité maximales sont les lieux où les ondes provenant
des deux sources arrivent en phase.
Aussi, l’ensemble des points d’égale intensité forme des surfaces telles que r2 − r1 = Cte :
ce sont des hyperboloı̈des de foyers S1 et S2 (figures 8.2.4 et 8.2.5).
Lorsque les deux ondes ont même amplitude, l’intensité s’écrit alors
I(r) = 2I0 (r)[1 + cos(k(r2 − r1 ) + ϕ)].
(8.2.24)
De telles interférences sont utilisées pour impressionner des surfaces sensibles afin de fabriquer des
réseaux. Ce type d’interférence est aussi utilisé dans les techniques de vélocimétrie. Une particule en
mouvement dans une zone où interfèrent deux ondes planes passe successivement dans des maxima
et minima d’intensité lumineuse. Une mesure de la fréquence du clignotement de la lumière qu’elle
diffuse permet de déterminer sa vitesse.
Figure 8.2.5 – Représentation en 3D
des points de l’espace où les interférences
constructives sont des hyperboloı̈des de
révolution de foyers S1 et S1 .
Figure 8.2.4 – Représentation en niveau de gris de l’intensité
du champ électrique associé à deux ondes sphériques de nombre
d’onde k. On a des hyperboloı̈des de foyers S1 et S1 .
Observation dans un plan parallèle à la droite des sources
Notons a la distance entre les sources et supposons que les deux ondes ont même amplitude. L’axe OX
correspond à la droite des sources (figure 8.2.4). Effectuons l’observation dans un plan Pk parallèle
à (O; X, Z) et à la distance D de l’axe des sources. Nous supposons que D a. L’observation de
la figure d’interférence est effectuée sur un écran. On note (X, D, Z) les coordonnées d’un point de
l’écran et on suppose D X et D Z. Autrement dit, l’observation se fait sur une zone limitée
autour du centre de l’écran placé loin de l’axe des sources. Sous ces hypothèses, nous avons
s
r1 =
a
X+
2
s
2
+
"
D2
1
aX
≈D 1+
+
2
2D
2
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2012 +
Z2
=D 1+
X2
a2
Z2
+
+
D2
4D2 D2
X
a
+
D 2D
!#
2
+
Z2
D2
(8.2.25a)
,
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
8.2. CONDITION D’INTERFÉRENCE DE DEUX ONDES
s
a
X−
2
r2 =
2
s
+ D2 + Z 2 = D 1 +
"
1
aX
+
≈D 1−
2
2D
2
X2
a2
Z2
+
+
D2
4D2 D2
soit
r2 − r1 ≈ −
103
X
a
−
D 2D
2
+
!#
Z2
D2
(8.2.25b)
,
aX
.
D
(8.2.26)
Finalement, puisque la fonction sinus sont paires,
X
1 + cos 2π + ϕ
i
I(X, Z) = 2I0
,
(8.2.27a)
avec
λD
.
(8.2.27b)
a
Les sections hyperboloı̈des sont pratiquement des droites lorsque r1 et r2 sont voisins (figure 8.2.6).
Comme nous le remarquons sur la figure 8.2.6, obtenue pour la configuration de la figure 8.2.4,
la figure d’interférence n’est pas rigoureusement périodique dans la direction X 0 X. En effet, le
développement que nous avons fait n’est valable que si X reste petit devant D, donc de l’ordre
de grandeur de la distance a entre les sources.
i=
Figure 8.2.6 – Figure d’interférence à deux ondes sphériques dans un plan parallèle à la droite des sources.
L’observation est faite loin des sources. Les sections hyperboloı̈des sont pratiquement des droites lorsque r1 et
r2 sont voisins.
Remarque 8.2.1 On peut calculer la différence r2 − r1 autrement :
r22 − r12
(r 2 + r 1 )(r 2 − r 1 )
=
r2 + r1
r2 + r1
2r · S 2 S 1
S2S1 · r
aX
=
≈
=−
.
r2 + r1
r
D
r2 − r1 =
(8.2.28)
Observation dans un plan perpendiculaire à la droite des sources
La distance entre les sources est toujours notée a et les deux ondes ont toujours même amplitude.
Effectuons maintenant l’observation dans un plan P⊥ (C; Y, Z) perpendiculaire à l’axe des sources
(figure 8.2.4). Le centre C est l’intersection de P⊥ avec l’axe des sources OX. La distance D entre P⊥
et (O; Y, Z) est supposée très grande devant a. Nous choisissons de repérer le plan P⊥ en coordonnées
polaires. La distance d’un point M de P⊥ au centre C est notée ρ. Avec l’hypothèse supplémentaire
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8.3. INTERFÉRENCE PAR DIVISION DU FRONT D’ONDE
104
que l’observation sur l’écran se fait dans une région limitée autour du centre C, c’est-à-dire ρ D,
nous pouvons écrire
s
r1 =
D+
≈ D+
a
2
a
2
+
s
a
D−
2
r2 =
a
≈ D−
2
soit
2
2
+ ρ2 =
v
u
a u
t1 +
D+
ρ2
a 2
2
(8.2.29a)
a u
ρ2
t1 +
+ ρ2 = D −
2
2
D − a2
(8.2.29b)
2
ρ2
2 D+
a
2
D+
,
v
u
ρ2
,
+
2 D − a2
ρ2
r2 − r1 ≈ −a 1 −
2D2
!
.
(8.2.30)
Finalement,
"
I(ρ) = 2I0
a
ρ2
1 + cos 2π
1−
λ
2D2
!
!#
+ϕ
.
(8.2.31)
Les franges sont des sections circulaires d’hyperboloı̈des (figure 8.2.6).
Figure 8.2.7 – Figure d’interférence à deux ondes sphériques dans un plan perpendiculaire à la droite des
sources. L’observation est effectuée loin des sources. Les franges sont des sections circulaires d’hyperboloı̈des.
8.3
Interférence par division du front d’onde
Dans cette famille, le système interférentiel le plus classique est celui des trous d’Young que nous
présentons ici en détail. Pour des dispositifs dérivés, seuls les résultats seront présentés.
8.3.1
Fentes d’Young
Une source lumineuse ponctuelle S monochromatique éclaire un écran opaque percé de deux trous,
également ponctuels, considérés comme sources secondaires de lumière. Sur une écran (E) placé à
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8.3. INTERFÉRENCE PAR DIVISION DU FRONT D’ONDE
105
Figure 8.3.1 – Schéma de principe du dispositif des fentes d’Young. Les franges obtenues sur l’écran
d’observation sont rectilignes.
l’infini, i.e., D a = S1 S2 , la figure d’interférence présente une alternance de franges brillantes et
de franges sombres (figure 8.3.1).
En effet, la différence de marche étant
δ = (S2 M ) − (S1 M ) ≈ a sin θ ≈ a tan θ =
ax
,
D
(8.3.1)
où x est la distance de M au centre de l’écran, l’ordre d’interférence est
p=
δ
ax
=
,
λ
λD
(8.3.2)
et la distribution d’intensité
ax
1 + cos 2π
.
λD
I = 2I0
(8.3.3)
• Dans le plan d’observation parallèle à S1 S2 , les franges sont les surfaces définies par
p=
ax
= Cte ⇒ x = Cte,
λD
(8.3.4)
autrement, les franges sont rectilignes.
• Les franges brillantes correspondent aux valeurs entières de p et donc aux positions
x=p
λD
= pi,
a
(8.3.5)
i étant l’interfrange.
• Les franges sombres correspondent aux valeurs demi-entières de p (= m + 12 ) et donc aux
positions
1 λD
1
x= m+
= m+
i.
(8.3.6)
2
a
2
• La frange centrale, placé en x = 0 est brillante.
Pour rendre compact le dispositif interférentiel de Young, on place derrière les sources secondaires
S1 et S2 , une lentille convergente de distance focale image f 0 qui renvoie artificiellement l’écran, placé
dans le plan focal, à l’infini. Ainsi,
x
sin θ = 0 ,
(8.3.7a)
f
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8.3. INTERFÉRENCE PAR DIVISION DU FRONT D’ONDE
p=
λf 0
ax
,
i
=
.
λf 0
a
106
(8.3.7b)
Soulignons que la position de la lentille par rapport aux sources n’a pas d’importance. Cependant,
pour la compacité du dispositif, il faut la placer près des sources. D’autre part, plus les fentes sont
éloignées l’une de l’autre, plus les franges sont rapprochées. Et plus l’écran est éloigné, plus les franges
sont espacées.
8.3.2
Interférence en lumière blanche. Spectre cannelé
Figure 8.3.2 – Spectre Cannelé. Au centre du champ (différence de marche nulle) se trouve une frange
brillante entourée d’une zone colorée qui forme l’échelle des teintes de Newton. Une couleur correspond à un
déphasage. Plus loin, les couleurs disparaissent pour laisser la place à une plage de lumière gris-blanc qu’on
appelle blanc d’ordre supérieur. La nature de ce blanc d’ordre supérieur n’est pas exactement la même que
celle de la lumière blanche incidente.
La lumière blanche renferme une infinité de radiations monochromatiques dont les longueurs
d’onde dans le vide sont telles que 0.4 µm ≤ λ ≤ 0.8 µm. Chaque radiation produit sont propre
1
système de franges c’est-à-dire que pour chaque radiation, on a δ = ax
D = mλ (respec. (m + 2 )λ) pour
l’éclairement maximal (respec. minimal) (figure 8.3.2).
Pour x = 0, δ = 0 pour toutes les radiations et on observe une frange centrale blanche (frange
achromatique). Pour x 6= 0, l’éclairement observé est la somme de l’éclairement dû à chaque
radiation ou couleur. Ainsi, δ peut correspondre au maximum d’éclairement pour certaines couleurs,
à un minimum pour d’autres couleurs et à une valeur intermédiaire pour d’autres encore. De part
et d’autre de la raie centrale, la radiation violette (λV = 0.04 µm) est au minimum avant toutes les
autres radiations. Suivent les autres couleurs de l’arc-en-ciel jusqu’au rouge. On dit que ces franges
sont irisées. Au delà des franges irisées, le chevauchement des franches des différentes radiations est
très rapide au point où les franges brillantes d’une radiation se superposent aux franges sombres d’une
autre de sorte qu’on observe plus que du blanc. Mais dans ce blanc, il manque certaines radiations
correspondant aux franges. Pour cette raison, on parle de blanc supérieur.
On utilise un spectromètre pour mettre en évidence l’absence de ces radiations. Celles-ci se manifestent par des cannelures noires : on dit que le spectre est cannelé. Ces cannelures noires sont
telles que
pk =
ax
1
= k + k ∈ Z.
λD
2
(8.3.8)
Il y a autant de cannelures que de valeurs entières de k acceptables compte tenu de ce que
0.4 µm ≤ λ ≤ 0.8 µm.
8.3.3
Dispositifs dérivés
On peut obtenir une figure d’interférences analogue à celui du dispositif des trous d’Young à l’aide
d’autres dispositifs expérimentaux. Le problème consiste chaque fois à obtenir à partir d’une source
deux sources secondaires S1 et S2 voisines et dont les rayons peuvent interférer. Quelques-uns de ces
dispositifs sont décrit dans le tableau (8.3.1).
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
8.3. INTERFÉRENCE PAR DIVISION DU FRONT D’ONDE
107
Paramètres
Schéma du système
S1 et S2 sont les images de
S respectivement à travers
M1 et M2 . a = S1 S2 =
2SO sin α ≈ 2SOα
Miroir de Fresnel. Il s’agit de deux miroirs
formant un dièdre d’angle α très petit.
Biprisme de Fresnel. Il est formé de deux prismes
identiques, de petit angle A, accolés par la base. La
fente fine S, parallèle à l’arête des prismes est placée
à la distance b. Chaque prisme dévie les rayons vers
sa base et tout ce passe comme si l’on avait deux
fentes sources S1 et S2 .
S1 et S2 sont les images de
S respectivement à travers les
deux prismes. a = S1 S2 =
2A(n − 1)b
Bilentille de Billet. C’est une lentille convergente, de distance
focale image f 0 , sciée en deux suivants un plan contenant l’axe
de la lentille. Ces deux parties sont écartées et inclinées d’un
petit angle α. La source S est placée à ` de la bilentille.
S1 et S2 sont les images de
S respectivement à travers les
demi-lentilles L1 et L2 . a =
`2 α
S1 S2 ≈ `−f
0
Table 8.3.1 – Dispositifs dérivés des trous d’Young. Les interférences à deux ondes par division du front
d’onde résultent de la superposition de deux sources cohérents. La plupart des dispositifs interférentiels se
ramènent à l’étude des trous d’Young.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
8.4. SYSTÈMES INTERFÉRENTIELS PAR DIVISION D’AMPLITUDE
8.4
108
Systèmes interférentiels par division d’amplitude
Ces systèmes conduisent à des phénomènes d’interférences localisés, c’est-à-dire uniquement visible
dans une région donnée de l’espace.
8.4.1
Interféromètre de Michelson
Figure 8.4.1 – Interféromètre de Michelson. (a) Schéma de principe. (b) Figure d’interférence obtenue
en configuration lame d’air.
L’interféromètre de Michelson produit des interférences par division d’amplitude. Il est constitué
essentiellement de deux miroirs, dont l’un est fixe, et d’une lame semi-réfléchissante qui produit la
division d’amplitude. On peut l’utiliser aussi bien en lame d’air qu’en coin d’air.
Sur la figure 8.4.1.(a), qui modélise un interféromètre de Michelson utilisé en lame d’air, la source
de lumière envoie un rayon (d’intensité I) vers la séparatrice. Ce rayon est divisé en deux rayons
d’intensité I2 . M10 représente l’image du miroir M1 , symétrique par rapport à la séparatrice ; le trait
pointillé représente donc un trajet virtuel équivalent au trajet réel de la lumière vers le miroir M1 . La
différence de longueur d des bras de l’interféromètre induit une différence de marche entre les deux
rayons égale à 2d.
Dans le montage en coin d’air, les deux miroirs se trouvent à la même distance de la séparatrice,
mais ne sont pas rigoureusement perpendiculaires.
Dans la pratique, la lame séparatrice possède une certaine épaisseur. Alors que le rayon du miroir
M2 ne la traverse qu’une fois (la face semi-réfléchissante étant la face du côté de la lumière), le rayon du
miroir M1 la traverse trois fois. Pour éviter que cette traversée induise une différence supplémentaire,
on place sur le chemin du rayon du miroir M2 une lame dite compensatrice, transparente, de même
indice de réfraction que la séparatrice, parfaitement parallèle à celle-ci. Ainsi, le rayon vertical aussi
traversera trois fois la même épaisseur du même indice que le rayon horizontal.
L’interféromètre de Michelson a été utilisé pour la première fois dans l’expérience de MichelsonMorley, qui a permis de montrer que la vitesse de la lumière ne dépendait pas du référentiel d’observation.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
8.4. SYSTÈMES INTERFÉRENTIELS PAR DIVISION D’AMPLITUDE
8.4.2
109
Lames à faces parallèles. Franges d’Haidinger
Ordre d’interférence
Considérons une lame à face parallèles (non traitées), d’épaisseur constante e et d’indice n, immergé
dans l’air. La lame est éclairée en incidence presque normale par une lumière monochromatique de
longueur d’onde λ (figure 8.4.2).
Figure 8.4.2 – Schéma de principe d’une lame à face parallèle
La lame fournit d’un rayon incident R0 , des rayons réfléchis R1 et R2 parallèles entre eux et des
rayons transmis T1 et T2 parallèles entre eux et parallèles à R0 .
Le faible pouvoir réflecteur de la lame permet de négliger les amplitudes des autres rayons devant
celles de R1 , R2 , T1 et T2 . On est donc ramené à un phénomène d’interférence à deux ondes d’intensité
résultante
I = 2I0 (1 + cos φ),
(8.4.1)
pour les interférences par réflexion, car R1 et R2 ont pratiquement la même intensité I1 = I2 = I0 ;
p
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos φ,
(8.4.2)
pour les interférences par transmission, car T1 et T2 ont des intensités différentes. Il va de soi
que les franges ici sont moins bien contrastées que celles par réflexion.
La différence de marche entre les rayons R1 et R2 en C est
δR = n(AB + BC) − AD +
avec
AB = BC =
λ
,
2
e
et AD = AC sin i = 2e tan r(n sin r),
cos r
(8.4.3)
(8.4.4)
soit
1
λ
− tan r sin r +
δR = 2ne
cos r
2
λ
2ne =
1 − sin2 r +
cos r
2
λ
λ
= 2ne cos r + = δT + .
2
2
(8.4.5)
Le terme λ2 provient du déphasage de π en A où il y a réflexion depuis le milieu le moins réfringent
vers le milieu le plus réfringent.
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8.4. SYSTÈMES INTERFÉRENTIELS PAR DIVISION D’AMPLITUDE
Interférence
Réflexion (π)
Destructive
2ne cos r = mλ
Transmission
2ne cos r = m +
110
Constructive
2ne cos r = m + 12 λ
1
2
λ
2ne = mλ
Table 8.4.1 – Conditions d’interférence sur les lames minces
Puisque nous sommes en incidence quasi-normale, r ' ni , cos r ' 1 −
pR =
i2
2ne
1− 2
λ
2n
!
+
r2
2,
et
1
1
= pT + .
2
2
(8.4.6)
Ainsi, la distribution d’intensité dépend de l’angle d’incidence i du faisceau considéré :
"
IR (i) = 2I0
2ne
i2
1 + cos 2π
1− 2
λ
2n
!
!#
+π
= I0 sin
2
2ne
i2
2π
1− 2
λ
2n
!!
. (8.4.7)
L’épaisseur étant constante, l’ensemble des points d’égale intensité est défini par i = Cte, d’où
l’appellation de franges d’égale inclinaison (par rapport à la normale de la lame) ou franges
d’Haidinger des rayons issus de la source.
Ce sont des anneaux localisées à l’infini puisque les ondes qui interfèrent ont des vecteurs
d’onde parallèles. On les ramène à distance finie à l’aide d’une lentille convergente L.
Le tableau (8.4.1) résume les conditions d’interférence par réflexion et par transmission sur les
lames minces.
Rayons des anneaux brillants
Ce sont des anneaux dont les valeurs de l’angle d’incidence i sont telles que l’ordre d’interférence p
est égal à un entier k. Au centre (i = 0), l’ordre est maximal et puisqu’il n’est pas entier en général,
on pose
2ne 1
p0 =
+ = k1 + ε,
(8.4.8)
λ
2
où k1 (un entier) est l’ordre d’interférence du 1er anneau brillant et ε la fraction au dessus de l’entier
(ε ∈ [0, 1[). Le k-ième anneau brillant est tel que
2ne
i2
pk =
1 − k2
λ
2n
!
+
1
ei2
= p0 − k = k1 − (k − 1),
2
λn
(8.4.9)
et par suite,
s
ik =
λn
(p0 − pk ) =
e
s
λn
(k − 1 + ε).
e
(8.4.10)
Ainsi, le rayon du k−ième anneau brillant dans le plan focal image de la lentille convergente
L est
s
λn
Rk = f 0 ik = f 0
(k − 1 + ε),
(8.4.11)
e
et celui du k − ième anneau sombre est
s
Rk = f 0 ik = f 0
λn
1
(k − + ε).
e
2
(8.4.12)
Ces anneaux, appelés anneaux de Haidinger, se resserrent au fur et a mesure que l’on s’écarte
du centre et leur rayons sont sont d’autant plus grand que l’épaisseur est faible.
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8.4. SYSTÈMES INTERFÉRENTIELS PAR DIVISION D’AMPLITUDE
111
Application
Figure 8.4.3 – Schéma d’une surface antireflet
Figure 8.4.4 – Schéma d’une surface miroir.
1. Traitement antireflet des surfaces. Ce traitement a pour but d’éviter des pertes de flux
lumineux incident par réflexion et ainsi, de transmettre jusqu’au détecteur le maximum de flux.
Par exemple, sur le premier verre des lentilles d’un objectif photographique d’indice n = 1.52
(crown), on dépose une couche de Fluorure de magnésium M gF2 d’indice N = 1.38 (N < n,
figure 8.4.3). On obtient ainsi de interférences par réflexion totalement destructive puisque :
√
√
(a) les facteur de réflexion sur les deux faces, r1 et r2 sont égaux ⇒ N = n = 1.52 = 1. 233
(comme il n’existe pas de matériau d’indice aussi faible, on utilise des matériaux naturels
d’indice approchant) ;
(b) la différence de phase vaut (il n’y a pas de terme de phase π supplémentaire)
2N e
1
= (2m + 1)π ⇒ e = m +
λ
2
δR = 2π
λ
.
2N
(8.4.13)
Lorsque la lumière incidente est blanche, l’épaisseur de la couche déposée est uniquement
relative à la longueur pour laquelle l’oeil à une sensibilité maximale (jaune-vert). Donc
e=
λ
5 500 Å
=
= 996. 38 Å .
4N
4 × 1.38
(8.4.14)
Pour les autres radiation, l’interférence n’est pas totalement destructive. C’est pourquoi
la teinte complémentaire, constituée de reflets bleues et violets, est visible par réflexion
sur les verres des objectifs photographiques. On arrive par cette technique à obtenir des
facteurs de réflexion en intensité inférieurs à 1%.
2. Augmentation du facteur de réflexion des verres. On réalise par exemple un miroir par
dépôt d’un système de couches minces, alternativement de forte (N ) et de faible réfringence
(n1 = 1) sur un verre d’indice n (figure 8.4.4). Comme N > n, la différence de phase introduite
λ
par cette couche présente un terme supplémentaire égale à π. La condition e = 4N
réalise alors
des interférences constructives des deux ondes.
3. Mesure des indices. Les anneaux de Haidinger servent aussi à mesurer l’indice n d’un
matériau, par exemple un gaz. En effet, en mesurant la variation du rayon du premier anneau brillant lorsque le faisceau passe de l’air au gaz étudié, on en déduit l’indice.
4. Coloration des lames minces. Les couleurs présentent dans les bulles de savon, sur les dépôts
d’huile ou de carburant et dans d’autres films minces, résultent du phénomène d’interférence
d’égale inclinaison. Ces belles couleurs résultent de l’alternance d’interférences constructives et
destructives qui se produisent sous incidence en lumière blanche ou polychromatique.
Exemple 8.4.1 Pour un film d’eau d’épaisseur e = 320 nm dans l’air, les longueurs d’ondes
brillantes et sombres, sous incidence normale par une lumière blanche, sont données par
λB =
2en
853. 33 nm
853. 33 nm
et λS =
.
1 =
1
m
m+ 2
m+ 2
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Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
8.4. SYSTÈMES INTERFÉRENTIELS PAR DIVISION D’AMPLITUDE
112
La condition 400 nm ≤ λ ≤ 800 nm donne 0.566 66 ≤ mB ≤ 1. 633 3 et 1. 066 7 ≤ mS ≤ 2. 133 3,
et par suite
853. 33 nm
= 568. 89 nm
1 + 12
853. 33 nm
λS =
= 426. 67 nm .
2
λB =
(8.4.16a)
(8.4.16b)
Ainsi, lorsque la lumière blanche éclaire le film mince, la radiation jaune verdâtre est renforcée
par réflexion et la radiation violette ou indigo est renforcée par transmission.
8.4.3
Lames à épaisseur variable et coin d’air. Franges de Fizeau
Nous nous proposons d’étudier ici les lames minces d’épaisseur e variable ou non uniforme éclairés
sous incidence quais-normale. Les dispositifs expérimentaux usuels sont :
• la lame de verre d’indice n et d’épaisseur e légèrement variable ;
• le coin d’air pragmatique constitué de deux lames de verre à faces parallèles, incliné l’une
par rapport à l’autre ;
• le coin d’air limité par une face sphérique et une face plane. Il est formé d’une lentille plan
convexe reposant par la face courbe sur un plan de verre. La lame d’air d’épaisseur e variable
est la couche comprise entre le plan et la face courbe de la lentille.
Tous ces montages sont éclairé par une source étendue monochromatique située à l’infini. On
peut donc considérer que les systèmes interférentiels sont éclairés sous incidence i par un faisceau de
rayons parallèles.
Un rayon incident R0 de faible incidence i fournit par division d’amplitude
1. un rayon R1 par réflexion sur la face d’entrée de la lame ;
2. un rayon R2 transmis à travers la face d’entrée après transmission par la face d’entrée et
réflexion sur la face de sortie. Ce rayon présente un déphasage π par rapport à R1 .
Ces deux rayons se croisent dans un plan situé au voisinage de la lame et les ondes qu’ils transportent se superposent.
Figure 8.4.5 – Lame de verre d’indice n d’épaisseur variable e éclairé en incidence quasi-normale. (a) Le
plan de localisation des franges est confondu avec M2 . Le point P est confondu avec le point J. (b) Le plan de
localisation des franges est confondu avec M1 . Le point P est confondu avec le point I.
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8.4. SYSTÈMES INTERFÉRENTIELS PAR DIVISION D’AMPLITUDE
113
Figure 8.4.6 – Coin d’air pragmatique : les deux
lames de verre à faces parallèles sont inclinées l’une
par rapport à l’autre d’un angle α petit.
Figure 8.4.7 – Coin d’air à face sphérique, de
rayon de courbure ρ et une face plane.
R2
R1
R0
P
θ
i i
O
i’
E K
I
2α− r
r
α− r
J
α
Figure 8.4.8 – Interférences localisées sur une lame à épaisseur variable
Surface de localisation des franges
Supposons que les deux rayons se coupent en P comme sur la figure 8.4.8. Dans le triangle IP K
pratiquement rectangle en I et K, les angles étant petits, on a
IP '
IK
,
θ
(8.4.17)
avec
d = 2e(r − α),
IK ' 2JE × IJE
(8.4.18a)
d − (EJK
\ − α)] = 2nα.
θ = i − i0 = n(r − r0 ) = n[(α + IJE)
(8.4.18b)
Par conséquent,
e(r − α)
,
nα
e(r−α)
[ ' IP = nα = r − α .
IOP
e
IO
n
α
IP '
(8.4.19a)
(8.4.19b)
[ est faible, la surface de localisation est située au voisinage de la lame. On vérifie bien
Comme IOP
que lorsque α = 0 (épaisseur uniforme), IP est à l’infinie, c’est-à-dire que les franges sont à l’infini.
Figure d’interférence
La distribution de l’intensité de l’onde résultante, en tout point de la surface de localisation, est
donnée par
p
δ
I = I1 + I2 + 2 I1 I2 cos 2π ,
(8.4.20a)
λ
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8.4. SYSTÈMES INTERFÉRENTIELS PAR DIVISION D’AMPLITUDE
avec
δ = 2ne cos r +
λ
λ
' 2ne + .
2
2
114
(8.4.20b)
Si x = OI alors e = xα et
λ
2nxα 1
, p=
+ .
(8.4.20c)
2
λ
2
L’ensemble des points de la surface de localisation, d’égale intensité s’identifie aux lignes d’égale
épaisseur de la lame : ce sont les franges de Fizeau. Elles sont rectilignes et parallèles à l’arête
du coin (figure 8.4.9).
δ = 2nxα +
Figure 8.4.9 – Franges de Fizeau. Franges rectilignes observées au voisinage de l’arête du coin d’air,
pour le doublet du sodium (a) (les ordres d’interférence étant peu élevés, le brouillage ne se produit pas), puis
pour la lumière blanche solaire (b). L’observation se fait en incidence quasi-normale et l’angle au sommet du
coin (arête) α très petit.
Anneaux de Newton
Ce sont des anneaux concentriques d’égale épaisseur (figure 8.4.10) données par le coin d’air à face
sphérique de rayon ρ et une face plane (figure 8.4.7). C’est anneaux sont dans le plan voisin de la
lame. La géométrie des franges est due à la symétrie circulaire du système.
L’épaisseur e de la lame s’exprime en fonction du rayon ρ de la lentille par
ρ2 = (ρ − e)2 + x2 ,
(8.4.21)
avec e x, soit
e'
x2
.
2ρ
(8.4.22)
La différence de marche entre les faisceaux réfléchies sur les faces sphérique (sans déphasage) et plane
(avec déphasage) étant compté dans l’air, on a
δ = 2e +
λ
x2 λ
x2
1
=
+ , p=
+ .
2
ρ
2
λρ 2
(8.4.23)
Par réflexion, le centre des anneaux est sombre puisque pour x = 0, p = 12 .
Les rayons des différents anneaux sombres sont tels que
pk =
p
x2
1
1
+ = k + ⇒ xk = kλρ.
λρ 2
2
(8.4.24)
Les rayons des anneaux brillants sont
s
xk =
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2012 1
k−
λρ.
2
(8.4.25)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
8.5. INTERFÉRENCES D’ONDES MULTIPLES. INTERFÉROMÈTRE DE FABRY-PÉROT 115
Figure 8.4.10 – Simulation des anneaux de Newton en lumière blanche. (a) Le centre est blanc ou achromatique : c’est une interférence par transmission. (b) Le centre est sombre : c’est une interférence par réflexion.
8.4.4
Applications
Les franges de Fizeau trouvent de nombreuses applications techniques parmi lesquelles on a :
• L’étude des surfaces. Pour contrôler le poli des surfaces, il suffit de réaliser un coin d’air
entre la surface à contrôler et une surface témoin ou étalon. En éclairant l’ensemble avec une
source étendue monochromatique, on obtient une représentation visuelle de l’écart entre les deux
surfaces. Si les surfaces en regard des deux lames sont parfaitement planes, on voit apparaı̂tre les
franges rectilignes d’égale épaisseur qui sont parallèles à l’arête du coin d’air. Mais en général,
les lames présentent des défauts de surface qui déforment les franges. Une évaluation du taux
de déformation des franges par rapport à l’interfrange permet, dans des conditions appropriées,
de mettre en évidence des déviation de l’ordre de 0.01 − 0.02λ de la la lumière utilisée par
rapport à un plan.
• Mesure des indices. L’interféromètre de Michelson est souvent utilisé en coin d’air pour
mesurer l’indice d’une lame placée normalement sur l’un des bras. Cette lame provoque un
déplacement d des franges en relation avec son indice n et son épaisseur e :
d
2(n − 1)e = 2d ⇒ n = 1 + .
e
8.5
8.5.1
(8.4.26)
Interférences d’ondes multiples. Interféromètre de Fabry-Pérot
Interférences d’ondes multiples
C’est un interféromètre optique constitué de deux surfaces partiellement réfléchissantes planes à hauts
coefficients de réflexion (souvent supérieurs à 95%). La lumière entrante effectue de multiples allerretour à l’intérieur de cette cavité, et ressort partiellement à chaque réflexion (figure (8.5.1)). Les
différents rayons lumineux sortants interfèrent entre eux, donnant lieu à une figure d’interférences
à ondes multiples constituée d’anneaux concentriques fins.
Pour avoir un coefficient de réflexion proche de l’unité sur chacune des faces, on dépose une couche
de métal évaporé. Le système va fonctionner en transmission.
La différence de phase entre deux rayons successifs est
s
2πδ
sin2 i
, δ = 2ne cos r = 2ne 1 −
.
φ=
λ
n2
(8.5.1)
Soit R le coefficient de réflexion énergétique ou réflectance (resp. T le coefficient de transmission
énergétique ou transmittance), que l’on suppose être le même sur chacune des faces.
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8.5. INTERFÉRENCES D’ONDES MULTIPLES. INTERFÉROMÈTRE DE FABRY-PÉROT 116
Figure
8.5.1 – Schéma de principe d’interféromètre à ondes multiples. La lame d’épaisseur e
uniforme est éclairée par une source étendue. L’écran
d’observation est placé dans le plan focal image d’une
lentille convergente L.
Figure 8.5.2 – Figure d’interférence obtenue avec
un interféromètre à ondes multiples (Fabry-Pérot). ce
sont des anneaux concentriques très fins.
Les amplitudes complexes des ondes issus de lames sont
ψ1 = ψ0 T
(8.5.2a)
ψ2 = ψ0 T eiφ R
iφ
(8.5.2b)
iφ
i2φ
ψ3 = ψ0 T e Re R = ψ0 T e
R
2
ψ4 = ψ0 T ei2φ R2 eiφ R = ψ0 T ei3φ R3
..
.
(8.5.2c)
(8.5.2d)
(8.5.2e)
de sorte que l’amplitude complexe de l’onde transmise au point focal image de la lentille est la suite
géométrique de raison R eiφ avec R < 1,
√
∞
p X
I0
m imφ
R e
=T
,
(8.5.3)
ψt = T I0
1
−
R
eiφ
m=0
et l’intensité
It |ψt |2 = T 2
I0
I0
= T2
,
1 + R2 − 2R cos φ
R2 sin2 φ + (1 − R cos φ)2
(8.5.4)
ou
It =
Imax
φ
2
2
1 + M sin2
Imax = I0
T
1−R
,
(8.5.5a)
, M=
4R
.
(1 − R)2
(8.5.5b)
Notons qu’en absence d’absorption1 , (A = 0), T = 1 − R et Imax = I0 . Pour A 6= 0, Imax ≤ I0 .
La fonction
A(φ) =
1
1 + M sin2
φ
2
,
(8.5.6)
est appelée fonction d’Airy (figure 8.5.3).
1
R+T +A=1
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8.5. INTERFÉRENCES D’ONDES MULTIPLES. INTERFÉROMÈTRE DE FABRY-PÉROT 117
C’est une fonction paire, symétrique qui est constituée d’une succession de pics (d’interférences)
pour φ = 2πm et dont le profil est une Lorentzienne, puisque pour φ ≈ 0,
1
A(φ) =
1+M
2 .
φ
(8.5.7)
2
Figure 8.5.3 – Courbes de la fonction d’Airy d’un interféromètre d’onde multiple en fonction de la longueur
d’onde. A chaque longueur d’onde correspond un système d’anneaux. Et en présence de plusieurs longueurs
d’ondes, on peut comparer ces différents systèmes d’anneaux afin de mesurer les longueurs d’ondes. Ce type
d’interféromètre est donc utilisé en spectrométrie.
La largeur total des pics à mi-hauteur ∆φ1/2 se déduit aisément :
A(φ) =
1
2
⇒ φ = ±√ ,
2
M
(8.5.8)
soit
4
2(1 − R)
∆φ1/2 = √ = √
.
(8.5.9)
M
R
Ainsi, la largeur des pics diminue lorsque R augmente. Les anneaux observés sont localisés à l’infini
et sont très fins, car les pics d’interférence sont très fins pour φ = 2πm. A chaque longueur d’onde
correspond un système d’anneaux (figure 8.5.2). Et en présence de plusieurs longueurs d’ondes, on
peut comparer ces différents systèmes d’anneaux afin de mesurer les longueurs d’ondes. Ce type
d’interféromètre est donc utilisé en spectrométrie.
Pour pouvoir mieux séparer les différents anneaux, il est intéressant qu’ils soient les plus fins
possibles, ce qui est équivalent à affiner les pics de la courbe 8.5.3, c’est-à-dire à réduire ∆λ1/2 par
rapport à δλ. Ainsi, un interféromètre de bonne qualité présentera un ∆λ1/2 beaucoup plus faible
que δλ. Pour simplifier, on utilise la grandeur suivante, appelée finesse,
F=
δλ
.
∆λ1/2
(8.5.10)
Et donc, plus la finesse est importante, plus les anneaux sont fins. Afin d’augmenter cette finesse,
il est possible de rendre les surfaces formant la cavité très réfléchissantes. En effet, la finesse peut
aussi être définie comme le rapport entre l’intervalle de fréquence entre deux pics et la largeur des
résonances ou largeur à mi-hauteur2 ,
√
2π
π R
=
.
(8.5.11)
F=
∆φ1/2
1−R
2
dλ
∆λ1/2 = | dφ
|∆φ1/2 =
λ
∆λ1/2
√
=
∆φ1/2
dφ
| dλ |
=
∆φ1/2 λ2
2π2ne)
=
1−R
λ2
√
.
R π(2ne)
Par suite,
λ
∆λ1/2
=
√
π(2ne) R
.
λ(1−R)
Pour m = 1, 2ne = λ et
π R
.
1−R
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8.5. INTERFÉRENCES D’ONDES MULTIPLES. INTERFÉROMÈTRE DE FABRY-PÉROT 118
Ainsi, la finesse augmente avec le coefficient de réflexion des surfaces comme on peut le voir sur la
figure 8.5.4.
Une finesse élevée est un atout important des interféromètres à ondes multiples par rapport à
l’interféromètre de Michelson, qui a une finesse de 2.
Figure 8.5.4 – Courbe représentant la finesse d’un interféromètre d’ondes multiples en fonction du coefficient
de réflexion des miroirs formant la cavité.
8.5.2
Interféromètre de Fabry-Pérot
Cet appareil est l’interféromètre à ondes multiples le plus populaire. Il est utilisé comme spectromètre à haute résolution ainsi que comme cavité résonante dans les lasers. L’interféromètre
est constitué de deux lames de verre dont les surfaces en regard, optiquement planes, parallèles et
très réfléchissantes, définissent une lame d’air.
Utilisation en spectromètre
En raison de la finesse des anneaux, l’interféromètre de Fabry-Pérot est très souvent utilisé en spectromètre, pour analyser avec précision la distribution spectrale des sources lumineuses. En effet,
puisque chaque radiation donne son propre système d’anneaux, avec une intensité qui est proportionnelle à l’intensité spectrale Iν (ν), la figure d’interférence permet d’accéder à la fonction I(ν).
Principe 8.5.1 Deux pics principaux proches sont séparés dans le spectromètre si leur
distance est supérieure à la demi-largeur à mi-hauteur du pic,
∆λ =
avec ∆φ1/2 =
√4
M
=
2π
F
∆φ1/2
,
|Dφ |
(8.5.12)
et la dispersion en différence de phase,
Dφ =
dφ
2e cos i
2π
= −2π
= − p.
2
dλ
λ
λ
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2012 (8.5.13)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
8.5. INTERFÉRENCES D’ONDES MULTIPLES. INTERFÉROMÈTRE DE FABRY-PÉROT 119
Ainsi le pouvoir de résolution du spectromètre de Fabry-Pérot est
√
λ
π M e cos i
R=
=
= pF,
∆λ
λ
(8.5.14)
√
i
π M
avec ∆λ le plus petit écart de longueur d’onde détectable, p = 2e cos
λ , F =
2 . Le tableau (8.5.1)
montre que le pouvoir de résolution est très élevé et qu’il varie très rapidement avec la réflectance.
R
0.80
0.90
0.95
F
14
30
61
R × 106
0.56
1.2
2.45
∆λ(nm)
0.89
0.42
0.21
Table 8.5.1 – Quelques valeurs du pouvoir de résolution de Fabry-Pérot pour λ = 600 nm, e = 10 mm et
i ' 0.
Cavité résonante
Dans une cavité optique, les radiations transmises sont celles qui réalisent la condition d’interférence
constructive des ondes multiples. En incidence normale,
2ne = mλm ⇒ νm = m
c
.
2ne
(8.5.15)
Ainsi, la différence de fréquence entre deux pics successifs est
∆ν =
c
.
2ne
(8.5.16)
Les deux plans de l’interféromètre forment alors une cavité résonante puisque le facteur de transmission ou transmittance est alors maximal. En physique des lasers, on enferme le milieu amplificateur
dans une cavité de Fabry-Pérot. Cette cavité assure d’une part, le renvoi de la lumière issue de l’amplificateur sur celui-ci, et elle permet d’autre part, de réaliser une sélection de longueur d’onde dans
la courbe de gain de l’amplificateur (modes de cavité).
Filtre interférentiel
L’interféromètre de Fabry-Pérot sert aussi comme filtre interférentiel : il s’agit de sélectionner une
longueur d’onde donnée à partir de la lumière blanche. Les longueurs d’ondes transmises sont celles
pour lesquelles on a à incidence normale,
2ne = mλm = (m + 1)λm+1 = (m + 2)λm+2 = · · ·
(8.5.17)
Afin de n’avoir, dans le domaine du visible, que la seule radiation λm , on prend généralement m = 1.
Par exemple, si on prend λm = 546 nm, les radiations λm+1 = 273 nm et λm+2 = 182 nm · · · , sont
hors du domaine.
Notons qu’un filtre est d’autant plus efficace que la réflectance est grande.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
Deuxième partie
TRAVAUX DIRIGES
120
CHAPITRE
9
QUESTIONS DIVERSES
1. Un récipient rempli d’eau est couvert d’une couche d’huile de lin de 1 cm d’épaisseur (n2 = 1.48),
l’air surmontant l’huile. Sur quelle interface un rayon issu du fond du récipient peut-il se réfléchir
totalement ? Quel serait son angle d’incidence ?
2. Soient deux ondes (1) et (2). L’onde (1) polarisée linéairement, de pulsation ω, se propage dans
la direction des z > 0 et son champ E fait un angle de 120 ◦ avec la direction des x > 0 à
t = 0 et z = 0. L’onde (2) polarisée linéairement, de pulsation ω, a son plan d’onde qui fait un
angle de 30 ◦ avec le plan (z, x) et se propage dans la direction des z > 0. Écrire l’expression
des ondes (1) et (2) et montrer qu’elles sont orthogonales. On supposera que les deux ondes
ont une amplitude E0 .
3. Lors du parcours du Soleil au dessus d’une mare d’eau, il atteint un angle tel que son image vue
à la surface de l’eau (n = 43 ) est complètement polarisée linéairement dans un plan parallèle à la
surface. Déterminer cet angle d’incidence et l’angle sous lequel le rayon transmis se propagera
dans l’eau.
4. Soit un cristal uniaxial, biréfringent, taillé en forme de lame à face parallèle, l’axe optique étant
parallèle à la face d’entrée. Une telle lame est dite lame-retard. Pour une onde incidente de
5 900 Å, calculer l’épaisseur minimum d’une lame-retard pour que celle-ci soit une lame quart
d’onde c.à.d qu’elle introduise entre les rayons extraordinaire (e) et ordinaire (o) une différence
de phase ϕ = π2 . Évaluer cette épaisseur pour le quartz pour lequel ne = 1.553 4 et no = 1.544 3
frappé sous incidence normale avec la lumière à vapeur de Na (λ = 5 893 Å).
5. Un rayon lumineux jaune de Na (λ = 5 893 Å) frappe sous incidence normale, une lame de
Calcite à faces parallèles et dont l’axe optique est perpendiculaire au rayon incident. Quelles
sont les fréquences et longueurs d’ondes e et o dans le calcite ? On donne ne = 1.486 4 et
no = 1.658 4.
6. Une lumière polarisée linéairement, d’amplitude E0 tombe sous une lame quart d’onde de
Calcite, son plan de vibration étant orienté π4 de l’axe optique de la lame, pris comme axes des
y. Quelle est la polarisation de la lumière émergente ? La propagation est dirigée vers l’extérieur
de la page.
7. La quantité ∆n = ne − no est définie comme la biréfringence et un matériau est considéré
comme positif ou négatif selon son signe. Soit une source ponctuelle située dans un milieu
uniaxe biréfringent, dire dans les deux cas, quelle est la vitesse maximale de l’onde.
8. Citer les trois conditions générale permettant d’obtenir des interférences d’ondes.
121
122
9. En admettant que le temps d’émission d’un atome émettant la raie D du sodium (λ = 589 nm)
est de 1 ns, combien de vibrations comporte chaque train d’onde ?
10. Que devient l’ordre d’interférence lorsque l’une des vibrations incident se change de signe ?
11. Deux trous d’Young sont éclairés par la lumière provenant d’une lampe de mercure filtrée à
un tel point que seule la forte raie verte (λ = 546 nm) sorte. Les fentes sont à 0.10 mm l’une
de l’autre et l’écran sur lequel le diagramme d’interférence apparaı̂t est à 20 cm. Quelle est la
position angulaire du 1er minimum ? du 10e maximum ?
12. Que devient le système d’interférences si l’on déplace la source S parallèlement à S1 S2 dans un
dispositif de trous d’Young ?
13. Calculer le rayon angulaire du 4eme anneau noir pour une lame d’air d’épaisseur e = 720.3 µm
éclairée par une radiation monochromatique de longueur d’onde λ0 = 0.6 µm.
14. Quelle est la valeur de l’interfrange pour un coin d’air (α = 20 0 ) éclairée par une lumière verte
(λ = 546 nm) ?
15. Calculer le rayon du 5ème anneau de Newton sombre lorsque R = 25 m et λ = 546 nm.
16. Un faisceau incident de longueur d’onde λ = 546 nm tombe perpendiculairement sur un réseau
plan comportant 500 traits par mm. Calculer les différentes valeurs de l’angle de diffraction qui
correspondent aux maxima principaux.
17. Un réseau plan éclairé par un faisceau de lumière verte λ = 546 nm, présente un minimum de
déviation Dm = 66 ◦ pour le premier ordre. Quel est le nombre de traits par mm de ce réseau ?
18. Calculer le pouvoir de résolution d’un réseau comportant 1 000 traits par mm sur une largeur
de 2 cm, dans le second ordre.
19. Comparer l’énergie transportée par une onde visible de longueur d’onde λ = 546 nm et un
faisceau de rayon X de longueur d’onde λ0 = 0.1 nm.
20. Pour comparer deux longueurs d’onde, on utilise successivement deux faisceaux de rayons X.
Le premier correspond à la raie Kα1 du cuivre (λ1 = 0.154 05 nm). La déviation du faisceau
d’ordre 1 est alors 2θ = 32 ◦ . Dans les mêmes conditions, le second faisceau est dévié de
2θ = 44 ◦ . Calculer la valeur de λ2 , longueur d’onde du second faisceau.
21. Dire si les propositions suivantes sont vraies ou fausses :
(a) Le champ électrique E des ondes e et o sont respectivement parallèle et normale à la
direction de la calcite (CaCO3 ).
(b) Quand elles se propagent le long de l’axe optique, les ondes e et o ont des champs normaux
à cet axe et la même vitesse v ⊥ .
22. Une lumière blanche éclaire perpendiculairement une pellicule mince d’indice n = 1.5 et
d’épaisseur 5 000 Å. Pour quelles longueurs d’onde du spectre visible (4 000 Å −7 000 Å) l’intensité de la lumière réfléchie sera-t-elle maximale ?
23. Le rayon de courbure d’une surface convexe d’une lentille plan-convexe et R = 30 cm. La
partie convexe de cette lentille est placée sur le plan d’un verre et est illuminé du haut par
un faisceau rouge de longueur d’onde 650 nm. Quel est le diamètre du 3e anneau brillant de la
figure d’interférence ?
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
123
24. On considère une figure d’interférence produite par un faisceau de lumière de longueur d’onde
λ passant à travers deux fentes de largeurs inégales a1 = 20λ et a2 = 40λ, séparés par 2 000λ.
Si l’écran d’observation est placé à une distance L 1 000λ, déterminer les largeurs ∆x1
et ∆x2 des maxima centraux des figures de diffraction de chaque fente pris individuellement
(i.e., la distance entre les premiers zéros) et en déduire le nombre de franges produites par le
chevauchement de ces maxima centraux.
25. Distinguer la diffraction de Fraunhofer et la diffraction de Fresnel en termes de dispositifs
expérimental.
26. On considère une figure de diffraction de Fraunhofer due à deux fentes a et b inégales et
distants de c. En supposant que le dispositif est illuminé perpendiculairement par un faisceau
de longueur d’onde λ, donner l’expression de la loi de répartition l’intensité diffractée par tout
angle de diffraction θ. Que devient cette expression lorsque a = b et a = 0.
27. Deux étoiles ont un angle de séparation de 1 µrad. Elles émettent toutes deux de la lumière de
longueurs d’onde 5 770 Å et 5 790 Å. Quelle largeur du diamètre de la lentille du télescope est
nécessaire pour séparer les images des deux étoiles ? Quelle est la largeur du réseau parfait est
nécessaire pour séparer les deux longueurs d’onde précédentes ?
28. Un faisceau de lumière partiellement polarisée se propageant dans la direction Oz, passe à
travers un analyseur de polarisation linéaire parfait. Quand l’axe de transmission est dans
la direction Ox, l’intensité transmise est maximales et a pour valeur 23 I0 . Quand l’axe de
transmission de l’analyseur est dans la direction Oy, l’intensité transmise est minimale et pour
valeur I0 .
(a) Quelle est l’intensité transmise quand l’axe de transmission de l’analyseur fait un angle θ
avec la direction Ox ? Cette intensité dépends-t-elle de la fraction non polarisée ?
(b) On fait passer le faisceau original à travers une lame quart d’onde et ensuite à travers
l’analyseur de polarisation linéaire. La lame quart d’onde à ses axes confondus avec les
axes Ox et Oy. On trouve maintenant que l’intensité transmise est maximale quand l’axe
de l’analyseur fait un angle de 30 ◦ avec Ox. Déterminer cette intensité maximale et la
fraction de l’intensité incidente non polarisée.
29. Par une journée claire, le ciel apparaı̂t bleu à cause de :
(a) la réflexion de l’océan
(b) de la fluctuations de l’atmosphère qui cause des collisions
(c) les vapeurs de cobalt dans l’atmosphère.
30. On considère la lumière solaire perpendiculairement incidente sur la surface de l’eau.
(a) Calculer le coefficient de réflexion R et le coefficient de transmission T .
(b) Si le flux incident est de 1 kW m−2 , quelle est la pression que cette lumière solaire exerce
sur la surface de l’eau ?
31. L’angle limite d’une réflexion totale dans l’eau est 5 ◦ , 20 ◦ , 50 ◦ , 80 ◦ .
32. Une fente diffractante est éclairée sous incidence normale par une lumière monochromatique de
longueur d’onde λ = 0.6 µm. La largeur à mi-hauteur du maximum principal est 5 × 10−3 rad.
|u|
Quelle est la largeur de la fente ? On rappelle que | sin u| = √
a pour solution u = ±79 ◦ 40 0 .
2
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
124
33. Un mur d’une grande salle est recouverte de tuiles acoustiques sur lesquelles on a percé des
petits trous à 5 mm d’intervalle. A quelle distance de ces tuiles devra se trouver un individu
pour pouvoir encore distinguer chacun de ces trous ? Le diamètre de la pupille de cet individu
est de 4 mm et λ = 5 500 Å.
34. Pourquoi les ondes radio diffractent autour des édifices alors que les ondes lumineuses ne le font
pas ?
35. Quel indice de réfraction doit avoir un poisson pour être invisible ?
36. Sous quelle angle au dessus de l’horizon observe-t-on une lumière solaire polarisée après réflexion
sur le lac de Bini-Dang en fin d’après-midi ?
37. D’après la formule de diffusion de Rayleigh, l’intensité de la radiation diffusée par les molécules
d’air est proportionnelle à 1/λ4 . Expliquer la teinte bleu de l’atmosphère sans nébulosité, sous
l’influence du rayonnement solaire. On rappelle que λbleu ' 21 λrouge ' 0.4 µm.
38. En 2001, un pétrolier a laissé échappé à l’entrée du port de Douala, une grande quantité de
kérosène (n = 1.2) qui a formé une épaisse couche à la surface de l’eau (n = 1.33). Supposons
que du haut d’un hélicoptère vous regardez perpendiculairement à un endroit où le dépôt ne
possède qu’une épaisseur de 460 nm. Quelles couleurs de la lumière visible réfléchie allez-vous
observer ? Si après vous êtes en plongé directement sous la nappe de kérosène, quelles couleurs
de la lumière visible transmise allez-vous observer ? On rappelle que
λ(nm)
couleur
400
440
violet
500
bleu
560
vert
590
Jaune
610
Orange
780
rouge
39. Les lentilles (n = 1.5) sont souvent recouvertes de films minces de substance transparente,
tel que le M gF2 , qui possède un indice de réfraction de 1.38. On réduit ainsi, en utilisant
l’interférence, la réflexion à partir de la surface de verre. Quelle est l’épaisseur minimale du
revêtement nécessaire pour produire une réflexion minimale au centre du spectre visible (λ =
550 nm) ?
40. Un spectromètre infrarouge est constitué d’un réseau de 300 lignes par mm, de largeur L =
85 mm. On l’éclaire avec la radiation λ = 4.8 µm et on observe le faisceau diffracté dans l’ordre
1. Calculer la limite de résolution théorique en longueur d’onde ∆λ. La résolution obtenue
expérimentalement nombre d’onde est ∆σ = 0.08 cm−1 . Justifier l’écart constaté.
41. Un faisceau de lumière se propage dans un diamant (n = 2.42) et traverse l’interface diamantair sous l’angle d’incidence θ = 28 ◦ . Le faisceau sera-t-il totalement réfléchi à l’interface ou
sera-t-il partiellement réfléchi ?
42. Les deux phares d’une automobile sont séparés de 109 cm . A quelle distance doit-on se placer
pour être à la limite de séparation de ces deux sources ? On supposera λ = 5 500 Å et un
diamètre nocturne de la pupille de l’oeil 4 mm.
43. Un faisceau de lumière non polarisée passe à travers trois filtres. Le premier a son axe disposé
verticalement, le deuxième à 30 ◦ de la verticale et le troisième à 60 ◦ de la verticale. Quel
pourcentage de l’intensité est transmise ?
44. En utilisant l’écriture matricielle de Jones, déterminer la polarisation de la vibration émergeante
d’une vibration rectiligne à 45 ◦ tombant sur une lame quart-d’onde dont l’axe rapide est orientée en Oy.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
125
45. Effet Faraday dans le sulfate de zinc. La constante de Verdet du sulfate de zinc est
Ve = 3 750 ◦ T−1 m−1 , pour la radiation de longueur d’onde λ0 = 589 nm. La champ magnétique
appliqué B a est produit par un solénoı̈de de 2 000 spires de même longueur que le matériau.
Quelle doit être l’intensité du courant dans le solénoı̈de, pour que la rotation du plan de polarisation soit π6 ? On supposera que le champ magnétique est le même que celui créé par un
solénoı̈de infini et on se rappellera que l’angle de rotation a pour expression α = Ve Ba `, que la
perméabilité du vide µ0 = 4π × 10−7 SI.
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CHAPITRE
10
ONDES ÉLECTROMAGNÉTIQUES
Sommaire
10.1 Propagation d’une onde dans un plasma
10.2 Formule de dispersion de Sellmeier
10.3 Effet de peau dans un conducteur imparfait
10.4 Pourquoi les métaux sont-ils brillants ?
10.5 Transmissions sous-marines
10.6 Pertes d’énergie et pouvoir réflecteur des alcalins
dans l’UV
10.7 Onde stationnaire et résonateur électromagnétique
10.8 Ensemble de polariseurs et effet Zénon
10.9 Couche antireflet
10.10Traitement multicouches - miroir froid
10.11Pouvoir rotatoire du quartz
10.1
Propagation d’une onde dans un plasma
L’ionosphère est l’ensemble des couches atmosphériques présentent à très hautes altitude (50 à
100 km) et où des causes diverses, dont le rayonnement solaire, assurent au moins partiellement
une ionisation, i.e., une dissociation des atomes en ions positifs (+e, M ) et électrons (−e, m).
1. Supposons que ce milieu, de constante diélectrique ε0 et de perméabilité magnétique µ0 égales à
celles du vide, contient, par unité de volume, des nombres égaux n d’ions positifs et d’électrons,
tous deux mobiles. Nous négligerons les interactions entre particules et on considérera que leurs
mouvements ne sont déterminés que par leur inertie et par l’action du champ électrique E lié
aux ondes électromagnétiques qui se propagent dans le milieu.
(a) Donner l’équation du mouvement d’un ion et d’un électron sous l’action d’un champ
électrique E. Si celui-ci est sinusoı̈dal, de pulsation ω (variant donc en e−iωt ), ions et
électrons finissent par prendre un mouvement sinusoı̈dal (d’oscillations forcées). Donner
126
10.2. FORMULE DE DISPERSION DE SELLMEIER
127
la valeur des vitesses, v i pour les ions, v e pour les électrons. associées à ces mouvements.
Quelle est la densité de courant j et la conductivité σ(ω) du milieu à la pulsation ω ?
(b) Le champ E précédemment décrit est celui d’une onde électromagnétique (E, B) de
vecteur d’onde k. Écrire les quatre équations de Maxwell et en déduire la transversalité ou
l’orthogonalité des champs E et B. On calculera au préalable la densité de charge totale
ρ.
(c) Définir la relation de dispersion du milieu. Indiquer, en fonction du domaine de fréquences,
ne2
la nature des ondes électromagnétiques considérées. On posera ωp2 = m̃ε
la pulsation
0
plasma, avec m̃ la masse réduite d’un ion et d’un électron.
(d) Calculer la vitesse de phase vϕ et la vitesse de groupe vg . Commenter les résultats par
rapport à la célérité de la lumière c dans le vide.
(e) Comment peut-on justifier sans calculs, l’absence notée plus haut, d’un régime de propagation avec atténuation ?
(f) Montrer que la conductivité ionique est toujours négligeable vis-à-vis de la conductivité
électronique. On rappelle que M
m = 1 868.
(g) Calculer la fréquence de coupure de l’ionosphère et la longueur d’onde (dans le vide) correspondante, pour n = 1.22 × 1012 m−3 . Dans quel domaine des ondes électromagnétiques
se trouvent les valeurs trouvées ? On rappelle que m = 9.109 389 7 × 10−31 kg et e =
1.602 177 33 × 10−19 C.
2. On suppose maintenant que les n ions sont immobiles et les n électrons sont mobiles : quand
on les écarte d’un vecteur r de leur position d’équilibre, ils sont rappelés vers elle par une force
−mω02 r. Quand ils se meuvent à la vitesse v, ils sont de plus soumis à une force de frottement
−m
τ v.
(a) Si les électrons sont soumis à un champ électrique sinusoı̈dal E = E 0 e−iωt , ils prennent
un mouvement oscillatoire forcé à une vitesse v(t) que l’on déterminera.
(b) En déduire la conductivité σ(ω) du milieu, qui garde les constantes diélectrique et magnétique
du vide, ε0 et µ0 .
(c) On cherche à propager dans ce milieu une onde électromagnétique en e−i(ωt−k·r) , k étant
2
éventuellement complexe et de la forme k = k 0 ± ik 00 . Calculer le rapport ωk 2 .
(d) Donner l’expression de k 02 − k 002 et k 0 k 00 en fonction √
de ω, e, ω0 , τ et ωp . En déduire les
valeurs approchées de k 0 et k 00 pour k 00 k 0 et ω = ω0 2. Montrer que k 00 s’annule quand
disparaı̂t la force de frottement et justifier ce résultat.
√
(e) Évaluer numériquement ωp , k 0 et k 00 pour ω = ω0 2. Les conditions de validité de l’approximation faite au 2d sont-elles remplies ? On prendra ~ω0 = 1 eV, τ −1 = 1014 Hz,
n = 1024 m−3 .
10.2
Formule de dispersion de Sellmeier
Les milieux optiquement transparents dans le visible ont un indice optique n qui obéit sensiblement
à la relation de Sellmeier
B
n2 = A + 2 .
(10.2.1)
λ
1. Montrer que cette relation peut se déduire de l’évolution de la constante diélectrique complexe
telle qu’elle est décrite par le modèle de Lorentz de la forme
ε̃r = 1 +
ωp2
f
k
, γ = τ −1 = , ω02 = .
2
2
m
m
ω0 − ω + iγω
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2012 (10.2.2)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
10.3. EFFET DE PEAU DANS UN CONDUCTEUR IMPARFAIT
128
On simplifiera au préalable l’expression de ε̃r en s’appuyant sur des justifications physiques
puis on exprimera A et B en fonction des paramètres intervenant dans ε̃r .
2. En prenant du recul par rapport au résultat décrire les causes microscopiques de la dispersion
de la lumière blanche par les prismes de verre.
10.3
Effet de peau dans un conducteur imparfait
Soit un conducteur défini par les constantes non nulles ε0 , µ0 , γ (conductivité). On y considère des
∂
signaux sinusoı̈daux de pulsation ω. On adoptera les notations complexes, i.e., ∂t
= jω.
1. Écrire les relations de Maxwell-Faraday et Maxwell-Ampère en notations complexes et trouver
la relation entre ∆H et H. On supposera que ε0 ω γ et γ 1.
2. Le milieu conducteur
étant limité par le plan z = 0 s’étendant jusqu’à l’infini du côté z > 0,
∂
∂
on fait l’hypothèse ∂x
= ∂y
= 0 d’ondes planes se propageant suivant Oz. Écrire l’équation
q
différentielle à laquelle obéit H(z). On posera δ = µ02ωγ . Sa solution est la somme de deux
√
termes en vertu de 2i = 1 + i. En considérant ce qui se passe si z → ∞, montrer qu’un de ces
termes est nul.
3. On suppose que l’excitation magnétique H est portée par Oy et on pose H = H(z)ejωt ey .
Exprimer H(z) en fonction de H (0), z et δ. Montrer qu’on peut poser E = E(z)ejωt ex et
J = J(z)ejωt ex et exprimer E(z) et J(z) en fonction de H (0), z, γ et δ. Y-a-t-il
propagation dans le métal ? Que représente δ ?
4. Calculer
1
P =
2
Z ∞
1 ∗
J (z) · J(z)Sdz,
0
(10.3.1)
γ
S étant l’aire de la surface métallique.
5. Les ondes incidentes se propageant dans le vide ont un champ électrique E = 102 V / m et une
fréquence 1010 Hz. On donne γ = 0.625 × 108 SI et S = 10 cm2 . Évaluer numériquement H (0),
δ et P .
10.4
Pourquoi les métaux sont-ils brillants ?
On se propose de calculer les coefficients de réflexion et de transmission de l’énergie à la frontière
√
entre deux milieux diélectriques parfaits, isotropes, homogènes et indéfinis, d’indices n1 = c ε1 µ0 et
√
n2 = c ε2 µ0 , séparés par une surface plane s non chargée.
Considérons à cet effet une onde électromagnétique incidente plane monochromatique, pulsation
ω, polarisée linéairement suivant Ox, qui tombe sous l’incidence θi sur s (plan xOy) d’équation z = 0.
On admettra que du fait de la symétrie, les directions de propagation des ondes incidente, réfléchie
et transmise, indicées i, r, t, sont coplanaires et que les polarisations sont les mêmes, c’est-à-dire que
E r et E t sont aussi perpendiculaires au plan d’incidence (plan x = 0).
1. Décrire les champs électromagnétiques des ondes incidente, réfléchie et transmise. On les représentera
clairement sur un schéma.
2. Écrire les conditions de passage que doivent satisfaire les composantes des champs E et H de
part et d’autre de s, en un point M0 (x, y, 0). En déduire
relations
entre les angles θi , θr , θt ,
les
0
ainsi que les expressions des rapports des amplitudes
en fonction θr , θt , n1 , n2 .
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2012 E0
E0
et
⊥
E0”
E0
, du champ électrique
⊥
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
10.5. TRANSMISSIONS SOUS-MARINES
129
3. La puissance électromagnétique moyenne transportée par une onde à travers une section s
du plan d’onde correspond au flux du vecteur de Poynting moyen hSi à travers cette surface :
P = hSi·s avec hSi = 2µ1 0 E ∧B ∗ , B ∗ étant le complexe conjugué de B. Calculer hSr i, hSi i, hSr i
t
en z = 0, et en déduire l’expression des rapports R⊥ = PPri
et T⊥ = P
Pi ⊥ qui sont respec⊥
tivement appelés coefficient de réflexion et coefficient de transmission de l’ énergie. Vérifier
qu’à l’incidence normale R + T = 1.
4. Utilisons maintenant ces résultats pour comprendre le phénomène intéressant de la réflexion
métallique : pourquoi les métaux sont-ils brillants ?
(a) Supposer que les métaux sont des conducteurs parfaits et calculer leur coefficient de
réflexion. Que peut-on conclure ? On supposera que n1 = 1 (air).
(b) En réalité, la conductivité des métaux n’est
q pas tout à fait parfaite. Son indice de réfraction
λ
est complexe, n = 2πδ (1 + j), avec δ = µ02ωγ l’épaisseur de peau et γ 1. Quelle règle
générale peut-on dégager en considérant que les métaux sont des bons conducteurs.
10.5
Transmissions sous-marines
Ce problème examine la faisabilité d’une transmission sous-marine par ondes radio de fréquence
maximale 100 MHz à travers le dioptre air-mer. L’eau de mer est un milieu LHI, neutre, rendu
conducteur par la salinité. Pour les fréquences hertziennes, sa permittivité relative et sa conductivité
électrique sont celles des régimes quasi-statiques, des grandeurs réelles positive r = 81 (à ne pas
rapprocher de l’indice optique !) et σ = 4 S . m−1 ; sa perméabilité magnétique est celle du vide µ0 .
10.5.1
Indice complexe et profondeur de pénétration
1. Écrire les équations de Maxwell dans l’eau de mer en y admettant la loi d’Ohm locale et en
déduire l’équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ électrique.
2. Montrer que la recherche d’une solution sous la forme X = X 0 exp i(ωt − k.r) conduit à la
définition d’un indice complexe n. Exprimer son carré n2 en fonction de ε0 , εr , σ et ω.
3. Évaluer numériquement les deux termes
qui interviennent dans n2 et en déduire l’expression
q
approchée de n en fonction de α = 2εσ0 ω . Commenter cette approximation ainsi que le résultat
obtenu en termes de courant de déplacement et courant de conduction.
4. Une onde se propage perpendiculairement à la surface de séparation air-mer dans le sens des z
positifs. Sur quelle distance δ, appelée profondeur de pénétration, se propage-t-elle avant
que l’amplitude de ses champs soit réduite d’un facteur e−1 ? Quelle est sa vitesse de phase vϕ ?
5. A.N. : Calculer δ et vϕ pour f = 100 MHz (modulation de fréquence) puis f = 500 kHz (grandes
ondes). Comparer δ à λ et conclure.
10.5.2
Facteur de transmission énergétique
Ce calcul se limite à l’incidence nulle. Le dioptre est confondu avec le plan xOy ; l’air (partie z < 0)
est un milieu LHI d’indice réel n1 et l’eau de mer le milieu d’indice complexe n2 précédemment
déterminé (voir la figure (10.5.1)).
L’onde incidente dans l’air est polarisée linéairement ; son champ en notation complexe est :
E i = E0 exp i(ωt − k1 z)ux ,
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2012 (10.5.1)
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
10.5. TRANSMISSIONS SOUS-MARINES
130
Figure 10.5.1 – Interface Mer Air
Elle engendre une onde réfléchie de champ
E r = −rE0 exp i(ωt + k1 z)ux ,
(10.5.2)
E t = tE0 exp i(ωt − k 2 z)ux .
(10.5.3)
et une onde transmise de champ
Les coefficients de réflexion et de transmission r et t sont ici complexes.
1. Rappeler pourquoi les pulsations sont les mêmes et donner les expressions de k1 et k 2 .
2. Calculer les champs magnétiques complexes associés B i , B r et B t
3. Écrire les équations de continuités des champs en l’absence de courants surfaciques et en déduire
les expressions de r et t en fonction de n1 et n2 . Commentaire.
4. Déterminer la valeur moyenne des vecteurs de Poynting, puis donner l’expression des facteurs
de réflexion R et de transmission T en énergie à l’interface en fonction de n1 et n2 . Commentaire
sur R + T .
5. Avec n1 = 1 et en utilisant pour n2 l’expression approché de la question 2 de la partie 10.5.1,
donner l’expression de T en fonction de α. Évaluer numériquement T pour f = 100 MHz et
f = 500 kHz et conclure.
6. Un signal électromagnétique est émis dans l’air (par un navire par exemple) dans les conditions
de la partie (10.5.1). Trouver pour les deux fréquences précédentes la profondeur limite d à
laquelle un submersible peut le détecter sachant que son récepteur est sensible à un signal
d’énergie 10n fois plus faible que celui de l’émetteur (avec n = 10). Que devient cette distance
lorsque le signal est émis directement dans l’eau près de la surface ? Commenter sachant que
les ondes acoustiques ultrasonores se propagent à la vitesse vϕ ' 1 500 m s−1 .
7. Vérifier que l’énergie perdue par l’onde dans le milieu conducteur est effectivement dissipée par
effet Joule. Pour cela, on calculera la puissance volumique moyenne dissipée par effet Joule pour
un disque de section S et d’épaisseur dz et on ferra la différence entre la puissance moyenne
entrante en z et la puissance moyenne entrante en z + dz.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
10.6. PERTES D’ÉNERGIE ET POUVOIR RÉFLECTEUR DES ALCALINS DANS L’UV
10.6
131
Pertes d’énergie et pouvoir réflecteur des alcalins dans l’UV
On peut assimiler un métal alcalin à l’ensemble de N ions fixes par unité de volume et N électrons
libres, à raison d’un électron par atome, de masse m et immergés dans le vide.
1. On soumet le gaz d’électrons considéré à un champ électrique alternatif de pulsation ω de la
forme E = E0 eiωt . Établir l’équation du mouvement de chaque électron sachant que ceux-ci
subissent aussi une force de frottement qui, proportionnelle à leur vitesse v, est de la forme
−m
τ v, τ est le temps de relaxation. En déduire la solution permanente de ce mouvement.
2. Quelle est la densité de courant de conduction qui correspond au mouvement des N électrons
par unité de volume ? Compte tenu de la densité de courant de déplacement, qui est celle du
vide, donner l’expression de la densité de courant total.
3. Montrer que l’alcalin considéré peut indifféremment être caractérisé électriquement soit par
une constante diélectrique relative complexe ε̃r (ω) = ε0 (ω) − iε00 (ω), soit par une conductivité
électrique complexe σ̃(ω) = σ 0 (ω) + iσ 00 (ω). On simplifiera les expressions obtenues en posant
e2
0
00
ωp2 = N
mε0 et on précisera la signification physique de ε (ω) et ε (ω).
4. Application numérique pour le potassium. Préciser la valeur de la pulsation de plasma ωp
ainsi que l’énergie (en eV) correspondant. On rappelle que K : densité volumique 870 kg / m3 ,
masse atomique 39.1 et τ = 2.64 × 10−14 s. Le nombre d’avogadro est 6.022 136 7 × 1023 mol−1
et ~ = 6.582 1220 × 10−16 eV s.
5. Représenter graphiquement l’évolution de ε0 (ω) et ε00 (ω) en précisant les valeurs prises pour
ω = 0, ω = ∞ et en indiquant la valeur particulière de ω qui annule ε0 .
6. Lorsque des électrons incidents initialement monocinétiques, Ec = 50 keV, traversent un film
métallique mince, ils excitent les oscillations collectives du plasma des électrons libres de
ε0
l’échantillon et la perte d’énergie qu’ils subissent est proportionnelle à ε02 +ε
002 . Indiquer l’allure
de la fonction perte d’énergie en précisant la position ∆E de son maximum et sa largeur à
mi-hauteur ∆E(1/2).
7. Le champ électrique est désormais celui d’une onde électromagnétique plane sinusoı̈dale polarisée linéairement suivant x et se propageant à partir de l’origine O dans le sens des z croissants.
(a) Établir l’équation de propagation de l’onde électromagnétique dans le plasma.
(b) Résoudre cette équation en appelant ĒT , son amplitude complexe en z = 0. Représenter
graphiquement la relation de dispersion ω = f (k) pour ω > ωp dans l’hypothèse où le
temps de relaxation est infini. Préciser l’expression de la vitesse de phase de l’onde en
fonction de ω et ωp . Quelle est la nature de l’onde quand ω ≤ ωp ?
8. Toujours dans l’hypothèse où τ → ∞ et que l’on conservera par la suite l’expression de l’excitation magnétique associé au champ électrique précédent en fonction de εr , puis de ωp et ω.
Quelle est l’impédance d’onde Zp de l’onde dans le plasma ?
9. En fait, le métal n’occupe que le demi-espace des z positifs et l’onde calculée ci-dessus n’est que
la partie transmise d’une onde électromagnétique incidente monochromatique plane polarisée
linéairement suivant Ox qui, se propageant dans le vide (z < 0), se réfléchit partiellement sur
le plan z = 0.
Après avoir
rappelé
les expressions des ondes incidentes (Ēi et H̄i amplitude complexes) et
réfléchies Ēr , H̄r , déterminer, à partir des conditions aux limites sur le plan z = 0, l’expression
du coefficient de réflexion en amplitude r =
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2012 Ēr
Ēi
en fonction de Z0 et Zp puis en fonction de ε̃r .
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
10.7. ONDE STATIONNAIRE ET RÉSONATEUR ÉLECTROMAGNÉTIQUE
132
10. (a) Exprimer la variation en fonction de ω du coefficient de réflexion en intensité R, après
1
avoir, au préalable, calculé le rapport ωωp pour lequel R = m
. AN pour m = 16.
(b) Indiquer le domaine des fréquences où on obtient une réflexion totale et le domaine des
fréquences où l’onde peut être totalement transmise. Que peut-on conclure qu’en au comportement des métaux dans l’UV et dans le visible ?
(c) Déterminer, pour le potassium, la valeur numérique de la longueur d’onde λ0 de l’onde
électromagnétique incidente dans le vide qui précise la frontière entre ces deux régions.
11. Montrer que les résultats des deux questions précédentes pouvaient être déduits immédiatement
de l’expression donnant le coefficient de réflexion en amplitude optique à incidence normale
0
00
r = 1−ñ
1+ñ en affectant au plasma un indice optique complexe ñ = n − in que l’on exprimera en
0
00
fonction de ε et ε .
10.7
Onde stationnaire et résonateur électromagnétique
L’espace est reporté à un trièdre trirectangle direct Oxyz de vecteurs unitaires ux , uy , uz . Une onde
électromagnétique plane, progressive, sinusoı̈dale, de pulsation ω, se propage dans la direction Oz
dans le vide. L’onde est polarisée linéairement à l’axe Ox. Cette onde arrive sur un métal parfait
(conductivité γ infinie) limité par un plan P , d’équation z = 0, perpendiculaire à la direction de
l’onde.
1. Sous l’action du champ électrique de l’onde, des électrons libres du conducteur se mettent en
mouvement, le courant qui en résulte devant rester fini, en déduire la valeur du champ électrique
à l’intérieur du conducteur.
2. Vérifier qu’une onde réfléchie prend naissance sur le conducteur. Exprimer les vecteurs E r et
B r de cette onde en fonction de l’amplitude E0 du champ électrique incident, de ω, t, z, c.
3. Déterminer le coefficient de réflexion pour le champ électrique, le champ magnétique, et l’énergie
transportée par l’onde et commenter.
4. Donner en fonction de E0 , ω, t, z, c, les lois de variation en un point d’abscisse z < 0 où
existent simultanément les ondes incidentes et réfléchie. Justifier clairement le terme onde
stationnaire.
5. On constitue un résonateur électromagnétique en plaçant un second conducteur plan P 0 de
conductivité infinie, parallèle au premier et situé à une distance d = m λ2 de celui-ci (m entier).
Montrer que le système renferme alors une onde plane effectuant indéfiniment des aller et
retour entre les deux conducteurs. P et P 0 ont même aire S. S est nécessairement finie, on
suppose toutefois que les dimensions transversales assez grandes pour que les effets de bord
soient négligeables. Calculer l’énergie électromagnétique moyenne W contenue dans le volume
V = Sd compris entre les plaques.
6. Exprimer les lois de variation des champs électrique et magnétique entre les deux plaques, en
fonction de W , V , ε0 , ω, t, z, c.
7. Évaluer numériquement d, W , ainsi que le temps τ mis par l’onde pour aller d’une plaque à
l’autre. On donne ν = 1010 Hz, E0 = 102 V . m−1 , c = 3 × 108 m s−1 , m = 2, S = 10 cm2 ,
1
ε0 = 36π10
9 SI.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
10.8. ENSEMBLE DE POLARISEURS ET EFFET ZÉNON
10.8
133
Ensemble de polariseurs et effet Zénon
En imagerie médicale, afin d’avoir une bonne résolution spatiale, c’est-à-dire pour savoir où est passée
la lumière transmise, une des idées consiste à considérer la lumière diffusée par un tissus biologique
comme dépolarisée et alors analyser la polarisation de la lumière transmise afin de distinguer la partie
se propageant en ligne droite de celle qui est diffusée.
On considère une onde plane se propageant suivant Oz et polarisé rectilignement. Le champ
électrique associé à cette onde est, en notation complexe,
E i = E0i e exp i (ωt − kz) , θ = (ex , e) .
(10.8.1)
Un premier polariseur P0 laisse passer la lumière polarisée suivant Ox et un deuxième polariseur PA
analyse la polarisation et laisse passer celle qui est polariser suivant Oy.
!
Exi
et écrire les matrices P0 et PA . Écrire
1. Donner les composantes du vecteur de Jones
Eyi
la matrice P (α) d’un polariseur qui fait angle α avec l’axe Ox. On rappelle que lors d’une
rotation d’angle α, la matrice de Jones se transforme suivant la loi habituelle des matrices
J (θ + α) = R−1 (α) J (θ) R (α).
2. Quelle est l’intensité transmise It (0) à travers les deux polariseurs placés l’un derrière l’autre ?
3. On place entre ces deux polariseurs un troisième polariseur P1 tourné de
Calculer It (1). Que peut-on conclure par rapport à It (0) ?
π
4
par rapport à P0 .
4. On place N polariseurs entre P0 et PA , chacun tourné de N 1+1 π2 par rapport au précédent.
L’angle entre P0 et Pm , le m-ième polariseur vaut ainsi Nm+1 π2 . Calculer It (N ). Que vaut It
quand N → ∞ ? Que peut-on conclure ?
5. On enlève les N polariseurs intermédiaires et on remplit l’espace entre les deux polariseurs P0
et PA avec un milieu optiquement actif de longueur L. Que vaut à présent It ? Que peut-on
conclure ?
10.9
Couche antireflet
L’espace est divisé en trois zones d’indices de réfraction différents par des dioptres situés en z = 0 et
z = e et parallèles à Oxy :
• un verre d’indice N > 1 qui s’étend sur la partie z > e ;
• afin de rendre ce verre antiréfléchissant, il est recouvert d’une mince couche d’épaisseur e d’un
matériau transparent d’indice n qui occupe la zone 0 < z < e ;
• le système précédent est placé dans l’air dont les propriétés optiques sont celles du vide et qui
s’étend sur toute la partie z < 0.
Une onde plane progressive monochromatique de nombre d’onde k > 0 et de pulsation ω se
propage dans l’air vers les z croissants. Cette onde incidente est repérée par l’indexe 1 et son champ
électrique est polarisé linéairement suivant Ox, E 1 = E01 ei(ωt−kz) ux , E01 étant réel.
Sur chaque dioptre en z = 0 et z = e, il y a une succession de réflexions et de transmissions si
bien que la somme des ondes se propageant dans chaque milieu suivant un sens donné est notée par
les indexes 2, 3, 4 et 5 comme indiqué sur la figure (10.9.1).
1. Préliminaires
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
10.9. COUCHE ANTIREFLET
134
Figure 10.9.1 – Les différentes ondes dans les trois zones
(a) Dire pourquoi les ondes transmises ou réfléchies possèdent la même pulsation que l’onde
incidente.
(b) Quelle est dans le vide, la relation entre k et ω ? Que devient cette relation dans un milieu
transparent d’indice nj réel ? En déduire le nombre d’ondes kj dans le milieu d’indice nj
en fonction de k et de nj .
(c) Montrer à partir d’une équation de Maxwell comment s’obtient le champ magnétique B i
d’une onde progressive monochromatique, connaissant le champ électrique E i dans un
milieu d’indice nj . Donner en particulier son amplitude B0i en fonction de E0i et des
autres données de l’énoncé.
2. Expressions des champs
(a) Écrire tous les champs E i (i = 1 − 5) en prenant, sauf pour E01 des amplitudes E0i à
priori complexes. Justifier physiquement une telle précaution.
(b) En déduire l’expression de tous les champs magnétiques Bi (i = 1 − 5), en fonction de
ω, k, n, N et des E0i .
(c) Représenter sur un schéma les vecteurs E i et B i (i = 1 − 5), en prenant tous les E i dans
le même sens.
3. Conditions de passage
(a) Rappeler le comportement aux limites de la composante tangentielle du champ électrique.
En déduire les conditions de passage, en fonction des phases ϕ = nke et Φ = N ke.
(b) Les milieux ne présentant pas de propriétés magnétiques, la composantes tangentielle du
champ magnétique est continue. Écrire les condition de passage que cela entraı̂ne.
4. Conditions de non-réflexion
On ne désire pas de lumière réfléchie dans l’air, c’est-à-dire E02 = 0.
(a) Réduire les conditions de passage précédentes en donnant deux expressions du coefficient
04
de réflexion en amplitude sur le second dioptre r2 = E
E03 .
(b) Montrer qu’elles ne sont compatibles que dans deux situations différentes qui conduisent
chacune à des conditions sur n et N à expliciter.
(c) Dans le cas de celle qui est physiquement intéressante, donner l’indice n et l’épaisseur e
minimale du dépôt rendant antirefléchissant un verre ordinaire d’indice N = 1.5 pour la
longueur d’onde λ0 = 0.6 µm.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
10.10. TRAITEMENT MULTICOUCHES - MIROIR FROID
135
(d) En fait, il n’existe pas de substance ayant un indice de cette valeur. La solution consiste
en un traitement muliticouches.
Néanmoins, une valeur approchante est celle d’un fluorure d’indice n = 1.35. Calculer,
avec un dépôt d’épaisseur optimale, la valeur du facteur de réflexion pour le flux d’énergie
R=
N −n2
N +n2
2
dans ce cas et la comparer à celle du verre sans dépôt.
Pour mieux apprécier l’intérêt de ce traitement de surface, comparer les facteurs de transmission pour les flux d’énergie d’un instrument d’optique ayant cinq lentilles séparées, soit
toutes par le fluorure, soit sans traitement (absorption à l’intérieur des verres est négligée).
5. Étude énergétique
Ce calcul est mené dans l’hypothèse E 02 = 0 de non-réflexion, sans utiliser, sauf mention
spéciale, les condition de la question 4(b).
(a) Déterminer la valeur moyenne temporelle des modules des vecteurs de Poynting hS 1 i et
hS 5 i associés aux ondes 1 et 5.
(b) En déduire l’expression du coefficient de transmission de puissance de l’air au verre T15 =
hS 5 i
hS 1 i en fonction de n et N . En utilisant les conditions de la question 4(b), montrer que dans
les deux cas envisagés, la puissance du rayonnement incident est intégralement transmise.
(c) Montrer que les ondes 3 et 4 sont en phase avec l’onde incidente 1. Calculer le vecteur
de Poynting S n associé au champ total régnant dans le milieu d’indice n. Montrer que
explicitement qu’il est égal à la somme des vecteurs de Poynting de chacune des ondes de
ce milieu, soit S 3 +S 4 . Ce résultat est-il général ? En déduire la valeur moyenne temporelle
de module hRn i et la comparer à hS1 i et hR5 i. Conclure.
10.10
Traitement multicouches - miroir froid
Il s’agit d’examiner la possibilité de réaliser un miroir par dépôt d’un système de couches minces,
alternativement de forte et de faible réfringence, sur un verre.
10.10.1
Étude d’une couche ou cellule élémentaire
Une couche mince transparente, d’épaisseur d et d’indice n, est limitée par deux plans parallèles. De
chaque côté, elle est en contact avec un milieu d’indice n0 < n. L’axe Ox est perpendiculaire aux
plans de séparation et les abscisses de la couche étudiée sont x = 0 et x = d.
Une OPPM de pulsation ω (de longueur d’onde λ0 dans le vide) polarisée linéairement (champ
électrique parallèle à Oy) arrive avec l’incidence nulle sur la couche mince. Cette onde incidente de
champ électrique
E i = Ei0 exp iω(n0 x/c − t)uy ,
(10.10.1)
par réflexions et transmissions multiples sur les interfaces, donne naissance globalement :
• à une onde réfléchie (x < 0) de champ E r ;
• dans la couche mince (0 < x < d) à une onde de champ E 1 se propageant dans le sens positif
de Ox et une onde de champ E 2 se propageant dans le sens négatif ;
• à une onde transmise (x > d) de champ E t .
1. Écrire les champs électriques E j et magnétiques B j de toutes ces ondes (j = i, r, 1, 2 et t) en
fonction des amplitudes (complexes) Ej0 définies pour t = 0 et x = 0 pour les quatre premières
et pour t = 0 et x = d pour la dernière.
On considère dans chaque milieu les ondes totales, c’est-à-dire :
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
10.10. TRAITEMENT MULTICOUCHES - MIROIR FROID
136
• x < 0 : la somme des ondes incidente et réfléchie ;
• 0 < x < d : la somme des indices 1 et 2 ;
• x > d : l’onde transmise seule.
2. Trouver les relations qui permettent de passer des amplitudes EI et BI des champs à l’interface
x = 0 aux amplitudes EII et BII des champs à l’interface x = d (il faudra pour cela exprimer
ces champs à l’aide de E1 et E2 seuls).
Écrire ces relations sous la forme :
EII
BII
!
=M
EI
BI
!
,
et expliciter en fonction de l’indice n et de la phase α = 2πnd
λ0 =
M caractéristique de la couche. Calculer son déterminant.
(10.10.2)
ωnd
c ,
les éléments de la matrice
3. Définir, puis déterminer l’expression du facteur de réflexion r pour l’amplitude (de champ
électrique) de la couche toute entière en fonction de n, n0 et α, après avoir traduit les relations
de continuité aux surfaces de séparation.
4. En déduire le facteur de réflexion R pour les flux d’énergie et préciser les conditions assurant
la réflexion maximale d’une part, l’absence de réflexion d’autre part lorsque les indices n et n0
sont donnés.
A.N. : Calculer la valeur maximale Rmax de R lorsque n = 2.30 et n0 = 1.38 (respectivement
indices de sulfate de zinc et de fluorure de magnésium).
10.10.2
Traitement multicouches d’un verre
On souhaite réaliser un miroir avec un système de 2p couches minces, alternativement de forte et de
faible réfringence, déposées sur du verre d’indice N . Les couches sont numérotées en partant de la
surface en contact avec l’air. Les couches impaires ont l’épaisseur d et un indice élevé n ; les couches
paires ont l’épaisseur d0 et un indice faible n0 inférieur à la fois à n et à N .
1. Quelle doit être l’épaisseur optique d’une couche si l’on veut obtenir un miroir ?
Les épaisseurs d et d0 ayant les valeurs maximales ainsi déterminées, donner les matrices caractéristiques :
• M pour une couche impaire (indice n) ;
• M 0 pour une couche paire (indice n0 ) ;
• M2 pour l’ensemble des deux couches précédentes prises dans cet ordre (justifier l’utilisation des résultats précédents) ;
• M2p pour un système de 2p couches alternées comme les précédentes.
2. Les ondes incidentes et réfléchie se propagent dans l’air ; le verre, d’indice N a une très grande
épaisseur. Pour le système de 2p couches, calculer en fonction des trois indices les facteurs de
réflexion r2p pour les amplitudes de champ électrique et R2p pour les flux d’énergie.
3. A.N. : n = 2.30; n0 = 1.38; N = 1.52. Le miroir est fait pour réfléchir au mieux la radiation
λ0 = 0.54 µm. Calculer les épaisseurs d et d0 , le facteur R2p pour 2p = 2, 4 et 6. Combien
faudrait-il prendre de couches pour que R2p atteigne 0.98 ?
4. Un tel dispositif s’appelle miroir froid. Justifier ce nom en comparant son comportement dans
le visible et proche infrarouge.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
10.11. POUVOIR ROTATOIRE DU QUARTZ
10.11
137
Pouvoir rotatoire du quartz
Un faisceau de lumière monochromatique non polarisée d’intensité I0 = 20 W m−2 traverse deux
filtres Polaroı̈d disposés perpendiculairement : l’axe du premier filtre (le polariseur) est vertical, l’axe
du second (l’analyseur) est horizontal.
1. Quelle est l’intensité mesurée en sortie des deux filtres ?
2. On insère une lame de quartz d’épaisseur e = 2 mm entre le polariseur et l’analyseur, et on
observe qu’il faut faire tourner l’axe de l’analyseur d’un angle α = 42 ◦ vers la droite pour que
l’intensité reçue en sortie soit nulle.
(a) Quelle est l’angle de rotation du plan de polarisation du champ électrique à travers le
quartz, en admettant que cet angle est compris entre 0 ◦ et 90 ◦ .
(b) Que vaut l’intensité reçue en sortie avant rotation de l’analyseur ?
3. L’angle de rotation du champ électrique varie avec l’épaisseur e de quartz traversée suivant la
loi de Biot : α = ρe, où ρ est le pouvoir rotatoire du quartz.
(a) Quelle est la valeur numérique de ρ ?
(b) En partant de la situation initiale polariseur et analyseur croisés, pour quelle épaisseur
minimale (non nulle) du quartz, l’intensité lumineuse en sortie serait nulle sans qu’il soit
nécessaire de tourner l’analyseur ?
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CHAPITRE
11
OPTIQUE PHYSIQUE
Sommaire
11.1 Spectroscope à réseau plan parfait par transmission
11.2 Radar à réseau d’antennes
11.3 Guidage radio
11.4 Interféromètre de Mach-Zehnder
11.5 Photographie de Lippmann
11.1
Spectroscope à réseau plan parfait par transmission
Un réseau plan, utilisé par transmission, est formé de traits fins parallèles équidistants de a, gravés
sur un support en verre. Le pinceau incident a une direction fixe et fait un angle variable i0 avec la
normale au réseau qui peut tourner autour d’un axe parallèle aux traits.
1. Le réseau est éclairé en lumière monochromatique de longueur d’onde λ. On observe les maxima
de lumière diffractée d’ordre K dans la direction qui fait un angle i avec la normale au réseau.
Exprimer sin i en fonction de i0 , K, λ et a.
2. On mesure avec ce réseau la déviation minimale Dm = 31◦ 42 0 de la raie verte du mercure
(λ0 = 5 461 Å) pour le spectre d’ordre 2, puis la déviation minimale Dm = 18◦ 32 0 pour la raie
rouge du cadmium au premier ordre. Calculer
(a) l’angle d’incidence i0 correspond à la déviation minimale de la raie verte ;
(b) la longueur d’onde de la raie rouge du cadmium ;
(c) le nombre n de traits par millimètre et le pas a du réseau utilisé.
3. Le réseau est éclairé par la lampe à vapeur de mercure dans les conditions du minimum de
déviation de la raie verte (λ0 ). La lunette d’observation vise dans la direction iK des maxima
de chacune des raies de longueur d’onde λ du spectre d’ordre K.
(a) Exprimer iK en fonction de K, λ0 , λ et n.
138
11.2. RADAR À RÉSEAU D’ANTENNES
139
(b) Calculer les directions i1 et i2 des maxima des principales raies de la lampe à mercure.
Raie
Violette
Indigo
Bleue
Verte
Jaune 1
Jaune 2
Rouge
λ( Å )
4 078
4 358
4 916
5 461
5 770
5 791
6 234
i2
i3
4. Le réseau est éclairé par une lampe à vapeur de sodium. Calculer la distance ∆Xf qui sépare
les deux raies jaunes du sodium, d’ordre 2, dans le plan focale de la lunette d’observation de
distance focale f 0 = 200 mm.
5. Calculer le nombre minimal N0 de traits de ce réseau si on désire séparer les deux raies bleues
de la lampe à néon (λ1 = 4 712 Ået λ2 = 4 715 Å) dans l’ordre 1.
11.2
Radar à réseau d’antennes
Le dispositif représenté sur la figure (11.2.1) constitue un générateur élémentaire d’ondes
√ électromagnétiques :
un amplificateur impose par l’intermédiaire d’une ligne bifilaire des courants ±I0 2eiωt dans deux
brins ab et a0 b0 colinéaires et symétriques avec aa0 bb0 = δ`.
Figure 11.2.1 – Générateur élémentaire d’ondes électromagnétiques
L’amplificateur fonctionne en régime sinusoı̈dal permanent de pulsation ω et délivre une puissance
moyenne P. La taille δ` de l’antenne est telle que δ` λ, longueur d’onde dans le vide.
Placée à l’origine O du repère parallèlement à Oz (voir la figure (11.2.2)), elle rayonne en tout point
M (r, θ, ϕ) de l’espace, et dans l’approximation du champ lointain r λ, un champ électromagnétique
E=i
µ0 √
ur ∧ E
I0 2δ`ω sin θei(ωt−kr) uθ et B =
porté par uϕ .
4πr
c
(11.2.1)
1. Dans cette partie, le dispositif est unique.
(a) Calculer la puissance moyenne P1 (égale ici à P) sortant de la sphère centrée en O et de
δ`
rayon R en introduisant le rapport
λ . Quelle est l’expression de la résistance de rayonRπ
3
nement R1 ? On rappelle que 0 sin θdθ = 43 .
(b) Déterminer la puissance moyenne par unité de surface π1 parvenant en un point M (R, π2 , ϕ)
du plan xOy. Exprimer π1 en fonction de P1 et R.
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
11.2. RADAR À RÉSEAU D’ANTENNES
140
z
M(r, θ,ϕ )
θ
r
y
ϕ
x
Figure 11.2.2 – Point M en coordonnées sphériques (r, θ, ϕ)
(c) Cette antenne peut servir de radar pour la détection d’objets métalliques volants. Un objets
d’aire S (S R2 ) placé au voisinage du point précédent réfléchit intégralement, de façon
isotrope dans 2π stéradians (la moitié de l’espace) la puissance qu’il reçoit. Déterminer en
fonction de P, R et S la puissance moyenne π 0 réfléchie par l’objet et parvenant par unité
de surface au détecteur placé au voisinage de O.
2. On dispose maintenant d’un dispositif de n antennes A0 , A1 , A2 , . . . , An−1 orientées selon Oz
et centrées sur Oy en y = 0, a, 2a, . . . , (n − 1)a. Le problème se propose d’étudier l’anisotropie
de l’émission dans le seul plan xOy.
(a) Le champ électrique reçu au point M (R, π2 , ϕ) d’un émetteur centré au point Ap de l’axe
−ikAp M
−ikr
Oy et d’ordonnée yp = pa est proportionnel à e Ap M (terme sphérique qui remplace e r
lorsque l’émetteur est en O).
Expliquer pourquoi lorsque la condition a R est remplie, cette expression peut être
remplacée par
e−ikR ikyp sin ϕ
e
.
(11.2.2)
R
Les n antennes sont alimentées par le même amplificateur de façon à émettre des puissances
moyennes identiques Pn ; de plus les courants qui les parcourent sont déphasés par un
dispositif électronique et sont proportionnels à ei(ωt−pΨ) où p varie de 0 à n − 1.
(b) Exprimer le champ E n créé par l’ensemble des antennes au point M (R, π2 , ϕ) en fonction
de E 1 créé par celle qui se trouve en O, de n et Φ = Ψ − ka sin ϕ.
(c) En déduire la puissance moyenne πn reçue par unité de surface en tout point M (R, π2 , ϕ)
par l’ensemble du dispositif en fonction de n, P, R et Φ.
(d) Etudier physiquement les variations de la fonction f (sin ϕ) =
sin nΦ
2
n sin Φ
2
2
pour Ψ = 0 ;
donner la direction des maximum ϕm et la largeur de base de ces pics. Pour n = 5 et
a = 2.5λ (et toujours Ψ = 0), tracer les graphes f (sin ϕ) en coordonnées cartésiennes et
polaires. Commentaires.
(e) Montrer que dans le cas Ψ 6= 0, le résultat est équivalent à une rotation mécanique de
l’ensemble du dispositif près. Ce principe est utilisé en échographie.
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11.3. GUIDAGE RADIO
11.3
141
Guidage radio
On considère deux ondes électromagnétiques ψ1 et ψ2 , planes, harmoniques, de même longueur d’onde
λ, se propageant dans le vide. Les vecteurs d’onde k1 et k2 se trouvent dans le plan Oyz et font
un angle θ et −θ respectivement avec l’axe Oz. Les deux ondes ont la même intensité et vibrent en
opposition de phase à l’origine des coordonnées.
1. Montrer que la fonction d’onde, ψ = ψ1 + ψ2 , superposition des deux ondes peut s’écrire
ψ = 2A sin
2πy
π
cos ωt − kz −
,
D
2
(11.3.1)
où D et k sont des constantes que l’on exprimera en fonction de λ et θ.
2. Dans quelle direction l’onde se propage-t-elle et dans quel sens ? Est-elle une onde plane ?
3. Calculer sa vitesse de phase que l’on exprimera en fonction de θ et c (célérité de la lumière
dans le vide). Commenter le résultat. Discuter le cas particulier θ = 0.
4. Calculer l’intensité I associée à l’onde ψ. Exprimer le résultat en fonction de D et de l’intensité
I0 de chacune des deux ondes.
5. Montrer que I s’annule dans certains plans de l’espace. Montrer que dans ces espaces, ψ1 et ψ2
vibrent en opposition de phase. On appelle ces plans, zones de silence.
6. Le dispositif décrit ci-dessus, émettant à la fréquence de 100 MHz avec θ = 1 ◦ et I0 =
0.1 W m−2 , est à la base du système ILS utilisé autrefois pour guider les avions dans un atterrissage sans visibilité. L’axe de la piste est Oz.
(a) Calculer numériquement la distance aux zones de silence les plus proches situées de part
et d’autre de l’axe de la piste.
(b) Pour se poser dans l’axe de la piste, le pilote amène son appareil sur le minimum d’intensité.
sachant que le plus petit signal détectable par l’avion a une intensité Imin = 10−5 W m−2 ,
avec quelle précision en distance le pilote peut-il poser son avion sur l’axe de la piste ?
Comparer ce résultat à la largeur typique d’une piste d’atterrissage (L = 20 m) et au
résultat de la question précédente.
11.4
Interféromètre de Mach-Zehnder
Les interféromètres de Mach Zehnder sont très utiles dans les dispositifs de l’imagerie médicale et de
l’information quantique.
On considère un interféromètre à deux séparatrices représenté par la figure 11.4.1. L’onde incidente
rencontre une première séparatrice BS1 semi-réfléchissante : le faisceau horizontal est séparé en deux.
Chacun des deux faisceaux rencontre un miroir (M1 ou M2 ) palcé à π4 par rapport à l’horizontale,
à la distance L de la séparatrice. Les deux faisceaux ainsi réfléchis se recombinent sur une seconde
séparatrice semi-réfléchissante BS2 , équidistante des miroirs. On note L0 la distance de BS2 à M1 et
M2 . On s’intéresse à l’interférence des deux faisceaux ressortant horizontalement de BS2 , la figure
étant recueillie sur l’écran E vertical placé à la distance.D de BS2 .
On exprimera les amplitudes complexes des champs électriques associés aux ondes lumineuses
sous la forme E(M, t) = E(M )eiωt . On note E0 l’amplitude complexe de l’onde incidente. Pour
chaque séparatrice, les coefficients complexes de réflexion r et de transmission pour les amplitudes
sont
π
1
ei 2
(11.4.1)
r= √ , t= √ .
2
2
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11.5. PHOTOGRAPHIE DE LIPPMANN
142
Figure 11.4.1 – Interféromètre de Mach Zehnder
1. Donner les expressions des amplitudes complexes E1 et E2 des champs électriques associés aux
ondes lumineuses au niveau de l’écran d’observation.
2. Donner l’expression de l’intensité I(x) sur l’écran d’observation.
3. On introduit une lame à faces parallèles, d’indice n et d’épaisseur e, entre M1 et BS2 qui
introduit dans cette branche une différence de marche supplémentaire δ1 que l’on évaluera.
(a) Comment est modifié l’intensité sur l’écran d’observation ?
(b) Pour quelle valeur de e l’intensité sur l’écran est-il nul ? Pour quelle valeur est-il maximal ?
4. On intercale une seconde lame, identique à la première, entre M1 et BS2 , inclinée d’un angle
θ par rapport à la verticale. En supposant que θ reste faible, cette inclinaison introduit dans
cette branche, en plus de δ1 , une différence de marche supplémentaire
δ0 '
1−n 2
θ e.
2n
(11.4.2)
Comment s’exprime l’intensité sur l’écran ?
11.5
Photographie de Lippmann
Les premières photographies couleurs ont été réalisées par Gabriel Lippman en 1891, ce qui lui
a rapporté le prix Nobel de Physique en 1908. Dans la photographie couleur moderne, on utilise
un procédé trichrome (bleu, vert et rouge) et les couleurs sont composées en additionnant trois
couleurs avec les intensités adéquates. La télévision couleur est basée sur le même principe et en
vous approchant d’un écran TV vous pouvez distinguer nettement les points bleu, vert et rouge. Une
analyse du spectre de longueurs d’onde émises par un écran TV ou reçu en observant une photographie
couleur moderne montrerait clairement qu’on ne peut pas reproduire parfaitement toutes les couleurs.
Le procédé mise au point par Lippmann permet au contraire de reproduire fidèlement le spectre de
l’objet photographié. Il s’agit de couleurs interférentielles.
Cet exercice a pour but de modéliser le principe de la photographie de Lippmann.
P
PN
1−q N
1
p
p
On rappelle que si a < 0, ∞
p=0 a = 1−a ;
p=1 q = 1−q
11.5.1
Préliminaires
Dans la phase prise de la photographie, on envoie une onde lumineuse monochromatique (par
exemple le jaune) sous incidence normale, sur une plaque photosensible d’épaisseur e, qu’on assimile
à un diélectrique parfait transparent d’indice de réfraction n. Cette plaque est déposée sur un miroir
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2012 Ondes Électromagnétiques et Optique Physique
11.5. PHOTOGRAPHIE DE LIPPMANN
143
formée par une cuve de mercure. Ainsi, une des face de la plaque, indiquée par M sur la figure 11.5.1,
est métalisée et se comporte comme un conducteur parfait. On désigne par z l’axe normal à la plaque,
l’origine étant prise sur la surface de séparation vide-diélectrique.
On désigne par A0 et A00 les amplitudes complexes (pour z < 0) des ondes incidente et réfléchie.
1. Donner, sans démonstration, les expressions des coefficients de réflexion r et de transmission t
à la surface de séparation vide-diélectrique pour une onde incidente dans le vide, et celles des
coefficients de réflexion r0 et de transmission t0 pour une onde incidente dans le diélectrique.
Trouver à partir de ces formules, une relation entre r0 et r d’une part et entre tt0 et r2 d’autre
part.
2. Donner les expressions des amplitudes complexes associés aux quatres premiers rayons réfléchis
et montrer que l’amplitude totale de l’onde réfléchie dans le vide est, pour un différence de
phase δ introduit par la plaque que l’on déterminera,
A00 = A0
r − eiδ
.
1 − reiδ
(11.5.1)
3. A partir du résultat précédent, calculer l’intensité Ir de l’onde réfléchie dans le vide. En déduire
le rapport IIr0 et commenter.
4. En utilisant la méthode des réflexions multiples, calculer les amplitudes complexes à l’origine A
et A0 des ondes à l’intérieur du diélectrique se propageant dans les directions +z et −z. Montrer
qu’on a les relations
A = A0 t + A0 r0 , A0 = −Aeiδ , A00 = A0 r + A0 t0 .
(11.5.2)
Retrouver ces relations en utilisant les conditions de continuité aux interfaces de la plaque.
5. A partir de ces résultats, calculer dans le diélectrique l’expression résultante de la superposition
des ondes se propageant dans les directions +z et −z. Montrer que cette onde est stationnaire
et calculer son amplitude ψ(z).
6. En déduire l’expression de l’intensité résultante I(z) et préciser dans le domaine [0, e] les valeurs
de z où elle présente des maxima (plans ventraux) et des minima (plans nodaux).
7. Calculer la distance d séparant deux plans ventraux consécutifs. Evaluer numériquement le
nombre N de plans ventraux présent dans un diélectrique d’épaisseur e = 0.1 mm, pour λ0 =
0.5 µm et n = 1.5.
11.5.2
Application à la photographie couleur
Le diélectrique est en fait une émulsion de bromure d’argent d’une plaque photographique déposée sur
la surface du miroir. Après l’exposition, la plaque est développée. L’émulsion contient alors des grains
d’argent dont la densité est proportionnelle à l’intensité de l’onde qui a impressionné la plaque : la
densité est forte à l’emplacement des plans ventraux distants de d et nulle à l’emplacement des plans
nodaux (interférence des quantons). Lorsqu’on illumine la plaque développée par une lumière
blanche, les grains d’argent réfléchissent partiellement la lumière. C’est la phase de l’observation
de la photographie.
On étudiera l’intensité réfléchie par la plaque développée en le modélisant comme un ensemble
de N plans réflecteurs, parallèles, distants de d, dans un diélectrique transparent parfait d’indice de
réfraction n comme indiqué sur la figure (11.5.2).
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11.5. PHOTOGRAPHIE DE LIPPMANN
144
0
1
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
01
1
0
0
1
111111111111111
000000000000000
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
01
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
111111111111111
000000000000000
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
Figure 11.5.1 –
A_0
Vide
z=0
_A’0
r
t
Dilectrique
Parfait
d’indice n
z=e
t’
A_
r’
_A’
e
M
Conducteur
Parfait
z
Dispositif pour l’enregistrement
Figure 11.5.2 – Modèle pour la plaque développée
Eclairage en lumière monochromatique
On éclaire la plaque en incidence normale avec une onde plane monochromatique de longueur d’onde
dans le vide λ. Les N plans réflecteurs sont supposés être tous identiques, et on note r (r < 0)
et t (t > 0) les coefficients de réflexion et de transmission des amplitudes complexes des champs
électriques. On pose R = r2 et T = t2 et dans la pratique, R 1 si bien qu’on néglige les réflexions
multiples entre plans réflecteurs. L’onde incidente produit donc N ondes réfléchies, une par plan. On
désigne par I0 l’intensité de l’onde incidente sur le plan réflecteur 1 et A0 son amplitude.
1. Exprimer de la différence de phase ∆φ entre l’onde réfléchie par un plan et celle réfléchie par
le plan suivant.
2. Exprimer les amplitudes complexes A1 , A2 , A3 , · · · , AN des ondes par les plans 1, 2, 3, · · · , N
en un point P situé à la distance h au-dessus du premier plan réfléchissant.
3. Calculer l’amplitude complexe A(P ) résultante de l’interférence de ces N ondes en P . En
déduire l’intensité totale réfléchie Ir .
4. On se place dans le cas où l’onde transmise est presque éteinte après la traversée des N plans,
ce qui suppose T N 1. Montrer que dans ce cas,
Ir = I0 R
1+
T2
1
.
− 2T cos ∆φ
(11.5.3)
5. Montrer que Ir présente des maximas, que l’on notera Ir,max , pour un certains nombre de
valeurs de λ que l’on précisera.
6. Evaluer le rapport
Ir,max
I0
pour R = 0.001 et T = 0.95.
7. Evaluer la valeur minimale de
Ir
I0
et la largeur à mi-hauteur δ des pics.
Eclairage en lumière blanche
La plaque, préalablement impressionnée avec une radiation λ0 = 0.5 µm, est éclairée en incidence
normale avec une lumière blanche qui contient toutes les radiations du visible (0.4 µm ≤ λ ≤ 0.75 µm)
avec une égale intensité.
1. En utilisant les résultats numériques de la question (11.5.2,7), montrer que la condition T N 1
est bien remplie.
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11.5. PHOTOGRAPHIE DE LIPPMANN
2. Exprimer
Ir
I0
145
en fonction de R, T , λ et λ0 . Pour cela utiliser la valeur numérique de d.
3. Donner l’allure de la représentation de
se trouve le maximum le plus proche ?
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2012 Ir
I0
dans le domaine du visible. Pour quelle valeur de λ
Ondes Électromagnétiques et Optique Physique