Quelques distributions de probabilité classiques

Quelques distributions de probabilit´e classiques
Distribution Fonction de masse ou densit´e Esp´erance Variance Fonc. g´en´e. des moments
Bernoulli(p)P[X= 0] = 1 −pP[X= 1] = p p p(1 −p)pet+ (1 −p)
Binomiale(n, p)P[X=k] = n
kpk(1 −p)n−kk= 0, . . . , n np np(1 −p) (pet+ (1 −p))n
G´eom´etrique(p)P[X=k] = (1 −p)k−1p k = 1,2,3, ... 1/p (1 −p)/p2pet
1−(1 −p)et
Binomiale n´egative(m, p)P[X=k] = k−1
m−1(1 −p)k−mpmk=m, m + 1, ... m/p m(1 −p)/p2pet 1−(1 −p)etm
Hyperg´eom´etrique(N, M, n)P[X=k] = N
k M n−k
N+M
nk= 0,1,2,3, ..., n n N
N+MnN N+M
M
N+M1−n−1 N+M−1Yuck !
Uniforme sur {1,2, ..., m}P[X=k] = 1/m k = 1,2, ..., m (m+ 1)/2 (m2−1)/12 et(emt −1)/(et−1)
Poisson(ν)P[X=k] = e−ννk/k!k= 0,1,2, . . . ν ν eν(et
−1)
Exponentielle(λ)f(x) = λ e−λx x≥0 1/λ 1/λ2λ
λ−tt<λ
Gamma(α, λ)f(x) = λα
Γ(α)xα−1e−λx x≥0α/λ α/λ2λ λ−tα
t < λ
Uniforme sur (a, b)f(x) = 1
b−aa < x < b a+b 2
(b−a)2
12
etb −eta
t(b−a)
Bˆeta(α, β)f(x) = Γ(α+β)
Γ(α)Γ(β)xα−1(1 −x)β−10<x<1α α+β
αβ
(α+β)2(α+β+ 1) Yuck !

Distribution Densit´e de probabilit´e Esp´erance Variance
Normale(µ, σ2)f(x) = 1
√2π σ e−(x−µ)2/2σ2
x∈Rµ σ2
Khi-deux(k)f(x) = 1
2k/2Γ(k/2) xk
2
−1e−x/2x > 0k2k
t(k)f(x) = Γ((k+ 1)/2)
Γ(k/2)
1
√kπ
1
(1 + x2/k)(k+1)/2x∈R0 ( si k > 1) k/(k−2) ( si k > 2)
F(k, ℓ)f(x) = Γ((k+ℓ)/2)
Γ(k/2) Γ(ℓ/2) k ℓk/2xk
2
−1
(1 + (k/ℓ)x)(k+ℓ)/2x > 0ℓ
ℓ−2( si ℓ > 2) 2ℓ2(k+ℓ−2) k(ℓ−2)2(ℓ−4) ( si ℓ > 4) ···
Quelques rappels au sujet de la loi gamma(α, λ) :
•Si Y∼gamma(α, λ), alors E[Yr] = Γ(α+r)/(Γ(α)λr) pour tout r > −α.
•Si Xj∼gamma(αj, λ) et si les Xjsont ind´ependantes, alors ∑n
j=1 Xj∼gamma(α∗, λ) avec α∗=∑n j=1 αj.
•Si Y∼gamma(α, λ) et si c > 0, alors cY ∼gamma(α, λ/c).
•exponentielle(λ) = gamma(1,λ).
•χ2
k= gamma(k/2,1/2).
•Si Z∼N(0,1), alors Z2∼χ2
1.
•Si les Xjsont i.i.d. N(µ, σ2) et si S2=1
n−1∑n
j=1(Xj−X)2, alors (n−1)S2/σ2∼χ2
n−1.
•Si Zet Usont ind´ependantes et si Z∼N(0,1) et U∼χ2
k, alors Z/√U/k ∼tk.
•Si Uet Vsont ind´ependantes et si U∼χ2
ket V∼χ2 ℓ, alors U/k
V/ℓ ∼Fk,ℓ.
•On a toujours Var[S2] = 1
n(µ4−n−3 n−1σ4)o`u µ4d´enote le 4emoment central. Dans le cas gaussien, cette formule devient Var[S2] = 2 n−1σ4.