Quelques distributions de probabilit´e classiques
Distribution Fonction de masse ou densit´e Esp´erance Variance Fonc. g´en´e. des moments
Bernoulli(p)P[X= 0] = 1 pP[X= 1] = p p p(1 p)pet+ (1 p)
Binomiale(n, p)P[X=k] = n
kpk(1 p)nkk= 0, . . . , n np np(1 p) (pet+ (1 p))n
G´eom´etrique(p)P[X=k] = (1 p)k1p k = 1,2,3, ... 1/p (1 p)/p2pet
1(1 p)et
Binomiale n´egative(m, p)P[X=k] = k1
m1(1 p)kmpmk=m, m + 1, ... m/p m(1 p)/p2pet
1(1 p)etm
Hyperg´eom´etrique(N, M, n)P[X=k] = N
k M
nk
N+M
nk= 0,1,2,3, ..., n n N
N+MnN
N+M
M
N+M1n1
N+M1Yuck !
Uniforme sur {1,2, ..., m}P[X=k] = 1/m k = 1,2, ..., m (m+ 1)/2 (m21)/12 et(emt 1)/(et1)
Poisson(ν)P[X=k] = eννk/k!k= 0,1,2, . . . ν ν eν(et
1)
Exponentielle(λ)f(x) = λ eλx x0 112λ
λtt<λ
Gamma(α, λ)f(x) = λα
Γ(α)xα1eλx x0α/λ α/λ2λ
λtα
t < λ
Uniforme sur (a, b)f(x) = 1
baa < x < b a+b
2
(ba)2
12
etb eta
t(ba)
Bˆeta(α, β)f(x) = Γ(α+β)
Γ(α)Γ(β)xα1(1 x)β10<x<1α
α+β
αβ
(α+β)2(α+β+ 1) Yuck !
Distribution Densit´e de probabilit´e Esp´erance Variance
Normale(µ, σ2)f(x) = 1
2π σ e(xµ)2/2σ2
xRµ σ2
Khi-deux(k)f(x) = 1
2k/2Γ(k/2) xk
2
1ex/2x > 0k2k
t(k)f(x) = Γ((k+ 1)/2)
Γ(k/2)
1
kπ
1
(1 + x2/k)(k+1)/2xR0 ( si k > 1) k/(k2) ( si k > 2)
F(k, ℓ)f(x) = Γ((k+)/2)
Γ(k/2) Γ(ℓ/2) k
k/2xk
2
1
(1 + (k/ℓ)x)(k+)/2x > 0
2( si ℓ > 2) 22(k+2)
k(2)2(4) ( si ℓ > 4) ···
Quelques rappels au sujet de la loi gamma(α, λ) :
Si Ygamma(α, λ), alors E[Yr] = Γ(α+r)/(Γ(α)λr) pour tout r > α.
Si Xjgamma(αj, λ) et si les Xjsont ind´ependantes, alors n
j=1 Xjgamma(α, λ) avec α=n
j=1 αj.
Si Ygamma(α, λ) et si c > 0, alors cY gamma(α, λ/c).
exponentielle(λ) = gamma(1,λ).
χ2
k= gamma(k/2,1/2).
Si ZN(0,1), alors Z2χ2
1.
Si les Xjsont i.i.d. N(µ, σ2) et si S2=1
n1n
j=1(XjX)2, alors (n1)S22χ2
n1.
Si Zet Usont ind´ependantes et si ZN(0,1) et Uχ2
k, alors Z/U/k tk.
Si Uet Vsont ind´ependantes et si Uχ2
ket Vχ2
, alors U/k
V/ℓ Fk,ℓ.
On a toujours Var[S2] = 1
n(µ4n3
n1σ4)o`u µ4enote le 4emoment central. Dans le cas gaussien, cette formule devient Var[S2] = 2
n1σ4.
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