Quelques distributions de probabilité classiques

Quelques distributions de probabilité classiques
Distribution
Bernoulli(p)
Binomiale(n, p)
Géométrique(p)
Fonction de masse ou densité
P[X = 0] = 1 − p
Binomiale négative(m, p)
P[X = k] = (1 − p)k−1 p
P[X = k] =
M
P[X = k] = 1/m
Poisson(ν)
P[X = k] = e−ν ν k /k!
Bêta(α, β)
f (x) =
k = 0, 1, 2, . . .
x≥0
λα α−1 −λx
x
e
Γ(α)
f (x) =
np
np(1 − p)
(pet + (1 − p))n
1/p
(1 − p)/p2
pet
1 − (1 − p)et
m/p
m(1 − p)/p2
(
k = 1, 2, ..., m
f (x) = λ e−λx
Uniforme sur (a, b)
pet + (1 − p)
k = m, m + 1, ...
k = 0, 1, 2, 3, ..., n
Uniforme sur {1, 2, ..., m}
f (x) =
p(1 − p)
k = 1, 2, 3, ...
n
Gamma(α, λ)
p
)
n−k
)
P[X = k] = (kN +M
Exponentielle(λ)
Fonc. géné. des moments
k = 0, . . . , n
)
k−1
(1 − p)k−m pm
m−1
(N )(
Hypergéométrique(N, M, n)
Variance
P[X = 1] = p
( )
n
P[X = k] =
pk (1 − p)n−k
k
(
Espérance
1
b−a
n
N
N +M
n
N
M
N +M N +M
(
1−
n−1
N +M −1
a<x<b
Γ(α + β) α−1
x
(1 − x)β−1
Γ(α)Γ(β)
0<x<1
)m
)
Yuck !
(m + 1)/2
(m2 − 1)/12
et (emt − 1)/(et − 1)
ν
ν
1/λ
1/λ2
α/λ
α/λ2
a+b
2
(b − a)2
12
etb − eta
t(b − a)
α
α+β
αβ
(α + β)2 (α + β + 1)
Yuck !
t
eν(e
λ
λ−t
(
x≥0
pet
1 − (1 − p)et
λ
λ−t
−1)
t<λ
)α
t<λ
Distribution
Densité de probabilité
f (x) = √
Normale(µ, σ 2 )
Khi-deux(k)
t(k)
F(k, ℓ)
f (x) =
f (x) =
f (x) =
2
2
1
e−(x−µ) /2σ
2π σ
k
1
x 2 −1 e−x/2
2k/2 Γ(k/2)
x∈R
x>0
Γ((k + 1)/2) 1
1
√
2 /k)(k+1)/2
Γ(k/2)
(1
+
x
kπ
Γ((k + ℓ)/2)
Γ(k/2) Γ(ℓ/2)
x∈R
( )k/2
k
k
x 2 −1
ℓ
(1 + (k/ℓ)x)(k+ℓ)/2
x>0
Espérance
Variance
µ
σ2
k
2k
0 ( si k > 1)
k/(k − 2) ( si k > 2)
ℓ
( si ℓ > 2)
ℓ−2
2ℓ2 (k + ℓ − 2)
( si ℓ > 4) · · ·
k(ℓ − 2)2 (ℓ − 4)
Quelques rappels au sujet de la loi gamma(α, λ) :
• Si Y ∼ gamma(α, λ), alors E[Y r ] = Γ(α + r)/(Γ(α)λr ) pour tout r > −α.
∑n
∑n
• Si Xj ∼gamma(αj , λ) et si les Xj sont indépendantes, alors j=1 Xj ∼ gamma(α∗ , λ) avec α∗ = j=1 αj .
• Si Y ∼ gamma(α, λ) et si c > 0, alors cY ∼ gamma(α, λ/c).
• exponentielle(λ) = gamma(1,λ).
• χ2k = gamma(k/2, 1/2).
• Si Z ∼ N (0, 1), alors Z 2 ∼ χ21 .
• Si les Xj sont i.i.d. N (µ, σ 2 ) et si S 2 =
∑n
− X)2 , alors (n − 1)S 2 /σ 2 ∼ χ2n−1 .
√
• Si Z et U sont indépendantes et si Z ∼ N (0, 1) et U ∼ χ2k , alors Z/ U/k ∼ tk .
1
n−1
j=1 (Xj
• Si U et V sont indépendantes et si U ∼ χ2k et V ∼ χ2ℓ , alors U/k
V /ℓ ∼ Fk,ℓ .
(
)
4
• On a toujours Var[S 2 ] = n1 µ4 − n−3
où µ4 dénote le 4e moment central. Dans le cas gaussien, cette formule devient Var[S 2 ] =
n−1 σ
2
n−1
σ4 .