Problèmes

Chap. 6
PROBLEMES D'ELECTROMAGNETISME
Problème 1 Condensateur en régime variable
(extrait de l'examen S3SMPE 2002-2003)
On considère un condensateur plan à armatures
circulaires, de rayon a, distantes de d, alimenté par
une tension sinusoïdale u(t)=u0cos(ωt), de u
fréquence 50Hz. Le champ électrique créé par cette
tension entre les armatures est uniforme et dirigé
suivant z , sa valeur est :
E = E 0 cos(ωt) .
Dans ce problème, on néglige les effets de bord.
z
a
d
1- Exprimer la relation entre u0 et E0 donnée par l’électrostatique.
2- Exprimer l’énergie électrique Ue emmagasinée par le condensateur, sachant que
1
l’énergie électrique par unité de volume est égale à ε 0 E 2 . Donner la valeur
2
moyenne Ue de Ue dans le temps.
3- Le caractère sinusoïdal de la tension d’alimentation conduit à l’existence d’un
champ magnétique entre les armatures.
r
* Montrer par des arguments de symétrie que ce champ B est dirigé suivant le
r
vecteur unitaire eθ ; on utilisera les coordonnées cylindriques (r,θ,z) autour de l’axe
Oz .
* De quelle(s) variable(s) (r,θ,z) dépend-il
r à priori ?
r
∂E
* En utilisant l’équation Rot B = ε o µ o
que l’on justifiera, montrer que le champ
∂t
r
r
rε µ ω
r
magnétique B vaut B = − 0 0 E0 sin(ωt )eθ .
2
→ r
⎧
1 ∂Bz ∂Bθ
−
⎪ (Rot B)r =
r ∂θ
∂z
⎪
→ r
→ r
⎪
∂Br ∂Bz
−
On donne : Rot B = ⎨ (Rot B)θ =
∂z ∂r
⎪
⎪ → r
1 ∂ (rBθ ) 1 ∂Br
−
⎪(Rot B )z =
r ∂r
r ∂θ
⎩
4- Exprimer l’énergie magnétique U emmagasinée dans le condensateur sachant que
1 1 2
B .
l’énergie magnétique par unité de volume est égale à
2 µ0
a 2ω 2
Montrer que : Um =
2 Ue .
8c
Montrer qu’à la fréquence de 50Hz l’énergie électromagnétique totale se réduit à
l’énergie électrique. On prendra a=10cm.
5- Rappeler la définition du vecteur de Poynting et exprimer le.
6- Exprimer son flux à travers la surface latérale du condensateur (bande cylindrique
de hauteur d)
Ondes OEM 6-1
∂Ue
.
∂t
8- Ce champ magnétique variable peut lui aussi induire un champ électrique induit E’
dirigé suivant z dont nous n’avons
pas tenu compte dans ce qui précède. En
r
r
∂B
utilisant l’équation Rot E = − , montrer que le champ induit E’ est tel que :
∂t
r 2ω 2
E '=
2 E et qu’il est bien négligeable dans un condensateur usuel à 50 Hz.
4c
A quelles fréquences n’est-il plus négligeable ? (on prendra a=10cm).
7- Montrer que ce flux est égal à −
*****
Problème 2
Un solénoïde de longueur b très grande devant son rayon comporte n spires jointives
par unité de longueur.
1- Il est parcouru par un courant continu d’intensité I.
2- Quel est le champ magnétique en tout point de l’espace ? le champ électrique ?
3- Quel est le coefficient d’auto-induction par unité de longueur du solénoïde ?
On place une petite bobine de rayon r comportant N spires à l’intérieur du solénoïde de façon
à ce que les axes du solénoïde et de la bobine soient parallèles.
4- Quel est le flux du champ magnétique à travers la bobine ?
5- Quel est le coefficient de mutuelle induction solénoïde-bobine ?
6- Le solénoïde est maintenant parcouru par un courant sinusoïdal de pulsation ω et
d’amplitude Io. On suppose que l’expression du champ magnétique statique reste
valable.
7- Exprimer le f.e.m. induite dans la bobine ainsi que le courant qui parcourt sachant
que sa résistance est R.
8- Quel est le champ électrique induit dans la bobine ?
9- On va retrouver cette expression à partir de l’une des équations de Maxwell , celle
de Maxwell.Faraday
10- Par des considérations de symétrie, indiquer dans quelle direction est le champ
électrique induit ? De quelles variables dépend-il ?
11- En utilisant les coordonnées cylindriques (r,θ,z) et :
⎧ 1 ∂Ez ∂Eθ
−
⎪
∂z
⎪ r ∂θ
→ r
r ∂B
⎪ ∂Er ∂Ez
.
, montrer que Eθ = −
Rot E = ⎨
−
2 ∂t
∂z
∂r
⎪
⎪ 1 ∂(rEθ ) 1 ∂Er
−
⎪
r ∂θ
⎩ r ∂r
12- On place un barreau métallique de longueur L, de rayon b, de conductivité γ le
long de l’axe du solénoïde, les axes du cylindre et du solénoïderétant confondus.
Montrer qu’il apparaît un courant induit dont la densité est notée j .
13- La puissance électrique par unité de volume dissipée dans le barreau étant
1r r 1 2
j .E = γE , en déduire la puissance électrique n moyenne dans le temps
2
2
dissipée dans le barreau. Ces courants s’appellent des courants de Foucault.
AN : L=10cm, R=1cm, ν=50Hz, γ=5.8 107 Ω-1m-1, Bo=10 mT
Ondes OEM 6-2
14- Qu’en est-il des courants induits dans le cylindre quand l’axe de celui-ci ne
coïncide plus avec l’axe du solénoïde ?
15- On remplace le cylindre plein par des tiges de diamètre 10 fois plus petits
recouvertes d’une pellicule isolante, serrées les unes contres les autres, la section
totale étant la même que celle du cylindre. Quel est le nombre de tiges ? Que
devient la puissance dissipée par les courants de Foucault?
16- On considère toujours le même solénoïde et on place dedans un autre solénoïde de
même longueur, avec le même nombre de spires par unité de longueur mais de
diamètre d plus petit. Les extrémités de ce deuxième solénoïde dont on négligera la
résistance sont reliées par une résistance R.
17- Rappeler l’expression du champ magnétique Be créé par le premier solénoïde. Il
va circuler dans le second solénoïde un courant I’. Quel est le champ magnétique
Bi créé par ce courant ?
18- Exprimer le champ magnétique total Be+Bi. En déduire la f.e.m. induite dans le
dI'
second solénoïde en fonction notamment de
. En appliquant la loi d’Ohm au
dt
second solénoïde, établir l’équation différentielle à laquelle satisfait I’. La résoudre
en régime permanent.
19- Que vaut le champ magnétique total au sein du second solénoïde ? Dans quelle
condition, ce solénoïde peut-il jouer le rôle d’une cage de Faraday magnétique ?
*****
Problème 3: Propagation d’onde dans une ligne coaxiale
-I
I
Dans ce problème, on étudie la propagation d’ondes dans une
ligne coaxiale cylindrique d’axe Oz constitué d’un conducteur central
plein de rayon r1, l’âme, séparé par le vide d’un conducteur creux de
rayon r2 (la gaine).
On utilisera les coordonnées cylindrique (ρ,θ,z) et le repère local
associé.
L’âme est parcourue par un courant I(z,t) et la gaine par –I(z,t). Au
courant I(z,t) on associe une charge Λ(z,t) par unité de longueur du
conducteur. La loi de conservation de la charge se traduit par une
relation entre I et Λ.
z
r1
r2
∂Λ
∂I
=−
∂t
∂z
Montrer par des considérations de symétrie que le champ magnétique est dirigé suivant eθ
et que le champ électrique est dans le plan (ρ,z). De quelles variables dépendent-ils ?
On admet que la composante du champ électrique suivant z est nulle.
17- Tracer les lignes de champ électrique et magnétique dans un plan z=constante.
18- Déterminer la valeur du champ électrique entre les conducteurs (on utilisera le
théorème de Gauss).
19- Enoncer le théorème d’Ampère généralisé et déterminer B.
Rappeler l’équation locale de l’induction (Maxwell Faraday). Ecrire l’équation reliant E et
B. en déduire une seconde relation entre I et Λ.
A partir des résultats précédents, établir l’équation de propagation du courant dans la
ligne .
1. Montrer que :
2.
3.
4.
5.
Ondes OEM 6-3
Donner la forme générale de la fonction I(z,t) et la valeur de la vitesse de propogation c de
l’onde de courant.
Vérifier que Λ, E et B vérifient la même équation.
Calculer le rapport E/B pour une onde progressive. Montrer que E et B correspondent aux
champs électrique et magnétique d’une onde plane se propageant dans le vide. Est-elle
homogène .
6) On étudie une solution de la forme I(z,t)=Iocos(ωt)cos(kz).
Préciser la signification de ω et k. Est-ce une onde progressive ? Si non, quelle est sa
nature ?
Calculer Λ(z,t), donner l’expressionrde E et B.
Déterminer le vecteur de Poynting P (ρ,z,t) ainsi que sa valeur moyenne dans le temps.
Conclusion ?
Calculer la densité d’énergie électromagnétique ainsi que sa valeur moyenne dans le
temps.
En déduire l’énergie moyenne emmagasinée par unité de longueur entre l’âme et la gaine.
AN : Io=0.15 A et r2/r1=10.
*******
4- Problème 4: Détection d’une onde radio (extrait du partiel SM nov 2000)
Une onde électromagnétique sinusoïdale générée par un émetteur radio a une pulsation ω.
On l’assimilera à une onde plane progressive homogène dans ce problème se propageant dans
la direction Oz. Cette onde est polarisée rectilignement dans la direction Ox. Au point origine
O, le champ électrique est Eocos(ωt). On supposera que la propagation dans l’air est
semblable à celle dans le vide.
9- Donner l’expression réelle du champ électrique et du champ magnétique au cours
du temps en un point (x,y,z) quelconque. Les représenter sur un schéma.
10- Exprimer la densité d’énergie associée à l’onde ainsi que sa valeur moyenne dans
le temps, le vecteur de Poinyting associé ainsi que l’intensité de l’onde.
1
Calculer l’intensité de l’onde pour Eo=5 10-3Vm-1. Rappel : ε o =
.
36π 109
11- Cette onde est détectée à l’aide d’une bobine plate comportant N spires circulaires
de rayon r. Cette bobine centrée en O est perpendiculaire à l’axe Oy. Le sens de
parcours positif est le sens direct autour de Oy. Quelle est la f.e.m. induite par
l’onde radio dans cette bobine?
Calculer l’amplitude de variation de cette f.e.m. pour : ν=1MHz, N=30,r=10cm.
Que devient cette f.e.m. si on incline la bobine d’un angle θ vers la direction Oz ? Pour
quelle valeur de θ , la f.e.m. est-elle maximale ?
Montrer qu’en plaçant une plaque métallique plane conductrice de façon judicieuse, il est
possible d’accroître le niveau du signal dans la bobine.
12- Cette bobine fait partie d’un circuit dans laquelle la f.e.m. fait
r circuler un courant
i(t). Ce courant génère dans la bobine un champ magnétique B . Calculer ce champ
au point O, centre de la bobine, en supposant que toutes les spires sont situées dans
le même plan. Quel est le flux de ce champ à travers la bobine en supposant que le
champ magnétique a la même valeur en tout point du disque limité par la spire que
celle calculée en O ? Quel est le coefficient d’auto-induction de la bobine ?
(µo=4π10-7 SI)
Ondes OEM 6-4
13- Pour détecter le signal de l’onde radio, la bobine est fermée sur un condensateur
dont la capacité est C. le circuit ainsi constitué est un circuit RLC : R est la
résistance de la bobine, L son inductance. Le signal détecté est maximal quand :
LC ω 2 = 1 . Tout se passe alors comme si on pouvait négliger l’auto-induction et le
condensateur : ceci revient à dire que seule la résistance R compte. Que vaut alors
l’amplitude Io des oscillations du courant dans le circuit ?
14- Quelle est la valeur de C pour que le circuit soit accordé ? Que vaut Io si C=10Ω?
Ondes OEM 6-5