Chap 4 Les racines carrées I Racine carrée d’un nombre positif Définition 1 : La racine carrée d’un nombre positif a est le nombre positif dont le carré est égal à a. Ce nombre se note a . Le symbole s’appelle le radical. Autrement ! dit : Pour tout nombre positif a : a existe , ! a "0 , ! ! ! ! ! ! ( a) 2 =a Exemples : 9 est le nombre positif dont le carré est égal à 9, d’où : 9 = 3 25 est le nombre positif dont le carré est égal à 25, d’où 25 = 5 . 2 est le nombre positif dont le carré est 2. 2 n’a pas d’écriture décimale ni fractionnaire. C’est un nombre irrationnel. On ne peut donner que ! des valeurs décimales approchées du nombre 2 . ! ! -9 n’a pas de sens. Il n’existe aucun nombre dont le carré soit égal à -9. Attention ! Exemples : Donner l’écriture entière des nombres suivants : (!1,7 ) 2 = 1,7 " 16 = "4 ! ! ! ! ! ! (3 " 5 ) 2 = 32 " ( 5) 2 = 9 " 5 = 45 Remarque : Pour tout nombre positif a, le nombre " a désigne l’opposé du nombre Propriété 1 : Pour tout nombre positif a : a2 = a ! a . ! Démonstration : a 2 est par définition le nombre positif dont le carré est égal à a 2 . Or les seuls nombres dont le carré est égal à a 2 sont a et –a . Comme a est positif alors : a 2 = a . ! Exemple : ! 112 = 11 ! Définition 2 : On appelle carré parfait un nombre entier positif dont la racine carrée est un nombre entier. Exemples : 0 ;1 ;4 ;9 ;16 ; 25 ;36 ; 49 ;64 ;81 ;100 ;121 ;144 ;169 ;196 ;225 sont des carrés parfaits. En effet : 1 = 12 = 1 4 = 22 = 2 9 = 32 = 3 25 = 5 2 = 5 36 = 6 2 = 6 49 = 7 2 = 7 ! 64 = 8 2 = 8 81 = 9 2 = 9 100 = 10 2 = 10 121 = 112 = 11 144 = 12 2 = 12 169 = 132 = 13 196 = 14 2 = 14 225 = 15 2 = 15 II Produit et quotient de deux radicaux ! Propriété 2 : La racine carrée du produit de deux nombres positifs est égale au produit de leur racine carrée. Autrement dit : Si a et b sont des nombres positifs alors : a"b = a " b Démonstration : ( 2 ) ! = ( a) " ( b) a " b 2 2 =a"b Ce qui signifie que a " b (qui est positif) a pour carré a " b . Or par définition a " b est l’unique nombre positif dont le carré est a " b . Par conséquent a " b = a " b . ! ! ! ! Exemples : ! 1°) 8 " 2 = 8 " 2 = 16 = 4 2°) ! 4"3 = 4 " 3 =2" 3 =2 3 ! ! Propriété 3: La racine carrée du quotient de deux nombres positifs non nuls est égale au quotient de leur racine carrée. Autrement dit Si a et b sont des nombres positifs avec b non nul alors : a a = b b Démonstration : ! " a %2 $ ' # b & 2 ( a) = ( b) = a b a . b a a Or par définition est l’unique nombre positif dont le carré est . b b a a ! ! Par conséquent . = b b ! ! Exemples : 100 100 10 1°) ! = = 49 7 49 Ce qui signifie que ! 2°) ! ! a b (qui est un quotient positif) a pour carré 72 72 = = 36 = 6 2 2 Attention : En général : a + b " a+b En effet : 16 + 9 = 4 + 3 = 7 ! 16 + 9 = 25 = 5 donc 16 + 9 " 16 + 9 ! Les savoir-faire du chapitre 4 Soient a,b, et n des nombres entiers positifs. 1) Ecrire le nombre n sous la forme a b avec b le plus petit possible. Méthode: Ecrire le nombre n sous la forme d’un produit dont un facteur est un carré parfait. ! ! Exemples: 45 72 = 9"5 = 36 " 2 = 9" 5 = 36 " 2 =3 5 =6 2 2) Simplifier une somme avec des radicaux. Méthode : Ecrire chaque n sous la forme a b avec b le plus petit possible de façon à faire apparaître un facteur commun puis factoriser . Exemples : ! ! B = 3 200 + 4 18 " 32 B = 3 100 # 2 + 4 9 # 2 " 16 # 2 A = 12 + 5 27! A = 4 # 3 +5 9 # 3 A =2 3 +5 # 3 3 B = 3 # 10 2 + 4 # 3 2 " 4 2 A = 2 3 +15 3 B = 30 2 +12 2 " 4 2 A = 3 # (2 +15) B = 2 # ( 30 +12 " 4 ) A = 17 3 B = 38 2 3) Ecrire a b avec sous la forme n. 2 Méthode : Utiliser l’égalité a = a et les propriétés 2 et 3 du chapitre 5 Exemples: ! ! 7 5 ! ! 3 4 3 = 72 " 5 = = 49 " 5 = 3 42 = 245 = 3 16 ! 42 4) Développer un produit ou une identité remarquable avec des radicaux. Exemples: ( ) 2 C= 5 2 "3 A = 24 2 + 3 # 2 ( )( ) B = (2 5 ) " 7 B = 2 # ( 5 ) " 49 A = 24 2 + 6 B = 4 # 5 " 49 C = 25 # 2 " 30 2 + 9 A = 24 2 + 6 B = 20 " 49 C = 50 " 30 2 + 9 A = 24 2 + 6 B = "29 C = 59 " 30 2 A = 3 2 8+ 2 A = 3 2 #8+3 2 # 2 B= 2 5"7 2 5+7 2 2 2 2 ( ) C = (5 2 ) " 2 # 5 2 # 3 + 3 C = 5 # ( 2 ) " 30 2 + 9 2 2 2 2