13. Ondes électromagnétiques et rayons lumineux

13. Ondes électromagnétiques et rayons
lumineux
Ce chapitre contient des rappels d’optique géométrique et vise à faire le lien entre les
notions d’ondes étudiées au début du cours et l’optique géométrique.
13.1. Les rayons de l’optique géométrique
13.1.1. Le pinceau de lumière
La première notion de rayon lumineux correspond à un faisceau lumineaux trés étroit,
assez mince pour être assimilé à la droite de la géométrie. On matérialise ces rayons
en éclairant un écran percé avec un faisceau de lumière parallèle ou un faisceau laser
comme ceux des pointeurs optiques. A cause du phénomène de diffraction dû à la nature
ondulatoire de la lumière qui sera étudié par la suite on ne peut pas réduire à volonté la
taille d’un faisceau.
Exemple : le faisceau gaussien. plutôt qu’éclairer un écran percé d’un trou et dont
il est délicat de calculer exactement la propagation, considérons le champ électrique en
sortie d’un laser (on connait la solution analytique de sa propagation). Dans le plan
z = 0, son amplitude est
1
E (x, y, z = 0, t) =
w0
r
2
2
2 − x w+y
2
−iωt
0 e
.
e
π
(13.1)
En observant la solution on constate que si sa largeur w0 est plus grande que la longueur
d’onde , le faisceau se comporte sur une certaine distance comme une onde plane limitée
transversalement. Par contre, si la largeur est plus petite que la longueur d’onde, le
faisceau ressemble plus à une onde sphérique qu’à une onde plane.
13.1.2. Le faisceau lumineux réel
A cause de la diffraction, il est vain de matérialiser le rayon lumineux par un pinceau de
lumière. On se rapproche donc de ce que l’on a étudié sur les ondes électromagnétiques.
Les ondes transportent de l’énergie, on est donc tenté de donner la définition suivante :
Les rayons lumineux sont les courbes selon lesquelles se propage l’énergie lumineuse.
Selon ce point de vue,ce sont les lignes de courant qui peuvent être déduite du vecteur de
Poynting. Pour une onde plane, comme pour une onde sphérique, il cela ne pose pas de
133
134
13. Ondes et rayons
problème, par contre pour un faisceau réel, les lignes de champ du vecteur de Poynting
ne sont pas rectiligne, mais courbes.
Les seules zones ou l’on peut faire un lien sans ambiguité entre les la propagation de
l’énergie et les rayons lumineux sont les zones où l’onde a une structure d’onde quasi
plane, tant pour la phase que pour l’amplitude. Dans ce cas, le vecteur de Poynting
est orthogonal aux surfaces d’ondes et ses lignes peuvent être assimilées aux rayons
lumineux.
13.2. Des ondes aux rayons
13.2.1. Le principe d’Huygens
Ce principe permet de comprendre la propagation d’un front d’onde. Il s’agit d’une
image qualitative très puissante pour analyser la propagation . Ce principe sera explicité
quantitativement lors de l’étude de la diffraction avec le principe d’Huygens Fresnel. En
ce qui nous concerne, nous pouvons faire le lien entre le front d’onde d’Huygens et les
surfaces d’ondes qui sont les surfaces pour lesquelles la phase est constante.
Le principe s’énonce de la manière suivante : tout point d’un front d’onde primaire
sert de source à des ondes sphériques secondaires telles que le front d’onde plus tard est
l’enveloppe de ces ondes. De plus, ces ondes avancent avec une longueur d’onde et une
fréquence égale à celle de l’onde primaire.
Fig. 13.1.:
Propagation d’un front d’onde selon le principe d’Huygens. Chaque point du nouveau front
d’onde se comporte comme une source secondaire
qui emet une onde sphérique. Le nouveau front
d’onde est l’enveloppe de ces ondes sphériques
secondaires.
Dans cette construction, on constate que la sphère qui provient d’un point source
secondaire est tangente au nouveau front d’onde en un seul point, le segment qui relie
ces deux points est orthogonal au front d’onde initial et final. Le rayon lumineux est la
succession de ces segments. Dans le vide, le front d’onde progresse perpendiculairement
à lui même. Pour une onde plane, l’enveloppe des ondes secondaires est aussi un plan et
pour une onde sphérique l’enveloppe est une sphère.
Pour faire le lien avec ce que nous connaissons de la propagation des ondes electromagnétiques, étudions la propagation d’une surface d’onde. Considérons un champ dont
l’amplitude complexe est
E (~r, t) = E0 (~r) eiφ(~r,t)
φ (~r, t) = ϕ (~r) − ωt
J-M Courty
(13.2)
(13.3)
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13.2. Des ondes aux rayons
Fig. 13.2.:
Surfaces d’ondes et
rayons pour des ondes
planes et sphériques
La surface d’onde que nous considérons est définie par φ (~r, t) = φ0 . A l’instant t un
point ~r0 situé sur cette surface vérifie
φ (~r0 , t) = ϕ (~r0 ) − ωt = φ0
(13.4)
à l’instant t + τ, (τ restant petit) la phase du point situé en ~r0 + d~r qui se trouve prés
de ~r0 est
φ (~r0 + d~r, t + τ ) = ϕ (~r0 + d~r) − ω (t + τ )
(13.5)
comme le point considéré est proche de ~r0 , on peut déterminer sa phase en faisant
l’approximation linéaire suivante :
−−→
ϕ (~r0 + d~r) = ϕ (~r0 ) + grad ϕ · d~r
(13.6)
on remarquera qu’autour de ~r0 l’onde a localement la structure d’une onde plane dont
−−→
le vecteur d’onde est ~k (~r0 ) = grad ϕ. Le point ~r0 + d~r est sur la surface d’onde de phase
φ0 à l’instant t + τ si
−−→
φ (~r0 + d~r, t + τ ) = ϕ (~r0 + d~r) + grad ϕ · d~r − ω (t + τ ) = φ0
soit, puisque ϕ (~r0 ) − ωt = φ0
ou encore
−−→
grad ϕ · d~r = ωτ
~k (~r0 )
· d~r =
~
k (~r0 )
ω
τ = vτ.
~
k (~r0 )
(13.7)
(13.8)
(13.9)
où v est la vitesse de propagation de l’onde.
On résume cette discussion par les conclusions suivantes :
– La notion de rayon lumineux est indissociablement liée à la notion de front d’onde
ou de surface d’onde.
– Un rayon lumineux ne peut se concevoir seul. On ne peut parler que d’une famille
de rayons lumineux. Cette famille définit des fronts d’ondes qui sont les surfaces
orthogonales à ces rayons.
– Reciproquement un front d’onde détermine localement les rayons, ce sont des courbes
qui lui sont orthogonales.
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136
13. Ondes et rayons
13.3. Le chemin optique
13.3.1. Définition
Dans le vide, les onde sélectromagnétiques se propagent à la célérité c. Dans un milieu
matériel transparent, la vitesse vmat de la lumière est plus faible. On trouve
vmat =
c
n
avec n égal à l’indice de réfraction utilisé en optique géométrique dans la loi de la
réfraction. n est typiquement entre 1 et 2 : n=1,5 pour le verre, n=1,3 pour l’eau, n=2,4
pour le diamant, n=1,0003 pour l’air atmosphérique (≈ 1).
Dans la propagation de la lumière, l’important est la propagation du front d’onde,
on définit donc le chemin optique en relation avec le temps que met la lumière pour
parcourir un rayon plutot que comme sa longueur géométrique. Prenons l’exemple du
temps de propagation de A à D sur la figure :
Fig. 13.3.: Chemin optique ABCD
Le temps de propagation de A à D le long du trajet ABCD de la figure 13.3.1 vaut :
CD
AB
BC
CD
AB BC
+
+
=
+
+
v1
v2
v3
c/n1 c/n2 c/n3
1
1
= [n1 AB + n2 BC + n3 CD] = ℓoptique [ABCD] .
c
c
Tp =
Le chemin optique ℓoptique permet ainsi de calculer le temps de propagation le long du
trajet considéré.
Le long d’un rayon lumineux, la phase de l’onde associée varie et l’on a :
variation de la phase ϕ =
ω
( variation du chemin optique ℓoptique )
c
Il est parfois nécessaire d’ajouter des déphasages dans certains cas :
– Un déphasage de π pour une réflexion sur un miroir
– Un déphasage de π pour une réflexion sur un milieu dont l’indice est plus faible
(pour la polarisation perpendiculaire)
13.3.2. Le théorème de Malus Dupin
Les points où un même rayon intersecte une surface d’onde sont appelés points correspondants. Par exemple A et A′ ou bien B et B ′ dans la figure suivante.
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13.3. Le chemin optique
Fig. 13.4.: Le chemin optique parcouru en
suivant le rayon qui joint A et A’ est le
même que le chemin optique obtenu en
suivant le rayon qui joint B à B’
Enoncé du théorème de Malus Dupin :
Deux surfaces orthogonales à une famille continue de rayons lumineux de même fréquence découpent des chemins optiques égaux.
Dans le dessin c’est le cas du chemin optique entre A et A′ et du chemin entre B et
B′ :
ℓoptique AA′ = ℓoptique BB ′
(13.10)
Dans les dispositifs optiques, il arrive que le front d’onde se réduise à un point : source
d’une onde sphérique ou point de convergence. C’est en particulier le cas d’un système
optique stigmatique (voir définition précise dans la suite) permettant de faire une image
nette d’objets quelconques . Le théorème de Malus-Dupin montre qu’il y a égalité des
chemins optiques de tous les rayons allant d’un point objet source S vers son image I .
C’est la cas pour une lentille mince :
Fig. 13.5.: Chemins optiques et lentille
mince
ℓoptique (SABI) = ℓoptique SA′ B ′ I = ℓoptique SA′′ B ′′ I
Plus on s’éloigne de l’axe, plus le chemin dans le vide augmente, mais plus le chemin
”lent” dans le verre diminue : les deux effets se compensent exactement.
Fig. 13.6.: Point source au foyer
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138
13. Ondes et rayons
Si on met l’objet au foyer, la lumière forme après la lentille un faisceau parallèle (figure
13.3.2) : les points de longueurs optiques (ou de temps de propagation) identiques sont
situés dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation. Il en est de même pour
un faisceau de lumière parallèle qui converge au foyer image de la lentille : des impulsions
lumineuses qui sont émises simultanément en différents points d’un plan perpendiculaire
à la direction de propagation convergent toutes au même instant sur le foyer.
Fig. 13.7.: Focalisation d’une onde plane
De même, considérons des rayons issus d’une source à l’infini dans une direction donnée
(figure 13.7). Les impulsions lumineuses situées dans tout plan (P) perpendiculaire à la
direction α convergent simultanément sur l’image I, située dans le plan focal image. Ceci
n’est vrai que pour α << 1, c’est-à-dire à l’approximation paraxiale (liée au stigmatisme
approché des lentilles à surface sphérique).
Une brève impulsion lumineuse qui se propage se comporte dans beaucoup de phénomènes optiques comme un corpuscule de vitesse c. C ’est la base de l’interprétation
corpusculaire de la lumière, défendue notamment par Newton.
13.3.3. Réflexion et réfraction
Nous illustrons l’utilisation du théorème de Malus Dupin pour analyser la réfraction
d’une onde plane sur un dioptre plan
Fig. 13.8.: La réfraction d’une onde plane
par un dioptre. En trait plein, les
rayons. En tiretés, les front d’onde. (a) :
le front d’onde initial. (b) le front d’onde
final. (c) : propagation du front d’onde
, initial, intermédiaire et final. (d) :
construction geometrique avec l’angles
d’incidence i et de transmission t
D’après le théorème de Malus-Dupin, Les chemins optiques AD et BC sont indentiques
soit
n2 AD = n1 BC
(13.11)
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13.4. Le principe de Fermat
Les rayons sont orthogonaux aux fronts d’ondes, les triangles ABC et ADC sont rectangles. On reconnait dans ces triangles l’angle d’incidence θi et l’angle de transmission
θt ce qui permet de relier les cotes BC et AD à l’hypoténuse AD commune à ces deux
triangles :
AD
BC
=
(13.12)
AC =
sin θi
sin θt
en combinant ces deux equations on retrouve la loi de Snell-Descartes
n1 sin θi = n2 sin θt
(13.13)
13.4. Le principe de Fermat
Le chemin effectivement suivi par un rayon lumineux entre deux points A et A’ est,
parmi tous les chemins possibles allant de A vers A’, celui de chemin optique extremal
(maximum ou minimum).
On sait que cet énoncé permet de retrouver les lois de l’optique géométrique (propagation rectiligne, lois de la réflexion et de la réfraction). En général, l’extremum est un
minimum. On peut aussi l’exprimer en termes de propagation : la lumière ”choisit” le
chemin le plus rapide. Notons que ce chemin n’est pas nécessairement unique.
A titre d’exercice on cherchera à redémontrer les lois de Descartes grace au théorème
de Fermat.
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13. Ondes et rayons
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14. Systèmes optiques
Ce chapitre contient des rappels d’optique géométrique et vie à faire le lien entre les
notions d’ondes étudiées au début du cours et l’optique géométrique.
14.0.1. rappels de terminologie
Espace objet et espace image :
L’espace situé avant un système optique (du point de vue des rayons) est appelé espace
objet, les rayons situés dans cette zone se dirigent vers le système optique est sont appelés
rayons incidents
l’espace situé après le système optique est l’espace image. Les rayons situés dans cette
zone s’éloignet du système optique, ils sont appelés rayons sortants.
Objet
Un point ou les rayons incidents s’intersectent est appelé objet. Si ce point se trouve
dans l’espace objet on dira que l’objet est réel, si ce point ne se trouve pas dans l’espace
objet, on dira que l’objet est virtuel.
Image
Un point ou les rayons sortants s’intersectent est appelé image. Si ce point se trouve
dans l’espace image on dira que l’image est réelle, si ce point ne se trouve pas dans
l’espace image, on dira que l’image est virtuelle.
Points conjugués
Si les rayons lumineux d’une même famille s’intersectent en deux points, on dira que
ces deux points sont conjugués
Onde plane
Pour une onde plane, les rayons sont parallèles et ne s’intersectent pas, on dit dans ce
cas que l’objet (ou l’image) est à l’infini.
141
142
14. Systé‘mes optiques
14.0.2. systèmes stigmatiques
Points conjugués
Si les rayons lumineux d’une même famille s’intersectent en deux points, on dira que
ces deux points sont conjugués. Dans ce cas on dit que le système optique est stigmatique
pour ces deux points
stigmatisme exact et approché :
Bien souvent les systèmes optiques réels ne sont pas parfaitement stigmatiques : un
objet pontuel donne alors naissance non pas à un point image ou tous les rayons sortants
s’intersectent, mais à une petite zone ou convergent les rayons sortants. Dans certaines
conditions, par exemple en ne considérant qu’une partie des rayons, on peut considérer
que la zone ou passent les rayons sortants est assez petit pour être assimilées à un point
pour les applications que l’on fait du système optique. On parle alors de stigmatisme
approché
14.0.3. Exemples de systèmes stigmatiques
Le miroir plan est un système parfaitement stigmatique pour tous les points source.
Les points conjugués sont les paires de point symétriques par rapport à la surface du
miroir
Un miroir parabolique est parfaitement stigmatique pour une source située à l’infini
sur son axe et son foyer. Pour d’autres sources, il n’y a pas stigmatisme.
De manière générale, les miroirs dont les surfaces sont des coniques de révolution sont
stigmatique pour la paire de points formée par les deux foyers.
En ce qui concerne la refraction, le diotre plan ne présente pas de stigmatisme exact
mais seulement un stigmatisme approché. Descartes amontré que des diotres dont les
surfaces sont des coniques de révolutions sont stigmatiques pour certains points lorsque
l’excentricité est bien choisie par rapport à l’indice de refraction.
14.0.4. lentilles et miroirs
voir document annexe et poly du module de TP.
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15. Dispositifs interférométriques
15.1. Interférences
On a interférence lorsque la supperposition de deux ondes ou plus conduit à une
intensité lumineuse qui est différente de la somme des intensités de chacune des ondes
prises séparément.
15.1.1. Condition pour observer des interférences
Dans le chapitre ”addition d’ondes” on a déjà vu les conditions pour observer des
interférences entre ondes
– les ondes doivent avoir même fréquence
– les polarisation des ondes ne doivent pas être orthogonales et pour avoir un contraste
maximal il faut que les polarisations soient identiques
Une fois que ces conditions sont vérifiées, le paramètre essentiel dans les interférences
est la différence de phase entre deux ondes. Pour observer un phénomène d’interférence,
il est essentiel que la différence de phase entre les ondes que l’on fait interférer reste
constante durant toute la durée de l’expérience.
15.1.2. Cohérence temporelle d’une onde réelle
L’onde ”mathématique” E = E0 cos (ωt − kz + ϕ) a une phase ϕ parfaitement déterminée : elle est parfaitement cohérente. Ce n’est pas le cas des ondes réelles. On a
plutôt dans la réalité :
E = E0 cos (kz − ωt + ϕ (t))
La phase ϕ (t) des ondes réelles est une grandeur fluctuante, ou aléatoire, dans le temps
(l’amplitude aussi parfois).
1) Lumière émise par les sources classiques de l’optique : sources thermiques (lampe
à incandescence), ou à décharge (tubes fluorescents) :
La lumière est émise sous la forme de trains d’onde de durée finie (figure 15.1) :
chaque atome de la source est excité puis retombe dans l’état fondamental en émettant
un ”train d’onde”, de durée τ . L’instant de démarrage du train d’onde et sa phase sont des
grandeurs fluctuantes. On a typiquement τ ≃ 0, 1ns (ou moins). Comme il y a beaucoup
d’atomes émetteurs, les trains d’ondes de chaque atome individuel se recouvrent et on
obtient une lumière d’intensité constante au cours du temps.
2) Lumière émise par un laser :
Le phénomène d’émission stimulée et la présence de la cavité du laser ”mettent en
phase” les différents atomes qui participent à l’émission lumineuse, qui émettent un
143
144
15. Dispositifs interférométriques
Fig. 15.1.:
Trains d’onde amortis de durée τ émis à des instants aléatoires par une source classique.
champ d’amplitude constante dont la phase ϕ (t) évolue lentement. On peut schématiser
cette variation par des sauts aléatoires de phase.Le temps moyen pendant lequel la phase
est constante τc est typiquement τc ≃ 1µs (ou plus).
τc est appelé temps de cohérence temporelle de l’onde
L’extension spatiale du train d’onde vaut cτc (longueur de cohérence). Elle est de
l’ordre de quelques cm (ou moins) pour la source classique, de 100m (ou plus) pour un
laser.
15.1.3. Cohérence spatiale
Que se passe-t-il si on ne considère plus une source ponctuelle mais une source S étendue ? La source S est assimilable à la superposition de sources ponctuelles S’ indépendantes les unes des autres. Chaque source S’ va créer son propre système d’interférences.
Si les variations de la différence des chemins optiques émis par toutes les sources S’
restent faibles, il y aura encore un phénomène d’interférences observable (cohérence
spatiale).
Si les variations des chemins optiques sont grandes, il y a brouillage des
interférences (incohérence).
Les situations intermédiaires sont caractérisées par une cohérence spatiale
partielle.
En conclusion : il faut que les champs parvenant au point d’observation
soient issus d’un même point source pour pouvoir donner lieu à des interférences.
Les interférences obtenues par division du front d’onde (Trous d’Young,
miroirs de Fresnel) imposent que la source soit quasi ponctuelle. En revanche, on pourra les observer avec des interféromètres à séparation d’amplitude puisque les rayons qui interfèrent proviennent d’un même rayon dé-
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145
15.2. Les différentes types de systèmes interférométriques
doublé (Fabry-Perrot, lames). L’avantage est d’avoir des sources plus lumineuses (quoique étendues) et de faciliter ainsi l’observation des interférences
(quoique localisées à la rencontre de deux rayons issus d’un même rayon
incident).
15.2. Les différentes types de systèmes interférométriques
En pratique, pour éviter les problèmes de cohérence entre sources distinctes, on cherche à réaliser des interférences en utilisant une seule source
et en produisant avec elle plusieurs familles de rayons (ou plusieurs fronts
d’ondes) qui passent par des systèmes optiques distincts. Pour calculer l’amplitude des interférences on détermine le chemin optique pour chaque famille
de rayons
15.3. Interféromètres à division de front d’onde
15.3.1. Les trous d’Young
C’est le dispositif le plus simple : on éclaire un écran percé de deux trous
par une une source ponctuelle. Il faut toutefois faire attention : lors du passage des trous on a à faire au phénomène de diffraction et donc en toute
rigueur la lumière ne suit pas le chemin de l’optique géométrique sur tout le
dispositif.
Interférences à distance finie
On place un écran à une distance D des deux trous distants de a et éclairés
par une même source ponctuelle. Il s’agit de déterminer le déphasage subit
par la lumière selon les deux chemins possibles.
Dans les zones 1 et 3 c’est à dire de la source aux deux trous puis des deux
trous à l’écran, la lumière se propage selon les lois de l’optique géométrique,
le chemin optique est donc égal à la longueur parcourue. Au niveau de l’écran
la lumière subit un phénomène de diffraction : le trou se comporte comme
une source lumineuse dont la phase est celle de l’onde qu’elle reçoit. Plus
exactement lors de ce phénomène la lumière subit un déphasage que l’on
notera ϕHF des initiales de Huygens et Fresnel et dont l’origine sera précisée
dans le cours sur la diffraction. Les phases correspondant au chemins 1 et 2
sont
ϕ1 = kl1 + ϕHF + kd1
(15.1)
ϕ2 = kl2 + ϕHF + kd2
(15.2)
où l1 = SO1 , l2 = SO2 , d1 = O1 P et d1 = O2 P. Le déphasage entre les deux
ondes est donc
∆ϕ = k (d2 − d1 )
(15.3)
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15. Dispositifs interférométriques
z
O1
S
y
a/2
O2
P
x
D
Fig. 15.2.: dispositif interférométrique : Les trous d’Young
Les distances d1 et d2 sont
a 2
+ D2 ≃ D +
2
r
a 2
=
+ D2 ≃ D +
z+
2
d1 =
d2
r
z−
1
2D
1
2D
a 2
2
a 2
z+
2
z−
(15.4)
(15.5)
où l’on a supposé que la distance D est grande devant a et z. Soit
1
d2 − d1 =
2D
a 2
a 2 za
− z−
z+
=
2
2
D
(15.6)
Le déphasage est donc
∆ϕ = 2π
za
Dλ
(15.7)
Les interfzrences sont maximales pour un déphasage multiple de 2π soit aux
positions
λD
(15.8)
zp = p
a
qui correspondent à des angles αp
αp =
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zp
λ
=p
D
a
(15.9)
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15.3. Interféromètres à division de front d’onde
z
A A’
P
O1
S
B B’
O2
α
F
Fig. 15.3.: Les trous d’Young : Utilisation d’une lentille pour visualiser les interférences
à l’infini
Interférences à l’infini
On utilise une lentille convergente et l’on place après les trous une lentille
convergente puis un écran dans le plan focal de la lentille (de distance focale
f ).
On sait qu’une onde plane est focalisée en un point situé dans le plan focal.
Cette onde plane correspond à des rayons parallèles entre eux, c’est le cas des
rayons O1 A et O2 B qui font un angle α avec l’horizontale et qui convergent
donc au point d’ordonnée z = αf . On choisit les points A et B de sorte que
la droite AB soit perpendiculaire aux rayons lumineux considérés. Si l’on
éclairait la lentille avec une onde plane faisant un angle α avec l’horizontale
plutot qu’avec les trous d’Young, la droite AB serait dans un plan d’onde.
Le théorème de Malus Dupin assure alors que les chemins optiques AA′ P et
BB ′ P sont égaux.
Revenons maintenant aux interférences, le déphasage entre les ondes qui
passent par chacun des trous est la différence des chemins optiques SO1 A′ P
et SO2 B ′ P puisque les distances SO1 et SO2 sont égales et que les chemins
optiques AA′ P et BB ′ P sont égaux.la différence de chemin est la différence
des distances O1 A et O2 B soit a sin α ≃ aα
∆ϕ = 2π
aα
λ
(15.10)
on observe donc des franges brillantes aux points d’ordonnées z = p λa f .
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148
15. Dispositifs interférométriques
Fig. 15.4.: Figure d’interférences obtenue pour les trous d’Young
15.3.2. Autres exemples
– Les miroirs de Fresnel
Le dispositif (voir figure 15.5) est équivalent au cas précédent en posant
a = S1 S2 . La distance qui sépare les sources de l’écran (00′′ ) est aussi à
définir.
Pour un point situé en x sur l’écran, la différence de chemin optique
x
entre les deux sources sera : δ = S1 S2
(R + 0′ 0′′ )
′
′′
′′
00
S1 0
et cosα =
.
avec sinα =
d
d
Si α est très petit (cas des miroirs de Fresnel), S1 0′′ = αd et 0′ 0′′ = d. On
a donc a = S1 S2 = 2dα et 00′′ = d + R.
2dαx
D’où : δ =
.
(R + d)
– Le biprisme de Fresnel
– Les bilentilles de Billet
– Les bilentilles de Meslin
15.4. Interféromètres à division d’amplitude
15.4.1. La lame séparatrice
Une des surfaces de la lame, recouverte par des couches transparentes
d’indices et d’épaisseurs appropriés, réfléchit partiellement toute lumière incidente (l’autre face de la lame est en général recouverte d’un traitement
anti-reflet : voir figure 15.6). Le dispositif couple en fait deux ondes planes
incidentes d’amplitude complexe EA et EB à deux ondes planes sortantes
d’amplitudes complexes EC et ED . Le point de référence pour ces amplitudes
est le même point O situé au centre de la surface de la lame.
Dans un tel dispositif, les amplitudes complexes des ondes sortantes sont
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15.4. Interféromètres à division d’amplitude
x
0
S
R
Ecran
d
α
M1
M2
0’
d
α
S1
S2
0’’
Fig. 15.5.: Miroirs de Fresnel
εC
εA
0
εD
εB
Fig. 15.6.: lame séparatrice
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J-M Courty
150
15. Dispositifs interférométriques
une combinaison linéaire de celles des ondes entrantes. De manière générale,
on peut écrire :
EC
= r EA + t EB
′
′
ED = t EA + r EB
(15.11)
(15.12)
r ,t ,r′ et t′ sont les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude. Ils
sont en général complexes car il peut y avoir des déphasages à la réflexion et
à la transmission. Leur valeur dépend de la composition exacte du traitement
de la surface de la lame. On démontre que
* t = t′ , par symétrie des deux trajets et loi du retour inverse de la lumière.
* Pour simplifier, on peut prendre tous les coefficients réels (pas de déphasage à la réflexion ou à la transmission autre que 0 ou π)
Si la lame n’absorbe pas, la somme des flux énergétiques entrants est égale
à la somme des flux énergétiques sortants. On a alors égalité des intensités
totales entrantes et sortantes :
|EA |2 + |EB |2 = |EC |2 + |ED |2
(15.13)
et cela quelles que soient les amplitudes entrantes EA et EB c’est à dire :
′
|EA |2 + |EB |2 = r 2 + t2 |EA |2 + r 2 + t2 |EB |2 + 2t r + r ′ ℜe (EA EB∗ )
(15.14)
on doit donc avoir :
r 2 + t2 = 1
r
′
= −r
(15.15)
(15.16)
Par conséquent, les champs qui partent de la lame sont :
EC
= r EA + t EB
ED = t EA − r EB
(15.17)
(15.18)
en général, on indique sur le schéma le coté de la lame où la réflection se
fait avec le signe −. Les grandeurs r 2 et t2 sont notées généralement R et T
(avec R + T = 1). Ce sont les coefficients de réflexion et de transmission en
intensité.
Dans le cas de coefficients réels, la relation r ′ = −r est indispensable pour
assurer la conservation de l’intensité totale lorsque les deux faisceaux incidents sont non nuls. L’oubli de ce changement de signe peut conduire à des
absurdités (la conservation de l’intensité totale peut être aussi assurée en
faisant le choix r = r ′ imaginaire pur).
Pour une lame semi-réfléchissante, les deux faisceaux de sortie ont même
intensité : on prendra r = t = t′ = √12 , r ′ = − √12 . soit
EC
=
ED =
J-M Courty
EA + EB
√
2
EA − EB
√
2
(15.19)
(15.20)
UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.5
151
15.4. Interféromètres à division d’amplitude
εC
εA
ε ’C
εD
0
ε A’
ε ’D
εB
Fig. 15.7.: Interféromètre de Michelson
15.4.2. L’interféromètre de Michelson
On se concentrera tout d’abord sur l’interféromètre éclairé par une onde
plane. L’interféromètre de Michelson est constitué d’une lame semi-réfléchissante
à 45◦ , appelée séparatrice, qui sépare les deux faisceaux, et de deux miroirs
parfaitement réfléchissants qui les renvoient sur la lame, où ils se recombinent
à nouveau (fig15.7).
On considère d’abord le cas où les miroirs renvoient exactement les faisceaux sur eux-mêmes. Soit EA l’amplitude de l’onde incidente au centre 0 de
la lame, juste avant la réflexion. Elle donne naissance à une onde réfléchie EC
et une onde transmise ED qui valent au même point juste après la surface de
la lame : EC = √12 EA et ED = √12 EA . Les champs des voies C et D se propagent
jusqu’aux miroirs distants de la lame séparatrice de dC et dD et reviennent
′ = −e2ikdD E . Le signe
au point O avec les amplitudes EC′ = −e2ikdC EC et ED
D
moins correspond au déphasage de π lors de la réflexion sur les miroirs et
le reste du déphasage à la propagation. Le champ qui sort par la voie B est
donc :
1 ′
1
(15.21)
EB = √ EC′ − √ ED
2
2
1 2ikdC
=
(15.22)
+ e2ikdD EA
−e
2
L’intensité lumineuse qui sort de l’interféromètre par la voie B est donc
1
|EA |2
1
|EB |2 = (1 − cos 2k (dC − dD ))
(15.23)
2
2
2
1 − cos k∆
=
IA
(15.24)
2
où ∆ = 2 (dC − dD ) est la différence de marche des deux rayons qui interfèrent.
L’onde sortante étant elle aussi assimilable à une onde plane, l’intensité est
IB =
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J-M Courty
152
15. Dispositifs interférométriques
constante dans tout plan perpendiculaire à la propagation (”teinte plate”).
Lorsqu’on déplace un des miroirs, ∆ varie, et on obtient une variation périodique de l’intensité, de périodicité égale à λ pour la différence de marche :
on obtient des franges d’interférence, ou interférogramme, par modification
de la géométrie du système. Pour avoir une intensité stable dans ce type de
dispositif interférentiel, il faut une grande stabilité mécanique dans les supports des miroirs et de la lame, à bien mieux que le micromètre. Notons aussi
qu’on peut faire varier ∆ de beaucoup moins que λ (quelques nanomètres) de
manière parfaitement contrôlée, en utilisant une cale piézoélectrique pilotée
par une haute tension variable.
Remarques :
- dC et dD contiennent éventuellement la contribution au chemin optique
de la traversée d’épaisseurs de verre, ainsi qu’un éventuel déphasage à la
réflexion.
- lorsque ∆ est un multiple de λ, I = 0. Dans cette géométrie la lumière
incidente n’est pas perdue : elle se retrouve entièrement réfléchie vers la
source. On pourra vérifier que l’intensité qui ressort par la voie A est
′
IA
=
1 + cos k∆
IA
2
(15.25)
Interféromètre de Michelson : influence de la cohérence temporelle
La propagation de la lumière n’est pas de durée identique dans les deux
2OB
bras de l’interféromètre. Les deux temps valent t1 = 2OA
c et t2 = c . Si l’onde
est formée de ”paquets d’ondes”, ou ”train d’ondes”, de durée τc , il n’y a plus
recouvrement d’ondes cohérentes en phases si |t1 − t2 | excède τc , c’est-à-dire
si ∆ > ∆coh = cτc . Au delà de cette différence de marche, les intensités des
deux ondes s’ajoutent, et non plus les amplitudes : il n’y a donc plus de
variation sinusoïdale de l’intensité.
Une onde non strictement monochromatique produit donc un interférogramme dont les franges sont uniquement visibles au voisinage de la différence de marche nulle et dont le contraste diminue sur une longueur de
différence de marche égale à ∆coh . Si on mesure expérimentalement ∆coh , on
en déduit τc , ou la largeur de raie ∆ν, par
τc ≈
1
c
∆coh
; ∆ν ≈
≈
c
τc
∆coh
On peut aussi utiliser un autre raisonnement : chaque composante spectrale de fréquence ν de la source, à l’intérieur de la bande spectrale de largeur ∆ν, donne son propre interférogramme purement sinusoïdal I (∆, ν). Les
interférogrammes correspondant aux différentes composantes spectrales de
fréquences différentes s’ajoutent en intensité : les périodes des franges étant
légèrement différentes, celle-ci finissent par se brouiller sur un intervalle de
∆ d’autant plus petit que ∆ν est grand. On peut par exemple faire le calcul
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153
15.4. Interféromètres à division d’amplitude
pour une répartition spectrale de la source de forme ”Lorentzienne”, de largeur à mi-hauteur Γ et centrée sur une fréquence ν0 , chaque composante de
fréquence ν ayant une intensité :
I1 (ν) =
A
(ν − ν0 )2 +
∆ν 2
4
L’intensité totale mesurée en sortie de l’interféromètre pour une différence
de marche donnée ∆ vaut alors
Z +∞
I1
2π∆
2π∆
− π(∆ν)
|∆|
c
ν =
ν0
1−e
cos
dνI1 (ν) 1 − cos
I (∆) =
c
2
c
−∞
par un calcul élémentaire d’intégrale, avec I1 Dn = 2 intensité de la source
intégrée sur toutes les fréquences. On trouve bien que l’amplitude des franges
décroît de manière exponentielle sur une longueur ∆ = ±c/π∆ν, au delà de
laquelle l’intensité I (∆) prend une valeur constante (fig 15.8).
Donnons quelques ordres de grandeur : pour une source ordinaire (τc ≈
0, 1ns), ∆coh ≈ 3cm. Pour une source laser (τc ≈ 1µs), ∆coh ≈ 300m. Si on
utilise des interféromètres à très grande différence de marche, par exemple
en mettant dans un des bras une fibre optique de grande longueur, on peut
mesurer la diminution des franges avec ∆ très grand. Cette méthode est
utilisée pour mesurer la largeur spectrale de lasers très monochromatiques.
Interféromètre de Michelson : cas d’une source ponctuelle
On prend maintenant une onde entrante sphérique issue d’un point S (fig
??). Les différents miroirs (et la séparatrice) font différentes images de ce
point. Pour le trajet par A : S1 est l’image de S dans la séparatrice. S2 est
l’image de S1 dans le miroir MA . Pour le trajet par B : S3 est l’image de
S dans le miroir MB . S4 est l’image de S3 dans la séparatrice. Les deux
ondes qui interférent semblent donc issues de 2 points S2 et S4 , et on a donc
interférence de deux ondes sphériques.
- Si les miroirs MA et MB sont symétriques par rapport à la séparatrice,
S2 et S4 sont confondus, et émettent des ondes en opposition de phase :
l’intensité observée en sortie est nulle.
- On déplace légèrement MB parallèlement à lui même : S2 est fixe, et S4
se déplace sur la droite OA : on est dans la configuration de deux sources
cohérentes alignées. On voit sur un écran perpendiculaire à la direction OA
des anneaux (comme sur la figure ??).
- A partir de la position initiale symétrique, on tourne légèrement MB
autour de B : S4 se déplace sur une droite perpendiculaire à la direction OA.
S2 S4 est perpendiculaire à OA : on est dans la configuration de la figure ??.
On voit sur un écran perpendiculaire à la direction OA des franges de forme
hyperbolique, et si la distance aux sources est grande, des franges rectilignes
équidistantes perpendiculaires à la direction S2 S4 .
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154
15. Dispositifs interférométriques
I (ν)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
0.5
∆ν = 2
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0
I (∆)
2
ν0 = 4
4
6
8
ν
10
2
1.8
1.6
∆cohérence
1.4
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-3
-2
-1
0
1
2
3
∆
Fig. 15.8.: Spectre d’une source non strictement monochromatique et Interférogramme
obtenu avec une source non strictement monochromatique.
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155
15.4. Interféromètres à division d’amplitude
S2
S4
MA
A
Source
0
B
MB
S3
S1
Fig. 15.9.: Interféromètre de Michelson éclairé par une onde sphérique issue de S.
Interféromètre de Michelson : applications
L’interférogramme dépend de manière très sensible de la différence de
marche ∆, qui à son tour dépend de paramètres comme la longueur, le temps
de propagation, ou la longueur d’onde. Il permet de mesurer ces grandeurs
avec une grande précision.
λ
- La figure d’interférence sur le détecteur permet de déterminer ∆ à 100
environ, soit quelques nanomètres, donc le déplacement d’un des miroirs
par rapport à l’autre avec cette précision. Des interféromètres de Michelson
de faible encombrement, réalisés à l’aide de dispositifs d’optique intégrée,
sont disponibles sur le marché pour mesurer de très faibles déplacements en
micromécanique et en microélectronique.
- Des ”observatoires de détection d’ondes gravitationnelles” (projet francoitalien VIRGO à Pise, projet américain LIGO) sont en cours de construction.
Il s’agit d’interféromètres de Michelson dont les bras sont des tubes vides
d’air de 1m de diamètre et de 3 km de long (fig 15.10). L’objectif est de
mesurer une variation de différence de marche entre ses deux bras de 10−18 m
( 10λ12 ! !) induit par l” ’ébranlement” constitué par le passage sur terre d’une
onde gravitationnelle provoqué par l’effondrement d’étoiles (supernovae).
- Spectrométrie à transformée de Fourier : il s’agit d’un dispositif permettant de déterminer avec précision la distribution spectrale d’une source
lumineuse, aussi compliquée soit-elle (voir TP).
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156
15. Dispositifs interférométriques
Fig. 15.10.: vue aérienne du détecteur d’ondes gravitationnelles VIRGO
- Mesure d’intervalles de temps très brefs : on sait produire avec des lasers des impulsions de durée inférieure à la picoseconde (10−12 s). Il n’existe
aucun détecteur suffisamment rapide pour mesurer la durée d’une telle impulsion. Si on envoie cette impulsion dans un interféromètre de Michelson,
on n’observera des franges d’interférences que si ∆/c est inférieur à la durée
de l’impulsion. Pour une picoseconde, l’interférogramme disparait pour ∆
supérieur à 0,3 mm, ce qui est facilement mesurable.
15.5. Interférences à ondes multiples
Jusqu’à présent, on a créé à partir d’une source unique deux sources secondaires seulement : on a fait de l” ’interféromètrie à deux ondes”. Mais on peut
créer évidemment plus de deux sources : on fait alors de l” ’interférométrie à
ondes multiples”. Dans cette catégorie, nous étudierons ici l’interféromètre
de Fabry-Perot, puis les réseaux optiques. On verra que ces deux dispositifs
permettent d’obtenir non pas une variation sinusoïdale de l’intensité comme
précédemment, mais une variation beaucoup plus rapide. On obtient alors
des franges d’interférences très fines, qui permettent des mesures de grande
sensibilité.
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UPMC - L3 - Physique - PGA Notes de cours version 0.5
157
15.5. Interférences à ondes multiples
M1
M2
1
2
3
L
D
Fig. 15.11.: Interféromètre de Fabry-Perot éclairé par une onde plane perpendiculaire
à son axe (le décalage entre les ondes subissant des réflexions multiples est
nul, il n’est introduit dans la figure que pour améliorer la lisibilité)
15.5.1. L’interféromètre de Fabry-Perot
L’interféromètre de Fabry-Perot est constitué de deux miroirs partiellement réfléchissants qui se font face. Les réflections multiples créent un grand
nombre d’ondes qui interfèrent entre elles.
Onde plane perpendiculaire aux miroirs : sommation des ondes réfléchies
Soient r1 , r2 , t1 , t2 les coefficients de réflexion et de transmission en amplitude des deux miroirs M1 et M2 r1 , r2 , t1 , t2 (r1 et r2 correspondent à la
réflexion du côté extérieur à la cavité formée par les deux miroirs, donc r1 et -r2 à la réflexion du côté intérieur) et L la distance entre les miroirs
(fig 15.11). L’onde incidente plane est décrite par son amplitude complexe se0
juste avant le miroir d’entrée. L’onde mesurée en un point B, distant de D
de M2 peut être considérée comme la somme de toutes les ondes obtenues
par réflexions multiples sur ces miroirs :
- faisceau directement transmis : E0out = E0 t1 t2 eik(L+D)
- après 1 réflexion sur M1 et une sur M2 : E2out = E0 t1 (−r1 ) (−r2 ) t2 eik(L+2L+D)
- après 2 réflexions sur M1 et deux sur M2 : E4out = E0 t1 (−r1 )2 (−r2 )2 t2 eik(L+4L+D)
- ...
out = E t (r r )2p t eik(L+2pL+D)
- après p réflexions sur M1 et p sur M2 :E2p
0 1 1 2
2
L’amplitude totale de l’onde transmise vaut donc :
E out =
En effet :
∞
P
p=0
∞
X
p=0
out
E2p
= E0 t1 t2 eik(L+D)
ap = 1 + a + a2 + ... =
∞
X
p=0
1
1−a
(r1 r2 )2p e2ikpL = E0 s
t1 t2 eik(L+D)
1 − r1 r2 e2ikL
pour tout a complexe tel que |a| < 1.
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J-M Courty
158
15. Dispositifs interférométriques
L’intensité transmise vaut donc :
I out =
1 out 2
(t1 t2 )2
(t1 t2 )2
in
=
I
E
= I in
2
2
(1 − r1 r2 cos 2kL)2 + (r1 r2 sin 2kL)2
|1 − r1 r2 e2ikL |
Onde plane perpendiculaire aux miroirs : méthode directe de calcul des amplitudes
Une deuxième méthode consiste à calculer directement grâce aux équations
sur les deux miroirs l’onde totale E out somme de toutes les ondes partielles.
Soient E1 et E2 les amplitudes complexes au niveau du miroir M1 des ondes
totales se propageant entre les deux miroirs respectivement dans le même
sens que l’onde entrante, et dans le sens opposé. Les miroir M1 et M2 relient
ces quantités par les équations :

 E1 = t1 E0 − r1 E2
E2 = −E1 e2ikL r2
 out
E
= t2 E1 eik(L+D)
où 2kL est le déphasage de propagation sur un tour. On en déduit E1 = t1 E0 +
r1 r2 e2ikL E1 , d’où E1 = 1−r r t1 e2ikL E0 . On trouve immédiatement la relation
1 2
déjà obtenue par l’autre méthode
E out =
t1 t2 eik(L+D)
E0
1 − r1 r2 e2ikL
Etude de la fonction de transmission du Fabry-Perot (”fonction d’Airy”)
On en déduit pour les intensités I out = TF P I in , avec
TF P =
T1 T2
√
1 + R1 R2 − 2 R1 R2 cos 2kL
où T1 = t21 (etc..) sont les coefficients de transmission et de réflexion en intensité (R + T = 1). La courbe donnant TF P en fonction de la longueur L est
appelée fonction d’Airy. La figure ?? donne son allure pour différents coefficients de réflexion en fonction de x = kL/π et dans le cas symétrique où
R1 = R2 = R. Plus R se rapproche de 1, plus on obtient des pics étroits (on a
pris sur la figure R1 = R2 = 0, 25; 0, 5; 0, 75; 0, 95).
TF P est maximum lorsque le dénominateur est minimal soit 2kL = 2mπ (m
T T
entier), soit L = m λ2 . Il vaut alors (TF P )max =
√1 2
2 . Ce maximum est
(1− R1 R2 )
égal à 1 (parfaite transmission) pour R1 = R2 quel que soit R1 : deux miroirs
très peu réfléchissants se faisant face peuvent transmettre complètement la
lumière, dans les conditions de résonance de la cavité optique formée par les
deux miroirs, c’est-à-dire lorsque l’onde se retrouve identique à elle-même
après propagation sur un tour de cavité (2kL = 2mπ).
J-M Courty
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159
15.5. Interférences à ondes multiples
Fig. 15.12.: Fonction d’Airy donnant la transmission d’un Fabry-Perot
Les pics de transmission sont d’autant plus fins que R est plus proche de
1. Dans le cas où R1 = R2 = R, le dénominateur peut s’écrire aussi (1 − R)2 +
2R (1 − cos Φ) = (1 − R)2 + 4R sin2 Φ2 , avec 2kL = Φ. TF P est divisé par 2 si D
2
est multiplié par 2 soit 4R sin2 Φ2 = (1 − R)2 , donc sin2 Φ2 = (1−R)
4R . Dans le
cas où R ≈ 1 (miroirs très réfléchissants), on pose Φ = 2mπ + ϕ, où ϕ est
2
2
petit. Donc ϕ2 ≈ (1−R)
4R . Les points où TF P est divisé par 2 correspondent
√
donc à Φ = 2mπ ± (1−R)
.
R
On caractérise traditionnellement un Fabry-Pérot par sa finesse F qui est
le rapport de l’intervalle entre deux
pics
à la largeur de ces pics. Le calcul
1−R
précédent donne donc : F = 2π/ 2 √R , soit
√
π R
F =
1−R
Avec des miroirs métalliques de bonne qualité, R = 0, 9 , donc F = 30.
Avec des miroirs à couches multidiélectriques, R = 0, 99, donc F ≈ 300. Avec
des miroirs spéciaux ”superpolis”, R = 0, 9999, donc F ≈ 30 000. Le record
actuel est F ≈ 1 000 000 (R ≈ 1 − 2 × 10−6 ).
Enfin, au maximum de transmission, lorsque 2kL = 2mπ, l’intensité à
l’intérieur de la cavité du Fabry-Perot, à une distance x du miroir M1 , vaut,
dans le cas R1 = R2 = R = 1 − T :
2
I (x) = E1 eikx + E2 e−ikx =
2
4Iin
Iin ikx
sin2 kx
e − r2 e−ikx ≈
1−R
1−R
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160
15. Dispositifs interférométriques
lorsque r2 ≈ 1. Il s’agit d’une onde stationnaire résonnante, avec des noeuds
et des ventres d’intensité, dont l’intensité à un ventre peut être beaucoup
plus grande que l’intensité incidente, par un facteur 40, 4 × 104 ou 2 × 106 pour
les exemples précédents.
J-M Courty
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