Simulation de l`imagerie en lumière polarisée: Application à l`étude

Simulation de l’imagerie en lumière polarisée :
Application à l’étude de l’architecture des ”fibres” du
myocarde humain
Paul Audain Desrosiers
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Paul Audain Desrosiers. Simulation de l’imagerie en lumière polarisée : Application à l’étude
de l’architecture des ”fibres” du myocarde humain. Imagerie médicale. INSA de Lyon, 2014.
Français. <NNT : 2014ISAL0046>. <tel-01165036>
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Année 2014
THÈSE
Présentée devant
L’Institut National des Sciences Appliquées de Lyon
Pour obtenir
LE GRADE DE DOCTEUR
ECOLE DOCTORALE: ÉLECTRONIQUE, ÉLECTROTECHNIQUE, AUTOMATIQUE
FORMATION DOCTORALE : SCIENCES DE L‟INFORMATION, DES DISPOSITIFS ET
DES SYSTEMES
par
DESROSIERS Paul Audain
Simulation de l’imagerie en lumière polarisée : application à l'étude de l'architecture des
« fibres » du myocarde humain
Soutenue le 21/05/2014
Jury :
Patricia SEGONDS
Professeur, Université de Grenoble
Rapporteur
Su RUAN
Professeur, Université de Rouen
Rapporteur
Pierre CROISILLE
Professeur, Praticien Hospitalier
Examinateur
CHU St-Etienne
Pierre-Simon JOUK
Professeur, Praticien Hospitalier
Examinateur
CHU de Grenoble
Yuemin ZHU
Directeur de Recherche CNRS
Directeur de thèse
Yves USSON
Directeur de Recherche CNRS
Co-directeur de thèse
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INSA Direction de la Recherche -Ecoles Doctorales - Quinquennal 2011-2015
SIGLE
ECOLE DOCTORALE
CHIMIE DE LYON
http://www.edchimie-lyon.fr
CHIMIE
Insa : R. GOURDON
E.E.A.
ELECTRONIQUE, ELECTROTECHNIQUE,
AUTOMATIQUE
http://edeea.ec-lyon.fr
Secrétariat : M.C. HAVGOUDOUKIAN
[email protected]
E2M2
EVOLUTION, ECOSYSTEME,
MICROBIOLOGIE, MODELISATION
http://e2m2.universite-lyon.fr
Insa : H. CHARLES
INTERDISCIPLINAIRE SCIENCES-SANTE
http://www.ediss-lyon.fr
EDISS
Sec : Samia VUILLERMOZ
Insa : M. LAGARDE
INFORMATIQUE ET MATHEMATIQUES
http://infomaths.univ-lyon1.fr
INFOMATHS
Sec : Renée EL MELHEM
Matériaux
MEGA
M. Jean Marc LANCELIN
Université de Lyon – Collège Doctoral
Bât ESCPE
43 bd du 11 novembre 1918
69622 VILLEURBANNE Cedex
Tél : 04.72.43 13 95
[email protected]
M. Gérard SCORLETTI
Ecole Centrale de Lyon
36 avenue Guy de Collongue
69134 ECULLY
Tél : 04.72.18 65 55 Fax : 04 78 43 37 17
[email protected]
Mme Gudrun BORNETTE
CNRS UMR 5023 LEHNA
Université Claude Bernard Lyon 1
Bât Forel
43 bd du 11 novembre 1918
69622 VILLEURBANNE Cédex
Tél : 06.07.53.89.13
e2m2@ univ-lyon1.fr
M. Didier REVEL
Hôpital Louis Pradel
Bâtiment Central
28 Avenue Doyen Lépine
69677 BRON
Tél : 04.72.68.49.09 Fax :04 72 68 49 16
[email protected]
Mme Sylvie CALABRETTO
Université Claude Bernard Lyon 1
INFOMATHS
Bâtiment Braconnier
43 bd du 11 novembre 1918
69622 VILLEURBANNE Cedex
Tél : 04.72. 44.82.94 Fax 04 72 43 16 87
[email protected]
MATERIAUX DE LYON
http://ed34.universite-lyon.fr
Secrétariat : M. LABOUNE
PM : 71.70 –Fax : 87.12
Bat. Saint Exupéry
[email protected]
M. Jean-Yves BUFFIERE
INSA de Lyon
MATEIS
Bâtiment Saint Exupéry
7 avenue Jean Capelle
69621 VILLEURBANNE Cedex
Tél : 04.72.43 83 18 Fax 04 72 43 85 28
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MECANIQUE, ENERGETIQUE, GENIE CIVIL, ACOUSTIQUE
http://mega.ec-lyon.fr
M. Philippe BOISSE
INSA de Lyon
Laboratoire LAMCOS
Bâtiment Jacquard
25 bis avenue Jean Capelle
69621 VILLEURBANNE Cedex
Tél : 04.72 .43.71.70 Fax : 04 72 43 72 37
[email protected]
Secrétariat : M. LABOUNE
PM : 71.70 –Fax : 87.12
Bat. Saint Exupéry
[email protected]
ScSo*
http://recherche.univ-lyon2.fr/scso/
ScSo
NOM ET COORDONNEES DU RESPONSABLE
Sec : Viviane POLSINELLI
Brigitte DUBOIS
Insa : J.Y. TOUSSAINT
M. OBADIA Lionel
Université Lyon 2
86 rue Pasteur
69365 LYON Cedex 07
Tél : 04.78.77.23.86 Fax : 04.37.28.04.48
[email protected]
*ScSo : Histoire, Géographie, Aménagement, Urbanisme, Archéologie, Science politique, Sociologie, Anthropologie
DESROSIERS Paul Audain
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Page I
Abstract
Simulation de l’imagerie en lumière polarisée : application à
l'étude de l'architecture des « fibres » du myocarde humain
Abstract
Most cardiovascular diseases are closely linked to the 3D cardiomyocytes bundles of the human
myocardium. Knowing in detail this architecture allows us to overcome a scientific bottleneck on the
complex spatial organization of cardiomyocytes, and offers ways to find appropriate solutions to treat
these diseases. The goal of present thesis is then to develop methods and techniques that allow gaining
insights into the geometric arrangement of cardiomyocytes or cardiomyocytes bundles in the
myocardium.
Due to the birefringent nature of myosin filaments that are found in myocardial cells, the Polarized
Light Imaging (PLI) appears as the only existing method for studying in detail the architecture and
cardiomyocytes bundle orientation in ventricular mass. Myosin filaments react as uniaxial birefringent
crystal; thereby it has been modeled as the uniaxial birefringent crystal. The PLI uses the vibration
properties of light; the photonic and atomic interaction between light and matter can reveal the
structural organization and the 3D cardiomyocytes orientation of the myocardium. The present work is
based on modeling the behavior of the light after passing through a cardiomyocytes bundle. Thus, a
volume 100 × 100 × 500 μm3 has been decomposed in a number of cubic elements which are
equivalent to cardiac cells of diameter of 20 microns. The volume was studied under different
conditions to emulate the organization of cardiomyocytes in different regions in human myocardium:
isotropic region, heterogeneous region, region with cardiomyocytes bundle crossing. The results
showed that the behavior of the volume changes according to the spatial arrangement of
cardiomyocytes within the volume. Through an analytical model developed using simulation, it has
been possible to know the 3D orientation of cardiomyocytes at any region throughout the volume. This
model has been implemented in software as a plugin. Then, it has been validated with the pillars of
atrio-ventricular valves by comparing the curves obtained by numerical simulation with those obtained
in the experimental phases. Moreover, it has been possible to measure the 3D orientation of
cardiomyocytes bundles within the pillars. After validation, the model was applied to an entire human
healthy heart. Then, we extracted the mapping of the 3D orientations (azimuth angle, elevation angle)
of cardiomyocytes bundles, as well as the mapping of the homogeneity levels of the entire
myocardium. The developed mathematical tools have validated the measures and empirical methods of
Jouk et al.
For a qualitative comparison of the 3D orientation measurements obtained with the PLI and Magnetic
Resonance Imaging (MRI), the healthy human heart of a 14 month old child was extracted at autopsy,
then fixed in formalin, and finally imaged by MRI and PLI. Despite the low spatial resolution of MRI
images, the results showed that the 3D orientations of cardiomyocytes bundles measured from these
two imaging methods appeared almost identical.
DESROSIERS Paul Audain
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Page II
Résumé
Résumé
La plupart des maladies cardio-vasculaires sont étroitement liées à l‟architecture 3D des faisceaux de
cardiomyocytes du myocarde humain. Connaitre en détail cette architecture permet de lever un verrou
scientifique sur l‟organisation spatiale complexe des faisceaux de cardiomyocytes, et offre des pistes
pour trouver des solutions pertinentes permettant de guérir ces maladies. Ainsi, les méthodes et
techniques qui sont développées dans cette thèse permettront d‟avoir une idée détaillée sur
l‟organisation spatiale des cardiomyocytes.
A cause de la nature biréfringente des filaments de myosine qui se trouvent dans les cellules
cardiomyocyte, l‟Imagerie en Lumière Polarisée (ILP) se révèle comme la seule méthode existante
permettant d‟étudier en détail, l‟architecture et l‟orientation des faisceaux de cardiomyocytes au sein
de la masse ventriculaire. Les filaments de myosine se comportent comme des cristaux uni-axiaux
biréfringents, ce qui permet de les modéliser comme les cristaux uni-axiaux biréfringents. L‟ILP
exploite les propriétés vibratoires de la lumière car l‟interaction photonique et atomique entre la
lumière et la matière permet de révéler l‟organisation structurelle et l‟orientation 3D des
cardiomyocytes. Le présent travail se base sur la modélisation des différents comportements de la
lumière après avoir traversé des faisceaux de cardiomyocytes. Ainsi, un volume 100×100×500 µm3 a
été décomposé en plusieurs éléments cubiques qui représentent l'équivalent de l'intersection des
cellules de diamètre de 20 µm chacune. Le volume a été étudié dans différentes conditions imitant
l‟organisation 3D des cardiomyocytes dans différentes régions du myocarde : région isotrope
(homogène), région isotrope hétérogène, région de croisement des faisceaux de cardiomyocytes. Les
résultats montrent que le comportement du volume change suivant l‟arrangement spatial des
cardiomyocytes à l‟intérieur du volume. Grâce à un modèle analytique développé à l‟aide des
simulations, il a été possible de connaitre en tout point, l‟orientation 3D des cardiomyocytes dans tout
le volume. Ce modèle a été implémenté dans un greffon logiciel. Puis, il a été validé avec les piliers
des valves auriculo-ventriculaire en comparant les courbes obtenues en simulation numérique à celles
obtenues dans la phase expérimentale. De plus, il a été possible de mesurer l‟orientation 3D des
faisceaux de cardiomyocytes à l‟intérieur du pilier. Après cette validation, le modèle a été utilisé sur
un cœur humain (sain) en entier. Puis, nous avons extrait les cartographies des orientations 3D (angle
azimut, angle d‟élévation) des cardiomyocytes, ainsi que la cartographie des niveaux d‟homogénéité
du myocarde en entier. Le développement des outils mathématiques robustes a permis de valider les
mesures et les méthodes empiriques de Jouk et al.
Pour une confrontation qualitative des mesures de l‟orientation 3D obtenues en ILP avec celles en
Imagerie par Résonance Magnétique (IRM), un cœur humain sain d‟un enfant de 14 mois a été prélevé
lors de l‟autopsie, fixé dans du formol, puis imagé en entier par IRM puis en ILP. Malgré la faible
résolution des images en IRM, les résultats obtenus montrent que les mesures de l‟orientation 3D des
cardiomyocytes issues de ces deux méthodes d‟imageries se révèlent quasiment identiques.
DESROSIERS Paul Audain
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Page III
Remerciements
Remerciements
Je tiens à remercier Monsieur Yuemin Zhu (directeur de thèse, directeur de recherche CNRS) pour la
confiance qu‟il a placée en moi en m‟acceptant dans son laboratoire de recherche (CREATIS de INSA Lyon). Je
lui suis également reconnaissant pour sa disponibilité, ses discussions instructives sur le sujet de la thèse. Car,
ses qualités pédagogiques et scientifiques m‟ont permis d‟aboutir à ce travail.
Je tiens à remercier Monsieur Yves Usson (co-directeur de thèse, directeur de recherche CNRS) avec
qui j‟ai passé beaucoup plus de temps, il m‟a accueilli pendant ces trois ans dans son laboratoire de recherche
(TIMC-IMAG de Grenoble, équipe DyCTiM). Il m‟a aussi encadré, guidé, conseillé, encouragé, et était toujours
disponible pour des discussions scientifiques sur la thèse. Son expertise, ses qualités pédagogiques et
scientifiques m‟ont permis d‟avancer à grand pas vers la réussite de cette thèse.
Un remerciement spécial à Madame Patricia Segonds (Professeur à l‟université Joseph Fourrier de
Grenoble), et Madame Su Ruan (Professeur à l‟université de Rouen) qui m‟ont fait l‟honneur d‟être les
rapporteurs de ma thèse.
Je tiens à remercier Monsieur Pierre-Simon Jouk (Professeur à l‟université Joseph Fourrier de
Grenoble) pour son soutien, et ses rayons lumineux qu‟il m‟a apporté durant ses trois ans sur le sujet de la thèse.
Je tiens à remercier Monsieur Pierre Croisille (Professeur à l‟université de St-Etienne) qui m‟a apporté
son soutien dans les données du myocarde humain en IRM.
Je remercie particulièrement Madame Gabrielle Michalowicz qui m‟a apporté son soutien, son expertise
dans le domaine de la biologie, dans les échantillons de travail et aussi dans la lecture de la thèse.
Je remercie cordialement Arnold Fertin, Arnaud Chauvière, Marie-Paule MontMasson, Hamel Malika,
Paulette Souillard, Angélique Stéphanou, tous les autres collègues de l‟équipe DyCTiM, tous ceux du laboratoire
CREATIS, tout le personnel de l‟INSA de Lyon, et le professeur Mohamed Daoudi de l‟équipe FOX-MIIRE de
Telecom Lille 1. Je remercie également mes compagnons de cantine, Olivier Pedano, Noureddine Laieb et
Rhéda Héus.
Je remercie Laurent Debove IE, laboratoire 3SR, (Domaine Universitaire de Saint Martin d'Hères) et les
techniciens de l'atelier de mécanique du laboratoire LiPHY, (Domaine Universitaire de Saint Martin d'Hères)
pour l‟aide qu‟ils nous ont apporté à la conception et la construction du prototype d'analyse d'images en lumière
polarisée.
Je voudrais également remercier Guillaume et les techniciens du laboratoire d‟anatomie pathologique du
Centre Hospitalier Universitaire (CHU) qui ont préparé les échantillons biologiques.
Je tiens à remercier la Région Rhône Alpes, qui a placé leur confiance en moi, en finançant cette thèse
sur les trois ans.
Un remerciement tout particulier à Darline Fréjuste, qui m‟a beaucoup soutenue durant cette thèse, ses
conseils, et ses encouragements m‟ont donnés la force d‟avancer à grand pas vers la réussite.
Mes sincères remerciements s‟adressent également à tous mes amis, Schamma Clerveau, Ronald
Désilien, Cesar Roosevelt, Lefruit James Douglass, et toutes les personnes qui de près ou de loin m‟ont aidé à
progresser dans mes travaux de thèse.
Un remerciement spécial également à ma mère chérie, mon grand frère, et à ma grande sœur qui m‟ont
soutenu tout au long de ma thèse. Puis, une énorme pensée pleine d‟amour à CELLE qui malheureusement ne
lira sans doute jamais cette thèse.
Arrivant au terme de ce travail de thèse, qu‟il me soit permis de remercier et d‟exprimer toute ma
gratitude envers mon Dieu et Son Fils Jésus Christ.
DESROSIERS Paul Audain
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Page IV
Remerciements
En mémoire de ma grande sœur chérie
Marie Solange DESROSIERS COMPERE (27/07/66-13/01/10)
DESROSIERS Paul Audain
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Page V
Cadre du travail, « thèse financée par la région Rhône Alpes, projet CIBLE 2010-2013 »
Cadre du travail
La complexité de l‟architecture du myocarde humain a soulevé beaucoup de questions en
cardiologie car les maladies cardio-vasculaires sont étroitement liées à la distribution spatiale des
cardiomyocytes au sein du myocarde. La plupart des techniques d‟imagerie actuelles ne permet pas
d‟avoir des résultats satisfaisants à l‟exception de l‟ILP. Le laboratoire CREATIS à l‟INSA de Lyon
est spécialisé dans les acquisitions des images IRM, DTI, et Ultra-son. Leurs travaux sont basés sur le
développement des algorithmes de suivi des faisceaux de cardiomyocyte au sein du myocarde humain
en IRM ou DTI. La technique de l‟IRM est basée sur la diffusion des molécules d‟eau à l‟intérieur de
myocarde humain. Cependant, il n‟y pas de preuve formelle pour faire la corrélation avec l‟orientation
des faisceaux de cardiomyocytes à l‟intérieur du myocarde humain. Cette technique d‟imagerie (IRM)
n‟a pas été confrontée à une autre technique d‟imagerie qui maitrise directement et parfaitement
l‟orientation des faisceaux de cardiomyocytes à l‟intérieur du myocarde. Le laboratoire TIMC-IMAG
de Grenoble (équipe DyCTiM) est spécialisé dans l‟utilisation des propriétés vibratoires de la lumière
pour extraire des informations de l‟orientation 3D des cardiomyocytes au sein du myocarde humain.
Cependant, les mesures et les méthodes optiques pour déterminer l‟orientation 3D des faisceaux de
cardiomyocytes étaient totalement empiriques. De ce fait, un besoin d‟outils mathématiques robustes
se fait sentir. Dans le but de connaitre en détail l‟architecture et l‟orientation 3D des cardiomyocytes
au sein de la masse ventriculaire, les deux équipes se réunissaient autour d‟un projet CIBLE financé
par la région Rhône Alpes sous la forme d‟une bourse pour soutenir la présente thèse.
Dans la première partie du projet CIBLE, il a été prévu de développer des outils mathématiques
robustes pour extraire les informations tridimensionnelles de l‟orientation des cardiomyocytes en
chaque région du myocarde humain. Notre travail a été consacré à l‟électronique du banc optique, la
programmation en C/C++ du banc optique, la qualification des instruments optique, la modélisation
numérique d‟un volume de myocarde. Puis, nous avons développé un modèle analytique robuste pour
exploiter les propriétés vibratoires de la lumière après avoir traversé un faisceau de cardiomyocytes.
L‟élaboration de ces outils mathématiques robustes pour le traitement des images nous a permis
d‟explorer chaque région du myocarde et l‟orientation 3D des cardiomyocytes. Le modèle analytique
développé a été validé sur les piliers des valves auriculo-ventriculaire.
Dans la second partie du projet, il a été aussi prévu de donner une validation qualitative des mesures
faites en IRM par celle d‟ILP. Cette validation passe par une confrontation qualitative de ces deux
méthodes d‟imagerie. Ainsi, un cœur humain sain a été imagé en IRM puis en ILP. Pour finir, nous
avons réalisé une confrontation qualitative des mesures de l‟orientation 3D des cardiomyocytes issues
des deux techniques d‟imagerie (IRM, ILP).
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Page VI
Liste des symboles
Liste des symboles
: Angle de rotation du couple polariseur et analyseur croisés
: Angle de rotation du polariseur
: Angle de rotation de l‟analyseur
: Angle de rotation des lames quart d‟onde, et polariseur circulaire
: Retard de phase
: Déphase de l‟onde en
: Déphasage de l‟onde en
: Angle d‟azimut
: Angle d‟élévation
Ellipticité
Epsilon, valeur très proche de zéro
: Excentricité
: Grand axe de l‟ellipse
: Petit axe de l‟ellipse
: Epaisseur
: Indice de réfraction de la lumière
: Indice de réfraction du rayon ordinaire
: Indice de réfraction du rayon extraordinaire
: Vecteur de stokes
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Page VII
Liste des symboles
: Rapport gyromagnétique.
: Moment cinétique
: Horizontale
: Verticale
: Circulaire droite
: Circulaire gauche
⟨ ⟩ : Moyenne temporelle
: insisté de la lumière
: Intensité initial de la lumière
: Transmission maximum
: Transmission minimum
: Temps de parcourt de l‟onde en seconde
: vitesse de la lumière
: Niveau de gris maximum
: Niveau de gris minimum
: Biréfringence d‟un matériau optique uni-axial
: Taux de transmission
: Vecteur d‟onde
: Longueur d‟onde de la lumière
Facteur correcteur
Différence de marche du faisceau lumineux
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Page VIII
Liste des symboles
: Pulsation
: Lame quart d‟onde
: Polarisation
: Lumière polarisée
: Polarisation droite ou gauche
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Page IX
Résumé des chapitres
Résumé des chapitres
Chapitre 1 : Anatomie du cœur humain
Ce chapitre décrit de façon sommaire les notions de l‟anatomie et la physiologie du cœur
humain. Il décrit également la complexité du myocarde humain, ainsi que la problématique sur
l‟orientation 3D des cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire.
Chapitre 2 : Matériels et Méthodes
Définition des différentes méthodes d‟imagerie (IRM : Imagerie par Résonance Magnétique,
ILP : Imagerie en Lumière Polarisée) utilisées pour l‟exploitation du myocarde humain. Ce chapitre
décrit le protocole de préparation des échantillons biologiques pour l‟exploitation de la biréfringence
du myocarde humain en ILP, et présente également les méthodes et logiciels qui seront utilisés pour
mener à bien cette étude.
Chapitre 3 : Méthodes Optiques
Dans ce chapitre, nous présenterons les méthodes optiques qui seront utilisées pour exploiter
la nature vibratoire de la lumière, ainsi que ces différents états de polarisation. Nous décrirons les
vecteurs de Stokes, les formalismes de Jones, de Mueller, et la sphère de Poincaré. Cependant, nous
focaliserons sur la matrice de Mueller ainsi que le vecteur de Stokes pour la mesure de l‟intensité de la
lumière polarisée. La robustesse de la matrice de Mueller nous permettra de mesurer en chaque région
du myocarde humain l‟orientation 3D des cardiomyocytes ainsi que leur niveau d‟homogénéité.
Chapitre 4 : Banc Optique
Avant de commencer dans la simulation décrit dans le chapitre 5, il est nécessaire de faire une
description détaillée du banc optique que nous allons utiliser pour exploiter la nature biréfringente du
myocarde humain. Puis, nous réaliserons la qualification des éléments du banc optique. Ainsi, toutes
nos mesures seront faites avec les équipements ainsi qualifiés.
Chapitre 5 : Simulations numériques
Après la qualification des éléments optique décrit dans le chapitre 6. Nous allons utiliser la matrice de
Mueller pour représenter chaque élément du banc optique. Grâce à la matrice de Mueller, la
combinaison de ces éléments optique montée en cascade sera simulée sous GNU/Octave. Ce chapitre
va nous permettre d‟étudier, d‟analyser, et modéliser le comportement d‟un volume simulé de
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Page X
Résumé des chapitres
myocarde de 100×100×500 µm3 entre polariseur et analyseur croisés. Ce volume de 100×100×500
µm3 sera décomposé en plusieurs éléments cubiques qui représentent l'équivalent de l'intersection des
cellules de diamètre de 20 µm chacune. Il sera étudié dans différentes conditions imitant l‟organisation
des faisceaux de cardiomyocytes dans différentes régions du myocarde : région isotrope, région
isotrope hétérogène, région de croisement des faisceaux.
La mesure des angles d‟azimut sera découplée de celle des angles d‟élévation du volume. Avec la
simulation, il sera aussi possible de connaître : l‟orientation des angles azimut ( ) et des angles
élévation ( ), l‟intensité ( ) de la lumière polarisé transmise à travers chaque voxel, et le niveau
d‟homogénéité ( ) du volume simulé. Puis, un modèle analytique sera ainsi présenté. Par un
ajustement des moindres carrés non linéaire, il sera possible d‟ajuster le modèle avec les courbes qui
seront définis dans ce chapitre. Puis, nous présenterons les méthodes d‟extraction des paramètres
(
) du modèle, ainsi que les techniques utilisées pour extraire l‟angle d‟élévation du volume. Les
paramètres (
) seront obtenus en ajustant le modèle défini avec les équations qui seront décrites
plus tard. Puis, le modèle analytique sera implémenté dans un greffon logiciel pour extraction pixel
par pixel les paramètres (
) dans les acquisitions d‟image en lumière polarisée.
Chapitre 6 : Expérimentations
Ce chapitre présente la validation du modèle analytique proposée dans le chapitre 5. Pour
valider le modèle, nous choisirons les piliers des valves auriculo-ventriculaire en raison de leur haut
niveau d‟homogénéité. Puis, une pile d‟images sera capturée entre polariseur et analyseur croisé et
traité sur ImageJ. Cette pile d‟image nous permettra de tracer le profil d‟intensité de la lumière
polarisée transmise à travers le pilier, puis mesurer l‟angle d‟azimut du pilier. Les courbes obtenues
seront comparées avec celles de la simulation numérique dans les mêmes conditions optiques. Ensuite,
nous allons extraire les cartographies de l‟orientation des angles d‟azimut, des angles d‟élévation, et le
niveau d‟homogénéité des cardiomyocytes dans les piliers. Ainsi, nous pouvons valider les simulations
numériques, et les modèles qui seront développés.
Chapitre 7 : Etude du cœur en entier
Dans ce chapitre, nous mettrons en œuvre les outils déjà développés dans le chapitre 6 pour
l‟exploitation de l‟orientation 3D des cardiomyocytes dans toute la masse ventriculaire. Ainsi, un cœur
fœtal sain de 33 semaines d‟aménorrhée sera analysé entre polariseur et analyseur croisés. Dans ce
chapitre nous décrirons:
a) la distribution de l‟angle d‟élévation dans la masse ventriculaire par des cartographies
b) la distribution de l‟angle d‟azimut dans la masse ventriculaire par des cartographies
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Résumé des chapitres
c) le niveau d‟homogénéité du myocarde pixel par pixel par des cartographies
Ces cartographies nous permettront de connaitre en détail l‟architecture et le comportement des
cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire.
Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
Ce chapitre propose une confrontation qualitative des mesures de l‟orientation 3D (angle
azimut, angle d‟élévation) des cardiomyocytes obtenues en IRM, avec celles en ILP. Pour la
réalisation de cette confrontation, nous utiliserons un cœur sain autopsie d‟un enfant de 14 mois
décédé de façon inexpliquée. Le cœur sera imagé en IRM puis en ILP selon le protocole décrit dans le
chapitre 2. On tiendra compte de la définition des angles d‟azimut et celle des angles d‟élévation sur la
demi-sphère. A cause de la limitation du banc optique pour la définition des angles d‟élévation sur la
demi-sphère, nous proposerons une méthode algébrique qui permettra de résoudre ce problème. On
s‟assurera que les deux cartographies (IRM, ILP) seront définies dans le même référentiel.
Chapitre 9 : Perspective et Conclusion.
Dans ce chapitre, nous ferons une synthèse de tout ce qui a été présenté dans les chapitres
précédent, puis nous présenterons les perspectives ainsi que la conclusion générale.
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Page XII
Table des matières
Table des matières
Folio Administrative.............................................................................................................................. .I
Abstract .................................................................................................................................................. II
Résumé ................................................................................................................................................. III
Remerciements..................................................................................................................................... IV
Cadre du travail................................................................................................................................... VI
Liste des symboles .............................................................................................................................. VII
Résumé des chapitres ........................................................................................................................... X
Chapitre 1 : Anatomie du cœur humain ............................................................................................. X
Chapitre 2 : Matériels et Méthodes .................................................................................................... X
Chapitre 3 : Méthodes Optiques ......................................................................................................... X
Chapitre 4 : Banc Optique .................................................................................................................. X
Chapitre 5 : Simulations numériques ................................................................................................. X
Chapitre 6 : Expérimentations ........................................................................................................... XI
Chapitre 7 : Etude du cœur en entier ................................................................................................. XI
Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP ............................................................................................ XII
Chapitre 9 : Perspective et Conclusion. ............................................................................................ XII
Chapitre 1............................................................................................................................................... 1
1.1
Introduction ........................................................................................................................... 2
1.2
Généralités ............................................................................................................................. 2
1.3
Fonctionnement du cœur humain ........................................................................................ 4
1.3.1
Activité électrique du cœur ............................................................................................. 5
1.3.2
Les artères cardiaques...................................................................................................... 7
1.3.3
Les oreillettes ou atria ..................................................................................................... 7
1.3.4
Les valves cardiaques ...................................................................................................... 8
1.3.5
Les ventricules ................................................................................................................. 8
1.3.6
Le septum inter-ventriculaire .......................................................................................... 9
1.3.7
Apex .............................................................................................................................. 10
1.4
Problématique du myocarde humain ................................................................................ 11
Chapitre 2............................................................................................................................................. 15
2.1
Méthodes d’imageries du cœur .......................................................................................... 16
2.1.1
Méthode invasive........................................................................................................... 16
2.1.2
Méthode non invasive.................................................................................................... 16
2.1.3
IRM (méthode non invasive) ......................................................................................... 16
2.1.4
Lumière polarisée (méthode invasive) .......................................................................... 17
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Table des matières
2.2
Préparation inclusions Méthyl Méthacrylate (MMA) cœur et Piliers ............................ 17
2.2.1
Préparation du cœur entier............................................................................................. 18
2.2.2
Préparation des piliers ................................................................................................... 20
2.3
Banc optique ........................................................................................................................ 21
2.4
Logiciels ................................................................................................................................ 22
2.4.1
Simulation ..................................................................................................................... 22
2.4.2
Acquisition d‟images ..................................................................................................... 22
Chapitre 3............................................................................................................................................. 24
3.1
Principes optiques................................................................................................................ 25
3.1.1
Lumière polarisée .......................................................................................................... 25
3.1.2
Biréfringence ................................................................................................................. 29
3.1.3
Axe optique ................................................................................................................... 31
3.1.4
Polariseurs ..................................................................................................................... 31
3.2
Formalisme........................................................................................................................... 33
3.2.1
Paramètre de Stokes ...................................................................................................... 33
3.2.2
Formalisme de Jones ..................................................................................................... 38
3.2.3
Sphère de Poincaré ........................................................................................................ 40
3.2.4
Formalisme de Mueller.................................................................................................. 41
3.2.5
Faisabilité physique de la matrice de Mueller ............................................................... 42
3.2.6
Composant optique de polarisation ............................................................................... 43
3.2.7
Dichroïsme : .................................................................................................................. 43
3.2.8
Polarisance..................................................................................................................... 46
3.2.9
Déphaseur ...................................................................................................................... 47
3.2.10
Milieu dépolarisant et non-dépolarisant ........................................................................ 49
3.2.11
Décomposition de la Matrice de Mueller ...................................................................... 50
Chapitre 4............................................................................................................................................. 55
4.1 Constitution du banc optique ................................................................................................... 56
4.1.1
Description .................................................................................................................... 56
4.1.2
Montage ......................................................................................................................... 56
4.2
Qualification......................................................................................................................... 58
4.2.1
Source lumineuse........................................................................................................... 58
4.2.2
Polariseur/Analyseur linéaire ........................................................................................ 61
4.2.3
Rotation des moteurs ..................................................................................................... 63
4.2.4
Lames quart d‟onde ....................................................................................................... 65
4.2.5
Caméras d‟acquisitions.................................................................................................. 69
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Table des matières
Chapitre 5............................................................................................................................................. 73
5.1
Objet uni-axial biréfringent entre le couple polariseur et analyseur croisés ................. 74
5.2
Méthode analytique ............................................................................................................. 77
5.3
Introduction d’un volume de 100x100x500 µm3 ............................................................... 80
5.3.1
Volume homogène : cardiomyocytes parallèles ............................................................ 80
5.3.2
Variation de l‟angle d‟azimut du volume de 0 à 90 degrés entre le couple polariseurs et
analyseurs croisés. ......................................................................................................................... 80
5.3.3
Découplage de la mesure de l‟angle d‟azimut de celle de l‟angle d‟élévation dans le
banc optique .................................................................................................................................. 84
5.3.4
Mesure entre polariseurs linéaires et lames quart d‟onde, mesure de l‟azimut à élévation
constante. ....................................................................................................................................... 85
5.3.5
Mesure entre polariseurs linéaires et lames quart d‟onde, mesure de l‟angle d‟élévation
à azimut constant. .......................................................................................................................... 87
5.3.6
Simulation d‟un volume hétérogène : Angle solide de dispersion ................................ 88
5.3.7
Simulation d‟un volume hétérogène : croisement de deux populations de
cardiomyocytes .............................................................................................................................. 93
5.4
Présentation d’un modèle analytique pour extraire l’orientation des cardiomyocytes en
lumière polarisée............................................................................................................................ 100
5.4.1
Ajustement du modèle avec le volume homogène simulé........................................... 100
5.4.2
Ajustement du modèle avec le volume non homogène simulé.................................... 101
5.4.3
Extraction des paramètres du modèle (
)............................................................ 102
Chapitre 6........................................................................................................................................... 107
6.1
Validation du modèle mathématique par une étude des muscles papillaires des valves
auriculo-ventriculaires .................................................................................................................. 108
6.1.1
Etude de l‟orientation des cardiomyocytes dans chaque voxel ................................... 108
6.1.2
Variation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise dans un voxel pour un azimut
de 0 degré .................................................................................................................................... 108
6.1.3
Intensité de la lumière polarisée transmise dans le pilier orienté à un angle d‟azimut de
45 degrés par rapport au polariseur ............................................................................................. 110
6.1.4
Extension de l‟angle d‟azimut du pilier jusqu‟à 180 degrés........................................ 113
6.1.5
Analyse de la différence de chemin optique dans les piliers des valves auriculoventriculaires ............................................................................................................................... 115
6.1.6
6.2
Cartographies des piliers ............................................................................................. 117
Croisement des cardiomyocytes par superposition de deux piliers .............................. 120
Chapitre 7........................................................................................................................................... 127
7.1
Etude d’un cœur en entier ................................................................................................ 128
7.2
Cartographie de l’orientation du myocarde humain ..................................................... 132
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Table des matières
7.2.1
Extraction de la cartographie du niveau d‟homogénéité du myocarde humain :
paramètre ( ) ............................................................................................................................... 132
7.2.2
Cartographie de l‟angle d‟élévation : paramètre
7.2.3
Cartographie de l‟angle d‟azimut : paramètre ( ) ....................................................... 138
7.3
.................................................. 135
Discussion ........................................................................................................................... 140
Chapitre 8........................................................................................................................................... 142
8.1 Principe de l’Imagerie par Résonance Magnétique ............................................................. 143
8.2 Comparaison des cartographies du cœur .............................................................................. 143
8.3. Cartographie IRM vs ILP ..................................................................................................... 143
8.4 Discussion ................................................................................................................................. 155
Chapitre 9........................................................................................................................................... 158
9.1
Synthèse .............................................................................................................................. 159
9.2
Perspectives ........................................................................................................................ 161
9.2.1
Extension de l‟angle d‟élévation du volume de -90 à 90 degrés ................................. 161
9.2.2
Méthode pour obtenir de la matrice de Muller d‟un échantillon de cœur ................... 161
9.2.3
Conclusion générale .................................................................................................... 167
Annexe ................................................................................................................................................ 168
Expression analytique du calcul de l’angle d’élévation dans le volume ....................................... 174
Calcul approché de l’intensité de la lumière polarisée transmise
........................................... 174
Journal................................................................................................................................................ 181
Conference ......................................................................................................................................... 181
Bibliographies .................................................................................................................................... 182
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Première partie
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Chapitre 1 : Introduction
Chapitre 1
Anatomie du cœur humain
Chapitre 1.................................................................................................................................. 1
1.1
Introduction ............................................................................................................... 2
1.2
Généralités .................................................................................................................. 2
1.3
Fonctionnement du cœur humain ............................................................................ 4
1.3.1
Activité électrique du cœur .................................................................................. 5
1.3.2
Les artères cardiaques .......................................................................................... 7
1.3.3
Les oreillettes ou atria .......................................................................................... 7
1.3.4
Les valves cardiaques ........................................................................................... 8
1.3.5
Les ventricules ...................................................................................................... 9
1.3.6
Le septum inter-ventriculaire ............................................................................... 9
1.3.7
Apex ................................................................................................................... 10
1.4
Problématique du myocarde humain .................................................................... 11
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Chapitre 1 : Introduction
1.1 Introduction
1.2 Généralités
Selon l‟Organisation Mondiale de la Santé (OMS), les maladies cardiovasculaires sont la
première cause de mortalité dans le monde. D‟ici 2030, près de 23 millions de personnes mourront
d‟une maladie cardio-vasculaire. Parmi les maladies cardiovasculaires existant, on peut citer : les
cardiopathies coronariennes, les malformations congénitales, infarctus, etc…
Pour comprendre et analyser le développement des maladies cardio-vasculaire au sein du myocarde
humain, il est nécessaire de connaitre l‟architecture du myocarde humain, c'est-à-dire l‟orientation 3D
des cardiomyocytes et des faisceaux de cardiomyocytes (souvent qualifiés de fibre par abus de
langage) en chaque région au sein de la masse ventriculaire.
Le myocarde humain est un muscle très complexe. Sa complexité ne permet pas d‟utiliser n‟importe
quelles techniques d‟imagerie pour étudier sa structure.
Selon Jouk et al. les filaments de myosine (protéine qui joue un rôle primordial dans les contractions
musculaire du cœur) qui se trouvent dans les tissus myocardique possèdent une biréfringence
cristalline et se comportent comme des cristaux uni-axiaux biréfringents. Elles ont les mêmes
caractéristiques physico-chimiques avec les cristaux uni-axiaux biréfringents. A cause de la nature
biréfringente de la myosine, la technique d‟imagerie la plus pertinente permettant de révéler la
structure détaillée du myocarde humain est la lumière polarisée.
Depuis des siècles, les minéralogistes et les géologues utilisent les propriétés vibratoires de la lumière
polarisée (lumière polarisée) pour caractériser, analyser, et étudier les propriétés physico-chimiques de
certains cristaux biréfringents. La nature biréfringente de ces cristaux ouvre une nouvelle ère très
prometteuse dans le monde de la physique. Un simple coup de marteau sur les cristaux permet de les
fractionner en plusieurs petits morceaux de cristaux, qui par la suite sont analysés optiquement grâce à
leur nature biréfringente. Les compositions atomiques et l‟arrangement spatial des atomes des cristaux,
ont permis de les différencier les unes des autres, puisque dans ces cristaux la lumière se propage
beaucoup plus vite que d‟autres. La plupart de ces cristaux sont utilisés dans la fabrication des
polariseurs, des équipements optiques, ou d‟autre d‟application beaucoup plus complexe.
Parallèlement, dans le domaine médical, les biologistes utilisent des agents de contraste pour détecter
la présence d‟une pathologie ou des protéines dans un tissu biologique ou d‟autres choses. Néanmoins,
l‟exploitation de ces agents de contrastes dépend totalement de la technique de l‟imagerie utilisée
(rayon X, IRM, DTI etc…) c‟est l‟un des points faibles de ces modes d‟imageries.
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Page 2
Chapitre 1 : Introduction
L‟imagerie de la lumière polarisée permet d‟exploiter la nature biréfringente des cristaux ou les tissus
biologiques qui ont les mêmes caractéristiques que ces cristaux. En ce sens, plusieurs auteurs ont
utilisé cette technique d‟imagerie pour étudier les tissus biologiques tels que : (Bickel WS, 1976),
(Peter Whittaker, 1989), (Steven L. Jacques, 2000), (Hubertus Axer, 2001), (Luiza Larsen, 2007),
(Pierre-Simon Jouk, 2007), (Jarno Rieppo, 2008), (Wood M. F., 2010), (Jürgen Dammers M. A.,
2010), (MarkusAxer, 2011), (Jürgen Dammers L. B., 2012).
Dans ce manuscrit, nous présenterons des outils mathématiques très robustes qui nous permettront de
connaître en chaque point du myocarde, l‟orientation 3D des cardiomyocytes. Les résultats qui seront
présentés dans ce manuscrit, permettront aux médecins, au chercheurs d‟avoir une idée globale et
détaillée sur l‟orientation des cardiomyocytes et de trouver une solution adéquate pour combattre les
maladies cardiovasculaire, car la plupart de ces maladies sont étroitement liées à l‟architecture des
cardiomyocytes dans le myocarde humain.
Avant de présenter notre modèle mathématique pour l‟exploitation du myocarde humain en entier en
lumière polarisée, il est nécessaire de faire une description sommaire du fonctionnement du cœur
humain adulte. Cependant, pour une meilleure estimation de l‟orientation des cardiomyocytes au cours
de leur développement, les cartographies d‟un cœur fœtal et d‟un cœur post-natal seront présentés et
étudies dans le chapitres 2, 6, 7, 8.
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Chapitre 1 : Introduction
1.3 Fonctionnement du cœur humain
Le cœur humain est un organe creux et musculaire (le muscle du cœur s‟appelle myocarde, du
grec myo : muscle ; et carde : cœur) qui mesure environ 14 à 16 cm de long. Son diamètre varie de 12
à 14 cm. Le cœur se contracte suivant un rythme régulier durant toute une vie. Pour un adulte sain, le
poids du cœur varie entre 250 et 425 grammes. Le cœur est situé dans la région de la cage thoracique
entre les deux poumons, 2/3 à gauche et 1/3 à droite de la ligne médiane. Il est composé de quatre
cavités, deux cavités supérieures (oreillette droite et gauche) et deux cavités inférieures (ventricule
droit et gauche). Son rôle principal est de pomper le sang dans les poumons et dans tout l‟organisme.
Le sang riche en oxygène est distribué dans tout le corps humain à travers les artères, tandis que le
sang pauvre en oxygène est dirigé vers les poumons pour être filtré par ce dernier. Après le filtrage, le
sang devient riche en oxygène et se dirige vers la partie gauche du cœur. Ce mouvement s‟effectue à
l‟infini, sauf dans le cas d‟une pathologie affectant cette partie. Le cœur fonctionne comme une vraie
pompe et obéit aux lois de la mécanique. Le cœur bat environ 60 à 120 fois par minute, et pompe
environ 5 litres de sang par minute soit 8000 litres de sang par jour qui est l'équivalent moyen de
100000 battements cardiaques. Pour un adulte âgé de 70 ans, le cœur a pompé environ 204,5 millions
litres de sang équivalent à 2,55 milliards de battements. Le cœur humain est considéré comme la
meilleure pompe autonome que l‟humanité n‟ait connue. Son fonctionnement dépend de deux
phases qui sont :
a) une phase électrique commandée par le nœud sinusal (Westbury, 1971)
b) une phase mécanique qui dépend des oreillettes et des ventricules (Ohayon, 2001),
(Mourad, 2003).
Pour mieux comprendre le fonctionnement du cœur, il est nécessaire de faire une description
sommaire des différentes parties du cœur, ainsi que leur fonctionnement. Les différentes parties du
cœur sont :
a) le nœud sinusal ou Keith et Flack
b) les artères coronaires et cardiaques
c) les oreillettes
d) les valves cardiaques
e) les ventricules
f) le septum inter-ventriculaire (cloison séparant les deux ventricules)
g) apex (pointe du cœur).
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Chapitre 1 : Introduction
Le mouvement du cœur dépend d‟un groupe de cellules spécialisées appelé le nœud sinusal ou Keith
et Flack qui contrôle l‟activité électrique.
(a)
(c)
(b)
(d)
Figure 1-1: Présentation d‟un massif ventriculaire de cœur humain adulte. Poids 425 grammes. (a) face
postérieure du cœur ; (b) face antérieur du cœur ; (c) base du cœur avec la présence des valves auriculoventriculaire ; (d) Apex ou pointe du cœur.
1.3.1 Activité électrique du cœur
Le nœud sinusal ou de Keith et Flack (1907) est un groupe de cellules péricardiques de 15 mm
de long et 5 mm de large situé sur la paroi supérieure de l'oreillette droite, et forme le système
électrique du cœur souvent appelé cardio-necteur. Ce groupe de cellules est aussi responsable de
l'automatisme cardiaque. Dans un cœur sain, l'impulsion électrique qui enclenche le battement du
muscle cardiaque dépend de ce groupe de cellules qui est souvent appelé le régulateur du rythme
cardiaque. Ainsi, le signal électrique généré par ce groupe de cellules suit un trajet nerveux spécifique
dans le cœur, figure 1-2.
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Page 5
Chapitre 1 : Introduction
Selon le besoin de l'organisme, le nœud sinusal génère un certain nombre de signaux électriques qui
font pomper le cœur à un rythme bien précis (de 60 à 120 battements par minutes) afin que tous les
tissus de l‟organisme reçoivent le sang riche en oxygène. Par exemple, lors d‟une course à pied, le
rythme cardiaque augmente car les cellules du corps réclament beaucoup plus d‟oxygène pour
augmenter leur niveau d‟énergie, donc le nœud sinusal est obligé de générer un plus grand nombre de
signaux pour répondre au besoin de l‟organisme. Le fonctionnement du nœud sinusal est similaire au
rôle que jouent les bougies d'allumage d'un moteur d‟une voiture à essence. Au repos, l‟intérieur de ce
groupe de cellules est chargé négativement, tandis que leur surface est chargée positivement. C‟est la
polarisation de la cellule. Cependant, lorsque la cellule est stimulée, les ions (Na+) de sodium
traversent la membrane cellulaire vers sa surface externe, la membrane est alors chargée négativement
à l‟extérieur et positivement à l‟intérieur. C‟est la dépolarisation. Les signaux de dépolarisation
(potentiel d‟action) ont une fréquence de 60 à 120 Hertz par minute. Au repos, la composition en K+
dans les cellules est trente fois supérieure à celle en Na+ et le potentiel d‟action est environ de -80 à 90 mV.
Figure 1-2 : Le système cardio-necteur d‟après (Netter, 1969), (Petit-Jean, 2003).
L‟impulsion électrique générée par le nœud sinusal se propage de cellule en cellule, de l‟oreillette
droite vers l‟oreillette gauche avec une vitesse de conduction moyenne de 1 m.s -1. Ainsi, l‟onde
électrique se propage très rapidement dans les deux oreillettes comme des vaguelettes créées par une
pierre lancée à la surface de l'eau, et les deux oreillettes se contractent simultanément pour éjecter le
sang. Ces signaux électriques continuent de se propager jusqu‟à atteindre le faisceau de His qui est
formé de cellules appelées pacemaker, figure 1-2. Ces dernières sont de même type que le groupe de
cellules du nœud sinusal, mais battantes à une vitesse inferieure (40 à 50 battements par minutes) par
rapport au nœud sinusal. De ce fait, la conduction à travers ces cellules est environ de 0,5 m.s-1
(Mourad, 2003) ce qui laisse le temps aux oreillettes de se contracter pour pomper le sang dans les
ventricules avant que le potentiel d‟action arrive aux ventricules pour déclencher leur contraction. Le
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Chapitre 1 : Introduction
signal de contraction se propage jusqu'à l'extrémité des deux ventricules grâce au faisceau de His et au
faisceau de Purkinje qui ressemble à des branches d‟arbres qui entourent l‟intérieur des ventricules, et
qui enclenchent la contraction de ces derniers.
Le système de conduction est un vrai stimulateur cardiaque ; il maintient le rythme cardiaque entre 60
et 120 battements par minute.
Parallèlement, les artères cardiaques sont des tuyaux qui apportent le sang dans les oreillettes grâce à
la pulsion électrique générée par le nœud sinusal.
1.3.2 Les artères cardiaques
L'artère aorte est la principale artère de l‟organisme et aussi la plus grosse. Elle part à la base
de l‟oreillette gauche pour terminer dans la partie inferieur de l‟abdomen. Son rôle est de distribuer le
sang riche en oxygène à l‟ensemble de l‟organisme, sauf à la circulation fonctionnelle du poumon.
L‟artère pulmonaire exporte le sang pauvre en oxygène vers les poumons pour être filtrée. Après le
filtrage, ce sang devenu riche en oxygène est injecté dans l‟oreillette gauche.
Les artères coronaires entourent la surface externe du cœur. Leur rôle est de vasculariser le muscle
cardiaque, par conséquent de le nourrir. Ainsi, le sang provenant des artères est aspiré par les
oreillettes ou atria.
1.3.3 Les oreillettes ou atria
Les oreillettes ou atria sont deux cavités postérieures du cœur qui apportent le sang dans les
cavités antérieures du cœur ou ventricules. Elles se contractent simultanément grâce aux signaux
électriques provenant du nœud sinusal pour injecter le sang dans les ventricules. L‟oreillette droite est
souvent considérée comme le lieu de réglage de la fréquence cardiaque. De plus, elle reçoit le sang en
haut à partir de la veine cave supérieure, et en bas par la veine cave inferieure. Son rôle est de recevoir
le sang pauvre en oxygène pour l'injecter dans le ventricule droit à travers la valve tricuspide, tandis
que l'oreillette gauche reçoit le sang riche en oxygène provenant des poumons à travers les veines
pulmonaires, et propulse ce sang dans le ventricule gauche à une vitesse considérable (circulation à
grande vitesse) à travers la valve mitrale.
Le sang est propulsé dans les ventricules et dans le reste de l‟organisme à travers des portes
automatiques, contrôlées par la pression en amont et en aval des chambres cardiaques, ces portes sont
connues sous le nom de valves cardiaques.
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Chapitre 1 : Introduction
1.3.4 Les valves cardiaques
Les valves cardiaques ont pour rôle de laisser passer le sang dans une direction bien précise.
Elles empêchent le sang de refluer dans de mauvaises directions, c'est-à-dire de retourner dans les
oreillettes (valve auriculo ventriculaire) ou dans les ventricules (valves pulmonaire, aortique). Ces
valves cardiaques sont au nombre de quatre, qui sont :
a) valve tricuspide
b) valve mitrale
c) valve aortique
d) valve sigmoïde.
Les valves tricuspide et mitrale sont appelées valves auriculo-ventriculaires. Elles sont situées entre les
oreillettes et les ventricules. Leur rôle est de laisser passer le sang provenant des oreillettes dans les
deux ventricules, et après elles empêchent le sang de refluer dans ces derniers. Ces deux valves
fonctionnent simultanément; elles s‟ouvrent et ferment dans le même sens, dit sens « antérograde ».
Cependant, si la pression en amont de la valve est beaucoup plus élevée que la pression en aval, les
valves s‟ouvrent et laisse passer le sang des oreillettes vers les ventricules. A l‟inverse, si la pression
en aval dépasse celle en amont, la valve se ferme hermétiquement. Après chaque expulsion de sang
des oreillettes dans les ventricules, les valves se ferment. La circulation du sang se fait dans un seul
sens, c'est à dire, des oreillettes vers les ventricules.
La fermeture des valves auriculo-ventriculaires (valve tricuspide et valve mitral) engendre le premier
bruit du cœur appelé B1, tandis que la fermeture des deux autres valves (valve aortique et valve
sigmoïde) produit le second bruit du cœur appelé B2. Le son émis par la fermeture des valves permet
de déterminer une pathologie à ce niveau (Leatham, 1958), (Epstein, 1973), (laennext, 2007). La
technique permettant d‟écouter le bruit du cœur est appelé auscultation.
En résumé, après chaque contraction, le sang est injecté dans les ventricules à travers les valves
auriculo-ventriculaires.
1.3.5 Les ventricules
Les ventricules sont les deux cavités antérieures du cœur humain. Le ventricule droit reçoit le
sang pauvre en oxygène en provenance de l‟oreillette droite, et le ventricule gauche reçoit le sang riche
en oxygène en provenant de l‟oreillette gauche. Le ventricule droit a pour rôle de propulser le sang
pauvre en oxygène vers les poumons à travers l‟artère pulmonaire, et le ventricule gauche propulse le
sang oxygéné dans l‟organisme à travers l‟artère aorte. Leur contraction et leur relaxation dépendent
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Chapitre 1 : Introduction
du système électrique du cœur. Le ventricule gauche est l‟élément le plus important du myocarde
humain; il assure à lui seul 80% (Lalande, 2012) du travail mécanique du cœur. La plupart des
examens cardiaques sont focalisés sur le ventricule gauche. Il est plus petit que le ventricule droit,
mais trois fois plus épais que ce dernier. L‟architecture ventriculaire est très complexe. Dans cette
partie, on se propose de présenter seulement le rôle des ventricules.
Dans la partie antérieure des ventricules, à quelques millimètres de la pointe du cœur se trouve un
ensemble de tissus anisotropes allongés avec un grand niveau d‟homogénéité et qui servent de base
aux valves auriculo-ventriculaires. Ils portent le nom de piliers ou muscle papillaires, figure 1-3. Le
chapitre 8 détaille mieux l‟architecture du myocarde humain (l‟orientation des cardiomyocytes à
l‟intérieur de la masse ventriculaire). Les deux ventricules sont séparés par une frontière ou une
cloison, appelée le septum inter-ventriculaire.
1.3.6 Le septum inter-ventriculaire
Le septum vient du mot latin qui signifie cloison. Le septum inter-ventriculaire est une cloison
qui sépare le ventricule droite du ventricule gauche. Il empêche le sang pauvre en oxygène de se
mélanger avec le sang riche en oxygène, et le septum atrial sépare les deux oreillettes. Le septum joue
un rôle important dans le cycle cardiaque. Ainsi, le cycle cardiaque a une durée moyenne de 800 ms, et
se divise en deux phases qui sont : diastole et systole.
Au cours d‟un cycle cardiaque, les chambres ventriculaires sont remplies de sang. Le ventricule droit
est rempli du sang pauvre en oxygène, et le ventricule gauche est rempli du sang riche en oxygène. Le
mouvement de remplissage des ventricules est appelé diastole ; ce mouvement dure environ 500 ms
(Lalande, 2012). A la fin du remplissage ou télé diastole, les deux ventricules sont remplis de sang, et
la pression dans ces derniers devient très élevée par rapport aux oreillettes et les artères. Cette pression
entraine la fermeture des quatre valves cardiaques mentionnées plus haut. Au même instant, l‟arrivée
du signal ou l‟onde électrique dans le nœud d‟Aschoff Tawaka ou auriculo-ventriculaire, le faisceau de
His, et le réseau de Purkinje provoque la contraction des ventricules qui éjectent le sang à travers les
valves pulmonaire et aortique. Le sang pauvre en oxygène est injecté dans l‟artère pulmonaire pour
aller au poumon, tandis que l‟artère aortique distribue le sang riche en oxygène dans tout l‟organisme.
Le mouvement d‟injection des ventricules définit la systole qui dure environ 300 ms.
La pression systolique moyenne est de 125 mm Hg (normalement inférieur à 140 mm Hg), et la
pression diastolique moyenne est de 80 mm Hg (normalement inférieur à 90 mm Hg), (Foster, 2010).
La pression artérielle se définit comme le rapport de la pression systolique sur la pression diastolique
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Chapitre 1 : Introduction
normalement qui est de 125 mm /80 mm ou 12,5 cm / 8 cm. La diastole ou systole dépend de l‟activité
électrique (nœud sinusal) du cœur
Figure 1-3: Anatomie du cœur humain d‟après (Netter, 1969), (Petit-Jean, 2003).
1.3.7 Apex
La pointe du cœur ou sommet est appelé apex et représente le début de l‟excitation
ventriculaire. Il est parcouru par le faisceau de Purkinje.
En tant que pompe, le cœur humain peut subir plusieurs défaillances d‟ordres électriques
(dysfonctionnement du nœud sinusal, ou du faisceau de His, ou du nœud auriculo-ventriculaire. Une
pathologie peut détruire totalement le nœud sinusal ; dans ce cas il devient nécessaire d‟installer un
stimulateur cardiaque électronique pour le patient) et mécaniques (contraction anarchique des
oreillettes et des ventriculaire, septum inter-ventriculaire percée). Quand la fonction de pompe d‟un
ventricule est altérée on parle d‟insuffisance ventriculaire (droite, gauche, ou les deux). Ainsi, le
myocarde ou muscle du cœur est constitué d‟un ensemble de cardiomyocytes ayant une architecture
très complexe.
De plus, la plupart des pathologies cardiovasculaires sont étroitement liées à l‟architecture des
cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire.
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Chapitre 1 : Introduction
1.4 Problématique du myocarde humain
Depuis des décennies, de nombreux travaux ont été menés sur l‟architecture des faisceaux de
cardiomyocytes, pour avoir une meilleure connaissance de sa structure et de l‟orientation des faisceaux
de cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire. Ainsi, les résultats ont été très divergents selon la
technique utilisée. Le myocarde ou muscle du cœur est une masse de faisceaux de cardiomyocytes
empilées et arrangées suivant une géométrie très complexe et bien structurée. Sa structure lui confère
la force mécanique à l‟étirement et la force électrique à l‟excitation. Le myocarde humain est très
différent des muscles squelettiques. A cause de sa complexité, plusieurs techniques classiques de
dissection ont été utilisées pour étudier la structure des cardiomyocytes.
L‟une des techniques de dissection la plus utilisée a été le pelage du cœur de l‟épicarde (membrane
externe du cœur) à l‟endocarde (membrane interne du cœur). Khrel (Krehl, 1891), Mac Callum
(Callum, 1900), Mall (Mall, 1911), Streeter (Streeter, 1979), et Greenbaum (Greenbaum RA, 1981)
ont tous utilisé cette technique de dissection.
Selon Khrel (Krehl, 1891), les faisceaux de cardiomyocytes du ventricule gauche sont des spirales,
c'est-à-dire un même faisceau de cardiomyocytes est sous-épicardique au début de sa trajectoire et
sous-endocardique sur le reste de son parcours. Il passe de l‟épicarde à l‟endocarde par l‟apex, et de
l‟endocarde à l‟épicarde au niveau de l‟orifice mitro-aortique. La partie compacte du ventricule gauche
est montée comme un écheveau de cardiomyocytes, les superficielles étant en continu avec les plus
profondes.
Le vingtième siècle fut marqué par une modification des techniques de pelages. Mac Callum (Callum,
1900) pèle des cœurs de porc et humains après les avoir inséré dans une solution acétique qui permet
la dissociation des faisceaux de cardiomyocytes, afin d‟étudier leur structure.
Les résultats de Mac Callum, Mall (Mall, 1911), (Robb JS, 1942), ont permis de distinguer 4
principaux chefs musculaires avec des dispositions complexes : 2 faisceaux bulbo-spiraux, un profond
et un superficiel, et deux faisceaux sino-spiraux, un profond et un superficiel. Ces résultats modifiaient
profondément la conception de la mécanique ventriculaire, car le squelette fibreux du cœur était
considéré comme une structure tendineuse d‟insertion de fibres musculaire.
Dans le modèle Robb et Robb (Robb JS, 1942) les quatre faisceaux des cardiomyocytes sont ancrés
dans un trigone fibreux de la racine aortique et pulmonaire.
Pour Rushmer et al. (Rushmer RF, 1953), les cardiomyocytes sont rangés en trois couches, une couche
superficielle, moyenne et profonde. Les cardiomyocytes de la couche superficielle sont principalement
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Chapitre 1 : Introduction
insérées dans la région du squelette fibreux et courent obliquement à la surface de la masse
ventriculaire. Ces cardiomyocytes forment un modèle spiral à l‟apex du cœur, et de façon continue
avec les cardiomyocytes de la couche profonde. Les cardiomyocytes de la couche profonde sont dites
des faisceaux de cardiomyocytes à montés longitudinales de l‟apex à la base du cœur formant les
muscles papillaires. Les cardiomyocytes de la couche intermédiaire ne sont pas insérés dans le
squelette fibreux. Rushmer et al les appela, constructeur ventriculaire parce que cette couche est
composée uniquement de cardiomyocytes ou « fibres circulaires ».
Dans le modèle proposé par Torrent-Guasp (Torrent-Guasp, 1975), le cœur est formé d‟une seule
bande de muscle qui part de l‟artère pulmonaire et de l‟artère aortique. Par ces techniques, il a pu
mettre en place une technique standardisée de pelage des cœurs. De plus, de 1957 à 1975, il a disséqué
un très grand nombre de cœurs humains, et des gros mammifères, dans le seul but d‟étudier
l‟architecture du myocarde. Par ces résultats, il a pu confirmer expérimentalement les travaux de Krehl
(Krehl, 1891), et permet aux histologistes de mettre au point les modèles et les techniques d‟études de
l‟architecture 3D des cardiomyocytes.
Ce fut en 1979 que Streeter (Streeter, 1979) proposa un modèle topologique du ventricule gauche.
Selon Streeter, la paroi équatoriale libre du ventricule gauche est recouverte de cardiomyocytes, ils ont
une organisation en géodésiques de surfaces (ce sont les cardiomyocytes qui définissent la surface)
toroïdales emboitées (chaque faisceau de cardiomyocytes s‟enroule sur une surface et se referme),
c'est-à-dire que les faisceaux de cardiomyocytes suivent des plus courts chemins. Ces travaux lui ont
permis de confirmer les résultats de Krehl soit 88 ans plus tard. Ce modèle a été étendu par SanchezQuintana (Sanchez-Quintana, 1995).
L‟organisation géométrique des cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire a été aussi étudiée
par Chadwick (Chadwick, 1982), Grice et al. (Grice, 1992), Feneis (Feneis, 1943), Robinson et al.
(Robinson TF, 1986).
Les travaux d‟Anderson and Becker (Anderson RH, 1980), Greenbaum et al. (Greenbaum RA, 1981),
Fernandez-Teran et Hurle (Fernadez-Teran, 1982), et Sanchez-Quintana et al. (Sanchez-Quintana D.,
1995), ont confirmé le modèle proposé par Rushmer et al., c'est-à-dire que les cardiomyocytes sont
divisés suivant trois couches. Elles sont distinguées l‟une de l‟autre grâce au changement progressif
des directions des cardiomyocytes. Ce modèle qui était approuvé par certains auteurs comme
Greenbaum et al. (Greenbaum RA, 1981) , Fernandez-Teran (Fernadez-Teran, 1982) et Hurle allait
soulever pas mal de questions, sur l‟existence d‟une couche moyenne au niveau du ventricule droit et
sur l‟architecture du muscle du septum inter-ventriculaire. De plus, certains auteurs ont approuvé le
modèle de Rushmer et al. sur l‟anatomie des sommets des ventricules. Cependant, certains auteurs
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Chapitre 1 : Introduction
étaient opposés à l‟organisation symétrique des cardiomyocytes. Selon Rushmer et al., les
cardiomyocytes courent exclusivement à l‟intérieur de leur couche. Ce résultat est trompeur, car selon
Streeter (Streeter, 1979) et Lunkenheimer et al. (Lunkenheimer PP, 1997) les cardiomyocytes peuvent
passer d‟une couche à l‟autre, ce qui donne la possibilité de mesurer l‟angle de pénétration des
faisceaux de cardiomyocytes à l‟intérieur de la masse ventriculaire.
Toutes les méthodes citées ci-dessus sont basées sur la dissection classique. Cette méthode ne permet
pas d‟étudier de façon détaillée l‟architecture des cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire.
Les résultats sont tous divergents.
D‟autres modèles non linéaires ont vu le jour. Ces modèles prennent en compte la structure fibreuse et
l‟anisotropie. Ils ont été proposés par Bogen (D.K., 1987), Fung (Fung, 1993), Hunter et al. (Hunter
P.J., 1988). Puis le modèle de Jouk et al. (Jouk P-S. U. Y., 1995) qui permet d‟avoir une idée
beaucoup plus détaillée de la structure des cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire.
Figure 1-4: Quelques modèles de l‟organisation myocardique. A) Modèle de Mac Callum. B) Modèle de Robb et
Robb et Rushmer et al. C) Modèle de Khrel à gauche, et celui de Streeter à droite. D) Modèle de Torrent-Guasp.
(Gerald, 2008)
Avec l‟avancement de la technologie, beaucoup d‟autres techniques d‟imagerie les unes plus
performantes que les autres ont vu le jour comme : la microscopie électronique en transmission, les
microscopes à balayage laser, les microscopes bi-photons, la tomographie par émission des positons,
imagerie par résonance magnétique (IRM), la lumière polarisée, etc. Ainsi, l‟arrivée de la microscopie
électronique en transmission allait remettre en cause la technique du pelage du myocarde humain.
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Chapitre 1 : Introduction
Parmi les techniques d‟imageries les plus avancées, on peut citer : l‟Imagerie par Résonnance
Magnétique de diffusion (IRMd) ou IRM de tenseur de diffusion, qui est basée sur la description de la
diffusion des molécules d‟eau au sein du tissu et permet de connaitre l‟orientation des cardiomyocytes
(voir chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP). C‟est une technique d‟imagerie non-invasive (Wu MT
T. W., 2006), (C. Frindel, 2010), (Scmid P, 2005) . Le Q-Ball Imaging (QBI) est une technique
d‟imagerie qui permet d‟étudier le croisement des cardiomyocytes à l‟intérieur d‟un voxel (Tuch,
2004), (Muriel Perrin, 2005), ce qui n‟est pas possible avec la technique de l‟IRM classique.
La technique d‟imagerie en lumière polarisée utilise les propriétés vibratoires de la lumière pour
étudier l‟architecture des cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire, mais cette technique
d‟imagerie n‟est pas applicable sur les tissus vivants, et elle est invasive. Toutefois, le modèle proposé
par Jouk et al. (Jouk P-S. Y. Usson, 2000) a étendu le modèle de Streeter à l‟ensemble du myocarde
humain. La technique d‟imagerie en lumière polarisée développée par Jouk et Usson, permet d‟étudier
l‟orientation 3D des cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire. De plus, ce modèle est le plus
récent parmi les modèles proposés ci-dessus, figure 1-5.
Figure 1-5 : Modèle de Jouk et Usson.
Cette thèse est la continuité des travaux de Jouk et al. Ainsi, nous allons développer un modèle
mathématique basé sur le modèle de Jouk et al, afin de connaitre en tout point et en détail,
l‟organisation 3D des cardiomyocytes au cours du développement (période fœtal, et néonatale). De
plus, le même modèle mathématique nous permettra aussi de caractériser le niveau d‟homogénéité des
cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire. Pour mener à bien notre étude, le chapitre suivant
définit les matériels et les méthodes qui vont être utilisés pour atteindre cet objectif.
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Chapitre 2 : Matériels et Méthodes
Chapitre 2
Matériels et Méthodes
Chapitre 2 .................................................................................................................... 15
2.1
Méthodes d’imageries du cœur ................................................................... 16
2.1.1 Méthode invasive ....................................................................................... 16
2.1.2 Méthode non invasive ................................................................................ 16
2.1.3 IRM (méthode non invasive) ..................................................................... 16
2.1.4 Lumière polarisée (méthode invasive) ....................................................... 17
2.2
Préparation inclusions Méthyl Méthacrylate (MMA) cœur et Piliers ..... 17
2.2.1 Préparation du cœur entier ......................................................................... 18
2.2.2 Préparation des piliers ................................................................................ 20
2.3
Banc optique .................................................................................................. 21
2.4
Logiciels ......................................................................................................... 22
2.4.1 Simulation .................................................................................................. 22
2.4.2 Acquisition d‟images ................................................................................. 22
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Chapitre 2 : Matériels et Méthodes
2.1 Méthodes d’imageries du cœur
Compte tenu de la diversité des techniques utilisées, le présent chapitre constitue plus une
énumération des techniques utilisées qu‟un descriptif exhaustif. Les méthodes les plus élaborées sont
détaillées ensuite dans des chapitres dédiés.
Pour observer les différents mouvements du cœur humain (diastole, systole, ouverture et
fermeture des valves cardiaques), ainsi que la structure détaillée du myocarde à la recherche des
pathologies, il existe deux grandes méthodes dites méthodes invasives et non invasives
2.1.1 Méthode invasive
La méthode dite invasive est l‟une des méthodes la plus ancienne, elle requière une effraction
de la peau plus importante, une chirurgie de l‟organe en question. Pour analyser ce tissu, il faut être en
contact directe avec ce dernier soit par la dissection ou des coupes histologiques. Par exemple, les
affections du cœur, les gros vaisseaux thoraciques, et les matériels autopsies.
2.1.2 Méthode non invasive
Avec l‟avancement de la technologie, la plupart des pathologies peuvent être observées et
analysées directement par des techniques d‟imageries sans avoir recours à la chirurgie ou à l‟effraction
de la peau. De nos jours, il est possible de traiter directement un patient atteint d‟une tumeur par un
bombardement de la zone tumorale par des rayons X. Parmi les techniques d‟imageries du cœur, on
peut citer : l‟Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) ou d‟Imagerie par Résonance Magnétique de
diffusion (IRMd), la Tomographie par Emission de Positon (T.E.P), le Q-Ball Imaging (QBI), etc...
2.1.3 IRM (méthode non invasive)
L‟Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) est l‟une des techniques d‟imagerie non
invasive la plus répandue à l‟heure actuelle. Elle permet d‟obtenir une vue 2D ou 3D de l‟organe de
façon non invasive avec une résolution de contraste élevée. Elle est basée sur l‟exploitation de la
diffusion des molécules d‟eau à l‟intérieur du tissu biologique car cette diffusion est contrainte par les
tissus environnants, et permet d‟obtenir indirectement la position et l‟orientation des structures
fibreuses. Durant ces dernières années, plusieurs modèles de simulation des molécules d‟eau à
l‟intérieur du tissu ont été proposés par des chercheurs, afin d‟optimiser les algorithmes de
reconstruction 2D et 3D. La résonance des atomes d‟hydrogène sous l‟effet des certaines ondes
radiofréquences permet d‟obtenir un signal qui provient majoritairement des protons des molécules
d‟eau (voir chapitre 8 : Confrontation IRM/ILP).
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Chapitre 2 : Matériels et Méthodes
2.1.4 Lumière polarisée (méthode invasive)
L‟imagerie en lumière polarisée est une technique invasive (travail sur des matériels autopsiés)
qui utilise les propriétés vibratoires de la lumière pour extraire des informations dans un tissu
biologique biréfringent et anisotrope. Elle permet de déterminer l‟orientation des cardiomyocytes dans
chaque voxel donné. Elle est basée sur l‟exploitation de la biréfringence du tissu biologique. Si la
lumière se propage de façon isotrope dans un tissu biologique quel que soit son orientation par rapport
à un faisceau incident, cette technique d‟imagerie se révèle inefficace, et il est nécessaire de faire place
à d‟autres techniques d‟imagerie.
La structure atomique et physico-chimique du muscle cardiaque laisse passer la lumière de façon
anisotrope, car le myocarde humain se comporte comme un cristal uni-axial biréfringent. Cette
technique peut être considérée comme vérité terrain, car elle permet de révéler de façon détaillée la
structure des cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire (voir chapitre 6 : Expérimentations,
chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain).
La technique de l‟imagerie en lumière polarisée requiert des coupes sériées histologiques, c'est-à-dire,
l‟échantillon doit être préparé et découpé selon un protocole bien défini. En ce sens, un protocole a été
défini par Jouk et al (Jouk P.-S. Y., 2000) pour l‟exploitation de la biréfringence du myocarde humain
en lumière polarisée.
2.2 Préparation inclusions Méthyl Méthacrylate (MMA) cœur et
Piliers
Pour exploiter la biréfringence du myocarde humain, il est nécessaire de définir un protocole
de préparation qui met en valeur la nature biréfringente et anisotrope du myocarde. Celle-ci est due
principalement à la biréfringence des filaments de myosine.
Les filaments de myosine présents dans le myocarde humain ne sont pas les seules qui
possèdent une biréfringence cristalline. Le collagène est l‟une des protéines les plus abondantes dans
l‟organisme humain. Sa présence dans la matrice extracellulaire confère aux tissus une résistance
mécanique à l‟étirement. Le collagène et la myosine sont les deux éléments les plus biréfringents du
myocarde humain, cependant l‟indice de réfraction du collagène est supérieur à celui de la myosine.
La présence du collagène est donc gênante car cela perturbe toutes informations provenant des
filaments de myosine. De ce fait, il faut éliminer totalement la contribution du collagène pour avoir
des informations seulement sur les filaments de myosine. En même temps, il fallait trouver un bon
compromis pour ne pas détériorer la nature de la myosine.
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Chapitre 2 : Matériels et Méthodes
Les échantillons biologiques sont réalisés au laboratoire d‟anatomie pathologique du Centre
Hospitalier Universitaire (CHU) de Grenoble par des ingénieurs et des techniciens compétents.
2.2.1 Préparation du cœur entier
Les échantillons de travail présentés dans ce manuscrit, proviennent de deux cœurs humains
sains. Le premier cœur est celui d‟un fœtus de 33 semaines d‟aménorrhée, poids des ventricules 12 gr,
et celui des oreillettes 3 gr. Le poids total du cœur est 15 gr (chapitre 7 : Cartographies du myocarde
humain). Le second cœur est celui d‟un enfant de 14 mois, qui est né prématurément à 33 semaines
d‟aménorrhée et décédé de façon inexpliquée. Le poids des ventricules est 32 gr (chapitre 8 :
Confrontation IRM vs ILP). Les échantillons biologiques sont obtenus suivant un cadre législatif.
Cadre législatif de l'étude des cœurs fœtaux et post-nataux:
« Les tissus biologiques sont prélevés, conservés et utilisés par le laboratoire de fœtopathologie du
CHU de Grenoble. Conformément au code de la santé publique, dispositions des articles R1243-49 et
suivants, une attestation d'acceptation de déclaration d'activité de conservation et de préparation
d'éléments du corps humain pour les besoins des programmes de recherche de cet organisme a été
délivrée par le ministère de l'enseignement et de la recherche (DC-2008-737, responsable
scientifique: P.S. Jouk).
De plus, un consentement écrit de la femme est obligatoire pour réaliser l'examen fœto-pathologique
et l'autopsie du fœtus, du nouveau-né ou de l'enfant au cours des quels sont prélevés les cœurs:
consentement à visées diagnostiques et scientifiques dans le but de recherches sur le développement
de l'enfant ».
L‟étude de la topographie des cellules myocardiques au sein de la masse ventriculaire des cœurs
embryonnaires et fœtaux normaux permet de connaitre en détail l‟arrangement spatial des
cardiomyocytes, ainsi que la structure détaillée du myocarde et du septum inter-ventriculaire.
Le cœur est perfusé et fixé dans une solution de formaldéhyde à 4% neutralisée, et immergé pendant
une semaine minimum dans la même solution. Les oreillettes sont sectionnées à 1mm des valves
auriculo-ventriculaire et à 3mm des ventricules. Un fois fixé, le massif ventriculaire est inclus dans
une résine acrylique hydrophobe, le méthyl méthacrylate (MMA) préparé suivant un protocole bien
défini (voir Annexe). Le myocarde commence par être déshydraté et imprégné d‟une résine
hydrophile, le glycol méthacrylate (GMA), puis il est imprégné d‟un mélange de GMA et de MMA,
dans laquelle la concentration du MMA augmente graduellement jusqu'à l‟imprégnation dans du
MMA pur. La durée totale des imprégnations par bains successifs est de 9 semaines L‟échantillon est
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Chapitre 2 : Matériels et Méthodes
inclus par polymérisation et durcissement de la résine MMA. Après la polymérisation, le cœur est
totalement observable à travers le bloc de résine, figure 2-1. Le bloc de l‟échantillon peut être orienté
et coupé suivant un référentiel choisi, soit des coupes: coronales, sagittales, transversales. Cependant,
avant la découpe du bloc de l‟échantillon en sections d‟une épaisseur de 500µm appelée microtomie, 3
trous de 1 mm de diamètre ont été forés dans la résine, perpendiculairement à la base de ce dernier,
figure 2-2. Ces trous sont appelés les marqueurs fiduciaires. Ils servent de références pour la
reconstruction tridimensionnelle de l‟échantillon. En effet, lors des acquisitions d‟images des coupes
de cœur en lumière polarisée, les coupes sont alignées les unes par rapport aux autres grâce à la
référence constituée par les marqueurs fudiciaires. Ainsi préparé, le bloc d‟inclusion de l‟échantillon
orienté selon un référentiel est placé sur un microtome à scie circulaire diamantée, ou sur une scie à fil
diamanté. Des coupes sériées du myocarde entier sont réalisées. Au total, nous avons obtenu 42
coupes. Ces techniques de découpes évitent les distorsions de l‟échantillon, toutefois les stries crées à
la surface des sections doivent être éliminées par polissage manuel afin de ne pas perturber le trajet des
rayons lumineux.
Cœur
Résine
Figure 2-1 : Cœur entier inclus dans le MMA.
Le choix de l‟épaisseur de coupe est un compromis entre :
a) Le retard de phase induit par l‟échantillon biologique nécessaire à l‟obtention d‟un contraste
suffisant dans l‟examen en lumière polarisée ;
b) des contraintes liées essentiellement à la microtomie (Jouk P.-S. , 1994), cette dernière génère
deux facteurs de variabilité de l‟épaisseur des coupes indépendants de l‟épaisseur de celles-ci.
Le premier facteur est lié à la profondeur des stries laissées à la surface des coupes par la scie
diamantée, en fonction de l‟usure de la scie. Le second facteur de variation concerne les
coupes les plus larges, et dépend de son épaisseur et se manifeste par une netteté des coupes.
Cependant, pour les coupes de 500 µm, les stries ne sont plus discernables lors de l‟examen en
lumière polarisées, et la variation d‟épaisseur représente que 6% de l‟épaisseur totale.
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Chapitre 2 : Matériels et Méthodes
L‟indice de réfraction d‟une coupe (après polymérisation, découpage et polissage) est un compromis
entre l‟indice de réfraction du MMA (indice de réfraction 1, 4121) et celui de la myosine
(biréfringence maximale de 10-4). Le MMA a le même indice de réfraction que le collagène.
Soit
l‟indice de réfraction du MMA + myosine, et
l‟indice de réfraction du MMA. Il est possible
par une simple opération arithmétique de soustraire l‟indice de réfraction
de
. Ainsi, il devient
possible d‟obtenir seulement l‟indice de réfraction de la myosine, d‟où le choix l‟inclusion du cœur
dans le MMA.
Marqueurs fiduciaires
MMA (𝑛 )
Cavités ventriculaires
Myocarde + MMA (𝑛 )
Face diaphragmatique
Figure 2-2 : Section de myocarde inclus dans le MMA avec les 3 marqueurs fiduciaires périphériques. Ventricule
gauche à droite, face diaphragmatique en bas.
2.2.2 Préparation des piliers
Les piliers des valves auriculo-ventriculaire ont été prélevés après fixation par immersion et
par perfusion coronaire par le formaldéhyde à 4% neutralisée par un tampon phosphate. Ces piliers ont
été inclus dans le méthyl méthacrylate (MMA) selon le même protocole que le cœur en entier. Une
fois inclus, ces blocs ont été orientés de façon à obtenir, lors de la microtomie, des angles d‟élévation
régulièrement reparties tous les 11,25 degrés, entre 0 et 90 degrés. A cause des petits déplacements des
piliers lors de la polymérisation, les angles d‟élévation pour chacun des piliers n‟ont pu être établis
qu‟à 5 degrés près, les piliers ont ensuite été sectionnés au microtome rotatif à une épaisseur de 250
µm, Jouk et al (Jouk P.-S. , 1994). En plaçant le pilier entre polariseur et analyseur croisés, les
informations recueillies sur le pilier proviennent seulement de l‟orientation des cardiomyocytes ou
« fibres » ainsi que leur niveau d‟homogénéité, car le pilier est constitué de tissu musculaire sans
collagène, figure 2-3.
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Chapitre 2 : Matériels et Méthodes
Section de pilier + MMA (𝑛 )
Couronne de repérage
Figure 2-3: Section de pilier des valves auriculo-ventriculaires. Deux sections de 250 µm d‟un même pilier sont
superposées de façon à pouvoir tester les effets des croisements de cardiomyocytes.
Il n‟est pas nécessaire de faire de marqueur fiduciaire pour le pilier, car aucune reconstruction
tridimensionnelle n‟est requise. Les couronnes de repérages permettent de déterminer l‟orientation de
la section du pilier des valves auriculo-ventriculaire entre le couple polariseur et analyseurs croisés.
2.3 Banc optique
Pour exploiter l‟échantillon de cœur avec la technique de la lumière polarisée, le banc optique
est composé de :
a) une source de lumière « blanche » dépolarisée avec un spectre connu.
b) un diffuseur, comme son nom l‟indique permet de diffuser la lumière
c) un polariseur linéaire avec son axe de sélection orienté à 0 degré par rapport à l‟axe
(axe
référentiel) du banc optique, qui représente le zéro du système
d) deux lames quart d‟onde avec leurs axes neutres orientés respectivement à 45 et 135 degrés
par rapport à l‟axe de sélection du polariseur
e) une lame pleine onde, avec son axe neutre orienté à 0 degré
f) un analyseur linéaire avec son axe de sélection orienté à 90 degrés par rapport à l‟axe de
sélection du polariseur.
Ces éléments optiques sont montés sur un support métallique qui permet de les aligner les uns à la
suite des autres. Une description détaillée du banc optique se trouve au chapitre 4 (Banc Optique,
figure 4-1).
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Chapitre 2 : Matériels et Méthodes
2.4 Logiciels
2.4.1 Simulation
Pour simuler le comportement des cardiomyocytes entre polariseur et analyseur croisés, le
choix a été porté sur GNU/Octave et Matlab. Ces deux logiciels ont à peu près la même syntaxe.
GNU/Octave est un logiciel libre permettant de faire des calculs matriciels, mais un peu lents (dans les
boucles) dans les calculs.
Matlab est un logiciel payant, rapide, puissant et permet de faire des calculs matriciels dans un temps
minimal. Notre préférence pour l‟ « Open Source » nous a amené à travailler beaucoup plus avec
GNU/Octave. Tous les résultats des simulations qui sont présentés dans ce manuscrit sont obtenus sur
GNU/Octave. Dans les acquisitions des images brutes en IRM (chapitre 7 : Cartographies du
myocarde humain), il est nécessaire d‟utiliser Matlab, car les données qui nous sont fournies, se
trouvent dans un format propriétaire de Matlab.
Pour l‟analyse formelle des modèles et la recherche d‟optimisation des calculs pour l‟implémentation
des codes d‟analyses d‟images robustes, nous avons utilisé le logiciel GNU/Maxima un logiciel libre
qui est destiné à des calculs formels.
2.4.2 Acquisition d’images
L‟implémentation de notre programme d‟acquisition d‟images (PolarBench) écrit en C/C++
sous Windows, permet d‟automatiser le banc optique. Il est divisé en deux parties :
a) la première partie du programme, contrôle toute la partie mécanique et électrique du banc
optique (moteurs de rotation des polariseurs, capteurs de position à potentiomètres, moteurs de
bascule de la platine porte-objet, source lumineuse).
b) la deuxième partie est consacrée à l‟acquisition des images entre polariseur et analyseur
croisés : contrôle des paramètres paramètre du capteur et de la numérisation (luminosité,
contraste), filtrage du bruit et stockage des images.
Après une série d‟acquisition, le traitement de ces images est effectué avec le logiciel ImageJ. Ce
dernier est un logiciel libre de traitement d‟image et du signal écrit en Java. Il permet de créer des
greffons logiciels et des macros en Java.
Dans le chapitre 6 (Expérimentations), nous allons élaborer un greffon de logiciel sur ImageJ qui
permettra de faire des ajustements du modèle pixel par pixel avec les résultats provenant de la
simulation dans le chapitre 5 (Simulations Numériques).
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Chapitre 2 : Matériels et Méthodes
Le chapitre suivant présente de façon détaillée, la méthode optique (lumière polarisée) qui sera utilisée
pour analyser la structure et le niveau d‟homogénéité des cardiomyocytes à l‟intérieur de la masse
ventriculaire.
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
Chapitre 3
Méthodes Optiques
Chapitre 3................................................................................................................................ 24
3.1
Principes optiques .................................................................................................... 25
3.1.1
Lumière polarisée ............................................................................................... 25
3.1.2
Biréfringence ...................................................................................................... 29
3.1.3
Axe optique ........................................................................................................ 31
3.1.4
Polariseurs .......................................................................................................... 31
3.1.4.1 Polariseur linéaire ........................................................................................... 32
3.1.4.2 Lame quart d‟onde ou « polariseur circualaire »……………………...……..33
3.2
Formalisme ............................................................................................................... 33
3.2.1
Paramètre de Stokes ........................................................................................... 33
3.2.2
Formalisme de Jones .......................................................................................... 38
3.2.3
Sphère de Poincaré ............................................................................................. 40
3.2.4
Formalisme de Mueller ...................................................................................... 41
3.2.5
Faisabilité physique de la matrice de Mueller .................................................... 42
3.2.6
Composant optique de polarisation .................................................................... 43
3.2.7
Dichroïsme : ....................................................................................................... 43
3.2.8
Polarisance ......................................................................................................... 46
3.2.9
Déphaseur ........................................................................................................... 47
3.2.10
Milieu dépolarisant et non-dépolarisant ............................................................. 49
3.2.11
Décomposition de la Matrice de Mueller ........................................................... 50
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
3.1 Principes optiques
3.1.1 Lumière polarisée
Le spectre visible de la lumière blanche est compris entre 400 nm (violet) et 700 nm (rouge
sombre), pour une longueur d‟onde moyenne de 550 nm et une fréquence de 350 THz à 750 THz.
L‟émission de la totalité des spectres (longueur d‟onde) visibles comme l‟avait observé Isaac Newton
en 1671 donne l‟impression de la couleur blanche, car l‟œil humain est sensible à l‟intensité de l‟onde
et à sa fréquence. Ainsi, la nature vectorielle de la lumière a été ignorée pendant plusieurs siècles, car à
ces époques, l‟œil humain était considéré comme le meilleur détecteur optique.
Depuis l‟arrivée de la théorie ondulatoire de la lumière établie par Fresnel, et de la théorie de
l‟électromagnétisme de Maxwell, la lumière est considérée comme une onde vectorielle, plane et
transversale. Elle est transversale, car les vibrations de l‟onde (vecteur champ électrique ⃗ ) ont lieu
dans un plan perpendiculaire à la direction de propagation de l‟onde. Comme toute onde
électromagnétique plane et transversale se propage dans le vide ou dans l‟espace, la lumière est
caractérisée par quatre vecteurs fondamentaux qui sont : l‟excitation magnétique ⃗ , le déplacement
électrique⃗⃗⃗ , le champ électrique ⃗ et champ magnétique⃗⃗⃗ (Francois & Wyncke, 2003). La
composante du vecteur magnétique ⃗⃗⃗ de l‟onde peut être reconstruite à l‟aide de la composante du
vecteur champ électrique ⃗ . De ce fait, on s‟intéresse plutôt aux propriétés vectorielles du champ
électrique⃗⃗⃗ . De plus, ces deux composantes de l‟onde (⃗⃗⃗ , ⃗⃗⃗ ) sont régies par les lois de Maxwell,
elles oscillent perpendiculairement à la direction de propagation de l‟onde. Ainsi, une lumière ou une
onde électromagnétique est dite polarisée, si le vecteur du champ électrique ⃗⃗⃗ vibre dans une
direction déterminé en fonction du temps, quel que soit le point de l‟espace considéré, sinon la lumière
est dite naturelle ou non polarisée (évolution stochastique du vecteur du champ électrique ⃗⃗⃗ ).
Pour étudier la polarisation de la lumière, le choix est porté sur le vecteur du champ électrique ⃗ et
non sur les trois autres vecteurs électromagnétiques. En effet, dans les milieux ou dans les matériaux
optiques anisotropes ou isotropes, l‟interaction photonique et atomique entre la lumière et la matière
est beaucoup plus intense avec la présence d‟un champ électrique, car la force qu‟il exerce sur les
électrons des atomes de la matière répond beaucoup plus vite sous la pression du champ électrique que
sur la force exercée par le champ magnétique (Francois & Wyncke, 2003). L‟équation de Maxwell se
définit par :
⃗⃗⃗ ⃗
⃗
⃗
⃗⁄
(3.1)
⃗⃗⃗ ⃗
{⃗
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⃗
⃗⁄
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
Cependant, une simple approche géométrique permet d‟ignorer la nature vectorielle de la lumière car
une approche purement scalaire de la lumière est souvent suffisante (Huard, 1994). De plus, la plupart
des phénomènes optiques nécessitent uniquement une simple connaissance du milieu observé. Ainsi,
la lumière est caractérisée par quatre grandeurs physiques mesurables qui sont : l‟intensité, la phase, la
fréquence et la polarisation. L‟état de polarisation de l‟onde peut varier dans l‟espace-temps, car
l‟interaction de l‟onde avec un objet biréfringent et anisotrope peut modifier non seulement sa
trajectoire, mais aussi son amplitude et sa phase. Ceci engendre deux étapes de polarisation, la
première étape est celle de l‟onde qui voyage seule dans l‟espace-temps, et la deuxième étape est la
modification subie après avoir rencontré un objet biréfringent et anisotrope. Après l‟interaction
physico-chimique entre l‟onde lumineuse et les atomes de la matière (Walter, 1978), (Robinson &
Bradbury, 1992), il est possible de remonter aux caractéristiques propres du milieu optique ou du
matériau traversé par l‟onde. Cet aspect de polarisation de la lumière peut être mis en œuvre avec la
description de certains éléments optiques qui permettent de modifier l‟amplitude et la direction de
propagation de l‟onde lumineuse (polariseurs). L‟interprétation et la description de ces phénomènes
font appel à la physique moderne qui utilise des formalismes soit géométriques ou algébriques qui
seront étudiés dans la suite de ce chapitre.
La représentation vectorielle de la polarisation de l‟onde électromagnétique trouve sa place dans le fait
que la plupart des matériaux optiques polarisants ou non polarisants peuvent être représentés par des
vecteurs ou matrices dites matrice de Mueller, et matrice de Jones.
La polarisation de la lumière est basée sur l‟étude du vecteur champ électrique ⃗ . Dans le cas d‟une
onde monochromatique plane et transversale de vecteur d‟onde ⃗ se propageant suivant la direction de
l‟axe positif dans un repère orthonormé (
électrique ⃗⃗⃗ résultant suivant
) avec une vitesse angulaire
est nul, et les deux composantes
électrique vibrent suivant les deux axes orthogonaux en
et
, le vecteur champ
du vecteur champ
de manière indépendante, et l‟équation
du plan d‟onde s‟écrit :
⃗
,
(
)
La courbe tracée par la variation du vecteur champ électrique ⃗ autour de l‟axe
pulsation
(3.2)
positif grâce à sa
définit l‟ellipse de polarisation de l‟onde monochromatique, figure 3-1. Les amplitudes
sont indépendantes du temps. En posant
, et par élimination de
et
dans
l‟équation 3.2, on obtient alors :
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
( ⁄
)
( ⁄ )
(
)
⁄
(3.3)
Figure 3-1 : Ellipse de polarisation. Elle est définie par son azimut , son amplitude 2A, et par son ellipticité .
Pour l‟angle d‟azimut, on a :
(
)
⁄
Et l‟ellipticité dont la tangente est égale au rapport des longueurs
(
⁄
⁄
⁄
(3.4)
des axes de l‟ellipse :
et
)
(3.5)
ou
(Voir figure 3-1)
(3.6)
avec
⁄
⁄
⁄
⁄ (Équation 3.3)
Le sens de rotation du vecteur champ électrique ⃗ dépend de . Une ellipticité nulle indique que la
polarisation est linéaire (
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). Si
⁄ , on a
, et la polarisation est dite
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
circulaire. D‟après la figure 3-1, l‟ellipse de polarisation est inscrite dans un rectangle de côté
, et
Selon les différentes valeurs de rotation du vecteur champ électrique résultant ⃗⃗⃗⃗ la polarisation
de l‟onde lumineuse peut être: elliptique droite ou elliptique gauche, circulaire droite ou gauche, ou
linéaire (verticale ou horizontale). La polarisation est dite elliptique lorsqu‟il existe un déphasage entre
les deux composantes orthogonales (
) du champ électrique.
Dans la figure 3-2, le tracé du vecteur du champ résultant de l‟onde ⃗ en fonction du temps définit une
ellipse quand le déphasage
est égal à [
⁄
⁄ ], le vecteur du champ électrique tourne dans le
sens des aiguilles d‟une montre, c'est-à-dire la polarisation est elliptique droite, dans le cas où
égal à [
⁄
est
⁄ ], la polarisation est dite elliptique gauche. Dans le cas d‟une polarisation
circulaire, le déphasage
est égal à [
⁄ ]. De plus, l‟amplitude des deux
⁄
composantes du vecteur champ électrique est égale, c‟est à dire
⁄ , et gauche si
la polarisation est dite circulaire droite si
polarisation se réduit à une droite quand
. Selon le sens de la rotation,
est égal à 0,
est égal à
⁄
La
Les différents états de polarisation
de l‟onde lumineuse sont représentés dans la figure suivante :
Figure 3-2 : Différents états de polarisation de la lumière. De (a-b) la polarisation elliptique droite et gauche, de
(d-e) la polarisation circulaire droite et gauche, et de (c-f) la polarisation linéaire droite et gauche.
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
Figure 3-3: Etat de polarisation de l‟onde lumineuse. Polarisation linéaire, circulaire, et elliptique.
3.1.2 Biréfringence
Les matériaux optiques peuvent être classés en deux grandes catégories :
a) les matériaux isotropes
b) les matériaux anisotropes.
Dans les matériaux isotropes, la vitesse de propagation de la lumière est indépendante de la direction
de celle-ci par rapport aux matériaux, c'est-à-dire l‟indice de réfraction
est unique (figure 3-4c), quel
que soit l‟angle que fait le faisceau incident avec le matériau. En revanche, dans le cas des matériaux
biréfringents et anisotropes, la valeur de l‟indice de réfraction n‟est pas unique, tout se passe comme si
le rayon lumineux se divise en deux rayons dont les champs électriques (
) vibrent à angle droit
l‟un par rapport à l‟autre (Walter, 1978). Un des rayons, le rayon dit ordinaire à une vitesse de
propagation indépendante de l‟angle qu‟il fait avec le matériau, il est noté

L‟autre rayon s‟appelle
le rayon extraordinaire parce que sa vitesse de propagation varie selon sa direction par rapport au
matériau, il est noté
(figure 3-4a). La vitesse de propagation de ces deux rayons dans un matériau
biréfringent et anisotrope varie suivant la nature atomique et physico-chimique de ce dernier. La
différence de chemin optique entre deux rayons avec des indices de réfraction différents (
)
définit une différence de marche dans le matériau, et se mesure en nanomètres (nm), (Freeman, 1971),
(Brenders P., 2005). Soit
et
le temps de parcours des deux rayons d‟indices
et
pour
traverser le matériau biréfringent, la différence de marche s‟écrit :
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
(3.7)
Avec
la vitesse de propagation de la lumière dans le vide, et
l‟épaisseur du matériau, on peut
écrire :
Or
⁄
et
⁄
( ⁄
⁄ )
( ⁄
⁄ )
(3.8)
Donc, la différence de chemin optique dans le matériau est définie par:
(3.9)
En ce sens, la biréfringence du matériau se définit comme la différence de ces deux indices de
réfraction, qui est notée:
(3.10)
Si
le matériau est dit uni-axial positif. Dans le cas contraire, le matériau est dit uni-axial
négatif. Ainsi, parmi les matériaux uni-axiaux existants, on peut citer le quartz, la calcite, les systèmes
cristallin de symétrie hexagonale, ou tétragone ou quadratique.
Dans les figures 3-4c et 3.4b-1 le plan de vibration de la lumière incidente est perpendiculaire à l‟axe
de sélection du rayon extraordinaire, il n‟y a pas de division de faisceau, tandis que dans les figures 34a et 3.4b-2 le cristal biréfringent est incliné avec un angle , ce qui entraine la dissociation des deux
rayons, c'est-à-dire le plan de vibration de la lumière incidente n‟est plus perpendiculaire à l‟axe de
sélection du rayon extraordinaire.
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
Figure 3-.4: Biréfringence d‟un matériau anisotrope. (a) schéma détaillé lorsqu‟un faisceau de lumière traverse
un objet uni-axial biréfringent. Après avoir traversé l‟objet, le faisceau lumineux donne naissance à deux rayons
qu‟on appelle rayon ordinaire et extraordinaire. Cependant, la vitesse de propagation du rayon extraordinaire
dépend de l‟orientation qu‟il fait avec le matériau tandis que le rayon ordinaire est indépendant de l‟angle qu‟il
fait avec le matériau ; (b) c‟est l‟illustration de ce phénomène dans la vie courante, (Présentation de N. Manset,
Polarized light : from basics Instruments). (c) pas de division de faisceau quand la lumière pénètre selon l‟axe
optique du crital qui se comporte comme un matériau isotrope.
3.1.3 Axe optique
Dans le cas d‟un cristal uni-axial biréfringent, l‟axe optique se définit comme l‟axe permettant
d‟annuler l‟effet de la biréfringence du cristal, c'est-à-dire, quand un faisceau incident pénètre un objet
uni-axial biréfringent le long de son axe optique, le faisceau de lumière se propage comme dans un
milieu isotrope, il n‟y a pas de division de faisceau lumineux. Par contre, au fur et à mesure que le
faisceau incident s‟écarte de l‟axe optique, la biréfringence apparait progressivement. Le plan de
vibration du rayon extraordinaire dépend totalement de la structure physico-chimique du cristal.
3.1.4 Polariseurs
Un polariseur est un élément optique capable de modifier de façon inégale l‟amplitude des
deux composantes (
) du vecteur champ électrique ⃗ Un polariseur est caractérisé par l‟état de
polarisation qu‟il transmet à sa sortie. La polarisation à la sortie du polariseur peut être linéaire,
circulaire ou elliptique, ce qui entraine la nomination des polariseurs en: polariseur linéaire, circulaire.
Pour polariser un faisceau lumineux non polarisé ayant une longueur d‟onde connue, la présence d‟un
polariseur est importante pour polariser le faisceau lumineux dans la direction désirée. Cependant, la
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
polarisation de ce dernier entraine des pertes d‟intensité considérables (Francois & Wyncke, 2003),
(voir formalisme de Mueller). Dans le cas d‟un polariseur idéal, c‟est seulement 50% de l‟intensité
incidente qui est transmise. Quand les axes de sélection de deux polariseurs linéaires sont parallèles
l‟un par rapport à l‟autre, l‟intensité de la lumière polarisée transmise est maximale, figure 3-5. En
revanche, lorsqu‟on fait tourner progressivement l‟axe de sélection du premier polariseur par rapport à
l‟axe de sélection du second polariseur, l‟intensité de la lumière polarisée transmise diminue au fur et à
mesure, et devient nulle quand les deux axes de sélection sont totalement orthogonaux l‟un par rapport
à l‟autre.
Figure 3-5 : Parallélisme et orthogonalité des axes de sélection des deux polariseurs linéaires. Quand les axes de
sélection des deux polariseurs sont parallèles, l‟intensité de la lumière polarisée transmise est au maximum,
tandis que l‟amplitude ou l‟intensité de la lumière est nulle quand les axes de sélection des deux polariseurs sont
orthogonaux.
Cette absorption sélective est basée sur le croisement des axes de sélection des deux polariseurs
linéaires. La variation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise varie comme le carré du cosinus,
et selon la loi de Malus, cette valeur d‟intensité transmise a pour expression :
(3.11)
Les polariseurs possèdent toutes les propriétés de la biréfringence des cristaux.
3.1.4.1
Polariseur linéaire
Lorsqu‟un faisceau lumineux non polarisée traverse un polariseur linéaire, ce dernier à la
propriété de laisser passer ce faisceau dans une seule direction suivant l‟axe de sélection du polariseur.
Quand l‟axe de sélection du polariseur est orienté à 0 degré (direction principale de propagation) par
rapport à l‟axe
dire
la composante verticale du vecteur champ électrique ⃗ vaut zéro, c‟est à
. En revanche, si l‟axe de sélection du polariseur est orienté à ⁄ par rapport à l‟axe
la composante horizontale du vecteur champ électrique ⃗ est nulle, c'est-à-dire
l‟axe de sélection du polariseur est orienté à
⁄ par rapport l‟axe O
,
Cependant, si
les deux composantes du
vecteur champ électrique ⃗ ne sont pas nulles mais déphasées l‟une par rapport à l‟autre. La rotation
du vecteur du champ électrique résultant ⃗ dessine une ellipse et la polarisation est dite elliptique. Le
degré d‟aplanissement de l‟ellipse ou l‟ellipticité peut être calculé avec l‟équation 3.5 et 3.6.
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
3.1.4.2
Lame quart d’onde
Les lames quart d‟onde ou lame /4 sont basées sur le même principe des polariseurs. Ce sont
des lames à faces parallèles taillées dans un milieu anisotrope, ces lames permettent de produire des
polarisations circulaires droites ou gauches. Elles présentent deux directions de vibration
orthogonales
parfois appelées lignes neutres ou axes optiques. Elles sont construites pour que
les amplitudes des deux composantes (
) du champ électrique soient égales, et le
⁄ . Quand un faisceau lumineux déjà polarisé traverse
déphasage
une lame quart d‟onde, les vitesses de propagation de
de phase qui vaut
, et
sont différentes; il en résulte un retard
⁄ soit un quart de la longueur d‟onde. Ces lames sont capables de
convertir une polarisation rectiligne en polarisation circulaire et vice versa, selon le montage optique
considéré. Quand les lignes neutres de la lame /4 sont alignées avec les axes de l‟ellipse, la
polarisation elliptique devient une polarisation linéaire.
La combinaison d‟un polariseur linéaire, avec son axe de sélection orienté à 45 degrés par rapport à
une lame quart d‟onde qui est elle-même orientée à 0 degré par rapport à l‟axe
, permet d‟obtenir
une polarisation circulaire, ce montage (polariseur+/4) est souvent appelé «polariseur circulaire».
3.2 Formalisme
Pour étudier la lumière polarisée, il existe deux formalismes matriciels permettant d‟aborder
ce sujet sans passer par les propriétés transversales de l‟onde électromagnétique ou les équations de
Maxwell. Le formalisme de Jones permet de résoudre le problème de la superposition des faisceaux
lumineux (faisceau émis de façon ordonnée), dans lesquels les amplitudes s‟additionnent. Ce
formalisme est représenté par une matrice
avec des quantités complexes difficilement
mesurables, telles que l‟amplitude et la phase de l‟onde lumineuse (Jones, 1941). Le formalisme de
Mueller est une matrice
, avec 16 degrés de libertés et est basé sur l‟intensité de la lumière qui est
une grandeur physique mesurable. Il permet de résoudre la superposition de l‟intensité des faisceaux
lumineux. La sphère de Poincaré (Poincaré, 1892) et la matrice de cohérence (Wolf, 1983) permettent
aussi d‟étudier les états de polarisation de la lumière.
Dans cette étude, nous ne développons que le formalisme de Mueller car il est mesurable, et se trouve
plus adapté à une réalisation expérimentale.
3.2.1 Paramètre de Stokes
En 1852, Sir Gabriel Stokes a démontré que la polarisation de la lumière peut être représentée
par quatre grandeurs physiques mesurables (Stokes, 1852), dont le premier terme
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représente
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
l‟intensité totale de la lumière, et les trois autres paramètres (
) décrivent les états de
polarisation de la lumière. La représentation des paramètres de Stokes en fonction de l‟intensité de
l‟onde électromagnétique est nécessaire, car cette grandeur physique peut être observée et mesurée
expérimentalement, tandis qu‟une représentation au niveau de l‟amplitude du champ électrique de
l‟onde électromagnétique ne peut pas être observée expérimentalement. Mathématiquement, il est
toujours possible de raisonner sur l‟amplitude de l‟onde électromagnétique, c'est-à-dire que les
paramètres de Stokes peuvent être calculés en fonction de l‟intensité ou de l‟amplitude de la lumière.
Lorsqu‟une onde plane monochromatique se propage dans l‟espace suivant l‟axe
composantes orthogonales
du champ électrique
positif, les deux
ne sont pas nulles dans le plan de l‟onde,
ce qui revient à écrire :
,
(3.12)
représentent l‟amplitude de l‟onde, tandis que
sont la phase de l‟onde suivant
et
. En effet, les deux composantes orthogonales du champ électrique
durée spatiale de l‟onde. Avec l‟élimination du terme en
et
dépendent du temps et de la
et en posant
, l‟équation
précédente devient celle d‟une ellipse mais en fonction du temps, ce qui permet d‟écrire :
(
⁄
)
⁄ )
(
⁄
(3.13)
Jusqu‟à maintenant l‟équation de l‟ellipse est toujours en fonction du temps, et les amplitudes
sont des constantes. Pour représenter l‟onde lumineuse en fonction des quantités observables
et mesurables, il faut calculer la valeur moyenne temporelle de l‟onde sur le temps d‟intégration, et
l‟ellipse devient :
⟨
⟩⁄
⟨
⟩
⁄
⟨
⟩
⁄
(3.14)
Où ⟨ ⟩ désigne la moyenne temporelle
Dans le cas d‟une onde totalement polarisée, les paramètres de Stokes peuvent être reliés aux
paramètres géométriques de l‟ellipse de polarisation, tel que :
⁄
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( ⁄ )
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(3.15)
Page 34
Chapitre 3 : Méthodes Optiques
⁄
⁄
(3.16)
⁄
√
(
)
Et l‟excentricité de l‟ellipse :
√
(3.17)
Après un calcul de la moyenne du temps d‟intégration de l‟onde lumineuse, et simplifications au
niveau de l‟amplitude et du champ électrique, les paramètres de Stokes peuvent s‟écrire de la façon
suivante :
(3.18)
{
avec
(3.19)
Après la normalisation (
) des paramètres de Stokes (Azam, 1989), (Shurcliff, 1962) il est
possible de déterminer la valeur de chaque paramètre selon l‟état de polarisation considérée.
Généralement, les paramètres de stokes pour une onde lumineuse quasiment monochromatique,
s‟expriment :
[ ]
⟨ ⟩
⟨ ⟩
⟨
[ ⟨
⟨
⟨
⟩
⟩
⟩
⟩]
(3.20)
Mathématiquement, ce n‟est pas un vecteur. Comme les paramètres de Stokes s‟écrivent sous la forme
d‟une matrice colonne, or la notation de vecteur s‟applique à toute matrice colonne, ce qui permet de
les considérer comme un vecteur. Dans le cas d‟une polarisation totale de la lumière, le vecteur de
Stokes vérifie l‟égalité suivante :
(3.21)
Dans le cas contraire :
(3.22)
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
Pour chaque état de polarisation de la lumière, il est possible de déterminer le degré de polarisation de
la lumière par les équations suivantes :
Degré de polarisation
√
⁄
⁄
(3.23)
Degré de polarisation linéaire,
√
⁄
(3.24)
Degré de polarisation circulaire,
⁄
(3.25)
Avec
∶ la lumière est non polarisée,
: la lumière est totalement polarisée,
<
<
: la lumière est partiellement polarisée.
Parfois, au sein d‟un même faisceau lumineux coïncident des ondes polarisées et des ondes non
polarisées. Dans ce cas, DP est inférieur à 1 et selon (Collett, 1992), (R. A. Chipman, 1995) cette
polarisation dite polarisation partielle peut être considérée comme une superposition complète des
vecteurs de Stokes polarisés. En ce sens, le vecteur de Stokes peut être décomposé en la somme de
deux vecteurs de Stokes qui sont :
. Le vecteur de Stokes s‟écrit:
(polarisé) et
⁄
⁄
[ ]
[ ]
(3.26)
⁄
[
]
ou
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
√
√
[ ]
[
[
]
(3.27)
]
Lorsqu‟un matériau biréfringent se trouve dans la trajectoire d‟une onde déjà polarisée, le vecteur de
Stokes en fonction de l‟intensité de la lumière transmise à travers le matériau peut s‟écrire totalement
en fonction de l‟intensité de la lumière,
[ ]
[
[
]=[
]
(3.28)
]
Pour mesurer les éléments de Stokes dans un système optique, il faut produire et mesurer les six
intensités de la lumière polarisée.
représente l‟intensité totale de la lumière transmise à travers
Le premier terme
un matériau biréfringent. Pour mesurer expérimentalement le premier élément du vecteur de Stokes, la
présence de deux polariseurs linéaires s‟avère importante, avec leurs axes de sélection orientés
respectivement à 0 ( ) degré (la polarisation est dite horizontale) et à 90 (
) degrés (la polarisation
est dite verticale). L‟addition de ces deux intensités déterminent l‟intensité maximum dans le système
optique, et leur différences définissent le deuxième élément de Stokes le
Quand les axe de sélection des deux polariseurs linéaires sont orientés à +45
par rapport à l‟axe
élément de Stokes
puis à -45 degrés
, la différence de ces deux intensités permet de mesurer le second
.
Quand un polariseur linéaire (figure 3-6, rond bleu) avec à son axe de sélection orienté à 0 degré par
rapport à l‟axe
est suivi d‟une lame quart d‟onde (figure 3-6, rond noir) avec l‟un de ces axes
neutres placé à +45 degrés par rapport à l‟axe de sélection de ce dernier, l‟état de polarisation de
l‟onde lumineuse à la sortie de la lame quart d‟onde est dite circulaire droite ( ). Cependant, si l‟un
des axes neutres de la lame quart d‟onde est orienté à 135 degrés par rapport à l‟axe de sélection du
polariseur linéaire, on parle de polarisation circulaire gauche ( ). Ceci permet de mesurer le
paramètre
.
Selon (Collett, 1992), et (Francois & Wyncke, 2003), l‟introduction d‟une lame quart d‟onde perturbe
le paramètre
, car ce polariseur absorbe une quantité d‟énergie, contrairement à ce qui se passe dans
la mesure des trois autres paramètres. Pour une mesure précise des paramètres de Stokes, il est
nécessaire de connaitre le coefficient d‟absorption de la lame pleine onde.
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
Etats de polarisations
Faisceau lumineux
Figure 3-6 : Faisabilité physique pour obtenir les vecteurs de Stokes. Une présentation expérimentale et basique
des différents états de polarisation de la lumière. Les différentes positions des polariseurs linéaires et circulaires
permettent de mesurer expérimentalement le vecteur de Stokes dans le banc optique. D‟autres équipements
optiques (lame demie- onde, lame pleine-onde variable) peuvent être ajoutés dans ce montage pour mesurer le
vecteur de Stokes (polariseur : rond bleu, lame quart d‟onde : rond noir).
Le tableau ci-dessous résume les différents états de polarisation des vecteurs de Stokes normalisés.
Vecteur de Stokes
[ ]
H
[ ]
V
[
+45
]
[ ]
-45
[
]
CD
CG
[ ]
[
]
Elliptique
[
]
Tableau 1 : Vecteurs de Stokes.
3.2.2 Formalisme de Jones
En 1940, Robert Clark Jones présente un formalisme matriciel qui permet de représenter l‟état
de polarisation d‟une onde plane et monochromatique, (Jones R. , 1941,1947,1956), (Jones R. C.,
1941). Quand un objet biréfringent, totalement homogène, se trouve dans la trajectoire d‟une onde
totalement polarisée, le vecteur champ électrique ⃗ vibre dans la direction de propagation de l‟onde, et
l‟onde reste toujours polarisée après avoir traversé l‟objet biréfringent. Cependant, la nature physicochimique de l‟objet biréfringent peut modifier l‟état de polarisation de l‟onde lumineuse ou de la
lumière en créant un déphasage égal ou inégale entre les deux composantes orthogonales du vecteur
champ électrique ⃗ . Si le vecteur champ électrique ⃗⃗⃗ reste uniforme dans le milieu optique, la matrice
de Jones à coefficients complexes permet d‟étudier le comportement de l‟onde, et de l‟objet
biréfringent. Ce formalisme s‟applique uniquement si les conditions ci-dessous sont réunies :
a) une onde plane
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
b) une onde parfaitement monochromatique
c) une onde totalement polarisée
La représentation complexe du champ électrique selon Jones permet d‟écrire :
⃗
,
(
Par élimination du terme de propagation d‟onde
⃗
(
)
(3.29)
)
, l‟équation devient :
(
(
)
)
(3.30)
Le vecteur de Jones contient toute l‟information nécessaire sur l‟état de polarisation de l‟onde,
principalement sur l‟amplitude et la phase des deux composantes orthogonales du vecteur champ
électrique. Ce formalisme peut être défini par trois paramètres de polarimétrie qui sont :
posant
ou par les trois derniers éléments du vecteur de Stokes (
en
) dans le cas
d‟une onde totalement polarisée. Ceci permet de décrire de manière simple et unique les
caractéristiques de l‟onde lumineuse. Dans un système optique non dépolarisant, la matrice de Jones J
, et l‟interaction du milieu totalement polarisé avec le système
est représentée par une matrice
optique est définie suivant l‟équation :
(3.31)
Avec l‟équation 3.31, il est possible d‟en déduire la matrice de Jones pour un polariseur linéaire ou
circulaire. Lorsqu‟un objet biréfringent et homogène est traversé par une onde lumineuse totalement
polarisée, il est possible d‟avoir une atténuation totale de l‟une ou des deux composantes (
) du
champ électrique ou d‟avoir un retard de phase entre les deux.
Le tableau suivant représente les vecteurs de Jones normés.
Vecteurs Jones
H
V
* +
* +
+45
-45
⁄ * +
√
⁄ *
√
CD
+
⁄ *
√
CG
+
⁄ * +
√
Elliptique
*
+
Tableau 2 : Vecteurs de Jones.
Dans le cas de la superposition de plusieurs ondes lumineuses, la somme des vecteurs de Stokes est
possible si la superposition est incohérente (onde non polarisée), sinon la somme des vecteurs de Jones
est possible.
Quand dans un système optique les objets biréfringents sont disposés en cascade, la matrice de Jones
de l‟ensemble est le produit des matrices de Jones formant cette cascade, tel que :
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
(3.32)
Cependant, si le vecteur champ électrique évolue de façon aléatoire au sein du même faisceau, l‟onde
lumineuse n‟est plus totalement polarisée, la matrice de Jones se révèle incomplète et doit céder la
place au formalisme de Mueller.
3.2.3 Sphère de Poincaré
En 1892, Henri Poincaré publia son ouvrage intitulé « La Théorie des Mathématiques de la
Lumière » tome 2 (Poincaré, 1892), dans lequel il définit par des calculs géométriques tous les états de
polarisation de la lumière sur une sphère dite Sphère de Poincaré. La représentation géométrique de
Poincaré est parfaitement adaptée à l‟optique cristalline car tous les états de polarisations peuvent être
représentés dans la sphère de rayon 1 (Azzam, 2000). Les pôles nord et sud représentent une
polarisation circulaire droite ou gauche, les point situés sur l‟équateur sont des états de polarisation
linéaires tandis que les autres points représentent une polarisation linéaire. Ces calculs s‟appuient
directement sur les vecteurs de Stokes normalisés, car pour un état
cartésiennes sont
⁄
taux de polarisation
compris entre 0 et 1.
Un point
⁄
⁄
donné, les coordonnées
ou pour les coordonnées sphériques (
quelconque sur la sphère est caractérisé par
). Avec un
et . Ce point représente un état de
polarisation, et peut être écrit en fonction des vecteurs de Stokes réduits ou normalisés (Mac Born,
1986).
Figure 3-7 Sphère de Poincaré.
Le vecteur⃗⃗⃗ sur la sphère peut s‟écrire :
⃗{
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⁄
⁄
⁄
⇔{
⁄
⁄
⁄
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(3.33)
Page 40
Chapitre 3 : Méthodes Optiques
3.2.4 Formalisme de Mueller
Bien qu‟il eut un prédécesseur (Soleillet, 1929), c‟est en 1940 qu‟Hans Mueller fut considéré
le premier à avoir l‟idée de démontrer que tout élément optique peut être représenté sous la forme
d‟une matrice 4x4, de 16 degrés de liberté, c'est-à-dire, 16 quantités physiques, réelles et mesurables.
L‟avantage majeur du formalisme de Mueller est le fait qu‟il est basé sur l‟exploitation de l‟intensité
de la lumière quel que soient les états de polarisation. De nos jours, il est possible de mesurer
expérimentalement l‟intensité de la lumière ce qui n‟était pas le cas quand Stokes avait défini les
quatre états de polarisation de la lumière. Ce formalisme permet d‟étudier
a) lumière totalement polarisée
b) lumière partiellement polarisée
c) lumière non polarisée.
Contrairement au formalisme de Jones qui étudie seulement le cas où la lumière est totalement
polarisée, la matrice de Mueller prend en compte tous les états de polarisation (Mueller, 1948). Ainsi,
Mueller utilisa les travaux de Stokes pour compléter sa théorie car le vecteur de Stokes
ouvre la voie
à un outil mathématique très puissant permettant de d‟écrire l‟interaction atomique et structurelle de la
lumière avec la matière. L‟exploitation de la matrice de Mueller permet d‟avoir aussi un système dont
le contraste est basé sur les propriétés de polarimétrie du milieu observé. En ce sens, quand un
matériau biréfringent est placé dans la trajectoire d‟une onde déjà polarisée, le vecteur de Stokes à
l‟entrée et à la sortie du matériau permet de calculer ou de mesurer la matrice de Mueller
correspondant ( ) :
⃗⃗
(3.34)
[
][ ]
(3.35)
[ ]
Dans un banc optique où les éléments du système sont montés en cascade, la matrice de Mueller du
système est le produit des matrices de Mueller de chaque élément, tel que :
(3.36)
[
][
]
[
][
]
(3.37)
En pratique, la matrice de Mueller normalisée fournit l‟information sur la polarimétrie du système; le
terme
représente l‟intensité totale du milieu optique ou la transmission de l‟échantillon en lumière
dépolarisée, ou l‟intensité totale.
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
3.2.5 Faisabilité physique de la matrice de Mueller
n‟est pas obligatoirement une matrice de Mueller. Elle est dite Mueller
Toute matrice
seulement lorsque les vecteurs de Stokes d‟entrée et de sortie sont physiquement admissibles. Pour
qu‟un vecteur de Stokes soit considéré physiquement admissible, il doit vérifier les équations 3.21 et
3.23. Les conditions d‟admissibilité physique sont largement étudiées dans la littérature (Hovenier,
1986), (Barakat, 1987), (Cloude, 1989), (Girgel, 1991), (Xing, 1992), (Kumar, 1992), (van der Mee C.
.., 1992), (Kostinski, 1993), (Gil, 2000), (van der Mee C. V., 1993), (Christian Brosseau, 1993),
(Alexander B. Kostinski, 1993), (R. A. Chipman, 1995). D‟après ces auteurs, une matrice de Mueller
expérimentale est considérée comme matrice de Mueller si :
|
|
∑(
∑
)
√
{
avec
√
Dans la thèse de Ainouz (2006) il a été démontré que la matrice de Mueller
expérimentale du radio-
collimateur de Howell (Howell, 1979) connu pour son caractère non physique peut être vérifiée par la
condition de Givens et Kostinski (Alexander B. Kostinski, 1993), qui est une condition nécessaire et
suffisante, parce qu‟elle est basée sur l‟utilisation de la métrique de Lorentz qui est définie par
[
2. Le spectre de
]. Une matrice
(
)
est dite Mueller si :
est réel
3. Le vecteur propre associé à la plus grande valeur propre est un vecteur Stokes physique.
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
Malheureusement, la matrice
expérimentale du radio-collimateur ne respecte pas les conditions
nécessaires pour être considérée comme une matrice de Mueller physiquement réalisable selon le
Givens et Kostinski.
Selon (Laude-Boulesteix, 2004), (Hatit, 2009), une matrice de Mueller est physiquement réalisable, si
les valeurs propres de sa matrice hermitienne
associée sont toutes positives ou nulles.
Soit une source de lumière non polarisée, caractérisée par son vecteur de Stokes ⃗⃗
, et
la
matrice de Mueller d‟un polariseur idéal avec son axe de sélection orienté à 45 degrés par rapport à
l‟axe
. Selon l‟équation 3.35, il est possible d‟écrire :
[
]
[ ]
[ ]
(3.38)
[ ]
Donc l‟intensité totale de la lumière non polarisée après avoir traversé le polariseur linéaire vaut 0,5 I ;
l‟intensité de la lumière est la moitié de ce qu‟elle était avant la traversée du polariseur.
Soit
une source de lumière déjà polarisée caractérisée par son vecteur de Stokes ⃗⃗
, et
une matrice de Mueller d‟une lame quart d‟onde orientée à ±45 degrés par rapport au polariseur, on a :
]
[
[ ]
[
]
(3.39)
[ ]
A la sortie de la lame quart d‟onde, la polarisation est circulaire droite ou gauche. Les résultats obtenus
de l‟équation 3.38 et 3.39 sont conformes avec les valeurs dans le tableau 1.
3.2.6 Composant optique de polarisation
3.2.7 Dichroïsme :
Un matériau totalement homogène est dit diatténuateur ou dichroïque si dans l‟interaction avec
la lumière il présente une anisotropie spatiale d‟absorption et donc de transmission. Les structures
physico-chimiques d‟un tel matériau engendrent une modification de l‟état de polarisation de la
lumière qui est caractérisé par une modification de l‟amplitude des composantes du champ électrique.
Dans le cas où la phase de l‟onde électromagnétique incidente n‟est pas modifiée, le taux de
transmission énergétique maximal
et minimal
de l‟élément dichroïque, correspond à la
transmission selon ses deux axes orthogonaux .Un diatténuateur scalaire se définit par :
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
⁄
(3.40)
Si
: l‟élément est un polariseur parfait
<
<
∶ l‟élément est un polariseur partiel
: l‟élément non polariseur ; la transmission en intensité est indépendante de l‟état de
polarisation de l‟onde.
Dans le cas d‟une onde non polarisée, la transmittance se défini par :
⁄
(3.41)
Le taux d‟extinction est défini par l‟expression suivante :
⁄
(3.42)
Comme la matrice de Mueller est basée entièrement sur l‟intensité de la lumière et non sur son
amplitude, la valeur scalaire du taux de transmission en intensité (Collet, 2003) peut être lue
directement sur la première ligne de la matrice de Mueller et se définit par :
√
√
(3.43)
(3.44)
Il est possible de lire les états de polarisation liés à ces taux de transmission par le vecteur de Stokes;
on a :
⁄
[
]
[
]
⁄
[
]
sont deux vecteurs totalement polarisés et orthogonaux, dont
du diatténuateur. Soit
associé à
[
]
(3.45)
définit l‟axe principal
le vecteur de Stokes décrivant l‟état propre de polarisation
. En remplaçant l‟équation 3.43 dans l‟équation 3.40, le dichroïque scalaire de l‟élément
devient :
√
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⁄
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(3.46)
Page 44
Chapitre 3 : Méthodes Optiques
Si les états propres de l‟élément dichroïque sont linéaires, circulaires, ou elliptiques dans ce cas,
l‟élément dichroïque est appelé polariseur linéaire, circulaire ou elliptique. La définition scalaire de
l‟élément dichroïque est nécessaire mais pas suffisante car plusieurs éléments optiques (diatténuateur)
peuvent avoir la même diatténuateur . Quand le taux de transmission
de la polarisation est
beaucoup plus élevé dans une direction spécifique, celle-ci est considérée comme la direction
principale de transmission et la valeur de 1 lui est associée dans le cas d‟un diatténuateur pure et
homogène. Le vecteur de Stokes
associé à un tel état propre de polarisation
par :
revient à définir
⃗
]
[
]
[
⁄
]
[
(3.47)
Le diatténuateur linéaire est défini par :
√
(3.48)
Le diatténuateur scalaire peut être redéfini par :
|⃗ |
√
√
(3.49)
* ⃗⁄ +
(3.50)
Le vecteur de Stokes peut être réécrit mathématiquement,
*⃗ ⁄ +
En reprenant la définition du diatténuateur de l‟équation 3.40, vectoriellement il est possible d‟écrire :
⁄
⁄
⃗
[
]
[
⁄
⁄
]
[
⁄
]
(3.51)
⁄
[
Dans le cas d‟un polariseur orienté à un azimut
]
et une ellipticité
, les valeurs de
peuvent être calculées directement par la formule ci-dessous :
⃗
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[
]
[
]
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(3.52)
Page 45
Chapitre 3 : Méthodes Optiques
En ce sens, la matrice de Mueller pour un élément dichroïque ou diatténuateur est de la forme :
*
⃗
+
⃗
(3.53)
Avec
⁄
Où
, ̂
est la matrice identité
Pour
)̂ ̂
(3.54)
⃗ ⁄| ⃗ | le vecteur unitaire selon la direction⃗⃗⃗ ,
est la matrice réduite
transmittance maximum, et
⁄
(
la
.
= 1, le diatternuateur est un polariseur idéal qui peut transformer une onde totalement
dépolarisée en une onde totalement polarisée. Après calcul et simplification, la matrice de Mueller
pour un diatténuateur est :
*
]
[
Pour un polariseur idéal, les différentes valeurs de
⃗
⃗
+
(3.55)
déterminent l‟état de polarisation du faisceau
lumineux à la sortie du polariseur. La forme générale d‟un polariseur linéaire (Francois & Wyncke,
2003) est la suivante :
[
]
La première ligne de la matrice de Mueller
donne des informations pertinentes sur la nature
physico-chimique de l‟élément dichroïque.
3.2.8 Polarisance
Quand un matériau optique totalement homogène et anisotrope est traversé par un faisceau
, l‟état de polarisation de
lumineux non polarisé caractérisé par le vecteur de Stokes
lumière à la sortie de matériau peut être lu directement sur la première colonne de la matrice de
Mueller. La polarisance est définie comme le degré de polarisation induit par un matériau biréfringent
et anisotrope sur un faisceau lumineux non polarisé, on a :
√
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⁄
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(3.56)
Page 46
Chapitre 3 : Méthodes Optiques
: la polarisation est totalement anisotrope
<
<
: la polarisation est partiellement anisotrope
: la polarisation engendrée est isotrope
Le vecteur de polarisance peut se définir par :
⃗
]
[
⁄
[
]
Pour un matériau totalement homogène et anisotrope, la polarisance
pure et homogène (
(3.57)
est égale au diatténuateur
, ce qui revient à écrire :
(3.58)
Cette égalité n‟est vraie que pour des polariseurs parfaits.
3.2.9 Déphaseur
Un déphaseur ou retardateur a pour but de modifier les phases des états de polarisations
propres. En ce sens, il agit différemment sur les deux composantes orthogonales du champ électrique
sans modifier leur amplitude. La direction où le déphasage est beaucoup plus faible définit l‟axe rapide
de l‟état de polarisation propre. Malheureusement, ce paramètre n‟est pas totalement visible dans la
matrice de Mueller. Le retard de phase scalaire engendré par le déphaseur s‟écrit :
|
|
(3.59)
Comme pour le dichroïque, le cas le plus général est donc celui de la biréfringence elliptique
⃗
[
]
(3.60)
De même pour le diatténuateur, le retard se définit par :
⃗
avec ⃗
[ ][
]
(3.61)
le vecteur de Stokes d‟un tel vecteur propre. La connaissance du vecteur ⃗
donne la possibilité de caractériser complètement le déphaseur. Le retard de phase total produit par le
déphaseur s‟écrit en fonction du retard linéaire, comme pour le diatténuateur linéaire:
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
√
√
(3.62)
La matrice de Mueller pour un déphaseur est :
avec
est la matrice réduite
*
⃗
]
[
⃗
+
(3.63)
. On a :
⁄ )
*(
+
(3.64)
Donc le vecteur de retard peut être déterminé à partir de la matrice de Mueller par :
( ⁄
)∑
⁄
[
(3.65)
ou
⃗
Et la matrice
]
(3.66)
est définie par :
∑
(3.67)
La matrice de Mueller pour un déphaseur linéaire (Francois & Wyncke, 2003) est le produit d‟un
rotateur par un déphaseur. Les différentes valeurs de
et
déterminent le déphasage induit dans le
milieu optique
La forme générale d‟un déphaseur linéaire est :
[
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
La matrice de Mueller pour un déphaseur elliptique se définit par :
[
]
avec :
⁄
⁄
⁄
⁄
{
3.2.10 Milieu dépolarisant et non-dépolarisant
Selon Lu et Chipman, un matériau dépolarisant est un matériau optique qui n‟a ni polarisance,
ni diatténuateur. La matrice de Mueller pour un tel matériau est définie par:
*
⃗
Avec
⃗
+
(3.68)
représente une matrice 3x3 symétrique qui être diagonalisée. Les axes de dépolarisation
principaux sont définis par ses vecteurs propres. La matrice de Mueller prend la forme suivante :
| |
| |et
[
]
[
]
(3.69)
| | correspondent au pouvoir dépolarisant du matériau suivant les 3 axes
propres. La dépolarisation est définie par :
| |
Le dépolariseur est dit partiel quand
| |
| |⁄
(3.70)
.
Pour un dépolariseur idéal, on a :
Le tableau ci-dessous donne la matrice de Mueller pour un matériau dépolarisant:
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
Matériau
Matériau
Matériau
dépolarisant
Dépolariseur partiel
Purement idéal
[
]
[
]
[
]
[
Tableau 3 : Matrice de Mueller pour des matériaux dépolarisants,
]
3.2.11 Décomposition de la Matrice de Mueller
La matrice de Mueller est une matrice qui est très riche en informations, car elle permet de
remonter à la nature physico-chimique de l‟élément optique tel que le diatténuateur, la polarisance et
le déphaseur. D‟après la méthode de Lu et Chipman (Lu & Chipman, 1996), la matrice de Mueller
peut être décomposée comme le produit de trois sous matrices. La méthode qu‟ils ont proposée,
permet d‟extraire pour toute matrice de Mueller physiquement réalisable les trois paramètres ci-dessus.
(3.71)
[ ]
est la matrice du dépolarisant,
*
⃗
⃗
⃗
+*
⃗
+
*
⃗
⃗
+
(3.72)
celle du retardateur et celle d‟un diatténuateur
ce qui revient à écrire:
[ ]
*
⃗
⃗
+
[ ]
(3.73)
avec
[ ]
]
[
(3.74)
On a :
⃗
[ ]
[⃗
]
(3.75)
⃗ est le vecteur de polarisance, ⃗ est le vecteur du diatténuateur et
est la matrice de Mueller
réduite
[
]
.
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
Pour déterminer la matrice du dépolariseur (Hatit, 2009), (Dubreuil, 2010), (Jungrae, 2007), (Ghosh N.
M., 2008), (Ghosh N. M., 2009), (S. Manhas, 2006), il faut connaitre le vecteur ⃗ et la matrice
Dans le cas où
.
(équation 3.55) n‟est pas singulière, il est possible de construire la matrice
telle que :
(3.76)
On a :
*
avec
⃗
+=*
⃗
⃗
⃗
+*
⃗
⃗
+=
(3.77)
=
Dans l‟équation 3.72, la matrice du dépolarisant est différente de celle présentée dans l‟équation 3.68,
car elle fait intervenir ⃗ qui est le vecteur polarisance du dépolarisant. En générale, une matrice de
Mueller contient 16 paramètres indépendants et 16 degrés de libertés. Cependant, le diatténuateur
est défini par 4 paramètres (
), le retardateur par 3 paramètres (
), et le dépolariseur
par 6 paramètres (3 facteurs de dépolarisation et 3 directions associées). Les 3 autres degrés de liberté
s‟obtient après inversion de
dans l‟équation 3.76. Ceci permet d‟avoir une description cohérente
de la matrice de Mueller.
On peut déduire l‟expression du vecteur ⃗ :
⃗
*
⃗
⁄
+
(⃗
⃗)
⁄
avec
(3.78)
Avec
Pour déterminer
[
]
(3.79)
, on a :
=
Soit
=
les valeurs propres de la matrice
. Les valeurs propres de
partir de la racine des valeurs propres de la matrice
[
(√
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√
√
(3.80)
) ]
sont calculées à
, ce qui permet d‟écrire :
[(√
√
√ )
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√
]
(3.81)
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
Si le déterminant de
est négatif, on utilise le signe -, sinon on utilise le signe +. Ceci permet de
calculer facilement la matrice retard qui est :
(3.82)
Le but de la décomposition polaire de la matrice de Mueller
est de fournir une interprétation
physique aux matrices de Mueller expérimentales, équation (3.71). Cependant, le produit matriciel
n‟est pas commutatif. L‟ordre de l‟arrangement des matrices est très important. La matrice de Mueller
peut être décomposée :
(3.83)
{
D‟après Morio et Goudail (Goudail, 2007), il est possible séparer l‟équation 3.83 en deux familles qui
sont: décompositions classiques et famille inverse.
a) Dans les décompositions classiques, les trois premières équations font intervenir le
diatténuateur avant le dépolariseur. Cette décomposition donne lieu à des matrices de Mueller
physiquement réalisables et non singulières.
b) Dans la famille inverse, les trois dernières équations font apparaitre le dépolariseur avant le
diatténuateur. Il est possible que cette décomposition donne lieu à des matrices de Mueller non
physiques dans le cas de fortes dépolarisations. Cependant, ce problème est résolu par
Ossikovski et al (Ossikovski, 2007), (M. Anastasiadou, 2007).
D‟après Lu (Lu & Chipman, 1996), il est toujours préférable de séparer l‟élément dépolarisant
éléments non dépolarisant
des
. Ce choix permet de réduire les six arrangements possibles de
l‟équation de 3.83 en trois arrangements en partant de la première équation. Cependant, pour une
interprétation des données expérimentales, seulement la première équation de 3.83 est validée.
Toutes les matrices de Mueller présentées ci-dessus ont le premier élément
qui vaut toujours 1
parce que ce sont des éléments optiques totalement homogènes et anisotropes (élément parfait). Cette
valeur représente l‟intensité maximum du milieu optique. Pour les polariseurs idéaux, la valeur
scalaire du diatténuateur et la polarisance est égale à 1 en considérant les deux modes de transmission
(
⁄ ).
Un objet uni-axial biréfringent et totalement homogène peut être représenté par une matrice de Jones.
Cependant, si l‟objet possède une certaine variabilité structurelle qui peut modifier l‟état de
polarisation de la lumière, de telle sorte que le champ électrique évolue aléatoirement au sein du même
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Chapitre 3 : Méthodes Optiques
faisceau, par exemple un tissu biologique, la matrice de Jones se révèle incomplète. Elle laisse la place
à la matrice de Mueller qui est beaucoup plus complète parce qu‟elle traite tous les états de
polarisation. De plus, la décomposition de la matrice de Mueller selon l‟algorithme de Lu et Chipman
permet d‟extraire 3 sous matrices qui permettent de remonter directement à la nature physico-chimique
du tissus biologique (diatténuateur, polarisance, retardateur) ce qui revient à dire que la matrice de
Jones n‟est pas faite pour étudier la polarimétrie des tissus biologiques.
En raison de tous ces facteurs, notre choix se porte sur l‟exploitation de la matrice de Mueller pour
simuler le comportement du myocarde humain en lumière polarisée. Ce formalisme permet de
déterminer avec robustesse
a) l‟orientation des cardiomyocytes dans chaque voxel
b) la mesure du niveau d‟homogénéité du tissu myocardique
c) comparer les résultats simulés avec les données expérimentales
d) permet de mieux interpréter les données expérimentales.
Avant de commencer la simulation du myocarde humain, il est nécessaire de réaliser la qualification
du banc optique pour s‟assurer l‟homogénéité de la source lumineuse, le croisement des polariseurs
linéaires et circulaires, et les caméras d‟acquisition d‟images.
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Contributions
Contributions
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Chapitre 4 : Banc Optique
Chapitre 4
Banc Optique
Chapitre 4................................................................................................................................ 55
4.1 Constitution du banc optique ...................................................................................... 56
4.1.1 Description ............................................................................................................. 56
4.1.2 Montage du banc optique ....................................................................................... 56
4.2
Qualification ............................................................................................................. 58
4.2.1 Source lumineuse ................................................................................................... 58
4.2.2 Polariseur/Analyseur linéaire ................................................................................. 61
4.2.3 Rotation des moteurs.............................................................................................. 63
4.2.4 Lames quart d‟onde ou « polariseur circualaire » .................................................. 65
4.2.5 Caméras d‟acquisitions .......................................................................................... 69
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Chapitre 4 : Banc Optique
4.1 Constitution du banc optique
4.1.1 Description
A cause de la complexité du myocarde humain (ventricule droit et gauche, et le septum interventriculaire), (voir chapitre 1), la plupart des techniques d‟imageries de nos jours se révèle moins
efficace. La méthode la plus adaptée pour étudier l‟architecture du myocarde humain de façon
détaillée par des cartographies est la technique d‟imagerie en lumière polarisée (Jouk P-S. U. Y.,
2000), (Wood M. F., 2010). Ainsi, pour analyser la structure détaillée du myocarde humain, Jouk et al.
(Jouk P-S., 1994) ont développé un système de polarimétrie pour l‟acquisition et l‟analyse des images
du myocarde humain. Ainsi, un banc optique en lumière polarisée a été réalisé avec les éléments
optiques cités ci-dessous :
a) une source de lumière « blanche » homogène, non polarisée et de spectre connue
b) deux polariseurs linéaires
c) deux polariseurs circulaires (marque Hoya 95 mm PL-CIR)
d) deux filtres de densité (marque Hoya 80 mm)
e) une lame pleine onde (550 nm)
f) une platine porte-objet
g) un diffuseur.
4.1.2 Montage
Dans la figure 4-1a, la source lumineuse est montée sur un support fixe avec le faisceau
lumineux dirigé vers le haut suivant l‟axe de
positif. Tous les éléments optiques sont positionnés le
long de cet axe, ainsi le maximum de flux lumineux les traverse. Un diffuseur (opaline) est placé en
sortie de la source lumineuse pour diffuser tout le flux lumineux de façon homogène dans le banc
optique.
Deux polariseurs linéaires montés sur un support mobile sont entrainés chacun par un moteur pas à
pas. Les positions angulaires du couple polariseur et analyseur peuvent être déterminées. Le polariseur
inférieur est placé au-dessus de la source lumineuse.
La platine porte-objet est un système gyroscopique à deux axes permettant à la plaque de verre sur
laquelle est posé l‟échantillon biologique à basculer suivant l‟axe
ou
. Elle est positionnée entre
la polariseur linaire.
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Chapitre 4 : Banc Optique
Le rôle des deux polariseurs circulaires et le filtre orange seront définis dans les sections
correspondantes.
Une lame pleine onde est placée entre l‟échantillon biologique et le second polariseur (analyseur), son
rôle sera défini plus tard. L‟axe neutre de la lame pleine onde peut être orienté à 0, -45 ou 45 degrés
par rapport à l‟axe de sélection du polariseur inferieur.
Le second polariseur (l‟analyseur) permet d‟observer l‟état de polarisation de la lumière en sortie, et
son axe de sélection est orienté à 90 degrés par rapport à l‟axe de sélection au premier polariseur. Pour
faire la distinction entre les directions des deux axes de sélection des deux polariseurs, le second
polariseur est nommé analyseur.
Une caméra numérique (CCD) mobile est montée sur une potence. Elle permet d‟acquérir des images
et est dotée d‟un objectif permettant de définir le grandissement optique.
Les deux axes de la platine
Echantillon de coeur
(a)
(b)
(c)
Figure 4-1: Banc Optique. (a) schéma du banc optique ; (b) la station de travail avec les équipements liés au banc
optique ; (c) un grandissement sur la platine porte-objet qui sert à recevoir l‟échantillon de cœur.
Les moteurs de rotation et les capteurs de position à potentiomètres sont gérés par un boitier
électronique équipé de microcontrôleurs. La communication entre le boitier électronique et
l‟ordinateur se fait par une liaison RS232. Nous avons écrit un programme en C/C++ pour le pilotage
des moteurs, les capteurs de positions à potentiomètres, et les acquisitions des images.
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Chapitre 4 : Banc Optique
4.2 Qualification
Pour mener à bien cette étude, une qualification des instruments optiques est nécessaire pour
garantir la fiabilité des mesures obtenues, et pour la confrontation des mesures expérimentales avec
celles des simulations numériques. Pour ce faire, tous les instruments optiques sont testés un à un pour
vérifier l‟homogénéité de la source lumineuse, la précision et la reproductibilité du positionnement des
moteurs pas à pas, le zéro optique (origine) du couple polariseur et analyseur croisés, la qualité des
lames quart d‟onde, la qualité des polariseurs circulaires, et la linéarité des caméras d‟acquisitions. Les
résultats obtenus ont permis d‟apporter des corrections nécessaires dans le banc optique, et d‟en
optimiser le fonctionnement.
4.2.1 Source lumineuse
La source lumineuse est composée de 144 LED blanches, SMD 3528, dotées d‟une
température de couleur de 6500° k qui est proche de celle de la lumière du jour à midi. Le flux
lumineux total des LED est de 700 lumens.
La figure 4-2 montre l‟analyse de la réponse spectrale de la source lumineuse. Le retard de phase
induit par l‟objet uni-axial biréfringent dépend de la longueur de la lumière , de son épaisseur , et de
sa biréfringence
. Comme l‟indice de réfraction de chacun des deux rayons est différent (chapitre 3,
équation 3.9, et figure 3-4a), on observe une différence de chemin optique entre les deux rayons. Cette
différence est fonction de la différence de vitesse entre les deux rayons et de la longueur du trajet à
travers l‟échantillon biologique. La différence de chemin optique entre les deux indices de réfraction
(
) de l‟échantillon biologique va donner lieu à des interférences colorées avec l‟insertion d‟une
lame pleine onde entre l‟échantillon biologique et analyseur.
L‟interférence est dite constructive (superposition des deux ondes), si
est un multiple entier de la
longueur d‟onde, c'est-à-dire que :
avec
Par contre, l‟interférence est dite destructive si
(1, 2, 3, 4, ….n)
(4.1)
est égal à la moitié de la longueur d‟onde de la
lumière monochromatique plus un multiple entier de la longueur d‟onde, c'est-à-dire que :
(
⁄ )
(4.2)
Les phénomènes d‟interférences apparaissent seulement dans le cas où les deux ondes :
a) ont la même fréquence
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Chapitre 4 : Banc Optique
b) provienne d‟un même point de source lumineuse
c) présentent une différence de phase constante (parcoure la même distance).
En effet, lorsqu‟un objet uni-axial biréfringent se trouve entre polariseur et analyseur croisés, et que
est multiple entier de la longueur d‟onde de la lumière monochromatique, le plan de vibration de
l‟unique rayon issu de l‟objet est perpendiculaire au plan de vibration transmise par l‟analyseur, aucun
rayon n‟est transmis (intensité de la lumière est nulle). Si
est égal à la moitié de la longueur d‟onde
de la lumière monochromatique plus un multiple entier de la longueur d‟onde, toute la lumière est
transmise (Jouk P.-S. , 1994). Pour résoudre ce problème d‟interférence, nous avons introduit un filtre
passe long sur l‟objectif de la caméra.
Dans l‟équation 4.3 on connait l‟épaisseur e de l‟échantillon biologique (
biréfringence
= 500 µm), et sa
(chapitre 5 : Simulation Numérique, équation 5.4). Il ne reste que la longueur
d‟onde de la lumière à mesurer pour pouvoir déterminer le retard de phase pixel par pixel. Ce retard de
phase peut être calculé par
⁄
(4.3)
Pour mettre en évidence le retard de phase dans l‟échantillon biologique pixel par pixel lors d‟une
série d‟acquisitions, deux filtres (rouge et orange) sont testés un à un sur l‟objectif d‟une caméra (noir
et blanc) d‟acquisition d‟images. Le filtre rouge et le filtre orange sont des filtres « passe long », c'està-dire des filtres qui laissent passer la lumière avec une longueur d‟onde supérieure à sa longueur
d‟onde de coupure. Le filtre orange absorbe presque tout le bleu ainsi que certains verts, tandis que le
filtre rouge absorbe totalement le bleu, le vert, et ne laisse passer que la couleur dominante qui est le
rouge. La figure 4-2 et 4-3 montre la réponse spectrale des deux filtres (orange, rouge) et leur longueur
d‟onde de coupure. La connaissance de cette longueur d‟onde de coupure permet de mesurer le retard
de phase induit (équation 4.3), puis l‟intensité de la lumière polarisée transmise, et l‟angle d‟élévation
des cardiomyocytes dans la masse ventriculaire (chapitre 5, équation 5.15). Les filtres sont choisis en
fonction de la longueur d‟onde de la lumière, et en fonction de la différence de chemin optique
engendré par l‟échantillon biologique.
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Chapitre 4 : Banc Optique
1
Source
Filtre orange
Filtre rouge
Intensité normalisé
0.8
0.6
0.4
0.2
400
500
600
Longueur d'onde
700
800
Figure 4-2: Réponse spectrale de la source lumineuse seule, puis avec un filtre orange, et enfin un filtre rouge.
Ordonnées : intensité normalisée; Abscisses : longueurs d‟onde de la source en nanomètre.
1.5
Filtre rouge
Filtre orange
Transmission
1
0.5
450
500
550
600
Longueur d'onde
650
700
Figure 4-3: Réponse des deux filtres. Le filtre orange a une longueur d‟onde de coupure aux environ de 560 nm,
et le filtre rouge 610 nm. Ordonnées : l‟intensité de la lumière transmise; Abscisse : longueur d‟onde la source en
nanomètre.
Sachant que les longueurs d‟onde de coupure du filtre orange est de 560 nm, et celle du filtre rouge est
de 610 nm, donc l‟intervalle de mesures des longueurs d‟onde à traiter dans le banc optique varie de
560 à 750 nm ou de 610 à 750 nm, voir figure 4-2 et 4-3. Il devient possible de mesurer la différence
de chemin optique des deux rayons dans le banc optique. Cependant, l‟insertion du filtre orange
permet de mieux discriminer les angles azimuts entre 0 et 90 degrés, et de 90 à 180 degrés.
Après avoir effectué ces différentes mesures avec les deux filtres, le choix est porté sur le filtre orange.
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Chapitre 4 : Banc Optique
4.2.2 Polariseur/Analyseur linéaire
Quand les axes de sélection d‟un polariseur et d‟un analyseur sont perpendiculaires l‟un par
rapport à l‟autre, la lumière à la sortie de l‟analyseur est nulle, c'est-à-dire que le champ de vecteurs
électriques résultant ⃗ vaut 0, puisque ses deux composantes suivant les axes
et
sont nulles
(chapitre 3 : Méthodes Optiques, figure 3-5).
Une rotation du couple polariseur et analyseur croisés de 0 à 360 degrés, par pas de 1 degré sans
interposition de l‟échantillon biologique, permet de vérifier si les deux axes de sélection du couple
polariseur et analyseur restent bien croisés après rotations des deux moteurs.
Après le calibrage (initialisation des moteurs, croisement du couple polariseur et analyseur) du banc
optique, une acquisition est faite pour chaque angle de rotation du couple polariseur et analyseur
croisés. Puis, nous avons capturé 360 images. Ensuite, nous avons utilisé ImageJ pour analyser la pile
d‟images ainsi obtenue, puis nous avons choisi un point de mesure (ensemble de pixels de mêmes
coordonnées (
) dans les images) dans cette pile d‟images. Ce point de mesure nous a permis de
tracer dans un tableur le profil de l‟intensité de la lumière polarisée transmise. Les résultats obtenus,
montrent que dans l‟intervalle de [0°, 90°], la variation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise
est inférieure à un niveau de gris dans les images, figure 4-4.
Intensité de la lumière polarisée transmise
(niveau de gris de la caméra)
7.25
Accumulation des erreurs d'angles
7
6.75
6.5
Zone d'acquisition
6.25
6
5.75
0
45
90
135
180
225
270
315
360
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseurs croisés
Figure 4-4: Polariseur et analyseur croisés sans interposition d‟un objet uni-axial biréfringent; Ordonnées :
intensité de la lumière polarisée transmise en sortie d‟analyseur; Abscisse : angle de rotation du couple
polariseur analyseur croisés.
La figure 4-4, permet d‟observer l‟intensité de la lumière polarisée transmise, quand le polariseur et
analyseur sont croisés et sans interposition d‟un objet uni-axial biréfringent. Selon la figure 4-4, la
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Chapitre 4 : Banc Optique
variation observée dans l‟intervalle de 0 à 90 degrés est inférieure à 1 niveau de gris (cercle vert). Par
contre, l‟accumulation des erreurs d‟angles dans l‟intervalle de 200 à 360 degrés (courbe rouge)
permet d‟observer une plus grande variation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise en sortie
d‟analyseur. Cependant, ces erreurs d‟angles n‟influencent pas les mesures faites dans le banc optique.
Pour mieux expliquer pourquoi ces erreurs n‟influencent pas les mesures, il faut anticiper sur le
chapitre suivant (chapitre 5 : Simulation : figure 5-4). Il est démontré que : Pour une rotation du
couple polariseur et analyseur croisés avec l'insertion d‟un objet uni-axial biréfringent avec son axe
optique orienté à 0 degré par rapport à l‟axe de sélection du polariseur, il existe deux minima
(amplitude de la lumière nulle) et un maximum (amplitude de la lumière maximale). Les minima sont
obtenus quand l‟axe de sélection du polariseur est parallèle avec l‟axe optique de l‟objet uni-axial
biréfringent, ce qui provoque une extinction complète de la lumière à 0, et 90 degrés. Quand l‟axe de
sélection du polariseur est orienté à 45 degrés par rapport à l‟axe optique de l‟objet uni-axial
biréfringent, l‟amplitude de la lumière est maximale en ce point (45 degrés).
Dans la figure 4-5, les axes de sélection du polariseur et de l‟analyseur sont positionnés parallèlement
l‟un par rapport à l‟autre, et l‟intensité de la lumière polarisée transmise dans le banc optique est au
maximum. Puis le couple polariseur et analyseur parallèle tourne ensemble de 0 à 360 degrés par pas
de 1 degré sans l‟insertion d‟un objet biréfringent uni-axial entre eux. La mesure de la distribution de
l‟intensité lumineuse permet d‟évaluer l‟accumulation des petites erreurs d‟angles qui sont dues à
l‟imprécision des moteurs de rotation, et se manifeste par un déplacement optique dans les images. Les
pas de rotation des moteurs ne sont pas linéaires (voir sous-section, Rotation des moteurs).
Dans la figure 4-5 une rotation du couple polariseur et analyseur parallèle de 0 à 360 degrés, montre
que la variation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise en sortie d‟analyseur est toujours
inférieure à 1 niveau de gris dans l‟intervalle de 0 à 90 degrés. Cependant, dans l‟intervalle de 95 à
360 degrés (cercle rouge), cette variation est due à l‟accumulation des erreurs d‟angles dans la rotation
des moteurs.
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Chapitre 4 : Banc Optique
En résumé, Pour une rotation du couple polariseur et analyseur croisés dans l‟intervalle [0°, 90°] il
existe un maximum et deux minima. Ce domaine est largement suffisant pour déterminer les
paramètres du modèle (voir chapitre 5 et 6) et la variation de l‟amplitude de la lumière polarisée
transmise à travers le volume entre polariseur et analyseur croisés. La variation de la distribution de
l‟intensité lumineuse observée dans l‟intervalle de [0°, 90°] est inférieure à 1 niveau de gris et est donc
négligeable, figure 4-5.
Intensité de la lumière polarisée transmise
(niveau de gris de la caméra)
240
Accumulation des erreurs d'angles
238
zone d'acquisition
236
234
232
2300
45
90
135
180
225
270
315
360
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyeur en parallèles
Figure 4-5 : Représentation de la distribution de l‟intensité moyenne pixel par pixel de la lumière transmise en
fonction du couple polariseur analyseur parallèles. Les variations observées sont dues à des petites erreurs
d‟angle de rotation des moteurs. Ordonnées : Intensité de la lumière polarisée transmise ; Abscisses : angle de
rotation du coupe polariseur et analyseur parallèles.
4.2.3 Rotation des moteurs
Le polariseur et analyseur sont entrainés chacun par un moteur pas à pas (le pas d‟une rotation
est de 7,5 degrés) avec une puissance moyenne de 5 watts et une résistance interne de 9 ohms pour une
tension nominale de 4,7V, et l‟intensité moyenne par phase est 0,52 A. Pour une rotation complète de
0 à 360 degrés, les moteurs dans le banc optique doivent effectuer 48 pas (sans démultiplication).
Dans la gamme des moteurs pas à pas, les pas par tour peuvent varier de 12, 24, 48, 100, et 200 selon
le type de moteur choisi. Ce type de moteur sans balais fonctionne en courant continu (fréquence
nulle) ; leur rotor avance d‟un seul pas lorsque le sens du courant dans une bobine change de sens.
L‟avantage majeur de ce moteur, c‟est qu‟aucun dispositif supplémentaire n‟est nécessaire pour
connaitre la position du rotor, parce que chaque impulsion électrique le fait avancer d‟un pas.
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Chapitre 4 : Banc Optique
Pour contrôler, mesurer, et calibrer les pas de rotations des moteurs avec le programme d‟acquisition,
deux potentiomètres ont été placés dans la chaine de mesure.
Pour actionner les polariseurs et la platine porte-objet, la rotation des moteurs est gérée par un système
d‟engrenage et de poulie. La combinaison du système permet la démultiplication des pas de rotation
des moteurs. Ainsi, chaque élément peut positionner à une résolution finale de 0,1 degrés.
Pour vérifier la précision des pas de rotation et le repositionnement des moteurs, nous avons choisi
d‟effectuer une série d‟acquisitions avec le polariseur de 0 à 360 degrés (analyseur fixé à 0 degré, et
sans interposition d‟objet). Ainsi, nous avons capturé une image pour chaque angle de rotation du
polariseur. Les acquisitions se font par pas de 2 degrés (180 images), 5 degrés (60 images), 10 degrés
(30 images), et 20 degrés (15 images). Puis, nous avons sélectionné un point de mesure dans chaque
pile d‟images pour tracer et comparer les mesures de l‟intensité de la lumière polarisée transmise
obtenues dans chaque pile d‟images.
D‟après la loi de Malus (chapitre 3, équation 3.11), si l‟angle
(rotation du polariseur) et l‟intensité de
la lumière de la source sont connus, il est possible de mesurer la valeur de l‟intensité de la lumière
polarisée transmise en sortie de l‟analyseur. Pour analyser cette intensité, nous avons comparé le profil
d‟intensité de la lumière polarisée transmise obtenue dans les piles d‟images avec un modèle prédictif
basé sur le théorème de Malus, équation 4.5.
(4.4)
Niveau de gris minimale dans l‟image
Niveau de gris maximale dans l‟image
: Facteur correcteur de l‟origine du polariseur
: Angles de rotation du polariseur.
La différence du niveau de gris
correspond à l‟amplitude.
Dans la figure 4-6, la courbe en rouge (triangle rouge) représente le profil d‟intensité qu‟on obtient
avec le théorème de Malus (courbe rouge), tandis que les autres courbes (2, 5, 10, 20 degrés)
représentent les différentes intensités obtenues avec chaque pile d‟images. De plus, ce modèle permet
d‟observer les petites erreurs d‟angles introduites dans le banc optique lors d‟une série d‟acquisitions,
ainsi que la rotation et la précision de repositionnement des moteurs. Les erreurs d‟angles observées
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Chapitre 4 : Banc Optique
sont inférieures à 2 degrés, ce qui est négligeable. A cause de petites erreurs d‟angles dues à la rotation
des moteurs, il a été nécessaire d‟introduire le facteur correcteur
.
Intensité de la lumière polarisée transmise
(niveau de gris de la caméra)
190
171
152
133
114
95
76
57
38
19
Intensité calculée
Rotation par pas de 2°
Rotation par pas de 5°
Rotation par pas de 10°
Rotation par pas de 20°
0
45
90
135
Angle de rotation (degré) du polariseur avec analyseur fixe
180
Figure 4-6: Vérification du repositionnement des moteurs après une rotation de 180 degrés. Une pile d‟images
est capturée pour chaque angle de rotation du polariseur par pas 2, 5, 10, 20 degrés avec analyseur fixe à 0 degré.
Pour la mesure de l‟intensité de la lumière polarisée transmise, nous avons sélectionné un point de mesure dans
chaque pile d‟images puis tracer dans un tableur. L‟erreur totale observée est inférieure à 2 degrés. La courbe en
rouge est le modèle prédictif basé sur le théorème de Malus.
4.2.4 Lames quart d’onde
Les lames quart onde ou /4 sont des lames destinées à créer un déphasage de 90 degrés, c'està-dire un retard d‟un quart de longueur d‟onde pour une longueur d‟onde de 450 à 750 nm. Elles
permettent de passer d‟une polarisation rectiligne vers une polarisation circulaire et vice versa par
modification des valeurs des deux composantes du vecteur champ électrique ⃗ , et selon le montage
optique considéré. Par abus de langage, les lames quart d‟onde sont souvent appelées des polariseurs
circulaires à cause de leur état de polarisation (polarisation circulaire). Cependant, la plupart des
polariseurs circulaires vendues sur le marché sont constituées, d‟un filtre polaroïd accolés avec une
lame /4 orientée à 45 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polaroïd. Ce montage optique (/4
+polariseur) permet d‟avoir une polarisation circulaire. Ce polariseur circulaire à la propriété
troublante pour le non initié, de se comporter différemment quand on le retourne face pour face ; il est
recommandé de l‟attaquer par le côté polaroid (Sextant, 1997). De plus, selon la littérature (Francois
Brehat, 2003), un polariseur circulaire est constitué d‟un polariseur idéal avec son axe de sélection
orienté à 45 degrés par rapport à l‟axe
parallèle à l‟axe
et suivi d‟une lame quart d‟onde avec son axe rapide
. Ces deux éléments (polariseur linéaire, lame quart d‟onde) sont fixés rigide l‟un
par rapport à l‟autre, de façon que leurs axes restent fixes l‟un par rapport à l‟autre. On a :
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Chapitre 4 : Banc Optique
⁄ [
][
]
⁄ [
]
(4.5)
en multipliant 4.6 par le vecteur de Stokes, on a :
⁄ [
][ ]
⁄
[ ]
L‟intensité de la lumière polarisée transmise est fonction de
circulaire droite. L‟état de polarisation fourni par le polariseur
(4.6)
et
, le faisceau transmis est toujours
est dite circulaire, si le faisceau
lumineux le pénètre sur la face contenant le polariseur linéaire.
Le collage du filtre polaroid à la lame /4 permet d‟éliminer le reflet des ondes parasites sur les
surfaces des objets, et d‟avoir un meilleur contraste sur l‟image. Ce type de filtre est utilisé dans la
photographie comme filtre antireflet pour avoir un beau ciel bleu saturé. En général, une lame quart
d‟onde possède quatre angles d‟atténuation qui sont 90, 180, 270, 360 degrés à condition qu‟il y ait un
objet biréfringent inséré entre les deux lames quart d‟onde.
Pour tester les lames quart d‟onde et les polariseurs circulaires nous avons réalisé le montage de la
figure 4-7.
Figure 4-7: Montage optique de vérification des lames quart d‟onde et des polariseurs circulaires. (a) polariseurs
circulaires ; (b) lames quart d‟onde plus les polaroïds ; (c) lames quart d‟ondes ; % = par rapport à.
Dans la figure 4-7a, Les deux polariseurs circulaires sont placés respectivement entre le couple
polariseur et analyseur croisés à 45 et 135 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur. Puis,
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Chapitre 4 : Banc Optique
l‟échantillon de cœur est inséré entre les deux polariseurs circulaires. Pour une rotation complète du
couple polariseur et analyseur croisés, les deux polariseurs circulaires se révèlent inappropriées à nos
mesures, car ils ne possèdent que deux angles d‟extinction complète qui sont 90 et 270 degrés, figure.
4-8a.
Intensité de la lumière polarisée transmise
(niveaux de gris de la caméra)
50
Courbe expérimentale
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
45
90
135
180
225
270
315
360
Angle de rotation (degré) du couple polariseur analyseur croisés
(a)
Amplitude de la lumière polarisée transmise
0.04
Courbe de simulation
0.03
0.02
0.01
0
45
90
135
180
225
270
315
360
Angle de rotation (degré) du couple polariseur analyseur croisés
(b)
Figure 4-8:Mesures expérimentales confrontées à la simulation. (a) l‟utilisation des deux polariseurs circulaires
du laboratoire placés respectivement à 45 et 90 degrés entre polariseur et analyseur croisés avec un objet
biréfringent entre les deux polariseurs circulaires, a permis d‟observer deux angles d‟extinction complète de la
lumière, ce qui révèle que ces polariseurs circulaires sont inappropriées. (b) représentation de la simulation du
comportement des polariseurs circulaires dans les mêmes conditions de travail que dans la phase expérimentale.
Ordonnées : le niveau de gris de la caméra ou l‟intensité de la lumière; Abscisses : angle de rotation du couple
polariseur analyseur croisés.
Pour comprendre, vérifier, et interpréter le résultat obtenu dans la phase expérimentale, la simulation
de la même configuration de la phase expérimentale est nécessaire, mais cette fois avec des lames
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Chapitre 4 : Banc Optique
quart d‟onde plus des polaroïds orientés à +45 degrés de chacune des deux lames quart d‟onde, figure
4-7b. En simulant cette configuration, on obtient les mêmes angles d‟extinction, figure. 4-8b. Ceci
prouve bel et bien que les polariseurs circulaires n‟étaient pas destinés à faire des mesures optiques. Le
filtre polaroid orienté à +45 degrés par rapport aux lames quartes d‟onde a permis de converger vers
des angles d‟extinction complète.
Dans la figure 4-7a et 4-8a, la lame polaroid absorbe une grande partie de l‟intensité de la lumière
polarisée transmise.
Pour vérifier le comportement des lames quart d‟onde (absence de tout filtre polaroïd) entre polariseur
et analyseur croisés, nous avons adopté la configuration de la figure 4-7c. Puis, nous avons repris les
mêmes manipulations décrites précédemment. Ainsi, les résultats obtenus dans la phase expérimentale,
figure 4-9a, sont cohérents avec ceux de la simulation de la figure 4-9b, car nous avons trouvé quatre
angles d‟atténuation.
Dans la figure 4-8a, la courbe expérimentale n‟atteint pas le zéro, tandis que dans la simulation la
courbe passe par zéro. Cette différence de comportement vient de l‟objet uni-axial biréfringent. La
courbe dans la simulation a été obtenue avec un objet uni-axial biréfringent totalement homogène,
tandis que dans la phase expérimentale c‟est un échantillon biologique (qui possède une certaine
variabilité) qui n‟est pas parfaitement homogène.
Pour une seconde vérification sur les lames quart d‟onde, nous avons introduit une certaine variabilité
dans le volume uni-axial biréfringent et on a observé que les toutes les courbes ne passent pas par zéro,
figure 4-9.
Pour rappel, dans la phase de simulation (chapitre 5 : Simulations Numériques), il est possible de
calculer ou de mesurer l‟amplitude de la lumière polarisée transmise à travers un volume uni-axial
biréfringent. Cependant, nous ne sommes pas capables de mesurer expérimentalement cette amplitude
dans le banc optique. Par contre, on peut mesurer son intensité (niveau de gris de l‟image). De ce fait,
dans la phase de simulation, on utilise l‟amplitude de la lumière polarisée transmise, tandis que dans la
phase expérimentale on utilise l‟intensité de la lumière polarisée transmise. La forme des courbes
restent identiques
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Chapitre 4 : Banc Optique
Inteensité de la lumière polarisée transmise
(niveaux de gris de la caméra)
150
Courbe expérimentale
100
50
0
45
90
135
180
225
270
315
360
Angle (degré) de rotation du couple polariseur et analyseur croisés
Aplitude de la lumière polarisée transmise
(a)
0.035
Courbe simulée
0.03
0.025
0.02
0
45
90
135
180
225
270
315
360
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseur croisés
(b)
Figure 4-9: Confrontation de la courbe simulée aux mesures expérimentales. (a) mesures expérimentales avec
des lames quart d‟onde entre polariseur et analyseur croisés et avec l‟insertion d‟un objet uni-axial biréfringent
entre les deux lames quart d‟onde. Les petites variations d‟intensité observées sont à l‟accumulation des erreurs
d‟angle des moteurs de rotation. (b) simulation numérique. Il y a quatre angles d‟atténuation. Ordonnées :
amplitude de la lumière comprise entre 0 et 1; Abscisses : angle de rotation du couple polariseur analyseur
croisés.
4.2.5 Caméras d’acquisitions
Parmi les caméras numériques dont nous disposons, il faut trouver celle qui offre la meilleure
linéarité et qui donne un meilleur rapport signal sur bruit. C‟est pourquoi la linéarité de chaque caméra
est vérifiée, puis nous avons choisi la caméra la plus linéaire.
Une série d‟acquisitions est effectuée avec chaque caméra dans les mêmes conditions de mesure. Au
total trois piles d‟images sont enregistrées, c'est-à-dire autant de caméras testées.
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Chapitre 4 : Banc Optique
La caméra Sony XC-77/77CE est une caméra monochromatique de 768×493 pixels, la caméra JAI
CV-M91 est une caméra RGB de 768×494 pixels, et la caméra Pulnix 6E-TM est une caméra noir et
blanc de 1024×1024 pixel. Elles sont toutes basées sur la Technologie de CCD.
Pour une rotation complète du polariseur avec analyseur fixé à 0 degré (sans objet), nous avons
capturé séparément une pile d‟images avec chaque caméra pour tester leur linéarité (tous les
paramètres auto métriques du menu de la caméra sont désactivés : balance, gamma, etc…). Puis, par
comparaison avec le modèle descriptif basé sur le théorème de Malus (équation 4.4), on mesure
l‟intensité de la lumière polarisée transmise en sortie d‟analyseur.
Pour une confrontation des mesures expérimentales avec celles de l‟équation 4.4, nous avons
sélectionné un point de mesure dans chaque pile d‟images, puis celui-ci est tracé dans un tableur. Dans
la figure 4-10, les courbes en bleu représentent l‟intensité de la lumière polarisée transmise mesurées
avec chacune des caméras, tandis que la courbe en rouge représente le modèle prédictif basé sur le
théorème de Malus (équation 4.4). Dans la figure 4-10a et 4.10b, les mesures obtenues respectivement
avec la caméra Sony et JAI, permet d‟observer un écart maximum entre la courbe simulé et la courbe
expérimentale. Car la caméra Sony et JAI montrent un défaut de linéarité. Cependant, dans la figure 410c, on observe une superposition de la courbe théorique avec la courbe expérimentale, celle-ci permet
de dire que la caméra Pulnix ne présente aucun défaut de linéarité.
Pour une meilleure observation, nous avons choisi de tracer les courbes expérimentales obtenues en
fonctions des valeurs calculées (modèle de Malus). Les figures 4-11a et 4-11b ont confirmé le défaut
de linéarité de la caméra Sony et celle de JAI, c'est-à-dire que les mesures expérimentales ne sont pas
alignées autour d‟une droite. La figure 4-10c confirme que la caméra Pulnix est bien linéaire car les
mesures expérimentales et celles simulées sont toutes alignées autour d‟une droite.
En résumé, la confrontation des mesures simulées avec les mesures expérimentales obtenues avec les
caméras Sony et JAI permet de dire que ces deux caméras présente un défaut de linéarité, tandis que la
caméra Pulnix se révèle plus adaptée pour continuer avec les acquisitions de images entre polariseur et
analyseur. De plus, les polariseurs linéaires et les deux lames quart d‟onde se révèlent efficaces. Pour
la suite des travaux présentés dans ce manuscrit, toutes les acquisitions et toutes les mesures seront
faites avec les instruments que nous avons ainsi qualifiés.
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Chapitre 4 : Banc Optique
Intensité de la lumière polarisée transmise
(niveau de gris de la caméra)
200
Valeurs mesurées
Valeurs calculées
175
150
125
Caméra Sony
XC-77/77CE
100
75
50
25
0
45
90
135
180
225
270
315
Angle de rotation (degré) du polariseur avec analyseur fixe
360
(a)
Intensité de la lumière polarisée tranmise
(niveau de gris de la caméra)
200
175
Valeurs mesurées
Valeurs calculées
150
125
Caméra JAI
CV-M91
100
75
50
25
0
45
90
135
180
225
270
315
360
Angle de rotation (degré) du polariseur avec analyseur fixe
(b)
Intensité de la lumière polarisée tranmise
(niveau de gris de la caméra)
200
175
Valeurs mesurées
Valeurs calculées
150
125
Caméra Pulnix
6E-TM
100
75
50
25
0
45
90
135
180
225
270
315
Angle de rotation (degré) du polariseur avec analyseur fixe
360
(c)
Figure 4-10 : Confrontation des mesures expérimentales avec la loi de Malus. Ajustement du modèle (rouge)
avec les données de la caméra Sony (a), Pulnix (b), JAI (c). Le modèle (rouge) s‟ajuste très bien avec les
acquisitions (bleu) faites avec la caméra Pulnix Ordonnées : Intensité de la lumière polarisée transmise ;
Abscisses : angle de rotation du polariseur avec analyseur fixe.
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Chapitre 4 : Banc Optique
200
Valeurs calculées
(Intensité)
175
150
125
Caméra Sony
XC-77/77CE
100
75
50
25
0
25
50
75
100
125
150
Valeurs mesurées
(Intensité)
175
200
(a)
200
175
Valeurs calculées
(Intensité)
150
125
Caméra JAI
CV-M91
100
75
50
25
0
25
50
75
100
125
Valeurs mesurées
(Intensité)
150
175
200
(b)
200
175
Valeurs calculées
(Intensité)
150
125
Caméra Pulnix
6E-TM
100
75
50
25
0
25
50
75
100
125
Valeurs mesurées
(Intensité)
150
175
200
(c)
Figure 4-11: Mesures expérimentales confrontées aux mesures calculées (loi de Malus). (a) la caméra Sony
présente un défaut de linéarité. (b) même remarque précédent pour la caméra JAI. (c) Confirme la linéarité de la
caméra Pulnix. Cette caméra a été retenue pour faire les acquisitions des images entre polariseur et analyseur
croisés
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
Chapitre 5
Simulations Numériques
Chapitre 5................................................................................................................................ 73
5.1
Objet uni-axial biréfringent entre le couple polariseur et analyseur croisés ..... 74
5.2
Méthode analytique ................................................................................................. 77
5.3
Introduction d’un volume de 100x100x500 µm3 ................................................... 80
5.3.1
Volume homogène : fibre de myosine parallèle ................................................. 80
5.3.2
Variation de l‟angle d‟azimut du volume de 0 à 90 degrés entre le couple
polariseurs et analyseurs croisés. ...................................................................................... 80
5.3.3
Découplage de la mesure de l‟angle d‟azimut de celle de l‟angle d‟élévation
dans le banc optique .......................................................................................................... 84
5.3.4
Mesure entre polariseurs linéaires et circulaires, mesure de l‟azimut à élévation
constante. .......................................................................................................................... 85
5.3.5
Mesure entre polariseurs linéaires et circulaires, mesure de l‟angle d‟élévation à
azimut constant. ................................................................................................................ 87
5.3.6
Simulation d‟un volume hétérogène : Angle solide de dispersion ..................... 88
5.3.7
Simulation d‟un volume hétérogène : croisement de deux populations de fibres
93
5.4 Présentation d’un modèle analytique pour extraire l’orientation des
cardiomyocytes en lumière polarisée .............................................................................. 100
5.4.1
Ajustement du modèle avec le volume homogène simulé ............................... 100
5.4.2
Ajustement du modèle avec le volume non homogène simulé ........................ 101
5.4.3
Extraction des paramètres du modèle (
DESROSIERS Paul Audain
) ................................................ 102
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
5.1 Objet uni-axial biréfringent entre le couple polariseur et analyseur
croisés
Le but de ce chapitre est d‟étudier, d‟analyser, et de modéliser le comportement d‟un volume
uni-axial biréfringent de 100×100×500 µm3 en lumière polarisée. Le choix de la taille de ce volume est
lié à la résolution des informations qui seront collectées dans un voxel dans la phase expérimentale. Ce
volume de base (100×100×500 µm3) est décomposé en plusieurs éléments cubiques qui représentent
l'équivalent de l'intersection des cellules de diamètre de 20µm chacune. La modélisation passe par
deux étapes :
1) Etape 1 : Au départ, on suppose que le contenu du volume est parfaitement homogène
(cardiomyocytes parallèles = volume homogène), c'est-à-dire que l‟arrangement spatial des
cardiomyocytes à l‟intérieur du volume est le même ; la distribution des cardiomyocytes est
totalement régulière et parfaitement parallèles les unes aux autres.
2) Etape 2 : On suppose que le volume 100×100×500 µm3 est hétérogène par addition d‟une
variabilité de manière stochastique entre les cardiomyocytes à l‟intérieur du volume avec deux
modalités :
a) Variabilité de la direction dans un angle solide
b) Populations de cardiomyocytes se croisent.
Une analyse du comportement du volume dans les différentes configurations en lumière polarisée
permet de comprendre, de modéliser, et de développer des algorithmes adéquats qui par la suite
permettront d‟analyser le comportement des vraies cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire.
L‟orientation des cardiomyocytes à l‟intérieur du volume est définie par deux angles : azimut ( ), et
d‟élévation ( ). L‟angle d‟azimut est l‟angle que fait un objet avec une référence, tandis que l‟angle
d‟élévation est défini comme l‟angle que fait un objet avec le plan
, figure 5-1.
Pour modéliser le comportement du volume uni-axial biréfringent totalement homogène en lumière
polarisée, il faut simuler un montage optique adéquat. Nous avons choisi le montage de la figure 5-2
parce qu‟il permet d‟avoir des informations pertinentes sur le comportement du volume uni-axial
biréfringent.
La disposition géométrique des éléments optiques dans figure 5-2a permet de découpler la mesure de
l‟angle d‟azimut de celle de l‟angle d‟élévation dans le système optique, c'est-à-dire la valeur pour
laquelle l‟angle d‟azimut est indépendant du reste du système optique.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
Figure 5-1: Représentation de l‟angle d‟azimut ( ) et l‟angle d‟élévation ( ) modifié, d‟après (Mourad, 2003).
Dans notre cas, l‟angle d‟azimut se définit comme l‟angle que fait le plan des cardiomyocytes avec
l‟axe
.
La figure 5-2b permet de découpler la mesure de l‟angle d‟élévation de l‟effet de l‟angle d‟azimut
dans le système optique, en cherchant les positions optimales des lames quart d‟onde. Ainsi, l‟angle
d‟élévation est défini comme l‟angle que fait le plan des cardiomyocytes avec l‟axe
.
Nous avons choisi le montage de la figure 5-2a pour différentier l‟effet de l‟angle d‟azimut de l‟angle
d‟élévation. Ce montage est composé d‟un polariseur linéaire avec son axe de sélection orienté selon
l‟axe
, avec son angle de rotation 1 = 0 degré, et l‟axe de sélection du second polariseur où
l‟analyseur est suivant l‟axe
, avec son angle de rotation 2 = 90 degrés. Pour débuter la simulation,
le polariseur et l‟analyseur sont croisés, c'est-à-dire que l‟axe de sélection du polariseur (1 = 0 degré)
est perpendiculaire à l‟axe de sélection de l‟analyseur (2 = 1+90 degrés). Lorsque l‟axe de sélection
du polariseur est orienté à 0 degré suivant l‟axe
suivant l‟axe
, la composante
est nulle, et il reste que la composante
du vecteur champ électrique ⃗
du vecteur champ électrique⃗⃗⃗ . Pour
l‟analyseur c‟est l‟action inverse qui est produite, il reste que la composante
du champ électrique,
ce qui revient à écrire :
Pour rappel, dans le cas des polariseurs linéaires, les deux composantes
du vecteur champ
électrique ⃗ sont en phase. Tout au long de la simulation, le polariseur et analyseur sont restés croisés
afin de conserver la même référence.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
Figure 5-2 : Banc Optique. (a) mesure de l‟angle d‟azimut découplée de celle de l‟angle d‟élévation; (b) mesure
de l‟effet de l‟angle d‟élévation et de l‟azimut dans le banc optique.
Le polariseur linéaire positionné à l‟entrée du système a pour but de polariser linéairement le faisceau
lumineux. Celui-ci perd plus de 50% de son intensité totale (Francois Brehat, 2003). Ce faisceau
lumineux traverse le volume uni-axial biréfringent qui engendre un retard de phase
de la lumière
polarisée. Cependant, il est possible que le faisceau lumineux reste toujours polarisé après avoir
traversé le volume, à condition que ce volume soit totalement homogène (le formalisme de Jones ou
Mueller est applicable). Dans le cas contraire, la polarisation est partielle ou nulle (seulement le
formalisme de Mueller est applicable). Toutefois, si le faisceau incident pénètre dans le volume uniaxial biréfringent le long de son axe optique, l‟effet de la biréfringence est nulle (chapitre 3 : Méthodes
Optiques, figure 3-4c), il n‟y a pas de division de faisceau. L‟angle que fait l‟axe optique du volume
uni-axial biréfringent avec l‟axe de sélection du polariseur définit son angle d‟azimut, tandis que
l‟angle que fait l‟axe optique du volume avec le plan de l‟axe de sélection du polariseur définit son
angle d‟élévation.
L‟équation 5.2 permet de simuler, modéliser le comportement du volume uni-axial biréfringent entre
le couple polariseur et analyseur croisés, et de discerner l‟effet de l‟angle d‟azimut du volume de celui
de l‟angle d‟élévation comme le permet le montage optique de la figure 5-2a.Pour rappel, dans un
banc optique où les éléments du système sont montés en cascade, la matrice de Mueller du système est
le produit des matrices de Mueller de chaque élément, tel que :
(5.1)
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
Ce qui permet de traduire la figure 5-2a suivant l‟équation ci-dessous :
(
(5.2)
)
: représente le premier élément de la matrice
c'est-à-dire l‟amplitude du faisceau lumineux
en sortie d‟analyseur.
Dans la phase expérimentale (chapitre 6 : expérimentations), les mesures se font entre 0 et 90 degrés.
Dans cet intervalle, nos mesures ne sont pas perturbées par l‟effet de l‟ellipticité
du volume ou du
pilier des valves auriculo-ventriculaire. Ainsi, la valeur de cette ellipticité est fixée à 0,0002 dans toute
la simulation (système linéaire).
Avant d‟entrer directement dans la simulation et la modélisation, il est nécessaire d‟établir un modèle
analytique basé sur l‟exploitation du formalisme Mueller. Ce formalisme est basé sur l‟exploitation de
l‟intensité de la lumière. Dans le banc optique réel, nous sommes capables de mesurer
expérimentalement l‟intensité de la lumière transmise. Grâce au modèle analytique qui sera développé
dans ce chapitre, il est possible d‟extraire les paramètres (
) ci-dessous, tel que :
a) l‟amplitude de la lumière polarisée transmise à travers le volume (
b) l‟angle d‟élévation (
c) l‟angle d‟azimut ( )
d) la valeur de l‟angle de décalage des courbes par rapports à l‟axe des abscisses (
Après élaboration, et vérification du modèle analytique, ce dernier est utilisé à travers un greffon sur
ImageJ qui permet d‟extraire dans un vrai cœur humain, la cartographie de :
a) l‟amplitude de la lumière polarisée transmise dans chaque voxel (
b) l‟angle d‟élévation de chaque voxel (
c) l‟angle d‟azimut de chaque voxel ( )
d) l‟angle de décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses dans chaque voxel (
.
L‟étude des différentes configurations des cardiomyocytes à l‟intérieur du volume a pour but
d‟approcher le mieux que possible de la réalité des cardiomyocytes, c'est-à-dire l‟orientation 3D des
vraies cardiomyocytes à l‟intérieur du myocarde humain.
5.2 Méthode analytique
La biréfringence maximale d‟un matériau optique est donnée par :
(5.3)
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
Lorsqu‟un matériau biréfringent est traversé par un faisceau lumineux, le retard de phase engendré
dans ce matériau dépend de sa biréfringence, de son épaisseur et de la longueur d‟onde de la lumière.
Le retard de phase s‟écrit :
(5.4)
Au fur et à mesure que l‟épaisseur du matériau augment, le retard de phase
important. Pour minimiser
devient de plus en plus
il faut tailler le matériau biréfringent à la bonne épaisseur. Ainsi, la
différence de chemin optique est nulle si la biréfringence du matériau est nulle. Cette différence n‟est
pas défini si la longueur d‟onde la lumière est nulle. La longueur d‟onde de la lumière est l‟un des
paramètres le plus important dans un milieu optique. Elle est définit comme le chemin parcouru par
l‟onde au cours d‟une période , ou le rapport de la vitesse de la lumière dans le vide sur sa
fréquence , la longueur d‟onde s‟exprime par :
(5.5)
La longueur d‟onde du spectre visible est comprise entre 400 nm et 700 nm. Au-delà de 780 nm on
passe de l‟infrarouge aux ondes radio, et en dessous de 400 nm, on passe de l‟ultra-violet aux ondes
gamma. La charte d‟interférence de Newton Michel-Levy est une charte qui permet d‟observer les
couleurs d‟interférence produites par un matériau biréfringent en fonction de son épaisseur et de la
différence de chemin optique dans ce matériau. Grâce à la charte de Michel Levy, il est possible
d‟interpréter les différentes couleurs d‟interférences observées dans un milieu optique.
La biréfringence maximale d‟un matériau biréfringent peut être représentée en fonction de son angle
de l‟élévation, et s‟exprime par :
(
√(
⁄
)
(5.6)
)
La biréfringence maximale d‟un matériau uni-axial (matériau avec un seul axe optique) biréfringent
dépend de la valeur de son angle d‟élévation . Quand l‟angle d‟élévation
biréfringence du matériau uni-axial est au maximum car la fonction cosinus varie entre [
degré, la
]. Au fur
et à mesure que
éloigne de zéro, la biréfringent maximal du volume diminue progressivement.
Cependant, pour
degrés, la biréfringence maximale est nulle et la lumière se propage de façon
isotrope à travers le matériau biréfringent.
Pour les tissus biologiques, par exemple le myocarde humain ou le pilier des valves auriculoventriculaires, la biréfringence maximale est de l‟ordre de
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et l‟épaisseur des coupes sériées est
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
de 500 µm (chapitre 2 : Matériels et Méthodes : préparation du cœur entier). Le résultat des
simulations présentées dans ce chapitre est un compromis avec les mesures expérimentales faites sur le
myocarde humain. Les valeurs ci-dessous sont adoptées dans la simulation en fonction des paramètres
physique de l‟échantillon biologique, tel que :
a) la biréfringence maximale du volume est de
b) l‟épaisseur du volume est de 500 m
c) la longueur d‟onde moyenne de la lumière est de 550 nm
d) le diamètre d‟une cellule 20 m
e) le nombre de cellule empilées 25
L‟équation 5.2 permet de simuler le comportement du volume en lumière polarisée. Avec l‟utilisation
de GNU/Maxima (logiciel de calcul formel), il est possible de calculer de façon formelle l‟expression
de la matrice de Mueller. Ce terme représente la variation de l‟amplitude de
analytique du terme
la lumière polarisée transmise à travers le volume en sortie d‟analyseur.
L‟amplitude d‟une onde électromagnétique plane et transversale s‟écrit toujours en fonction de son
amplitude initiale multipliée soit par un sinus ou un cosinus (forme générale), et avec une pulsation
un déphasage
qui peut être égal ou différent de zéro. Pour rester cohérent avec cette
écriture, le choix est porté sur le calcul de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise dans toute la
simulation au lieu de son intensité. Par contre, dans les phases expérimentales (chapitre 6), le banc
optique ne permet pas de mesurer l‟amplitude de la lumière polarisée transmise, seulement son
intensité qui sera mesurée, et cette intensité est le niveau de gris de l‟image. Pour rappel, le carré de
l‟amplitude de la lumière est proportionnel à son intensité.
Après des développements simplifiés sur GNU/Maxima (développement présenté en annexe) le terme
est fonction de
et s‟exprime par :
(5.7)
avec
(5.8)
l‟équation 5.7 devient :
(
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( (
)))
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(5.9)
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
L‟équation 5.9 représente l‟expression analytique du terme
fonction de l‟angle de rotation
de la matrice de Mueller, qui est
du couple polariseur et analyseur croisés et de l‟angle d‟azimut .
Il est possible d‟extraire analytiquement l‟angle d‟élévation du matériau uni-axial biréfringent entre le
couple polariseur et analyseur croisés (démonstration analytique en annexe). Dans l‟équation 5.4, le
retard de phase peut s‟écrire :
(
)
√
(5.10)
Après simplification, on a
⁄
⁄
(5.11)
(5.12)
En faisant intervenir l‟intensité de la lumière polarisée transmise dans les calculs, l‟angle d‟élévation
du volume peut être écrit en fonction de l‟intensité ou de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise,
on peut écrire :
((
)
⁄
) ou
((
)
⁄
)
(5.13)
L‟équation 5.13 permettra d‟extraire la valeur de l‟angle d‟élévation dans les acquisitions des images
expérimentales pixel par pixel, c'est-à-dire pour chaque pixel donné, il est possible d‟extraire son angle
d‟élévation et de dresser la cartographie des angles d‟élévation dans le myocarde.
En résumé, le volume de 100×100×500 µm3 sera simulé entre polariseur et analyseur croisés, et les
équations décrites ci-dessus seront utilisées pour extraire les informations dans le volume voxel par
voxel.
5.3 Introduction d’un volume de 100x100x500 µm3
5.3.1 Volume homogène : cardiomyocytes parallèles
5.3.2 Variation de l’angle d’azimut du volume de 0 à 90 degrés entre le couple
polariseurs et analyseurs croisés.
Pour débuter la phase de simulation avec l‟étude du comportement du volume uni-axial
biréfringent entre polariseur et analyseur croisés, nous avons choisi la configuration de la figure 5-2a.
Pour que le volume soit homogène, on suppose que les cardiomyocytes à l‟intérieur de ce dernier
soient totalement parallèles, réguliers, périodiques et définissent une géométrie parfaite, sans aucune
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
variabilité, figure 5-3. De ce fait, le volume uni-axial biréfringent est inséré entre le couple polariseur
et analyseur croisés. L‟angle d‟élévation
du volume est fixé à 0 degré. Une rotation du couple
polariseur et analyseur croisés de 0 à 90 degrés permet d‟observer des extinctions complètes de la
lumière polarisée transmise quand l‟axe de sélection du polariseur est parallèle à l‟axe optique du
volume uni-axial biréfringent.
Pour un azimut du volume à 0 ou à 90 degrés, on observe deux minima. Pour chaque angle
d‟extinction, la polarisation obtenue est une polarisation linéaire, car tout se passe comme si le volume
était absent dans le banc optique. Pour les azimuts de 0 et de 90 degrés, l‟amplitude de la lumière
polarisée transmise à travers le volume est au maximum (un maxima) quand le couple polariseur et
analyseur croisés a tourné de 45 degrés. L‟état de polarisation obtenu à la sortie de l‟analyseur est
elliptique car le déphasage induit par les deux rayons varie dans l‟intervalle {-45, -135, 45, 135}
degrés.
Le choix de limiter la rotation du couple polariseur et analyseur croisés de 0 à 90 degrés n‟est pas fait
au hasard. En effet, dans l‟intervalle de 0 à 90 degrés on obtient deux minima et un maximum. Ceci est
suffisant pour analyser le comportement du volume uni-axial biréfringent car toutes les courbes sont
périodiques modulo 90 degrés. Ainsi, dans la figure 5-4, toutes les courbes obtenues avec l‟équation
5.2 ont une même forme, même angle d‟élévation, et une même amplitude. Cependant, elles sont
décalées l‟une par rapport à l‟autre en fonction de l‟angle d‟azimut défini.
Propagation de la lumière
𝑧
Figure 5-3: Volume homogène simulé. Toutes les cardiomyocytes à l‟intérieur du volume sont totalement
parallèles, réguliers, périodiques. Chaque cardiomyocyte est représenté par sa propre couleur. La taille du
volume est 5x5, et chaque bloc est composé de 25 cardiomyocytes, au totale il existe 625 cardiomyocytes dans
ce volume.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
Variation de l'amplitude de la lumière polarisée
transmise en sortie d'analyseur
0.04
Azimut
0°
10 °
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
0.03
0.02

0.01
0
15
30
45
60
75
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseur croisés
90
Figure 5-4: Variation de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise en fonction de la rotation du couple
polariseur et analyseur croisés pour des angles d‟azimut variables. Chaque courbe représente la variation de
l‟amplitude de la lumière polarisée à travers le volume pour un azimut donné (0 à 90 degrés). Quand l‟axe de
sélection du polariseur est parallèle à l‟axe optique du volume, il y a une extinction complète de la lumière. Nous
avons choisi la rotation du couple polariseur et analyseur croisés de 0 à 90 degrés, car toutes les courbes sont
périodiques modulo 90. De plus, dans l‟intervalle de 0 à 90 degrés, il existe deux minima et un maximum, donc
ceci est suffisant pour analyser le comportement du volume en lumière polarisée.
L‟angle d‟élévation du volume dépend de sa biréfringence maximum, et ce dernier est fonction du
retard de phase induit dans le volume. Quand l‟angle d‟élévation
degré la valeur de l‟amplitude
de la lumière polarisée à travers le volume est au maximum selon l‟équation 5.6. La même simulation
qui a permis d‟obtenir les courbes de la figure 5-4 est reprise, mais avec un angle d‟élévation
degrés, figure 5-5 et
45
degrés, figure 5-6. Chaque courbe de la figure 5-5 et 5.6 représente la
variation de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise dans le volume et en sortie d‟analyseur pour
des azimuts différents. Cependant, la différence d‟amplitude entre les deux figures est due à leurs
angles d‟élévation.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
Variation de l'amplitude de la lumière polarisée
transmise en sortie d'analyseur
[10-2] 1
Azimut
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
0.8
0.6
0.4

0.2
0
15
30
45
60
75
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseur croisés
90
Figure 5-5: Variation de l‟amplitude la lumière polarisée transmise pour un angle azimut variable et un angle
d‟élévation =45 degrés. L‟amplitude maximale de la lumière polarisée transmise diminue considérablement en
fonction de . Ordonnées : amplitude de la lumière polarisée transmise. Abscisses : angle de rotation du couple
polariseur et analyseur croisés.
Variation de l'amplitude de la lumière polarisée
transmise en sortie d'analyseur
[10-3] 1
Azimut
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
0.8
0.6
0.4

0.2
0
15
30
45
60
75
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseur croisés
90
Figure 5-6 : Variation de l‟amplitude la lumière polarisée pour un azimut variable et un angle d‟élévation
degrés. Comme dans les deux figures précédentes, l‟amplitude de la lumière décroit.
=67
De la figure 5-4 à 5-6, l‟amplitude maximale de la lumière polarisée transmise à travers le volume
passe de 0,04 à 1×10-3. Cette amplitude est au maximum quand l‟axe optique du volume est orienté à
un angle d‟azimut égal à 0 ou 90 degrés lorsque l‟axe de sélection du polariseur est à 45 degrés par
rapport à l‟axe
.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
Selon l‟équation 5.6, la biréfringence du volume uni-axial est au maximum, quand la valeur de son
angle d‟élévation tend vers 0 degré. Celle-ci entraine que l‟amplitude de la lumière polarisée transmise
à travers le volume et en sortie de l‟analyseur est au maximum. Pour
= 0 degré, toutes les courbes de
la figure 5-4 sont au maximum avec une amplitude égale à 0,04, tandis qu‟une variation de
degrés (figure 5-5), et
à
= 45
= 67 (figure 5-6), les courbes passent respectivement d‟une amplitude de
.
En résumé, l‟amplitude de la lumière polarisée transmise à travers le volume est au maximum quand la
valeur de son angle d‟élévation est au minimum, figure 5-4. De plus, Nous avons observé une
modulation en l‟amplitude de la lumière polarisée transmise par l‟angle d‟élévation.
5.3.3 Découplage de la mesure de l’angle d’azimut de celle de l’angle d’élévation dans
le banc optique
Pour découpler la mesure de l‟angle d‟azimut de celle de l‟angle d‟élévation dans le système
optique, nous avons choisi le montage de la figure 5-2a, il est composé de deux polariseurs linéaires
avec leur axe de sélection orthogonal l‟un par rapport à l‟autre. Comme on l‟a déjà observé dans la
figure 5-4 à 5.6, dans l‟intervalle de 0 à 90 degrés il existe un seul maximum à 45 degrés quand l‟axe
optique du volume est orienté à un azimut fixé à 0 ou 90 degrés par rapport à l‟axe de sélection du
polariseur, c‟est à ce point que la polarisation est elliptique (chapitre 3 : Méthodes Optiques : lumière
polarisée). Pour rappel, la polarisation est dite elliptique quand le retard de phase φ se trouve dans
l‟intervalle {-45, -135, 45, 135} degrés, et de plus les deux composantes orthogonales (
) du
champ électrique sont déphasées l‟une par rapport à l‟autres.
L‟axe optique du volume est fixé à un azimut de 45 degrés par rapport à l‟axe de sélection du
polariseur. Puis, pour une variation du couple polariseur et analyseur croisés de 0 à 90 degrés, avec
l‟insertion du volume dont l‟angle d‟élévation varie de 0 à 90 degrés permet d‟observer une extinction
complète de la lumière polarisée à 45 degrés, quand l‟axe de sélection du polariseur est parallèle à
l‟axe optique du volume, ce qui entraine que toutes les courbes passent par leur minimum à 45 degrés.
C‟est à ce point-là, que la mesure de l‟angle d‟azimut est indépendante de celle de l‟angle d‟élévation
et du reste du système optique, figure 5-7.
L‟extinction de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise à 45 degrés, signifie que le volume est
parfaitement homogène, ses structures géométriques sont celles d‟un cristal uni-axial biréfringent. La
figure 5-7, nous servira de référence pour déterminer le niveau d‟homogénéité des tissus biologiques
qui sera décrit plus tard dans les chapitres 6 et 7. Grâce à ce résultat, il nous sera possible d‟interpréter
les mesures expérimentales qui seront présentées dans le chapitre 6 (Expérimentations) avec les piliers
des valves auriculo-ventriculaire, et le chapitre 8 (étude d‟un cœur entier).
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Variation de l'amplitude de la lumière polarisée
transmise en sortie d'analyseur
0.04
Elevation
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
0.03
0.02

0.01
0
15
30
45
60
75
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseur croisés
90
Figure 5-7: Variation de l‟amplitude de la lumière polarisée en fonction du couple polariseur et analyseur croisés
pour des angles d‟élévation variables. L‟axe optique du volume est fixé à un azimut de 45 degrés par rapport à
l‟axe de sélection du polariseur. Une rotation du couple polariseur et analyseur croisés avec l‟insertion du
volume permet d‟observer une variation de l‟amplitude de la lumière polarisée pour chaque valeur de l‟angle
d‟élévation (0, 10, 20, …,90 degrés). Toutes les courbes passent par leur minimum à 45 degrés et l‟amplitude de
la lumière est nulle en ce point. Ordonnées : amplitude de la lumière polarisée transmise comprise entre 0 et 0,04
(relativement à une source d‟amplitude égale à 1). Abscisses : angle de rotation du couple polariseur et analyseur
croisés.
5.3.4 Mesure entre polariseurs linéaires et lames quart d’onde, mesure de l’azimut à
élévation constante.
L‟insertion de deux lames quart d‟onde dans le montage optique de la figure 5-2a, permet de
transformer une polarisation purement linéaire ou elliptique en une polarisation circulaire comme dans
la figure 5-2b. Les deux lames quart d‟onde produisent un retard de phase d‟un quart de longueur
d‟onde chacun. Ils sont insérés entre les deux polariseurs linéaires et l‟axe neutre de la première lame
quart d‟onde est orientée à 45 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur, puis l‟axe neutre de
la deuxième lame quart d‟onde est positionnée à 90 degrés par rapport à l‟axe de sélection de la
première lame quart d‟onde, donc à 135 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur. Ce
montage permet de discerner le comportement de l‟angle d‟élévation du volume dans le système
optique, lorsque l‟angle d‟azimut du volume varie de 0 à 90 degrés. Quand l‟axe neutre de la première
lame quart d‟onde tourne de
de
45 degrés et l‟axe neutre de la deuxième lame quart d‟onde tourne
90 degrés, et que le couple de polariseur et analyseur est fixé respectivement à 0 et 90 degré.
Toutes les courbes obtenues passent par leur maximum à 45 degrés quel que soit la valeur de l‟angle
d‟azimut du volume, figure 5-8. Ceci indique que l‟état de polarisation obtenu est purement circulaire.
Pour
= 0 degré figure 5-8a, et
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= 45 degrés figure 5-8b.
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Variation de l'amplitude de la lumière polarisée
transmise en sortie d'analyseur
0.04
Azimut
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
0.03
0.02

0.01
0
15
30
45
60
75
Angle de rotation (degré) des lames quart d'onde
90
(a )
-2
Variation de l'amplitude de la lumière polarisée
tranmise en sortie d'analyseur
[10 ] 1
Azimut
0°
15°
30°
45°
60°
75°
90°
0.8
0.6

0.4
0.2
0
15
30
45
60
75
Angle de rotation (degré) des lames quart d'onde
90
(b)
Figure 5-8: Variation de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise en fonction des lames quart d‟onde. L‟axe
neutre de la première lame quart d‟onde tourne de
45 degrés, tandis que l‟axe neutre de la deuxième lame
quart d‟onde tourne de
90 degrés, et le couple polariseur et analyseur est fixé respectivement à 0 et 90
degrés. (a) l‟angle d‟élévation du volume est fixé à 0 degré, l‟amplitude de la lumière est au maximum. Puis,
l‟angle d élévation du volume est fixé à 45 degrés, figure (b), l‟amplitude de la lumière est au minimum. L‟angle
d‟azimut du volume varie de 0 à 90 degrés entre les deux lames quart d‟onde. Toutes les courbes passent par 45
degrés quel que soit la valeur de l‟angle d‟azimut, ainsi que pour les deux valeurs . Une augmentation de
entraine une diminution de l‟amplitude de la lumière polarisée à travers le volume.
Chaque courbe de la figure 5-8a (
= 45 degrés) et 5-8b (
= 67 degrés), représente la variation de
l‟amplitude de la lumière polarisée transmise à travers le volume et en sortie d‟analyseur pour un angle
d‟azimut donné. Quel que soit la valeur de l‟angle d‟azimut, il existe un iso point à 45 degrés. Cette
configuration nous a permis de trouver un iso point avec les lames quart d‟onde pour la mesure de
l‟angle d‟élévation.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
5.3.5 Mesure entre polariseurs linéaires et lames quart d’onde, mesure de l’angle
d’élévation à azimut constant.
Dans la figure 5-2b le volume est fixé à un angle azimut de 45 degrés entre les deux lames
quart d‟onde et par rapport à l‟axe de sélection du polariseur. La même simulation de la section
précédente est reprise, mais avec l‟angle d‟azimut du volume fixé à 45 degrés, et son angle d‟élévation
varie de 0 à 90 degrés. Pour une variation de l‟angle d‟élévation et une rotation des lames quart
d‟onde, l‟amplitude de la lumière polarisée transmise diminue au fur et à mesure que l‟angle
d‟élévation augmente (figure 5-9). Cependant, l‟amplitude de la lumière polarisée transmise est
toujours au maximum à 45 degrés quelle que soit la valeur de l‟angle d‟élévation. De plus, toutes les
courbes passent par leur maximum à ce même point. Ceci explique que l‟effet de l‟angle d‟élévation
du volume dans le montage de la figure 5-2b, n‟est rien d‟autre qu‟une diminution de l‟amplitude de la
lumière polarisée transmise pour chaque valeur
. Ainsi, toute autre variation de l‟amplitude de la
lumière polarisée à travers le volume qui ne dépend pas de l‟angle d‟élévation, peut être imputée à la
présence d‟une variabilité dans le volume de mesure. Chaque courbe de la figure 5-9 représente la
variation de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise à travers le volume et en sortie d‟analyseur
pour un angle d‟élévation donné, et avec un angle d‟azimut du volume fixé à 45 degrés.
Variation de l'amplitude de la lumière polarisée
0.04
0° Elevation
15 °
30°
45°
60°
75°
90°
0.03

0.02
0.01
0
15
30
45
60
75
Angle de rotation (degré) des lames quart d'onde
90
Figure 5-9: Variation de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise en fonction des lames quart d‟onde, du
couple polariseur et analyseur croisés, et de l‟angle d‟élévation du volume. La même simulation qui a permis
d‟obtenir la figure 5-8 est reprise. Par contre, l‟angle d‟azimut du volume est fixé à 45 degrés par rapport à l‟axe
de sélection du polariseur, et l‟angle d‟élévation du volume varie de 0 à 90 degrés. Pour chaque angle de
l‟élévation, toutes les courbes passent par leur maximum à 45 degrés. Ce point-là, représente le point de
découplage de l‟angle d‟élévation dans le système optique.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
En résumé, l‟angle d‟élévation du volume entraine une diminution de l‟amplitude de la lumière
polarisée transmise. Grâce à ces résultats, il est possible de discerner sans aucun doute, l‟effet de
l‟angle d‟élévation de celle de l‟azimut et vice versa.
5.3.6 Simulation d’un volume hétérogène : Angle solide de dispersion
Pour comprendre l‟effet de l‟hétérogénéité des orientations des cardiomyocytes observées
avec un microscope confocale par Usson et al. (Y. Usson, 1994), il est nécessaire de simuler cette
dispersion. L‟introduction de stochastiques est obtenue en distribuant l‟orientation des cardiomyocytes
dans un angle solide de dispersion. Les cardiomyocytes à l‟intérieur du nouveau volume ne sont plus
parallèles, mais orientés à un angle bruité par rapport à une direction principale figure 5-10, 5-19a.
Donc, au fur et à mesure que la variabilité augmente, le niveau d‟homogénéité des cardiomyocytes
devient de plus en plus faible. La variabilité de la direction peut être caractérisée par un angle solide de
dispersion centré sur une direction principale (moyenne).
Propagation de la lumière
𝑧
Figure 5-10: volume hétérogène. Ce volume est obtenu par l‟ajout d‟un angle solide de dispersion de 15 degrés
dans le volume de la figure 5-3.
Pour analyser un tel comportement des cardiomyocytes avec l‟introduction d‟un angle solide de
dispersion de 15 degrés dans le volume, nous avons choisi le montage de la figure 5-2a. Ainsi, le
volume est inséré entre le couple polariseur et analyseur croisés avec un angle d‟azimut fixé à 45
degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur. L‟angle d‟élévation du volume est fixé à 0 degré
afin que l‟amplitude de la lumière est au maximale, comme nous l‟avons montré dans les figures 5-8 et
5-9. Une variation de l‟angle solide de dispersion des cardiomyocytes de 0 à 40 degrés à l‟intérieur du
volume, permet d‟observer une variation de l‟amplitude ( ) de la lumière polarisée transmise pour
chaque valeur de l‟angle solide de dispersion, un décalage (
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des courbes par rapport à l‟axe des
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
abscisses qui caractérise l‟homogénéité du volume, et une variation de l‟angle d‟azimut , figure 5-11.
Dans la figure 5-11, chaque courbe représente la variation de l‟amplitude de la lumière polarisée
transmise à travers le volume pour un angle solide dispersion donné. L‟amplitude maximale de la
première courbe est égale à 0,04 (pour une amplitude maximale de la source égale à 1). Figure 5-11b,
représente un agrandissement de la figure 5-11a.
Variation de l'amplitude de la lumière polarisée
transmise en sortie d'analyseur
[10-3]6
Angle solide de dispersion
0°
10°
20°
30°
40°
5
4
3
2
1
0
15
30
45
60
75
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseur croisés
90
(a)
Variation de l'amplitude de la lumière polarisée
transmise en sortie d'analyseur
0.04
Angle solide de dispersion
0°
10°
20°
30°
40°
0.03

0.02
0.01
0
15
30
45
60
75
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseur croisés
90
(b)
Figure 5-11: Variation de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise en fonction du couple polariseur et
analyseur croisés avec un angle solide de dispersion de 15 degrés dans le volume. (a) ajout de manière
stochastique d‟une variabilité d‟un angle solide de dispersion qui varie de 0 à 40 degrés. (b) Agrandissement de
(a). Les courbes commencent à se détacher de l‟axe des abscisses au fur et à mesure que la variabilité augmente.
Donc à 45 degrés, l‟amplitude de la lumière n‟est pas nulle. Ordonnées : amplitude de la lumière. Abscisses :
angle de rotation du couple polariseur et analyseur croisés.
L‟angle solide de dispersion et l‟angle d‟élévation du volume entrainent tous deux une diminution de
l‟amplitude de la lumière polarisée transmise à travers le volume. Cependant, l‟angle d‟élévation ne
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
produit aucun décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses (figure 5-7), alors que l‟ajout
d‟une variabilité entraine un décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses, ceci est bien
visible dans la figure 5-11b.
En présence d‟hétérogénéité, les courbes commencent à se détacher progressivement par rapport à
l‟axe des abscisses, donc l‟amplitude de la lumière n‟est plus nulle quand l‟axe de sélection du
polariseur est parallèle à l‟axe optique du volume. Puisque cette amplitude diminue pour chaque valeur
de l‟angle solide de dispersion, il est nécessaire d‟étudier sa variation, figure 5-12.
Dans la figure 5-11, seule la courbe avec un angle de dispersion égal à zéro degré passe exactement à
45 degrés, et les autres courbes sont au voisinage de 45 degrés. Il est nécessaire d‟analyser la variation
de l‟angle moyen d‟azimut du volume en fonction de l‟angle solide de dispersion, figure 5-13.
La mesure du décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses (amplitude minimale) permet
d‟estimer le niveau d‟homogénéité des cardiomyocytes à l‟intérieur du volume, figure 5-14. Une
augmentation de l‟angle solide de dispersion provoque un plus grand décalage des courbes par rapport
à l‟axe des abscisses. De plus, il y a une atténuation de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise à
travers le volume, cette atténuation est due à des fuites du faisceau lumineux à travers le volume car
les cardiomyocytes ne sont pas exactement parallèles. L‟état de polarisation de la lumière à travers un
volume hétérogène est inconnu, car un volume avec un faible niveau d‟homogénéité peut forcement
modifier l‟état de polarisation de la lumière polarisée transmise, la polarisation obtenue peut être
totale, partielle ou nulle. Grâce à la matrice de Mueller qui prend en compte tous les états de
polarisation de la lumière, nos résultats ne sont pas perturbés par l‟état de polarisation à travers le
volume. Pour connaitre cet état de polarisation, il y a deux méthodes:
a) Utilisation des paramètres de Stokes pour calculer le degré de polarisation de la lumière à
travers le volume, (chapitre 3 : Méthodes Optiques, équation 3.23, 3.71)
√
(5.14)
b) La décomposition de la matrice de Mueller en utilisant l‟algorithme de Lu et Chipman (S. Y.
Lu, 1996),
(5.15)
[ ]
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*
⃗
⃗
+*
⃗
⃗
+
*
⃗
⃗
+
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(5.16)
Page 90
Chapitre 5 : Simulation Numériques
Selon l‟équation 5.6, la biréfringence maximale du volume dépend du retard de phase et de l‟angle de
l‟élévation. Une augmentation de la variabilité (rapport signal sur bruit) des cardiomyocytes dans le
volume entraine une diminution de la biréfringence, et du retard de phase.
Une approche statistique (comportement stochastique) permet une meilleure estimation de l‟amplitude
de la lumière polarisée transmise, de l‟angle d‟azimut et du décalage des courbes par rapport à l‟axe
des abscisses. Cinq jeux de données de 10 populations chacun, sont simulés respectivement avec un
angle solide de dispersion de 0, 10, 20, 30, 40 degrés. Dans la figure 5-12 la courbe représente la
moyenne des amplitudes maximales des valeurs mesurées, la barre de haut est + écart-type et celle de
bas est - écart-type. Pour chaque valeur de l‟angle solide de dispersion, l‟amplitude maximum de la
lumière polarisée transmise à travers le volume décroit, figure 5-12.
Dans la figure 5-13 il est possible d‟observer la variation de l‟angle d‟azimut moyen du volume en
fonction de la variation de l‟angle solide, et la figure 5-14 est la variation du décalage des courbes
Maximum d'amplitude de la lumière polarisée
(amplitude minimale) par rapport à l‟axe des abscisses en fonction de l‟angle solide de dispersion.
0.04
0.03
0.02
0.01
0
10
20
30
Angle (degré) solide de dispersion
40
Figure 5-12: Courbe maximum d‟amplitude de la lumière polarisée en fonction de l‟angle solide de dispersion.
Chaque point correspond à une valeur moyenne de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise, la barre de haut
est + écart-type et celle de bas - écart-type. Ordonnées : amplitude de la lumière compris entre 0 et 1. Abscisses:
Angle solide de dispersion.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
48
Angle d'azimut
46.5
45
43.5
0
10
20
30
Angle (degré) solide de dispersion
40
Figure 5-13: Variation de l‟angle d‟azimut en fonction de l‟angle solide de dispersion. L‟introduction de l‟angle
solide de dispersion dans le volume de manière stochastique entraine une variation de l‟angle d‟azimut. Selon
cette figure, l‟angle d‟azimut varie entre 43 et 47 degrés. . Ordonnées : variation de l‟angle d‟azimut. Abscisses :
angle solide de dispersion.
Décalage (amplitude minimale)
[10-4]7.5
6
4.5
3
1.5
0
10
20
Angle solide de dispersion
30
40
Figure 5-14: Variation du décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses (amplitude minimale) en
fonction de l‟angle solide de dispersion. Le décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses est l‟un des
paramètres le plus important dans les jeux de données simulées. En effet, il permet de caractériser le niveau
d‟homogénéité du volume. Au fur et à mesure que le décalage par rapport à l‟axe des abscisses augmente, cela
traduit le niveau d‟homogénéité du volume qui devient de plus en plus faible.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
5.3.7 Simulation d’un volume hétérogène : croisement de deux populations de
cardiomyocytes
Pour simuler le croisement des cardiomyocytes à l‟intérieur du volume, il est nécessaire de
diviser les cardiomyocytes en deux populations, figure 5-15. L‟axe optique de la première population
de cardiomyocytes est fixé à un angle d‟azimut de 0 degré par rapport à l‟axe de sélection du
polariseur, et l‟axe optique de la seconde population de cardiomyocytes est positionné à un angle
d‟azimut qui varie de 0 à 90 degrés par rapport à la première population de cardiomyocytes.
Une rotation du couple polariseur et analyseur croisés de 0 à 90 degrés, avec l‟insertion du volume
avec un angle élévation 0 degré permet de voir que l‟amplitude maximale de la lumière est toujours
égale à 0,04 quand les deux populations des cardiomyocytes sont superposées l‟un sur l‟autre. Dans ce
cas, le volume se comporte comme un volume parfaitement homogène, avec des cardiomyocytes
parfaitement alignées et parallèles entre elles, et la même courbe de la figure 5-4 a été retrouvé (azimut
0 ou 90 degrés).
Par contre, au fur et à mesure que l‟angle de croisement des deux populations de cardiomyocytes
augmente, le volume devient de moins en moins homogène, et l‟amplitude de la lumière diminue
progressivement, figure 5-15 et figure 5-16.
Variation de l'amplitude de la lumière polarisée
transmise en sortie d'analyseur
0.04
0.03
0.02
Croisement de fibres
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°

0.01
0
15
30
45
60
75
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseur croisés
90
Figure 5-15: Variation de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise en fonction de l‟angle de croisements des
deux populations de cardiomyocytes. Figure (a) volume simulé avec croisement de cardiomyocytes. Figure (b)
chaque courbe représente la variation de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise dans le volume quand
deux populations de cardiomyocytes sont croisées à un angle de 0, 10, 20, …,90 degrés. L‟amplitude de la
lumière est au maximum quand les deux populations de cardiomyocytes sont superposées. Au fur et à mesure
que le croisement des cardiomyocytes augment l‟intensité de la lumière diminue. Ordonnées : amplitude de la
lumière polarisée transmise. Abscisses : angle de rotation du couple polariseur et analyseurs croisés.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
Le croisement des cardiomyocytes perturbe la structure géométrique du volume, et cette perturbation
entraîne une diminution de la biréfringence du volume, et une diminution du retard de phase. La
longueur d‟onde la lumière reste inchangée.
Amplitude de la lumière polarisée
0.04
0.03
0.02
0.01
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Angle (degré) de croisement des deux populations de fibres
90
Figure 5-16: Variation de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise à travers le volume en fonction de l‟angle
des croisements des cardiomyocytes. Chaque point représente un croisement de cardiomyocytes. Ordonnées :
amplitude de la lumière compris entre 0 et 1. Abscisses : angle de croisement des deux populations de
cardiomyocytes.
En absence de tout angle solide de dispersion, et pour chacune des deux populations de
cardiomyocytes et sans-croisement de celle-ci, l‟amplitude maximale de la lumière est 0,04.
La figure 5-16 permet d‟observer la variation de l‟amplitude de la lumière polarisée en fonction de
l‟angle de croisement des deux populations de cardiomyocytes. Pour chaque augmentation de l‟angle
de croisement des deux populations de cardiomyocytes, l‟amplitude maximale de la lumière polarisée
transmise diminue
La figure 5-17 représente la variation de l‟angle d‟azimut en fonction de l‟angle de croisement des
deux populations de cardiomyocytes. L‟angle d‟azimut moyen est la bissectrice des deux directions
des faisceaux de cardiomyocytes, par exemple si une population des cardiomyocytes est orientée à 20
degrés par rapport à la première population, l‟angle d‟azimut résultant est de 10 degrés.
La figure 5-18 montre la variation du décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses en
fonction de l‟angle de croisement des deux populations de cardiomyocytes. En absence de tout angle
solide de dispersion des cardiomyocytes, le décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
(amplitude minimum) commence à croitre à partir de zéro. Puis continue à augmenter au fur et à
mesure que le croisement des cardiomyocytes augment et commence à décroitre progressivement à
partir de 45 degrés.
50
Angle azimut
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Angle (degré) de croisement des deux populations de fibres
90
Figure 5-17: Variation de l‟angle d‟azimut du volume en fonction de l‟angle de croisement des cardiomyocytes.
La bissectrice des deux directions de croisement des cardiomyocytes définit l‟angle d‟azimut. Ordonnées : angle
d‟azimut. Abscisses : angle croisements des deux populations de cardiomyocytes.
Décalage
-4
[10 ]2
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Angle (degré) de croisement des deux populations de fibres
90
Figure 5-18: Variation du décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses en fonction de l‟angle de
croisement des fibres. La variation de ce décalage commence à zéro pour continuer à augmenter au fur et à
mesure que l‟angle de croisement des cardiomyocytes augment, puis commence à décroitre à partir de 45 degrés.
Pour rappel, ce décalage permet de caractériser le niveau d‟homogénéité des cardiomyocytes à l‟intérieur du
volume. Ordonnées : décalage. Abscisses : angle croisements des deux populations de cardiomyocytes
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En absence de tout angle solide de dispersion dans le volume, la première courbe passe par son
maximum à 0,04 quand les deux populations de cardiomyocytes sont superposées et parallèles.
Cependant, avec l‟insertion d‟un angle solide de dispersion de 15 degrés au sein des deux populations
de fibre, l‟amplitude maximale de la lumière polarisée transmise est inférieure à 0,04, même quand les
deux populations de cardiomyocytes sont parallèles et superposées figure 5-19. La présence de l‟angle
solide de dispersion diminue fortement l‟amplitude de la lumière transmise à travers le volume.
Dans la figure 5-19a les faisceaux de cardiomyocytes ne sont pas totalement alignés les uns par
rapport aux autres, mais ils sont bruités par rapport à la direction principale. La dispersion au sein des
deux populations de cardiomyocytes, ne permet pas d‟avoir un faisceau de cardiomyocytes aligné,
mais des croisements au sein d‟un même faisceau de cardiomyocytes. Un agrandissement de la figure
5-19 permet d‟observer le détachement des courbes par rapport à l‟axe des abscisses, figure 5-19c.
Propagation de la lumière
𝑧
Volume hétérogène simulé. Croisement de deux populations de cardiomyocytes à l‟intérieur du volume avec un angle
solide de dispersion de 15 degrés.
(a)
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
Variation de l'amplitude de la lumière polarisée
transmise en sortie d'analyseur
0.03
Croisement de fibres
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
0.02
0.01

0
15
30
45
60
75
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseur croisés
90
(b)
Variation de l'amplitude de la lumière polarisée
transmise en sortie d'analyseur
-4
[10 ]3
Croisement de fibres
0°
10°
20°
30°
40°
50°
60°
70°
80°
90°
2
1
0
15
30
45
60
75
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseur croisés
90
(c)
Figure 5-19: Croisement de deux populations de cardiomyocytes avec angle solide de dispersion. Pour une
augmentation de l‟angle de croisement des deux populations de cardiomyocytes, l‟amplitude de la lumière
polarisée transmise diminue progressivement. Un grandissement de (b), permet d‟observer le décalage des
courbes par rapport à l‟axe des abscisses. Ordonnées : Amplitude de la lumière polarisée transmise. Abscisses :
angle de rotation du couple polariseur et analyseur croisés.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
Une approche statistique permet de mieux interpréter les résultats trouvés, car il est nécessaire
d‟analyser le comportement de l‟amplitude de la lumière ( ), de l‟angle d‟azimut ( ), et le décalage
des courbes par rapport à l‟axe des abscisses ( ). Ainsi, un jeu de données de 50 populations est
simulé avec un angle solide de dispersion de 15 degrés. La courbe représente la valeur moyenne
mesurée, barre supérieur est + écart-type, et barre inférieur est - écart-type.
La figure 5-20 montre la variation de l‟amplitude maximale de la lumière polarisée transmise en
fonction de l‟angle de croisement des deux populations de cardiomyocytes. Comme il a été déjà dit,
l‟angle d‟azimut du système est la bissectrice des deux directions des cardiomyocytes figure 5-21. En
raison de présence de variabilité au sein des deux populations de cardiomyocytes (angle solide de
dispersion 15 degrés), l‟amplitude minimale ne commence pas à zéro, mais à une valeur quelconque
parce que le volume n‟est pas homogène figure 5-22.
Amplitude de la lumière polarisée
0.03
0.02
0.01
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Angle (degré) de croisement des deux populations de fibres
90
Figure 5-20: Variation de l‟amplitude de la lumière de polarisée transmise en fonction du croisement des
cardiomyocytes avec un angle solide de dispersion de 15 degrés. Ordonnées : amplitude de la lumière.
Abscisses : angle de croisement des deux populations de cardiomyocytes.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
50
Angle azimut
40
30
20
10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Angle (degré) de croisement des deux populations de fibres
90
Figure 5-21: Variation de l‟angle d‟azimut du volume en fonction de l‟angle de croisement des deux populations
de cardiomyocytes avec un angle solide de dispersion de 15 degrés. La bissectrice des deux directions des
cardiomyocytes définit l‟angle d‟azimut du volume. Ordonnées : angle d‟azimut. Abscisses : angle croisement
des deux populations de cardiomyocytes.
-4
[10 ]4
Décalage
3
2
1
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Angle (degré) de croisement des deux populations de fibres
90
Figure 5-22: Variation du décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses (amplitude minimale) en
fonction de l‟angle de croisement des deux populations de cardiomyocytes avec un angle solide de dispersion de
15 degrés. A cause de l‟angle solide de dispersion le décalage des courbes commence à une valeur qui est
différente de 0. Ordonnées : Décalage. Abscisses : croisement des deux populations de cardiomyocytes.
Les figures 5-16 et 5-20 ont la même forme de courbe, par contre elles sont différentes en amplitude.
La figure 5-16 à une amplitude de 0, 04 tandis que celle de la figure 5-20 est de 0.026. Il est déjà
démontré que cette différence est due à l‟introduction d‟un angle solide de dispersion.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
La mesure de l‟angle d‟azimut dépend de la direction des croisements des deux populations de
cardiomyocytes. La faible variation de cette mesure avec l‟insertion de l‟angle solide de dispersion de
15 degrés, n‟influence pas les résultats de la figure 5-17 et 5-21. Les courbes ont mêmes formes.
Cependant, les figures 5-18 et 5-22 représentent le décalage des courbes par rapport à l‟axe des
abscisses. Ces deux figures n‟ont pas les mêmes formes de courbes. La figure 5-18 est non bruitée, ce
qui entraine que le décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses commence à croitre partir de
zéro, et augmente progressivement. En effet, à 45 degrés, l‟amplitude de la lumière polarisée transmise
à travers le volume en ce point, commence à décroitre ce qui entraine une diminution du décalage à
partir de ce point. Par contre, l‟introduction de l‟angle solide de dispersion de 15 degrés dans le
volume, figure 5-22, perturbe fortement le décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses. De
plus, le décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses commence à une valeur différente de
zéro. Ce résultat nous servira dans la phase expérimentale pour avoir une estimation sur le niveau
d‟homogénéité dans le myocarde.
5.4 Présentation d’un modèle analytique pour extraire l’orientation des
cardiomyocytes en lumière polarisée
Le but du modèle analytique est de fournir un outil facilitant l‟extraction des mesure des
cartographies du myocarde humain en lumière polarisée, telle que :
a) la cartographie de l‟amplitude de la lumière polarisée qui permet d‟en déduire la cartographie
de l‟angle de l‟élévation
b) la cartographie de l‟angle d‟azimut
c) la cartographie du décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses.
5.4.1 Ajustement du modèle avec le volume homogène simulé
L‟équation 5.2 est utilisée pour générer une famille de courbes qui permet d‟observer la
variation de l‟amplitude de lumière polarisée transmise à travers le volume quand ce dernier est placé
entre le couple polariseur et analyseur croisés (figure 5-2a), ou entre le couple des polariseurs
circulaires (figure 5-2b). A partir des courbes générées, il est aussi possible d‟en déduire un modèle
expérimental, car l‟amplitude de la lumière polarisée transmise à travers le volume varie comme le
carré du cosinus. Le modèle expérimental dépend de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise, de
l‟angle de rotation du couple polariseur et analyseur croisés, et de l‟angle d‟azimut du volume.
Cependant, avec le formalisme de Mueller il est possible de déduire mathématiquement l‟expression
analytique de ce modèle, équation 5.17.
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
( (
))
(5.17)
La courbe en rouge provient de simulation avec l‟équation 5.2, et les croix en bleu représentent
l‟ajustement du modèle obtenue avec l‟équation 5.17, figure 5-23. Cette équation est démontrée
analytiquement grâce à la matrice Mueller, équation (5.7), qui représente l‟amplitude de la lumière
polarisée (démonstration en annexe). Ce modèle est valable dans le cas où le volume est parfaitement
homogène ou dans le cas d‟un cristal uni-axial biréfringent totalement homogène. Pour rappel, un
cristal est parfaitement homogène si ses structures moléculaires, et atomiques ont une répétition
régulière, périodique qui définit sa perfection géométrique.
Amplitude de la lumière polarisée
0.04
Modèle
Simulation
0.03
0.02
0.01
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseur croisés
Figure 5-23: Ajustement du modèle avec une courbe simulée. La courbe en rouge représente la variation de
l‟intensité de la lumière polarisée transmise à travers le volume homogène, lorsque l‟axe optique du volume est
positionné à 45 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur, et les croix en bleu représentent le modèle
analytique. Ordonnées : amplitude de la lumière transmise. Abscisses : angle de rotation du couple polariseur et
analyseur croisés.
Avec un coefficient d‟ajustement de 99%, le modèle de l‟équation 5.17 permet d‟exprimer l‟amplitude
de la lumière polarisée transmise en sortie d‟analyseur.
5.4.2 Ajustement du modèle avec le volume non homogène simulé
Le modèle permettant d‟extraire l‟orientation des cardiomyocytes dans le volume hétérogène
est basé sur le même modèle de l‟équation 5.17, mais avec un paramètre additionnel ( ) qui représente
le décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses. Pour un volume totalement homogène,
l‟amplitude minimale est égale à zéro puisqu‟il n y a aucune variabilité dans le volume et on retrouve
le modèle analytique de la figure 5-23. Cependant, en présence d‟une certaine variabilité à l‟intérieur
du volume (volume hétérogène), la valeur de ce décalage est différente de zéro. Grâce à ce paramètre,
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
il est possible de caractériser ou de mesurer le niveau d‟homogénéité à l‟intérieur du volume. Le
modèle analytique a pour expression :
(5.18)
Pour ajuster la courbe simulée pour volume non homogène au modèle analytique de l‟équation 5.18, il
est nécessaire de les présenter dans un seul graphique. En ce sens, la courbe de la figure 5-23 est
reprise mais avec un angle solide de dispersion de 15 degrés.
Amplitude de la lumière polarisée
0.01
Modèle
Simulation
0.008
0.006
0.004
0.002
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
Angle de rotation (degré) du couple polariseur et analyseur croisés
Figure 5-24: Ajustement du modèle avec une courbe simulée et un angle solide de 15 degrés. La courbe en rouge
représente les données simulées (volume hétérogène), et les croix en bleu représentent l‟ajustement du modèle
avec la présence d‟un angle solide de 15 degrés. Ordonnées : amplitude de la lumière ; Abscisse : angle de
rotation du couple polariseur et analyseur croisés.
Pour calculer le paramètre , qui caractérise le niveau d‟homogénéité à l‟intérieur du volume, il faut
connaitre :
a) l‟angle d‟azimut des cardiomyocytes au sein du volume, paramètre
b) l‟amplitude de la lumière polarisée transmise, paramètre
c) l‟angle de rotation du couple polariseur et analyseur croisés, paramètre
5.4.3 Extraction des paramètres du modèle (
.
)
Par une approche des moindres carrés non linéaire (Levenberg-Marquardt), il est possible
d‟ajuster le modèle analytique de l‟équation 5.17, avec les courbes simulées pour extraire l‟orientation
de l‟angle d‟azimut
du volume et l‟amplitude de la lumière polarisée transmise
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
( (
))
(5.19)
représente l‟intensité de la lumière polarisée transmise dans le banc optique dans le cas d‟un
volume totalement homogène. Cependant, dans le cas d‟un volume avec un niveau d‟homogénéité,
l‟équation 5.17 devient
(5.20)
Pour
= 0, le volume est parfaitement homogène (équation 5.17). La présence d‟une certaine
variabilité entre les cardiomyocytes à l‟intérieur du volume entraine que la valeur de
Le modèle de l‟équation 5.19 est un modèle empirique déjà observé dans les acquisitions des images
(phase expérimentale) faites en lumière polarisée c'est-à-dire entre le couple polariseur et analyseur
croisés. Grâce au formalisme de Mueller, nous avons pu démontrer analytiquement ce modèle qui est
la clé primordiale de la simulation, équation 5.7. Ce modèle sera utilisé dans la phase expérimentale
pour extraire les paramètres fondamentaux (
) de l‟équation 5.20. Ainsi, les paramètres,
et
sont des éléments pertinents qui caractérisent le comportement du volume uni-axial biréfringent entre
le couple de polariseur et analyseur croisés. Pour extraire ces paramètres, il faut générer une famille de
courbe avec l‟équation 5.2, puis à partir des courbes obtenues, il est possible d‟extraire les paramètres
exacts du modèle par une méthode d‟ajustement non linéaire.
Dans ce manuscrit, les données calculées ou simulées ne sont pas alignées autour d‟une droite ou ne
sont pas linéaires, il n‟est pas possible d‟utiliser la méthode des moindres carrés classique pour
extraire les paramètres fondamentaux du modèle. Pour faire cette ajustement, le choix est porté sur
l‟algorithme de Levenberg-Marquardt pour un ajustement non linéaire, car la stabilité de cet
algorithme permet de trouver une solution même s‟il est démarré très loin d‟un minimum.
Cependant, le but principal de notre ajustement du modèle est de fournir un outil de traitement
d‟image pour faciliter l‟extraction des mesures des cartographies du myocarde humain en lumière
polarisée (banc optique). Dans notre cas, il est nécessaire que cet ajustement du modèle se fasse pixel
par pixel. Cependant, avec l‟algorithme de Levenberg-Marquardt, il faut au minimum un temps moyen
de 3 minutes par images (dimension des images 762×570), c‟est trop couteux en temps de calcul, et en
stockage. De ce fait, il fallait trouver des simplifications robustes permettant quand même d‟ajuster le
modèle de l‟équation 5.19 par les moindres carrés pour réduire ce temps de calcul (développement en
annexe GNU/Maxima). Les simplifications développées, ont permis de réduire le temps de calcul à
une fraction de seconde par image.
En reprenant l‟équation 5.9,
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
Posons :
on a :
(5.21)
Avec :
et =
, b=k
(5.22)
Quand on dispose de deux ensembles de données de tailles
{
} {
}
obtenus expérimentalement ou mesurés sur une population, il faut trouver une méthode statistique
permettant d‟observer la relation existante entre ces deux variables. En ce sens, la méthode des
moindres carrés est la plus adaptée pour cette tâche. L‟avantage majeur de cette méthode est de
minimiser la somme des carrés des écarts entre les deux vecteurs ⃗ et
. Le modèle usuel des
moindres carrés est un modèle linéaire exprimé par :
(5.23)
Tenant compte des erreurs observées
dans le modèle, les données en {
considérées comme autant de réalisations d‟une variable aléatoire , et les données {
} sont
}
comme autant de réalisation d‟une variable X. La variable Y est appelée variable expliquée ou
dépendante, et la variable X est la variable expliquant.
Si
représente cet écart appelé résidu, le principe des moindres carrés consistes à choisir les valeurs
de a, et b qui minimise :
∑
∑
̂
∑
̅
̂
̅
(5.24)
Un simple calcul montre que :
̅ ⁄∑
̅
(5.25)
Et
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̂ ̅
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(5.26)
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
̂ s‟exprime souvent au moyen des variances :
∑
⁄
̂
̅
(5.27)
Et la covariance s‟exprime par
⁄
∑
̅
̅
(5.28)
En utilisant GNU/Maxima, les paramètres fondamentaux du modèle sont :
(
( )
∶
⁄
)
(5.29)
∶
{
∶
{
avec :
( )
( )
{
(5.30)
( )
Grâce à la simulation, les paramètres (
) du modèle présenté dans l‟équation 5.20 sont vérifiés
sur le volume simulé, ce qui permet d‟appliquer directement ce modèle sur l‟acquisition d‟un
échantillon de vrai cœur humain faite en lumière polarisée, c'est-à-dire entre polariseur et analyseur
croisés. L‟extraction des cartographies de chacun des paramètres du modèle sont extraits un à un.
Par exemple, nous avons utilisé l‟équation 5.30 pour extraire les paramètres de l‟équation 5.19 (figure
5-23) et 5.20 (figure 5-24), ce qui revient à écrire respectivement ces deux équations sous la forme:
(5.31)
et :
(5.32)
Il est montré que la mesure de l‟angle d‟azimut du volume est indépendant du système quand
ou 45 degrés, et la valeur de
dépend seulement de
⁄
(axe de sélection des polariseurs linéaires).
La simulation numérique présentée ici permet d‟établir un outil mathématique très robuste pour
exploiter le comportement du myocarde humain en lumière polarisée, à savoir de déterminer
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Chapitre 5 : Simulation Numériques
pertinemment l‟orientation 3D des cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire, et de prédire le
niveau d‟homogénéité de ces cardiomyocytes à l‟intérieur du myocarde.
Le chapitre suivant présente la validation du modèle analytique sur un vrai tissu biologique, le pilier
de la valve auriculo ventriculaire.
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Chapitre 6 : Expérimentations
Chapitre 6
Expérimentations
Chapitre 6.............................................................................................................................. 107
6.1
Validation du modèle mathématique par une étude des muscles papillaires des valves
auriculoventriculaires ................................................................................................................... 108
6.1.1
Etude de l‟orientation des cardiomyocytes de myosine dans chaque voxel ................ 108
6.1.2
Variation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise dans un voxel pour un azimut
de 0 degré .................................................................................................................................... 108
6.1.3
Intensité de la lumière polarisée transmise dans le pilier orienté à un angle d‟azimut de
45 degrés par rapport au polariseur ............................................................................................. 110
6.1.4
Extension de l‟angle d‟azimut du pilier jusqu‟à 180 degrés........................................ 113
6.1.5
Analyse de la différence de chemin optique dans les piliers des valves auriculoventriculaires ............................................................................................................................... 115
6.1.6
6.2
Cartographies des piliers ............................................................................................. 117
Croisement des cardiomyocytes par superposition de deux piliers .............................. 120
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Chapitre 6 : Expérimentations
6.1 Validation du modèle mathématique par une étude des muscles
papillaires des valves auriculo-ventriculaires
6.1.1 Etude de l’orientation des cardiomyocytes dans chaque voxel
Dans le chapitre précédent, un modèle analytique a été développé permettant l‟extraction des
trois paramètres. (
l‟intensité de la lumière polarisée transmise dans un voxel, (
de l‟objet uni-axial biréfringent dans un voxel,
l‟angle d‟azimut
la mesure de décalage de la courbe par rapport à
l‟axe des abscisses pour caractériser le niveau d‟homogénéité dans le voxel.
Pour valider le modèle proposé, il est nécessaire d‟utiliser un vrai objet uni-axial biréfringent afin de
vérifier si les données simulées sont cohérentes avec les données expérimentales. Sans aucun doute, le
modèle fonctionnera très bien avec un vrai objet uni-axial biréfringent si ses structures atomiques dans
l‟espace considéré sont régulières et périodiques. Aussi, les piliers des valves auriculo-ventriculaire
ont-ils été sélectionnées en raison de leur caractéristiques. En effet, Jouk et al. (Jouk, 1994), dans leur
travaux utilisent les piliers des valves auriculo-ventriculaires (chapitre 2, préparation du pilier) pour
deux raisons importantes:
a) ils possèdent le plus grand niveau d‟homogénéité parmi les autres régions morphologiques du
myocarde humain
b) l‟orientation des cardiomyocytes dans les piliers est bien maitrisée.
Pour rappel, les résultats exposés dans le chapitre 5 ont été obtenus avec un volume simulé de 500
µm3, pour une biréfringence maximale de
.
Une section de pilier d‟une épaisseur de 500 µm (soit 2 sections superposées de 250µm chacune) est
utilisée dans toute cette phase expérimentale. Sa biréfringence est identique à celle du volume simulé
et ce qui va nous permettre d‟évaluer le modèle analytique proposé.
Toutes les conditions étant réunies, nous pouvons analyser l‟intensité de la lumière polarisée transmise
à travers le pilier pixel par pixel.
6.1.2 Variation de l’intensité de la lumière polarisée transmise dans un voxel pour un
azimut de 0 degré
Pour commencer le polariseur et l‟analyseur sont réinitialisés de tel sorte qu‟ils soient croisés.
L‟axe de sélection du polariseur est fixé à 0 degré par rapport à l‟axe Est-Ouest (référentiel du système
optique), et l‟axe de sélection de l‟analyseur est orienté à 90 degrés par rapport à l‟axe de sélection du
polariseur.
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Chapitre 6 : Expérimentations
Ensuite, une mire
de côté dite mire de calibrage, calculée géométriquement et imprimée
sur du mylar est placée sur la platine porte-objet. Le but est de bien centrer la caméra sur l‟axe optique.
Cela permet aussi de mesurer le grandissement optique de l‟image (en pixel/millimètre).
Après ce calibrage, la mire est enlevée et laisse la place à l‟échantillon biologique qui est positionné
sur la platine porte-objet dans le champ de vue de la caméra. La première acquisition de l‟échantillon
est en lumière seulement polarisée (axe de sélection du polariseur à 0 degré, pas d‟analyseur).
Puis, l‟échantillon biologique est enlevé de la platine porte-objet, et l‟image du fond est capturée.
L‟image du fond de la platine est définie comme l‟intensité lumineuse du fond en absence de
l‟échantillon biologique. La soustraction de l‟image du fond dans l‟image de l‟échantillon de cœur
permet de corriger l‟hétérogénéité du champ illumination. Puis, l‟échantillon biologique est replacé sur
la platine pour une série d‟acquissions en lumière polarisée. L‟image binaire de l‟échantillon est
obtenue par seuillage d‟intensité
Pour débuter la phase expérimentale, le pilier est inséré entre le couple polariseur et analyseur croisés,
et orienté à un angle d‟azimut de 0 degré par rapport à l‟axe de sélection du polariseur, c‟est à dire que
l‟axe optique du pilier est parallèle à l‟axe de sélection Est-Ouest du polariseur. Pour la capture de huit
images (12 bits), nous avons réalisé une rotation du couple polariseur et analyseur croisés de 0 à 78,75
degrés par pas de 11,25 degrés.
Pour rappel, il a été démontré dans le chapitre 5 (figure 5-4), que dans l‟intervalle de 0 à 90 degrés, il
existe un maximum et deux minima, ceci est suffisant pour étudier le comportement de volume
simulé. De plus, l‟ajustement d‟un modèle qui passe par huit points de mesures expérimentales est
suffisamment robuste. La pile d‟images obtenues dans le banc optique est ensuite traitée sous ImageJ.
En se référant à la phase de simulation du chapitre 5, il est démontré que quand l‟axe optique d‟un
objet uni-axial biréfringent est parallèle avec l‟axe de sélection du polariseur, il y a une extinction
complète de la lumière (chapitre 5, figure 5-7), (P. A. Desrosiers, 2012). La figure 6-1a confirme bien
cette prédiction. Cependant, la nature anatomique et biologique du pilier ne permet pas d‟avoir cette
extinction complète, à cause de la variabilité biologique minimale des cardiomyocytes à l‟intérieur du
pilier. Seulement, une atténuation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise est observée
(chapitre 5, figure 5-11)
La figure 6-1b représente l‟image brute de ce même pilier avec son axe optique orienté à un azimut de
0 degré quand l‟axe de sélection du polariseur est orienté à 45 degrés. L‟intensité de la lumière
transmise est au maximum. Ce résultat confirme bien ce qui est déjà trouvé dans la phase de
simulation.
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Chapitre 6 : Expérimentations
𝜃𝑝𝑖𝑙𝑖𝑒𝑟
𝑝𝑖𝑙𝑖𝑒𝑟
𝜃
0°
0°
(b) 0°
𝜃𝜃𝑝𝑖𝑙𝑖𝑒𝑟
0°
𝑝𝑖𝑙𝑖𝑒𝑟 0°
(a)
(c) 45°
(a) Polariseur 0°
Figure 6-1 : Piliers des valves auriculo-ventriculaires entre polariseur et analyseur croisés. (a) montage optique;
(b) pilier avec son axe optique orienté à un azimut de 0 degré et parallèle à l‟axe de sélection du polariseur. Donc
l‟intensité de la lumière polarisée transmise à travers le pilier est au minimum; (c) le même pilier avec son axe
optique orienté à un angle azimut de 0 degré, et l‟axe de sélection du polariseur est à 45 degrés par rapport au
référentiel. L‟intensité de la lumière polarisée transmise est au maximum.
6.1.3 Intensité de la lumière polarisée transmise dans le pilier orienté à un angle
d’azimut de 45 degrés par rapport au polariseur
Pour ne pas alourdir la présentation, seulement deux configurations seront présentées ci-après :
pilier avec un azimut de 0 et 45 degrés.
Quand l‟axe optique du volume simulé est orienté à un azimut de 45 degrés et parallèle à l‟axe de
sélection du polariseur, l‟amplitude de la lumière polarisée est nulle en sortie d‟analyseur, et c‟est à ce
point d‟extinction que l‟angle d‟azimut du volume simulé est indépendant du système optique (P. A.
Desrosiers, 2012). Pour vérifier cette simulation, le même pilier est utilisé, mais cette fois avec son axe
optique orienté avec un angle d‟azimut de 45 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur.
Pour tracer le profil d‟intensité en fonction de l‟angle de rotation α du couple polariseur et analyseur
croisés, un point de mesure est sélectionné dans la pile image de la figure 6-2b, puis analysé sous
ImageJ. Ce point de mesure correspond à huit valeurs d‟intensités de la lumière polarisée transmise
dans un pixel donné, comme le montre la figure 6-2d (croix rouge). Avec le modèle analytique du
chapitre 5 (équation 5.29), il est possible d‟ajuster le modèle aux mesures faites dans la phase
expérimentale de la figure 6-2d (courbe en bleu). Pour rappel, l‟intensité de la lumière polarisée
transmise dans le pilier représente le niveau de gris de l‟image.
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Chapitre 6 : Expérimentations
Dans la figure 6-2b l‟axe optique du pilier est parallèle à l‟axe de sélection du polariseur et orienté à
45 degrés, nous avons observé une atténuation de l‟intensité de la lumière polarisée (chapitre 5, figure
5-11). Cependant, il n‟y a pas une extinction complète de la lumière polarisée transmise comme dans
la simulation (chapitre 5, figure 5-7). Au point de vue microscopique, les structures anatomiques et
physico-chimiques des filaments de myosine ne sont pas aussi homogènes, régulières et périodiques
que celles des cristaux uni-axiaux biréfringents. Par contre, les filaments de myosine possèdent des
structures parallèles, périodiques, qui se rapprochent au mieux d‟une structure cristalline. Ceci
explique mieux son plus grand niveau d‟homogénéité que dans les autres zones anatomiques du
myocarde humain, sans toutefois atteindre la perfection d‟un vrai cristal.
Dans la figure 6-2c l‟axe de sélection du polariseur est orienté à 0 degré par rapport à l‟axe optique du
pilier qui est toujours à 45 degrés (chapitre 5, figure 5-7 et 5-11), ce qui entraine que l‟intensité de la
lumière polarisée transmise est au maximum à 0 et à 90 degrés. Il est aussi possible d‟observer
directement la valeur de l‟intensité de la lumière (
= 437,60 u.a) dans la figure 6-2d.
Dans la figure 6-2d les croix en rouges représentent les mesures expérimentales qui ont été faites en
fonction de la rotation α du couple polariseur et analyseur croisés, tandis que la courbe en bleu est
l‟ajustement du modèle analytique lié aux mesures expérimentales. Dans cette figure, il est possible
d‟observer toutes les valeurs des intensités de la lumière polarisée transmise en fonction de l‟angle de
rotation α.
L‟ajustement du modèle analytique aux mesures expérimentales permet de mesurer l‟orientation des
cardiomyocytes dans chaque voxel donné, ainsi que le niveau d‟homogénéité
du pilier, figure 6-2b (chapitre 5, équation 5.29).
Il est possible de mesurer expérimentalement la variation de l‟intensité de la lumière polarisée
travers un voxel considéré, l‟angle d‟azimut
à
et le décalage de la courbe par rapport à l‟axe des
abscisses (intensité minimale), ce qui revient à écrire le modèle analytique (chapitre 5, équation 5.18)
en tenant compte de la figure 6-2d sous la forme de:
avec
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en radian, u.a : unité arbitraire
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Chapitre 6 : Expérimentations
𝜃𝑝𝑖𝑙𝑖𝑒𝑟
45°
𝜃𝑝𝑖𝑙𝑖𝑒𝑟
45°
(b) 45°
(a)
(c) 0°
450
Niveau de gris de la caméra
375
Modèle mathématique
Mesures expérimentales
300
225
150
75
0
11
22
33
44
55
66
77
88
Angle (degré) de rotation du couple polariseur et analyseur croisés
(d)
Figure 6-2: Mesures expérimentales confrontées aux simulations numériques. (a) montage optique; (b) axe
optique du pilier est parallèle à l‟axe de sélection du polariseur (45 degrés). D‟après les simulations, l‟intensité
de la lumière polarisée transmise est au minimum; (c) l‟axe de sélection du polariseur est orienté à 0 degré par
rapport à l‟axe optique du pilier (45 degrés), l‟intensité de la lumière transmise est au maximum; (d) variation de
l‟intensité de la lumière transmise à travers le pilier. Les croix en rouge représentent les valeurs mesurées dans la
phase expérimentale, tandis que la courbe en bleu c‟est l‟ajustement du modèle par les moindres carrés non
linéaire. Ordonnées : niveau de gris de la caméra en u.a ; Abscisses : rotation du couple polariseur et analyseur
croisés.
Les mesures photométriques faites sur les piliers sont conformes aux données théoriques obtenues par
la simulation. Ce modèle permet d‟extraire l‟orientation des cardiomyocytes dans un pixel, car
l‟intensité numérisée (niveau de gris) de la lumière polarisée transmise est fonction de la biréfringence
des piliers et de ses angles d‟azimut et d‟élévation. Pour analyser, mesurer l‟amplitude de la lumière
polarisée transmise, l‟orientation des cardiomyocytes, et le niveau d‟homogénéité de tout le pilier,
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Chapitre 6 : Expérimentations
nous avons écrit un greffon logiciel pour ImageJ qui prend en compte les techniques d‟extractions des
paramètres du modèle élaboré dans le chapitre 5 (chapitre 5, équation 5.29). Ce greffon logiciel permet
ajuster le modèle pixel par pixel dans les acquisitions des images faites entre polariseur et analyseur
croisés.
Arrivé à ce point, la méthode de mesure et le modèle nous limite une étendue de 0 à 90 degrés pour les
mesures des angles azimut et d‟élévation, soit un domaine couvrant ⁄ de la sphère. Il nous faut donc
définir une approche pour étendre le domaine de mesure au ⁄ de sphère, c‟est le propos du
paragraphe suivant.
6.1.4 Extension de l’angle d’azimut du pilier jusqu’à 180 degrés
Dans les montages optiques précédents (phase expérimentale), l‟angle d‟azimut du pilier est
défini de 0 à 90 degrés soit sur un ⁄ de sphère.
Il est possible qu‟un objet uni-axial biréfringent positif avec un azimut orienté à 45 degrés entre
polariseur et analyseur croisés (référentiel) ait un angle d‟extinction nul (figure 6-2b). L‟angle
d‟extinction nul est défini comme l‟angle que fait l‟axe optique de l‟objet uni-axial biréfringent avec
l‟axe de sélection du polariseur, et elle est différent de zéro. La luminosité de cet objet (pilier) est
identique que l‟azimut soit à +45 ou à +135 degrés. Pour lever cette ambigüité, il est nécessaire
d‟étendre l‟angle d‟azimut à 180 degrés. L‟adjonction d‟une lame pleine onde orientée à +45(ou +135)
degrés entre le pilier et l‟analyseur va nous permettre de définir cet angle d‟azimut périodique modulo
180 et d‟enlever cette ambigüité, figure 6-4. Comme nous utilisons une source de lumière « blanche »,
le retarde de phase est constant et de l‟ordre de la longueur d‟onde moyenne du spectre. De ce fait, des
interférences diverses (additives, soustractives) vont se produire aboutissant à des couleurs
interférence. La lame pleine onde sert à créer un retard de phase supplémentaire. Celles-ci peuvent être
interprétées grâce à des tables dites table de Newton Michel-Levy. Ces tables sont fournies par les
fabricants de matériel microscopique. (Table Newton Michel-Levy en annexe).
Pour mieux détailler ce qui se passe dans le banc optique, expliquons et interprétons les phénomènes
observés. Quand un faisceau de lumière non polarisée traverse un polariseur linéaire un angle
deux composantes (
, les
) du vecteur champ électriques ⃗⃗⃗ vibrent à angle droit l‟un par rapport à
l‟autre. L‟orientation de l‟axe de sélection du polariseur à 0 degré par rapport l‟axe Est-Ouest ou
permet d‟atténuer totalement la composante verticale du champ électrique (
composante horizontale
). Seulement, la
est présente dans le banc optique. Puis, ce faisceau de lumière déjà
polarisée traverse le pilier, qui à son tour décompose ce même faisceau en deux autres faisceaux dont
les champs électriques (
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) vibrent orthogonalement l‟un par rapport à l‟autre.
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L‟introduction de la lame pleine onde dans le trajet du faisceau lumineux engendre une différence de
chemin optique sur les deux rayons (
). Ceci met en évidence la nature biréfringente
du pilier, figure 6-5, car elle dépend totalement de l‟angle d‟élévation, et ce dernier dépend du retard
de phase (chapitre 5, équation 5.6), Jouk et al (Jouk P.-S. , 1994). L‟orientation de l‟axe de sélection
de l‟analyseur à 90 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur permet d‟atténuer totalement
). L‟interaction des
la composante horizontale du vecteur champ électrique (
différences de chemin optique entre les deux rayons (
) et (
) de la lame
pleine onde a pour effet d‟étendre l‟angle d‟azimut du pilier jusqu‟à 180 degrés. Pour mettre en
évidence les couleurs d‟interférences observées, la caméra noir et blanc est remplacée par une caméra
couleur. La couleur magenta du fond, figure 6-3b est une couleur d‟interférence qui correspond à une
longueur d‟onde moyenne de 550 nm et sert de référence pour détecter l‟azimut modulo180.
(b)
(a)
Figure 6-3: Montage optique pour étendre l‟angle d‟azimut du pilier à 180 degrés. (a) la presence de la lame
pleine onde de 550 nm dans le banc optique, permet de retarder la difference de marche des deux rayons
(ordinaire, extraordinaire). La lame pleine onde permet de : a) mesurer la difference de chemin optique dans le
pilier; b) etendre l‟angle d‟azimut 180 degrés; (c) rester dans le permier ordres des longueurs d‟onde
d‟interference. (b) le fond magenta est une couleur d‟interference qui permet de determiner le modulo 180.
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Chapitre 6 : Expérimentations
Figure 6-4 : Interaction du pilier avec la lame pleine onde (lame  Le positionnement du pilier à un angle de
+45 ou +135 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur entraine que les indices de réfraction des deux
et
engendrent des couleurs d‟interférences de 640 ou 440 nm.
L‟angle d‟azimut peut être ainsi mesuré de 0 à 180 degrés grâce à l‟acquisition des images avec une
lame pleine onde.
6.1.5 Analyse de la différence de chemin optique dans les piliers des valves auriculoventriculaires
Pour mesurer la différence de chemin optique induit dans le pilier nous avons choisi le
montage de la figure 6-3a. La présence de la lame pleine onde avec un retard de phase 550 nm permet
de différencier le pilier à +45 et +135 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur.
L‟exploitation de ces deux angles d‟azimut permet de mesurer la différence de chemin optique des
rayons extraordinaire
et ordinaire
du pilier. En se réfèrent à la charte des interférences de Michel
Levy, il est possible d‟interpréter les résultats trouvés.
Dans la figure 6-5a le pilier avec la couleur d‟interférence bleu correspond à un angle azimut de 135
degrés, pour une longueur d‟onde de ~640 nm. Tandis que la figure 6-5b représente le même pilier
avec une couleur d‟interférence orange pour un angle azimut de +45 degrés. Cette couleur
d‟interférence répond à une longueur d‟onde de ~440 nm.
Il devient possible de mesurer la différence de chemin optique
et
du
pilier. Quand l‟axe neutre de la lame pleine onde est parallèle avec l‟axe optique du pilier, la
différence de chemin optique résultante est la somme des chemins optiques du pilier et de la lame
pleine onde. Dans le cas contraire, si leurs deux axes optiques sont perpendiculaires, la différence de
chemin optique du pilier se retranche de celui de la lame pleine onde, figure 6-5.
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Chapitre 6 : Expérimentations
(a)
(b)
Figure 6-5: Pilier orienté à +45 et +135 degrés entre polariseur et analyseur croisés, avec une lame pleine onde
orienté à +45 degrés. (a) pilier orienté à +135 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur. (b) pilier à 45
degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur. Pour exploiter et interpréter les couleurs d‟interférences
observées, il est nécessaire d‟utiliser la charte des interférences de Newton Michel-Levy.
Avec la charte de Newton Michel-Levy, il est possible de mesurer la différence de chemin optique
dans pilier, en tenant compte de la figure 6-6. Il est possible d‟écrire :
|
|
)
|(
(
)|
|
|
|
|
|
|
La différence de chemin optique des deux rayons dans le pilier est environ 210 nm. Avec la charte de
Newton Michel-Levy les premières couleurs d‟interférences débutent aux environ de 250 nm. De 0 à
230 nm, on obtient une gradation de gris allant du noir au blanc. Puis les premières couleurs
d‟interférences apparaissent aux environs de 250 nm (jaune pâle), puis 330 nm (orange), 540 nm
(rouge), 640 nm (bleu), 720 nm (vert), puis de nouveaux cycles des mêmes couleurs, mais de plus en
plus désaturées pour des valeurs supérieures du retard de phase. Le premier ordre des interférences va
de 0 à 550 nm, puis le second ordre de 551 nm à 1101 nm, le troisième ordre de 1101 nm à 1552 nm
(charte de Newton Michel Levy, version ZEISS, en annexe)
L‟intérêt majeur de rester dans le premier ordre des couleurs d‟interférences, permet de résoudre les
problèmes liés à l‟information colorimétrique, en utilisant une simple caméra noir et blanc avec un
filtre orange monté sur son objectif (chapitre 4, Source Lumineuse). La caméra noir et blanc utilise un
seul canal de transmission ce qui diminue considérablement le coût du signal à traiter. Ainsi, il devient
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Chapitre 6 : Expérimentations
possible de lever l‟ambiguïté des angles avec un azimut de +45 et 135 degrés, car la différence de
chemin optique de ces deux angles est différente.
Dans la pratique, comme nous utilisons une caméra noir et blanc, l‟ajout d‟un filtre passe long orange
(560 nm) permet d‟enregistrer sélectivement les longueurs d‟ondes et ainsi de discriminer
par des régions claires et des régions sombres.
6.1.6 Cartographies des piliers
Pour extraire les cartographies des trois paramètres fondamentaux du modèle (décalage des
courbes A, amplitude B, azimut), et celle de l‟élévation du pilier, il nous faut :
a) Huit acquisitions entre polariseur et analyseur croisés de 0 à 78,75 degrés par pas de 11,25
degrés (figure 6-2b)
b) Quatre autres acquisitions entre polariseur et analyseurs croisés de 0 à 67 par pas 22 degrés (0,
22, 45 et 67 degrés) mais avec l‟insertion de la lame pleine onde orienté à +45 degrés entre le
pilier et l‟analyseur.
Ainsi, l‟algorithme est traduit en un greffon logiciel « plugin » sous ImageJ, et permet d‟extraire la
cartographie de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise dans chaque pixel, figure 6- 6.
Dans la figure 6-6a les deux cartographies (pilier orienté à un azimut de 0, et 45 degrés ; images en
contraste inversé) permettent d‟observer la variation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise en
fonction du retarde de phase induit dans le pilier. Chaque variation du niveau de gris de l‟image, est
fonction du retard de phase induit dans le pilier, et de sa biréfringence. De plus, il est aussi possible de
calculer la longueur d‟onde de la lumière à travers le pilier (chapitre 5, équation 5.4).
La mesure du niveau d‟homogénéité des piliers est déterminée par la cartographie du décalage des
courbes par rapport à l‟axe des abscisses, figure 6- 6b (images en contraste inversé).
Cependant, si les piliers étaient totalement homogènes, la cartographie de ce décalage
serait
confondue avec le fond de l‟image, et l‟image résultante serait plutôt une image totalement atténuée
dont tous les valeurs des pixels seraient proches de zéro (paramètre
~= 0). Puisque ce n‟est pas le
cas, on arrive bien à distinguer les deux images pour des niveaux de gris différents de zéros.
La figure 6- 6c permet de connaitre l‟orientation moyenne des angles d‟azimut des cardiomyocytes du
piler dans chaque pixel. Premièrement, le pilier est orienté à 0 degré, et nous avons ajouté une table
fausse couleur pour une meilleure observation des faisceaux de cardiomyocytes orientés à des azimuts
différents. Les cardiomyocytes sont orientés à un angle d‟azimut moyen de 0 degrés (rouge), 10 degrés
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Chapitre 6 : Expérimentations
(orange), 60 degrés (bleu), 85 degrés (magenta). La plupart des cardiomyocytes ont un angle azimut
moyen de 85 degrés (magenta). Deuxièmement, le pilier est orienté à 45 degrés, la majorité des
faisceaux de cardiomyocytes ont un angle d‟azimut moyen de 45 degrés (vert). Puis quelques des
faisceaux de orientés à un azimut moyen de 50 degrés.
Comme il a été déjà démontré dans le chapitre 5 (figure 5-7), l‟angle d‟azimut du volume simulé est
indépendant du système optique, quand cet objet est orienté à 45 degrés par rapport à l‟axe de
sélection du polariseur. Dans ce cas, l‟orientation d‟un cardiomyocyte ou d‟un faisceau de
cardiomyocyte est déterminée par l‟axe de sélection du polariseur. Puis, nous avons vérifié cette
prédiction dans la figure 6- 6c, et on observe que la majorité des faisceaux ont une orientation
moyenne de 45 degrés. Puisque le pilier est orienté suivant deux directions (0 et 45 degrés), il n‟est pas
nécessaire de définir la palette des couleurs à 180 degrés.
Il a été démontré dans le chapitre 5 (équation 5.15), que l‟angle d‟élévation du volume simulé est
fonction de l‟intensité de la lumière polarisée. Nous avons implémenté ce code dans le greffon logiciel
pour ImageJ afin d‟extraire l‟orientation moyenne de l‟angle d‟élévation d‟un faisceau de
cardiomyocytes dans le pilier pixel par pixel.
La figure 6-6d permet d‟observer l‟orientation moyenne des angles d‟élévation des faisceaux quand
l‟axe optique du pilier est orienté à 0 et 45 degrés. Puis, nous avons observé des faisceaux avec un
angle d‟élévation de 30 degrés quand l‟axe optique du pilier est orienté à 0 degrés et à 45 degrés.
Normalement, on ne devrait observer que des cardiomyocytes avec un angle d‟élévation moyen proche
de zéro degré. Ceci montre que l‟angle de découpage du pilier dans la résine n‟était pas parfaitement
aligné à 0 degré.
(a) Paramètre 𝐴 du modèle, piliers orienté à 0, puis à 45 degrés (image en contraste inversé).
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Chapitre 6 : Expérimentations
(b) Paramètre 𝐵 du modèle, piliers orienté à 0, puis à 45 degrés (image en contraste inversé).
(c) Paramètre 𝜃 du modèle, piliers orienté à 0, puis à 45 degrés.
(d) Paramètre 𝛷 du modèle, piliers orienté à 0, puis à 45 degrés
Figure 6-6: Ajustement du modèle et extraction des paramètre (
) du modèle. L‟axe optique des piliers sont
orientés à 0 puis à 45 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur ; (a) cartographie de l‟amplitude de la
lumière polarisée transmise (image en contraste inversé); (b) cartographie du décalage ; (c) cartographie de
l‟angle d‟azimut du pilier ; (d) cartographie de l‟angle d‟élévation du pilier.
Un niveau de gris très élevé du décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses, traduit un faible
niveau homogénéité des piliers, et signifie que la valeur
tend vers des grandes valeurs. De plus, il est
aussi possible d‟observer dans ces cartographies, quand l‟intensité de la lumière polarisée transmise
augmente (voir niveau de gris de l‟échelle de mesure), le niveau de gris de la cartographie du décalage
des courbes par rapport à l‟axe des abscisses est toujours au minimum (voir échelle des niveaux de
gris). Il est aussi possible de définir un seuil de mesure pour connaitre le niveau homogénéité du pilier.
La figure 6-6, permet de confirmer le fort niveau d‟homogénéité des piliers utilisés dans ce manuscrit.
La cartographie des angles azimut et celle des angles d‟élévation permet de connaitre l‟orientation 3D
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Chapitre 6 : Expérimentations
d‟un faisceau de cardiomyocyte ayant les mêmes directions. Dans le paragraphe suivant, nous allons
croiser les deux sections de piliers, et étudier leur comportement dans la zone de croisement.
6.2 Croisement des cardiomyocytes par superposition de deux piliers
Pour analyser le comportement d‟un croisement des cardiomyocytes, il est nécessaire de
croiser deux échantillons de piliers (taillés à 250 µm d‟épaisseur) à des angles différents (croisement
manuel). L‟hypothèse de départ est basée sur le parallélisme et l‟agencement régulier des
cardiomyocytes au sein du pilier qui se traduisent par une zone avec un fort degré d‟homogénéité ou
une zone saine, et en croisant les 2 piliers on est en mesure de recréer des situations de croisement des
faisceaux de cardiomyocytes.
L‟intérêt de faire le croisement des cardiomyocytes avec les piliers permettent de vérifier non
seulement les simulations dans le chapitre 5, mais aussi d‟analyser le comportement des
cardiomyocytes lorsqu‟ils sont croisés dans la phase expérimentale afin de mieux interpréter les
résultats déjà présentés (chapitre 5, figure 5-15, 5-19).
Lorsqu‟un train de photons animés d‟une vitesse v pénètre une cellule myocardique, l‟énergie déposée
par la masse photonique dans la cellule est transmise d‟un atome à l‟autre en traversant toute la
membrane cellulaire jusqu‟à la reconstruction de ce même photon (marqué d‟une empreinte cellulaire)
qui va être capturé par la caméra d‟acquisition. La différence de chemin optique parcourue par un
photon en traversant la cellule, permet d‟avoir une idée sur les structures anatomiques traversées.
Donc, cette différence de chemin optique parcourue par ce photon dans la membrane cellulaire définie
l‟état sain ou pathologique de la cellule.
Dans le cas d‟un tissu sain, il est possible que la vitesse de propagation de la lumière polarisée
transmise à travers le tissu soit homogène. Tout se passe comme si le tissu se comporte comme un
verre bien poli
Par contre, dans le cas des croisements des cardiomyocytes, l‟intensité de la lumière polarisée
transmise n‟est pas la même dans les zones de croisement des cardiomyocytes. L‟irrégularité et le non
parallélisme des surfaces traversées par la lumière polarisée, engendrent un retard de phase plus
important d‟un endroit à l‟autre. De ce fait, le vecteur champ électrique ⃗⃗⃗ résultant à la sortie dans la
zone de croisement, évolue de façon aléatoire (dépolarisation partielle ou totale de la lumière). Dans ce
cas, il est possible d‟utiliser le formalisme de Mueller pour connaitre l‟état de polarisation de la
lumière en sortie d‟analyseur. Ceci est lié au retard de phase induit dans le pilier (chapitre 3 :
Méthodes Optiques, réalisabilité physique de la matrice de Mueller). De plus, le vecteur de Stokes
permet de connaitre le degré de polarisation dans les zones de croisement. Par faute de temps, on n‟a
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Chapitre 6 : Expérimentations
pas pu démontrer et mesurer expérimentalement le formalisme de Mueller du myocarde ainsi que le
vecteur de Stokes.
Dans la zone de croisement des cardiomyocytes, la biréfringence du pilier diminue. De plus, le retard
de phase induit dans le pilier diminue considérablement parce qu‟elle dépend la biréfringence du
pilier. Tout se passe comme si on avait un verre dépoli.
Pour analyser le croisement des cardiomyocytes expérimentalement, l‟axe optique du premier pilier est
fixé à un azimut de 0 degré par rapport à l‟axe de sélection du polariseur. Puis, l‟autre pilier est utilisé
pour réaliser des croisements de cardiomyocytes à 30, 45, 67, et 90 degrés par rapport au premier
pilier, l‟idée est de reproduire les mêmes conditions de croisement des cardiomyocytes dans la phase
de simulation.
Pour étudier le croisement des deux populations de cardiomyocytes, nous avons utilisé le même
greffon logiciel développé sur ImageJ, pour extraire les cartographies des paramètres fondamentaux
du modèle.
Pour mesurer la variation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise dans la région où il y a le
croisement des deux sections de piliers, un point de mesure est sélectionné dans chaque pile d‟images.
La technique d‟acquisition et la méthode d‟extraction des paramètres du modèle sont les mêmes que
celles utilisées dans le paragraphe précédent.
Dans le cas d‟un croisement des deux populations de cardiomyocytes, l‟intensité de la lumière
polarisée transmise diminue considérablement. Si le volume est totalement homogène, le décalage des
courbes par rapport à l‟axe des abscisses débute à zéro (chapitre 5, figure 5-18), tandis qu‟en présence
de cardiomyocytes présentant un angle solide de dispersion, le décalage commence à une valeur
différente de zéro (chapitre 5, figure 5-22). L‟angle d‟azimut se définit comme la bissectrice des deux
directions de croisement de cardiomyocytes (chapitre 5, figure 5-17, 5-21).
Dans la figure 6-7a (image en contraste inversé), les régions en noir représentent l‟intensité maximum
de la lumière transmise à travers le pilier, tandis que les régions blanches représentent une faible
intensité de la lumière polarisée transmise.
Le décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses (figure 6-7b, image en contraste inversé)
permet de mesurer en chaque pixel, le niveau d‟homogénéité du pilier. Les régions en noir traduisent
un faible niveau d‟homogénéité des faisceaux de cardiomyocytes (image en contraste inversé), tandis
qu‟une zone blanche représente un fort niveau d‟homogénéité des faisceaux de cardiomyocytes dans le
pilier (voir figure 6-2c).
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Chapitre 6 : Expérimentations
Dans la figure 6-6c, le pilier est orienté à 0 degré puis à 45 degrés. La plupart de ces faisceaux est
orienté à 0 degrés (rouge), 80 degrés (magenta), puis 45 degrés. Cependant, dans la figure 6-7c, nous
avons observé les différentes mesures des angles d‟azimut de ces faisceaux. Par contre, dans la zone
de croisement de 30 degrés, la plupart de ces faisceaux sont orientés à un angle d‟azimut moyen de 16
degrés. Dans la figure 6-7c, qui correspond à un croisement de 45 degrés, nous avons observé que la
plupart de ces faisceaux ont un angle azimut moyen de 23 degrés (jaune). Dans la figure 6-7c, il est
possible de mesurer l‟orientation moyenne des faisceaux orientés à un azimut de 35 degrés
(combinaison de jaune et vert) pour un angle de croisement de 67 degrés. La figure 6-7c montre des
cardiomyocytes qui ont un azimut de 40 degrés pour un angle de croisement de 90 degrés. Nous avons
effectué manuellement le croisement des faisceaux de cardiomyocytes. Dans la cartographie des
angles d‟élévation, nous avons observé quatre orientations principales. Ce sont les cardiomyocytes
orientés à un angle d‟élévation de 40 degrés, 50 degrés, 60 degrés, et 85 degrés (magenta). Etant donné
que, l‟angle découpage du pilier dans la résine n‟était pas parfaitement à 0 degré, toutes les valeurs
mesurées sont augmentées de 30 degrés. Dans la zone des croisements de cardiomyocytes, les mesures
des angles azimut et d‟élévation varient en fonction du retard de phase mesuré dans la zone de
croisement des deux piliers.
(a) Paramètre 𝐵, croisement des cardiomyocytes, respectivement à 30, 45, 67, 90 degrés (image en contraste
inversé).
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Chapitre 6 : Expérimentations
(b) Paramètre 𝐴, croisement des cardiomyocytes, respectivement à 30, 45, 67, 90 degrés (image en
contraste inversé).
(c) Paramètre 𝜃, croisement des cardiomyocytes, respectivement à 30, 45, 67, 90 degrés.
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Chapitre 6 : Expérimentations
(d) Paramètre 𝛷, croisement des cardiomyocytes, respectivement à 30, 45, 67, 90 degrés.
Figure 6-7: Croisement de cardiomyocytes de 30, 45, 67, 90 degrés et extraction des paramètres du modèle. (a)
Intensité de lumière polarisée transmise . (b) Paramètre de décalage . (c) Angle d‟azimut
(d) Angle
d‟élévation .
Afin observer la variation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise, la variation de l‟angle
d‟azimut et le décalage des courbes par rapport à l‟origine dans un voxel, il est nécessaire de choisir un
point de mesure dans la région d‟intérêt dans l‟une des cartographies des croisements de
cardiomyocytes.
Le protocole pour tracer des courbes des paramètres mesurés en fonction de l‟angle de croisement
consiste à
a) faire un croisement de cardiomyocytes à un angle arbitraire (30, 45, 67, 90) degrés
b) extraire des paramètres du modèle
c) ouvrir les 12 cartographies sur ImageJ
d) sélectionner un point de mesure dans la zone de croisement de cardiomyocytes.
Nous avons utilisé quatre croisements de cardiomyocytes (30, 45, 67, 90 degrés), et 16 cartographies.
Nous avons tracé la variation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise dans une zone de
croisement de cardiomyocytes (figure 6-8a), la variation de l‟angle d‟azimut (figure 6-8b), puis la
variation du décalage des courbes à l‟origine (figure 6-8c).
Dans le chapitre 5 (figure 5-16, 5-20) nous avons démontré que l‟amplitude de la lumière polarisée
transmise diminue au fur et à mesure que l‟angle de croisement des cardiomyocytes augment. Dans la
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Chapitre 6 : Expérimentations
figure 6-8a nous observons la même variation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise pour
différents croisements de cardiomyocytes. Chaque point représente une l‟intensité de la lumière
polarisée transmise dans une zone de croisements de cardiomyocytes.
La figure 6-8b montre les différentes variations de l‟angle d‟azimut dans le cas des croisements de
cardiomyocytes de (30, 45, 67, 90 degrés). Cette figure est identique à celles qui ont été déjà montrées
dans le chapitre 5 (figure 5-18, 5-21).
Pour rappel, il a été démontré dans le chapitre 5, (figure 5-22), qu‟en présence d‟un angle solide de
dispersion, la variation du décalage des courbes par rapport à l‟axe des abscisses ne commence pas à
zéro, mais à une valeur supérieure, la figure 6-8c confirme bien ce résultat car le pilier n‟est pas
Intensité de la lumière polarisée transmise
(niveau de gris de la caméra)
totalement homogène.
225
150
75
30
45
60
75
Croisement de deux populations de cardiomyocytes
90
(a)
50
Angle d'azimut
40
30
20
10
30
45
60
75
Croisement de deux populations de cardiomyocytes
90
(b)
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Décalage de la courbe par rapport à l'origine
(Intensité minimum)
Chapitre 6 : Expérimentations
30
25
20
15
10
5
30
45
60
75
Croisement de deux populations de cardiomyocytes
90
(c)
Figure 6-8 : Paramètres du modèle en fonction du croisement des cardiomyocytes. (a) chaque point représente
une intensité d‟un croisement de fibre, ou l‟intensité de la lumière polarisée transmise dans un voxel ; (b)
variation de l‟angle d‟azimut en fonction de du croisement de cardiomyocytes; (c) variation du décalage des
courbes par rapport à l‟axe des abscisses en fonction du croisement des cardiomyocytes.
Les courbes expérimentales de la figure 6-8 nous ont permis de valider la simulation numérique dans
le cas de croisement de deux populations de cardiomyocytes.
Pour rappel, le but de ce chapitre était de valider le modèle analytique proposé dans le chapitre 5, en
utilisant un vrai modèle biologique. En ce sens, les piliers des valves auriculo-ventriculaires ont été
choisis et les mesures ont été faites dans les mêmes modalités que dans la phase de simulation. Les
résultats obtenus dans la phase expérimentale confirment les résultats de la phase de simulation. Il n‟y
a aucun doute sur la robustesse de ce modèle analytique.
Dans le chapitre suivant, la même technique permettant d‟étendre l‟angle d‟azimut sur une demisphère sera utilisée sur des coupes sériées d‟un cœur humain. Puis, le modèle analytique va être utilisé
afin d‟extraire les cartographies des angles azimut et celles des angles d‟élévations.
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Chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain
Chapitre 7
Cartographies du myocarde humain
Chapitre 7.............................................................................................................................. 127
7.1
Etude d’un cœur en entier ................................................................................................ 128
7.2
Cartographie de l’orientation du myocarde humain ..................................................... 132
7.2.1
Extraction de la cartographie du niveau d‟homogénéité du myocarde humain :
paramètre ( ) ............................................................................................................................... 132
7.2.2
Cartographie de l‟angle d‟élévation : paramètre
7.2.3
Cartographie de l‟angle d‟azimut : paramètre ( ) ....................................................... 138
7.3
.................................................. 135
Discussion ........................................................................................................................... 140
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Chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain
7.1 Etude d’un cœur en entier
Pour connaître l‟orientation des cardiomyocytes à l‟intérieur de toute la masse ventriculaire, un
cœur humain en entier est analysé (chapitre 2 : Matériels et Méthodes : préparation du cœur entier).
Les méthodes d‟acquisitions des images du cœur humain ne sont pas différentes de celles décrites dans
le chapitre précèdent avec les piliers des valves auriculo-ventriculaires.
Le but principal de ce chapitre est d‟extraire les paramètres (
cartographies. L‟extraction du paramètre
) du modèle analytique à partir des
permet de pouvoir calculer l‟angle d‟élévation des
cardiomyocytes. C‟est pourquoi, la cartographie qui permet d‟observer les variations de l‟intensité de
la lumière polarisée transmise grâce au paramètre
ne sera pas présentée.
Trois cartographies seront extraites :
d) qui décrit la distribution de l‟angle d‟élévation dans la masse ventriculaire
e) qui décrit la distribution de l‟angle d‟azimut dans la masse ventriculaire
f) qui décrit le niveau d‟homogénéité du myocarde pixel par pixel.
La cartographie des angles d‟azimut et celle de l‟élévation permettent de connaitre l‟orientation 3D
des cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire.
Pour rappel, le modèle analytique présenté dans le chapitre 5, équation 5. 18, a été développé grâce à
la matrice de Mueller des éléments optiques montés en cascades. C‟est un modèle simple et linéaire,
qui s‟ajuste (méthodes: moindres carrés) pixel par pixel, et permet d‟extraire efficacement les
paramètres (
).
La technique d‟acquisition et la méthode d‟extraction des paramètres sont les mêmes que celles
utilisées dans le chapitre précédent pour les piliers des valves auriculo-ventriculaires.
Pour chaque coupe sériée du myocarde, celle-ci est posée sur la platine porte-objet du banc optique
(chapitre 4, figure 4-1c) et orientée dans le référentiel des marqueurs fiduciaires. Puis, toutes les
coupes sériées sont analysées entre polariseur et analyseur croisés. Elles sont toutes orientées dans le
même référentiel pour une reconstruction tridimensionnelle du cœur en entier.
Pour rappel, l‟interaction atomique et photonique d‟un objet biréfringent avec la lumière polarisée,
repose sur la différence de chemin optique des deux rayons induit par les atomes de l‟objet, quand il
est traversé par un train de photons. Autrement dit, ce chemin dépend bien de l‟épaisseur, de la
biréfringence de l‟objet. De plus, un filtre orange (passe long) avec une longueur d‟onde moyenne de
coupure de 560 nm a été monté sur l‟objectif de la caméra noir et blanc (chapitre 6).
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Chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain
Après préparation et découpage du cœur en entier, nous avons obtenu 42 coupes myocardiques
(chapitre 2). Les coupes 1 à 5 ne comportent pas d‟information significative, elles ne sont pas
présentées dans la planche des coupes, figure 7-6, 7-7, 7-8. Pour ne pas alourdir la présentation, seule
une coupe sur deux est représentée dans les figures. Au total, 17 coupes sont analysées entre polariseur
et analyseur croisés. La figure 7-1 montre une coupe myocardique entre polariseur et analyseur
parallèle. Ce choix permet une bonne observation de la coupe. Dans cette figure, aucune information
exploitable n‟est présente, il n‟est pas possible d‟observer le trajet d‟un faisceau de cardiomyocytes.
De même, le retard de phase induit par le myocarde n‟est pas observable.
Pour faire apparaitre des informations pertinentes dans cette coupe myocardique, à savoir l‟orientation
de ses cardiomyocytes pixel par pixel, son niveau d‟homogénéité, il est nécessaire de croiser le couple
polariseur et analyseur.
Ventricule droit
Endocarde
Péricarde
Septum inter-ventriculaire
Ventricule gauche
Face diaphragmatique
Figure 7-1: Coupe myocardique entre polariseur et analyseur parallèle.
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Chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain
Figure 7-2: Coupe myocardique entre polariseur et analyseur croisés (images en contraste inversé). Chaque
image représente un angle de rotation du couple polariseur et analyseur croisés de 0 à 78,75 degrés par pas de
11,25 degrés. Quand l‟axe de sélection du polariseur et l‟axe optique d‟un faisceau de cardiomyocytes sont
parallèle, il y a une extinction de la lumière (région blanche). En revanche, quand l‟axe de sélection du polariseur
est à 45 degrés par rapport à l‟axe optique d‟un faisceau, l‟intensité de la lumière polarisée transmise est au
maximum (région noire).
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Chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain
Pour une rotation du couple polariseur et analyseur croisés de 0 à 78,75 degrés par pas de 11,25
degrés, nous avons capturé une pile de huit images.
La figure 7-2 montre les huit acquisitions entre polariseur et analyseur croisés. Les illustrations des
analyses en lumière polarisée sont présentées en contraste inversé sur les figures 7-2 et 7-3. Le
contraste n‟est pas la même dans toute l‟image. Pour chaque angle de rotation du couple polariseur et
analyseur croisés, une région devient plus ou moins sombre que d‟autres. Il est possible d‟observer des
intensités de lumière qui diffèrent selon la position dans la masse musculaire, et l‟orientation du
couple polariseur et analyseur croisés.
Quand l‟axe de sélection du polariseur est parallèle à l‟axe optique d‟un faisceau de cardiomyocytes,
l‟intensité de la lumière polarisée transmise est au minimum dans cette région (région blanche).
Pour rappel, dans l‟analyse du pilier des valves auriculo-ventriculaires (chapitre 6 : Expérimentations),
l‟axe optique de ce dernier a été orienté à un azimut de 0 et 45 degrés. Il a été démontré que : quand
l‟axe de sélection du polariseur est orienté à 0 degré par rapport à l‟axe optique du pilier qui est à 45
degrés, l‟intensité de la lumière polarisée transmise est au maximum. Ce résultat a été démontré
analytiquement dans le chapitre 5, figure 5-5 et 5-6, puis vérifié expérimentalement dans le chapitre 6,
figure 6-2. Pour exploiter ces résultats et rester cohérent avec ceux présentés dans les chapitres 5 et 6,
nous interprétons uniquement les images acquises quand l‟axe de sélection du polariseur est orienté à
0 et à 45 degrés par rapport à l‟axe optique des faisceaux de cardiomyocytes
Dans la figure 7-2 et dans la première acquisition (axe de sélection du polariseur à 0 degré), le
contraste observé dans les images du myocarde est dû à la variation de l‟intensité de la lumière
polarisée transmise. Cette intensité dépend du retard de phase et de l‟axe de sélection du polariseur
(chapitre 5, équation 5.7). Elle est au maximum dans les régions ou les faisceaux de cardiomyocytes
ont une orientation moyenne de 45 degrés (région noire). Par contre, l‟intensité de la lumière polarisée
transmise est au minimum quand un faisceau de cardiomyocytes est orienté à un azimut proche de
zéro. Le gradient observé dans cette image permet de connaitre la mesure de l‟angle d‟azimut.
En revanche, quand l‟axe de sélection du polariseur est à 45 degrés et parallèle à l‟axe optique de la
coupe, figure 7-2, 5ème acquisition, l‟intensité de la lumière polarisée transmise est proche de zéro dans
les régions où toutes les cardiomyocytes ont une orientation moyenne proche de 45 degrés (région
blanche), voir chapitre 5, figure 5-11, et chapitre 6 figure 6-2. Par contre, cette intensité est au
maximum pour tous les faisceaux de cardiomyocytes qui ont une orientation moyenne proche de zéro
(région noire), chapitre 5, figure 5-5.
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Chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain
En résumé, le gradient observé dans chaque acquisition de la figure 7-2 permet de connaitre
l‟orientation des faisceaux cardiomyocytes qui ont la même orientation dans le plan. Les informations
contenues dans cette pile d‟images seront utilisées pour extraire la cartographie du myocarde en entier.
7.2 Cartographie de l’orientation du myocarde humain
Chaque angle d‟extinction obtenu signifie que la distribution spatiale des cardiomyocytes dans
cet intervalle a une orientation moyenne qui est donnée par l‟axe de sélection du polariseur. Après les
acquisitions de la coupe précédente entre polariseur et analyseur croisés, une lame pleine onde orientée
à +45 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur est insérée dans le banc optique (chapitre 6,
figure 6-5). La coupe reste positionnée sur la platine porte-objet. Puis, le couple polariseur et analyseur
croisés tourne de 0 à 67 degrés par pas de 22,5 degrés, nous avons obtenu une pile de quatre images.
Après l‟obtention de ces piles d‟images, l‟équation suivante (7.1) est utilisée pour extraire dans chaque
voxel, le niveau d‟homogénéité du myocarde ( ), l‟amplitude de la lumière polarisée transmise ( ), et
l‟angle d‟azimut ( ).
( (
Rappelons ici que les paramètres (
))
(7. 1)
) sont obtenus en ajustant le modèle défini dans l‟équation
7.1. De plus, l‟insertion de lame pleine onde dans le banc optique sert à étendre l‟angle d‟azimut
jusqu‟à 180° degrés.
Cet équation a été implémentée dans un greffon logiciel (ImageJ) pour l‟extraction des paramètres
(
) pour réaliser des cartographies.
7.2.1 Extraction de la cartographie du niveau d’homogénéité du myocarde humain :
paramètre ( )
Il a été démontré dans le chapitre 5, figures 5-11a, 5-11b, en présence d‟un angle solide de
dispersion, les courbes commencent à se détacher de l‟axe des abscisses au fur et à mesure que l‟angle
solide de dispersion augmente. Le décalage
permet de prédire le niveau d‟homogénéité de la
distribution structurelle et atomique du volume (P.A. Desrosiers, 2014). Cependant, en absence de tout
angle solide (cas idéal) de dispersion, les courbes atteignent l‟axe des abscisses quand l‟axe de
sélection du polariseur est parallèle à l‟axe optique du volume orienté à un azimut de 0 degrés,
chapitre 5, figure 5-7.
Selon l‟équation 7.1 et pour des faibles valeurs de , ce volume possède un très grand niveau
d‟homogénéité, et pour
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= 0 ce volume se comporte comme un cristal uni-axial biréfringent
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Chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain
parfaitement homogène (cas idéal). Ceci nous permet de mieux d‟interpréter la figure 7-3 (image en
contraste inversé).
Dans la figure 7-3 les régions blanches sont des régions qui possèdent un fort niveau d‟homogénéité,
c'est-à-dire que la variable
tend vers des grandes intensités (209 unité arbitraire). Cependant, si le
contraste n‟était pas inversé,
tendrait vers des petites intensités qui sont proches de 0 u.a (unité
arbitraire) pour un faisceau de cardiomyocytes.
Paramètre (𝐴
Figure 7-3: Cartographie du niveau d‟homogénéité de la coupe du myocarde (image en contraste inversé). Les
régions les moins homogènes sont caractérisées par un faible niveau de gris (régions en noir), tandis que les
régions très homogènes ont un niveau de gris moyen (unité arbitraire). Il est possible d‟observer le niveau
d‟homogénéité des deux ventricules, ainsi que celui du septum inter-ventriculaire.
La distribution spatiale des cardiomyocytes à l‟intérieur des deux ventricules est très complexe, ainsi
que le mur du septum inter-ventriculaire. Certaines régions paraissent beaucoup plus homogènes que
d‟autres. L‟augmentation progressive de la variabilité entre les cardiomyocytes (angle solide de
dispersion : ) entraine une augmentation du décalage , (P.A. Desrosiers, 2014). On observe dans les
figures 7-3 et 7-4 de nombreuses zones noires qui représentent un faible niveau d‟homogénéité des
cardiomyocytes est faible.
La cartographie du niveau d‟homogénéité du myocarde humain va nous permettre de répondre à
beaucoup de question sur la mécanique du cœur (les régions les plus homogènes sont-elles
mécaniquement plus robustes que les régions les moins homogènes ? et inversement ?) et sur la nature
des pathologies (est-ce en présence d‟une pathologie une région homogène devient totalement
hétérogène ? et inversement ?).
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Chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain
Figure 7-4: Cartographie du niveau d‟homogénéité du myocarde humain (images contraste inversés). Les régions
noires sont des régions où le décalage est au maximum tandis que les régions blanches représentent un décalage
minimum.
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Chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain
7.2.2 Cartographie de l’angle d’élévation : paramètre
La variation de l‟intensité de la lumière polarisée transmise est fonction du retard de phase
induit dans la coupe. Il a été démontré dans le chapitre 5, équation 5.13, que l‟arc cosinus du rapport
de l‟intensité de la lumière polarisée transmise sur l‟intensité de la lumière maximum (biréfringence
maximum) élevé à la puissance de 0,25 définit l‟angle d‟élévation.
L‟équation 7.4 est implémentée dans un greffon logiciel (ImageJ) pour une extraction pixel par pixel
de la cartographie de la mesure des angles d‟élévation. En effet, elle donne des informations sur les
faisceaux de cardiomyocytes qui s‟échappent dans le plan. Par cette même technique, il est aussi
possible de calculer ou d‟extraire le paramètre
((
du modèle.
))
(
)
(7. 4)
Paramètre Φ
Figure 7-5: Cartographie des angles d‟élévation. Les faisceaux de cardiomyocytes dans la masse ventriculaire
sont circulaires c'est-à-dire, qu‟elles restent dans le plan de la coupe et suivent la révolution du myocarde. Il est
aussi possible d‟observer le passage à zéro de certains faisceaux (région rouge). Les faisceaux de
cardiomyocytes endocardiques dans les deux ventricules ont un angle d‟élévation qui est proche de 90 degrés.
Chaque couleur permet de connaitre l‟angle d‟élévation d‟un faisceau de cardiomyocytes.
Après extraction de cette cartographie, une table de fausse de couleurs est appliquée pour pouvoir
observer pixel par pixel l‟orientation des cardiomyocytes ou des faisceaux de cardiomyocytes à
l‟intérieur de la masse ventriculaire. La figure 7-6 représente la planche de coupes sériées de tout le
myocarde. Cette planche de coupe se lit du haut à gauche, vers la droite. Puis une section sur deux de
la série est présentée sur cette planche.
Dans les cartographies des angles d‟élévation, on observe dans la partie médiane des parois
ventriculaires et du septum inter-ventriculaire que les cardiomyocytes sont restés majoritairement dans
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Chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain
le plan, alors que dans les parties proches des cavités et celle du péricarde, les faisceaux s‟échappent
dans le plan (élévation élevé).
Dans la 1ère coupe de la planche, les cardiomyocytes péricardiques ont un angle d‟élévation moyen
proche de 70 degrés (bleu). Les faisceaux dans la masse ventriculaires sont orientés à un angle
d‟élévation moyen de 50 (cyan) degrés et 45 degrés (vert). Il est aussi possible d‟observer des
faisceaux à un angle d‟élévation de 85 degrés (magenta).
Dans la 3ème, 4ème, 5ème coupe, les faisceaux avec un angle d‟élévation moyen proche de 0 degré
(rouge) et 20 degrés (orange) commencent à apparaitre dans la masse ventriculaire. Puis, dans la 6 ème
coupe il devient possible d‟observer une grande quantité de cardiomyocytes avec un angle d‟élévation
moyen proche de 0 degrés (rouge), 10 degrés (jaune), 20 degrés (orange).
Dans les parties équatoriales (coupes 4 à 12), nous pouvons distinguer 6 angles d‟élévation moyen (0,
10, 20, 45, 50, 70). Cette région est dite équatoriale, car elle possède le plus grand diamètre dans le
ventricule gauche. Les faisceaux sont de plus en plus circulaires, c'est-à-dire qu‟ils restent dans le plan
de la coupe et suive la révolution de la paroi ventriculaire. La plupart des cardiomyocytes
endocardiques ont des angles d‟élévation moyenne proche de 50 degrés (cyan), 70 degrés (bleu), et 90
degrés (magenta). Dans la masse ventriculaire, la plupart des faisceaux est restée dans le plan de la
coupe, et ceux-ci sont orientés avec un angle d‟élévation moyen de 45 degrés (vert) et 50 degrés
(cyan).
De la 1ère à la 3ème coupe (régions basales), puis de la 10ème à la 15ème coupe (régions apicales), la
concavité du mur du septum inter-ventriculaire est tournée vers le ventricule gauche. La région est dite
apicale, car possède le plus petit diamètre du ventricule droite, et la région basale est la partie ou
repose le cœur, dans cette dernière, il est possible d‟observer la présence des vaisseaux. Les faisceaux
de cardiomyocytes dans le septum inter-ventriculaire sont longitudinaux. Dans la face
diaphragmatique, il est possible d‟observer des faisceaux avec un angle d‟élévation de 70 degrés
(bleu), 50 degrés (cyan), et 90 degrés (magenta).
De la 7ème à la 11ème la courbure du mur du septum inter-ventriculaire disparait, et le mur du septum
inter-ventriculaire se redresse devient de plus en plus droit.
Dans la 6ème, 10ème, 11ème, 12ème, 13ème, 14ème, 16ème, nous avons observé dans le mur du septum interventriculaire des faisceaux avec un angle d‟élévation de 0 degrés, et de 10 degrés. Cependant, dans la
16ème coupe, la population des faisceaux avec un angle d‟élévation de 0 degrés devient beaucoup plus
importante.
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Figure 7-6 : Cartographie des angles de l‟élévation du myocarde en entier. Chaque couleur représente
l‟orientation moyenne des angles d‟élévation d‟un faisceau de cardiomyocytes.
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7.2.3 Cartographie de l’angle d’azimut : paramètre ( )
Dans la cartographie des angles azimut, précisément dans la partie médiane du myocarde et du
septum inter-ventriculaire, les faisceaux de cardiomyocytes suivent la courbure du myocarde en
révolution autour des cavités, ce qui leur donne le nom de « fibres circulaires ». Alors, dans les régions
proches des cavités et de l‟épicarde, la valeur des angles d‟azimut est beaucoup plus élevée. Ainsi, la
cartographie des angles d‟azimut donne des informations sur la distribution spatiale des angles
d‟azimut des cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire. Pour rappel, il a été démontré dans le
chapitre 5, (équation 5.29), comment extraire l‟angle d‟azimut d‟un faisceau de cardiomyocytes.
Mathématiquement, il est possible de déduire directement dans l‟équation 7.1 la valeur de
condition que
, à
soient connus.
Après extraction pixel par pixel les valeurs des angles d‟azimut
, une table de fausse couleur est
appliquée à l‟ensemble du myocarde humain pour préciser l‟orientation de l‟angle d‟azimut d‟un
faisceau de cardiomyocytes ayant les mêmes directions figure 7-7
Paramètre 𝜃
Figure 7-7: Cartographie des angles d‟azimut, paramètre ( ). Chaque couleur représente l‟orientation d‟un
faisceau de cardiomyocytes.
Dans la figure 7-8 il est possible observer la direction des angles d‟azimut des cardiomyocytes. Dans
cette figure, Il existe sept orientations moyennes des angles d‟azimut, ce sont les faisceaux qui sont
orientés à 0 degrés, à 30 degrés (jaune), 35 degrés (orange), 45 degrés (vert), 90 degrés (cyan pure),
120 degrés (bleu), 180 degrés (magenta). Dès la 1ère coupe il est possible de distinguer toutes les
différentes orientations des angles azimut des cardiomyocytes.
Nous avons observé dans la figure 7-8 que les faisceaux sont toujours circulaires et suivent la
révolution du myocarde, mais avec des changements de directions. Par exemple, dans le ventricule
gauche, les faisceaux de cardiomyocytes orientés à un azimut moyen de 120 degrés (bleu) changent de
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direction, puis orientés à 90 degrés (cyan), 45 degrés (vert), 30 degrés (jaune), 34 degrés (orange), 0
degrés (rouge), 180 degrés (magenta), puis à 120 degrés (bleu)
Figure 7-8 : Cartographies des angles azimut du myocarde des masses ventriculaire. Chaque couleur permet de
déterminer l‟orientation moyenne des angles azimut des faisceaux de cardiomyocytes.
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Chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain
Dans la 1ère, 2ème, 3ème, coupe de la région basale, les cardiomyocytes péricardiques sont orientés à un
angle d‟azimut de 45 degrés (vert), ainsi que les cardiomyocytes endocardiques. Il est aussi possible
d‟observer des faisceaux de cardiomyocytes avec un azimut proche de 0 degrés (rouge), 30 degrés
(jaune), 34 degrés (orange), 90 (degrés), 120 degrés (bleu), 180 degrés (magenta).
Dans la région équatoriale, précisément dans les coupes (4ème, 5ème,6ème coupe), il est possible
d‟observer dans le septum inter-ventriculaire, des faisceaux avec un angle d‟azimut moyen de 30
degrés (jaunes), 90 degrés (cyan), 120 degrés (bleu), puis quelques faisceaux avec un azimuts de 0
(degrés) et 180 (degrés).
Toujours dans la région équatoriale (7ème, 8ème,…,12ème) et dans le septum inter-ventriculaire, les
faisceaux sont orientés à un azimut moyen de 45 degrés (vert), 90 degrés (cyan) et 120 degrés (bleu).
Il est aussi possible d‟observer ces même angles d‟azimuts dans les régions apicales (10 ème, 11ème,…,
15ème).
En conclusion, grâce à la méthode basée sur la lumière polarisée, nous pouvons exploiter toutes les
coupes pour en tirer des informations d‟orientation à haute résolution. La robustesse de cette méthode
permet de connaitre en détail l‟orientation moyenne des angles d‟azimut des faisceaux de
cardiomyocytes dans le myocarde humain.
7.3 Discussion
Dans le ventricule gauche, les faisceaux circonférentiels sont situés dans le plan de la coupe
c'est-à-dire, ils sont perpendiculaires au grand axe du ventricule gauche et du ventricule droit.
Ils sont bornés en dedans par des faisceaux sous-épicardiques, et en dehors par des faisceaux sousendocardiques disposés plus longitudinalement par rapport au grand axe du ventricule gauche.
La disposition géométrique des faisceaux péricardiques permet d‟observer la continuité entre les
cardiomyocytes les plus internes et les plus externes au niveau de la région basale.
L‟architecture du ventricule droit est beaucoup plus complexe que celle du ventricule gauche. La
disposition géométrique des faisceaux de cardiomyocytes se fait suivant un schéma classique avec des
faisceaux coplanaires qui se trouvent à la partie médiane et des faisceaux longitudinaux sousendocardiques et sous-épicardiques.
La face septale est constituée par le septum inter-ventriculaire d‟entrée, qui est une courbe avec une
concavité tournée beaucoup plus vers le ventricule gauche. La plupart des faisceaux de
cardiomyocytes de la paroi latérale du ventricule droite établissent une continuité avec les faisceaux du
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Chapitre 7 : Cartographies du myocarde humain
septum inter-ventriculaire qui est très limitée, tandis que la plupart des faisceaux de cardiomyocytes
des parois du ventricule gauche sont en continuité avec les faisceaux du septum inter-ventriculaire,
(Jouk P.-S. , 1994). Les faisceaux internes de la paroi supérieure de la partie basale de la chambre
d‟entrée du ventricule droit sont en continuités avec les faisceaux de la paroi supérieure du ventricule
gauche.
Dans la conjecture de Streeter, la paroi équatoriale libre du ventricule gauche est recouverte de
faisceaux de cardiomyocytes ayant une organisation en géodésiques de surfaces toroïdales emboitées.
Cette conjecture est valide seulement pour une petite partie du ventricule gauche, car Streeter n‟avait
pas établi son modèle sur toute la masse ventriculaire. Le modèle analytique développé dans ce
manuscrit permet l‟exploitation du cœur en entier, c'est-à-dire, l‟orientation des cardiomyocytes dans
le ventricule droit, le ventricule gauche, et le septum inter-ventriculaire, il est possible de connaitre
l‟orientation des faisceaux dans toute la masse ventriculaire. Les résultats trouvés avec la méthode
analytique permettent de confirmer les travaux expérimentaux de Jouk et al (Jouk P.-S. , 1994).
Le chapitre suivant présente une confrontation de la mesure de l‟Imagerie en Lumière Polarisée (ILP)
que nous appellerons « vérité terrain » et l‟Imagerie par Résonance Magnétique (IRM). IPL sera
utilisée dans le but de donner une validation à la méthode de détermination de l‟orientation des
faisceaux de cardiomyocytes humains par IRM.
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
Chapitre 8
Confrontation IRM/ILP
Chapitre 8.............................................................................................................................. 142
8.1
Principe de l’Imagerie par Résonance Magnétique ....................................................... 143
8.2
Comparaison des cartographies du cœur ........................................................................ 143
8.3
Cartographie IRM vs ILP................................................................................................. 143
8.4
Discussion ........................................................................................................................... 155
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
8.1 Principe de l’Imagerie par Résonance Magnétique
L‟Imagerie par Résonance Magnétique (IRM) est l‟une des méthodes non invasives les plus utilisées à
l‟heure actuelle. La méthode d‟IRM de diffusion repose sur la mesure de la diffusion des molécules
d‟eau à l‟intérieur du tissu. L‟eau piégée entre les cellules doit choisir une direction, et cette direction
permet de déterminer l‟orientation des cellules environnantes.
Beaucoup d‟auteurs se sont consacrés à la modélisation des mouvements des molécules d‟eau à
l‟intérieur des tissus pour optimiser les algorithmes de détermination de l‟orientation des
cardiomyocytes (P. Basser, 1996) , (P. Scmid, 2005) (Wu MT T. W., 2006 ), (David E Sosnovik,
2009), (WANG, 2011).
L‟IRM est basée sur le principe de la résonance des atomes d‟hydrogène sous l‟action d‟ondes
radiofréquences. Le noyau de l‟atome d‟hydrogène est composé d‟un proton, de charge +e et de masse
m. Sous l‟action d‟un champ magnétique, le mouvement de rotation (spin) du moment magnétique µ,
est relié au moment cinétique , tel que :
: rapport gyromagnétique.
Quand un tissu biologique est soumis à un champ magnétique statique
, les moments magnétiques
des atomes d‟hydrogène se comportent comme de petits aimants. Ils s‟alignent suivant la direction
et résonnent à la fréquence
, définie par la relation de Lamor
8.2 Comparaison des cartographies du cœur
8.3. Cartographie IRM vs ILP
A l‟heure actuelle, il n‟existe aucune méthode d‟imagerie qui valide les acquisitions d‟images
faites en IRM pour l‟analyse de l‟orientation des cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire.
Plusieurs auteurs ont présenté des modèles d‟orientations des cardiomyocytes obtenues en IRM, mais
ces modèles n‟ont pas encore été validés par une autre technique d‟imagerie, d‟où la motivation et
l‟originalité de notre travail d‟Imagerie en Lumière Polarisée (ILP).
Les mesures obtenues avec les deux techniques d‟imageries (IRM, ILP) permettent d‟observer les
points forts et les points faibles de chacune. Pour valider l‟IRM, il est nécessaire d‟utiliser une
méthode d‟imagerie très robuste basée sur une mesure physique de l‟orientation des cardiomyocytes.
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
Nous avons choisi de confronter les cartographies obtenues par ILP avec celles obtenues en IRM pour
effectuer cette validation.
La cartographie ILP offre une précision angulaire 3D robuste et une très grande résolution
submillimétrique, tandis que l‟IRM possède un fort potentiel pour la cartographie de l‟information 3D,
mais requiert une validation qui lui sera apporté par l‟imagerie de la biréfringence. De plus, la
résolution de nos images en IRM (taille d‟un voxel
obtenue en ILP (taille d‟un voxel
mm) est moins fine que celle
mm).
Pour comparer l‟ILP et l‟IRM, un cœur humain sain d‟un enfant de 14 mois a été prélevé lors de
l‟autopsie, fixé dans du formol, puis imagé en entier par IRM. Les contraintes liées à l‟IRM permettent
d‟obtenir seulement 30 coupes, tandis qu‟en ILP, l‟analyse du même prélèvement est faite sur 42
coupes.
Les acquisitions des images IRM du cœur en entier sont réalisées sur une machine IRM Verio de 3
Tesla (Siemens, Erlangen) selon une séquence de diffusion echo-planar bipolaire avec une antenne de
crâne de 32 canaux. Les paramètres d‟acquisition sont les suivants : résolution dans le plan = 1.4 mm,
l‟épaisseur d‟une coupe = 1.4mm, nombre de directions de gradient de diffusion = 64.
Pour la réalisation de l‟image en IRM, l‟échantillon biologique est placé dans un tunnel où règne un
champ magnétique de 3T. Sous l‟action de ce champ, tous les moments magnétiques des atomes
d‟hydrogène vont s‟aligner comme de petits aimants. Pour la production des images IRM, il est
nécessaire d‟introduire un élément focalisant : une émission d‟ondes radios qui produit un état
d‟aimantation macroscopiquement observable. A une certaine fréquence
les noyaux hydrogène sont
placés dans un état dit de « résonance ». Le retour à l‟état normal produit une variation du champ
magnétique.
Selon la loi de Faraday, toute variation d‟un flux magnétique à l‟intérieur d‟un circuit fermé, ou à
l‟intérieur d‟une bobine donne naissance à un courant induit qui dure le temps de la variation du flux.
L‟imagerie en IRM exploite cette propriété du champ magnétique, car la variation du champ
magnétique à l‟instant donne naissance à un signal électrique. Ce signal est capté et analysé par une
antenne qui est relié à des spectromètres et des ordinateurs; les algorithmes destinés à l‟exploitation
des informations permettent une construction tridimensionnelle de l‟échantillon biologique sous forme
d‟une pile d‟images.
Après l‟acquisition des coupes (IRM), le cœur a été préparé et analysé en IPL selon le protocole décrit
dans le chapitre 2 (voir chapitre 2 : Matériels et Méthodes).
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
Pour leur exploitation, les cartographies obtenues par IRM ont été converties d‟un format Matlab vers
un format TIFF. Ces dernières ont été analysées sous ImageJ. Une table de fausses couleurs a été
utilisée pour représenter l‟orientation d‟un faisceau de cardiomyocytes dans la masse ventriculaire
Deux cartographies (azimut, élévation) ont été ainsi réalisées en IRM, puis confrontées avec celle
obtenue en ILP.
Pour rappel, la combinaison de ces deux cartographies d‟angles permet de définir l‟orientation 3D de
chaque faisceau de cardiomyocytes dans chaque voxel donné.
La figure 8-1et 8-2 représentent les cartographies en IRM des angles d‟azimut des cardiomyocytes
dans la masse ventriculaire. Il est possible d‟observer toutes les orientations de ces faisceaux. Nous
avons observé que la plupart des faisceaux de cardiomyocytes dans le septum et dans le myocarde ont
une orientation moyenne de 45 degrés (vert) et 90 degrés (cyan).
La figure 8-3 et 8-4 montre les cartographies en IRM des angles d‟élévation des faisceaux de
cardiomyocytes dans toute la masse ventriculaire. Il possible d‟observer des faisceaux à 0 degré
(cyan), à -75 degrés (bleu-magenta), -45 degrés (bleu), 90 degrés (rouge) et -90 degrés (magenta).
A cause de la faible résolution des cartographies de l‟IRM, les trois premières coupes basales (1, 2, 3)
et les trois dernières coupes apicales (28, 29, 30) de la figure 8-2 ne comportent aucune information
significative. Seulement la partie équatoriale est exploitable.
Chaque « coupe » en IRM est réalisée suivant un niveau (référence) dans le cœur en partant de base
jusqu‟à sa pointe et cette référence permet de sélectionner un même niveau de coupe pour faire la
confrontation entre les deux méthodes d‟imageries. Pour mieux comparer les deux cartographies, nous
avons choisi la 13ème coupe dans 8-1 et 8-3. Puis, pour une meilleure observation, nous avons fait un
grandissement de cette coupe, figure 8-5, 8-7.
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
Figure 8-1 : Cartographie des angles d‟azimut en IRM. Chaque couleur représente l‟orientation moyenne des
angles d‟azimut d‟un cardiomyocyte ou d‟un faisceau de cardiomyocytes.
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
Figure 8-2 : Cartographie des angles d‟azimut en IRM (même explication que dans la figure précédente).
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
Figure 8-3 : Cartographie des angles d‟élévation en IRM. Chaque couleur représente l‟orientation moyenne des
angles d‟élévation d‟un faisceau de cardiomyocytes.
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
Figure 8-4 : Cartographie des angles d‟élévation en IRM (même explication que dans la figure précédente).
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
La figure 8-5 montre la cartographie des angles d‟azimut de cette coupe myocardique (équatoriale) en
IRM, tandis que la figure 8-6 représente la même cartographie, mais en ILP.
Dans les figure 8-5 et 8.6 les deux cartographies paraissent identiques. Cependant, la faible résolution
de la cartographie de l‟IRM ne permet pas d‟avoir beaucoup autant d‟information qu‟avec ILP. Malgré
cette faible résolution, l‟orientation moyenne des faisceaux n‟est pas fondamentalement différente de
celle de l‟ILP.
Dans la figure 8-5, dans la face diaphragmatique, il existe des faisceaux de cardiomyocytes orientés à
un azimut moyen de zéro degré (rouges), 35 degrés (jaunes orange), et 180 degrés (magenta). A
l‟opposé de la face diaphragmatique, les faisceaux sont orientés à un angle azimut moyen de 0 degré
(rouge), 120 degrés (bleu), 180 degrés (magenta). Les membranes endocardique et péricardique du
myocarde ne sont pas visibles à cause de la faible résolution de l‟image. Dans le mur du septum interventriculaire, les faisceaux de cardiomyocytes sont orientés à un angle d‟azimut moyen de 45 degrés
(vert), 90 degrés (cyan), et 35 degrés (jaune orange). L‟épaisseur de la paroi du ventricule gauche par
rapport à celle du ventricule droit permet d‟observer un grand nombre de faisceaux de cardiomyocytes
qui sont orientés à des azimuts différents. Dans tout le myocarde humain, nous avons observé quatre
faisceaux dominants, les faisceaux à 0 degrés (rouge), les faisceaux avec un azimut de 45 degrés
(vert), 90 degrés (cyan), 180 degrés (magenta).
Dans la Figure 8-6, la résolution de l‟image est meilleure, et il y a plus d‟information visible. Il est
possible d‟observer et de distinguer les couches endocardiques et péricardiques. Les faisceaux à 0
degré (rouge), 180 degrés (magenta) sont bien visibles dans la face diaphragmatique. Dans le
ventricule gauche, les faisceaux sont orientés à un azimut moyen de 0 degré (rouge), 35 degrés (jaune),
45 degrés (vert), 90 degrés (cyan), 125 degrés (bleu), 180 degrés (magenta). Cependant, avec un souséchantillonnage de la cartographie des d‟azimut en ILP, il est aussi possible de trouver les mêmes
résultats avec figure 8-5.
Les distributions des angles d‟azimut des faisceaux de cardiomyocytes dans ces deux cartographies se
révèlent identiques (ILP, IRM).
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
Figure 8-5 : Cartographie des angles d‟azimut d‟une coupe myocardique en IRM. Chaque couleur représente
l‟orientation d‟une cardiomyocyte ou un faisceau de cardiomyocytes. Cette cartographie possède une faible
résolution mais il est toujours possible d‟observer l‟orientation moyenne des cardiomyocytes à 0 degré (rouges),
45 degrés (vert), 90 degrés (cyan), 35 degrés (orange), 120 degrés (bleu), et 180 degrés (magenta). La faible
résolution ne permet pas d‟avoir beaucoup plus de détails sur l‟orientation des cardiomyocytes.
Figure 8-6 : Cartographie des angles d‟azimut en ILP. Chaque couleur sert à indiquer l‟orientation d‟une
cardiomyocyte ou un faisceau de cardiomyocytes. Il est possible d‟observer l‟orientation moyenne des
cardiomyocytes avec un azimut de 0 degré (rouge), 35 degrés (orange), 45 degrés (vert), 90 degré (cyan), 120
degrés (bleu), et 180 degrés (magenta). Le ventricule gauche a une constitution plus robuste que le ventricule
droit. La grande résolution de l‟image permet d‟observer des transitions plus continues.
En raison de la grande différence de résolution entre les deux méthodes (IRM, ILP), la comparaison
reste difficile.
Pour effectuer une confrontation équitable des cartographies des angles d‟élévation (IRM, ILP) nous
avons sous-échantillonné la cartographie d‟ILP. La figure 8-7 représente la cartographie des angles
d‟élévation en IRM de cette coupe (13ème coupe) ; tandis que la figure 8-8a représente toujours la
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
même cartographie mais en ILP. La figure 8-8b représente le sous-échantillonnage de la cartographie
des angles d‟élévation en ILP.
Les cartographies de la figure 8-7 et 8.8a ne sont pas dans le même référentiel. Dans la cartographie
8.7 (d‟IRM), l‟angle d‟élévation n‟est pas défini de 0 à 90 degrés, mais de -90 à 90 degrés (demisphère), tandis que l‟angle d‟élévation de la cartographie en ILP de la figure 8-8 est défini de 0 à 90
degrés.
Dans la figure 8-7 (IRM) on observe 7 angles d‟élévations moyens dans tout le myocarde. La
membrane péricardique possède un angle d‟élévation moyen de 45 degrés. Les faisceaux avec un
angle d‟élévation moyen de 0 degré (cyan), 45 degrés (vert), 15 degrés (vert-cyan), -70 degrés
(magenta sombre), -90 degrés (magenta) sont circulaires dans le myocarde. Dans la région médiane du
myocarde, il existe des faisceaux avec un angle d‟élévation de -30 degré (bleu). Quand deux
populations de cardiomyocytes sont situées de part et d‟autre avec des angles élévation égaux en
valeur absolue mais de signe opposé, alors la moyenne résultante est égale à zéro (zéro virtuel), (cyan).
Même si à résolution plus élevée (IPL), on observe très peu de faisceau de cardiomyocytes
effectivement à zéro degré d‟élévation.
Dans la figure 8-8a les faisceaux de cardiomyocytes avec un angle d‟élévation moyen de 45 degrés ou
70 degrés sont circulaires dans la masse myocardique, c'est-à-dire, elles restent dans le plan de la
coupe et suivent la révolution du myocarde. Dans la région médiane du myocarde, nous avons observé
des faisceaux avec un angle d‟élévation moyen proche de 90 degrés (magenta).
Dans les ventricules, nous avons observé des changements brusques de direction de quelques
faisceaux de cardiomyocytes à un angle d‟élévation de 20 degrés, puis le passage à 0 degré (rouge).
Pour une confrontation qualitative entre les deux mesures des angles d‟élévation en IRM et ILP, nous
avons utilisé la platine porte-objet (chapitre 4, figure 4-1c). En effet, cette platine porte-objet va nous
permettre d‟étendre la mesure de l‟angle d‟élévation en ILP de -90 à 90 degrés, et une définition des
mesures sur une demi-sphère.
L‟extension de l‟angle d‟élévation (ILP) sur 180 degrés a été prévue durant la thèse. Les résultats ont
été obtenus tardivement. Par faute de temps, le travail d‟extension n‟a pas été accompli complètement,
car il faudra aussi prendre en compte les problèmes mécaniques de la bascule ainsi que les moteurs de
rotations. De ce fait, une seule coupe myocardique est analysée en ILP avec la technique de la bascule.
Par la suite, il faudra analyser les 42 autres coupes en ILP avec cette même technique.
La platine porte-objet est un système gyroscopique à deux axes permettant à la plaque de verre sur
laquelle est posée l‟échantillon biologique de basculer suivant
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ou
. La configuration mécanique
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
de la bascule ne permet pas d‟obtenir directement des rotations autour d‟un axe arbitraire et d‟un angle
quelconque. De plus, il n‟était pas possible de distinguer des faisceaux avec des angles d‟élévations
négatifs, et cela se traduit par une ambiguïté avec les angles positifs et négatifs. Pour résoudre ce
problème, nous avons cherché à déterminer une combinaison de système à deux axes qui permette de
lever l‟ambigüité des angles.
Plus précisément, nous avons utilisé l‟algèbre des quaternions pour résoudre le problème d‟ambigüité
des angles, et un algorithme correspondant a été implémenté dans le système d‟acquisition (voir
annexe). En tout, le temps d‟acquisition des images avec la bascule devrait être d‟environ 15 minutes.
Ensuite, une mire
de côté, dite mire de bascule, calculée géométriquement et imprimée
sur du mylar est placée sur la platine porte-objet. Cette mire sert de référence pour faire le recalage des
images obtenues dans le banc optique avec la bascule. Il fallait aussi tenir compte des effets
d‟anamorphiques qui se produisent lors d‟une bascule. Dans le banc optique, un angle de bascule
supérieur à ±10 degrés entraine un mauvais rapport signal sur bruit et se caractérise par une distorsion
exagérée de l‟image (anamorphose). Nous nous sommes limités à un angle de bascule de ±10 degrés
en
et en
pour minimiser cette distorsion. Dans le traitement de ces données sous ImageJ nous
avons corrigé les effets anamorphiques.
Pour la confrontation des mesures de l‟angle d‟élévation d‟ILP, et IRM, nous avons réalisé un test
avec l‟acquisition d‟une image avec la bascule. Puis, nous avons capturé 30 images :
a) Huit images entre polariseur et analyseur croisés
b) Quatre images avec la lame pleine onde
c) Seize images avec bascule
d) Une image entre polariseur et analyseur parallèle
e) Une image binaire.
L‟accumulation des erreurs d‟angles des moteurs entraine également un déplacement optique dans les
images. Nous avons élaboré un greffon de logiciel pour ImageJ pour corriger ce déplacement optique.
Puis, nous avons recalé les images obtenues.
Puis, nous avons utilisé le greffon logiciel que nous avons développé sous ImageJ pour extraire pixel
par pixel la cartographie des angles d‟élévation.
Après sous-échantillonnage, les deux cartographies sont maintenant définies dans le même référentiel,
la comparaison est plus directe.
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
Qualitativement les cartographies des angles d‟élévation de ces deux méthodes sont quasiment
identiques. Cependant, il faudra développer l‟outil mathématique nécessaire qui permettra d‟évaluer
quantitativement les écarts de cartographie entre les deux méthodes d‟imagerie.
Figure 8-7 : Cartographie des angles d‟élévation de la 13ème coupe du cœur en IRM. La coupe est choisie pour
faire la comparaison avec les acquisitions brutes faite en ILP. Chaque couleur représente l‟orientation en
élévation d‟un faisceau de cardiomyocytes. La faible résolution de cette cartographie ne permet pas d‟observer
beaucoup plus de détail sur l‟orientation des cardiomyocytes. L‟angle d‟élévation de cette coupe est défini de -90
à 90 degrés.
(a)
(b)
Figure 8-8 Cartographie des angles d‟élévation (ILP) de la 13 ème coupe du cœur entre polariseur et analyseur
croisés. (a) L‟angle d‟élévation des cardiomyocytes est défini de 0° à 90°. La résolution de cette coupe permet de
mieux observer le changement en direction des cardiomyocytes dans le ventricule gauche ainsi que dans le
ventricule droit. Chaque couleur représente l‟angle l‟élévation moyen des cardiomyocytes. Les cardiomyocytes
sont majoritairement circulaires, c'est-à-dire, elles restent dans le plan et suivent la révolution du myocarde. Il
existe des cardiomyocytes avec un angle d‟élévation moyen de 0° (cyan) et 34° (vert-orange). (b) Cartographie
avec le système de bascule permettant d‟étendre la plage de mesures de l‟angle d‟élévation de -90 à 90 degrés.
Puis un sous-échantillonnage nous permet de rapprocher le mieux que possible de la figure 8-7.
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
8.4 Discussion
La confrontation des mesures IRM et ILP a permis d‟observer l‟orientation des
cardiomyocytes dans la masse ventriculaire et d‟en tirer les conclusions suivantes :
a) la cartographie des angles d‟azimut en IRM se révèle identique à celle d‟ILP, car ces deux
cartographies sont générées dans le même référentiel, c'est-à-dire de 0 à 180 degrés (demisphère). Cependant, la faible résolution de la cartographie d‟IRM ne nous permet pas
d‟approfondir d‟avantage.
b) la cartographie des angles d‟élévation en IRM n‟est pas identique à celle obtenue en ILP, car
elles n‟ont pas été générées dans le même référentiel. La cartographie des angles d‟élévation
en IRM est définie dans une demie de sphère, c'est-à-dire de -90 à 90 degrés, tandis que la
cartographie d‟ILP est définie dans la même sphère mais de 0 à 90 degrés. Par contre, avec la
technique de la bascule, nous avons pu étendre la mesure de l‟angle d‟élévation de -90 à 90
degrés (demi-sphère). Puis, nous avons fait un sous-échantillonnage des mesures obtenues en
ILP afin de les comparer avec celles de l‟IRM. En première analyse, on peut conclure que les
deux méthodes aboutissent à des résultats quasiment identiques.
On aurait pu avoir beaucoup plus d‟information à analyser si la résolution des mesures pour les
cartographies des angles d‟élévation en IRM était aussi fine que celle obtenue par ILP. L‟orientation
des cardiomyocytes serait beaucoup plus détaillée.
Nous avons observé que la faible résolution des cartographies issues de la technique d‟imagerie IRM
ne nous permet pas d‟avoir des informations sur l‟ensemble du myocarde humain. Les coupes dans la
région basale (1ère, 2ème, 3ème) de la figure 8-1, ainsi que les coupes de la région apicale (22ème, 23ème,
…, 30ème), ne comportent aucune information exploitable. Les mesures de l‟orientation des
cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire avec la méthode d‟IRM sont significatives à partir de
la région équatoriale (7ème …, 20ème) du cœur. Pour exploiter le cœur en entier, il est nécessaire que la
résolution en IRM soit beaucoup plus élevée.
Une seule cartographie (angle d‟élévation) en ILP a été utilisée avec la technique de la bascule pour
une confrontation directe avec celle de l‟IRM. Par la suite, il sera nécessaire d‟analyser toutes les
coupes en ILP puis les confrontées une à une avec celles de l‟IRM. Cependant, il faudra trouver un
compromis pour avoir le même nombre de coupe (même référence de coupe) issues des deux
méthodes. Il faut tenir compte aussi de la résolution des cartographies en IRM pour une confrontation
équitable, soit :
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Chapitre 8 : Confrontation IRM vs ILP
a) une augmentation de la résolution des cartographies en IRM pour qu‟elle soit égale à celle de
d‟ILP. Dans ce cas, les informations sur l‟orientation 3D des cardiomyocytes en chaque point
du myocarde seront beaucoup plus pertinentes et directe. Il sera nécessaire de développer des
outils de traitement d‟images qui permettrait d‟évaluer (qualitative, quantitative) les deux
cartographies (ILP, IRM).
b) un sous-échantillonnage des cartographies en ILP à la même résolution que celles de l‟IRM.
Cependant, il faut tenir compte de la perte d‟information sur l‟orientation 3D des
cardiomyocytes. Par contre, il serait aussi possible d‟observer le passage à zéro des
cardiomyocytes, ce qui n‟est pas trop visible à haute résolution. Cette cartographie est idéale si
on cherche les frontières des changements de direction des faisceaux de cardiomyocytes.
En résumé, la technique de la bascule est prometteuse car elle nous a permis de lever l‟ambiguïté sur
l‟orientation 3D des cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire, c'est-à-dire, il est possible de
distinguer un faisceau de cardiomyocytes avec un angle d‟élévation de +45 ou -45 degrés. Les mesures
des angles d‟élévations obtenues en ILP sont quasiment identiques à celles obtenues en IRM. La
méthode d‟ILP nous a permis de dire qu‟il est possible de valider toutes les mesures faites en IRM par
ILP.
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Deuxième partie
Deuxième partie
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Chapitre 9 : Synthèse et Conclusion
Chapitre 9
Conclusion
Chapitre 9.............................................................................................................................. 157
9.1
Synthèse .............................................................................................................................. 159
9.2
Perspectives ........................................................................................................................ 161
9.2.1
Extension de l‟angle d‟élévation du volume de -90 à 90 degrés ................................. 161
9.2.2
Méthode pour obtenir de la matrice de Muller d‟un échantillon de cœur ................... 161
9.2.3
Conclusion générale .................................................................................................... 167
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Chapitre 9 : Synthèse et Conclusion
9.1 Synthèse
L‟objectif de la thèse était de donner un fondement mathématique (modélisation) au
comportement du myocarde humain en lumière polarisée, pour inférer ce modèle dans la mesure
expérimentale de l‟orientation 3D des cardiomyocytes. Ceci afin de connaitre en tout point
l‟architecture 3D du cœur humain par une approche multimodale. Pour réaliser ce travail, un cœur
humain a été imagé en ILP (Imagerie en Lumière Polarisée), et un autre cœur a été imagé en IRM
(Imagerie par Résonance Magnétique) puis en ILP. Pour mener cette étude, il a fallu:
a) Développer un outil mathématique robuste pour l‟exploitation des acquisitions des images en
IPL. Cet outil permet de connaitre en tout point l‟architecture 3D des cardiomyocytes au sein
de la masse ventriculaire.
b) Confronter les mesures expérimentales obtenues IRM avec celle d‟IPL.
Nous avons exposé brièvement l‟anatomie du cœur, ainsi que les problématiques du myocarde
humain, car les différentes techniques utilisées dans le 20ème siècle pour l‟exploitation du myocarde,
ont donnée des résultats divergents. Pour apporter une solution à cette problématique, Jouk et al. ont
construit un système de polarimétrie pour l‟exploitation de la biréfringence du myocarde ; puis, un
protocole de préparation a été aussi défini pour exploiter cette biréfringence. Dans ce travail de thèse,
nous avons défini les méthodes optiques pour l‟exploitation de la lumière polarisée transmise tels que:
les vecteurs de Stokes, la sphère de Poincaré, et les formalismes matriciels de Mueller et de Jones.
Ensuite, nous avons réalisé une qualification des instruments optiques du laboratoire pour s‟assurer de
la fiabilité des mesures. Cela nous a permis de réaliser des acquisitions et des mesures expérimentales
avec les instruments ainsi qualifiés.
Nous avons exploité la représentation vectorielle de la polarisation de l‟onde électromagnétique pour
le développement d‟un modèle analytique, en nous appuyant sur le fait que la plupart des matériaux
optiques polarisants ou non polarisants peuvent être représentés par des vecteurs ou des matrices
(Jones, Mueller). Nous avons ainsi pu simuler un volume myocardique de 100×100×500 µm3 entre
polariseur et analyseur croisés dans deux configurations différentes :
a) volume homogène : la distribution des cardiomyocytes est totalement régulière et périodiques.
Les faisceaux de cardiomyocytes sont orientés dans la même direction, et sont parallèle les uns
aux autres.
b) volume hétérogène: soit par ajout d‟une variabilité des angles solides de dispersion, soit par
croisement de deux populations de cardiomyocytes, ainsi que leur combinaison.
Avec la matrice de Mueller des éléments optiques montés en cascade, nous avons calculé de façon
formelle, l‟expression analytique de la lumière polarisée transmise en sortie d‟analyseur. Puis, la
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Chapitre 9 : Synthèse et Conclusion
simulation numérique du volume nous a permis de découpler la mesure de l‟angle d‟azimut de celle de
l‟angle d‟élévation. L‟étude des différentes configurations du volume avec un angle solide de
dispersion et des croisements de deux populations de cardiomyocytes dans le volume, nous a permis
de maitriser parfaitement le comportement de l‟amplitude de la lumière polarisée transmise en sortie
d‟analyseur ainsi que les orientations (angle d‟azimut, angle d‟élévation) des cardiomyocytes à
l‟intérieur du volume. De plus, nous avons élaboré un modèle analytique qui permet en chaque voxel
d‟extraire les paramètres (
) du modèle. Puis, nous avons implémenté ce modèle analytique dans
un greffon de logiciel pour ImageJ pour extraire, en chaque voxel, les paramètres du modèle dans les
acquisitions des images faites en ILP.
Pour valider ce modèle analytique, nous avons choisi les piliers des valves auriculo-ventriculaires, car
ils possèdent un plus grand niveau d‟homogénéité que dans les autres régions du myocarde. Nous
avons confronté les mesures expérimentales avec celles du modèle analytique. Le greffon logiciel nous
a permis d‟extraire la cartographie de l‟intensité de la lumière polarisée transmise dans le pilier, des
angles d‟azimut, des angles d‟élévation, et de l‟hétérogénéité des orientations. La cartographie des
angles d‟azimut et celle des angles d‟élévation permettent de mesurer l‟orientation absolue des
faisceaux de cardiomyocytes dans tout le pilier. Ensuite, nous avons utilisé ce même modèle
analytique sur un cœur humain en entier afin d‟extraire en chaque point, l‟orientation des
cardiomyocytes dans toute la masse ventriculaire.
Pour une confrontation qualitative de la méthode IRM et celle ILP, nous avons choisi de comparer les
deux cartographies issues de ces deux modalités d‟imagerie. Les cartographies d‟ILP ont servi de
référence pour valider les cartographies du myocarde humain issues de l‟IRM. Ainsi, l‟orientation des
angles d‟azimut des deux méthodes d‟imageries (IRM, ILP) se révèle qualitativement identique.
Cependant, les mesures des angles d‟élévation en IRM sont définies de -90 à 90 degrés (demi-sphère),
tandis que celles en ILP (quart de sphère) est définie de 0 à 90 degrés. Elles ne sont pas définies dans
le même référentiel. Pour résoudre ce problème, nous avons ajouté dans le banc de mesure un système
de bascule à deux axes qui nous a permis d‟étendre la plage de l‟angle d‟élévation de -90 à 90 degrés
en ILP. Qualitativement, les cartographies des angles d‟élévation de ces deux méthodes se révèlent
quasiment identiques.
Les mesures obtenues par Jouk et al. reposaient sur une formulation totalement empirique, c'est-à-dire
qu‟elles étaient basées sur l‟expérience et l‟observation des phénomènes dans le banc optique. Dans ce
travail de thèse, nous avons apporté les outils mathématiques qui par une démarche analytique donnent
un cadre théorique qui permet la validation définitive des mesures de Jouk et al., pour l‟exploitation du
myocarde humain.
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Chapitre 9 : Synthèse et Conclusion
9.2 Perspectives
9.2.1 Extension de l’angle d’élévation du volume de -90 à 90 degrés
Les mesures en ILP sont définies de 0 à 90 degrés pour l‟angle d‟élévation, et de 0 à 180
degrés (un quart de sphère) pour l‟angle d‟azimut. Pour étendre les mesures sur une demi-sphère, il est
nécessaire que l‟angle d‟élévation soit défini de -90 à 90 degrés, et celui d‟azimut de 0 à 180 degrés.
Dans le banc optique expérimentale, la platine porte-objet est un système gyroscopique à deux axes
(
,
). Elle permet de faire des bascules pour pouvoir étendre l‟angle d‟élévation sur une demi-
sphère. La configuration mécanique de la bascule ne permet pas d‟obtenir directement des rotations
autour d‟un axe arbitraire et d‟un angle quelconque (ambiguïté avec des angles positifs et négatifs).
Pour résoudre ce problème, les coordonnées en (
) pour des basculements de ±10 degrés ont été
calculées avec l‟algèbre des quaternions, puis incluses dans le programme d‟acquisition du banc
optique. Le résultat d‟un simple test montre que cette technique est prometteuse, car elle permet une
définition de l‟angle d‟élévation de -90 à 90 degrés, et une définition des mesures sur une demi-sphère.
Ce résultat préliminaire a été présenté dans la confrontation qualitative avec les mesures IRM et ILP.
Ce résultat étant qualitatif, il est nécessaire d‟améliorer d‟abord la technique de contrôle de la bascule
en tenant compte de toutes les contraintes déjà citées (chapitre 8). Il faut développer ensuite des outils
mathématiques robustes qui permettent de faire une confrontation quantitative des deux méthodes
(IRM, ILP).
La confrontation des mesures de l‟angle d‟élévation en IRM et IPL ne sont pas comparables quand
l‟angle d‟élévation en ILP est défini sur un quart de sphère (sans bascule), et elles deviennent
comparables avec l‟introduction de la bascule qui permet une définition de l‟angle d‟élévation en ILP
dans une demi-sphère.
Il est aussi nécessaire de développer des techniques trigonométriques robustes, pour étendre les
mesures de l‟angle d‟azimut et de l‟angle d‟élévation sur toute une sphère. Dans ce cas, il faut aussi
analyser l‟effet de l‟ellipticité du myocarde humain, soit par le vecteur de Stokes et la matrice de
Mueller, soit par d‟autres techniques polarimétries. Il faudra aussi de tenir compte des erreurs d‟angles
engendrés par les moteurs, car les résultats sont actuellement bruités directement par ces erreurs.
9.2.2 Méthode pour obtenir de la matrice de Muller d’un échantillon de cœur
La matrice de Mueller est une matrice 4×4 qui permet de connaitre en chaque pixel la structure
physico-chimique d‟un objet uni-axial biréfringent placé entre polariseur et analyseur croisés. Dans
notre cas, cette matrice va nous permettre de connaitre en détail la structure physico-chimique du
myocarde humain en ILP. Il est aussi possible de la décomposer en trois sous matrices permettant de
connaitre en chaque pixel :
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Chapitre 9 : Synthèse et Conclusion
a) le retard de phase qui est lié à la propriété de la biréfringence du tissu biologique, la mesure de
l‟intensité de lumière transmise à travers l‟échantillon biologique, et la mesure de l‟angle
d‟élévation.
b) la nature du dépolariseur, c'est-à-dire comment le tissu biologique dépolarise la lumière.
c) la nature de l‟élément dichroïque qui permet de connaitre le taux de polarisation de la lumière.
(voir chapitre 3)
Pour obtenir physiquement la matrice de Mueller d‟un objet uni-axial biréfringent, il faut connaitre les
vecteurs de Stokes à l‟entrée et à la sortie du système optique. Donc, il est nécessaire d‟avoir six états
de polarisation à l‟entrée et à la sortie. La combinaison des états de polarisation permettra l‟obtention
des vecteurs de Stokes et la matrice de Mueller. Cependant, toute matrice 4 4 n‟étant pas une matrice
de Mueller, il faut vérifier si la matrice obtenue peut être considérée comme une matrice de Mueller
(voir chapitre 3). Le montage proposé de la figure 9-1 permet de mesurer les termes de la matrice de
Mueller physique d‟un échantillon biologique.
Figure 9-1 : Montage optique pour l‟obtention de la matrice de Mueller d‟un échantillon biologique.
La figure 9-1 est proposée pour réaliser une étude plus approfondie du myocarde humain sous la forme
d‟une matrice Mueller. Ce montage optique est basique et il est aussi possible d‟ajouter d‟autre
éléments optiques pour mesurer pixel par pixel les vecteurs de Stokes où l‟intensité de la lumière
polarisée transmise. De plus, l‟utilisation d‟une source lumineuse à spectre étroit de 550 nm
(monochromatique) est nécessaire pour obtenir la matrice de Mueller.
Pour déterminer le premier élément du vecteur de Stokes
, il faut enlever les deux lames quart
d‟onde du montage optique (figure 9-1), puis fixer l‟axe neutre de la lame pleine onde à 0 degré par
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Chapitre 9 : Synthèse et Conclusion
rapport à l‟axe de sélection du polariseur. Puis, l‟axe de sélection du polariseur et celui de l‟analyseur
sont fixés à 0 degré pour la mesure de l‟intensité de la lumière polarisée transmise ( ), ainsi qu‟à 90
degrés (
). Ainsi, toute la lumière reçue par le polariseur est transmise à l‟analyseur.
Pour la mesure d‟un paramètre de Stokes, il est nécessaire d‟avoir deux images issues d‟un même état
de polarisation mais de sens opposé (polarisation horizontale , verticale
degrés
, polarisation à +45 degrés
, circulaire gauche
, polarisation à -45
(voir condition), circulaire droite
(voir condition). En revanche, en dehors des angles de mesure cités précédemment, toutes images
issues d‟un même état de polarisation et de sens opposé ne constituent pas un paramètre de Stokes car
les paramètres de Stokes sont obtenus selon une modalité bien précise.
Pour chaque angle de rotation du couple polariseur et analyseur, une image est capturée. Les deux
premiers paramètres de Stokes sont :
(9.1)
(9.2)
avec
⁄ [
⁄ [
et
][ ]
⁄
][ ]
[ ]
⁄
(9.3)
[
]
représentent respectivement l‟acquisition de la première et de la deuxième image, en sortie du
banc optique. Autrement dit, l‟image du premier paramètre de Stokes
pixel à pixel des deux images issues des deux états de polarisations ( ,
de ces images permet de mesurer le second paramètre de Stokes
est obtenu par une addition
), tandis que la différence
.
Ensuite, l‟axe de sélection du polariseur et celui de l‟analyseur sont fixés à 45 degrés (
degrés (
(9.4)
), puis à -45
). L‟image du troisième paramètre de Stokes se calcule par :
(9.5)
avec
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Chapitre 9 : Synthèse et Conclusion
⁄ [
][ ]
⁄ [
⁄
[ ]
⁄
][ ]
Pour la mesure du dernier élément du paramètre de Stokes
(9.6)
[
]
(9.7)
, il faut créer une polarisation circulaire
droite, puis gauche. Une lame quart d‟onde avec son axe rapide orienté à 45 degrés par rapport à un
polariseur linéaire dont son axe de sélection est orienté à 0 degrés par rapport à l‟axe
permet
d‟avoir une polarisation circulaire gauche.
Une lame quart d‟onde pure est capable de transformer une polarisation linéaire en une polarisation
circulaire. Il est aussi possible de combiner les deux lames quart d‟onde de la figure 9-1 pour obtenir
une polarisation circulaire droite et gauche. Connaissant la polarisation circulaire droite et gauche, le
dernier paramètre
peut être calculé par :
(9.8)
avec
[
⁄ [
]
]
⁄ [
] (9.9)
En multipliant 9.9 par les vecteurs de Stokes, on a :
⁄ [
⁄
][ ]
⁄ [
]
⁄
[
]
(9.10)
représente le flux du rayon incident dans le système optique (voir chapitre 3)
On observe que la polarisation obtenue est une polarisation circulaire gauche. Dans ce cas, il est
nécessaire que le faisceau lumineux pénètre le polariseur circulaire (polariseur + ⁄ ) par la face du
polariseur linéaire. Pour la polarisation circulaire droite on a,
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Chapitre 9 : Synthèse et Conclusion
[
]
⁄ [
⁄ [
]
]
(9.11)
En multipliant 9.11 par les vecteurs de Stokes, on a :
⁄ [
][ ]
⁄ [
]
⁄
[ ]
(9.12)
Cependant, les lames quart d‟onde absorbent une grande quantité d‟énergie. Pour une mesure précise
du troisième paramètre de Stokes
, il est recommandé de connaitre le coefficient d‟absorption de la
lame quart d‟onde. Par contre, il est aussi possible de contourner ce problème en utilisant un seul
polariseur circulaire (polariseur + ⁄ ).
Cependant, si on retourne le polariseur circulaire (polariseur + ⁄ ), la lumière va pénétrer le
polariseur circulaire par la face de la lame quart d‟onde ou ⁄ et sort par la face du polariseur idéal.
Ainsi, la polarisation en sortie, sera une polarisation rectiligne et horizontale (non standard) à l‟axe
(polarisation linéaire).
⁄ [
]
][
⁄ [
]
(9.13)
Avec le vecteur de Stokes, on a
⁄ [
⁄
][ ]
⁄
[ ]
(9.14)
il est possible qu‟un tel état polarisation ne soit pas transmis dans le banc optique.
Ainsi, une lame quart d‟onde avec son axe rapide orienté à 45 degrés par rapport à l‟axe
d‟un polariseur avec son axe de sélection orienté à 0 degré par rapport
suivie
, puis une seconde lame
quart d‟onde orienté à 135 degrés par rapport à l‟axe de sélection du polariseur permet d‟avoir une
polarisation circulaire droite ou gauche. Dans le cas des lames quart d‟onde à retard de phase variable,
il sera beaucoup plus facile de contrôle l‟état de polarisation gauche ou droite. Il possible d‟écrire :
(9.15)
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Chapitre 9 : Synthèse et Conclusion
[
]
⁄ [
][
⁄ [
]
](9.16)
Introduisons les vecteurs de stokes, on a
⁄ [
][ ]
Comme il a été dit, en jouant sur les paramètres
⁄
[
]
(9.17)
on peut contrôler la polarisation circulaire en
sortie du banc optique. Il est recommandé de vérifier l‟état de polarisation en sortie des vecteurs de
Stokes en sortie avant d‟obtenir la matrice de Mueller. En reprenant l‟équation 3.34, et 3.35 :
⃗
][ ]
[
[ ]
Le vecteur ⃗
est la mesure de l‟état de polarisation en sortie de l‟échantillon biologique dans
chaque pixel. L‟utilisation de l‟équation 3.35 permet de mesurer la matrice de Mueller pixel par pixel
car chaque terme de la matrice de Mueller
représente une image. Pour décomposer cette matrice en
trois sous matrices il est nécessaire d‟utiliser l‟algorithme de Lu et al. (Lu & Chipman, 1996),
(Chapitre 3). Il est aussi possible de mesurer le degré de polarisation de la lumière polarisée transmise
à travers le myocarde humain en utilisant le vecteur de Stokes.
Selon (Jungrae, 2007) et (Xing L. , May 2009) la matrice de Mueller est une suite de combinaison des
états de polarisation. Leur méthode pour calculer la matrice de Mueller est un peu longue, mais cette
méthode permet d‟avoir directement les éléments de la matrice de Mueller dans un banc optique.
La matrice de Mueller est entachée de bruit. En ce sens, il faut aussi développer des outils adéquats en
traitement d‟images.
Etats de polarisation : H : polarisation horizontale, V : polarisation verticale, P : polarisation +45, R :
polarisation circulaire.
Les termes de la matrice de Mueller peuvent être ainsi obtenus par les états de polarisation selon
(Jungrae, 2007) et (Xing L. , May 2009) :
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Chapitre 9 : Synthèse et Conclusion
;
Obtention pratique des états de polarisation en analyse d‟images avec le banc optique décrit dans la
figure 9-1.
: Polariseur ;
() : lame quart d‟onde ;
: objet ;
: Analyseur:
Image HH:
Image VV :
Image VH:
Image HV:
Image PH:
Image
Image RH:
Image
Image PP :
Image RR:
Image HP:
Image HR:
Image VP :
Image VR:
Image RP:
Image PR :
Les 16 éléments de la matrice de Mueller sont ainsi obtenus.
9.2.3 Conclusion générale
Durant cette thèse, nous avons développé des outils mathématiques robustes pour
l‟exploitation du myocarde humain via un système de polariseur et analyseur croisés. Des algorithmes
de traitements d‟images ont été implantés dans un greffon de logiciel pour ImageJ. Les techniques
développées ont permis d‟obtenir de manière physique l‟orientation 3D des cardiomyocytes au sein de
la masse ventriculaire. Les méthodes empiriques développées par Jouk et al. ont pu être démontrées
analytiquement et confortées grâce à la modélisation numérique. De plus, en résultat préliminaire, un
même cœur a pu être cartographié à la fois par IRM et par ILP. Il apparait que si l‟information donnée
par l‟IRM n‟est pas aussi résolue, les résultats sont comparables qualitativement à ceux fournis par
l‟ILP.
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Annexe
Annexe
Programmes et formulations
a) Cette partie donne le calcul de l‟expression analytique du terme
de la matrice de
Mueller.
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Annexe
Pour ne pas alourdir la démonstration, les numérotations (%i11) à (%i15) ne seront pas présentées, car
elles ne comportent aucune information nécessaire.
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Annexe
Posons
Puis, faisons un changement de variable en posant
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, on a
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Annexe
(%o26)
(
)
Développons la formule empirique de Jouk et al.
(%o31)
(
en posant
(%o32)
(
)
, on a
)
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Annexe
b) Cette partie permet d‟extraire les paramètres (
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) du modèle analytique.
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Annexe
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Annexe
Expression analytique du calcul de l’angle d’élévation dans le volume
Quand un objet uni-axial biréfringent est traversé par un faisceau lumineux déjà polarisé, le
retard de phase se définit par :
⁄
La biréfringence maximale
(1.1)
de l‟objet peut alors s‟écrire :
(
√(
(
√
)
)
⁄
(
√
)
(1.2)
)
Calcul approché de l’intensité de la lumière polarisée transmise
Il a été dit dans la thèse que l‟intensité de la lumière polarisée transmise est définie par le rapport :
̃
(1.3)
avec
(
)
(1.4)
et
⁄
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(1.5)
Page 174
Annexe
Ce qui permet d‟écrire
(
)
√
(1.6)
avec
⁄
,
[
⁄ ]
(1.7)
Posons
⁄
Comme la valeur de
avec
donc
est très petite, on peut alors développer
⁄
(1.8)
√
En remplaçant l‟équation 1.8 dans 1.6, on a
(
)
(1.9)
(1.10)
Remplaçons l‟équation 1.10 dans 1.5
(1.11)
et
(1.12)
est très petit, on peut alors le négliger.
Comme
et
et
, on peut approximer
(
dans l‟équation 1.4 par :
)
(1.13)
(1.14)
et
(1.15)
est petit, on peut le négliger. On obtient finalement, en première approximation
̃
(
)
(
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)
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(1.16)
Page 175
Annexe
avec
(
⁄
)
ou
(
)
⁄
(1.17)
Parmi les techniques existantes (angles Euler, les matrices de rotation) pour les rotations autour d‟un
axe, nous avons choisi l‟algèbre de quaternion en raison de sa robustesse dans les rotations. Les
quaternions permettent aussi d‟éviter le gimbal lock et l‟implémentation de rotation plus continue et
plus précise. Un quaternion se présente sous la forme de
(1.18)
Soit ⃗⃗⃗⃗
à R3, et
s‟écrivent
un angle de rotation quelconque. Donc les coordonnées de la rotation
. Pour trouver les nouvelles coordonnées de
après une rotation, il est
possible d‟écrire :
̅
(1.19)
Avec le quaternion associé et ̅ son conjugué, on a
(1.20)
̅
(1.21)
Après normalisation (si nécessaire) de ⃗⃗⃗⃗⃗ dans l‟équation 1.19, et en tenant compte de l‟équation 1.20
et 1.21, on a
(1.22)
avec
Si la rotation se fait autour de l‟axe on a :
(1.23)
Dans notre cas, on a
,
, et
car la rotation se fera autour de l‟axe . En replaçant ⃗⃗⃗⃗⃗ dans 1.19,
on peut en conclure que : pour une droite orientée à 22,5 degrés par rapport à l‟axe , un basculement
de 10 degrés en élévation correspond à une rotation de 9,23 degrés en
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puis 3.82 degrés en
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.
Page 176
Annexe
Cependant, si on oriente la droite à 45 degrés, on doit tourner de 7,071 degrés en
si la droite est orientée à 67 degrés il faut tourner de 3,90 degrés en
puis 9,20
puis 7,071 en , et
Il est aussi possible
de vérifier ces résultats par la matrice de rotation.
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Protocole d‟inclusion des cœurs en résine MMA
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Protocole d‟inclusion des cœurs en résine MMA
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Charte d‟interférences de Newton Michel-Levy
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Publications et Conférences
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P. A. Desrosiers, P. S. Jouk, G. Michalowicz, Y. Usson, and Y. M. Zhu, “Simulation of Polarized Light Imaging
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Conference
P. A. Desrosiers, G. Michalowicz, P. S. Jouk, Y. Usson, and Y. M. Zhu, "Modeling of the optical behavior of
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FOLIO ADMINISTRATIF
THESE SOUTENUE DEVANT L'INSTITUT NATIONAL DES SCIENCES APPLIQUEES DE LYON
NOM : DESROSIERS
DATE de SOUTENANCE : 21/05/2014
(avec précision du nom de jeune fille, le cas échéant)
Prénoms : Paul Audain
TITRE : Simulation de l‟imagerie en lumière polarisée : application à l'étude de l'architecture des « fibres » du
myocarde humain.
NATURE : Doctorat
Numéro d'ordre : 2014ISAL0046
Ecole doctorale : Electronique, Electrotechnique, Automatique (EEA)
Spécialité : Image et Système
RESUME :
La plupart des maladies cardio-vasculaires sont étroitement liées à l‟architecture 3D des faisceaux de
cardiomyocytes du myocarde humain. Connaitre en détail cette architecture permet de lever un verrou scientifique
sur l‟organisation spatiale complexe des faisceaux de cardiomyocytes, et offre des pistes pour trouver des solutions
pertinentes permettant de guérir ces maladies. Ainsi, les méthodes et techniques qui sont développées dans cette
thèse permettront d‟avoir une idée détaillée sur l‟organisation spatiale des cardiomyocytes.
A cause de la nature biréfringente des filaments de myosine qui se trouvent dans les cellules cardiomyocyte,
l‟Imagerie en Lumière Polarisée (ILP) se révèle comme la seule méthode existante permettant d‟étudier en détail,
l‟architecture et l‟orientation des faisceaux de cardiomyocytes au sein de la masse ventriculaire. Les filaments de
myosine se comportent comme des cristaux uni-axiaux biréfringents, ce qui permet de les modéliser comme les
cristaux uni-axiaux biréfringents. L‟ILP exploite les propriétés vibratoires de la lumière car l‟interaction
photonique et atomique entre la lumière et la matière permet de révéler l‟organisation structurelle et l‟orientation
3D des cardiomyocytes. Le présent travail se base sur la modélisation des différents comportements de la lumière
après avoir traversé des faisceaux de cardiomyocytes. Ainsi, un volume 100×100×500 µm3 a été décomposé en
plusieurs éléments cubiques qui représentent l'équivalent de l'intersection des cellules de diamètre de 20 µm
chacune. Le volume a été étudié dans différentes conditions imitant l‟organisation 3D des cardiomyocytes dans
différentes régions du myocarde : région isotrope (homogène), région isotrope hétérogène, région de croisement
des faisceaux de cardiomyocytes. Les résultats montrent que le comportement du volume change suivant
l‟arrangement spatial des cardiomyocytes à l‟intérieur du volume. Grâce à un modèle analytique développé à l‟aide
des simulations, il a été possible de connaitre en tout point, l‟orientation 3D des cardiomyocytes dans tout le
volume. Ce modèle a été implémenté dans un greffon logiciel. Puis, il a été validé avec les piliers des valves
auriculo-ventriculaire en comparant les courbes obtenues en simulation numérique à celles obtenues dans la phase
expérimentale. De plus, il a été possible de mesurer l‟orientation 3D des faisceaux de cardiomyocytes à l‟intérieur
du pilier. Après cette validation, le modèle a été utilisé sur un cœur humain (sain) en entier. Puis, nous avons
extrait les cartographies des orientations 3D (angle azimut, angle d‟élévation) des cardiomyocytes, ainsi que la
cartographie des niveaux d‟homogénéité du myocarde en entier. Le développement des outils mathématiques
robustes a permis de valider les mesures et les méthodes empiriques de Jouk et al.
Pour une confrontation qualitative des mesures de l‟orientation 3D obtenues en ILP avec celles en Imagerie par
Résonance Magnétique (IRM), un cœur humain sain d‟un enfant de 14 mois a été prélevé lors de l‟autopsie, fixé
dans du formol, puis imagé en entier par IRM puis en ILP. Malgré la faible résolution des images en IRM, les
résultats obtenus montrent que les mesures de l‟orientation 3D des cardiomyocytes issues de ces deux méthodes
d‟imageries se révèlent quasiment identiques
MOTS-CLES : Cœur humain, Imagerie en Lumière Polarisée, cardiomyocytes, IRM.
Laboratoire (s) de recherche : CREATIS de Lyon (CNRS UMR 5520, INSERM U1044) et TIMC-IMAG de
Grenoble (CNRS, UMR 5220).
Directeur de thèse: ZHU Yuemin.
Président de jury : JOUK Pierre-Simon
Composition du jury : SEGONDS Patricia, RUAN Su, CROISILLE Pierre, JOUK Pierre-Simon, ZHU Yuemin,
USSON Yves.
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