Cours M2-ICE Weill 2007-La couche limite atmosphérique

Micrométéorologie
Et turbulence
La couche limite
atmosphérique
Cela a-t-il un sens à l’équateur?
Remarque près de la surface le vent horizontal U= (U*/k) Log (z/z0)
En l’absence de phénomènes diabatiques (neutralité θ(z)=cte)
h=.3 U*/ f à 45 degrés de latitude U* =.5m/s f= 10-4 s-1
h= 1500 m
U* est la vitesse de frottement et représente le flux de quantité de mouvement
(stricto sensu -ρU*2)
Près de la surface <u’w’> u’ et w’ fluctuations de vitesse horizontale et
Verticale par rapport aux moyennes respectives
On définit h= .3 U*/f hauteur de la couche limite dynamique
Du fait que le vent horizontal soit déterminé à partir des gradients horizontaux
de pression et la rotation de la terre (paramètre de Coriolis f)
et que le freinage au sol soit lié au vent et en particulier par le flux de quantité
de mouvement à la surface
(1) La couche limite dite « dynamique »
Elle est caractérisée par le freinage de l’écoulement atmosphérique près de la
surface (continent ou océan) dans des conditions où les effets thermiques ne
sont pas considérées.
Surface
rugueuse
V freinage -u’ compensé par w’ tel qu’en moyenne
-ρ<u’w’>= -ρ U*2= flux de quantité de mouvement
Importance en astronomie (scintillations optiques dues à la turbulence)
Lieu des échanges entre deux surfaces et différents milieux (surface – air)
Une très rapide variabilité des variables d’état du fluide air
-Milieu de propagation acoustique, optique et électromagnétique où se manifeste
-Diffusion de contaminants atmosphériques naturels ou non ( ozone NOX
particules etc..)
-Monde où l’on vit (biosphère)
Enjeux de la connaissance
Sont prépondérants
Dans laquelle les effets dynamiques et thermiques dus à cette surface
Par définition: portion d’espace terrestre au voisinage de la surface terrestre
Couche limite atmosphérique
z0
U
θ (z)
chaleur ( ρ CP <θ’ w’> )
−<u’w’> <θ’ w’>
dans le gradient de θ mélange entraîne un flux de
sol dans des conditions de neutralité doit être remanié
Dans les conditions diabatiques le schéma de « frottement » lié à la rugosité du
qui est géostrophique à condition que l’on ne soit pas à l’équateur.
En fait au-dessus de l’inversion on retrouve après une transition le vent dominant
Formation d’une couche stable statiquement près de la surface ( 50 à 1000
mètres) caractérisée par une inversion thermique ce qui limite les échanges
avec « l’ atmosphère libre » là où le vent devient le plus souvent
«géostrophique »
de refroidissement radiatif dans l’infra-rouge en particulier Sasamori (1972)):
du sol conduit à la formation d’une inversion radiative (voir les processus
Se forme la nuit dans des conditions de ciel clair où le rayonnement IR de l’air et
(2) Couche limite « radiative »
Selon le signe de la divergence >0 convergence l’écoulement va vers le volume
Divergence >0 l’écoulement est divergent et s’écoule du volume vers l’extérieur
∫ s A.dS= ∫ v div A dV
Sur une surface fermée rappel théorème de Gauss
dF=A.n dS= IAI cos (teta) dS
Avec n normale à la surface
1) Flux élémentaire d’un vecteur V au travers d’une surface S
dS
teta
dF= V.dS
A
Flux atmosphérique à travers des surfaces: sol surface de la mer
.1 h
Z=0
Couche à flux constant ou inertielle
surface Couche sous - visqueuse z<< z vitesse du vent faible
0
Couche de surface
Couche de mélange
Ζ=h
Ceci permet de définir les flux de surface dans la couche de surface
atmosphérique
Soit ρ< c’ w’>
En fait on s’intéresse au flux de quantité de mouvement au travers d’une surface,
au flux de chaleur et d’humidité, mais dans le cas d’un contaminant ou polluant on
s’intéressera au flux du contaminant C passif
On a parlé du flux d’un vecteur en fait on peut parler d’un flux scalaire
τ= -ρ0 <u’ w’>= ρ0U*02
E= ρ0 <q’w’> = −ρ0 U*0 q*
Kz/q* dq/dz = fonction q (z/L)
Kz/U*0 { dU/dz}= fonction U de (Z/L)
kz/ T* {dq/dz} = fonction T (z/L)
Ainsi en raisonnant de façon « adimentionnelle » on trouve (et l’on vérifie
expérimentalement) que:
( U*0 T* et q *) sont des invariants d’échelle
q*=E/U*
T*= H/U*
Le flux d’humidité
Le flux de chaleur sensible H=ρ0Cp<θ’w’> = -Cp ρ0 U∗0 Τ∗
La tension de Reynolds
Dans la couche de surface atmosphérique
Référence Businger 1971 expérience de Kansas
en soufflerie mais on pourrait se dispenser de cette constante et la
faire passer dans les lois de variation (expérimentales).
K=.4 si on veut être cohérent avec les expériences de similitude
q-q0= (q*/k) (Ln(z/z0) – phiq(z/L))
θ-θ0 =(θ*/k) (Ln(z/z0) – phiT(z/L))
U=(U*/k)( Ln(z/z0) – phi(z/L))
En intégrant les fonctions universelles on obtient:
L’ensemble des fonctions « universelles » ont été estimées puis
tabulées à partir d’expériences de terrain (après intégration en
altitude).
En fait on préfère raisonner en z/L
L longueur de Monin-Obukhov
L= -U*3 Tv0/ (gk<w’θ’v>) si L >0 stable, si L=0 neutre, si L<0 instable
L est une échelle de longueur relative aux flux telle que
Où les flux sont en général nuls ou bien sommet de la couche bien
mélangée qui peut différer du sommet de la couche limite.
Rq deux considérations sont possibles h sommet de la couche limité
En anglais WML well mixed layer .
de l’ordre de 0.1 h (h hauteur de la couche limite ou couche bien mélangée)
Jusqu’au « sommet de la couche de surface « i.e. »
Les flux y sont « constants » à 10 % ce qui autorise une décroissance de
10%
Dans la couche de surface atmosphérique « à flux constants ».
A voir les transparents sur les formulations du vent , de la température
4) De la diffusion et convection turbulente.
3) De ce qui différentie les mécanismes de diffusion et conduction moléculaire
2) Du nombre de Richardson caractéristique de la stabilité « dynamique »
1) Nous allons tout d’abord parler de l’instabilité dynamique dite de KelvinHelmholtz
On a illustré certains effets liés au « frottement de l’air au voisinage de la surface ».
ni ses propriétés.
Nous venons parler de turbulence « sans expliciter ce qu’elle implique »
ρ
ρ+dρ
U
U+dU
½ ρ [ U2+(U+dU)2- ½ (U+U+dU)2 = ¼ ρ (du)2
2) l’énergie cinétique disponible pour effectuer ce travail est :
δW=-gδρδz
Z
Z+dz/2
Z+dz
1) Pour effectuer cet échange il faudra lutter contre les forces de gravité et effectuer
un travail contre ces forces
On cherche à échanger deux volumes égaux et voisins à z et z+dz
Cette condition peut s’énoncer ainsi:
La seule force qui va amortir cette tendance vient de l’inertie. L’instabilité sera
inhibée aussi longtemps que le gradient de pression lié à cette force d’inertie existera.
Soit l’énergie cinétique stockée dans les mouvements relatifs de différentes couches
atmosphériques: la tendance au mélange est liée au cisaillement de vent (gradient de
vent) dU/dZ
Instabilité de Kelvin- Helmholtz
A remarquer que -g/ρ(dρ/dz) est l’équivalent de
g/θdθ/dz pour l’atmosphère
Ri= (g/θ)dθ/dz/ (dU/dz)2 rapport entre les carrés de deux fréquences
N2/(dU/dz)2 N = fréquence de Brunt Vaïsala
Ri s’appelle le nombre de Richardson. Il traduit le rapport entre effet
de la gravité du à la stratification et effet inertiel puvant conduire au
mélange.
Si Ri<0 instabilité dynamique et statique
Ce qui s’écrit: 0>= (Ri= −g/ρ dρ/dz/ (dU/dz)2) <= .25 instabilité
dynamique (le travail se fait) > .25 stabilité dynamique condition non
suffisante
(dU/dz)2 < -4g/ρ dρ/dz
Ce qui se traduit par
La stabilité impliquerait que l’énergie cinétique ne soit pas suffisante
Et donc soit inférieure à l’énergie potentielle de façon telle que le
travail ne puisse être effectué:
Soit donc
¼ ρ (du)2 < -gdρ dz
puis à un mélange conduisant à un état +- neutre
On remarque une phénomène instable qui s’amplifie
b) à U= constante (dU/dz=0)
a) (U(z) avec dU/dz)
D’un cisaillement de vent
Et 2 une observation dans la couche limite atmosphérique où l’on passe
A Voir 1 le schéma illustratif de l’instabilité KH
θ
L
θ+ d θ
Δθ/Tm de l’ordre de γ Δθ/L2
L
Δθ différence de température caractéristique
En raisonnant « aux dimensions »
∂θ ∂t = γ ∂2θ/∂xi∂xi équation de diffusion moléculaire
Température potentielle θ
Diffusivité moléculaire γ
Foyer de dimension L
L
a) La cheminée qui ne tire pas
3) Diffusion turbulente: une explication
Ec= g/θ Δθ h = .03 (m/s)2
Cette accélération intervient à h = 10cm de la base du foyer
Supposons un écart de 10 degrés cela implique une accélération de .3
m/s2
Δθ on introduit des forces de flottabilité telles que g/θ Δθ
Soit par exemple au voisinage des bûches un petit écart de température
Relation d’échelles entre les dimensions, nombres d’or !! En fait on
favorise une sélection d’échelle qui favorise la convection
Avec des règles de construction (ou en soufflant correctement):
2) La cheminée qui « tire »
Autrement dit même avec de faibles mouvements dans la pièce la
conduction moléculaire est inefficace!!! (équivalent de dire que quel que
soit le nombre de papiers que l’on brûlera on n’arrivera pas à faire le feu!)
On trouve un temps caractéristique Tm de 27 heures environ
L=1 m
Avec γ = .2 10-4 m2 s-1
Soit Tm de l’ordre de L2 /γ
∂θ/ ∂t = K ∂2θ/∂xi∂xi avec K coefficient de diffusion moléculaire (dans notre cas de
chaleur) T= L2/K et K=uL
Temps caractéristique de la turbulence (convection) << temps de la diffusion ou
conduction moléculaire. On introduit alors un concept simple par analogie avec
les processus moléculaires
Tm/Tturb = ν/uL=1/Re Re est le nombre de Reynolds grand dans les régimes
turbulents Re de l’ordre de 5000 à +
En comparant les deux temps caractéristiques
L’air)
On prend γ=ν la viscosité cinématique (ν/γ=.73) nombre de Prandt pour
Tt(turbulence)/Tm(conduction) = Lγ/uL2 =γ /uL
Cela conduit à
En prenant en compte une non parfaite efficacité u= 5cm/s
Et donc un temps caractéristique (de la turbulence )= L/u= 5.9 s
Ce qui correspond à une vitesse caractéristique de 17 cm/s
= uL/ν = Re
Mais l’utilisation de K est un artifice (qui peut ou ne peut pas représenter) les
propriétés et les effets de la turbulence dans l’ensemble de cas.
On en déduit que K/γ de l’ordre de K/ν
On posera k=.4 (la constante de Von Karman)
Soit le vent à 10 m égal à 25 m/s.
J’ai un pylone de 50 m de haut qui ne résiste pas à des vents supérieurs
à 35 m/s à 50 m.
Que va-t-il se passer? Sachant que la hauteur de rugosité de la surface est
de .05 m.
Que se passera-t-il si cette hauteur passe de 1m à 1 cm
Exercice:
= 1.448 m/s
z0=.01
U50 = 42.5 m/s flambe
« terrain homogène ».
La vitesse de frottement et le vent connaissant le vent à un niveau sur
Si la question posée n’est pas réaliste elle illustre cependant que pour la
hauteur de rugosité définie on est capable d’estimer près de la surface
z0= .01 U50 = 30.8 m/s résiste
z0=1
z0= .05 U50= 32.5 m/s résiste
= 4.34 m/s
z0= 1
Pour z0= .05 u*= .4*25/ Ln(10/.05) = 1.887 m/s
Et U*= Uk/Ln(z/z0)
Soit u50 -25= U* /k (Ln (50/10))
U=(U* /k) Ln (z/z0)
Comme rien n’est dit sur la stabilité on va supposer le cas neutre
Corrigé:
0
20
40
60
80
100
120
0
2
4
vent "neutre"
vent "instable"
vent "stable"
6
exercours2006
8
10
12
t1
t2
h2
h1
t3
la turbulence « mélange » : une partie
de l’inversion et la région h1 h2 devient
neutre. Travail associé au transport de
particules verticalement alors que le
sommet de la couche est « stable statiquement »
à h existence d’un flux d’air chaud vers le bas
traduisant un « entraînement ». Au temps t3 le
processus se répète
existence d’un Δθ
Γ = gradient de température potentielle à h
Comment la simuler?
Cas de ciel clair avec de la convection « sèche » bien développée
L’évolution de l’inversion matinale:
C’est un sujet de recherche encore d’actualité
En fait c’est beaucoup plus compliqué que cela et l’entraînement
Doit prendre en compte d’ autres facteurs:
Divergence synoptique
Cisaillement de vent à h (ou autour)
Oscillations d’ondes de gravité
Couches d’inversion multiples …
A qui est supposé être égal à .1 ou .2 selon les auteurs: n’est pas
Une constante universelle et peut atteindre de grandes valeurs
Dubosclard 1982.
Δθ ∂h/∂t = -A Q0/ρCP avec Q0 le flux de chaleur au sol
Au niveau de l’inversion on observe en général un flux de chaleur
Négatif résultant de l’entraînement d’air chaux vers le bas
On montre que si Δθ est le saut de température à h
Soit h2(t)= h2(t0) + (2c Q0/ρCp Γ )t
Modèle simple qui “prévoit” une évolution parabolique de la hauteur de la CL
c rend compte de l’entraînement . On a oublié le cisaillement de vent (O. Zeman
1975, les effets synoptiques et les ondes de gravité (Stull JAS 1975 a, b)
∂h2/∂t = 2cQ0/ρCpΓ
Soit donc en intégrant sur h et t
∂<θ>/∂t = -∂/∂z (<w’θ’> et que dans la CLA le flux de chaleur décroît généralement
En (1-z/h) soit Q0 =Qs(1-z/h) et la dérivée /z est donc Q0/h
Puisque :
Or ∂<θ>/∂t peut s’écrire - Q0/h ρ CpΓ avec Q0 le flux de chaleur sensible
∂h/dt = ( constante / Γ) ∂<θ>/∂t
Autrement dit si le gradient de température est grand, la “montée ou
L’érosion de l’inversion “ sera faible, s’il est petit elle sera forte et l’élévation de
Température joue également son rôle .
Soit donc la variation temporelle de la hauteur de l’inversion h