Pavage du plan - MATh.en.JEANS

Pavage du
plan
Lycée Louis
Lapicque
EPINAL
BOULAY Florian
REMY Quentin
ETIENNE Maxime
NESTI Valentin
celui qui lit cette phrase appelle le numéro 06-80-56-27-59!!!

Sommaire
Introduction ....................................................................................................... 3
I Définition ......................................................................................................... 4
A - Définition du pavage .............................................................................. 4
B - Pavages de parallélogrammes ............................................................... 4
C - Travail sur les polygones réguliers ..................................................... 5
II Présentation de figures ............................................................................. 8
A - Quadrilatères ......................................................................................... 8
1 Quadrilatères concaves ........................................................................ 9
2 Quadrilatères convexes ..................................................................... 10
3 Quadrilatères croisés ......................................................................... 11
B - Hexagones .............................................................................................. 12
C - Pentagones .............................................................................................. 14
1 Pentagones réguliers ........................................................................... 14
2 Pentagones avec lesquels il est possible de paver ....................... 15
Conclusion .......................................................................................................... 17
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Introduction
Le projet MATh EN JEANS nous fut présenté par Stéphane
Gaussent et nos travaux ont été dirigés par Stéphane Passerat.
Nous avons choisi le pavage du plan car c'est un problème concret
auquel on peut trouver des applications au quotidien, par exemple
lorsque l'on tente de carreler une pièce. Nous avons travaillé une
heure par semaine jusqu'en Mai.
De plus ce problème ne nécessite pas de grandes connaissances mais
plutôt une logique surhumaine =). Seules les bases géométriques et
mathématiques sont nécessaires.
Le voyage à Paris nous a également motivé pour rencontrer d'autres
« chercheurs » comme nous et voir leurs travaux. Nous avons fait
deux animations à Paris devant une trentaine de personnes à chaque
fois.
Nous avons tout d’abord trouvé une relation permettant de paver
avec des polygones réguliers. Puis, nous avons démontré que l’on
pouvait paver avec n’importe quel quadrilatère (convexe et concave).
Ensuite, nos recherches se sont portées sur quelques hexagones et
pentagones. Enfin, nous avons remarqué qu’un pavage de
parallélogrammes peut-être pris comme un repère.
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I Définition
A - Définition du pavage
Un pavage est une façon de remplir un espace à l’aide d’un motif
répétitif sans trou ni débordement.
B - Pavages de parallélogrammes
À partir d’un parallélogramme ABCD, on crée un repère (A;
AB
;
AD
).
Les autres parallélogrammes pavant le plan s’obtiennent par des
translations de vecteurs
X AB
et
Y AD
avec
X
et
Y
des valeurs
entières.
Soit
Px ; y 
dont les coordonnées sont données dans le repère
(A;
AB
;
AD
) (voir figure page suivante). Nous allons essayer de
déterminer les translations nécessaires pour obtenir le
parallélogramme recouvrant P.
La partie entière de x correspond à la valeur de
X
.
La partie entière de y correspond à la valeur de
Y
.
Dans le cas particulier où x et/ou y sont entiers, la valeur de
X
et/ou de
Y
auront deux valeurs possibles : soit la valeur de x et/ou
de y, soit x-1 et/ou y-1.
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C - Travail sur les polygones réguliers
Théorème :
1- Autour d’un point au centre d’un polygone on obtient une addition
de triangle isocèle. Avec
p
le nombre de triangles isocèles et
n
le
nombre de côtés du polygone, on a la relation :
p − 2
n
=2
équivaut à
1
p1 n=1
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2- Avec
x
l’angle entre les côtés qui se touchent et
n
le nombre de
côtés des polygones :
− 2
n=x
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