Cosinus – Sinus – Tangente dans le triangle rectangle
publicité
Cosinus – Sinus – Tangente dans le triangle rectangle _____________ Soit le triangle ABC rectangle en A : B Côté opposé hypothénuse Côté adjacent A C I Cosinus C : cosC = côté adjacent hypothénuse 0 ≤ cosC ≤ 1 pour 0 ≤ C ≤ 90° A quoi ça sert ? a) Calcul de la mesure de l’angle C : côté adjacent AC ⎛ AC ⎞ cosC = = donc C = cos-1 ⎜ ⎟ hypothénuse BC ⎝ BC ⎠ exemple : si AC = 12 et BC = 17 alors côté adjacent AC 12 ⎛ 12 ⎞ cosC = = = donc C = cos-1 ⎜ ⎟ ≈ 45° hypothénuse BC 17 ⎝ 17 ⎠ b) Calcul du côté AC : côté adjacent AC cosC = = hypothénuse BC donc AC = BC x cosC exemple : si C = 25° et BC = 15 alors côté adjacent AC cosC = = donc AC = BC x cosC = 15 x cos 25° ≈ 13,6 hypothénuse BC c) Calcul de l’hypothénuse BC : côté adjacent AC cosC = = hypothénuse BC ⎛ AC ⎞ donc BC = ⎜ ⎟ ⎝ cosC ⎠ exemple : si C = 35° et AC = 12 alors AC côté adjacent AC ⎛ 12 ⎞ cosC = = BC = donc BC = ⎜ ⎟ ≈ 14,6 hypothénuse BC cos C ⎝ cos 35° ⎠ II Sinus C : sinC = côté opposé hypothénuse 0 ≤ sinC ≤ 1 pour 0 ≤ C ≤ 90° A quoi ça sert ? a) Calcul de la mesure de l’angle C : côté opposé AB ⎛ AB ⎞ = donc C = sin-1 ⎜ sinC = ⎟ hypothénuse BC ⎝ BC ⎠ exemple : si AB = 9 et BC = 17 alors côté opposé AB 9 ⎛ 9 ⎞ = = donc C = sin-1 ⎜ ⎟ ≈ 32° sinC = hypothénuse BC 17 ⎝ 17 ⎠ b) Calcul du côté AB : côté opposé AB = sinC = hypothénuse BC donc AB = BC x sin C exemple : si C = 25° et BC = 15 alors côté opposé AB = donc AB = BC x sin C = 15 x sin 25° ≈ 6,3 sinC = hypothénuse BC c) Calcul de l’hypothénuse BC : côté opposé AB = sinC = hypothénuse BC ⎛ AB ⎞ donc BC = ⎜ ⎟ ⎝ sinC ⎠ exemple : si C = 35° et AB = 8 alors AB côté opposé AB = BC = sinC = hypothénuse BC sin c ⎛ 8 ⎞ donc BC = ⎜ ⎟ ≈ 13,9 ⎝ sin 35° ⎠ III Tangente C : tanC = côté opposé côté adjacent 0 ≤ tanC < ∞ pour 0 ≤ C < 90° A quoi ça sert ? a) Calcul de la mesure de l’angle C : côté opposé AB ⎛ AB ⎞ = donc C = tan-1 ⎜ tanC = ⎟ côté adjacent AC ⎝ AC ⎠ exemple : si AC = 12 et AB = 7 alors côté opposé AB 7 ⎛ 7 ⎞ = = donc C = tan-1 ⎜ ⎟ ≈ 30° tanC = côté adjacent AC 12 ⎝ 12 ⎠ b) Calcul du côté AB : côté opposé AB = tanC = côté adjacent AC donc AB = AC x tan C exemple : si C = 20° et AC = 11 alors côté opposé AB = donc AB = AC x tan C = 11 x tan 20° ≈ 4 tanC = côté adjacent AC c) Calcul du côté AC : côté opposé AB = tanC = côté adjacent AC ⎛ AB ⎞ donc AC = ⎜ ⎟ ⎝ tanC ⎠ exemple : si C = 40° et AB = 9 alors côté opposé AB AB = AC = donc AC = tanC = tan C côté adjacent AC 9 ⎛ ⎞ ⎜ tan 40° ⎟ ≈ 10,7 ⎝ ⎠ IV Formules utiles : tanC = sin C cos C sin² C + cos² C = 1 ce qui signifie (sin C)² + (cos C)² = 1