La calculatrice dans le programme de Ts et document ressource

Loi normale et
calculatrice
Exercice 1:
Courbes de croissance et normalité !
Objectifs visés :
- Utilité de la loi normale dans un
problème qui concerne directement
les élèves, lié à la svt (biostatistique).
-Lecture graphique de la plage de
normalité .
- Utilisation de la calculatrice
-Regard critique sur le modèle utilisé.
m+2
m+
m
Quelques lectures graphiques :
- Taille moyenne d’un garçon de 16 ans.
58 kg - Comment lire l’écart type de la
série concernant les garçons âgés de 16
ans?
- Zone de normalité = [m – 2  ; m– 2  ]
Que peut-on dire d’un garçon de 16 ans
pesant 48 kg?
- Observer l’écart type de la série lorsque
l’âge de l’enfant augmente ? Expliquer.
10 kg
16 ans
5 kg
Quelques calculs à présent:
On considère que le poids X d’une population de garçons
de 16 ans suit une loi N(μ,σ²).
Précisez la loi de probabilité suivie.
On choisit au hasard un garçon de 16 ans.
- Calculer la probabilité qu’il pèse entre 46 et 70 kg ?
- Calculer la probabilité qu’il pèse moins de 50 kg ?
Pour Calculer P(a<X<b):
Menu
DISTRIBUTION
Sélectionner
2 : normalcdf(
Compléter les
paramètres.
Exemple :
Lorsque X suit une loi normale de moyenne m = 58 et d’écart type  = 6.
P(46<X<70) = normalcdf (46,70,58,6) ≈ 0,954
Pour Calculer P(X<b):
1. Soit on calcule une valeur approchée en
calculant P(a<X<b) avec a = – 1099 par
exemple.
2. Soit on utilise les propriétés de symétrie de la
courbe de gauss.
si b<m , P(X<b) = 1/2 – P(b<X<m)
si b>m, P(X>b) = 1/2 + P(m<X<b)
Exemple :
Lorsque X suit une loi normale de moyenne m = 58 kg et
d’écart type  = 6 kg.
P(X<50) = normalcdf (-10^99,50,58,6) ≈ 0 ,091
ou P(X<50) = 1/2 - normalcdf (50,58,58,6)
50 58
aire sous la courbe = 1
Et encore un calcul !
« 3/4 des garçons âgés de 16 ans pèsent moins de x kg .»
Déterminer x.
Pour Calculer P(X<a) = k (où k est
un nombre donné entre 0 et 1.)
Menu
DISTRIBUTION
Sélectionner
3 : invNorm(
Exemple :
Compléter les
paramètres.
X suit une loi normale de moyenne m = 58 et d’écart type  = 6.
Déterminer a tel que P(X<a) = 0,75.
a = InvNorm (0,75,58,6) ≈ 62 kg
- Pensez-vous que cette répartition des poids soit représentative du poids des
garçons de 16 ans en 2013 ?
Voici les courbes issues du carnet de santé, mis à jour en 2006.
97 %
75 %
25 %
3%
Exercice 2:
Degré d’usure d’un câble…
Objectifs visés :
- Compréhension de l’influence de l’écart type sur une loi normale
- Utilisation de la loi normale pour résoudre un problème concret.
Ci-dessous, sont représentées les mesures effectuées :
- la première semaine d’utilisation
- après trois mois d’utilisation intensive.
4000
Mesures rangées par classe
3500
3000
Effectifs
2500
2000
1500
1000
500
0
-500
25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 65 67 69
Mesures en mm
- Quelle courbe représente les mesures
effectuées la première semaine ?
Loi normale de paramètres m = 45 mm et  = 1mm.
On change le câble lorsque l’écart type initial est multiplié par 5.
- Le câble casse lorsque son diamètre est inférieur ou égal à 38 mm.
Quelle est la probabilité que le câble casse la première semaine ?
Et lorsque l’on se décide à changer le câble?
- Le câble endommage le treuil lorsque son diamètre excède 50 mm.
Quelle est la probabilité d’abimer le treuil au bout d’une semaine
d’utilisation ?
Et lorsque l’on se décide à changer le câble ?
Le câble casse lorsque son diamètre est inférieur ou égal à 38 mm
Le câble endommage le treuil lorsque son diamètre excède 50 mm.
L’ingénieur décide de changer le câble lorsque le risque de
casse ou d’endommagement atteint 10%.
- Quelle est la valeur que l’écart type ne doit pas dépasser ?
On cherche le plus petit écart type s tel que :
P( 38<X<50) < 0,9
Précisions sur le tableur:
Pour Calculer P(X<B)
Lorsque l’argument est FAUX (au lieu
de VRAI), on obtient la valeur de la
fonction de densité
On cherche le plus petit écart type s
tel que P( 38<X<50) < 0,9
P( 38<X<50) = P(X<50) – P(X<38)
Autre méthode, un algorithme simple :
Saisir le pas X
Stocker la valeur X dans S
Tant que P(38<X<50) ≥0,9
Stocker S + X dans S
Fin du tant que
Afficher la valeur de l’écart type S.
Autres fonctionnalités de la calculatrice :
Pour représenter graphiquement une loi normale :
Penser à régler la fenêtre d’affichage !
Afficher l’écran d’édition puis dans le menu DISTR sélectionner normalpdf(
Pour représenter graphiquement P(a<X<b):
Dans le menu DISTR, sélectionner DRAW ou DESSIN, puis Ombre Norm(
Exercice 3:
Plus théorique cette fois…
Objectifs visés :
-Déterminer la valeur de ce u dont l’existence vient d’être démontrée.
- Retrouver les valeurs 1,96 et 2,58 connues par l’élève.
Pour α ∈]0,1[, il existe un unique réel positif uα tel que
P(− uα ≤ X ≤ uα )=1−α
lorsque X suit la loi normale N (0,1).
Par exemple, déterminer le nombre u tel que :
P(– u < X< u) = 1 – 0,05 = 0,95
C’est-à-dire :
P(X < – u) = 0,05/2 = 0,025
• Soit loi normale inverse: P(X<-u)=0,025
• Soit le tableau de valeurs de la fonction
u → P(-u<X<u)
On cherche l’antécédent de 0,95
- Loi normale,
- Loi binomiale,
- Calculatrice (TI et CASIO),
- Tableurs (EXCEL),
- Exercices détaillés corrigés et fichiers Excel
associés.
http://www.irem.univ-mrs.fr/Lycee-Statistique-probabilite-et-