TES_graphes_COLORATION

Comment trouver le nombre
chromatique d’un graphe ?
Nombre minimum de couleurs
Nombre maximum de couleurs
Algorithme de coloration
Le nombre chromatique d’un graphe :
c’est le nombre minimal de couleurs qu’il faut pour
colorier le graphe afin que deux sommets adjacents ne
soient jamais de la même couleur
c
b
d
a
e
g
f
Le nombre chromatique d’un graphe :
c’est le nombre minimal de couleurs qu’il faut pour
colorier le graphe afin que deux sommets adjacents ne
soient jamais de la même couleur
c
Exemple de coloration
d’un graphe
avec 3 couleurs.
b
d
a
e
g
f
Quelques remarques simples :
• Puisqu’il y a un nombre fini de sommets, il existe
toujours un plus petit nombre de couleurs. Le
problème admet toujours une solution.
• Il n’y a pas forcément unicité du « coloriage
minimum »
• Le nombre minimum de couleurs n’est pas tant
lié au nombre de sommets qu’au nombre
d’arêtes, et à la complexité du graphe.
Il n’y a pas forcément unicité du
« coloriage minimum »
Pour ce graphe, on peut trouver deux coloriages différents
avec à chaque fois 3 couleurs.
c
c
b
b
a
a
d
e
d
e
Critère du nombre minimum de couleurs
• Le nombre minimum de couleurs n’est pas tant lié au
nombre de sommets qu’au nombre d’arêtes, et à la
complexité du graphe.
Sur cet exemple, 2 graphes ont le même nombre de
sommets mais ils n’ont pas le même nombre chromatique
c
c
b
b
a
a
d
e
d
e
Question…
Comment trouver le nombre
chromatique d’un graphe ?
associé à ce problème, voici 3 problématiques importantes :
• Critère du nombre minimum de couleurs.
• Critère du nombre maximum de couleurs.
• Existe-t-il un algorithme de coloration ?
Critère du nombre minimum de couleurs
• S’il existe un sous-graphe complet à n sommets
alors il faudra au moins n couleurs.
Nbre Chromatique ≥ 3
Nbre Chromatique ≥ 4
c
c
b
b
a
a
d
e
d
e
Critère du nombre minimum de couleurs
•
S’il existe un sous-graphe complet à n sommets alors il faudra au moins n couleurs.
• LA METHODE :
TROUVER LE PLUS GRAND SOUS-GRAPHE
COMPLET.
c
b
d
a
e
g
f
Critère du nombre minimum de couleurs
•
S’il existe un sous-graphe complet à n sommets alors il faudra au moins n couleurs.
• LA METHODE :
TROUVER LE PLUS GRAND SOUS-GRAPHE
COMPLET.
c
b
d
a
Le plus grand
sous-graphe complet
a 3 sommets
e
g
f
PREMIER Critère du nombre maximum
de couleurs
• Si on trouve un coloriage possible d’un graphe
avec N couleurs, alors le nombre chromatique est
nécessairement inférieur ou égal à N.
Nbre Chromatique ≤ 3
c
Nbre Chromatique ≤ 4
b
c
b
a
a
d
e
d
e
SECOND Critère du nombre maximum
de couleurs
• Si le sommet de plus haut degré est r, alors le
nombre chromatique est nécessairement inférieur
ou égal à (r+1).
Le plus grand des degrés est de degré 3
donc
Nbre Chromatique ≤ 4
c
Le plus grand des degrés est de degré 4
donc
Nbre Chromatique ≤ 5
c
b
b
a
a
d
e
d
e
Si le sommet de plus haut degré est r, alors le
nombre chromatique est nécessairement inférieur
ou égal à (r+1).
• Démonstration :
il suffit de démontrer qu’avec (r+1)
couleurs on arrive à colorier le graphe.
(cela se fait sommet par sommet)
• Cela prouvera que (r+1) couleurs suffisent.
• Donc que le nombre chromatique est
inférieur ou égal à ce nombre.
Si le sommet de plus haut degré est r, alors le
nombre chromatique est nécessairement inférieur
ou égal à (r+1).
• Démonstration :
il suffit de démontrer qu’avec (r+1) couleurs on arrive à colorier
le graphe.
Supposons que nous ayons une palette garnie de (r+1)
couleurs.
Pour chaque sommet du graphe on peut tenir le raisonnement
suivant : ce sommet n’est pas adjacent à plus de r sommets et
le nombre de couleurs déjà utilisées pour colorer ces sommets
est donc inférieur ou égal à r.
Il reste donc au moins une couleur non utilisée dans la palette,
avec laquelle nous pouvons colorer notre sommet.
• Cela prouvera que (r+1) couleurs suffisent.
• Donc que le nombre chromatique est inférieur ou égal à ce
nombre.
Existe-t-il un algorithme de
coloration ?
• Bien que le nombre chromatique existe, il
n’existe pas d’algorithme qui donne
forcément ce nombre…d’où l’utilité de ce
qui précède : on a ainsi un encadrement
du nombre recherché.
• Il existe un algorithme de coloration qui
permet de donner une coloration possible,
mais pas forcément la meilleure !
Algorithme de coloration de
Welch et Powell :
•
•
•
•
Cet algorithme couramment utilisé permet d’obtenir une assez
bonne coloration d’un graphe, c’est à dire une coloration n’utilisant pas un
trop grand nombre de couleurs.
Cependant il n’assure pas que le nombre de couleurs utilisé soit minimum
(et donc égal au nombre chromatique du graphe).
Etape 1 : préliminaires
Classer les sommets du graphe dans l’ordre décroissant de leur degré, et
attribuer à chacun des sommets son numéro d’ordre dans la liste obtenue.
On obtient une liste ordonnée de sommets X1, X2,..Xn tels que
degré (X1) ≥ degré (X2) ≥ … ≥ degré (Xn).
Etape 2 : coloration
En parcourant la liste dans l’ordre décroissant, attribuer une couleur non
encore utilisée au premier sommet non encore coloré, et attribuer cette
même couleur à chaque sommet non encore coloré et non adjacent à un
sommet de cette couleur.
Etape 3 : test et boucle
S’il reste de sommets non colorés dans le graphe, revenir à l’étape 2.
Sinon, la coloration est terminée.
Exemple 1 : utilisation de l’algorithme
degré
4
a
sommet
3
b
3
d
3
e
2
c
2
g
1
f
c
Étape 2 :
On commence
donc par a
puis on colorie
dans la même couleur
les sommets non adjacents à a :
b
d
a
e
g
f
Exemple 1
degré
4
a
sommet
3
b
3
d
3
e
2
c
2
g
1
f
c
Étape 2 :
On commence
donc par a
puis on colorie
dans la même couleur
les sommets non adjacents à a :
c et f.
b
d
a
e
g
f
Comme il reste des sommets non coloriés, on
recommence l’étape 2
degré
4
a
sommet
3
b
3
d
3
e
2
c
2
g
1
f
c
b
d
a
Étape 2 :
On continue donc par b
e puis on colorie
dans la même couleur
les sommets non adjacents à b :
g
f
Comme il reste des sommets non coloriés, on
recommence l’étape 2
degré
4
a
sommet
3
b
3
d
3
e
2
c
2
g
1
f
c
b
d
a
Étape 2 :
On continue donc par b
e puis on colorie
dans la même couleur
les sommets non adjacents à b :
e.
g
f
Comme il reste des sommets non coloriés, on
recommence l’étape 2
degré
4
a
sommet
3
b
3
d
3
e
2
c
2
g
1
f
c
b
d
a
Étape 2 :
On continue donc par d et g
e
g
f
Et c’est fini !
Conclusion de l’algorithme :
On a trouvé UNE coloration possible avec 3 couleurs.
Le nombre chromatique est donc inférieur ou égal à 3.
c
b
d
a
e
g
f
Exemple 1 : CONCLUSION
Il faut au moins 3 couleurs, et
3 suffisent (cf dessin)
c
donc le nombre chromatique
est exactement 3
b
d
a
e
g
f
Conclusion de l’exposé :
• Puisqu’il n’existe pas d’algorithme qui donne le nombre
chromatique et un exemple de coloration minimum, on
est obligé de
chercher un encadrement du nombre
chromatique
• Nombre minimum
• Nombre maximum
• On cherche alors UNE coloration possible,
et on essaye de conclure
Exemple complet 1 :
Il existe un sous-graphe complet d’ordre 3
Donc il faut au moins 3 couleurs
c
b
d
a
e
g
f
Exemple complet :
Le plus haut degré est 4 (a)
donc il ne faut pas plus de 5 couleurs
c
b
d
a
e
g
f
Exemple complet :
• Conclusion :
3 ≤ Nbre chromatique ≤ 5
Exemple complet :
On trouve (il existe) un coloriage avec seulement 3 couleurs
donc le nombre chromatique est EXACTEMENT 3
c
b
d
a
e
g
f
Exemple complet :
• Conclusion :
Nbre chromatique = 3
Contre-exemple :
• Il n’existe pas d’algorithme qui donne le nombre
chromatique
h
b
c
a
Si on applique la
méthode de coloration
précédente…
d
f
g
e
Contre-exemple :
• Il n’existe pas d’algorithme qui donne le nombre
chromatique
h
b
c
a
d
f
g
e
Contre-exemple :
• Il n’existe pas d’algorithme qui donne le nombre
chromatique
h
b
c
a
d
f
g
e
Contre-exemple :
• Il n’existe pas d’algorithme qui donne le nombre
chromatique
h
b
L’algorithme propose donc une
solution en 3 couleurs alors que
2 suffisent…
c
a
d
f
g
e
Contre-exemple :
• Il n’existe pas d’algorithme qui donne le nombre
chromatique
h
b
c
a
en fait… 2 couleurs suffisent
d
f
g
e
Moralité :
• Il faut définir :
le nombre minimum de couleurs
le nombre maximum de couleurs
essayer un algorithme de coloration
puis essayer de conclure.
Exemple complet 2 :
h
b
c
a
d
f
g
e
Exemple complet 2 :
Minimum 4 couleurs
car il existe un sous-graphe
complet d’ordre 4
h
b
c
a
d
f
g
e
Exemple complet 2 :
Maximum 5 couleurs
car le plus haut degré des
sommets est 4 (par exemple c)
h
b
c
a
d
f
g
e
Exemple 2 : algorithme de coloration
degré
4
b
sommet
4
c
4
e
3
d
h
b
c
a
d
f
g
e
3
f
2
a
1
g
1
h
Exemple 2 :
degré
4
b
sommet
4
c
4
e
3
d
h
b
c
a
d
f
g
e
3
f
2
a
1
g
1
h
Exemple 2 :
degré
4
b
sommet
4
c
4
e
3
d
h
b
c
a
d
f
g
e
3
f
2
a
1
g
1
h
Exemple 2 :
degré
4
b
sommet
4
c
4
e
3
d
h
b
c
a
d
f
g
e
3
f
2
a
1
g
1
h
Exemple 2 :
degré
4
b
sommet
4
c
4
e
3
d
h
b
c
a
d
f
g
e
3
f
2
a
1
g
1
h
Exemple 2 :
degré
4
b
sommet
4
c
4
e
3
d
h
b
c
a
d
f
g
e
3
f
2
a
1
g
1
h
Exemple 2 :
degré
4
b
sommet
4
c
4
e
3
d
h
b
c
a
d
f
g
e
3
f
2
a
1
g
1
h
Exemple 2 : CONCLUSION
Il faut au moins 4 couleurs, et
4 suffisent (cf dessin)
h
donc le nombre chromatique
est exactement 4
b
c
a
d
f
g
e
Exemple 3 : à vous de jouer…
h
b
c
a
d
f
g
e
Solution : le nombre chromatique est trois
g
f
e
a
d
b
c
h
Exemple 3 : à vous de jouer…
Exemple 4 : à vous de jouer…
h
i
l
b
c
j
a
d
k
f
g
e
Solution : le nombre chromatique est quatre
g
f
e
k
a
d
j
b
c
l
i
h
Exemple 4 : à vous de jouer…
Solution : le nombre chromatique est quatre