Présentation traitement numérique

I.Introduction
1. Rappels
•
Une chaîne numérique est constituée des éléments suivants:
{xn}
{yn}
•Les fonction d’échantillonnage et du CAN sont supposées déjà
étudiées
•Le thème de la présentation s’étend dans le rectangle de droite ,il
comprend l’étude de la transformation des échantillons numériques
{xn} d’entrée par un calculateur en une autre suite d’échantillons
numériques {yn}
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
I.Introduction
2. Série d’échantillons numériques d’entrée {xn}
•
Les échantillons sont une suite de nombres représentant l’évolution
du signal analogique d’entrée,
{xn}
80
60
40
20
Valeur
0
numérique
0
quantifiée -20
10
20
30
40
50
-40
-60
N° d'échantillon
•la valeur des échantillons est quantifiée  non continuité en ordonnée
•On a supprimé la référence temporelle, les échantillons d’entrée sont
représentés par leur numéros d’ordre, on note cette suite {xn} , la lettre x
pour désigner les échantillons d’entrée et n pour le numéro d’ordre
 non continuité en abscisse
•Si on se place en « temps réel » , on désire obtenir une suite
d’échantillons de sortie{yn} au même rythme qu’on a obtenu la suite
{xn}
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
I.Introduction
3. Architecture d’un processeur numérique
Le schéma fonctionnel d’un calculateur numérique (DSP)
horloge
Le processeur possède des
instructions spécifiques et
spécialisées (RISC)
{yn} {xn}
La vitesse de traitement
(30 à 2000 MIPS) est très
grande


Traitement parallèle
(pipeline) avec des
instructions complexes à 1
seul coup d’horloge
PROCESSEUR
NUMERIQUE
(DSP)
Multiplieur
Unité arithmétique
ROM et ev. RAM rapide
Port E/S
// ou série
Utilisation de nombreux
BUS
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
Mémoire
cache
•RAM rapide
Mémoire
Principale (RAM)
•RAM externe
I.Introduction
4. Systèmes numériques linéaires
•
Propriétés essentielles
Additivité :
La réponse de la
somme est la somme
des réponses
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
I.Introduction
4. Systèmes numériques linéaires
•
Propriétés essentielles :
Homogénéïté :
La réponse est affectée du
même facteur multiplicatif
que l’entrée
Invariance par Translation:
La réponse est décalée du
même nombre de pas (s)
que l’entrée
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
I.Introduction
4. Systèmes numériques linéaires
•
Propriétés essentielles :
Principe de superposition :
On peut décomposer {xn} en
séquences plus simples, étudier les
réponses séparément, et les
recomposer en faisant la somme. La
réponse {yn} est celle de l’entrée {xn}
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
I.Introduction
5. Représentation des nombres entiers sur 16 bits signé
Les processeurs utilisés en
traitement numérique du signal
sont souvent à virgule fixe et à
16 bits (32 bits) les nombres
x(n) sont limités entre +32767
et - 32767
Signal d’entrée
1 bit
signe
15 bits valeur absolue
32767 = 215 - 1
+ ou -
Nombre x(n)
32767
- 32767
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
II.Equation de Récurrence
1. Conséquence du principe de linéarité: équation de récurrence
•
Calcul de l’échantillon de sortie d’indice n , yn
Principe de causalité :
yn dépend que des états
précédents de l’entrée donc des
xp avec p ≤ n et éventuellement
des états précédents de la sortie
donc des yq avec q ≤ n –1 ,
l’ordre des échantillons est
alors calqué sur l’écoulement
du temps

Principe de linéarité :
yn  f ( x n , x n-1 , ., yn-1 , yn-2 )
yn est obtenu comme une
combinaison linéaire des xp et yq
Le contraire est impossible si le
système est linéaire
yn  a0 xn  a1 xn1  a2 xn2  ...  b1 yn1  b2 yn2  ...
p
q
i 0
j 1
yn   ai xn i   b j yn  j
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
Équation de récurrence
ai et bj  
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
II.Équation de Récurrence  H(z)
2.
•
Définition d’un outils de calcul symbolique H(z)
On convient que le retard R d’une unité à la prise d’échantillon est
équivalent à une multiplication par z-1
p
q
i 0
j1
y n   a i x n i   b j y n  j
p
q
y n   a i x n i   b j y n  j
i 0
q
Y   b jz
R
yn
j1
p
Y   a i z  i  X
i 0
z-1
retard d’une unité 
Multiplication par z -1
Calcul symbolique !
q

  p
 j 
 i  


Y1   b jz     a i z X

 j1
  i 0
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
R (Y)= z-1.Y
Y
j1
 j 
yn-1
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
H ( z) 
Y
X
?
II.Équation de Récurrence  H(z)
2. Définition d’un outils de calcul symbolique H(z), propriétés
H(z) 
Transmittance en z :
Quotient de 2 polynômes en z
 p

  a i z i  
 i 0

q


 j
1   b j z 


j

1


On repasse très facilement de H(z) à l’équation de récurrence:
p
q
i 0
j1
y n   a i x n i   b j y n  j
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
II.Équation de Récurrence  H(z)
2. Définition d’un outils de calcul symbolique H(z), propriétés
Transmittance en z :
Propriétés principales : mise en cascade de deux processus numériques
{tn}
{xn}
H1(z)
{yn}
H2(z)
{yn}
{xn}
H(z) = H1(z). H2(z)
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
On peut déterminer
directement {yn} avec
H(z) et en repassant à
l’équation de récurrence
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
II.Équation de Récurrence  H(z)
2. Définition d’un outils de calcul symbolique H(z), propriétés
Transmittance en z :
Propriétés principales : addition de deux processus numériques
{xn}
H1(z)
H2(z)
{y1n}
+
{yn}
{y2n}
{yn}
{xn}
H(z) = H1(z)+ H2(z)
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
Ici aussi on peut
déterminer directement
{yn} avec H(z) et en
repassant à l’équation de
récurrence
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
II.Equation de Récurrence
3. Diagrammes permettant la programmation dans un calculateur
•
On note le retard d’une unité à la prise d’échantillon par R
a0
xn
+
multiplication
+
yn
addition
R
R
a1
+
+
b1
R
R
a2
R
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
+
+
b2
Diagramme N°1
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
R
Retard =
mise en
mémoire
II.Equation de Récurrence
2.
Diagrammes permettant la programmation dans un calculateur
•
Autre diagramme possible plus efficace (variable intermédiaire dn)
+
a0
dn
xn
R
yn
R
multiplication
+
b1
R
+
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
Retard =
mise en
mémoire
a1
+
a2
+
R
b2
R
+
R
Diagramme N°2
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
III.Processus RIF et non RIF
1. Définitions
Processus RIF :
à réponse impulsionnelle finie
Ces processus ne font appel
qu’aux échantillons d’entrée {xn}
p
y n   a i x n i
i 0
Processus non RIF (dits RII) :
à réponse impulsionnelle infinie (?)
Ces processus ont une équation de
récurrence avec des termes en y
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
p
q
i 0
j1
y n   a i x n i   b j y n  j
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
III.Processus RIF et non RIF
1. Processus RIF , réponse impulsionnelle
p
y n   a i x n i
i 0
Stabilité : un processus est dit stable si sa réponse
impulsionnelle tend vers 0 pour n  
Un processus RIF est stable car les ai sont en
nombre fini donc yn 0 lorsque n  
•
à partir de yp+1 toutes les valeurs de la réponse
impulsionnelle du processus sont nulles
•
La réponse impulsionnelle d’un processus RIF est la
suite des coefficients ai
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
III.Processus RIF et non RIF
2. Processus non RIF (ou RII) , réponse impulsionnelle
p
q
i 0
j1
y n   a i x n i   b j y n  j
Un processus non RIF fait
intervenir les états précédent de la
sortie  ceci est cause d’une
instabilité éventuelle
•
Suivant les valeurs données aux bj le processus RII
peut-être stable ou instable
•
Les processus RII linéaires dans les conditions réelles
sont ceux qui restent stables : yn 0 pour n  
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
III.Processus RIF et non RIF
3. Exemple : Moyenne glissante à 5 coefficients , modèle RIF
4
yn  
i 0
1
x n i
5
La sortie se calcule comme la
moyenne de 5 états présent et
précédents de l’entrée
•
Le processus est évidemment stable
•
Sa transmittance vaut : H(z) 
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon

1
1  z 1  z  2  z 3  z  4
5
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal

III.Processus RIF et non RIF
3. Exemple : Moyenne glissante à 5 coefficients , modèle RII
4
yn  
i 0
4
y n -1  
i 0
1
x n i
5
1
x n i 1
5
1
1
y n  x n  x n 5  y n -1
5
5
Même réponse
impulsionnelle !
•
Le processus est aussi stable malgré l’étiquette RII
•
Sa transmittance vaut :
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon

1 1  z 5
H(z) 
5 1  z 
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal

III.Processus RIF et non RIF
3. Exemple : Moyenne glissante à 5 coefficients , Conclusion
4
yn  
i 0
1
x n i
5
H(z) 

1
1  z 1  z  2  z 3  z  4
5

1 1  z 5
H(z) 
5 1  z 
1
1
y n  x n  x n 5  y n -1
5
5

•
Les réponses impulsionnelles sont identiques, donc
les 2 processus sont équivalents
•
Les 2 transmittances sont égales car on a :
1  z   1  z 1  z
5
1
 z  2  z 3  z  4

pour z  1
•Mais ces 2 processus ne se programment pas de la même
façon
(expérience1 TMS320RIF)
lancerexpRIF
lancerexpRII
5 juin 2002 (expérience2 TMS320RII)
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
Franz Dettling Avignon

IV.Problèmes liés à l’utilisation de systèmes
numériques
1. Théorème de shannon , condition de Nyquist
f max
•
Si l’échantillonnage ne respecte pas le théorème de
Shannon : le processus numérique manipule des
nombres qui ne représentent plus le signal d’entrée
(expérience TMS320)
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
fe

2
IV.Problèmes liés à l’utilisation de systèmes numériques
2. Problème de résolution d’équations différentielles du premier ordre du type

•
ds
 s (t )  K .e(t )
dt
(exemple sous excel dû à M. Rigat)
Si Te est suffisamment petit on peut faire l’approximation (arrière)
à l’instant TE :
ds snTE   s(n  1)TE 

dt
TE
L’équation différentielle est alors ramenée à
l’équation de récurrence
•



sn 
sn1 
 K .en 
 
TE


1
TE
1
On peut aussi utiliser l’approximation (avant)
ds s(n  1)TE   s(nTE 

dt
TE
On arrive à une autre équation de récurrence:
 TE  TE
sn  sn 1    .K .en1
1
   
 Si Te devient trop grand par rapport à  les 2 approximations sont très
différentes
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal
ANNEXE: Bibliographie
• « Digital Signal Processing » de Steven Smith (en anglais) réédité en
1999 disponible sur internet à www.dspguide.com
Éditeur :California Technical Publishing
• « Les DSP – Famille ADSP218x… » de Michel Pinard en français édité
en 2000 par Dunod
• « Précis d’électronique 2ème Année» de Jean -Luc Azan édité en 2001
par Bréal
• « Toute l’électronique en exercices » d’ Isabelle Jelinski édité en 2000
par Vuibert
• « Cours d’électronique numérique et échantillonée » de A.Deluzurieux et
M. Rami édité en 1991 par Eyrolles
•«»
5 juin 2002
Franz Dettling Avignon
BTS_IRIS_Traitement_numérique_du_signal