Chapitre 4

IFT-66975
Contourner la NP-complétude

Que faire face à la NP-complétude?
Pour une application précise, je veux
trouver la plus grande clique possible dans
un graphe ou répartir une tâche de façon
optimale, ou satisfaire simultanément un
ensemble de clauses booléennes.
Mais CLIQUE, SWI, SAT sont NP-complets!
Est-ce la fin du monde?
R: Peut-être... mais il y a un peu d’espoir si
on réduit nos exigences ou nos attentes.

1. S’assurer que l’on ne fait pas face à un
sous-cas relativement simple d’un
problème NP-complet.
L’application nous fournit-elle des
informations additionnelles sur les
instances?
problèmes sur des classes de graphes
relativement simples;
2-SAT, Horn-SAT, 2-COL, ...
Algorithmes pseudo-polynomiaux et NP-
complétude forte.

2. Pour les problèmes d’optimisation, on
peut souvent obtenir un algorithme
efficace qui trouve une solution quasi-
optimale.
Possible dans plusieurs cas mais avec une
qualité d’approximation très variable.
Nouvelles classes de problèmes: PTAS,
FPTAS, APX.
Résultats d’inapproximabilité.

3. Réduire l’explosion du temps de calcul
à un paramètre relativement petit.
Par exemple: trouver une couverture par
sommets de taille k est réalisable en
temps O(1.27k+ |V|). Pas si mal si on
cherche des petites couvertures dans un
grand graphe.
Un temps O(f(k) nc) n’est pas
déraisonnable si k est très petit mais
O(nf(k)) ne l’est pas.
Problèmes traitables pour paramètre fixe
(FPT), réductions paramétrées.
W[1]-complétude.