Champ électrique au-dessus d`un paratonnerre

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Exemple
Champ électrique au-dessus d’un paratonnerre
-
- -
- - -
+ +
+
+
+
À l’approche d’un nuage, il arrive souvent
que la pointe d’un paratonnerre devienne
chargée positivement par induction durant
un orage.
La densité de charge augmente alors vers
la pointe.
Si le champ électrique devient trop
intense, il va ioniser l’air et produire une
décharge électrique.
Le paratonnerre protège donc la maison
contre cette décharge électrique.
1
Champ électrique au-dessus d’un paratonnerre
- -- - - E
+
+++
+
E
E
E
+
+
Le champ électrique
polarise les molécules
d’air.
+
-
Les molécules s’allongent
jusqu’à l’ionisation.
+
+ ++
+
-
La décharge électrique se
produit par la suite.
2
Exemple : Calcul du champ électrique au-dessus du
paratonnerre
Situation :
Question: Déterminez la valeur du champ
électrique à 10,0 m au-dessus du paratonnerre.
E
Données :
10,0 m
La longueur du paratonnerre est de 10,0 m
et l’ on suppose que la densité linéaire de
charge augmente de la façon suivante:
+
10,0 m
+
+
+
+
+
 ( y)  3x10 6 y
C/m
y
x
Problème : Je cherche E à 10,0 m audessus du paratonnerre?
Solution possible: J’utilise l’expression du champ produit
par une charge ponctuelle et je procède par intégration
dE y 
kdq
r2
3
Solution
dq
dE y  k 2
r
possible :
dEy
10,0 m
r
+
10,0 m
 ( y )  3 x10 6 y
dq
Ey   k 2
r
y ou r est la variable ?
On a r + y = 20
L’intégrale est plus simple en gardant r
+
+
+
+
dq
+
y
Autrement , il faut remplacer r = 20- y
dans l’intégrale
Il faut donc la relation entre dq et dr
puisque r est la variable
Transformation de l’élément de charge dq
dq  3x106 ydy
dq   ( y )dy
dq  3x106 (20  r )dr
Puisque dy = dr
4
dq
Ey   k 2
r
dq  3x106 (20  r )dr
Solution
possible :
0n obtient
dEy
10,0 m
r
+
10,0 m
+
+
+
+
+
(20  r )
E y   k  3 10
dr
2
r
6
Bornes: Variation de r ?
r varie de 10 m à 20 m
dq
y
(20  r )
E y   kx3x10
dr
2
10
r
20
6
(20  r )
E y  kx3x10 
dr
2
10
r
6
20
5
20
E y  kx3x10 
6
Solution
10
possible :
E
(20  r )
dr
2
r
20
20
6 1
E y  kx3x10  2 dr  kx3x10  dr
10
10 r
r
6
20
20
  20 
6


E y  kx3x10 

k
x
3
x
10
ln
r

10
r

10
E y  8285
N/C
20
6
10,0 m
+
10,0 m
+
+
+
+
+
Résultat probable :
D’après mes calculs, le champ
électrique à 10,0 m au-dessus du
paratonnerre est donnée par :


E  8,29 j
kN/C
6
Solution
possible :
E
On pourrait également
calculer la charge totale du
paratonnerre de la façon
suivante :

Q  dq 
10,0 m
10,0 m

3x10 6 ydy
0
+
+
+
+
+
10
Q  150
C
+
7
dq
Ey   k 2
r
Solution
dq  3x106 (20  r )dr
(20  r )
E y   k  3 10
dr
2
r
6
possible :
dEy
Variation de r ?
r varie de 10 m à 20 m
10,0 m
r
+
10,0 m
+
+
+
+
+
(20  r )
E y   kx3x10
dr
2
10
r
20
dq
6
(20  r )
E y  kx3x10 
dr
2
10
r
20
20
20
6
6 1
E y  kx3x10  2 dr  kx3x10  dr
10
10 r
r
y
6
20
8
20
  20 
6


E y  kx3x10 

k
x
3
x
10
ln
r

10
 r 10
20
6
Solution
possible :
E
  20  20 
E y  kx3x10 


10 
 20
6
10,0 m
+
10,0 m
+
+
+
+
 kx3x10  6 ln 20  ln10
E y  kx3x106 1  kx3x106 (ln 2)
+
E y  27x103 1  27x103 (ln 2)
9
E y  kx3x106 1  kx3x106 (ln 2)
Solution
possible :
E
E y  8285
10,0 m
+
10,0 m
E y  27x103 1  27x103 (ln 2)
+
+
+
+
+
N/C
Résultat probable :
D’après mes calculs, le champ
électrique à 10,0 m au-dessus du
paratonnerre est donnée par :


E  8,29 j
kN/C
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