enveloppe convexe

2007 - 2008
Master SIS
Université de la méditerranée
1
I – Introduction
II – Les différentes parties
III – Conclusion
2

Mettre en œuvre quelques algorithmes
importants d’enveloppe convexe et de
triangulation de Delaunay à la fois en 2D et
en 3D.
3

Enveloppe convexe:
 L'enveloppe convexe d'un ensemble de
points est l‘ensemble convexe le plus petit
parmi ceux qui le contiennent.
 Exemple en 2D:
4

Enveloppe convexe
 Algorithme : Jarvis
○ Le point le plus bas
○ Basculement de demi droite
 Algorithme : Graham
○ Un point intérieur (barycentre)
○ Tri autour de ce point
○ Parcours depuis le point le plus bas
5

Enveloppe convexe
 Algorithmes division fusion
Mise en place d’un algorithme de ce type
 Autres types d’algorithme…
6

Triangulation de Delaunay:
 Exemple 2D :
 C’est l'unique triangulation
telle qu'un cercle passant par
les trois points d'un triangle
ne contienne aucun autre
point.
7

Triangulation de Delaunay
 Principe de la boule vide:
 Simplex
 Algorithmes a basculement d’arête :
○ Triangulation de base
○ Basculement des arrêtes
qui ne fonctionnent pas
8

Triangulation de Delaunay
 Algorithmes incrémentaux :
○ Hermeline / Watson  mise en place
○ Ajout des points et basculement des arêtes au fur et a
mesure
9
10

Quatre grandes parties :
 Enveloppe convexe 2D
 Triangulation de Delaunay 2D
 Triangulation de Delaunay Surface
○ Application sur un nuage de point 3D
 Triangulation de Delaunay 3D
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 Algorithme
mis en place:
 Les étapes:
○ Trie les points par x croissant
○ Division en 2 parties
○ Recherche de l'enveloppe convexe de chacune des parties
 Appel de cette fonction sur chaque parties
○ On fusionne les deux partie pour avoir une enveloppe convexe
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 Algorithme
mis en place:
 Division:
○ On trie les points selon les x
○ On divise chaque parties en 2
jusqu’à obtention de groupe
de 2 ou 3 points
13
 Algorithme
mis en place:
 Fusion:
14

Résultat:
15

Algorithme mis en place:
 Algorithme incrémental ( Hermeline ) :
○ Principe:
 Ajout de 4 points englobant  2 triangle
16

Algorithme mis en place:
 Algorithme incrémental ( Hermeline ) :
○ Principe:
 Ajout de 4 points englobant  2 triangle
 Prise en compte d’un point:
- Remplacement du triangle
contenant par trois triangle
17

Algorithme mis en place:
 Algorithme incrémental ( Hermeline ) :
○ Principe:
 Ajout de 4 points englobant  2 triangle
 Prise en compte d’un point
 Test de la boule vide pour
chaque triangle nouvellement
créer
18

Algorithme mis en place:
 Calcul du cercle circonscrit:
○ Centre : Intersection des médiatrices
19

Algorithme mis en place:
 Algorithme incrémental ( Hermeline ) :
○ Principe:
 Ajout de 4 points englobant  2 triangle
 Prise en compte d’un point
 Test de la boule vide pour chaque triangle nouvellement créer
 Basculement d’arête si le critère n’est pas respecté
20

Résultat:
21

Difficultés rencontrés
 Suppression des quatre point englobant
○ Solution: mise des points a l’infini
22

Algorithme mis en place:
○ Identique au précédent
 Sur un nuage de points 3D  projection sur le plan OXY
 Application de l’algorithme
 Visualisation en 3D
○ Utilisation:
Modélisation de terrain
23

Résultat:
24

Algorithme mis en place:
 Algorithme incrémental (Watson):
○ Le principe est le même que la triangulation en 2D avec
une dimension de supérieur:
 Ajout de 4 points englobant
 1 Tétraèdre englobant
25

Algorithme mis en place:
 Algorithme incrémental:
○ Le principe est le même que la triangulation en 2D avec
une dimension de supérieur:
 Ajout de 4 points englobant  1 tétraèdre englobant
 Prise en compte d’un point:
- Remplacement du Tétraèdre
contenant par quatre Tétraèdre
26

Algorithme mis en place:
 Algorithme incrémental:
○ Le principe est le même que la triangulation en 2D avec
une dimension de supérieur:
 Ajout de 4 points englobant  1 tétraèdre englobant
 Prise en compte d’un point:
 Test de la boule vide pour chaque tétraèdre nouvellement créer
27

Algorithme mis en place:
 Calcul de la sphère circonscrite
○ Cherche le centre du cercle circonscrit a une
face du tétraèdre
28

Algorithme mis en place:
 Calcul de la sphère circonscrite
○ Cherche le centre du cercle circonscrit a une
face du tétraèdre
○ Déplacement de ce point sur la normal à la
face jusqu’à obtention du centre de la sphère
29

Algorithme mis en place:
 Algorithme incrémental:
○ Le principe est le même que la triangulation en 2D avec
une dimension de supérieur:
 Ajout de 4 points englobant  1 tétraèdre englobant
 Prise en compte d’un point:
 Test de la boule vide pour chaque tétraèdre nouvellement créer
 Basculement de face si le critère n’est pas respecté
30

Résultat:
31

Difficultés rencontrés
 Intériorité d’un point a un tétraèdre
○ Orientation des faces
 Calcul de la boule vide
 Basculement de faces
○ En cours
 Suppression des quatre points englobant
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
Tâches réalisées :
 Enveloppe convexe 2D
 Triangulation Delaunay 2D
 Triangulation Delaunay surface
 Triangulation Delaunay 3D
○ En cours

Points en suspens :
 Triangulation Delaunay 3D
○ Basculement de face
○ Suppression des quatre points englobant
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