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Réponses temporelles des circuits électriques 1 © Metz Dec. 01 Cours de Michel METZ plan général Réponses temporelles des circuits électriques • Introduction : – bienvenue – conseils d'utilisation – objectifs du cours – position du problème • Chapitre 1 : les outils • Chapitre 2 : les circuits du 1er ordre • Chapitre 3 : les circuits du 2ème ordre • Glossaire 2 © Metz Dec. 01 << Bienvenue Ce cours correspond à une approche très physique des Régimes Transitoires des circuits électriques. Il a été développé pour répondre le plus simplement possible à des problèmes posés dans le cadre de l'étude des Convertisseurs Statiques, au sein d'une équipe d'enseignants-chercheurs du LEEI de l'ENSEEIHT/INPT, animée par le professeur Henri FOCH. Cette équipe a notamment réalisé pour les Techniques de l'Ingénieur plusieurs fascicules couvrant une partie importante de l'Electronique de Puissance (Ref. D3151==>D3177) Ce cours correspond plus précisément à la version moderne revue et augmentée des fascicules (Ref. D3151, D3156 et D3158). 3 © Metz Dec. 01 << plan général >> Conseils d'utilisation La navigation se trouve dans la barre grisée située au bas de chaque page. D'une façon générale elle permet l'accès aux pages précédente et suivante, au plan général ainsi qu'au plan du chapitre. Elle permet aussi l'accès aux exercices et à leur solution. Elle disparaît lorsque il y a une animation et réapparaît à la fin de celle-ci. Le bouton clic qui apparaît sur certaines pages, indique en fait que ces pages ne sont pas terminées. Il suffit alors de cliquer dessus pour progresser dans la page. Les liens hypertexte permettent une connexion directe sur des pages précises. Ils apparaissent en bleu souligné avant d'avoir été visités et en gris-bleu souligné après. Le glossaire comprend tous les termes qui ont fait l'objet d'un lien hypertexte. Chaque nom renvoie à la page ou ces termes sont explicités. Sur cette page, le bouton "retour" renvoie à la page où ce terme a été utilisé pour la première fois. Pour sortir de l'application, appuyer sur la touche Echap (ou Esc) 4 © Metz Dec. 01 << plan général >> Les objectifs du cours L'objectif général de ce cours est de savoir déterminer les réponses temporelles des circuits électriques à partir des informations que l'on peut obtenir par des considérations physiques simples. • Les objectifs du 1er chapitre sont : – de comprendre les notions de condition initiale, de régime libre et de régime permanent – de savoir utiliser les circuits équivalents qui leur sont associés. • Les objectif du 2ème chapitre sont : – de savoir trouver les régimes permanents correspondant à divers types d'excitations – de savoir utiliser ces résultats et les outils développés au 1er chapitre pour déterminer complètement les réponses des circuits électriques du 1er ordre. • Les objectifs du 3ème chapitre sont : – de connaître et de savoir utiliser la représentation dans le plan d'état – de savoir utiliser ces résultats et les outils développés au 1 er chapitre pour déterminer complètement les réponses des circuits électriques du 2 ème ordre. – de savoir analyser des circuits comprenant interrupteurs et éléments réactifs 5 © Metz Dec. 01 << plan général >> Position du problème • Lorsque l'on veut voyager et trouver un bon itinéraire, on prend une carte et on se pose en général trois questions : Où est-on ? • Comment y va-t-on ? Où va-t-on ? Pour savoir comment évolue une grandeur dans un circuit électrique (son itinéraire ! ) , il faut se poser le même type de questions : – d'où vient-elle ? : problème des conditions initiales – où va-t-elle ? : problème des régimes permanents (ou régimes forcés) – comment y va t-elle ? : problème des régimes transitoires 6 © Metz Dec. 01 << plan général plan du chapitre >> Position du problème : exemple • A titre d'exemple, pour connaître l'évolution du courant dans le filtre d'un convertisseur continucontinu, il faut pouvoir répondre aux trois questions : – – – quelle est la condition initiale ? quel est le régime permanent ? comment va-t-on du point de condition initiale au régime permanent, c'est à dire quel est le régime transitoire ? Régime permanent Régime transitoire Condition initiale • C'est ainsi que vous procéderez pour trouver les réponses temporelles des circuits électriques : vous serez ainsi capables pour les grandeurs considérées, de déterminer leur expression analytique et de décrire leur représentation graphique. 7 © Metz Dec. 01 plan général plan du chapitre >> Chapitre 1 : les outils • Introduction • Conditions initiales • Systèmes linéaires – Régime libre – Régime permanent 8 © Metz Dec. 01 plan général Introduction chapitre 1 • La détermination des réponses des circuits électriques repose sur – les équations des branches : i C dv / dt , v L di / dt , v Ri – les lois de Kirchhoff : v 0, i 0 qui conduisent à un système d'équations différentielles. • La résolution peut être effectuée par la transformée de Laplace ou en résolvant directement ce système différentiel. Mais dans bien des cas, on peut obtenir des résultats plus rapides en utilisant des circuits équivalents. Les outils développés ici concernent précisément ces circuits équivalents. • Ainsi seront établis successivement : – les circuits équivalents instantanés – les circuits équivalents du régime libre – les circuits équivalents continus • Ils seront présentés à partir du même circuit très classique de la figure ci-contre : C R1 e(t) R2 s(t) 9 © Metz Dec. 01 << plan général plan du chapitre >> Conditions initiales La condition initiale d'une grandeur électrique est la valeur que prend cette grandeur à l'instant initial (symbolisé communément par t = 0+ ). Cette valeur peut être égale à celle qu'elle possédait avant l'instant initial, mais cette propriété n'est vraie a priori que pour certains types de variable. Deux cas sont à envisager : • la grandeur est une variable liée à l'énergie, telle que vC (tension dans un condensateur) ou iL (courant dans une inductance). Comme cette grandeur ne peut pas subir de discontinuité, on peut affirmer que sa valeur à l'instant t = 0+ est identique à celle qu'elle avait juste avant cet instant : x ( 0 ) x ( 0 ) ainsi, il suffit de connaître x(0-) pour connaître x(0+). Cela signifie aussi, que l'on peut imposer la valeur de la condition initiale en pré-chargeant l'élément à la valeur voulue. • la grandeur n'est pas a priori une variable liée à l'énergie (tension inductance, courant condensateur, tension ou courant dans une résistance…) ; on dit qu'il s'agit d'une variable secondaire. La valeur qu'elle prend à l'instant initial n'est en général pas égale à celle qu'elle avait avant l'instant initial : x ( 0 ) x ( 0 ) (en général) la simple connaissance de x(0-) ne suffit plus alors pour déterminer x(0+). Avant de montrer comment y parvenir, nous illustrons ce problème avec un exemple très simple. 10 © Metz Dec. 01 << plan général plan du chapitre >> Conditions initiales Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... avant la fermeture de l'interrupteur, le condensateur est préchargé à v0 iR E R C Déterminons les valeurs des variables vC et iR avant et après fermeture de l'interrupteur. vC précharge v0 • vC est une variable liée à l'énergie et ne peut donc pas subir de discontinuité, donc : vC ( 0 ) v 0 • iR n'est pas une variable liée à l'énergie. Il faut donc déterminer les deux valeurs qu'elle prend avant et après fermeture de l'interrupteur •avant fermeture (instant t = 0-) : l'interrupteur étant ouvert, le courant ne peut être que nul •après fermeture (instant t = 0+), la tension condensateur est égale à v0, doù : i R ( 0 ) 0 i R ( 0 ) E v0 / R Remarques : • la valeur de iR (0+) est différente de celle de iR (0-) ; cette valeur de iR (0+) dépend en effet de l'ensemble du système : condition initiale v0 , source de tension E, topologie du circuit. Cela signifie que l'on ne peut pas imposer directement de condition initiale sur la variable secondaire iR, alors qu'on a pu le faire pour la variable principale vC. • Pour calculer iR (0+), nous avons implicitement remplacé le condensateur par une source de tension égale à v0. Lorsque les circuits sont un peu plus compliqués, on peut systématiser la procédure en utilisant les "circuits équivalents instantanés". Ces circuits sont présentés sur les pages suivantes. © Metz Dec. 01 << plan général plan du chapitre 11 >> Circuits équivalents instantanés Ces circuits équivalents reposent sur le fait que les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de discontinuité : • un condensateur conserve à l'instant t = 0+ la valeur de la tension qu'il avait avant cet instant : il se comporte donc comme une source de tension "instantanée" • une inductance conserve à l'instant t = 0+ la valeur du courant qu'elle avait avant cet instant : elle se comporte donc comme une source de courant "instantanée" Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous : clic © Metz Dec. 01 12 Circuits équivalents instantanés Ces circuits équivalents reposent sur le fait que les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de discontinuité : • un condensateur conserve à l'instant t = 0+ la valeur de la tension qu'il avait avant cet instant : il se comporte donc comme une source de tension "instantanée" • une inductance conserve à l'instant t = 0+ la valeur du courant qu'elle avait avant cet instant : elle se comporte donc comme une source de courant "instantanée" Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous : • Un condensateur préchargé à v0... est équivalent à une source de tension d'amplitude v0 => i0 v0 • Une inductance préchargée à i0... => est équivalente à une source de courant d'amplitude i0 i0 i0 => Cas particuliers Court-circuit v0 = 0 => Circuit ouvert i0 = 0 13 © Metz Dec. 01 << plan général plan du chapitre >> Circuits équivalents instantanés (exemple) précharge v0 C Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0 Déterminons la condition initiale de s(t) soit s(0+) : R1 e(t) s(t) R2 e(t) E 0 t clic 14 © Metz Dec. 01 << Circuits équivalents instantanés (exemple) précharge v0 C Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0 R1 e(t) e(t) E Déterminons la condition initiale de s(t) soit s(0+) : t 0 • s(t) R2 Pour cela, nous reprenons le même circuit... et nous remplaçons le condensateur... R1 E R2 s(0+) clic 15 © Metz Dec. 01 << Circuits équivalents instantanés (exemple) précharge v0 C Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0 R1 e(t) e(t) E Déterminons la condition initiale de s(t) soit s(0+) : t 0 • s(t) R2 v0 Pour cela, nous reprenons le même circuit... et nous remplaçons le condensateur... par une source de tension d'amplitude v0 R1 • Nous constatons alors que l'on a simplement : E R2 s(0+) s ( 0 ) E v0 16 © Metz Dec. 01 << plan général plan du chapitre Liens conditions initiales retour Variables liées à l'énergie : Dans le cadre des circuits électriques, l'énergie prend deux formes : • énergie électromagnétique : 1/2 LiL2 • énergie électrostatique : 1/2 CvC2 la propriété de continuité de la variable énergie (puissance finie), se transmet aux variables électriques iL et vC que l'on désigne sous le nom de variables liées à l'énergie. ==> résultat très important : les variables liées à l'énergie ne peuvent subir de discontinuité © Metz Dec. 01 17 Systèmes linéaires Les circuits électriques que nous étudions ici sont des circuits linéaires à constantes localisées et sont donc régis par des équations différentielles linéaires à coefficients constants. Ils appartiennent ainsi à la grande famille des systèmes linéaires que l'on retrouve dans tous les domaines de la physique. Ils bénéficient évidemment de leurs propriétés générales. Les propriétés fondamentales des systèmes linéaires : – la connaissance des variables d'état à un instant donné permet de déterminer l'évolution du système à tout instant. Le nombre de variables d'état définit l'ordre de complexité du système et correspond en particulier au nombre minimal de variables qu'il faut suivre simultanément. – toute variable est la somme de deux termes : x(t ) x f (t ) xl (t ) • xl(t) est la solution de l'équation différentielle homogène (sans second membre) et tend donc toujours vers zéro : elle correspond au régime libre. • xf(t) est la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre : elle correspond au régime permanent ou plus généralement au régime forcé. – Nous illustrons cette propriété fondamentale sur un exemple que nous étudierons complètement par la suite 18 © Metz Dec. 01 plan général plan du chapitre >> Systèmes linéaires k Par exemple dans le cas d'un circuit RL que l'on connecte à une source de tension sinusoïdale v(t) à l'instant t0, on trouve : R L v(t) i(t) le régime permanent if(t), qui est un courant sinusoïdal déphasé arrière i(t) le régime libre il(t), qui est une exponentielle commençant à l'instant t0 et tendant vers 0... il(t) 0 le courant i(t) qui est la somme de ces 2 composantes if(t) et il(t). t t0 if(t) v(t) Constatons sur cet exemple les résultats généraux dus à la relation x(t ) x f (t ) xl (t ) – Toute variable tend vers son régime permanent, ce qui se produit lorsque son régime libre s'est annulé (tant que le régime libre n'est pas nul, on se trouve en régime transitoire). – La connaissance des deux termes xf(t) et xl(t), permet donc de déterminer à la fois le régime permanent et le régime transitoire. 19 © Metz Dec. 01 << plan général plan du chapitre >> Systèmes linéaires (fin) • Rappel du problème Nous avons vu (position du problème) qu'il fallait savoir répondre aux trois questions : – quelle est la condition initiale ? – quel est le régime permanent ? – comment va-t-on du point de condition initiale au régime permanent, c'est à dire quel est le régime transitoire ? • Nous constatons alors que la théorie des systèmes linéaires permet de répondre aux questions concernant le régime permanent et le régime transitoire. Il faut évidemment pour cela que l'on sache effectivement déterminer les deux composantes xf(t) et xl(t). Tel est l'objet des deux prochains souschapitres. • Si l'on ajoute les résultats du sous-chapitre précédent concernant les conditions initiales (question 1), on peut considérer que le problème est virtuellement terminé. 20 © Metz Dec. 01 << plan général plan du chapitre Liens systèmes linéaires (1) Circuits linéaires à constantes localisées retour Ce sont des circuits uniquement composés d'éléments discrets linéaires tels que les résistances, les condensateurs, les inductances... Variables d'état • Les variables d'état contiennent à chaque instant une information complète sur l'état énergétique d'un système. Dans une première approche, on peut considérer qu'elles s'identifient aux variables liées à l'énergie. • Les variables d'état doivent par ailleurs, constituer un ensemble de variables indépendantes Dans les circuits électriques, il existe deux types de relations de dépendance : • les mailles capacitives • les coupures inductives De façon pratique : pour un circuit électrique donné, on prend toutes les tensions condensateur moins une par maille capacitive et tous les courants inductance moins un par coupure inductive. Ordre de complexité d'un système L'ordre de complexité d'un système, que l'on appelle plus simplement "ordre d'un système" peut être défini de plusieurs façons équivalentes : • il est égal au nombre de variables d'état, c'est à dire au nombre d'éléments réactifs moins le nombre de mailles capacitives, moins le nombre de coupures inductives • il est égal au nombre de conditions initiales que l'on peut effectivement imposer. Cette deuxième approche, plus physique, repose sur les considérations suivantes : * on ne peut imposer de condition initiale que sur les variables liées à l'énergie, c'est à dire dans les éléments réactifs * dans une maille capacitive (coupure inductive), la relation de dépendance entre les n tensions condensateur (courants inductance) est également valable pour les conditions initiales : si n - 1 conditions initiales sont imposées, la nième résulte forcément des autres et ne peut donc être imposée, donc : Ordre = néléments réactifs - nmailles capacitives - ncoupures inductives © Metz Dec. 01 21 Liens systèmes linéaires (2) retour Régime permanent et régime forcé Le régime permanent correspond à la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre. Il est atteint lorsque le régime libre s'est annulé. Le terme "régime permanent" fait implicitement référence à un régime continu ou périodique comme c'est le cas par exemple lorsque l'excitation est continue, sinusoïdale, rectangulaire… Dans le cas où l'excitation n'est pas périodique (en forme de rampe par exemple), la solution particulière peut exister mais elle ne peut être ni périodique ni même bornée. Le terme "régime permanent" ne convient plus ; on utilise alors celui de "régime forcé". On peut parler également de "régime attractif". On retiendra que le terme "régime forcé" est utilisé dans le même sens que "régime permanent" mais correspond à une notion plus générale. De façon pratique, on utilisera dans ce cours le terme "régime permanent" le plus souvent possible, parce que cela correspond à l'usage le plus répandu. Nous utiliserons le terme "régime forcé" uniquement lorsque cela sera nécessaire, dans les cas où il n'y a pas de régime permanent (voir Ch. 2 : Réponse à une rampe). © Metz Dec. 01 22 Liens systèmes linéaires (3) retour Mailles capacitives Une maille capacitive est une maille dans laquelle il n'y a que des sources de tension et des condensateurs. Dans l'exemple présenté sur la figure, la maille matérialisée par la flèche est effectivement une maille capacitive. La loi des mailles s'écrit alors : v - vC1 - vC2 = 0 vC1 et constitue donc une relation de dépendance entre les deux variables vC1 et vC2. L'une des deux pourra être choisie arbitrairement comme variable d'état, l'autre sera alors considérée comme une variable secondaire. v vC2 On notera cependant que cette variable déclarée comme secondaire conserve évidemment la propriété de continuité propre à toute variable liée à l'énergie. On notera également qu'une résistance série de très faible valeur dans cette maille suffit à lui retirer son caractère "capacitif" et permet donc de traiter les deux variables de façon symétrique, comme des variables d'état. C'est une "astuce" couramment utilisée dans les logiciels de simulation. © Metz Dec. 01 23 Liens systèmes linéaires (4) retour Coupures inductives 1) qu'est-ce qu'une coupure ? Rappelons q'une maille est constituée par un ensemble de branches pour lesquelles on a : v =0 Par dualité, on est amené à définir ce que l'on appelle une coupure constituée d'un ensemble de branches pour lesquelles on a : i i4 Considérant le graphe d'un circuit de la figure ci-contre, il est facile de voir que l'on a : i1 + i2 + i3 = 0 C'est la classique loi des nœuds. Mais on voit aussi que l'on a : i1 + i4 + i5 = 0 (Système isolé) Ainsi les 3 branches 1,4 et 5 constituent une coupure. L'ensemble des branches liées à un nœud n'est en fait qu'un cas particulier d'une coupure. De façon pratique, pour trouver une coupure, il suffit de tracer une ligne fermée entourant au moins un nœud (figure ci-contre). Les branches traversées par cette ligne constituent une coupure. Ainsi la ligne a définit une coupure à 3 branches qui n'est qu'un nœud. La ligne b définit une coupure à 3 branches, la ligne c une coupure à 4 branches. Il y en a beaucoup d'autres ! =0 i2 i3 i1 i5 a b c 2) coupures inductives Une coupure inductive est une coupure constituée uniquement de sources de courant et d'inductances Dans l'exemple présenté sur la figure, la coupure matérialisée par la ligne en pointillé est effectivement une coupure inductive. On a alors : j + iL1 + iL2 = 0 ce qui constitue une relation de dépendance entre les deux variables iL1 et iL2. L'une des deux pourra être choisie arbitrairement comme variable d'état, l'autre sera alors considérée comme une variable secondaire. iL1 j On notera cependant que cette variable déclarée comme secondaire conserve évidemment la propriété de continuité propre à toute variable liée à l'énergie. iL2 On notera également qu'une résistance de très forte valeur en parallèle sur les branches de cette coupure, suffit à lui retirer son caractère "inductif" et permet donc de traiter les deux variables de façon symétrique, comme des variables d'état. C'est une "astuce" couramment utilisée dans les logiciels de simulation. © Metz Dec. 01 24 Régime libre • Rappelons que le régime libre xl(t), correspond à l'équation différentielle sans second membre, c'est à dire au système sans excitation.Il tend toujours vers zéro. – sur le plan des circuits électriques, le régime libre correspond donc au circuit sur lequel on a effectué les modifications suivantes : • les sources de tension ont été remplacées par des court-circuits • les sources de courant ont été remplacées par des circuits ouverts on dit alors que l'on a rendu le circuit passif. • Pour connaître entièrement le régime libre, il faut répondre aux trois mêmes questions, c'est à dire, déterminer sa condition initiale, son régime permanent, et son évolution entre les deux. – le régime libre xl(t) tendant toujours vers 0, son régime permanent est donc toujours nul xl 0 – la condition initiale xl(0+) est en général différente de la condition initiale de la variable considérée x(0+) Elle se détermine par identification à l'instant t = 0+ : x(0 ) x f (0 ) xl (0 ) …ce qui suppose que l'on puisse connaître xf(0+) . 25 © Metz Dec. 01 plan général plan du chapitre >> Régime libre (suite) – l'évolution du régime libre xl(t) à partir de sa condition initiale xl(0+) , n'est liée qu'aux constantes propres du système que sont les constantes de temps, les pulsations et les amortissements. Le nombre de ces constantes propres est exactement égal à l'ordre du système : • ordre 1 : 1 constante de temps…………. • ordre 2 : 2 constantes de temps ou 1 pulsation et 1 amortissement • ordre 3 : comme ordre 2 plus une autre constante de temps, etc… ==> la détermination de ces constantes propres peut donc s'effectuer à partir uniquement du régime libre. Pour cela, il suffit de rendre le circuit passif. On fait alors apparaître ce que nous appelons le "circuit équivalent du régime libre". Nous en montrons un exemple d'utilisation dans les pages suivantes. Remarques : – les constantes propres sont identiques pour toutes les variables d'un système donné. Ainsi ces variables auront toutes les mêmes constantes de temps, les mêmes pulsations de résonance, les mêmes amortissements… – la condition initiale xl(0+) est la seule valeur du régime libre qui dépende de l'ensemble du système (conditions initiales, sources, topologie du circuit). Elle fait partie de ce que l'on appelle les constantes indéterminées. On trouve d'autres constantes indéterminées dans les régimes permanents (voir sous-chapitre "régimes permanents") 26 © Metz Dec. 01 << plan général plan du chapitre >> Circuit équivalent du régime libre (exemple) Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... C et déterminons ses constantes propres – – 1er Constatons d'abord qu'il s'agit d'un circuit du ordre (1 seul élément réactif) : il y a donc une seule constante de temps t à trouver. e(t) R1 R2 s(t) R2 s(t) C Nous reprenons le même circuit…. et cherchons le circuit équivalent du régime libre, en remplaçant la source de tension... e(t) R1 clic 27 © Metz Dec. 01 << Circuit équivalent du régime libre (exemple) Considérons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... C et déterminons ses constantes propres – – 1er Constatons d'abord qu'il s'agit d'un circuit du ordre (1 seul élément réactif) : il y a donc une seule constante de temps t à trouver. R1 e(t) R2 s(t) R2 s(t) C Nous reprenons le même circuit…. et cherchons le circuit équivalent du régime libre, en remplaçant la source de tension... R1 par un court-circuit – – Nous constatons que les deux résistances R1 et R2 sont en parallèle. Le circuit se réduit donc à une résistance unique R1 // R2 et au condensateur C. R1 // R2 La constante de temps t s'écrit alors : τ R1 // R2 C C R1 R2 C R1 R2 28 © Metz Dec. 01 << plan général plan du chapitre Liens régime libre retour Circuit Passif Dans un circuit électrique rendu passif, on a supprimé les excitations : l'amplitude de la tension des sources de tension ainsi que l'amplitude du courant des sources de courant devient nulle. Par contre, la nature de ces sources (impédance nulle pour une source de tension, impédance infinie pour une source de courant) se conserve. Ainsi : • une source de tension est remplacée par un court-circuit : • une source de courant est remplacée par un circuit ouvert : => Court-circuit => Circuit ouvert Il faut éviter de dire et surtout de faire : • on court-circuite les sources de tension, • on ouvre les sources de courant. © Metz Dec. 01 29 Liens régime libre retour Constantes propres, constantes indéterminées • Les constantes propres d'un circuit (constantes de temps, pulsations, amortissements) sont identiques pour l'ensemble des variables de ce circuit. Elles ne dépendent que de ses éléments constitutifs et de leur agencement. Elles sont indépendantes des conditions initiales et des sources (seule la nature source de V ou source de I intervient). Elles sont accessibles dans le circuit équivalent du régime libre. • Les constantes indéterminées dépendent des variables choisies. Elles se calculent à partir des conditions initiales et des valeurs trouvées dans les régimes permanents. Exemple : dans l'expression générale d'un circuit du 2ème ordre excité par une grandeur sinusoïdale : x (A cosω0 t B sin ω0 t)e t τ C sin (ω1t j) w0 et t sont les constantes propres, alors que A, B, C, et j, sont des constantes indéterminées. © Metz Dec. 01 30 Régime permanent Le régime permanent (ou forcé) xp(t) (ou xf(t)) correspond à la solution particulière de l'équation différentielle avec second membre. Il est atteint lorsque le régime libre s'est annulé. Les résultats généraux les plus connus concernant les régimes permanents (ou forcés) sont rappelés cidessous : excitation continue excitation sinusoïdale excitation polynomiale régime permanent continu régime permanent sinusoïdal régime forcé polynomial Nous verrons dans le deuxième chapitre, des exemples d'excitations sinusoïdales et polynomiales. Mais dans le cadre de ce chapitre général sur les outils, il est intéressant de présenter "les circuits équivalents continus", qui sont particulièrement utiles dans le cas des excitations continues ou continues par morceaux telles que les excitations rectangulaires ; ils peuvent être également utilisés lorsque les sources sont lentement variables sur l'horizon temporel considéré (voir chapitre 3). Ces circuits sont présentés sur les pages suivantes. Remarques : • la "recopie" des excitations dans les régimes permanents (ou forcés) n'est pas une propriété générale. Elles est vraie pour certaines excitations élémentaires comme celles rappelées ci-dessus. Elle est fausse par exemple dans le cas d'excitation en créneaux (voir chapitre 2). • Le terme "continu" est ici strictement équivalent à "constant". Il n'a rien à voir avec la continuité des fonctions. 31 © Metz Dec. 01 plan général plan du chapitre >> Circuits équivalents continus Ces circuits équivalents reposent sur les relations de base : iC C dvC dt vL L diL dt Si les grandeurs vC et iL sont continues, c'est-à-dire constantes, les grandeurs iC et vL sont nécessairement nulles, ainsi : • en continu, un condensateur impose un courant nul : il se comporte comme un circuit ouvert • en continu, une inductance impose une tension nulle : elle se comporte comme un court-circuit Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous : clic 32 © Metz Dec. 01 << Circuits équivalents continus Ces circuits équivalents reposent sur les relations de base : iC C dvC dt vL L diL dt Si les grandeurs vC et iL sont continues, c'est-à-dire constantes, les grandeurs iC et vL sont nécessairement nulles, ainsi : • en continu, un condensateur impose un courant nul : il se comporte comme un circuit ouvert • en continu, une inductance impose une tension nulle : elle se comporte comme un court-circuit Ces importantes propriétés peuvent être représentées par les figures ci-dessous : • en continu un condensateur... Circuit ouvert est équivalent à un circuit ouvert • en continu une inductance... est équivalente à un court-circuit Court-circuit 33 © Metz Dec. 01 << plan général plan du chapitre >> Circuits équivalents continus (exemple) précharge v0 C Reprenons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0 Déterminons le régime permanent de s(t) soit sf : R1 e(t) s(t) R2 e(t) E 0 t clic 34 © Metz Dec. 01 << Circuits équivalents continus (exemple) précharge v0 C Reprenons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0 R1 e(t) e(t) E Déterminons le régime permanent de s(t) soit sf : t 0 • s(t) R2 Pour cela, nous reprenons le même circuit... et nous remplaçons le condensateur... R1 E R2 s(0+) clic 35 © Metz Dec. 01 << Circuits équivalents continus (exemple) C Reprenons le circuit élémentaire de la figure ci-contre... L'excitation e(t) est un échelon de tension d'amplitude E et le condensateur a été préchargé à v0 R1 e(t) e(t) E Déterminons le régime permanent de s(t) soit sp : t 0 • s(t) R2 Pour cela, nous reprenons le même circuit... et nous remplaçons le condensateur... par un circuit ouvert • Nous constatons alors que l'on a simplement : R1 E R2 R2 sf E R1 R2 sf On remarquera que la condition initiale n'intervient pas dans le régime permanent : c'est une propriété générale des systèmes linéaires 36 © Metz Dec. 01 << plan général plan du chapitre >> Glossaire circuits linéaires à constantes localisées variables d'état ordre de complexité du système régime permanent régime forcé variable liée à l'énergie mailles capacitives coupures inductives circuit passif constantes propres constantes indéterminées symétrie glissante 37 © Metz Dec. 01 plan général
