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Cours probabilités-statistique HY2 - nov 2003 - R. Ababou et W. Bergez - version 16/11/2003 1
PROCESSUS DE WIENER
(MVT BROWNIEN, MARCHE ALEATOIRE)
t 2t 3t ntt
W(t)
Wn+1= Wn+ (2Dt)1/2 Gn
dW(t) = (2D)1/2 f(t) dt
1 réplique
f(t) : bruit blanc gaussien
unitaire Gn: n-ième réplique d’une VAR
N(0,1)
(W0=0 déter
ministe)

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INTENSITE DU BRUIT BLANC ET COEFFICIENT DE DIFFUSION
dW(t) = (2D)1/2 f(t) dt
dW(t) = b(t) dt
D : coefficient de diffusion [m]2[s]-1
f(t) : bruit blanc gaussien d’intensité 1
b(t) = (2D)1/2 f(t)
b(t) : bruit blanc gaussien d’intensité c [m]2[s]-1 avec :
c = 2D
preuve : Cbb ()= c () = 2D Cff () = 2D ()

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MOMENTS DU PROCESSUS DE WIENER
E(W(t)) = E(W(0)) = W0
= 0 E(Wn+1) = E(Wn)+ (2Dt)1/2 E(Gn)
= … = E(W0) = W0 = 0
E((W(t+)-W(t))2) = 2D || E((Wn+1-Wn)2) = 2Dt E(Gn2)
= 2Dt
ESPERANCE
VARIANCE DES INCREMENTS
(INCREMENTS STATIONNAIRES)
E((Wn+p-Wn)2) = 2D(pt) E(Gn2)
= 2D(tn+p - tn)

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SIMULATION D ’UN PROCESSUS DE WIENER
(estimateur de la variance des incréments :
V(=jt) = (N-j)-1 0N-j (Wn+j - Wn)2

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