ppt - Département de physique

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†
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† Adresse actuelle: Département de physique, Université de Waterloo
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01001001111100100100101
Javier 2002
et T-6 Division, Los Alamos National Laboratory
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Une approche consistante au
calcul quantique
David Poulin
LITQ
Université de Montréal
Directeur: Gilles Brassard
Aperçu
•CQ.
•Y a-t-il un avantage au CQ?
•Puissance de calcul de la mécanique quantique.
•Puissance de communication de la MQ.
•Formalisme des Histoires Consistantes.
•HC pour le CQ.
•HC pour l’étude de la puissance de calcul
de la MQ.
David Poulin, LITQ Université de Montréal
CQ
Classique
1 bit
Quantique
1 qubit
0 ou 1
 | +  |1
||2 + ||2=1
n qubits
n bits
000...0 (0)
000...1 (1)

111...1 (2n-1)
Mesure
ci 1

i0
ci i

i0
2
ex. 4 qubits: |7 = |0111
Mesure
b1b2b3...bn

b1b2b3...bn
2n1
2n1
2n1
ci i

i0

i avec probabilité |ci|2
David Poulin, LITQ Université de Montréal
CQ
Classique
A
B
NAND (A B)
Quantique
|a
|b
A
B
B
A
A
A
A
U
|a
|b if a=0
|b if a=1
|0  (|0+ |1)
|1  ( *|0-*|1)
David Poulin, LITQ Université de Montréal
CQ – Les exploits
Les calculateurs quantiques peuvent simuler les
calculateurs classiques de façon efficace.
Nous croyons que l’inverse n’est pas vraie.
•Si factoriser est difficile. (Sous groupe abélien caché)
•Problèmes NP complets avec calculateur adiabatique.
•Gain quadratique (boîte noire).
•Simulation de systèmes quantiques.
David Poulin, LITQ Université de Montréal
CQ – Les exploits
Gaspillons-nous des ressources quantiques?
Oui
Possible de simuler
efficacement les CQ.
Non
Avantage au CQ.
En partie
Certaines parties de nos algorithmes quantiques
ne sont pas fondamentalement quantique!

Quel est l’ingrédient qui donne l’avantage
calculatoire à la MC? (le cas échéant)
David Poulin, LITQ Université de Montréal
Avantage calculatoire de la MQ
Aucune propriété dynamique
Enchevêtrement
Réduction du
paquet d’onde
Espace de Hilbert
de taille exponentielle
Classiquement aussi
Interférence
Superposition
Choix de base
Ondes classiques
États non orthogonaux
David Poulin, LITQ Université de Montréal
Avantage de communication de la MQ
Enchevêtrement
•Téléportation
•Codage dense
•Réduction de la complexité de communication
•Pseudo télépathie
États non orthogonaux
•BB84
•Pile ou face
•Réduction de la complexité de communication
•...
•Interdiction de cloner
Conditions nécessaires et suffisantes?
David Poulin, LITQ Université de Montréal
Formalisme des histoires consistantes
Événement: Un sous espace et un temps.
Projecteur dans la représentation
de Heisenberg.
Au temps t, le spin d’un électron pointe vers le haut.
Pup(t)  U†(t) Pˆup U(t)  U †(t)I   U(t)
Histoire: Suite d’événements.
Ensemble ordonné de projecteurs dans la
représentation de Heisenberg.
C  P (t1) P (t2) P (tn)
1
2
n
David Poulin, LITQ Université de Montréal
Formalisme des histoires consistantes
Probabilité d’une histoire:
Pr()  Pr(1, 2, ,n)
 TrP (tn) P (t1)  P (t1) P (tn)
†

 Tr C  C
n
1
1
n
Mauvais comportement selon la logique classique.
a
x
Pr(x)  Pr(a,x)  Pr(b,x)
b
David Poulin, LITQ Université de Montréal
Formalisme des histoires consistantes
Cadre logique: Dans ce cadre, toute déduction logique
est consistante.
1.Ensemble exhaustif de projecteurs disjoints
(EEPD):
m
ˆ  Pˆ 1m Pˆ Pˆ   Pˆ Pˆ  I
k
 1
2.Discrétisation du temps: t1  t2   tn
3.Choix de EEPD à chaque temps:
 (k)(tk)  P(k)(tk) 1m
k
k
k
 (k)  P(k) 1m
k
k
k
David Poulin, LITQ Université de Montréal
Formalisme des histoires consistantes
Histoire = vecteur d’indices 1, 2, ,n
 (1)
 (2)
 (3)


 (n1)
 (n)
Famille exhaustive d’histoires exclusives: n
Toutes les combinaisons possibles d’indices N mk
S  ,  (1),  (2), , (n)
k 1
David Poulin, LITQ Université de Montréal
Formalisme des histoires consistantes
Fonction de cohérence: histoire  histoire  C
D(;)  TrC  C
†
Probabilité: Éléments diagonaux. Pr()  D(;)
Termes hors diagonaux: Interférence entre les histoires.
David Poulin, LITQ Université de Montréal
Formalisme des histoires consistantes
t0
 (1)
 (2)
 (3)


 (n1)
 (n)
tf
D(;) =  q(t)  q’(t) (q0,q0’)ei I[q(t)]-I[q’(t)] (qf-qf ’)


David Poulin, LITQ Université de Montréal
Formalisme des histoires consistantes
Cadre logique: Nécessaire & Suffisant
ReD(;)   Pr()  (,)  S
Interprétation... (débattue)
Critère de classicalité
Règle de supersélection
Transition quantique-classique
(Conditions plus restrictives)
David Poulin, LITQ Université de Montréal
Formalisme des histoires consistantes
Consistance

Insensibilité mutuelle des mesures
L’état est perturbé par la mesure mais les statistiques
des autres mesures n’en sont pas affectées.
Pr(k) 
Pr(1,...,n)

 ,..., , ,... 
1
k 1
k 1
n
Dynamique effective.
David Poulin, LITQ Université de Montréal
HC pour le CQ
Extension consistante:
S  ,  (1),  (k1), (k), , (n)
S'  ,  (1),  (k1), , (k), , (n)
 Q1, Q2, ,Qm
Algorithme quantique: S  ,  f   f  U j j U†
Automatiquement consistant
Définition naturelle des temps tk
Conditions plus faible
Retour d’information
Est-il possible de faire une extension
consistante locale de cette famille?
David Poulin, LITQ Université de Montréal
HC pour le CQ
1.Mesure complète dans la base de calcul à chaque
temps.
0 U1 U2Un j    k T T
2
k0kn
2 (1)
0 0
k0k1
(n)
kn1kn
T  iUk j
(k)
ij
2
Évolution quantique cohérente sur superposition quantique.
=
Évolution stochastique classique sur mélange statistique.
2.Mesure complète dans une base locale à chaque
temps.
Calculateur quantique =
David Poulin, LITQ Université de Montréal
HC pour le CQ
3.Mesure partielle dans une base locale entre
certaines portes. (avec retour d’information)
Calculateur hybride classique-quantique
Seulement les parties fondamentalement quantiques
exécutées sur un calculateur quantique.
Est-ce possible?
TFQ semi-classique de Griffiths & Niu.
David Poulin, LITQ Université de Montréal
HC pour l’étude du CQ
État pseudo pur:
  (1) I    

Petite polarisation  pas d’enchevêtrement
Pseudo état de Bell: 
2



1



I   
2
4

2

  1     

2
2
1
4
1

4
13

4
13

4
Si   13





David Poulin, LITQ Université de Montréal
HC pour l’étude du CQ
Lorsque  < c , il n’y a pas d’enchevêtrement donc
pas d’avantage calculatoire!
L’état du calculateur peut être représenté par un
mélange statistique de spins classiques à chaque
étape du calcul. (Simulation classique efficace)
Fait établi:
Forte décohérence  Simulation classique efficace
Forte décohérence
Dynamical


Petit 
Static
David Poulin, LITQ Université de Montréal
HC pour l’étude du CQ
Fonction de cohérence pour état p.p.:
  (1) I    

D(1, 2; 1, 2)  1     TrP(2)P(1) D1(1, 2; 1, 2)

1 1
2 2
2
1
Modèle de spins classiques ne peut expliquer la
dynamique du calculateur à haute entropie!
Présence d’états non orthogonaux.
Aspect quantique
Aucune explication classique de la dynamique.
David Poulin, LITQ Université de Montréal
Conclusion
•Puissance de calcul de la mécanique quantique?
•HC sont un outil permettant d’étudier cette question.
(Parmi d’autre...)
•Distinction propriété statiques et dynamiques.
•Nouvel indice sur l’aspect quantique du calcul.
•Question ouverte:
Classe de modèles classiques qui requièrent la consistance.
David Poulin, LITQ Université de Montréal