5_general_relativity_cosmology_short

Physique d’Astroparticule
Jürgen Brunner
CPPM / Luminy
Description d’univers
• Quels forces sont à considérer ?
–
–
–
–
Gravitation ?
Électromagnetism ?
Force fort (entre quarks) ?
Force faible ?
• Comparaison de magnitude
– Exemple : atome de hydrogène
F G
m p me
r
2
F
1
qe q p
40 r
2
Description d’univers
• Comparaison de magnitude
– Exemple : atome de hydrogène
Fg  G
m p me
r
2
Fe 
Fg / Fe  4 10
1
qe q p
40 r
2
40
Gravitation négligeable au niveau atomique
Même pour comparaison avec des autres forces
Mais niveau macroscopique: forces
électromagnetiques et forts s’annulent
Description d’univers
• Force fort
– Quarks en 3 couleur  hadrons blancs
• Force électromagnetique
– Charge + et -  atomes neutres
• Force gravitationnelle
– Pas de « antigravitation »
– Tous les effets gravitationnelles s’accumule !
• Gravitation domine au niveau d’univers
Difficulté avec la mécanique de Newton
• Loi du newton: accélération proportionnel
au forces et indirectement proportionnel au
masse inerte
F  mi a
• Ok, masses et charges indépendant
1 qe q p
Fe 
 mi a
2
40 r
• Galilei : corps tombent avec une
accélération indépendant de leur masse
mg M
M  mg 
Fg  G
 mi a
aG 2  
2
r
r  mi 
Difficulté avec la mécanique de Newton
• Masse inerte et masse gravitationelle sont
identique (prouver au niveau 10-11 aujourd'hui)
Fg  G
mg M
r
2
 mi a
mi  m g
• Pourquoi ? Différent par rapport de tous les autre
forces
Difficulté avec la mécanique de Newton
• Rotation de perihel du Mercure
–
–
–
–
2 corps : orbit est un ellipse exact
Autre corps: paramètres d’ellipse change
Avancement de la position du perihel
Calcul avec loi du Newton

N
100
 (5557.6  0.2)' '
observation

obs
100
 (5600.7  0.4)' '
différence

obs
100
 
N
100
 (43.1  0.5)' '
Difficulté avec la mécanique de Newton
• Rotation de perihel du Mercure
obs
N
100
 100
 (43.1  0.5)' '
Différence infime (moins de 0.5 arc seconds
par an) mais mesuré avec haute précision
Première hypothèse: nouveau planète très
proche du soleil « Vulcan »  faux
1846 Neptune a été trouve (à Berlin) à cause de distorsion d’orbit
d’Uranus
Grande succès de la théorie de Newton
Concept a marché 1 seul fois, déjà Pluton a été trouvé par hasard
Difficulté avec la mécanique de Newton
• Système inertielle est espace absolu
F  mi a
Transformation dans une système avec accélération A
F  mi (a  A)
Loi modifié , n’est pas invariant pour ce type de transformation
Transformation de Galilei entre systèmes inertielles laisse physique
invariant
Invariance des lois de physique
F  ma  mx
x  x  vt
x  x  v
x  x
Pour F invariant sur transformation Galiléen loi est aussi invariant
Mais: quels systèmes sont « inertielle » ou « en reste » ??
Newtons réponse : tous les systèmes ou on peut arriver avec
un transformation de Galilei par rapport du « espace absolu »
Difficulté avec la mécanique de Newton
• Espace absolu
– Concept insatisfaisant
– Espace absolu a une effet sur le monde mais ne peut pas
être affecté
• Théorie de Maxwell: des ondes
électromagnetiques : identifié espace absolu avec
l’éther
– Mais : experiment : il n’y a pas d’éther
– Relativité restreint : constance de la vitesse de la
lumière
Difficulté avec la mécanique de Newton
• Espace absolu
• Gedankenexperiment: univers vide, 1 seul corps de
teste
• Comment peut-on savoir si le corps est en reste ou en
accélération (rotation)
• Exemple réaliste: satellites géostationnaires
– Pourquoi ne tombent ils pas sur terre ?
Système « terre en reste » bonne
approximation pour système
inertielle dans le quotidien
Mais après
Système de reste absolu
• Il faut considéré tous les mouvements par
rapports de tous les masse d’univers
– Rotation de la terre autour de soi-même
– Rotation de la terre autour du soleil
– Rotation du soleil autour du centre de notre
galaxie
– Mouvement de notre galaxie dans l’amas des
galaxies
– Mouvement de amas …
– ….
Mais ils sont très loin – comment est possible ?
Difficulté avec la mécanique de Newton
• Il faut des ondes gravitationnelles
• Encore mieux : théorie quantique
gravitationnelles (n’existe pas)
• Force Lorentz d’une charge q accéléré avec
a contre des charges Q dans la distance r
(dérivé des équation Maxwell)
Facc
a
 40 qQ 2
rc
Difficulté avec la mécanique de Newton
• Essayer Ansatz équivalent pour la gravitation
Facc
a
 40 qQ 2
rc
a
F  GmM 2
rc
Calcul naïve avec distribution de masse homogène dans
l’univers  jusqu’ au horizon h
9
h  13 10 yc  1.2 1026 m
  3 1028 kg / m3

G= 6.67 × 10-11 m3 kg-1 s-2
F  ma 2Gh / c
2
2

Difficulté avec la mécanique de Newton
• Essayer Ansatz équivalent pour la gravitation
Facc
a
 40 qQ 2
rc
a
F  GmM 2
rc
Calcul naïve avec distribution de masse homogène dans
l’univers  jusqu’ au horizon h
9
h  15 10 yc  1.4 1026 m
  1027 kg / m3

G= 6.67 × 10-11 m3 kg-1 s-2

1
F  ma 2Gh / c  ma
15
2
2
Difficulté avec la mécanique de Newton
• Résumé
– Équivalence des masse inerte et gravitationnelle n’est pas
expliqué
– Principe de Mach n’est pas inclus (influence des masses
lointain)
– Rotation de perihel de Mercure n’est pas expliquée
• Relativité restreint ne résous pas ces problèmes car
applicable dans les systèmes inertielles seulement
Principe de Équivalence (Einstein)
• « Les lois de physique ne changent pas dans
une petit volume de test en chute libre dans
un potentiel gravitationnelle par rapport du
système inertielle de Newton »
Mouvement relative dans le volume de test  changement
de la géométrie
Chute libre
Principe de Équivalence (Einstein)
• La lumière est dévié dans le champs
gravitationnelle  modification de la
géométrie
Volume en reste, raie de lumière droit
Volume en chute libre
Metriques
Definition de g :
Règles de sommation :
Règles de dérivation :
Metriques-Exemples
s 2  x 2  y 2
1 0
g   
 Coordonnées Cartésiennes (2-dimensionnel)
0
1

 Courbature 0
1 0 
g   
2
0
x

1 
R2
g   
 0
s 2  r 2  r 22
Coordonnées Polaires (2-dimensionnel)
Courbature 0
2  R22  R2 sin 2 22


s
0

2
2
2
R sin x1  Coordonnées Polaires (2-dimensionnel)
Courbature none 0
Metriques-Exemples
s 2  x 2  y 2
1 0
g   
 Coordonnées Cartésiennes (2-dimensionnel)
0
1

 Courbature 0
1 0 
g   
2
0
x

1 
R2
g   
 0
s 2  r 2  r 22
Coordonnées Polaires (2-dimensionnel)
Courbature 0
2  R22  R2 sin 2 22


s
0

2
2
2
R sin x1  Coordonnées Polaires (2-dimensionnel)
Courbature non 0
MetriquesEspace/temps Minkowski
x  [ x0 , x1, x2 , x3 ]
(relativité restreinte)
x   [ x0 , x1, x2 , x3 ]
Convention des coordonnées
1 0 0 0 
0  1 0 0 

g   g   
0 0  1 0 


0
0
0

1


1
0

g  g  
0

0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0

1
s 2  g  x  x  g  x x  g x  x
s 2  x02  x12  x22  x32  (ct )2  x12  x22  x32
Einstein tensor
Tenseur de Riemann
Tenseur de Ricci
bc
abcd
R  gad R
Tenseur d’Einstein
Scalaire de Ricci
R  gab
ab
R
Tenseur d’énergie/tension (angl.stress)
T00 = densité d’énergie
T0i = flux d’énergie
= Quantité de mouvement
Tii = flux de quantité de de mvt
(stress ou pression)
Tij = shear stress
Description de l’univers
Équation de la relativité générale
Gab : Einstein Tensor - description de la déviation de la
géométrie par rapport à la géométrie Euclidienne
Tab : Énergie/stress Tensor: description de la matière
a,b,, : indices (0,1,2,3)
 : constante de proportionnalité, définie par correspondance
avec loi de la gravitation classique
G : constant de la Gravitation
c : vitesse de la lumière
Courbature d’espace/temps
Distribution de la matière (aussi : radiation, énergie etc)
déforment l’espace/temps
Visualisation pour un monde 2-dimensionnel
Schwartzschild Metrique
• Admettant un masse ponctuelle
• Symétrie sphérique
• Sans masse : Minkowski métrique de la
relativité restreint


s  t  r  r   r sin  / c
2
2
2
On ajoute la masse

2
2
2
2
2

2
s 2  e(r )t 2  f (r )r 2  r 2 2  r 2 sin 2 2 / c 2
avec
e(  )  f (  )  1
Schwartzschild Metrique
• Solution Einstein équation
e(r )  1  2GM / c r
2

f (r )  1 / 1  2GM / c r
2

Terme de la correction relativiste pour la surface du soleil
2GM / c 2 r  4 10 6
M  2 1030 kg
r  7 108 m
G  6.67 10 11 m 3 kg 1s  2
Schwartzschild Metrique
• Solution Einstein équation
e(r )  1  2GM / c r
2

f (r )  1 / 1  2GM / c r
2

Terme de la correction relativiste pour la surface du soleil
2GM / c 2 r  4 10 6
M  2 1030 kg
r  7 108 m
G  6.67 10 11 m 3 kg 1s  2
Schwartzschild Metrique
• Solution Einstein équation
e(r )  1  2GM / c r
2

f (r )  1 / 1  2GM / c r
2

Calcul de la rotation Mercure perihel a base de ce métrique

 

 43.03' '
obs
100
AG
100
N
100
 (43.1  0.5)' '
Schwartzschild Metrique
• Trous noirs
rs  2GM / c
2
Radius Schwartzschild
e(rs )  1  2GM / c rs  0
2


f (rs )  1 / 1  2GM / c rs  
2
Courbature infini, temps s’arrête !
Soleil : ???
Schwartzschild Metrique
• Trous noirs
rs  2GM / c
2
Radius Schwartzschild
e(rs )  1  2GM / c rs  0
2


f (rs )  1 / 1  2GM / c rs  
2
Courbature infini, temps s’arrête !
Soleil : 3km la terre 9mm
Dépends de la masse initiale d’un corps céleste s’il va
dépasser cette taille a la fin de sa vie
La constante cosmologique
Problème:
Cette équation n’a pas de solutions stables.
L’univers stationnaire n’est pas possible.
Explication naïve: force gravitationnelle est toujours positive,
chaque distribution de masses initiales s’effondra (par attraction)
Version modifiée
Elle permet des solutions stationnaires mais instables dés lors
qu’on s’écarte de l’état d’équilibre
 : constante cosmologique peut être vu comme “pression du
vacuum, qui contrebalance la force gravitationnelle
Model d’univers
Conditions basées sur observations et/ou des arguments philosophiques
L’univers est homogène, ça veut dire invariant par translation,
“il n’y a pas d’endroit particulier”
(Ex.: structure cristalline )
L’univers est isotrope, ca veut dire invariant par rotation
“dans tous les directions on voit la même chose”
(Ex.: on imagine des sphères concentriques contenues les unes
dans les autres )
La structure visible aujourd'hui est la résultat des petits
fluctuations primordiales
Friedman-Lemaitre-Robertson-Walker métrique
Solution pour l’univers décrit au-dessus
a(t) : paramètre d’échelle, décrit l’évolution du taille d’univers
k = -1,0,1 : type de la géométrie (hyperbolique, plat, sphérique)
H : taux d’expansion
Accélération d’expansion
 : densité de la matière