A-5 La genèse d`une situation fondamentale pour l

Théorie des situations
L’élaboration d’une situation
didactique pour introduire la
désignation, l’égalité et le signe
d’égalité
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• Aujourd’hui on peut considérer les mathématiques comme des systèmes de
« symboles » construits et définis formellement, sans référence « directe » à
des objets non mathématiques.
• Nous allons ici considérer que, pour les élèves au moins, la totalité des
assemblages mathématiques sont des « signifiants potentiels » dénués de
signifiés.
• Les signifiés originels de ces signifiants mathématiques seront les situations où
ils sont apparus.
• Nous étudions ces associations « situation signifiée/ texte signifiant » aussi
bien pour concevoir des situations nouvelles que pour décrire et comprendre
les situations « naturelles » observées.
• Note : On peut cependant distinguer des signifiants : par exemple un symbole
nouvellement introduit, et des signifiés, par exemple l’assemblage auquel ce
symbole peut se substituer. Une définition est donc un signe. Mais on pourrait
aussi considérer l’assemblage comme le signifiant, et le symbole comme le
signifié.
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En mathématiques, qu’exprime
l’égalité A = B
• Il existe de très nombreuses façon équivalentes de définir la
relation d’égalité.
• La plus connue s’appuie sur la théorie des ensembles: « A=B »
est synonyme de « AB et BA ». On sait que cette relation est
réflexive (A=A), symétrique (si A=B alors B=A) et transitive (si
A=B et B=C alors A=C) Mais il n’est pas facile, parfois, de la
distinguer d’une équivalence.
• Nous choisissons celle de la théorie des modèles : « A=B » si:
• a. dans toutes les occurrences de A dans des formules d’une
théorie, A peut être remplacé par B (et réciproquement) sans
changer la validité de ces formules
• b. si dans toutes les réalisation de cette théorie, A=B est la
relation d’identité: A et B sont le même objet.
• Il existe donc dans cette théorie un quantificateur !E qui exprime
qu’il existe un et un seul objet E (réalisations égalitaires)
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La désignation
• A et B sont des signifiants, leur signifié est le même et il est le seul. A et B
sont deux façons de désigner un même objet. La désignation est une
correspondance élémentaire entre un élément du modèle et l’assemblage
correspondant dans la théorie.
• Elle peut être définie par la situation suivante:
Dans une situation S, un actant X doit utiliser un objet matériel A pour
réaliser le projet défini par S mais il n’en dispose pas. Il sait qu’un autre actant
Y, distant, possède cet objet parmi plusieurs autres. Les deux agents sont
souvent dans des situations similaires, et X a besoin tantôt d’un objet tantôt
d’un autre.
• Ils doivent coopérer pour élaborer un langage simplifié dans lequel les objets
dont a besoin X seront désignés chacun par un symbole différent. A, B, C, etc.
• L’usage de ce « code » résout leur problème et A est le signifiant d’un objet
bien précis parmi les autres.
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A
Y
X
Message
I
G
E
C
…
A
fourniture
B
T
Z
Message
X a besoin d’une pièce pour
compléter son ellipse
Suivant le code, il adresse le
message A au magasinier Y
Y choisit la pièce désignée
par A et l’envoie à X
X vérifie l’adéquation de la
pièce fournie
J
H
F
D
…
B
Deux autres actants Z et T
font la même chose plus
loin, mais avec un code
différent
fourniture
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L’ingénierie de la désignation
• L’usage des codes résout le problème de la désignation: A est le signifiant d’un
objet bien déterminé.
• Dans S, un actant X qui communique le message A à l’intention de Y pour
obtenir un certain objet que les observateurs désigneront par la lettre O
• La situation S : (X  A  Y )  O ( où  A représente la
communication du message A et ou  représente le choix de O par Y pour
envoyer l’objet demandé à A).
• La « mise en place » de cette situation serait sans doute facile avec des élèves
de 6-7 ans et totalement inutile avec des élèves de 11-12 ans et plus: la
description suffirait.
• Dans le 2ième cours d’ingénierie didactique nous montrons comment les
enfants de 5 ans sont amenés à la concevoir et à fabriquer un langage (un
code) de désignation d’objets quelconques.
• Nous passons donc ici sur ces prolégomènes afin de définir la situation
fondamentale de l’égalité
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L’ingénierie de l’égalité
• Maintenant il faut créer une situation qui donne à « A= B » un signifié correct
• Pour cela il faut que les deux « tribus » (X, Y) et (Z,T) qui parlent des
langages différents, aient des rapports appropriés:
• X demande à T de lui procurer A. T envoie autre chose. On peut s’attendre à
ce que les messages ou leurs auteurs soient incriminés. La solution serait que
soit que T comprenne ou conçoive qu’il lui faut envoyer B quand X lui
demande A. ou que X comprenne qu’il lui faut demander B pour recevoir A.
• Mais comprendre la relation ce n’est pas l’exprimer.
• Le message qui exprime A = B doit être envoyé par quelqu’un, disons U qui a
pratiqué les deux tribus et qui informe les intéressés X ou Y.
• Le schéma de la situation de formulation de l’égalité est alors le suivant
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U
?
Schéma de la situation signifiée
par la formule A=B
A=B
A
X
T
J
D
…
B
Évidemment le
moment venu, il
faudra aménager
l’introduction du
signe «=» dans le
domaine
numérique
Il est ainsi possible en principe de concevoir des modèles de situations pour chaque
énoncé de Mathématique. Ces situations n’ont en général pas grand intérêt
didactique. Mais l’étude théorique et expérimentale de leurs propriétés
mathématiques, ergonomiques, psycholinguistiques, didactiques etc. est devenue
possible et par là leur amélioration systématique.
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Exercice
• Imaginer une situation réalisable en classe de
préscolaire ou 1ère année primaire pour définir
l’usage du signe « = »
• Attention, il ne s’agit pas de l’équivalence !
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Fin
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