Son et Musique

Science et Musique
Variations sur un thème…
F Geniet
Janvier 2010
Sommaire
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Quelques figures illustres.
Harmoniques et Partiels.
Harmoniques et Consonance.
Intervalles et Gammes
Préambule
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Les rapports entre Science et Musique sont très anciens et très féconds.
Platon parle déjà des « Mathématiques, Musique des Sphères », et dans
son esprit, ce n’est pas une image !
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Dans cet exposé, on abordera les thèmes sous la vision du scientifique
(théoricien), en non celle du musicien (praticien).
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La vision du musicien est bien plus complexe et plus riche. Elle est bâtie sur
des siècles d’empirisme et de recherches.
•
La vision des scientifiques est plus simple et vise à dégager des concepts
universels.
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Beaucoup de musiciens se sont intéressés (parfois en l’interprétant) à
l’approche scientifique.
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Enfin, le sujet est immense, d’où le parti pris de se centrer sur un sujet : la
« construction » de la gamme chromatique à 12 tons occidentale.
Quelques figures illustres
Pythagore
580-597 av JC
Considéré comme le père fondateur de l’acoustique.
Quelques figures illustres
Jean le Rond D’Alembert
1717-1783
Équation des cordes vibrantes
1  2u( x,t )  2u( x,t )

0
2
2
2
c
t
x
Quelques figures illustres
Joseph Fourier 1768 - 1830
Théorème de Fourier : toute vibration
périodique se décompose comme une
somme de sinusoïdes.
Quelques figures illustres
Hermann Ludwig von Helmholtz
1821 -1894
Son ouvrage
Théorie physiologique de la musique
révolutionne l’acoustique musicale
Quelques figures illustres
John William Strutt Lord Rayleigh
1842 -1919
Prix Nobel 1904
Son ouvrage Theory of Sound
reste un classique, qui fonde la théorie
mathématique de l’acoustique.
Peut on entendre la forme d’un tambour ?
Harmoniques et Partiels
Sons purs :
Un type de vibration très simple à décrire est constitué par les oscillations
sinusoïdales, caractérisées uniquement par leur fréquence, leur amplitude et leur
phase.
a
f
1/f
Pris isolément, ces sons « purs » sont musicalement ineptes. Cependant, tous son
complexe se décompose en une superposition de sons purs (Fourier). Ils forment la
base de notre compréhension des sons.
Harmoniques et Partiels
Un exemple simple à partiels
k
m
k
m
k
k
f1  2
m
2 modes de vibrations :
k
f2  2 3
m
Harmoniques et Partiels
Dans cet exemple, les fréquences ne sont pas multiples entière l’une de
l’autre. Le mouvement n’est pas périodique. Il se décompose en partiels.
Ce cas de figure est en fait général : tambours, cloches, lames… ne
vibrent pas de façon harmonique : les fréquences ne sont pas multiples
d’une fréquence fondamentale.
Harmoniques et Partiels
Deux exceptions notables : les tuyaux sonores et les cordes vibrantes
vibrent de façon harmoniques.
Harmoniques et Partiels
La combinaison de nombreuses vibrations harmoniques de ce type peut se
combiner pour donner la vibration d’une corde de guitare idéale
La fréquence de la vibration de la corde s’obtient en exprimant que l’onde
doit faire un aller-retour sur la corde à vitesse imposée c pendant une
oscillation.
On explique ainsi que les cordes vibrantes possèdent des fréquences de
vibration bien définies et multiples l’une de l’autres.
Harmoniques et Partiels
La vibration d’une corde de violon est très semblable. Le mouvement
observé s’appelle vibration de Helmholtz :
On remarquera au passage la relation entre vitesse de l’archet et amplitude de la vibration,
bien connue des violonistes.
Harmoniques et Partiels
Conclusion :
Au moins deux grandes familles, cordes et vents, produisent des sons
basés sur la série harmonique.
L’importance de la série harmonique dans la construction des gammes
en dérive, et en particulier le rôle essentiel de la première harmonique
intéressante(*), la quinte :
fquinte = 3 ffondamental
fréquence double, qui correspond à l’octave produit la même sensation de note que la
fondamentale.
(*) La
Harmoniques et Consonance
Les sons musicaux sont très riches en harmoniques (ou partiels). Pour
un son de violon, par exemple :
Harmoniques et Consonance
•
Depuis l’antiquité, ces harmoniques, et la quinte en particulier, apparaissent
comme indissociable de la justesse musicale (consonance des
harmoniques)
•
Une idée simple de consonance de deux sons semble se dégager :
l’absence de « frottement » entre les différentes harmoniques des deux
sons (cf. exemple ci après).
•
La notion de consonance semble donc en définitive liée à l’absence ou à la
lenteur des battements entre les harmoniques des différents sons. C’est de
cette façon qu’un accordeur de piano va procéder pour accorder.
•
On va voir en effet qu’il est impossible d’obtenir une absence de battements.
Harmoniques et Consonance
Fréquence
Fondamentale
Fréquence
Quinte
Fondamentale Seconde
Intervalles et Gammes
Des intervalles consécutifs égaux correspondent à des fréquences fondamentales
de plus en plus espacées.
f1
f2
f3
f4
…
Dans le cas d’un intervalle de quinte par exemple, f2 = 3/2 f1 , f3 = 9/4 f1 , f4 = 27/8 f1 …
Cela conduit à définir les intervalles par une échelle logarithmique :
Définition des intervalles en Cents
I = 1200 log2 (f2/f1).
Intervalles et Gammes
La gamme chromatique bien tempérée théorique correspond à des intervalles
égaux. L’octave correspondant à 1200 Cents, Chaque demi-ton vaut 100
Cents, ce qui donne les fréquences suivantes :
fi = f0 2 i/12
Dans cette gamme, les intervalles sont égaux par construction, mais…
…la quinte n’est plus harmonique :
1200 log2(3/2) = 701.955  700
Intervalles harmoniques et gamme bien tempérée sont en conflit !
Intervalles et Gammes
Constructions de la gamme de Pythagore : les différents intervalles sont
engendrées par des rapports de quinte juste
f2 / f1 = 3/2
Do
Ré
Réb
Mi
Fa
Mib
La
Sol
Solb
Lab
Si
Sib
Gamme bien tempérée théorique
Et les dièses ?
Mibb Ré
Do
Réb Do#
Fab Mi
Mib Ré#
Solb
Fa Mi#
Comma de Pythagore
Lab Sol#
Fa#
Labb Sol
Sib La#
Sibb La
Dob Si
Intervalles et Gammes
Et si on continue le cycle des quintes ?
On fabrique une gamme 53 tonique, connue des chinois et qui donne la division
du demi ton en 4 ou 5 commas :
Do
Réb
Ré
50
Mib
Mi
52
Fa
13
Solb
1
37
25
Sol
Lab
49
La
51
54
Il y a donc des grands et des petits demi tons,
…mais chaque ton contient 9 comas
Mais ça ne boucle toujours pas, malgré les apparences !
En effet, 353 / 284 = 1.00209
Sib
53
Si
12
Intervalles et Gammes
Constructions de la gamme de Zarlino : les différents intervalles sont
engendrées par les harmoniques de quinte (3) et de tierce (5)
Gamme de Pythagore
Gamme de Zarlino
Ré
Do
Sol
Mi
Sol
Fa
1
5/4
9/8
Si
La
Do
3/2
4/3
3/2
5/3
15/16
2 (1)
Certain physiciens acousticiens parlent de « la gamme naturelle »
…mais les musiciens ne sont en général pas du tout d’accord :
A part l’aspect mathématiquement esthétique des fractions simples, cette gamme sonne faux, on ne
peut pas construire simplement les notes chromatiques et la transposition est quasi impossible…
Conclusion :
A travers ces quelques remarques simples, on voit que le problème de
produire des instruments justes est en réalité très complexe, et doit concilier
plusieurs logiques en apparence opposées.
Ce domaine n’est pas clos comme le montrent par exemple le renouveau
apporté par les travaux de Serge Cordier sur la question de justesse et la
pratique de l’accord du piano.
Il est cependant dommage que les travaux mathématiques sur la musique se
contentent souvent de visions très schématiques, peu pertinentes dans ce
domaine où les connaissances ont étés élaborées de façon empirique, mais
sûre, depuis des millénaires.
Merci !