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SYSTEMES
D’EQUATIONS
Type d ’activité : leçon illustrée
Bruno DELACOTE
Collège de MASEVAUX
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Conseils et méthode de travail
Une feuille s’ouvre sur une ou plusieurs questions :
A chaque clic tu obtiendras des aides ou des indications et finalement la
solution.
Il faut absolument éviter de cliquer trop rapidement
Prépare l’exercice avant de visionner la solution.
Vérifie (sans tricher !)
Si tu as commis des erreurs, ne les corrige pas avant d ’avoir compris
pourquoi tu t’es trompé.
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Sommaire
Enoncé d ’un exercice
Traduction du problème
Méthode de résolution par substitution
Méthode de résolution par combinaisons linéaires
Méthode de résolution graphique
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Position du problème :
certains exercices nécessitent l ’emploi de plusieurs variables inconnues.
Celles-ci apparaissent alors dans plusieurs équations qui composent le
système.
Exercice :
550 personnes ont assisté à un spectacle.
Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.
Les enfants paient demi tarif.
Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre
d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.
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Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle.
Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.
Les enfants paient demi tarif.
Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre
d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.
Exemple de rédaction :
J ’appelle x le nombre d ’adultes qui ont et y le nombre d ’enfants qui ont
assisté au spectacle. Je traduis l ’énoncé :
550 personnes ont assisté à un spectacle
x + y =550
Les enfants paient demi tarif : donc 8€ par enfant,
l ’ensemble des y enfants a payé 8y €
l ’ensemble des x adultes a payé 16x €
16x + 8y = 6960€
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550 personnes ont assisté à un spectacle.
Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.
Les enfants paient demi tarif.
Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre
d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.
Ces équations traduisent ce problème,
pour indiquer qu’elles forment un
système on place une accolade.
x + y =550
16x + 8y = 6960
Il existe trois méthodes de résolution :
- par substitution,
- par combinaison linéaires
- en utilisant un graphique.
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Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix
d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif.
Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre
d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle .
x + y =550
16x + 8y = 6960
x = 550 - y
Méthode par substitution
principe : on exprime l ’une
des inconnues en fonction de
l’autre.
Puis on remplace
l ’inconnue ainsi exprimée
Finalement
16(550 - y) + 8y = 6960
dans l ’autre équation.
16x + 8y = 6960
D ’où y = 230
x = 550 -230 =320
320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.
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Exercice : 550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix
d ’entrée est de 16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif.
Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre
d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle .
x + y =550
16x + 8y = 6960
x + y =550
2x + y = 870
Astuce de calcul...
x = 550 - y
On divise tous les termes de cette équation par 8.
Vérifie que le résultat est identique si on remplace
2x + y = 870
la deuxième équation par 2x + y =870
2(550 - y) + y = 870
320 adultes et 230 enfants
D ’où y = 230
ont assisté au spectacle .
x = 550 -230 =320
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550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de
16€ pour les adultes. Les enfants paient demi tarif.
Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre
d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.
x + y =550
16x + 8y = 6960
x + y -550 = 0
16x + 8y - 6960 = 0
Méthode par combinaisons linéaires
principe : on construit deux
combinaisons linéaires qui
permettent d ’éliminer
alternativement chaque inconnue.
Il est conseillé de regrouper tous les
termes de chaque équation dans un
seul membre.
Pour éliminer x je calcule
16( x + y - 550) - (16 x + 8y -6960) = 0
( 16 x 0 - 0 = 0 )
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Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle.
Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.
Les enfants paient demi tarif.
Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre
d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.
x + y =550
16x + 8y = 6960
Pour éliminer x je calcule
Pour éliminer y je calcule
16( x + y - 550) - (16 x + 8y -6960) = 0
8( x + y - 550) - (16 x + 8y -6960) = 0
16x + 16 y - 8800 - 16x - 8y + 6960 = 0
8y - 1840 = 0
y = 1840 / 8
y = 230
8x + 8 y - 4400 - 16x - 8y + 6960 = 0
-8x + 2560 = 0
x = -2560 / (-8)
x = 320
320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.
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550 personnes ont assisté à un spectacle. Le prix d ’entrée est de
16€ pour les adultes.Les enfants paient demi tarif.
Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre
d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.
x + y =550
16x + 8y = 6960
x + y =550
2x + y = 870
Astuce de calcul...
On divise tous les termes de la deuxième équation par 8. Vérifie que le
résultat est identique si on remplace la deuxième équation par
2x + y =870
Pour éliminer x je calcule
Pour éliminer y je calcule
2( x + y - 550) - (2 x + y -870) = 0
( x + y - 550) - (2 x + y - 870) = 0
320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.
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Exercice :550 personnes ont assisté à un spectacle.
Le prix d ’entrée est de 16€ pour les adultes.
Les enfants paient demi tarif.
Sachant que la recette est de 6960€, on demande de trouver le nombre
d ’enfants et le nombre d’adultes qui ont assisté au spectacle.
x + y =550
16x + 8y = 6960
16 x + 8y =6960 est une équation dont on peut diviser tous les termes
par 8 ! Elle s ’écrit alors2x + y = 870 ou encore y = 870 - 2x
Par ailleurs x + y = 550 peut s’écrire y = 550 - x
Nous allons donc rechercher graphiquement les coordonnées du point
d ’intersection des droites qui ont pour équations :
y = 870 - 2x et y = 550 - x
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Nous allons rechercher graphiquement les coordonnées du point
d ’intersection des droites qui ont pour équations
y = 870 - 2x et y = 550 - x
Conseils : si l ’énoncé n’impose pas d’unité, il faut réfléchir !
Comment choisir des unités adaptées dans un repère bien placé ?
Dans cet exercice x et y désignent un nombre d ’entrées.
Ce sont donc des nombres positifs et les axes seront disposés en bas à
gauche d ’une feuille de papier ( millimétré de préférence. )
Les valeurs possibles de y sont comprises entre 0 et 550 .
Les valeurs possibles de x sont comprises entre 0 et 435.
( 870 / 2 = 435 )
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y = 870 - 2x et y = 550 - x sont les équations de deux droites
Tracer ces deux droites dans un repère placé en bas, à gauche d ’une
feuille de papier millimétré, prendre 1 cm pour 25 entrées.
Conseils : aucune méthode n ’est imposée,
MAIS à titre de révision
vous pouvez tracer la première droite à
l ’aide de la méthode des trois points.
Et la seconde en utilisant la méthode de la
pente et de l ’ordonnée à l ’origine.
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y nombre d ’entrées enfant
650
La droite d ’équation y = 550 - x a
pour pente -1 et pour ordonnée à
l ’origine 550 donc
600
La droite d ’équation y = 870 - 2x
passe par les points :
si x =200 alors y =470
550
500
450
400
350
si x =300 alors y =270
300
250
si x =100 alors y =670
donc
200
150
100
50
x nombre d ’entrées
adulte
0
50 100 150 200 250 300 350 400 450
Si le graphique est bien fait on retrouve :
320 adultes et 230 enfants ont assisté au spectacle.
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