Complexité des Problèmes Combinatoires

Complexité des Problèmes
Combinatoires
Module IAD/RP/RO/Complexité
Philippe Chrétienne

Plan du cours
•Problèmes de décision.
•Algorithme déterministe. La classe P.
•Algorithme non déterministe. La classe NP.
•Propriétés de la classe NP.
•Réduction polynomiale dans NP.
•Problème NP-complet.
•Quelques réductions.

Problèmes de décision
Un problème de décision est défini par:
•un nom,
•des paramètres génériques,
•une question.
PARTITION
A={a1,….,an}
s :A
Existe t ’il BA
tel que s(B)=s(A/B)?
CLIQUE
Graphe G=(S,A)
1<k<n=Card(S)
Existe t ’il une
clique d ’ordre k
dans G?
SAT
N var. logiques xj
P clauses Cp sur les xj
Existe t ’il une
fonction de vérité
telle que toutes les
clauses soient vraies?

Notations
Problème de décision 
Sous-ensemble des énoncés à réponse « oui »: Y,
Si l’on code les énoncés à partir d’un alphabet 
et d’une fonction codage « raisonnable »,
- chaque énoncé de est un mot sur ,
- le langage des énoncés est noté L(),
- le langage des énoncés à réponse « oui » est noté LY().
Ensemble des énoncés : D,

Algorithme A résolvant .
Donnée : x = mot sur .
Résultat : "oui" si x LY(), "non" sinon.
Fonction complexité temporelle pire-cas de A :
TA(n) = nombre maximum d'opérations élémentaires exécutées
par A sur un énoncé de longueur n.
A est un algorithme polynomial si :
TA(n)=O(p(n)) où p est un pôlynome.