S 1

Consensus distribué
Le problème du Consensus
MB - LRIA
Sommaire

Définition, introduction, généralités



Consensus en présence de pannes franches



Notion de faute
Résultats d’impossibilité et hypothèses de travail
Un algorithme polynomial
Un algorithme exponentiel
Les généraux byzantins


Un algorithme déterministe (Lamport & Al.)
Un algorithe probabiliste (Rabin)
Introduction






Problème fondamental
Brique de base pour les applications
Notion de fautes et hyp. sur le nb de fautes
Résultat d'impossibilité
Algorithmes systèmes synchrones et pannes franches
Simulation (applets)
Notion de fautes


Fautes de liens de communications
Fautes de processus


Pannes franches
Pannes de type GB
Consensus

Le consensus distribué (CD)




liens avec des pbs similaires (GB, CI)
définition
Modèle de calcul et hypothèses
Algorithmes dans le cas synchrone avec pannes franches
Le pb du Consensus

Terminaison:
Tous les processus corrects vont de manière sûre choisir une valeur de
décision

Accord:
Tous les processus corrects choisissent la même valeur

Validité:


Si tous les processus proposent une même valeur v alors la valeur de
décision est v
validité forte: La valeur de décision est celle proposée par un des
processus
Contexte




SD à passage de messsages, synchrone avec pannes
franches
SD à passage de messsages, synchrone avec pannes
byzantines
SD à mémoire partagée, asynchrone avec pannes franches
FLP82
SD à passage de messsages, asynchrone avec pannes
franches LP82
Une solution au consensus
polynomial en présence de
pannes franches
Solution due à Dolev et Strong (1983)
Système distribué à passage de
messages SYNCHRONE



une exécution est une suite d’étapes
on délivre tous les messages des buffers de
communications sortants
on effectue un calcul local après chaque étape d’envoi
ou réception de messages
Pannes franches


Un sous-ensemble d'au plus f processus fautifs
un processus fautif peut s’arrêter



après un envoi de messages quelconque
f est connu
les processus fautifs ne sont pas connus
Algorithme
Comportement de l’algorithme
V1
1 étape
V1
V2
V4
V3
V5
Validité de l’algorithme
Plusieurs choses à montrer




Après un tour sans faute, tous les processus corrects ont le même
ensemble de valeurs.
Dès la fin d’un tour sans faute, à chaque tour, les processus
corrects ont des ensembles de valeurs identiques
L’algorithme se termine en (f+1) tours où f est le nombre de
faute;s;
Le consensus est réalisé après un tour sans faute (càd après f+1
tours).
P1: Tous les ps corrects Pi et Pj réalisent l'accord à la fin
du tour (f+1).
Idée de la preuve
 supposons que x est ajouté à Vi au tour r pour la 1ère fois
 si r <= f, alors Pi envoie x à Pj au tour suivant
 si r = f+1, x est transmis via la chaine Pi1, ...Pif+1





Pi1  Pi2 au tour 1
Pif+1  Pi au tour f+1
implique f+1 ps distincts
un ps correct parmi ceux ci
et il envoie x à tous les processus avant f+1 --> Contradiction
P2: L'algorithme présenté résoud le pb du consensus en
f+1 tours.


si Pi et Pj sont corrects alors Vi et Vj sont les mêmes au
tour f+1
et min(Vi) et min(Vj) sont les mêmes.
Complexité de l'algorithme


f+1 tours jusqu'à ce que les processus corrects décident
à chaque tour, il y a au maximum n2 messages envoyés
donc O((f+1) . n2) messages
L'algorithme est optimal (en nb de tours)
il y a (f+1) tours
Solution exponentielle en
nombre de message au
consensus en présence de
pannes franches
Solution due à
Solution EIGStop
Hypothèses
 Même conditions de travail
 Application de la solution Lamport Shostak et Pease
Principe
 Maintien d’une structure de données en chaque site,
correspondant à un arbre stockant les informations reçues
et leurs parcours
Schéma de l’algorithme



Processus Pi
Début: Wi={v}
Tour k




Distribuer les pairs (étiquette, valeur)au dernier niveau, soft ceux qui
contient i
Recevoir les pairs (étiquette, valeur) de Pj.
Mise à jour l’arbre dépendant de quel pair est reçu de quel processus.
Tour k+1

Appliquer la condition de validité
Principe

(pas de pannes franches)
Au premier tour
Si (i=1)
S1
Arbre W1
V1
S1 V1
S3
S2
S2V2
Identique pour S2 et S3
S3V3
A la seconde étape

(pas de pannes franches)
encore un échange de messages
S3
S1
S2
Arbre W1
Si (i=1)
V1
S1:V1
S1S2:V1
S1 reçoit S1V1
via S2
S1S2:V1
S2:V2
S2S1:V2
S3:V3
S2S3:V2
S1 reçoit S2V2
via S3
S3S1:V3
?
À vous…
Identique pour S2 et S3
Arbre W1
Si (i=1)
V1
S1:V1
S1S2:V1
S1 reçoit S1V1
via S2
S1S2:V1
S2:V2
S2S1:V2
S3:V3
S2S3:V2
S1 reçoit S2V2
via S3
S3S1:V3
S3S2:V3
S1 reçoit S3V3
via S2
Identique pour S2 et S3
Nouvelle seconde étape
(avec 1 panne franche)
S1
S1:V1
S3
S2
La panne se produit juste après l’envoi
d’un message vers S1 et avant l’envoi
des 3 autres messages (il y a en effet
deux fois deux messages, en général il y
a
(n-1)2 messages sur un tour)
Arbre W1
Pour S1
V1
S1:V1
S1S2:V1
S1S3: V1
S2:V2
S2S1:V2
S3:V3
S2S3:V2
S2
S3S1:V3
S3S2:Null
Arbre W3
Pour S3
V3
S1:V1
S1S2:Null
S1S3: V1
S2:V2
S2S1:V2
S3:V3
S2S3:V2
S2
S3S1:V3
S3S2:Null
Pour S2 …panne
Arbre W2
V2
S1:V1
S2:V2
S3:V3
Preuve de validité

Technique (3 lemmes à établir)

La personne intéressé se réfèrera aux documents et à la
bibliographie [Lynch 1997]
Complexité

Nombre de messages

Il y a (f+1) tours
 Chaque tour, on a n processus qui envoie
où k est le numéro de tour DONC

(n 1)  (n  2) 
f 1
k1

n  (n 1)  (n  2) 
 (n k )  (n f 1 )

Complexité en temps

 (n  k 1)
nombre de messages envoyé par un ps dans un tour
f 1

 (n  k  1)
k1
 le temps est (f+1) tours
Modèle synchrone et donc
Généraux Byzantins
Solution due à Lamport, Shostak et
Pease (1982)
Le problème
Notion de faute byzantine
F fautes, 3F+1 participants ou si n généraux, il ne faut
pas avoir plus de n/3 traitres
Hypothèses




Système synchrone
Graphe complet
Absence de messages détectable
Un général traître ne peut pas se faire passer pour un autre
général (loyal).
Schéma de l’algorithme EIGSTop
(rep)



Processus Pi
Début: Wi={v}
Tour k




Distribuer les pairs (étiquette, valeur)au dernier niveau, soft ceux qui
contient i
Recevoir les pairs (étiquette, valeur) de Pj.
Mise à jour l’arbre dépendant de quel pair est reçu de quel processus.
Tour k+1

Appliquer la condition de validité
Algorithme GB


Fonctionne comme EIGStop
Avec comme différences



Si un processus reçoit un message qui n’a pas la forme standard, le
processus rejette ce message
Après (f+1) tours, tous les processus remplacent leurs valeurs Null avec
leur valeur initiale.
Tous les processus appliquent le schéma suivant.
Un processus Pi va calculer une fonction de décision
valeur_de_décision (récursive) avec comme donnée d’entrée l’arbre Wi
Fonction valeur_de_décision( W i)


Pour chaque feuille de Wi, on adopte la valeur associée
comme valeur de décision
Pour chaque nœud interne (non-feuille), on associe
comme valeur au nœud, la valeur
v=majorité(v1, v2 …vi ) où v1, v2 …vi sont les valeurs des enfants si
elle n’existe pas, on prend une valeur par défaut prédéfinie (Retraite,
O, Null)

La valeur de cette fonction est la valeur de la racine
Scénario




6 GB
1 traître (GB N°2) propose
retraite puis change les
messages
GB N°1,3,6 proposent
l’attaque
GB N°4,5 proposent la retraite
Il y aura donc 2 tours avec 36
messages

6 messages au tour 1
 6x5 au tour 2
Schéma de calcul de la Fonction
valeur_de_décision( W i)
Le GB N°1 propose
l’attaque (valeur 1)
Arbre W1
1
S2:1*
S1:1
S1S3:1
S1S4:1
La valeur transmise par S2
(traître)
Peut être quelconque
S1S2: 0*
S1S5:1
S1S6:1
S3:1
S5S2: 1*
S4:0
S5S3:0
Si Sk:Vi
on reçoit la valeur Si :Vi
(la valeur est 0 ou 1) via Sk
S5:0
S5S4:0
S6:1
S5S5:0
S5S6:0
Calcul de valeur_de_décision( W i): étape 0
Le GB N°1 propose l’attaque
(valeur 1)
Arbre W1
1
S2:1*
S1:1
S1S2: 0*
0
Valeur
S1S3:1
1
S3:1
S4:0
S5:0
S6:1
S1S4:1
S1S5:1
S1S6:1
S5S1: 1*
S5S2:0
S5S3:0
S5S4:1
S5S6:0
1
1
1
1
0
0
1
0
Détail de la branche S2
C’est une
valeur
suspecte,
elle peut
varier selon
les Wi
Arbre W1
1
S2:1*
S1:1
Valeur
S3:1
S2S1:V1
S2S3:V3
S2S4:V4
S2S5:V5
1
0
1
0
S4:0
S2S6:V5
0
S5:0
S6:1
Ce sont les valeurs reçues au premier
tour, de S2 par les Si - qui sont
éventuellement suspectes mais qui
sont ici retransmises correctement à
tous les Si à la seconde étape.
Détail de la branche S2 (suite)
Arbre W1
1
S2:1*
S1:1
S2S1:V1
S2S3:V3
S2S4:V4
V1
V3
V4
S3:1
S2S5:V5
V5
S4:0
S5:0
S6:1
S2S6:V6
V6
On calcule la fonction
valeur_de_décision( )
Détail de la branche S2 (suite 2)
Arbre W1
1
VALEUR
S2:1*
S1:1
S3:1
S4:0
S5:0
S6:1
VALEUR
On calcule la fonction
valeur_de_décision( ) qui est
majorité(V1,V3 , V4 , V5 , V6)
et sera la même pour tous les arbres Wi
(pour les ps non-fautifs càd i≠2)
S2S1:V1
S2S3:V3
S2S4:V4
V1
V3
V4
S2S5:V5
V5
S2S6:V6
V6
DONC même avec un traître on assure l’accord et
on remarque que le calcul de la valeur de décision est la même pour tous
Calcul de valeur_de_décision( W i): étape 1
Le GB N°1 propose l’attaque
(valeur 1)
Arbre W1
1
S1:1
0*
1
0
S2:1*
S3:1
S4:0
Valeur majoritaire =1
S1S2: 0*
0
Valeur
S1S3:1
1
1
S5:0
S6:1
Valeur majoritaire =0
S1S4:1
S1S5:1
S1S6:1
S5S2: 1*
S5S3:0
S5S4:0
S5S5:0
S5S6:0
1
1
1
1
0
0
0
0
Question: quelle est la décision?

0 ou 1???

Réfléchir au cas où il n’y aurait pas de traître…
On ne peut rien décider également! Ici
Sinon



1 si on peut calculer 1 ou 0 si la majorité existe
Sinon on prend la valeur par défaut (0 dans ce cas)
Algorithm probabiliste de GB


Due à Michael O. Rabin
Utilise probabilité pour dépasser les GB
Algorithme de Rabin, hypothèses








Serveur d’authentications,
Dealer: un ps non fautif
Partage d’un secret
Asynchrones système
Phase
Local horloge p(i)
Nombre maximum de fautes f
Probabilité d’erronée réponse 
Schéma

Pour k=1 à R fait




Vote (k)
Loterie(k)
Décisions(k)
Fin pour
Vote





Distribuer signe(msg(i),k)
Recevoir (msg(j),k)
Jusqu’à n-t msg reçus
Temp(i)=major(reçus)
Count(i)
Loterie

Dealer:




choisisse aléatoirement un secret sk={0,&}
calcule Ei(k) pour partage sk
Distribue signe(Ei(k))
Processus



Requise Ej(k)
Attende t reçus
Calcule sk
Décision





S=sk
Si (s=0 et n/2<count(i)) or (s=1 et n-2t< count(i))
Msg(i)=temp(i)
Else
Msg(i)=« système fautif »
Bibliographie

The Byzantine Generals Problem
L.Lamport, R.Shostak, M.Pease
ACM TOPLAS Vol.4, No.3, July 1982, pp.382-401

Randomized Byzantine Generals
Michael O. Rabin
IEEE. 1983.