Td correc Bilans en mecanique des fluide

PSI Moissan 2013 TD correction Bilans en m´ecanique des fluides octobre 2013
Td correction Bilans en m´ecanique des fluides
I Jet d’eau sur une plaque
Dm
D1
D2
~v
•
∆
hα
a. L’´ecoulement est incompressible et permanent. L’´ecoulement est unidimensionnel, on peut donc
prendre ~v “vx~ex, donc l’´equation d’Euler s’´ecrit
µp~v ¨ÝÝÑ gradq~v “µvx
Bvx
Bx~ex“ ´ÝÝÑ
gradP
Or, le fluide ´etant incompressible, div ~v “0 donc
Bvx
Bx“0
et donc ÝÝÑ
gradP“ÝÑ 0
La pression est donc constante dans les zones ou l’´ecoulement est unidimensionnel. Par ailleurs, par
continuit´e, `a l’interface eau-air, P“P0, donc la pression dans les zones d’´ecoulement unidimensionnel
est ´egale `a la pression atmosph´erique.
b. On fait un bilan de moment cin´etique, puisque la plaque est susceptible de tourner autour de l’axe
∆ en choisissant le syst`eme suivant
– `a t, le syst`eme est constitu´e par {la plaque, l’eau contenue dans la surface Σ}(S0) et {l’eau entrant
entre tet t`dt dans la surface en A}(S1de masse δmA),
– `a t`dt, le syst`eme est constitu´e par {la plaque, l’eau contenue dans la surface Σ}(S0) et {l’eau
sortant entre tet t`dt de la surface en B(S2Bde masse δmB) et C(S2Cde masse δmC)}.
A
B
C
•O
Hy
z
On calcule le moment cin´etique par rapport `a ∆ `a t
L∆ptq “ L∆S0ptq ` δmApÝÑ OA ^~vAq ¨ ~ex“L∆S0ptq ` δmAppÝÝÑ OH `ÝÝÑ HAq ^ v~eyq ¨ ~ex
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ÝÝÑ
HA est port´e par ~eydonc
L∆ptq “ L∆S0ptq ` δmAp´h~ez^v~eyq ¨ ~ex“L∆S0ptq ` δmAvh
On calcule ensuite le moment cin´etique par rapport `a ∆ `a t`dt
L∆pt`dtq “ L∆S0pt`dtq ` δmBpÝÝÑ OB ^~vBq ¨ ~ex`δmCpÝÝÑ OC ^~vCq ¨ ~ex
Or en B, la vitesse est colin´eaire `a ÝÝÑ OB, en Cla vitesse est colin´eaire `a ÝÝÑ OC, donc
L∆pt`dtq “ L∆S0pt`dtq
On peut donc ´ecrire la variation du moment cin´etique
DL∆“L∆pt`dtq ´ L∆ptq “ L∆S0pt`dtq ´ L∆S0ptq ´ δmavh
L’´ecoulement est ´etudi´e en r´egime permanent, avec un d´ebit massique tel que δmA“Dmdt, donc
DL∆“ ´Dmdtvh
et donc DL∆
Dt “ ´Dmvh
Il reste `a faire l’inventaire des actions ext´erieures et de leur moment :
– la pression est la mˆeme en tout point entourant le syst`eme, et ´egale `a P0, donc son moment est nul,
– la r´eaction au niveau de l’axe ∆ est une force qui passe par O, donc son moment est nul,
– le poids, dont le moment est `a priori non nul.
Le poids s’applique au centre de gravit´e de la plaque, donc
M∆P“ pÝÝÑ OG ^m~gq ¨ ~ex“mppÝÝÑ OH `ÝÝÑ HGq ^ p´g~ezq ¨ ~ex
donc
M∆P“ ´mgHG “ ´mgl sin α
On en d´eduit donc, en appliquant le th´eor`eme du moment cin´etique
Dmvh “mgl sin αñsin α“Dmvh
mgl
c. Le fluide est incompressible, donc le d´ebit volumique est conserv´e
Dm“D1`D2
Par ailleurs, l’´ecoulement ´etant incompressible, parfait et permanent, on peut appliquer le th´eor`eme de
Bernoulli en n´egligeant l’effet de la pesanteur
PA`1
2v2
A“PB`1
2v2
B“PC`1
2v2
C
Comme PA“PB“PC“P0,
vA“vB“vC“v
On fait un bilan de quantit´e de mouvement qui a pour objectif de relier la variation de quantit´e de
mouvement du fluide `a la force de pression exerc´ee sur la plaque. Le syst`eme est donc le mˆeme qu’`a la
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question pr´ec´edente, hormis la plaque. Le syst`eme S0est donc constitu´e uniquement par le fluide contenu
dans Σ, de quantit´e de mouvement ~p0ptq.
A l’instant t
~pptq “ ~p0ptq ` δmA~vA“~p0ptq ` Dmdt~vA
et `a l’instant t`dt
~ppt`dtq “ ~p0pt`dtq ` δmB~vB`δmC~vC“~p0ptq ` D1dt~vB`D2dt~vC
donc D~p
Dt “D1~vB`D2~vC´Dm~vA
La force de pesanteur ´etant n´eglig´e, seule la force de pression s’exerce. En particulier, compte tenu du
caract`ere parfait du fluide, la force de surface s’exer¸cant sur le fluide de la part de la plaque se r´eduit `a
la pression P(pas de viscosit´e). On peut alors ´ecrire
ÝÑ
F“£
Σ
´P dÝÑ S
o`u Pest variable. On transforme cette int´egrale
ÝÑ
F“£
Σ
´P0dÝÑ S´£
Σ
pP´P0qdÝÑ ?
La premi`ere int´egrale est nulle, puisque c’est l’int´egrale sur une surface ferm´ee d’une pression constante.
La deuxi`eme int´egrale est non nulle quand P‰P0, donc au contact entre la plaque et le fluide, d’o`u
ÝÑ
F“ ´ £
plaque
pP´P0qdÝÑ S
On a donc
´£
plaque
pP´P0qdÝÑ S“D1~vB`D2~vC´Dm~vA
que l’on projette le long de la plaque
0“D1v`D2v´Dmsin αv
On a donc finalement le syst`eme suivant
"D1`D2“Dm
D1´D2“Dmsin αñD1“Dmp1`sin αq
2et D2“Dmp1´sin α 2
II Force exerc´ee sur un coude de canalisation
On va faire un bilan de quantit´e de mouvement sur la syst`eme ferm´e suivant
– `a t, le syst`eme est constitu´e du fluide compris entre les surfaces S1et S2(syst`eme S0de masse m0),
plus le fluide qui va entrer `a travers la surface S1entre tet t`dt (syst`eme S1, de masse δm1),
– `a t`dt, le syst`eme est constitu´e de S0, plus le fluide sortant par la surface S2(syst`eme S2de masse
δm2.
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Par conservation de la masse totale du syst`eme
mpt`dtq ´ mptq “ m0`δm2´m0`δm1“δm2´δm1“0ñδm2“δm1“δm
On effectue le bilan de quantit´e de mouvement, `a t
~pptq “ ~p0`δm~v1
et `a t`dt
~ppt`dtq “ ~p0`δm~v2
ce qui donne
D~p “δmp~v2´~v1q “ D dtp~v2´~v1q
et donc D~p
Dt “Dp~v2´~v1q
Par ailleurs, les forces s’exer¸cant sur le syst`eme sont :
– le poids ÝÑ P“M~g,
– la force de pression motrice en S1:P1S1~ex,
– la force de pression r´esistante en S2:´P2S2pcos α~ex`sin α~eyq
– la r´eaction de la canalisation ÝÑ R.
de sorte que
Dv2pcos α~ex`sin α~eyq ´ Dv1~ex“M~g `P1S1~ex´P2S2pcos α~ex`sin α~eyq ` ÝÑ R
La force exerc´ee par le fluide sur la canalisation est donn´ee par
ÝÑ
F“ ´ÝÑ R“Dv2pcos α~ex`sin α~eyq ´ Dv1~ex`M g~ey´P1S1~ex`P2S2pcos α~ex`sin α~eyq
que l’on projette sur les deux axes pour obtenir les composantes
"Fx“Dv2cos α´Dv1´P1S1`P2S2cos α
Fy“Dv2sin α`Mg `P2S2sin α
Dans des conditions classiques S1“S2“S,P1“P2“P0, et pour un fluide incompressible, par
conservation du d´ebit, v1“v2“v
"Fx“Dv cos α´Dv ´P0S`P0Scos α
Fy“Dv sin α`Mg `P0Ssin α
et en regroupant les termes
"Fx“ pDv `P0Sqpcos α´1q
Fy“ pDv `P0Sqsin α`Mg
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III ´ Eolienne/h´elice
Σ1Σ2
x1x
SA
SB
~vA
~vA~vA
~vB
~v ~v
P0
P0
a. Le fluide est incompressible, donc le d´ebit est conservatif, et donc
SAvA“SBvB“Sv
b. On applique le th´eor`eme de Bernoulli entre Aet un point de de Σ1
P0`ρv2
A
2“P1`ρv2 2ñP1“P0`ρˆv2
A
2´v2 2˙
De mˆeme entre un point de Σ2et B
P0`ρv2
B
2“P1`ρv2 2ñP2“P0`ρˆv2
B
2´v2 2˙
On d´efinit le syst`eme suivant :
– `a t, le volume compris entre Σ1et Σ2(S0, de quantit´e de mouvement ~p0ptq “ m0~vptq) + le fluide
rentrant dans S0entre tet t`dt (S1, de masse δm1),
– `a t`dt, le volume compris entre Σ1et Σ2(S0, de quantit´e de mouvement ~p0pt`dtq “ m0~vpt`dtq)
+ le fluide sortant de S0entre tet t`dt (S2, de masse δm2),
On fait un bilan de quantit´e de mouvement sur ce syst`eme
~pptq “ ~p0`δm1~v ~ppt`dtq “ ~p0`δm2~v
En r´egime stationnaire, ~p0ptq “ ~p0pt`dtq, et δm1“δm2(conservation de la masse) donc
D~p
Dt “ÝÑ
0
Les forces qui agissent sur le syst`eme sont les forces de pression et l’action de l’h´elice sur le fluide ÝÑ F, donc
ÝÑ
F`P1S~ex
loomoon
moteur
´P2S~ex
loomoon
resistant
“0ñÝÑ F“S~expP2´P1q “ S~exρˆv2
B
2´v2
A
2˙
La force exerc´ee par l’h´elice sur le fluide est donc positive (et donc fournit un travail positif au fluide,
fonctionnement en moteur) si P2ąP1ou si vBąvA, et donc SBăSA. La vitesse d’´ejection du fluide
est plus grande en sortie qu’en entr´ee.
Inversement, La force exerc´ee par l’h´elice sur le fluide est n´egative (et donc fournit un travail n´egatif
au fluide, fonctionnement en ´eolienne/g´en´eratrice) si P1ăP2ou si vBăvA, et donc SBąSA. La vitesse
d’´ejection du fluide est plus petite en sortie qu’en entr´ee, et on pr´el`eve de l’´energie cin´etique du vent pour
faire tourner l’h´elice.
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