Chapitre 6 Courant et résistance

Chapitre 6
Courant et résistance
Questions :
Non. La loi d’Ohm s’applique à tout matériau ohmique (c’est-à dire que ρ = cste ),
peu importe la température et la géométrie.
#1)
#2) Non. En fondant, le fusible empêche une surcharge de courant dans l’appareil; le fil
se sectionne et coupe tout apport de courant à celui-ci. En mettant un fusible pouvant
supporter un plus fort courant, l’appareil pourra recevoir, éventuellement, des
valeurs de courant trop grandes, pour lesquelles il n’a pas été conçu. Donc, on risque
de « griller » l’appareil.
#6) Les oiseaux ne « grillent » pas car leur deux points de contacts (les pattes) sont au
même potentiel. Pour générer un courant, il faut une différence de potentiel; soit des
points de contact à des potentiel différents. Pour griller, il faudrait, par exemple, que
l’oiseau touche le fil d’une patte et le sol de l’autre.
Fil avec V >>>
= BBQ
Sol avec V=0
Lorsqu’une personne s’électrocute, elle paralyse et n’est pas capable de s’éloigner de la
source. Si vous voulez l’aider, vous devez sauter sur la personne afin de vous assurer que
vos pieds ne touchent pas le sol lorsque vous serez en contact avec la personne; sinon, les
charges vous traverseront aussi pour rejoindre le sol.
1
#8)
La vitesse de dérive :
vd =
I
n Ae
vd =
∆V A
∆V
=
ρ l n A e ρ l ne
a)
∆V
R
et R =
ρl
A
(un fil )
En fonction de la longueur du fil :
vd ∝
1
l
b)
En fonction de la différence de potentiel :
c)
Pour un courant constant :
vd ∝ ∆V
vd ∝
d)
#9)
avec I =
1
A
En fonction du courant :
vd ∝ I
Deux fils aux mêmes dimensions:
RCu =
RAr =
ρCu l
A
ρ Ar l
RCu ρCu
=
RAr ρ Ar
>1
A
Avec
∆V = E l = R I
RCu I
l
ECu
ρ
=
= Cu > 1
ρ Ar
E Ar R I
Ar
l
⇒
ECu > E Ar
2
#11)
Deux possibilités :
•
On change la résistance tout en assurant que le courant demeure toujours le
même (implique qu’on doit augmenter ou diminuer la différence de potentiel) :
Si
R1 > R2
Avec I = cste
P = RI2
Donc
P1 > P2
•
On change la résistance tout en assurant que la différence de potentiel demeure
toujours la même (implique que la quantité de courant traversant la résistance ne
sera pas constante) :
Si
R1 > R2
Avec ∆V = cste
∆V 2
R
Donc
P1 < P2
P=
#12)
Densité de courant :
I n A e vd
=
A
A
J ∝ vd
J=
Exercices :
#1)
Écran cathodique:
A = π ( 0,5 × 10−3 m )
2
I = 1,9mA
a)
Le nombre d’électrons par seconde :
1,9mA = 1,9 mC
1C
→
1,9mC →
s
6, 24 × 1018 électrons
? électrons
? = 1,19 ×1016 électrons / s
3
b)
La densité de courant :
J=
#2)
I
I
=
= 2, 42 × 103 A 2
2
m
A πr
Accélérateur de particules :
vd = 5 ×106 m
I = 1µ A
s
r = 1mm → A = π r 2
a)
La densité de courant :
J=
b)
I
I
=
= 0,318 A 2
m
A π r2
La densité volumique de protons:
I = n Ae vd
n=
I
= 3, 98 × 1011 protons 3
m
A e vd
#4) Câble de cuivre :
l = 30 000m
r = 5mm
A = π r2
→
I = 500 A
ρ = 1, 7 ×10−8 Ω m
ρ ′ = 8,9 ×103 kg
m3
M = 63,5 g
a)
La densité surfacique de courant :
J=
b)
I
= 6, 37 × 106 A 2
m
A
Le champ électrique:
R=
ρl
A
= 6,50Ω
∆V = R I = E l
⇒ E=
RI
= 0,108 V
m
l
4
c)
La vitesse de dérive :
I = n Ae vd
vd =
I
= 4, 71×10−4 m
s
Ae n
Car
n=
d)
= 8, 44 × 1028 atomes
M
l
= 2, 02 ans
vd
Électron en orbite dans un atome d’hydrogène:
r = 5,3 × 10−11 m
v = 2, 2 ×10 m
v=
6
I=
#8)
m3
Temps mis par un électron pour parcourir le fil :
t=
#7)
ρ′ N A
s
2π r
→ T = 1,51×10−16 s
T
∆Q e
= = 1, 06mA
∆t T
Un courant électrique:
I = ( 2t 2 − 3t + 5 ) A
dQ
I=
dt
→
dQ = I dt →
Q = ∫ dQ =
5s
∫ I dt
2s
5s
5s
3
2

Q = ∫ I dt =  t 3 − t 2 + 5t  = 61,5C
2
3
2 s
2s
#9)
Un fil d’aluminium :
l = 10m
r = 0, 75mm
A = π r2
→
I = 12 A
ρ = 2,8 ×10−8 Ω m
n = 1×1029 atomes
m3
5
a)
La densité surfacique de courant :
J=
b)
La vitesse de dérive :
J = n e vd
vd =
c)
I
= 6, 79 × 106 A 2
m
A
J
= 4, 24 ×10−4 m
s
ne
Le champ électrique :
∆V = R I = E l
#11)
⇒ E=
RI ρ l I
=
= 0,190 V
m
l
A l
Un fil d’argent :
l = 1cm
r = 2mm
→
∆V = 120V
ρ = 2200 Ω m
A = π r2
I=
∆V ∆V A
=
= 68,5µ A
R
ρl
#13) Figure 6.29:
longueur = l
petit rayon = a
grand rayon = b
résistivité = ρ
ρl
R=
A
Avec
A = π b2 − π a 2
ρl
R=
π (b2 − a2 )
6
#14) Fil d’argent :
ρ0 = 1,5 ×10−8 Ω m
(à 20°C )
α = 3,8 ×10 / °C
−3
R0 = 1, 2Ω
ρ = ρ 0 (1 + α [T − T0 ]) = 1,59 ×10−8 Ω m
(à 35°C )
Trouvons le rapport l/A :
ρ l
l 1, 2
R0 = 1, 2Ω = 0
→
=
A
A ρ0
R=
ρl
A
ρ 1, 2
= 1, 27Ω
ρ0
=
#15) Fil de cuivre :
ρ0 l
R0 = 0,8Ω =
R = 1, 2Ω =
A
ρl
A
=
l 0,8
=
A ρ0
→
ρ 0,8
ρ0
ρ
= 1,5
ρ0
→
ρ = ρ 0 (1 + α [T − T0 ])
ici
α = 3,9 × 10−3 / °C
ρ
= 1,5 = (1 + α [T − 20°C ])
ρ0
⇒
T = 148°C
#19) Deux fils avec la même résistance :
RCu =
RAl =
ρCu l
=
ACu
ρ Al l
AAl
=
ρCu l
π  dCu 2 


ρ Al l
π  d Al 2 


(1)
2
(2)
2
(1) = (2) :
ρCu l
π  d Cu 
2

⇒
2
=
2
ρ Al l
π  d Al 
2

2
→
ρCu  dCu  1, 7 ×10−8 Ω m
=
 =
ρ Al  d Al  2,8 ×10−8 Ω m
dCu
= 0, 779
d Al
7
#23) Fil conducteur :
l = 10m
r = 0, 6mm
R = 1, 4Ω
R=
ρl
A
→
A = π r2
→
ρ = 1,58 ×10−7 Ω m
Si
l = 16m
r = 0, 4mm
R = 5, 04Ω
#25) Fil de cuivre :
T0 = 20°C
R0 = 1Ω
α = 3,9 × 10−3 / °C
a) La résistance est 10% plus grande :
R = R0 + 0,1 R0 = 1,1 R0 = 1,1Ω
R = R0 (1 + α [T − T0 ]) = 1,1Ω
→
T = 45, 6°C
b) La résistance est 10% plus petite :
R = R0 − 0,1 R0 = 0,9 R0 = 0,9Ω
R = R0 (1 + α [T − T0 ]) = 0,9Ω
→
T = −5, 64°C
#27) Une ligne de transport :
l = 200 000m
R = 10Ω
I = 1200 A
Pour 200m
→
R = 0, 01Ω
∆V = R I = 12, 0V
8
#29) Batterie d’automobile ∆V = 12V :
a) Charge fournie :
80 A h = 80
C
3600 s = 2,88 ×105 C
s
b) Temps :
J ∆U q ∆V 2,88 × 105 C ⋅12V
=
=
=
s
∆t
∆t
∆t
25W = 25
⇒ ∆t = 38, 4h
#30) Grille-pain :
∆V = 120V
I = 7A
∆t = 30s
0, 06$ / kWh
∆U = q ∆V = I ∆t ∆V = 25, 2 kJ
1 kWh = 1000
J
⋅ 3600 s = 3, 6 MJ
s
Relation linéaire :
3, 6 MJ
→
2, 52 kJ
→
0, 06$
?$
? = 0, 420m$ = 0, 0420c/
#32) Phares d’auto :
∆V = 12V
I = 10 A
conversion = 25% ⋅ 30 MJ / L = 7,5 MJ / L
9
→
→
10C
?C
1s
3600 s
? = 3, 6 × 104 C
Énergie consommée :
∆U = q ∆V = 4, 32 ×105 J
Nombre de litres :
7,5MJ
0, 432 MJ
→
→
1L
?L
? = 57, 6mL
#34) Fil de cuivre de calibre 12 :
l = 20m
r = d = 1, 025mm
2
I = 12 A
→
A = π r2
ρ = 1, 7 ×10−8 Ω m
R=
ρl
A
= 0,103Ω
Avec
P = R I 2 = 14,8W
#36) Moteur :
∆V = 240V
I = 10 A
m = 2000kg
v = 2,5 cm
s
a) Puissance mécanique :
P = F i v = mg ⋅ 2,5 ×10−2 m cos 0° = 490W
s
746W
→
1hp
? = 0, 657hp
490W
→
? hp
10
b) Le rendement :
Pmécanique
Pélectriqu
×100 =
490W
×100 = 20, 4%
∆V I
#40) Ampoule à 3 intensités :
P1 = 41W
P2 = 70W
P3 = 100W
∆V = 120V
Trouver la valeur des 2 résistances permettant d’obtenir ces 3 puissances. En
sachant que la différence de potentiel sera la même dans les 3 situations, on
2
utilise P = ∆V
. Donc, si R est élevée, la P dissipée sera plus faible. Ainsi, la
R
plus petite puissance est dissipée lorsque les 2 résistances sont associées en série.
∆V 2
P1 =
= 41W
( Ra + Rb )
(1)
∆V 2
= 70W
Ra
(2)
P2 =
∆V 2
P3 =
= 100W
Rb
•
(3)
De (2) et de (3) :
2
∆V 2 (120V )
Ra =
=
= 206Ω
P2
70W
∆V 2 (120V )
=
= 144Ω
Rb =
100W
P3
2
•
On vérifie avec l’équation (1) :
(120V ) = 41W
∆V 2
P1 =
=
( Ra + Rb ) 350Ω
2
11
#41) Ampoule à 3 intensités
P1 = 50W
P2 = 100W
P3 = 150W
∆V = 120V
Trouver la valeur des 2 résistances permettant d’obtenir ces 3 puissances. En
sachant que la différence de potentiel sera la même dans les 3 situations, on
2
utilise P = ∆V
. Donc, si R est faible, la P dissipée sera élevée. Ainsi, la plus
R
grande puissance est dissipée lorsque les 2 résistances sont associées en parallèle.
P1 =
∆V 2
= 50W
Ra
(1)
∆V 2
P2 =
= 100W
Rb
P3 =
•
∆V 2
 1
1 
 + 
 Ra Rb 
−1
(2)
= 150W
(3)
De (1) et de (2) :
2
∆V 2 (120V )
Ra =
=
= 288Ω
P1
50W
∆V 2 (120V )
Rb =
=
= 144Ω
P2
100W
2
•
On vérifie avec l’équation (1) :
P3 =
∆V 2
 1
1 
 + 
 Ra Rb 
−1
(120V )
=
96Ω
2
= 150W
12
Problèmes :
#8) Automobile :
m = 600kg
20 batteries
∆V = 12V / batterie
100 Ah = 100
À 60 km
h
C
⋅ 3600 s = 3, 6 × 105 C / batterie
s
→ Ffriction = −180 N i
Puissance déployée pour maintenir la vitesse constante :
P = Fmoteur i v = Fmoteur v cos 0° = 180 N 16, 7 m = 3000W
s
a) Temps sur une route horizontal :
Avec :
∆U = Q ∆V = 20 batteries ⋅ 100 Ah ⋅ 12V / batterie = 8, 64 ×107 J
P=
∆U
= 3000W
∆t
⇒
∆t =
∆U
= 2,88 ×104 s = 8, 00hres
3000W
b) Sur une pente : la force doit contrer la friction et une partie du poids :
10˚
13
∑ F = (F
(1)
x
moteur
− m g sin θ − Ffriction ) i = m a = 0
→
Fmoteur = 1200 N i
Donc :
P = Fmoteur i v = 20, 0kW
∆t =
∆U
= 4320 s = 1, 20hre
P
#9) Un fil d’acier et de cuivre :
∆V = 10V
cuivre :
l1 = 40m
r1 = 1mm
→
A = π r2
R1 =
A = π r2
R2 =
ρ1 = 1, 7 × 10 Ω m
−8
ρ1 l1
A1
= 0, 216Ω
acier :
l2 = 40m
r2 = 1mm
→
ρ 2 = 40 ×10 Ω m
−8
ρ 2 l2
A2
= 5, 09Ω
Mis en série :
Réq = R1 + R2 = 5, 306Ω
a) Puissance dissipée :
I=
∆V
= 1,88 A
Réq
P1 = R1 I 2 = 0, 767W
P2 = R2 I 2 = 18, 0W
b) Champ électrique :
P1 = ∆V1 I = E1 l1 I
⇒
E1 = 1, 02 ×10−2 V
P2 = ∆V2 I = E2 l2 I
⇒
E2 = 0, 239 V
m
m
14