Aspects algorithmiques de la géométrie discrète

UNIVERSITÉ DU QUÉBEC À MONTRÉAL
ASPECTS ALGORITHMIQUES DE LA GÉOMÉTRIE DISCRÈTE
THÈSE
PRÉSENTÉE
COMME EXIGENCE PARTIELLE
DU DOCTORAT EN MATHÉMATIQUES
PAR
HUGO TREMBLAY
DÉCEMBRE 2016

REMERCIEMENTS
Les quatre dernières années ont été semées d’embûches, de joies, de déceptions
mais, surtout, d’innombrables moments inoubliables. Le parcours du doctorant,
bien qu’extrêmement stimulant et enrichissant, est long et ardu. Heureusement,
j’ai pu compter sur le support inconditionnel d’amis, de collègues et de membres
de ma famille qui ont tous, à leur façon, contribué à l’accomplissement de ce projet
un peu fou.
D’abord, je souhaite remercier sincèrement mes directeurs, Srečko Brlek et Alexandre
Blondin Massé. Srečko, merci d’avoir cru en moi, de m’avoir poussé à faire de la
recherche et, surtout, de me pousser hors de ma zone de confort. Alexandre, ton
écoute et ta disponibilité sont sans pareilles. Tu m’as permis de réaliser ce projet
dans ma terre natale et je t’en suis très reconnaissant. Merci de m’avoir appris le
métier de mathématicien et, par-dessus tout, merci pour ton amitié.
Merci à tous mes amis et collègues mathématiciens de m’avoir fait oublier les longs
trajets hebdomadaires Chicoutimi-Montréal. Lionel Katshingu, mon complice en
toute chose, chaque moment passé en ta compagnie fait de moi une meilleure
personne. Catherine Bourbeau, ta bonne humeur, ton écoute et ton amitié sont un
cadeau précieux. Marco Robado, ta passion débordante pour les mathématiques
contribue à alimenter la mienne. Merci aussi à Jérôme Fortier, Sébastien Labbé,
Maxime Scott et Maxime Gélinas pour le bon temps passé en votre compagnie.
Merci à tout le personnel du LaCIM qui rend ce lieu si parfait pour s’épanouir
mathématiquement : Johanne Patoine, dont la bonne humeur et l’efficacité em-
pêchent tout potentiel problème administratif. Jérôme Tremblay, dont l’humour

iv
(douteux) et la passion pour la culture scientifique sont si propices à la procras-
tination, mais si enrichissants. Franco Saliola, dont l’enthousiasme et la passion
contagieux me poussent à me dépasser.
Merci à toute ma famille, papa, maman et Léa pour les encouragements, le soutien
et, surtout, votre amour.
Merci Marie-Philip, ma compagne de tous les instants, de toutes les émotions et
de tous les rêves. Voilà plus de dix ans que tu m’offres ton support inconditionnel,
malgré les longues périodes passées loin l’un de l’autre. Sache que sans toi, rien
de tout cela ne serait possible.
Un chapitre important de ma vie se termine, mais un autre débute à peine. Ma-
thilde, je t’aime plus que tout. Papa sera toujours là pour toi, quoi qu’il arrive.

TABLE DES MATIÈRES
LISTEDESFIGURES ............................ vii
RÉSUMÉ .................................... xi
INTRODUCTION ............................... 1
CHAPITRE I
DÉFINITIONS ET NOTATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.1 Géométriediscrète ............................ 8
1.2 Topologie des graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3 Combinatoire des mots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.4 Figures et chemins discrets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.5 Pavages par translation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
CHAPITRE II
RÉSEAUX PARALLÉLOGRAMMES ET CODES CIRCULAIRES . . . . 39
2.1 Réseaux parallélogrammes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2 Homéomorphisme de réseaux parallélogrammes . . . . . . . . . . . . 46
2.3 Application à la théorie des codes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
CHAPITRE III
ARITHMÉTIQUE DES POLYOMINOS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
3.1 Polyominospremiers ........................... 59
3.2 Théorème fondamental de l’arithmétique pour les polyominos . . . . 65
3.3 Algorithme de factorisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
CHAPITRE IV
OPÉRATIONS GÉOMÉTRIQUES SUR LES POLYOMINOS . . . . . . . 77
4.1 Graphesd’adjacences........................... 78
4.2 Structure de données d’arbre quaternaire radix . . . . . . . . . . . . . 89
4.3 Enveloppes externe et convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99