Optique quantique en régime femtoseconde
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Optique quantique en régime femtoseconde Nicolas Treps Laboratoire Kastler Brossel Université Pierre et Marie Curie École Normale Supérieure CNRS Ecole prédoctorale des Houches Impulsions femtosecondes : des concepts fondamentaux aux applications De l’intérêt du régime femtoseconde La très grande puissance crête permet une non-linéarité par photon très importante. La localisation spatio-temporelle permet de bien contrôler et/où utiliser les états produits Les peignes de fréquence permettent d’adresser les deux régimes de l’optique quantique : photons uniques et variables continues Ce dont on va parler Absorption à 2 photons Réduction de bruit quantique Barak Dayan, Avi Pe’er, Asher A Friesem, Yaron Silberberg, Phys. Rev. Lett. 93 023005 (2004) R. Dong, J. Heersink, J.F. Corney, P.D. Drummond, U.L. Andersen, G. Leuchs, Opt. Lett. 33, 116 (2008) Métrologie Chats de Schrödinger B. Lamine, C. Fabre et N. Treps, Phys. Rev. Lett. 101 123601 (2008) A. Ourjoumtsev, H Jeong, R Tualle-Brouri, P Grangier, Nature 448 784 (2007) Sommaire général Partie I : Des impulsions faîtes de photons 1 2 Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Partie II : Mesure et lumière non-classique 3 4 Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Menu 1 Le champ électromagnétique est quantique La notion de photon Génération de paires de photons via l’optique non linéaire L’expérience d’Hong, Ou et Mandel Mise en forme de photons par accord de phase 2 Processus à deux photons en régime quantique Contrôle cohérent et absorption à deux photons Somme de fréquence et lumière comprimée Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Introduction : de l’existence du photon La nature quantique du champ électromagnétique : Einstein, par des arguments thermodynamiques (1905) Kimble, Dagenais, Mandel : photon uniques créés par fluorescence atomique. Comment prouver que l’on a des photons uniques ? Kimble, Dagenais, Mandel, Phys. Rev. Lett. 39 (1977) Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Fonctions d’autocorrélation Premier ordre g (1) (τ ) ∝ hE ∗ (t + τ )E(t)i Signal de l’interféromètre : 1 + g (1) (τ ) ∝ h|E(t + τ ) + E(t)|2 i Fluctuations de phase Deuxième ordre g (2) (τ ) = hI(t + τ )I(t)i/hI(t)i2 τ Fluctuations d’intensité Handbury-Brown and Twiss, Nature jan 7 1956, p. 27 Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Interprétation du g (2) En physique classique, et pour un phénomène stationnaire, on a : 2 g (2) (τ ) = I(t)I(t + τ )/I(t) g (2) (τ → ∞) = 1 car pas de corrélations aux temps longs 2 2 2 g (2) (0) = I(t)2 /I(t) ≥ 1 (car (I − I)2 = I 2 − 2II + I = I 2 − I ≥ 0). g (2) (0) ≥ 1 (1) Le g (2) d’une source classique présente une bosse en τ = 0. La largeur de cette bosse correspond à la longueur de cohérence. En physique quantique, g (2) (0) correspond aux coïncidences de photons sur les deux photodétecteurs : il peut être égal à zéro ! Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Un seul photon ? Source Thermique Photon unique Source laser g(2) g(2) g(2) 2 2 2 1 1 1 τ Groupement de photons τ Photons aléatoires τ Dégroupement de photons Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Kimble, Dagenais, Mandel Mesure de la fluorescence d’atomes de sodium Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Générer des photons corrélés via l’optique non linéaire Idée générale ωp ~kp = = ωs + ωi ~ks + ~ki PDC produit directement des photons intriqués Photons émis en même temps = corrélés en temps Accord de phase : corrélés en impulsion En type II : corrélation en polarisation Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Fréquences générées Accord de phase Les fréquences produites dépendent de : la fréquence de la pompe et donc de sa largeur spectrale α(ωs + ωi ) la courbe d’accord de phase φ(ωs , ωi ) Produit de la largeur de la pompe par la courbe d’accord de phase Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Comme source de photons uniques Hong et Mandel, Expermimental realization of a localized one-photon state, Phys. Rev. Lett. (1986) vol. 56 pp. 58-60 Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Utilisé comme source d’intrication : en type II 1 |ψi = √ (|Hi |V i + |V i |Hi) 2 P Kwiat, K Mattle, H Weinfurter, A Zeilinger, New High-Intensity Source of Polarization-Entangled Photon Pairs, Phys. Rev. Lett. (1995) Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique La lame semi-réfléchissante 3 4 1 1 E3 = √ (E1 + E2 ) 2 1 E4 = √ (−E1 + E2 ) 2 2 Le champ électromagnétique est quantique le champ électrique Ê = iE â annihilation et création [â, ↠] = 1 l’énergie Ĥ = ~ω(↠â + 12 ) le nombre de photons N̂ = ↠â De plus, on travaille en représentation de Heisenberg (ce sont les opératerus qui évoluent, pas la fonction d’onde). Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Toute l’optique quantique dans une lame La lame séparatrice “quantique” 3 Les opérateurs champ électrique suivent les transformations des champs classiques 4 1 â3 = √1 (â1 2 â4 = √1 (−â1 2 + â2 ) + â2 ) 2 Fonction de corrélation = taux de coïncidences î3 = â3† â3 = î4 = â3† â3 = î3 + î4 = w34 = â3† â4† â3 â4 = 1 † (â â1 + â2† â2 + â1† â2 + â2† â1 ) 2 1 1 † (â â1 + â2† â2 − â1† â2 − â2† â1 ) 2 1 î1 + î2 1 (−â1†2 + â2†2 )(−â12 + â22 ) Taux de coïncidences 4 Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Intérférences à 2 photons |ψi = |1, 1i hψ|î3 |ψi = hψ|î4 |ψi = 1 hψ|w34 |ψi = 0 Il y a interférence destructive entre les deux chemins croisés : il faut faire la somme des amplitudes de probabilité Ne peut être observée que si les deux photons arrivent en même temps Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Hong Ou Mandel Pompe : continue à 351nm Coïncidence si différence de temps d’arrivée des photons < 7,5 ns C.K. Hong, Z.Y. Ou et L. Mandel, PRL 59, 2044 (1987). τ=50fs Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Génération paramétrique : bonne source ? Accord de phase Conservation de l’énergie + accord de phase : le photon annoncé n’est jamais le même filtrage spatio-temporel mise en forme de la courbe de gain État produit : |ψi = |0, 0i + RR dωi dωs f (ωi , ωs )âi† as† |0, 0i 6= |0, 0i + κ |1, 1i Pompe large : réduire la contrainte sur l’énergie Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Mettre en forme la courbe d’accord de phase Accord de phase “vertical” et pompe large La fonction se factorise RR |ψi = |0, 0i + dωi dωs h(ωi )g(ωs )âi† as† |0, 0i = |0, 0i + κ |1, 1i P. J. Mosley, J. S. Lundeen, B. J. Smith, A. B. U’Ren, C. Silberhorn, I. A. Walmsley, PRL 100, 133601 (2008). Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique "Bons" photons uniques HOM sans filtrage spectral P. J. Mosley, J. S. Lundeen, B. J. Smith, A. B. U’Ren, C. Silberhorn, I. A. Walmsley, PRL 100, 133601 (2008). Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Absorption à deux photons e Probabilité de transition : ˛2 ˛Z ˛ ˛ pf (∞) ∝ ˛˛ E(ω)E(ωfg − ω)˛˛ g Deux photons coïncidents : impulsion courte Somme des fréquences bien définie : spectre étroit Mais... Sensible à la somme des phases Mise en forme d’impulsion lumière paramétrique ! ) Impulsion limitée par transformée de Fourier ! Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Lumière paramétrique et absorption à deux photons Accord de phase kp = ki + ks Largeur spectrale très grande ∼ 100nm Équivalent à une impulsion effective de 20fs Pour une pompe monochromatique Z Ep (ωp ) avec → h i ωp ωp ωp ωp f (δ) Es ( + δ)e−i( 2 +δ)t + Ei ( − δ)e−i( 2 −δ)t dδ 2 2 δ ωp ∗ ωp Es ( + δ) ∝ Ei ( − δ) 2 2 Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Absortion à deux photons en régime quantique Impulsion pompe : 3ns (0, 04nm) Résolution temporelle : 23fs Largeur spectrale : 100nm Barak Dayan, Avi Pe’er, Asher A Friesem, Yaron Silberberg, Phys. Rev. Lett. 93 023005 (2004) Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Contrôle cohérent quantique Mise en forme spectrale du signal par une fonction carrée Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Somme de fréquence Processus Somme de fréquence à bas flux Les deux photons doivent être coïncidents Expérimentalement On mesure de nouveau la largeur spectrale de la “fonction d’onde” du photon. Ressemble à une autocorrélation Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Sauf que... Lumière paramétrique ressemble à : Et si on l’atténue L’atténuation du flux de paires et l’atténuation du faisceau doivent produire des résultats différents ! ! Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Dépendance avec l’intensité incidente Atténuation d’un état non-classique : change la statistique Atténuation d’un état classique : la statistique reste poissonienne Dayan et al. Nonlinear Interactions with an Ultrahigh Flux of Broadband Entangled Photons. Physical Review Letters (2005) Le champ électromagnétique est quantique Processus à deux photons en régime quantique Conclusion du premier cours La lumière est quantique l’optique non-linéaire permet de créer des sources de photons uniques ou de paires de photons Les largeurs spectrales associées sont très grandes on peut utiliser des techniques de mise en forme similaires à ce qui se fait pour les impulsions peut être mis directement en évidence par des processus d’absorption à 2 photons Que se passe-t-il quand on n’est plus sensible au photon ? Quand on détecte le champ ? Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Menu 3 Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Concepts généraux, réduction de bruit quantique Fonction de Wigner, états non-gaussiens 4 Mesure et métrologie Métrologie des fréquences et du temps Mesure de temps au delà de la limite quantique standard Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Le régime des variables continues Quand il y a beaucoup de photons Faisceau de 1mW ∼ 1016 photons/s Il n’est plus possible de compter les photons La nature quantique du champ se manifeste comme un bruit dans les mesures Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Mesurer le champ La photodéctection Représentation de Fresnel E(t) = Ex cos ωt + EY sin ωt EX et EY sont les quadratures du champ On peut définir les observables quantiques associées, qui ne commutent pas : ∆Ex ∆EY ≥ E0 Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Mesurer le champ La photodéctection Les fluctuations quantiques î = ↠â : le bruit quantique se manifeste dans la variance de i hδ îi = 0 ∆2 î = hî 2 i − hîi2 : on définit δ î = î − hîi hδ î 2 i = ∆2 î Pour un état cohérent (produit par un laser), les photons suivent une statistique poissonienne : p hδ î 2 i = hîi ∆Nombre de photons = Nombre de photons Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Photons Jumeaux Génération paramétrique intra-cavité J. Mertz, T. Debuisschert, A. Heidmann, C. Fabre, and E. Giacobino, Opt. Lett. 16 1234 (1991) Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie La détection homodyne î3 − î4 = â1† â2 + â2† â1 3 Oscillateur local 4 1 Champ à 2 mesurer Si le champ à mesurer est le vide, on mesure les fluctuations du vide ! ! δ(î3 − î4 ) = δ â2 hâ1† i + δ â2† hâ1 i + δ â1 hâ2† i + δ â1† hâ2 i Ê1 = iE â1 si : hâ1 i >> hâ2 i considéré comme classique on écrit hâ1 i = αeiθ √ δ(î3 − î4 ) = α(δ â2 e−iθ + δ â2† eiθ ) = α 2δ X̂ θ Il vient : δ X̂ θ=0 proportionnel à EX δ X̂ θ=π/2 proportionnel à EY Les opérateurs de quadrature Il est possible de les mesurer Ils ne commutent pas : [δ X̂ θ=0 , δ X̂ θ=π/2 ] = 1 Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Bruit quantique standard et états comprimés Le bruit quantique standard Etat cohérent : champ moyen + fluctuations du vide : ∆X̂ + = ∆X̂ − = 1 √ Fluctuations d’intensité en N États non-classiques Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Mesurer la réduction de bruit quantique Le bruit quantique standard Le bruit du champ incident i(t) i(t) 3 Oscillateur local 1 3 4 Oscillateur local 4 1 Expérience Expérience Les intensités mesurées sont analysées à l’analyseur de spectre On compare les spectres de bruit, et on donne le résultat en dB Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Réduction de bruit par effet Kerr Mesure et métrologie Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Fonction de Wigner en optique quantique On peut représenter l’état quantique du champ par une fonction de Wigner. La probabilités de mesure Pθ (x) selon une quadrature X θ s’écrit : Z Pθ (x) = W (x cos θ − p sin θ, x sin θ + p cos θ)dp Pour un état gaussien En toute généralité : W (x, p) = 1 2π R eiνp hx − ν/2|ρ̂|x + ν/2idν Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Fonction de Wigner en optique quantique On peut représenter l’état quantique du champ par une fonction de Wigner. La probabilités de mesure Pθ (x) selon une quadrature X θ s’écrit : Z Pθ (x) = W (x cos θ − p sin θ, x sin θ + p cos θ)dp Quelques propriétés W (x, p) est une fonction de “quasi-probabilité” qui permet de prédire tous les résultats de mesure Quand elle est partout positive, W (x, p) est une densité de probabilité qui se comporte comme une statistique classique. Mais, comme une fonction de Wigner classique, elle peut-être négative : la mécanique quantique est basée sur des amplitudes de probabilités. Fonction de Wigner d’un état cohérent ou comprimé : W (x, p) = (p−hpi)2 1 − (x−hxi)2 − 1/s s e π Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Fonction de Wigner pour un photon unique La fonction de Wigner est négative : elle ne peut plus être considérée comme une distribution de probabilité, seules ses projections le sont. La fonction de Wigner peut-être reconstruite à partir de la mesure de toutes les probabilités marginales Source : manuscrit de thèse d’Alexeï Ourjoumstev Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Tomographie d’un ou deux photons Mesure et métrologie Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Tomographie d’un ou deux photons A. Ourjoumtsev, R. Tualle-Brouri, and P. Grangier, Phys. Rev. Lett. 96, 213601 (2006). Mesure et métrologie Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Le chat de Schrödinger Expériences de pensée : superposition de deux états macroscopiques orthogonaux En optique On superpose deux états cohérents discernables |ψi = |αi + |−αi √ 2 Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Vers les "chats de Schrödinger" Mesure et métrologie Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Vers les "chats de Schrödinger" A. Ourjoumtsev, H Jeong, R Tualle-Brouri, P Grangier, Nature 448 784 (2007) Mesure et métrologie Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Le peigne de fréquence : un outil métrologique Groupe de François Biraben, Laboratoire Kastler Brossel Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Et pour le temps (ou la distance), aussi J. Ye, “Absolute measurement of a long, arbitrary distance to less than an optical fringe” Opt. Lett. 29, 1153 (2004). Cui et al. Experimental demonstration of distance measurement with a femtosecond frequency comb laser. Journal of the European Optical Society-Rapid publications (2008) Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Limite ultime dans le positionnement "spatio-temporel" Limite de Cramer Rao On partage une impulsion entre un point A et un point B : la quantité conservée est u = t − x/c L’impulsion est caractérisée par porteuse : ω0 largeur spectrale : ∆ω c’est une gaussienne Le bruit dans la mesure vient de la nature quantique du lien lumineux Pour du bruit poissonnien, la variance minimale de tout estimateur de u est 1 ∆u = √ q 2 N ω02 + ∆ω 2 Avec 10mW, 10fs et un temps d’intergration d’une seconde : ∆u ≈ 5.10−23 s = 50yoctosecondes Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Comment atteindre cette limite ? Soit une impulsion gaussienne : E = E0 v0 (u) = g0 (u)e−iω0 u Supposons que cette impulsion acquiert un retard ∆u petit : ˛ dv0 (u) ˛˛ ∆u = v0 (u) + w1 (u) v0 (u − ∆u) ≈ v0 (u) − ∆u du ˛u=0 u0 avec w1 (u) ∝ iω0 v0 (u) + ∆ωv1 (u), v1 (u) ∝ q 1 = ω02 + ∆ω 2 u 0 En image : dg0 (u) −iω0 u e , du Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Extraire l’information du champ Vive la détection homodyne ! Dans la détection homodyne, la mesure projette sur le mode de l’oscillateur local Les impulsions du signal et de l’oscillateur local doivent être cohérentes La mise en forme de l’oscillateur local permet de choisir le mode signal analysé Comme pour toute détection homodyne, on a accès à la valeur de la quadrature du champ dans le mode et avec la phase déterminée par l’oscillateur local Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Résultat de la mesure On atteint la limite de Cramer Rao √ Le signal mesuré est 2E0 ∆u/u0 = 2 N∆u/u0 Le bruit dans la mesure est le bruit sur le mode mesuré : le bruit du vide pour un état cohérent : 1 Un rapport signal à bruit de 1 est donc atteint pour u0 1 ∆u = √ = √ q 2 N 2 N ω02 + ∆ω 2 On peut aller au delà de cette limite En modifiant le bruit quantique du mode mesuré : état comprimé ! B. Lamine, C. Fabre and N. Treps, Quantum Improvement of Time Transfer between Remote Clocks. Physical Review Letters (2008) vol. 101 (12) Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure sans signal Origine du bruit dans la mesure En absence de signal, la détection homodyne mesure un mode vide. Le bruit dans la mesure est le bruit dans ce mode. Résultat très général : toute mesure sur le champ est sensible à un seul mode (potentiellement compliqué) du champ Pour améliorer la mesure, il faut modifier les propriétés quantique de ce mode Mesure et métrologie Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique État comprimé avec un OPA L’amplification paramétrique insensible à la phase L’injection se fait uniquement sur le signal. L’amplification paramétrique sensible à la phase L’injection se fait sur les deux champs. Génération d’état comprimé, même si le faisceau injecté est le vide. Un état comprimé est fait de paires de photons Mesure et métrologie Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Intermède : fonction de Wigner négative Principe Résultat A. Ourjoumtsev, R. Tualle-Brouri, J. Laurat, and P. Grangier, Science 312, 83 (2006) Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Lumière comprimée avec un peigne de fréquence Oscillateur Paramétrique Optique pompé en mode Synchrone Les modes comprimés X d † âωi = g(ωi , ωj )Ap (ωi + ωj )âω j dz j → d b̂j = Λj b̂j† dz G. de Valcarcel, G. Patera, N. Treps and C. Fabre, Multimode squeezing of frequency combs. Phys Rev A (2006) vol. 74 pp. 061801 Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Contrôle cohérent des fluctuations quantiques ? Beaucoup de photons : lumière classique et non-classique Mesure et métrologie Faut-il conclure ? La lumière est “aussi quantique” avec beaucoup de photons qu’avec peu de photons Il est possible de dépasser les limites données par le bruit quantique du vide Il est possible de réaliser une zoologie d’état quantiques, utiles en particulier pour l’information quantique Des applications pratiques restent à trouver...
