Transferts thermiques avec changement d`état liquide

Transferts thermiques avec
changement d’état liquide-solide
Aspects fondamentaux
Thermodynamique
Equilibre
q
de phases
p
Variance et règle des phases
w  Cr2
C nombre de constituants, r nombre de réactions chimiques,
 nombre de phases
Corps
p pur
p
Solution
w=1
w=2
Température d’équilibre
liquide-solide TF fixe
Température d’équilibre
liquide-solide TF variant avec
la concentration
2
Thermodynamique
Equilibre
q
de phases
p
Solution
Eutectique
w=1
Température d’équilibre liquide-solide TF fixe
Exemple : il suffit de 23 % en masse (8,5
(8 5 % en moles) de NaCl dans ll’eau
eau pour obtenir un
MCP fondant à TE = –21 °C
3
Thermodynamique
Equilibre
q
de phases
p
Solution
Si x différent de xE
Fusion progressive
4
Thermodynamique
Equilibre
q
de phases
p
Solution
Thermogramme typique d’une solution
Si x différent de xE
Fusion progressive
5
Thermodynamique
Equilibre
q
de phases
p
Evaluation de l’énergie mise en cause à l’eutectique
 E TE   1  x E  F,eau TE   x E  diss TE   H dil TE 
 F,eau TE    F,eau TF   c l,eau  c s ,eau TE  TF 
Exemple : à –21 °C, pour l’eutectique eau-NaCl, la chaleur latente de la glace
n’est
’ plus
l que de
d 291 890 J/kg
J/k soit
i 81,1
81 1 kWh/m
kWh/ 3 au lieu
li de
d 334 800 J/kg
J/k soit
i
92,8 kWh/m3 à 0°C. Sachant que pour ce sel ldiss(TE)= 238 kJ/kg et xE =0.23,
on obtient lE(TE))= 279500 J/kg.
6
Thermodynamique
Cristallisation et surfusion
T
Liquide
q
TF
Solide
TC
Liquide
métastable
temps
• Degré de surfusion : T = TF – TC
• Phénomène stochastique
7
Thermodynamique
Surfusion
Le degré de surfusion dépend de plusieurs paramètres :
• du
d volume
l
de
d l’échantillon
l’é h till :
V
ΔT
Exemples :
Eau
Paraffines
0,3 l
mm 3
m 3
8K
20 K
36 K
*
< 0,5 K
12-14 K
• de l’histoire thermique (cycles antérieurs cristallisation-fusion ),
• de la pression :
P
ΔT
• de la concentration : ((solutions).
)
• Utilisation d’un agent nucléant
8
Thermodynamique


B

J ( T )  A( T ) exp 
2 
T
(
T

T
)
F


Théorie de la nucléation
1
0,9
Nucléation
0,8
Petits agrégats
Cristallisation
0,7
J(T)) /heure
0,6
0,5
Nucléation
N
lé ti
homogène
Nucléation
N
lé ti
hétérogène
A*hom
A*het
Barrière d’énergie
A*het
Barrière d’énergie

A*hom
0,4
0,3
0,2
0,1
0
-5
-4
-3
-2
-1
0
T (°C)
Caractère aléatoire
P b bili é dde cristallisation
Probabilité
i lli i d’
d’un ééchantillon
h ill ((cm3)
par unité de temps
9
Thermodynamique
Cas des solutions
10
Thermodynamique
Cas des solutions
11
Thermique
Cinétique du changement de phase
Représentation schématique des processus de fusion et de solidification
12
Thermique
Transfert purement conductif
Mise en équations
•Equation de la chaleur dans les phases liquide et solide
c p ,i T 
 
T 
Ti

 k i T  i 
t x 
x 
•Bilan à l’interface liquide et solide
Tl 
dx F
 Ts
 kl
  s h ls
ks


x
x
dt


 x x F t 
avec xF abscisse du front de fusion, k conductivité thermique,  masse volumique
hls enthalpie
h l i massique
i
de
d fusion
f i ou chaleur
h l
latente
l
massique
i
de
d fusion,
f i les
l
indices l et s étant respectivement relatifs aux phases liquide et solide.
•Conditions aux limites
13
Thermique
Transfert purement conductif
•Cas de la fusion en géométrie plane par exemple :
On impose une température de paroi TP, la phase initiale étant solide à la température TF.
Bilan à l’interface liquide
liq ide et solide
kl
Solution
l 
kl
 l c pl
Tp  TF 
xF
  s h ls
dx F
dt
x F t   2Ste  l t
Ste 
c pl Tr
h ls
Nombre de Stefan
14
Thermique
Transfert purement conductif
Ste 
c pl Tr
Nombre de Stefan
h ls
15
Thermique
Transfert purement conductif
Méthodes analytiques
•Problème de Stefan
Milieu semi-infini délimité par une surface plane initialement liquide à température uniforme
t  0, x  0, Tl x ,0   T  TF
t  0, x  0, Ts 0, t   Tp
Solution de Neumann
Position de l ’interface
x F t   Cs t 
1
2
avec S diffusivité thermique du solide, C facteur de proportionnalité
fonction du nombre de Stefan.
16
Thermique
Transfert purement conductif
Solutions approchées
Milieu semi-infini délimité par une surface plane initialement liquide à température de
fusion
t  0, x  0, Tl x ,0   T  TF
t  0, x  0, Ts 0, t   Tp
•Champ de température dans la phase en formation de type polynomiale
(paroi à température
p
imposée)
p
)
•Position de l’interface (p
x F t  
4Ste
s t
Ste  2

degré 1 Karman et Polhausen

x F t   2 1  2Ste  1 s t
degré 2 Goodman
17
Thermique
Transfert purement conductif
Comparaison des solutions
•Milieu semi-infini délimité par une surface plane initialement liquide à température
de fusion
18
Thermique
Transfert purement conductif
Méthodes approchées pratiques
•Enthalpie sensible négligeable par rapport à la chaleur latente (Ste faible)
Milieu initialement
Mili
i iti l
t liquide
li id à température
t
é t
uniforme
if
+ échange
é h
convectif
tif sur la
l paroii
avec fluide caloporteur


x*
- dans le cas plan :
 x*


1  Bi x * 
 0
 2Bi
- dans le cas cylindrique :
 x* 
1  


1  Bi  ln x *   
2  

 2Bi 
1
x*
avec x * 
x
longueur réduite.  symbole de Kronecker ( = – 1 si extraction externe, + 1 si
X0
extraction interne), X0 longueur de référence (l’épaisseur de la plaque dans le cas plan et le
rayon de la paroi d’extraction dans le cas cylindrique ou sphérique),
Bi nombre de Biot : Bi 
h cX0
k
Après
p intégration
g
entre x* = 1 et x* = 0,, on obtient pour
p
les trois ggéométries (p
(plane,, cylindrique
y
q
et sphérique) :

1
2

1

2m  1  Bi 
L’erreur commise
L’
i sur  estt négligeable
é li bl sii Bi < 0,1
0 1 ou pour Ste
St < 2/3.
2/3
En dehors de ce domaine, la vitesse de solidification estimée par l’étude simplifiée est trop
19
importante.
Thermique
Transfert purement conductif
Méthodes numériques
•Méthodes à suivi de l ’interface
Méthodes traitant le problème à 2 phases : les équations de transfert sont résolues
séparément dans le liquide et dans le solide, et la position de l’interface est obtenue par
la résolution de ll’équation
équation de bilan à ll’interface
interface.
Cette approche est adaptée en particulier aux cas où l’on considère la fusion ou la
solidification d’un matériau pur, pour lequel le changement d’état se produit à une
température bien déterminée TF.
Le problème central est alors le calcul de la position de l’interface, qui donne lieu à
deux approches différentes:
•Maillage fixe
•Maillage mobile
20
Thermique
Transfert purement conductif
Méthodes numériques
•Méthodes enthalpiques
Domaine d’étude  une seule phase dont les propriétés thermophysiques dépendent
fortement de la température.
On se ramène alors à la résolution d’une seule équation de la chaleur, non linéaire,
dont le traitement peut être abordé par des schémas classiques de différences finies
ou d’éléments finis. Cette méthode, qui revient le plus souvent à exprimer l’équation
de la conservation de l’énergie sous forme enthalpique, est particulièrement bien
adaptée aux problèmes qui concernent l’emploi de matériau à changement de phase
non purs pour lesquels le changement d’état se produit sur une plage de température
(paraffines industrielles, par exemple).
On exprime l’enthalpie du matériau à changement de phase entre une température
de référence
é é e ce et
e la température
e pé u e du point
po considéré
co s dé é par
p :




h  fc pl  1  f c ps T  f c ps  c pl TF  fh ls
avec f fraction volumique de liquide.
La variation d
d’enthalpie
enthalpie causée par la conduction de la chaleur entraîne une
variation de température suivant une loi bien définie h= f (T) pour le matériau.
L’équation de conservation s’écrit alors sous la forme :

h
1  
m T 
 m
 k T x

t x x 
x 
et s’applique à l’ensemble des deux phases.
21
Thermique
Transfert purement conductif
Méthodes numériques
•Méthodes enthalpiques
Trois approches principales :
- Définition d’un terme source : l’enthalpie est remplacée par son expression en fonction de
la température :
c p
dT
df
 terme de diffusion  h ls
dt
dt
le terme source intervenant dans les volumes de contrôle où se produit le changement de
phase.
- Définition d’un intervalle de température 2T arbitrairement petit sur lequel se produit le
changement d’état et linéarisation de la fonction enthalpie sur cet intervalle :
  c p  T 
T
1  
m T 
 m

 k T x
t x x 
x 
avec < cp > = cpS pour T < TF –  T,
< cp > = cpL pour T > TF +  T,
c ps T   c pl T 
h
pour TF –  T < T < TF +  T
 cp 
 ls 
2T
2
- Définition d’une capacité thermique massique apparente : on représente la variation de
l’enthalpie avec la température comme une variation finie de la capacité thermique massique:
dh
dT
 c app
dt
dt
22
Thermique
Transfert sous écoulement forcé
Dans le cas ou le fluide circule à TF, et si l’on suppose que le régime d’écoulement reste
en laminaire
l i i établi
é bli lorsque
l
le
l fluide
fl id arrive
i au contact de
d la
l zone de
d la
l paroii maintenue
i
à
une température constante inférieure à TF, on aboutit alors à une résolution analytique
permettant d’obtenir l’évolution radiale et axiale de l’interface liquide-solide, et de la
perte de ppression.
p
Pénétration du liquide à la température de fusion dans un tube de diamètre D initialement
vide maintenu en dessous de TF.
La profondeur maximale axiale de pénétration Xp est alors donnée par :
Xp
D
Xp
D

Re Pr  l  s 
16B
 0.155Re
8 11  Pr


pour A<<1
 l
s  

B

7
11
pour A>>1
avec B  1  2c p,s TF  Tp  h ls   1 et A  0.0198
1
2
Re
3
4
1
Pr  l  s 

2p /   2
D
, Re 

B
où le nombre de Reynolds de l’écoulement est basé sur la perte de pression et le diamètre
D du conduit, les essais couvrant l’intervalle de nombre de Reynolds 104 à 105
23
Thermique
Transfert avec couplage
p g conduction-convection
Mise en évidence de la convection naturelle
Evolution de la fusion de la stéarine dans une géométrie cylindrique
24
Thermique
Transfert avec couplage conduction
conduction-convection
convection
Mise en évidence de la convection naturelle
Résultats de simulation : fraction fondue F en fonction du temps t. Influence de la convection
naturelle dans le liquide et de la conduction dans le solide (Ste = 0,2)
0 2)
25
Thermique
Transfert avec couplage conduction-convection
Mise en équations
Convection naturelle en régime laminaire. Processus bidimensionnel (cavité rectangulaire).
- convection naturelle dans la phase liquide :
• équation de conservation de la masse :
div V = 0
avec V vitesse,
• équation de conservation de l’énergie :
 T

c p  l  VgradTl   divk l gradTl  = 0
l  t

• équation de conservation de la quantité de mouvement :

1
V
 V V   2 V  p  gTl  TF z
t

- conduction dans le solide :
Ts
 divk s gradTs 
c p
s t
d interface :
- équations d’interface
T 
dx
 Ts
 k l l   s h ls F
 ks
n
n  int
dt

avec Tl(xF) =Ts(xF) =TF, n direction normale à la surface.
L’ di
L’adimensionnement
i
t de
d ces équations
é ti
par le
l choix
h i de
d grandeurs
d
de
d référence
éfé
appropriées
ié fait
f it apparaître,
ît outre
t le
l
nombre de Stefan, les nombres sans dimension classiques de la convection naturelle :
- nombre de Prandtl de la phase liquide (Pr = /l) ;
- nombre de Rayleigh (RaH=g  T H3/L) ;
- rapportt de
d forme
f
de
d la
l cavité
ité li
liquide
id (A
(A=H/L),
H/L)
avec g accélération de la pesanteur,  coefficient de dilatation volumique, T écart entre la température de la
26
paroi chaude et la température de fusion ; H et L respectivement la hauteur et la largeur de la cavité.
 
 
Thermique
Transfert avec couplage conduction-convection
Corrélations pour le transfert de chaleur
Nu = CRan
où le coefficient C dépend de la géométrie, du nombre de Prandtl de la phase fluide et,
selon certains auteurs, du nombre de Stefan. Une des dimensions fixes de l’enceinte est
utilisée pour définir Nu et Ra.
Il faut noter que ces corrélations ont été établies pour un régime de convection laminaire et
pour des matériaux à changement de phase dont la phase liquide est caractérisée par un
nombre de Prandtl élevé (Pr » 50). Leur domaine de validité est limité par ailleurs aux
nombres de Stefan faibles (Ste < 0,20). Les études portant sur une gamme de paramètres
ne
couvrant celle des métaux et alliages (faibles nombres de Prandtl, de l’ordre de 10–2) 27
fournissent pas d’expressions similaires.
Thermique
Solidification des mélanges multicomposants
Modélisation basée sur une formulation enthalpique à domaine unique sur un maillage fixe, la zone de changement
de phase étant représentée par un milieu poreux, où la porosité (fraction liquide) varie continûment de 1 à 0.
Dans la zone diphasique, les équations sont alors écrites en terme de la valeur moyenne des vitesses ou des
grandeurs scalaires
scalaires. On écrit par ailleurs une équation de conservation supplémentaire pour le soluté.
soluté
Cette formulation permet de prendre en compte les couplages dans la zone de croissance dendritique. Ceci se
traduit par l’ajout d’un terme source respectivement dans les équations de conservation de l’énergie et de la
quantité de mouvement :
 T

ST    uV h 

 t
Su  Au
L’enthalpie de changement d’état h varie de 0 à l’enthalpie de changement d’état hls :
pour T  Ts
0

h  fh ls pour Ts  T  Tl
h
 ls pour T  Tl
et la
l vitesse
i
u varie
i de
d la
l vitesse
i
relative
l i du
d liquide
li id ul à 0 dans
d
la
l phase
h
solide
lid :
u l

u  fu l
0

en fonction de la fraction liquide f, qui désigne le volume de liquide interdendritique à une température donnée,
En dépit de la structure anisotrope et non homogène de la zone de croissance, l’écoulement dans le milieu
diphasique est modélisé par une loi de type Darcy utilisant une relation porosité-perméabilité de type KozenyCarman :
1 f 2
A  C 3
28
f