Devoir 12 - Le 19 décembre

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Dur´ ee:4h
AVERTISSEMENT
L’utilisation des calculatrices n’est pas autoris´ ee.
Si, au cours de l’´ epreuve, un candidat rep` ere ce qui lui semble ˆ etre une erreur d’´ enonc´ e, il le
signale sur sa copie et poursuit sa composition en indiquant les raisons des initiatives qu’il est amen´ e
`
a prendre.
La pr´ esentation, la lisibilit´ e, l’orthographe, la qualit´ e de la r´ edaction, la clart´ e et la pr´ ecision des
raisonnements entreront pour une part importante dans l’appr´ eciation des copies. En particulier,
les r´ esultats non justifi´ es ne seront pas pris en compte. Les candidats sont invit ´ es ` a encadrer les
r´ esultats de leurs calculs.
Le sujet comporte 13 pages.
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Devoir 12 - Le 19 décembre
La partie IV (Multiplexage) n'est pas à traiter
CPGE Dupuy de Lôme - Physique PC 2013-2014

Transmission optique
Les signaux optiques peuvent ˆ etre utilis´ es pour transporter une grande quantit´ e d’information sur
d’importantes distances. Nous nous int´ eresserons ici ` a quelques caract´ eristiques d’une ligne de trans-
mission optique, dont le synoptique est repr´ esent´ e ci-dessous (figure 1).
FIGURE 1 – Synoptique d’une ligne de transmission optique
Les deux premi` eres parties traitent de la propagation guid´ ee dans une fibre optique et des probl` emes
associ´ es qui alt` erent la qualit´ e de la transmission et qui limitent le d´ ebit. Dans une troisi` eme partie,
nous nous int´ eresserons aux modules d’´ emission et de r´ eception. Enfin, dans la quatri ` eme partie,
nous pr´ esenterons la technique de multiplexage fr´ equentielle qui permet de faire transiter dans une
mˆ eme fibre plusieurs informations simultan´ ement.
Les 4 parties peuvent ˆ etre trait´ ees de fac¸on largement ind´ ependante.
I. Propagation guid´ ee de la lumi` ere
A. Lois de Descartes
On consid` ere un dioptre plan s´ eparant 2 milieux transparents et homog` enes : le milieu (1) d’indice
n1et le milieu (2) d’indice n2. De la lumi` ere se propage du milieu (1) vers le milieu (2). On isole un
rayon frappant le dioptre en I, et formant un angle i1avec (N), normale au dioptre en I. On observe
l’existence d’un rayon r´ efl´ echi dans le milieu (1) formant un angle i′avec (N)et ´ eventuellement d’un
rayon r´ efract´ e formant un angle i2avec (N). Les angles sont non orient´ es.
FIGURE 2 – Lois de Descartes
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I.A.1 ` A quelle condition peut-on consid´ erer que la lumi` ere est constitu´ ee de rayons lumineux ind´ ependants ?
I.A.2 ´ Enoncer les lois de Descartes relatives ` a la r´ efraction et ` a la r´ eflexion.
I.A.3 D´ ecrire le ph ´ enom` ene de r´ eflexion totale : on pr´ ecisera notamment la condition sur les indices
et la condition sur l’angle i1.
B. Fibre optique ` a saut d’indice
Une fibre optique est un fin cylindre de verre, capable de guider la lumi ` ere sur de longues dis-
tances. Un rayon lumineux rentrant ` a une extr´ emit´ e de la fibre reste pi´ eg´ e` a l’int´ erieur par r ´ eflexion
totale interne.
Une fibre optique ` a saut d’indice est constitu´ e d’un cœur cylindrique d’indice n1d’un diam ` etre
d’environ 50 µm, entour´ e par une gaine d’indice n2<n
1.
FIGURE 3 – Fibre ` a saut d’indice
FIGURE 4 – Coupe dans le plan m´ eridien d’une fibre ` a saut d’indice
I.B.1 Montrer que tout rayon situ´ e dans un plan contenant l’axe de la fibre et formant dans la fibre un
angle θavec l’axe peut se propager dans le cœur en restant dans ce plan si θ<θ
c, avec θc=
Arccos(n2
n1).
I.B.2 Que risque-t-il de se passer si on courbe trop la fibre ? On pourra illustrer au moyen d’un sch´ ema.
I.B.3 On d´ efinit l’ouverture num´ erique ON de la fibre par ON =n1sin(θc).
I.B.3.a Montrer que ON=!n2
1−n2 2.
I.B.3.b On pose n1=n2+δn:δnest petit. ´ Etablir une expression approch´ ee de ON ` a l’ordre
le plus bas non nul.
I.B.3.c ´ Evaluer ON pour n1= 1,53 et n2= 1,50 avec 1 chiffre significatif.
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I.B.3.d On consid` ere que l’indice de l’air ` a l’ext´ erieur de la fibre est ´ egal ` a 1. Soit Ole point
de l’axe de la fibre situ´ e sur le dioptre air-cœur. On note θ0l’angle d’incidence du rayon
lumineux entrant dans la fibre en O(cf. figure 4). ` A quelle condition sur θ0le rayon se
propage-t-il dans la fibre ?
C. Modes de propagation
Le but de cette partie est de montrer que, dans une fibre optique, la lumi` ere peut se propa-
ger le long d’un nombre fini de rayons. Pour cela, nous consid ´ ererons la lumi` ere comme une onde
´
electromagn´ etique d´ ecrite par un champ ´ electrique −→Eet un champ magn´ etique −→ B.
Donn´ ees et rappels :
–ϵ0: permittivit´ e di´ electrique du vide ;
–µ0: perm´ eabilit´ e magn´ etique du vide ;
– Pour un champ de vecteur −→Aquelconque,
rot(rot(−→A)) = grad(div(−→A)) −∆(−→A)
I.C.1 Donner les ´ equations de Maxwell dans le vide.
I.C.2 ´ Etablir l’´ equation de propagation de −→Edans le vide et la mettre sous la forme
∆−→E−1
c2
∂2−→E
∂t2=0
On exprimera cen fonction de ϵ0et µ0et on rappellera sa signification.
I.C.3 Justifier qu’il faut remplacer cpar c
ndans cette ´
equation pour d´ ecrire la propagation dans un
milieu transparent d’indice n.
On veut ´ etudier la propagation d’un champ ´ electrique −→Edans la fibre. Pour simplifier, le ”cœur”
sera d´ ecrit par une couche plane d’indice n1, comprise entre les cotes x=−aet x=+a. Pour
|x|>a, le milieu a un indice n2(cf. figure 5). Pour chaque r´ egion (|x|<aou |x|>a), on cherche
−→Esous la forme :
−→E=E(x).cos(ω.t −k.z)−→eyavec ωet kpositifs.
On pose ω
c=k0et λ0=2π k0.
On utilisera la repr´ esentation complexe : on pose −→E=E(x).ej(ω.t−k.z)−→ey.
FIGURE 5 – Mod´ elisation du cœur par une couche plane
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I.C.4 On cherche −→ Bsous la forme −→ B=−→ Bmej(ωt−kz). Exprimer −→ Bmen fonction de E(x),k,ω,dE(x)
dx
et des vecteurs de base.
I.C.5 Justifier que E(x)et dE(x)
dx sont continues en x=±a.
I.C.6 On s’int´ eresse ` a la propagation dans la “gaine” :|x|>a.
I.C.6.a ´ Ecrire l’ ´ equation de propagation v´ erifi ´ ee par −→Edans ce milieu en tenant compte de la
question I.C.3.
I.C.6.b En d´ eduire l’´ equation diff´ erentielle v´ erifi ´ ee par E(x)pour |x|>a.
I.C.6.c Discuter la nature des solutions selon le signe de n2.k0−k. En d´ eduire la condition pour
que la propagation soit guid´ ee dans le cœur. On consid` ere cette condition v´ erifi´ ee dans
la suite.
I.C.6.d On pose :
δ=1
!k2−n2
2k2 0
´
Ecrire la solution E(x)sous la forme d’une combinaison lin ´ eaire de fonctions exponentielles,
en fonction de δet de constantes d’int´ egration qu’on ne cherchera pas ` ad
´
eterminer pour
l’instant ; on distinguera les cas x>aet x<−a.
I.C.7 On s’int´ eresse ` a la propagation dans le “cœur” :|x|<a.
I.C.7.a ´ Ecrire l’ ´ equation de propagation v´ erifi ´ ee par −→Edans ce milieu.
I.C.7.b En d´ eduire l’´ equation diff´ erentielle v´ erifi ´ ee par E(x)pour |x|<a.
I.C.7.c ` A quelle condition sur n1a-t-on E(x)fonction sinuso¨ ıdale de x?On consid` ere cette
condition v´ erifi´ ee dans la suite.
I.C.7.d On pose :
η=!n2
1k2 0−k2
Exprimer E(x)en fonction de ηet de constantes d’int´ egration qu’on ne cherchera pas ` a
d´ eterminer pour l’instant.
On choisit de ne s’int´ eresser qu’aux solutions paires, ie telles que E(x)=E(−x)∀x.
I.C.8 Pour |x|<a, donner l’expression de E(x)en notant Emson amplitude. Pour |x|>a, justifier
que dans chacun des cas, le coefficient d’une des exponentielles est n´ ecessairement nul.
I.C.9 Repr´ esenter l’allure de E(x)en consid´ erant 2a=3.2π
ηpour fixer les id´
ees.
I.C.10 En utilisant les relations de continuit´ e, ´ etablir la relation
tan(ηa)="k2
0.ON 2
η2−1avec ON =!n2
1−n2 2.
I.C.11 Expliquer comment d´ eterminer graphiquement les solutions de cette ´ equation d’inconnue η.
Ces solutions sont appel´ ees “modes”.
I.C.12 Exprimer le nombre Ntotal de modes en fonction de ON,λ0et a.
I.C.13 ´ Evaluer Npour λ0=1µm, ON = 0,3 et a= 25 µm.
I.C.14 On admet que chaque mode correspond ` a un rayon d’inclinaison donn´ ee. Exprimer la valeur
maximale de apermettant d’avoir une propagation le long d’un seul rayon. L’ ´ evaluer num´ eriquement
avec 2 chiffres significatifs pour λ0=1µm et ON = 0,3.
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