Electrocinétique - DM 5 - Physique PSI Moreggia Sylvain

PSI 14/15
DS 3 -- Transport : charge, particules, énergie thermique (08/11/2014 – 4h)
Extrait des Instructions générales des concours
Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal
présentées seront pénalisées.
Si les résultats ne sont pas soulignés ou encadrés, il sera retiré 1 point /20 à la note finale.
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie
et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
Toute réponse non justifiée ne donnera pas lieu à l’attribution de points.
Toute application numérique ne comportant pas d’unité ne donnera pas lieu à l’attribution de points.
Les différents exercices sont indépendants et peuvent être traités dans l’ordre choisi par le candidat. Il prendra
toutefois soin de bien numéroter les questions.
Vous numéroterez toutes vos pages. Si vous rendez 5 pages, vous devez numéroter 1/5, 2/5, 3/5, etc.
Aucune sortie n’est autorisée avant 12h
Problème 1 : Semi-conducteurs et jonction PN (CCP PSI 2009)
Aucune connaissance sur les matériaux semi-conducteurs n’est requise pour traiter ce problème.
Dans tout ce problème, k B  1,38  10 23 J  K 1 représente la constante de Boltzmann,
N A  6,02  10 23 mol 1 représente la constante d’Avogadro,
et e  1,6  10 19 C représente la charge élémentaire.
Modèle de Drude de la conduction électrique (1900)
On considère un matériau conducteur dans lequel les électrons libres sont uniformément répartis
dans le volume du matériau. On note ne le nombre par unité de volume de ces électrons . Les
interactions entre les électrons sont négligées et celles entre les électrons et le réseau cristallin
sont modélisées par une force de type frottement visqueux subie par chaque électron de masse m


m
selon la relation vectorielle f   v où  est une constante propre au matériau et v la vitesse


d’un électron dans le référentiel lié au matériau conducteur. Un champ électrique E est appliqué
dans le matériau. On négligera le poids de l’électron devant les autres forces.
A.1 Quelle est l’unité de  dans le Système International ? Justifier.
-1-
A.2 En appliquant le principe fondamental de la dynamique à un électron dans le référentiel lié au
matériau et supposé galiléen, montrer que la vitesse d’un électron tend, en régime permanent, vers une

constante que l’on précisera en fonction de E , m ,  et e la charge élémentaire ( e valeur positive).

A.3 En déduire l’expression du vecteur densité volumique de courant électrique jel en fonction de E
, m , ne et  . Donner alors l’expression de la conductivité électrique du matériau en fonction des
paramètres précédents.
A.4 Dans le cas du cuivre, chaque atome libère un seul électron qui participera à la conduction
électrique.
La densité du cuivre par rapport à l’eau est d  8,9 et la masse molaire du cuivre est
M Cu  63,5 g  mol 1 .
Donner l’expression littérale du nombre d’électrons de conduction par unité de volume ne en fonction
de d, MCu et de la constante d’Avogadro NA.
Effectuer l’application numérique.
Comparer avec la densité électronique du silicium, semi-conducteur très répandu, qui est de l’ordre de
1019 cm 3 à température ambiante.
Résistivité du silicium en fonction de la température
On réalise une pastille cylindrique de silicium comportant ne électrons de conduction par unité de
volume. On mesure la résistance de cette pastille en fonction de la température et on en déduit la
résistivité du silicium.
A.5 Rappeler la relation existant entre la résistance R d’une pastille cylindrique de longueur  et de
section S et la résistivité  du matériau.
A.6 Un dispositif permet d’abaisser la température du silicium. On mesure la résistivité du silicium
entre 4,2 K (température de liquéfaction de l’hélium) et 12 K. On relève le tableau de mesures
suivant :
T (K)
 (.m)
T (K)
 (.m)
4,2
5,9.105
8,0
2,35
4,6
6,0.104
10,0
0,15
5,0
9000
12,0
0,024
5,4
1750
6,2
125
7,0
16,5
Montrer à l’aide d’une représentation graphique ou d’une régression linéaire, en utilisant la
calculatrice, que la résistivité suit une loi du type :  T   A  e B / T .
Calculer B et A . Ne pas oublier les unités !
A.7 Evaluer la résistivité du silicium à 300 K. La comparer à celle du cuivre qui est de l’ordre de
Cu  108   m .
A.8 D’après vos connaissances, quand on augmente (ou que l’on diminue) la température d’un métal
comme le cuivre, comment varie la résistivité ? En est-il de même pour le silicium ?
A.9 En utilisant la formule du A.3, montrer que la densité électronique ne suit une loi dite de
 Es
Boltzmann, c’est-à-dire que ne  ne0  e kBT où l’on ne cherchera pas à déterminer ne0 et où kB représente
la constante de Boltzmann. On donnera la valeur numérique de la grandeur Es en électron-volt.
-2-
En plaçant des impuretés dans un matériau semi-conducteur, on peut contrôler la résistivité
électrique. Cette dernière varie de façon considérable en fonction de la concentration en impuretés :
c’est le dopage.
Les porteurs de charge
Modèle de semi-conducteur :
Pour comprendre la variation de la résistivité du silicium avec la température, il faut admettre que les
électrons dans le silicium ne peuvent être que dans « deux états » : soit ils sont libres (électrons
conducteurs), soit ils sont liés (électrons de valence). Pour qu’un électron passe de l’état lié à l’état
libre, il faut lui fournir de l’énergie. Il laisse alors une place vacante dans l’ensemble des électrons
liés : c’est ce qu’on appelle un trou.
A.10 Que vaut la « charge électrique » d’un trou en fonction de la charge élémentaire e ?
On montre que le mouvement collectif des électrons de valence (très nombreux) peut être décrit par
celui de l’ensemble des trous (beaucoup moins nombreux). De ce point de vue les trous peuvent être
assimilés à des porteurs de charge indépendants et distincts des électrons de conduction.
On note n le nombre d’électrons conducteurs par unité de volume et p le nombre de trous par unité
de volume. On admettra que le produit n  p est une constante au carré, notée ni , dépendant de la
2
température et du matériau : n  p  ni2 .
A.11 On parvient à fabriquer un matériau semi-conducteur à base de silicium dans lequel quelques
atomes de bore (symbole B) ou de phosphore (symbole P) se substituent à des atomes de silicium, et
ce, de manière uniforme sur tout le volume du matériau. On parle de dopage au bore ou au phosphore.
Soit N B (respectivement N P ) la densité volumique d’atomes de bore (respectivement de phosphore)
présents dans le matériau .
On donne un extrait du tableau périodique des éléments :
H
Li Be
Na Mg
He
B C N O F Ne
Al Si P S Cl Ar
Figure 1: extrait du tableau périodique
Combien d’électrons de valence maximale possèdent le silicium, le bore et le phosphore ?
On admet que le phosphore perd un électron : quel ion est formé ?
On admet que le bore gagne, quant à lui, un électron : quel ion est formé ?
A.12 Dans le cas du dopage au phosphore, augmente-t-on la densité d’électrons ou de trous ?
Sachant que le matériau est électriquement neutre, que vaut la somme p  N P en fonction de n ? En
se rappelant que n  p  ni , calculer n et p dans le cas où ni  N P . Comparer n à p . On parle
alors de dopage N.
2
A.13 Par analogie avec la question précédente, donner l’expression de n et p dans le cas du dopage au
bore avec ni  N B . On parle de dopage P.
-3-
Diffusion de porteurs dans une jonction PN
On réalise la même jonction que précédemment :
Figure 3 : Diffusion d’électrons et de trous dans la jonction
Par diffusion, les électrons vont se déplacer vers la gauche, se recombinant avec les trous, créant ainsi
des charges négatives à gauche de la jonction (et donc des charges positives à droite). Un champ
électrique va donc se créer comme on l’a vu précédemment.
A.20 En notant n(x) le nombre d’électrons par unité de volume en fonction de l’abscisse x , donner
l’expression du vecteur densité de courant de diffusion à partir de la loi de Fick. On note Dn le
coefficient de diffusion des électrons dans le milieu. En déduire l'expression du courant électrique
résultant de cette diffusion. On note e la charge élémentaire.
On se propose de trouver une relation entre le coefficient de diffusion Dn et la température du milieu

m
(relation d’Einstein). Pour cela, supposons qu’un électron soit soumis en plus de la force f   v


introduite dans la question A.2. à une force F constante dans le temps.
A.21 Quelle est la vitesse atteinte par l’électron en régime permanent ?
Nous considérons alors une tranche de semi-conducteur de type N, de surface droite S et comprise
entre les plans x et x  dx . Dans cette tranche, la densité d’électrons est toujours n(x) . Les électrons
à gauche du plan x exercent une pression P(x) sur la tranche, et les électrons à droite exercent une
pression P( x  dx) .
A.22 En déduire la composante dFP selon x de la force de pression s’exerçant sur la tranche en
dP( x)
fonction de S , dx et
.
dx
A.23 Si on assimile le gaz d’électrons à un gaz parfait, quelle est la relation entre P(x) , n(x) , k B et
T ? On rappelle que pour la constante des gaz parfaits, on a la relation R  k B  N A .
-4-
A.24 En déduire alors la vitesse limite atteinte par les électrons soumis à cette force de pression et
montrer que l’on retrouve la loi de Fick avec un coefficient de diffusion à préciser en fonction de k B ,
T,  et m la masse de l’électron.
Indication pour la 2e partie de la question : L’énoncé propose un modèle pour décrire la diffusion à
l’échelle microscopique. Ce modèle est discutable car il modélise le processus de diffusion par
l’existence d’une force s’appliquant à chaque électron, et présente dans tout le matériau. De ce point
de vue, c’est une force analogue à la force électrique. Dans le cadre de ce modèle, la relation
attendue entre le vecteur densité de courant et la vitesse limite est la même que celle que vous avez
sûrement utilisé à la question A.3 (dans le cours nous avions dit que cette relation n’est pas valable
pour la diffusion, ce qui est vrai si l’on modélise le phénomène de diffusion correctement).
A.25 Quelle est alors, en fonction de n( x),e, ,m,Dn , l’expression de la densité volumique de
courant électrique total , somme du courant lié à la diffusion et du courant électrique vu dans le
modèle de Drude (voir question A.3) pour le déplacement des électrons sous l’effet du champ

électrique E   E e x .
(Question pour les 5/2) : Pourquoi ce champ électrique est orienté dans le sens x  0 ?
Problème 2 : Isolation thermique (E3A PSI 2014 : encore un cadeau pour les 5/2)
A l’heure où les économies d’énergie sont largement recommandées, un soin particulier est et
devra être apporté à l’isolation thermique des bâtiments, qui se double d’isolation acoustique grâce à
des matériaux permettant souvent ces deux applications.
A / ÉTUDE DU MUR SIMPLE
Considérons un mur de bâtiment (chalet de montagne en plein hiver par exemple) constitué
d’un matériau homogène, isotrope, de masse volumique  , de capacité thermique massique c et de
conductivité thermique  , supposées constantes.
Le mur est limité par deux plans (Oyz) parallèles, distants de eB (figure 1). Les températures
constantes Tint et Text (avec Tint  Text ) sur les deux faces correspondent respectivement aux
températures de l’air à l’intérieur et à l’extérieur du bâtiment. L’étude est unidirectionnelle, la chaleur
se propageant uniquement dans la direction Ox normale à ces plans.
En un point M du mur d’abscisse x, la température est notée T(x). Les dimensions de la
surface S du mur dans le plan (Oyz) sont supposées grandes par rapport à son épaisseur et aucune
ouverture n’est sensée venir perturber les transferts thermiques dans le mur.
L’étude est réalisée en régime permanent ; pour débuter, seuls les phénomènes conductifs
sont pris en compte.
A1.
Établir, en justifiant chaque étape de votre raisonnement, l’équation différentielle de la chaleur
à laquelle obéit la température T(x).
A2.
En déduire la loi de répartition de la température T(x). Commenter.
A3.
Exprimer le flux surfacique (ou densité de courant thermique) Jth dans le mur. Justifier son
orientation.
A4.
Déterminer le flux thermique total  traversant le mur.
A5.
Rappeler les grandeurs analogues de  et de Tint  Text en électrocinétique ; en déduire
l’expression de la résistance thermique surfacique définie par le rapport Rth  T Jth et
préciser son unité.
-5-
Les caractéristiques d’un mur en béton armé (épaisseur eB et conductivité thermique ) sont
mentionnées sur le tableau relatif aux matériaux sous les figures 1 et 2. Les températures sur les
faces intérieure et extérieure du mur s’élèvent respectivement à Tint  19 °C et Text   15 °C .
Le coefficient de transmission surfacique ou coefficient de déperdition thermique noté U
évalue la facilité avec laquelle le transfert thermique s’effectue à travers la surface d’échange ; il
représente le flux de chaleur par unité de surface pour une différence de température d’un degré
entre les deux milieux extrêmes.
A6.
Calculer le flux surfacique Jth et le coefficient de transmission surfacique U du mur.
A7.
Représenter, sur le document-réponse A, le profil de température dans le mur en béton armé.
A8.
Déterminer numériquement la profondeur eHG du mur demeurant « hors gel ».
eB
T2
uz

S
x
uy
eB
x
O
béton
(int.)
Text
T4
S
ux
O
Tint
T3
béton
Tint
Text
(int.)
(ext.)
(ext.)
1
2
3
4
Figure 2
Figure 1
Couche j
1
2
3
4
Matériau
carreaux
de plâtre
laine de
verre
béton
armé
crépis
5
8
20 (eB)
2
0,30
0,04
1,75
0,90
Épaisseur ej (cm)
Conductivité thermique
1
1
j (W.m .K )
Tableau récapitulatif des matériaux constitutifs du mur composite
B / ÉTUDE DU MUR COMPOSITE
Le mur a maintenant une structure composite : il comporte quatre matériaux différents (de
l’intérieur vers l’extérieur du bâtiment : carreaux de plâtre, laine de verre, béton armé, crépis
extérieur), homogènes et isotropes, référencés j  1,2,3,4 , d’épaisseur ej, de conductivités
thermiques j , en contact parfait et possédant des surfaces limites isothermes (figure 2). Les
températures des faces extrêmes sont toujours notées Tint et Text (avec Tint  Text ). Le régime est
permanent et aucune source interne de chaleur n’est présente dans le mur.
B1.
Justifier puis traduire la conservation du flux surfacique JCth à travers ce mur composite.
B2.
Déterminer la résistance thermique surfacique RCth du mur composite (figure 2) en fonction
des ej et j. Calculer RCth en utilisant les données relatives aux matériaux constitutifs.
B3.
Exprimer le coefficient de transmission surfacique U C en fonction de RCth, puis calculer JCth et
UC, sachant que les milieux extrêmes sont aux températures Tint  19 °C et Text   15 °C .
Comparer les coefficients U du mur simple et UC du mur composite.
-6-
B4.
Calculer les températures intermédiaires T2, T3 et T4 aux interfaces entre les couches, puis
représenter, sur le document-réponse A, le profil de température dans le mur composite.
Analyser son évolution par rapport à celui tracé en A7.
Afin de simplifier l’approche thermique de ce mur, introduisons la notion de conductivité
thermique équivalente MCéq : c’est celle d’un mur simple et homogène possédant une épaisseur et
une résistance thermique respectivement égales à l’épaisseur et à la résistance thermique du mur
composite.
B5.
Déterminer puis calculer la conductivité thermique équivalente MCéq du mur composite.
C / MUR COMPOSITE AVEC TRANSFERTS CONVECTIFS ET RADIATIFS
Le mur composite précédent est au contact, de part et d’autre, avec l’air intérieur et l’air
extérieur. Ce fluide est aux températures respectives TFL,int et TFL,ext (avec TFL,int  TFL,ext ). Deux
types de transferts thermiques superficiels interviennent alors : les échanges convectifs liés au
déplacement de l’air et les échanges radiatifs dus au rayonnement thermique.
Ces deux modes de transfert entre les parois du mur et l’atmosphère environnante sont régis,
pour un transfert de chaleur algébrique de la paroi (d’aire S) au fluide, par la loi globalisée :
RCC  hRCC Tparoi  Tfluide  S , avec hRCC positif.
Le coefficient surfacique d’échange hRCC tient en compte à la fois des transferts thermiques
conducto-convectifs et des transferts par rayonnement aux interfaces air-paroi. Il est noté hint pour la
paroi interne à la température TP,int au contact de l’air intérieur à la température TFL,int et hext pour la
paroi externe à la température TP,ext au contact de l’air extérieur à TFL,ext .
C1.
Déterminer les nouvelles expressions du flux surfacique Jth,FL et de la résistance thermique
surfacique Rth,FL aux deux interfaces air-mur.
Calculer la résistance thermique surfacique du mur composite RCth,FL.
C2.
Exprimer puis calculer les températures de paroi TP,int et TP,ext . Commenter.
C3.
Tracer sommairement sur le document-réponse A l’évolution du profil de température au
voisinage des parois murales (intérieure et extérieure). Discuter des paramètres (climatiques
entre autres) qui pourraient influencer ces évolutions du profil thermique.
Données : TFL,int  19 °C ; TFL,ext   15 °C ; hint  10 W.m2 .K 1 ; hext  30 W.m2 .K 1 .
D / RECHERCHE D’UNE ISOLATION OPTIMALE DU MUR
Dans le cadre de la rénovation de bâtiments (appartement ou chalet de montagne) ou de leur
mise en conformité énergétique, un bureau d’étude envisage une isolation spécifique du mur
composite présenté en sous-partie B. Le mur est considéré comme homogène, il possède une
épaisseur eMC ( eMC  35 cm ) et une conductivité thermique équivalente MCéq .
Le bureau d’étude propose d’appliquer une couche isolante d’épaisseur eISO constituée de
mousse de polyuréthane de faible conductivité thermique PUR  0,02 W.m1 .K 1 et insérée en
sandwich entre deux plaques de bois. Deux alternatives s’offrent à eux : isolation côté intérieur
(avantage d’une moindre épaisseur) ou isolation côté extérieur du bâtiment.
Le document-réponse A fournit les tracés des profils de températures dans ces deux cas.
Parmi les nombreux problèmes à résoudre, l’un des plus délicats est celui de la congélation
d’humidité liée à la perméabilité à l’air et à l’humidité des matériaux constitutifs du mur. Pour un mur
en béton donné et compte tenu de l’humidité qu’il renferme, la vapeur d’eau se condense dans la
zone où T  TS , TS étant la température de saturation ou point de rosée ( TS  5 °C ). L’eau liquide
formée se congèle si la température baisse en dessous de T0  0 °C et son volume augmente. Les
cycles répétés gel-dégel, selon les évolutions temporelles et climatiques, entraînent la dégradation
des matériaux, et plus particulièrement celle du béton.
-7-
D1.
Positionner sur chaque tracé du document-réponse A, les températures T0 et TS.
Mettre en évidence (en les hachurant de couleurs différentes) trois zones en liaison avec la
valeur de la température au sein du matériau par rapport à T0 et TS. Décrire l’état physique de
l’eau dans chacune de ces zones.
D2.
Analyser les deux situations proposées. Conclure sur un choix d’isolation (extérieure ou
intérieure), en tenant compte du bâtiment étudié.
Problème 3 : Echanges thermiques du fuselage d’un avion (E3A PC 2014)
Le fuselage d'un avion, assimilé à un cylindre de rayon intérieur R INT, d'épaisseur e et de
longueur L, est constitué d'un matériau de conductivité thermique C. Seule la surface latérale de ce
cylindre sera prise en compte (la longueur L, grande devant RINT , permet de négliger l'influence des
extrémités). L’étude est faite en coordonnées cylindriques dont l’axe est confondu à l’axe de
révolution du cylindre. Le rayon extérieur du fuselage est noté REXT (soit REXT  RINT  e ).
e
RINT
Figure 1
L
Dans l’avion, l’air intérieur est immobile. La conducto-convection au niveau de la face
intérieure du fuselage est négligée ; ainsi la température de la face interne du fuselage et celle de
l’air intérieur sont identiques, de valeur notée T INT .
A l’extérieur de l’avion qui se déplace à la vitesse v, l’air situé au contact du fuselage est à la
température TA . La température de la face externe du fuselage est notée TEXT et h est le coefficient
de conducto-convection à cette interface. On rappelle la loi de Newton :
où est
la surface d’échange et
la puissance thermique sortante du fuselage et fournie à l’air.
La température moyenne de l’atmosphère, compte tenu des couches situées à grande
distance de l’avion, est notée TMA.
Le fuselage constitue ainsi une zone de transfert thermique entre l’air intérieur et l’air
extérieur ; dans l’épaisseur du fuselage, supposons pour simplifier que la température ne dépende
que de la distance r à l’axe.
L’étude qui suit a pour objectif de déterminer le flux thermique traversant le fuselage, en
régime permanent.
Intéressons-nous dans un premier temps à la conduction thermique dans l’épaisseur du
fuselage. Soit j (r) la densité de courant de chaleur qui y règne.
-8-
D1.
Expliquer qualitativement pourquoi le flux thermique est nécessairement indépendant de r. En
K
déduire que la densité de courant de chaleur s'écrit : j(r)  er , où K est une constante.
r
D2.
En déduire la loi de variation de la température T(r) en fonction de RINT, REXT, TINT, TEXT et r.
D3.
Exprimer la puissance thermique totale  traversant le fuselage de l'intérieur vers l'extérieur,
en fonction de RINT, REXT, L, TINT, TEXT et C.
La face externe du fuselage échange aussi de la chaleur selon plusieurs formes de
rayonnement.
L’une d’entre elles, due au soleil, est caractérisée par un apport de puissance S par unité de
surface orthogonale aux rayons solaires, mais dont une partie est réfléchie par la peinture (blanche)
du fuselage ; seule la fraction Sest finalement absorbée par l’avion. Le bilan de puissance solaire
reçue par l’avion s’exprime alors ainsi : P solaire  2 REXT L  S .
D4.
Dessiner la surface du fuselage projetée selon la direction des rayons solaires (verticaux, si le
soleil est au zénith). Justifier alors l’expression mathématique de la puissance solaire reçue.
Admettons que tout élément de surface du fuselage reçoive de l'atmosphère de température
4
moyenne TMA la puissance surfacique  TMA
et émette par ailleurs un rayonnement associé à sa
4
température TEXT , de puissance surfacique  TEXT
,  étant une constante.
D5.
Établir l’expression littérale de , traduisant le bilan radiatif global de puissance reçue par le
fuselage, lié aux trois formes de rayonnement.
L’ensemble des phénomènes décrits précédemment permet d’établir le bilan thermique global
de la face externe du fuselage.
D6.
Écrire (sans chercher à la résoudre) l’équation traduisant le bilan thermique de la face
extérieure du fuselage, en régime permanent, prenant en compte tous les phénomènes
physiques présents : conduction, conducto-convection et rayonnement.
Pour un Airbus A340 en vol de croisière, les valeurs numériques sont les suivantes :
L  60 m , RINT  5,3 m , e  0,3 m , C  0,03 SI , TINT  293 K , TA  220 K , TMA  290 K ,
h  20 SI , S  700 W.m2 ,   0,25 .
La résolution de l’équation de la question précédente donne TEXT  234 K .
D7.
Évaluer numériquement le flux thermique  associé à la conduction thermique, puis la
puissance
échangée par conducto-convection à la face externe du fuselage.
Dans ces conditions, le terme lié au bilan radiatif a pour valeur numérique : 6.105 W.
D8.
Commenter l’importance relative de chacun des trois termes (conduction, conductoconvection et bilan radiatif).
-9-
Document-réponse (Pb2 E3A), à compléter et rendre avec la copie
Questions A7, B4 et C3
Profil de température dans le mur (et dans le mur composite)
17
13
9
5
1
(intérieur)3
7
11
15
T (°C)
17
(extérieur)
13
9
5
1
3
7
11
15
Carreaux Laine de
de plâtre
verre
Béton armé
Crépis
Question D1
Profils de température pour une optimisation de l’isolation
Tint
Tint
17
19°C
17
19°C
13
9
13
9
5
1
5
3
3
7
7
11
11
1
15°C
15°C
Text
Text
eMC
eISO,ext
eISO,int
Isolation par l’extérieur
eMC
Isolation par l’intérieur
Fin de l’énoncé
- 10 -