IV CINEMATIQUE DES FLUIDES 1. Description des écoulements

Université Paul Sabatier - FSI L2 Mécanique / Mathématiques
IV
CINEMATIQUE DES FLUIDES
Le fluide n’est plus maintenant en équilibre statique, mais en mouvement (écoulement).
La cinématique des fluides est l’étude, l’observation, la description d’un écoulement sans en
considérer les causes.
1. Description des écoulements
Dans l’étude du mouvement d’un fluide, on définit généralement en chaque point M :
la vitesse V
r
, la masse volumique
ρ
et la pression P (et éventuellement la température T)
Définitions
On peut observer différents types de régimes dans l’écoulement d’un fluide :
 Régime permanent (ou stationnaire) : les grandeurs ne dépendent pas du temps
0=
∂
∂
t, (idem pour
)(MVV
rr =
ρ
et P)
(cela ne signifie pas que le fluide a une vitesse constante partout, mais seulement que
la vitesse du fluide en un point donné est la même à chaque instant)
 Régime uniforme : la vitesse ne dépend pas du point considéré )(tVV
r
r
=
 Régime laminaire : les couches de fluide glissent les unes par rapport aux autres, les
vitesses sont continues
 Régime turbulent : les vitesses sont discontinues, les couches de fluide
s’interpénètrent de façon aléatoire (non traité dans le cadre de ce cours)
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2. Description du mouvement d’un particule
A la différence de la mécanique des solides, il est illusoire en mécanique des fluides de
vouloir décrire la trajectoire de chaque particule du système considéré.
Il est ici nécessaire de faire intervenir une autre description (macroscopique) du mouvement.
Deux méthodes différentes peuvent être utilisées, qui diffèrent par le choix des variables
adoptées.
a) Description Lagrangienne
Définition :
Dans la description Lagrangienne, on suit une particule fluide donnée, issue d’un point fixé
(
0
M00 rOM r =), au cours de son mouvement, en spécifiant à chaque instant sa position.
Soient les coordonnées d’une particule à l’instant . Le mouvement est connu si
on connaît les coordonnées de la particule en fonction de et du temps t.
),,( 000 zyx 0 t
),,( zyx ),,( 000 zyx
On définit alors la vitesse de la particule fluide par : ),( 0trV
t
z
V
t
y
V
t
x
V
V
z
y
x
rr =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
=
Les variables et t sont appelées les variables de Lagrange. ),,( 0000 zyxr =
Comme, pratiquement, il n’est pas très important de connaître la marche individuelle de
chaque particule, ce mode d’étude n’est pas très employé (et conduit à des calculs lourds)
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b) Description Eulérienne
En mécanique des fluides, on ne s’intéresse généralement pas à la trajectoire individuelle des
particules. Ce qui intéresse, c’est de savoir comment varie la vitesse en tout point de
l’écoulement à tout instant (champ de vitesse).
Définition : La description Eulérienne correspond à observer la vitesse d’une particule fluide
),( trV
r
r
à un instant donné pour une position fixe
Les 3 projections sur un système d’axes cartésien de la vitesse ),( trV
r
r
de la particule fluide
qui passe à l’instant t au point M sont appelées variables d’Euler.
Soit un point M de l’écoulement, sa position est donnée par zyx ezeyexrOM
r
r
r
r
++==
La vitesse du fluide en ce point M, à l’instant t est :
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
=
==
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(),(
tzyxVV
tzyxVV
tzyxVV
tzyxVtMV
zz
yy
xx
rr
Exemple : Tourbillons autour d’un cylindre (allées de Von Karman)
Remarque :
Pratiquement, cette description est plus commode pour les raisons suivantes :
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¾ les grandeurs cinématiques et dynamiques ..).,,( PV
r
ρ
sont associées aux points de
l’espace. (elles sont fonctions du point de l’espace considéré, et non de la cellule de
fluide envisagée)
¾ pour les écoulements permanents (très utilisés en pratique) les variables d’Euler sont
indépendantes du temps
¾ l’ensemble des vecteurs vitesse forme un champ de vecteurs auquel s’appliquent
toutes les propriétés du champ vectoriel (→ économie de calculs)
Dans cette introduction à la mécanique des fluides, la description des écoulements de fluide se
fera essentiellement dans le cadre de la description « eulérienne ».
3. Trajectoires et lignes de courant
a) Définitions
La trajectoire d’une particule de fluide est définie par le chemin suivi par cette particule au
cours du temps, c'est-à-dire l’ensemble des positions successives de cette particule au cours
du mouvement. On peut les visualiser en injectant un traceur (fumée, liquide coloré, particules
diffusant la lumière …)
On peut définir plusieurs grandeurs caractérisant le mouvement d’un fluide :
 Les lignes de courant sont les lignes du champ de vecteurs ),( trV
r
r
.
Elles sont définies comme les courbes tangentes en chacun de leurs points au vecteur
vitesse en ce point
 On définit par tube de courant (ou filet de courant) l’ensemble des lignes de courant
s’appuyant sur un contour fermé
 Les lignes d’émission (ou filets de fluide) en un point P et l’instant : sont les lieux
des positions à l’instant t des particules qui sont passées au point P aux instant
précédents, . Elles peuvent être mises en évidence en injectant un colorant au
point considéré
0
t
0
tt ≤
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b) Détermination des trajectoires
Les trajectoires sont généralement calculées en éliminant le temps dans les expressions
exprimant la position d’une particule fluide à chaque instant :
()
)(),(),()( tztytxtrOM ==
r
Si on connaît la vitesse en description Eulérienne, on peut déterminer les trajectoires des
particules en intégrant cette vitesse par rapport au temps.
Soit la vitesse donnée en description Eulérienne
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
==
),,,(
),,,(
),,,(
),,,(),(
tzyxV
tzyxV
tzyxV
tzyxVtrV
z
y
x
rr
Par définition
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
=
=
==
dt
dz
z
dt
dy
y
dt
dx
x
dt
rd
V
&
&
&
r
r
, on obtient donc le système différentiel:
⎪
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎪
⎨
⎧
=
=
=
),,,(
),,,(
),,,(
tzyxV
dt
dz
tzyxV
dt
dy
tzyxV
dt
dx
z
y
x
En intégrant ce système avec les conditions initiales
(
)
)(),(),( 0000000 tzztyytxxr ==
=
=
r
,
on obtient la position à chaque instant :
()
∫
+== t
tdttrVrtztytxtr
0
),()(),(),()( 00
r
r
r
En éliminant alors le temps, on obtient une relation entre les variables correspondant
à l’équation de la trajectoire de cette particule (comme en mécanique du point)
),,( zyx
Remarque :
Pour obtenir expérimentalement les trajectoires, on peut prendre une photographie de
l’écoulement avec un temps d’exposition long, de manière à ce que chaque particule puisse
parcourir tout le champ de l’appareil
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