DYNAMIQUE des FLUIDES équations de continuité et

Génie Climatique Mécanique des fluides Méca Flu
« Le condensât » Dynamique des fluides
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BTS Domotique ( équations de continuité – équations de bernoulli )
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DYNAMIQUE des FLUIDES
 équations de continuité et équations de bernoulli
1. Equations de continuité :
HYPOTHESE FONDAMNTALE :
L’écoulement du fluide se fait en régime permanent établi :
• les grandeurs physiques sont constantes dans le temps (PàC : mais pas nécessairement le long de
l’écoulement)
• dans une section donnée, la vitesse est invariable
1.1. Equation de conservation de la masse : m :
Considérons l’écoulement d’un fluide dans une canalisation entre la section d’entrée 1 et la section
de sortie 2.
A un instant t donné :
• il entre une masse m1 de fluide de masse volumique ρ1 par la section d’entrée 1 d’aire S1.
Cette masse de fluide peut être représentée par une longueur L1 telle que : m1 = ρ1 . S1 . L1
• il sort une masse m2 de fluide de masse volumique ρ2 par la section de sortie 2 d’aire S2.
Cette masse de fluide peut être représentée par une longueur L2 telle que : m2 = ρ2 . S2 . L2
La matière ne disparaît pas dans la tuyauterie, la masse de fluide sortante est donc égale à la masse
de fluide entrante. Soit :
masse de fluide entrante = masse de fluide sortante
m1 = m2
ρ1 . S1 . L1 = ρ2 . S2 . L2
Ces équations traduisent la conservation de la masse dans un écoulement.
1.2. Equation de conservation du débit massique (  débit masse) : qm
1.2.1. Définiton du débit massique : qm (en kg/s) :
Définition du debit massique (  débit masse) : qm (en kg/s) :
Le débit massique qm représente la quantité
(PàC : et non le volume) de fluide traversant une
section par unité de temps. Soit :
qm = ∆m
∆t en kg/s
Pour un fluide masse volumique ρ traversant
une section d’aire S à la vitesse moyenne V. Le
débit massique qm s’écrit :
qm = ρ .S .V ൬kg
s= kg m
ଷ
.m
ଶ
.m
s൰
sortie = 2
section : S2
entrée = 1
section : S1
L1
L2
fluide entrant :
masse volumique : ρ1
masse entrante : m1
m1 = ρ1 . S1 . L1
fluide sortant :
masse volumique : ρ2
masse sortante : m2
m2 = ρ2 . S2 . L2

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1.2.2. Equation de conservation du débit massique :
Considérons l’écoulement d’un fluide dans une canalisation entre la section d’entrée 1 et la section
de sortie 2.
Pendant un intervalle de temps ∆t donné :
• il entre une masse ∆m1 de fluide donc un débit massique qm1 = ∆m1 / ∆t
• il sort une masse ∆m2 de fluide donc un débit massique qm2 = ∆m2 / ∆t
L’équation de conservation de la masse impose que ∆m1 = ∆m2.
Comme l’intervalle de temps ∆t est le même entre la section d’entrée 1 et la section de sortie 2
alors : qm1 = qm2.
En utilisant la définition du débit massique : qm = ρ . S . V, soient :
• qm1 = ρ1 . S1 . V1
• qm2 = ρ2 . S2 . V2
Il vient : qm1 = qm2  ρ1 . S1 . V1 = ρ2 . S2 . V2
Equation de conservation du débit massique : qm =constante :
Pendant un intervalle de temps ∆t donné, la matière ne disparaît pas dans la tuyauterie, le débit
massique sortant est donc égale au débit massique entrant. Soit :
débit massique entrant = débit massique sortant
qm1 = qm2
ρ1 . S1 . V1 = ρ2 . S2 . V2
Ces équations traduisent la conservation du débit massique dans un écoulement.
2. Equation de bernoulli (  équation de conservation de l’énergie) :
HYPOTHESE :
L’équation de bernoulli ( équation de conservation de l’énergie) ne s’applique qu’à l’écoulement
d’un fluide parfait (donc incompressible et non visqueux  pas de perte par frottement) dans une
tuyauterie parfaitement lisse ( donc pas de perte par frottement sur les paroies).
L’équation de bernoulli traduit que l’écoulement d’un fluide entre une section d’entrée 1 et une section
de sortie 2 se fait sans perte d’énergie. L’énergie totale du fluide est conservée.
Soit E
TOT
= constante  E
TOT1
= E
TOT2
L’énergie totale E
TOT
d’un fluide est la somme de :
• son énergie cinétique : E
C
=
ଵ
ଶ
. m . V
2
• son énergie potentielle de pesanteur : E
g
= m . g . z
• son énergie de pression : E
p
= m .
୮
஡
fluide entrant :
masse volumique : ρ1
vitesse moyenne : V1
fluide sortant :
masse volumique : ρ2
vitesse moyenne : V2
sortie = 2
section : S2
entrée = 1
section : S1
V1 V2

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L’énergie totale E
TOT
d’un fluide est la somme de :
énergie
totale = énergie cinétique + énergie potentielle + énergie pression
E
TOT
= E
C
+ E
g
+ E
p
E
TOT
=
ଵ
ଶ
. m . V
2
+ m . g . z + m .
୮
஡
Avec :
m : en kg : masse de fluide considérée
V : en m/s : vitesse moyenne du fluide dans la section considérée
g : en m/s
2
: accélération de la pesanteur (g = 9,81 m/s
2
)
z : en m : altitude
p : en Pa : pression statique absolue (rappel : 1 Pa = 1 N/m
2
)
ρ : en kg/m
3
: masse volumique du fluide
E
TOT
, E
C
, E
g
, E
p
: en J (remarque : 1 J = 1 kg . m
2
/ s
2
En l’état cette équation est difficilement exploitable car elle utilise la masse de fluide qui ne représente
pas bien l’écoulement. On utilisera donc d’autres équations calculées à partir de celle-ci :
L’équation de bernoulli ( équation de conservation de l’énergie) ne s’applique qu’à l’écoulement
d’un fluide parfait (donc incompressible et non visqueux  pas de perte par frottement) dans une
tuyauterie parfaitement lisse ( donc pas de perte par frottement sur les paroies).
L’équation de bernoulli traduit que l’écoulement d’un fluide entre une section d’entrée 1 et une section
de sortie 2 se fait sans perte d’énergie. L’énergie totale du fluide est conservée.
Equation de bernoulli en :
• Energie massique :
1
2 . V
ଶ
+ g . z + p
ρ = constante (en J/kg)
• Pression : la plus courante :
1
2 . ρ . V
ଶ
+ ρ . g . z + p = constante (en Pa)
• En hauteur de fluide :
1
2 . V
ଶ
g + z + p ρ .g = constante (en mC)
mC : mètre de colonne de fluide
Avec :
m : en kg : masse de fluide considérée
V : en m/s : vitesse moyenne du fluide
dans la section considérée
g : en m/s
2
: accélération de la pesanteur
(g = 9,81 m/s
2
)
z : en m : altitude
p : en Pa : pression statique absolue
(rappel : 1 Pa = 1 N/m
2
)
ρ : en kg/m
3
: masse volumique du fluide
fluide sortant
:
pression
: p2
vitesse
: V2
fluide entrant :
pression : p1
vitesse : V1
sortie = 2
section : S2
entrée = 1
section
: S
1
z (m)
z2
z1

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3. Equation de bernoulli généralisée :
L’équation de bernoulli généralisée permet de décrire l’écoulement d’un fluide réel dans une
tuyauterie réelle en prenant en compte :
• la viscosité du fluide
• les turbulences dans les accidents de parcours
• la rugosité des parois de la tuyauterie
3.1. Pertes de charges :
L’énergie totale n’est plus conservée en raison des pertes par frottement le long de la tuyauterie et au
passage d’un accident de parcours. Ces pertes sont appelées pertes de charge et elles sont notées J.
Entre une section d’entrée 1 et une section de sortie 2, l’équation de bernoulli généralisée s’écrit :
E
TOT1
= E
TOT2
+ J
lin
+ J
sing
(en J)
Avec : J
lin
: pertes de charge linéaire (ou régulière) : frottement le long des parois
J
sing
: pertes de charge singulière : turbulences dans les accidents de parcours
Remarque : le calcul des pertes de charge sera vu dans un cours ultérieur.
3.2. Machines et appareils :
Les machines fournissent ou prennent de l’énergie au fluide :
• pompes et ventilateurs : fournisseurs
• turbines : consommatrices
Les appareils introduisent leurs propres pertes de charges (valeurs fournies par le fabricant).
Lorsque des machines et des appareils sont présents entre une section d’entrée 1 et une section de
sortie 2, l’équation de bernoulli généralisée en pression s’écrit :
1
2 .ρ .V1
ଶ
+ ρ .g .z1 + p1 + P
qv = 1 2 .ρ .V2
ଶ
+ ρ .g .z2 + p2 + J
୪୧୬
+ J
ୱ୧୬୥
+ J
ୟ୮୮
Avec : P : en W : puissance des machines ( P > 0 si fournisseur, P < 0 si consommateur)
qv : en m
3
/s : débit volumique ( débit volume) du fluide
J
app
: en Pa : pertes de charge des appareils
Remarque 1 : en domotique, pas de turbine (donc pas de P < 0)
Remarque 2 : les fabricants des pompes et des ventilateurs fournissent, généralement, les
caractéristiques de leur matériel en Pa ou en hauteur de fluide (mCE).
• en pression : P / qv  ∆p (en Pa) donc pas de problème
• en hauteur de colonne de fluide :
Cas de la Hmt des pompes : Hmt = ∆p / ( ρ . g ) en mCE avec ∆p en Pa
 E
TOT1
en Pa  E
TOT
2
en Pa