La localisation forte d`Anderson des ondes classiques

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La lumière du soleil est diffusée parlesnuages,le brouillard etlesaérosolsen suspension dansl’air ; lesmicro-ondes
émisesparnos téléphonesportables sontdiffuséesparlesbâtiments des villesetle bruitdu trafic autoroutierest
diffusé parlesarbres.Dans tous cescasde diffusion faible,lapropagation de l’onde est perturbée maisn’est pas
arrêtée. Ilsetrouve qu’un désordresuffisammentfort peut complètementbloquerlapropagation d’une onde ;ce
phénomène est connu sous le nom de « localisation d’Anderson ». L’origine physique de lalocalisation d’Anderson
desondesclassiquesest lamême quecelle de lalocalisation desélectronsdansles solidesdésordonnés.Maisles
ondesclassiquesen permettent une observation plus claire etmoinsambiguë. Danscetarticle nous passonsen
revue quelques-unsde nos résultats concernantlalocalisation d’Anderson desondesclassiquesetillustronsnos
propospar une expériencetrès récente qui emploie lesondesélastiquespour lamettre en évidence.
Pourquoi lesondesclassiques?
endantlesannéesquatre-vingts lesphysiciens réali-
sentprogressivementque le phénomène de locali-
sation d’Anderson – le confinement spatial des
ondesdûaudésordre–n’est pas uniquement un phéno-
mène quantique,maisplus généralement un phénomène
ondulatoire. Ce phénomène trouveson origine dansles
interférencesdesondesmultiplementdiffuséesdans un
milieudésordonné etil devraitdoncexisterpour tout type
d’onde cohérente:lalumière,le son,lesondesélastiques,
etc.Lesondesclassiques semblentlesmieux appropriées
àladémonstration directe duphénomène, ceci pour au
moins trois raisons:tout d’abord,lesexpériencespeuvent
se faireàtempératureambiante puisque la cohérence des
ondesclassiquesne se dégrade pasaveclatempérature.
Pour lesélectronsouautresparticulesquantiques(lesato-
mesfroids,parexemple),desbasses températures sont
nécessairespour éviterladiffusion inélastique. Ensuite,
aveclesondesclassiqueson peut facilementéviterlesinte-
ractionsentre lesondeselles-mêmes(les« non
linéarités» dans un langage d’optique oud’acoustique).
Enfin,lesmesures résoluesen fréquence,en tempsouen
espacesont tout àfaitenvisageables ; celareprésenteune
boîteàoutilsimportante dontne peut bénéficierl’étude de
lalocalisation forte desélectrons,qui ne dispose pratique-
mentque du seul outil desmesuresde la conductance (AC
ouDC) globale d’un échantillon. La possibilité d’observer
lalocalisation d’Anderson aveclesondesclassiquesadonc
séduitde nombreux physiciensde différents domaines
quisesontaussitôtlancésàla conquête du sujet.
Lespremiers résultats ne sesontpasfaitattendretrès
longtempsetdèslesannéesquatre-vingt-dixlalocalisa-
tion forte d’Anderson desondesélectromagnétiquesetdu
son aété observée dansles systèmes uni- oubidimension-
nels(1Det 2D), ainsi que danslesguidesd’ondesquasi-
uni-dimensionnels.Cela a représentéun grand pas vers
l’avantcarcesexpériencesontpermis une étude précise
desfonctionsd’onde localiséesetde leurs propriétés sta-
tistiques, ce quiaprovoquéune explosion d’activitéthéo-
rique dansle domaine,sansparlerdes résultats
«secondaires»,obtenus grâceà cesétudes,qui ne
concernentpasdirectementlalocalisation d’Anderson
maisplutôtladiffusion multiple desondesen général.
Cependant,le « saintgraal » dudomaine – lalocalisation
forte dansles systèmes tridimensionnels(3D),où une
vraie transition de localisation doitexisteravectouteune
physiqueriche de phénomènescritiques–resteàtrouver.
Etpour cause, carcertainesdifficultés spécifiquespour
lesondesclassiquesempêchent une observation facile de
latransition. Tout d’abord,il yaune différence impor-
tante entre l’équation de Schrödinger,qui décritle
comportementde lafonction d’onde d’un électron (ou
d’unatome) dans un potentiel désordonné,etl’équation
de Helmholtz décrivant une onde classique dans un
milieualéatoire (voirencadré1 ). Cette différence implique
que lalocalisation desondesclassiquesn’est possible que
dans un intervalle de fréquencesintermédiaires,etnon
P
La localisation forte d’Anderson
desondesclassiques
Article proposé par:
SergeyE.Skipetrov,[e-mail]
Bart A.vanTiggelen,[e-mail]
Laboratoire de physique etmodélisation desmilieux condensés, UMR 5493, CNRS /Univ.Grenoble 1, Grenoble
John H.Page
Departmentof Physicsand Astronomy, University of Manitoba, Winnipeg, Canada

La localisation forte d’Anderson desondesclassiques
76
pasplus oumoins«trivialement»àdes trèsbassesfré-
quencescomme c’est le caspour lesélectrons.Ensuite,
pour lesondesélectromagnétiques– lumière oumicro-
ondes– il est difficile d’atteindre le degré de désordre
nécessaire pour lalocalisation. La raison principale est
que le degré de désordre est principalementdéterminé
parle contraste d’indice de réfraction nentre lescompo-
sants d’un milieudésordonné. Dansle visible,nest
comprisentre1etenviron 3,5, ce qui limite le contraste
optiqueaccessible. Enfin,lesondesclassiques souffrent
de l’absorption. Contrairementaux particulesquantiques
dontle nombre est conservé,lesondesclassiquesperdent
presque inévitablement une partie de leur énergie dansle
milieu.Dans un matériauàstructurecomplexe,l’absorp-
tion est souventdifficile à contrôleravecprécision. Il est
cependantcrucial de distinguer une onde qui n’apaspu
traverserle milieuà cause de lalocalisation d’Anderson,
d’une onde quiaétéabsorbée dansle milieu.Cecis’avère
délicatdanslamesure où,danslaquasi-totalité desexpé-
riences,on déduitle comportementde l’onde àl’intérieur
dumilieuàpartird’une mesure de transmission. Voilà
pourquoi beaucoup d’experts insistentaujourd’huisur les
L’équation de Schrödingeretl’équation de Helmholtz
Encadré 1
Une particule quantique (parexemple,un électron) dans
un potentiel aléatoireV (r) est décrite par une fonction d’onde
qui obéitàl’équation de Schrödinger:
.
Pour une particule d’énergie E ,,
conduisantàl’équation de Schrödinger stationnaire:
.
Parailleurs,lapropagation d’une onde scalaire (la
lumièresi on néglige lapolarisation,oule son) dans un
milieudésordonné est décrite parl’équation d’onde :
,
oùest lafonction d’onde classique (le champ électri-
que pour lalumière oulapression si on parle d’une onde
acoustique),etc (r) est lavitesse de l’onde. La vitesse est une
fonction aléatoire de laposition r.Pour une onde monochro-
matique de fréquenceangulaire ω ,,
conduisantàl’équation de Helmholtz :
où représente lesfluctuationsde
vitesse duesaudésordre par rapport àun milieu uniforme
avecvitessec 0.Cette équation alamême forme que l’équa-
tion de Schrödinger stationnairesi on identifie
.
D’une part, cetteanalogie implique que lesmêmesphé-
nomènespeuvent se produire pour lesparticulesquantiques
etpour lesondesclassiques.D’autre part,on remarque
qu’une particule quantiqueàsuffisammentbasse énergie
pourraêtre « trivialement» piégée dans un puits de poten-
tiel formé parle potentiel aléatoire:l’effet tunnel n’est plus
capable de rendre l’électron mobile. Pour une onde classi-
que,en revanche,diminuerlafréquenceωentraîne non seu-
lement une baisse d’« énergie »,maiségalement une baisse
dupotentiel effectif σ (r) puisquece dernierest proportionnel
àω 2.En fait,puisque,on trouve que l’énergie
effective est toujours supérieureaupotentiel ! Lerégime de
tunnel favorable àlalocalisation ne semble pasexister.
Apparemment,lesondesclassiquesne peuventjamaisêtre
piégéesparle désordre de façon triviale. Nous illustrons
cettesituation danslafigureE1 .
Ψ (,)rt
it
tmtVt--∂
∂=−∇ +
ΨΨΨ (,)(,)()(,) rrrr
22
2
Ψ (,)()exp( /)rrtiEt=− ψ -
−∇ +=
-22
2 mVE
ψψψ () () () ()rrrr
∇−
∂
∂=
22
2
2
10ΨΨ(,)() (,)rrrtctt
Ψ (,)rt
Ψ (,)()exp( )rrtit=− ψω
−∇ +=
22
02
ψσψωψ () () () ()rrrr
c
σω ω () //()rr=−
20222
cc
22
2
2
022
mEc mV
--
↔↔
ωσ
,() ()rr
FigureE1 – (a)A basse énergie – prèsdesbordsdu spectre – une parti-
cule quantique peut se déplacerpareffet tunnel. Asuffisammentbasse
énergie,même l’effet tunnel ne lui permettraplus d’aller trèsloin etla
particule serapiégée. C’est le casde localisation « triviale » carlaparti-
cule seraitdéjàpiégée classiquement.Parcontre,en une etdeux
dimensions,même lesparticulesavecdesénergiesE>V (r)seraient
localisées.Cerésultatest beaucoup moinsintuitif ! (b)Une onde classi-
que monochromatique dans un milieudésordonné est décrite parla
même équation qu’une particule quantique, bien queseulementle cas
équivalentàE>V (r)seréalise. Afin de localiser une onde classique,le
désordre doitêtresuffisammentfort pour empêcher une propagation
libre,plutôtqu’une propagation pareffet tunnel.
ωσ
202
/()c>r

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La localisation forte d’Anderson desondesclassiques
fluctuationsgéantesdans toutesles variablesobservéeset
ne se limitentpasàl’étude de lamoyenne d’ensemble du
transport.Lesdéfis sontimportants.Pour pouvoiraffir-
merque lalocalisation forteaété observée,une seule
expérience ne suffitplus aujour d’aujourd’hui. Touteune
to-do-list attend l’expérimentateur :dynamiqueanormale,
confinement spatial,fluctuationsnon gaussiennes,fonc-
tion d’onde multi-fractale…
Danscetarticle,nous allonsdiscuter une desexpérien-
ces récentesque nous avons réaliséesavecdesondesélas-
tiquesdans unverre de billesd’aluminium (voirfigure1 ).
Une onde sonore est envoyée dansl’échantillon oùelle est
transformée en une onde élastique. Cette dernièrese pro-
page dansle réseauélastique formé parlesbillesbrasées
et se diffusesur lesporesde lastructure. Il en résulteune
marche aléatoire de l’onde sur le réseauqui,danscertai-
nesbandesde fréquences,peut êtrebloquée parlesinter-
férencesentre lesondesdiffusées.C’est doncla
localisation d’Anderson – l’arrêtdu transport dûaudésor-
dre–quiseréalise dansnoséchantillons.Une nouvelle
génération d’expériencesavu le jour très récemment.Ces
expériencesprofitentpleinementde lafacilité desmesu-
res résoluesen espace eten tempsofferte parlesondes
classiques.Ellespermettentde mettre en évidence le phé-
nomène de localisation d’Anderson de façon trèsconvain-
cante etde s’affranchirdeseffets d’absorption. Ence qui
concerne lesaspects théoriques,plusieurs approchesau
problème de localisation d’Anderson ontété développées.
Une de cesapprochesest résumée dansl’ encadré2 .Les
progrès récents dansle domaine de lalocalisation des
ondesclassiques sontlargementdus àla collaboration
étroite entrethéoriciensetexpérimentateurs.
Expériences résoluesen temps
Danslapremière expérience,nous envoyons une
courte impulsion sonore dansnotre échantillon désor-
donné etnous observonsl’intensitéI (t ) de l’onde trans-
mise en fonction du tempst .Parmi lesondespartielles
traversantl’échantillon,il yadesondesquisuiventdes
chemins trèscourts,presquebalistiques,etquittent
l’échantillon très vite, ainsi que desondesquirestentpié-
géesdansl’échantillon,trèslongtemps.Dece fait,
l’impulsion transmises’avèreconsidérablementélargie
en durée (voirfigure2 ). Cetélargissementaété observé
pour plusieurs fréquencesde l’onde,de 200 kHzà3MHz,
maisl’allure de la courbeI (t ) n’est pas toujours lamême.
Pour lesbassesfréquences( figure2a ),I (t ) décroîtexpo-
nentiellementaprès son maximum, ce qui est en parfait
accordaveclathéorie de diffusion classique qui néglige
lesinterférencesentre lesondesdiffusées(ligne rouge sur
lafigure2a ). Autrementdit,si on lançaitdesballesde
ping-pong àtravers une chambre d’enfant,remplie de
jouets de toutes sortesplacésde manière désordonnée,on
auraitmesuré lamême distribution dunombre de balles
«transmises» en fonction du tempsque ladistribution
I ( t ) observée danslafigure2a .
Pour leshautesfréquences,en revanche,I ( t ) décroît
en fonction du tempsbeaucoup moins vite qu’une simple
exponentielle (figure2b ). Il est évidentque lathéorie de
Figure 1 – Un deséchantillons utiliséspour l’observation de lalocalisation
d’Anderson desondesélastiques.Il est composé de billesd’aluminium de
4 mm de diamètre, braséespour former unréseauélastique désordonné.
Figure2–Intensité moyenne I(t) d’une courte impulsion ultrasonoretrans-
miseàtravers le milieudésordonné de lafigure1 .À basse fréquence (a),les
ondes secomportentcomme desparticulesclassiquesetI(t) décroîtexpo-
nentiellementavecle temps,en accordaveclaprédiction de lathéorie de
diffusion (ligne rouge). Pour leshautesfréquences(b),lathéorie de diffu-
sion (en pointillés) n’est plus valable. C’est lathéorie auto-cohérente de la
localisation (ligne rouge) qui prend larelève. Cettethéorie décrit trèsbien
lesmesures si on suppose que lesondesélastiques sontlocalisées[c’est-à-
dire que kl <(kl)c ].Enrevanche,l’ajustementde la courbethéoriqueaux
donnéesn’est paspossible pour kl >(kl)c(régime de diffusion). Selon le cri-
tère de Ioffe-Regel, celamontre qu’àhaute fréquence lesondesélastiques
sontlocaliséesdansnoséchantillons[ NaturePhysics4,945 (2008)].

La localisation forte d’Anderson desondesclassiques
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diffusion (ligne pointillée) n’est plus valable. Enrevanche,
lescourbesI ( t )sonten parfaitaccordaveclesprédictions
de lathéorie auto-cohérente de lalocalisation ( encadré2 )
représentéesparlaligne rouge danslafigure2b .Lebon
accord entrethéorie etexpériencesuggère qu’àhaute fré-
quence lapropagation desondesélastiquesest profondé-
mentaffectée parleseffets d’interférences.La
propagation est donctrèsdifférente de celle desballesde
ping-pong ! Leralentissementde ladécroissance de I (t )
aux tempslongsconstitueunsigne indirectde lalocalisa-
tion d’Anderson dansnoséchantillonsàhaute fréquence:
lesondes sontpiégéesparle désordre maisfinalement
finissentpar s’échapperde l’échantillon. Notonsque
l’absorption ne peut expliquercesobservations.En effet,
l’absorption change lapente de ladécroissance exponen-
tielle de I (t ) maisne peut paslarendre non exponentielle !
C’est bien lathéorie de localisation qui établitle lien
entre lalocalisation d’Anderson etladécroissance non
exponentielle de I(t) observée danslafigure2b .De plus,
même en régime de diffusion,I(t) peut dévierd’une sim-
ple exponentielle pour les tempsplus longsque le temps
de HeisenbergtHégalàl’inverse de l’espacemententre
lesquasi-modesde l’échantillon. En effet, au-delàde tH
on commenceàrésoudre lesquasi-modesetladescrip-
tion de lapropagation parlathéorie de diffusion cesse
d’êtreadéquate.
Expériences spatialement résolues
Est-il possible d’avoir une observation plus directe de la
localisation ? Peut-on observerlalocalisation d’un paquet
d’onde ? Pour répondreà cesquestions,nous avonsfoca-
liséune impulsion ultrasonore en un pointρ=0sur la
surface de l’échantillon etnous avonsmesuré l’intensité
I (ρ ,t ) en fonction de laposition ρsur lasurface opposée.
Pour caractériserle profil spatial de I (ρ ,t ),nous le repré-
sentonscomme I (ρ ,t )=I (0,t )·exp[– ρ 2 / w ρ ( t ) 2 ]oùw ρ ( t ) est
lalargeur transverse effective duprofil. L’avantage d’une
telle représentation est lamise en évidence desdifférences
entre le régime de propagation diffuse,pour lequel
w ρ ( t ) 2∼t ,etle régime de localisation d’Anderson,pour
lequel on s’attend à ce quew ρ ( t ) 2tende vers une valeur
indépendante du tempsdanslalimite des tempslongs.
Lesdifférences sontillustréesdanslesfigures 3aet 3boù
nous montronsw ρ ( t ) 2pour deux échantillonsdifférents,
mais toujours àhaute fréquence. On observeclairement
qu’aulieude croître linéairementavect ,w ρ ( t ) 2sature pour
les tempslongs.De plus,le profil spatial de I ( ρ ,t ) n’est pas
gaussien puisquew ρ ( t ) 2dépend clairementde ρ .Le profil
transverse observé en transmission est illustrésur la
figure3c .Nous observonsque le profil s’étale, avantde
converger vers un profil stable en temps.C’est exactement
ce que l’on attend dumot« localisation » ! Onaici l’obser-
vation laplus directeà ce jour de ce phénomène.
La théorie préditque lavaleur de w ρ ( t ) 2aux tempslongs
dépend de lalongueur de localisation etde l’épaisseur de
l’échantillon. Puisque l’épaisseur est connue,lamesure de
w ρ ( t ) 2permetde déterminerlalongueur de localisation. En
plus,il est facile de vérifierquew ρ ( t ) 2n’est pas sensible à
l’absorption desondes.Donclamesuredew ρ ( t ) 2permetde
caractériserle régime de propagation sansconnaître la
valeur précise de l’absorption qui est toujours difficile à
déterminer.
Statistique desfluctuations
de l’intensité
Jusqu’àprésentnous avonsparlé de l’intensité
moyenne. Maislalocalisation d’Anderson se manifeste
également– etpeut-être même surtout – danslesfluctua-
tionsde l’intensité,les tavelures(« speckle » en anglais).
En fait,plusieurs théoriesprédisentdesfluctuations
géantesde l’intensité dansle régime de localisation
d’Anderson. Si on excite l’échantillon avecune onde de
fréquence etde profil spatialadéquats pour exciter un état
localisé,latransmission de l’onde àtravers l’échantillon
peut êtretrèsélevée,voiretotale, bien qu’elle soitfaible en
moyenne. Pour mettre en évidence lesfluctuations
géantesde l’intensité,nous avonsilluminé l’échantillon
par une onde plane monochromatique etmesuré l’inten-
sitéI (ρ )transmiseàtravers l’échantillon. Cette mesure
Figure3–La saturation de lalargeur transverse d’une impulsion transmise
aucours du temps[(a) et(b),pour deux échantillonsdifférents] confirme la
localisation d’Anderson desondesélastiquesdansnoséchantillons(symbo-
les– expérience,lignes–théorie). Non seulementlalargeur transverse
w ρ ( t ) 2maisaussi le profil spatialcompletde l’impulsion (c)sontbien décrits
parlathéorie auto-cohérente[ NaturePhysics4,945 (2008)].

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La localisation forte d’Anderson desondesclassiques
Théorie auto-cohérente de lalocalisation d’Anderson
Encadré 2
Puisque latransition d’Anderson est une transition
entre deux régimes trèsdifférents de transport (diffusion à
désordre faible etlocalisation àdésordre fort),il est trèsdif-
ficile de développer une théorie qui décriraitlesdeux régi-
mesainsi que latransition entre eux.La théorie auto-
cohérente de lalocalisation est basée sur une considération
– dite de localisation faible – quis’applique en régime de dif-
fusion. Néanmoins,il setrouve que l’extrapolation de ces
résultats au-delàdu seuil de localisation donne des résultats
encourageants pour plusieurs quantitésmesuréesdansles
expériences.Même au voisinage de latransition,lathéorie
auto-cohérente permetde prévoirle bon comportementde
certainesobservables(parexemple lavariation ducoeffi-
cientde transmission avecl’épaisseur de l’échantillon,oula
dynamique descourtesimpulsions). Toutefois,lavaleur
prédite parlathéorie pour l’exposantcritique de latransi-
tion ν,l’exposantqui gère ladivergence de lalongueur de
localisation ξàlatransition,est en désaccordavecles simu-
lationsnumériques.
La théorie auto-cohérente prend en compte lesinterféren-
cesdesondesdans un milieudésordonné. NotonsP particule la
probabilité qu’une particule classiquerevienne au voisinage
d’un point r oùelle setrouvaitinitialement.Cette probabilité
secalcule àpartird’une somme de probabilitéscorrespon-
dantaux différents cheminsque laparticule peut poursuivre
dansle milieudésordonné. Pour chacun de ceschemins(par
exemple,pour le chemin rouge danslafigureE2 ) il existeun
chemin réciproque (le chemin bleu) qui passe parlesmêmes
diffuseurs maisdansl’ordre inverse. La probabilitéderetour
est doncP particule =P 1+P 2=2 P 1avecP 1=P 2 ,probabilités
correspondantaux chemins rouge etbleu respectivement.
Une observation cruciale est que pour une onde cohérente
(ou une particule quantique,décrite par une fonction d’onde)
il faut sommerlesamplitudesA 1etA 2desondes(oules
amplitudesdesprobabilités)correspondantaux chemins1 et
2.Parconséquent,laprobabilité de retour est donnée par
P onde =| A 1+A 2| 2=4 P 1 , avecP 1=P 2=A 1 2=A 2 2 .P onde est
doncdeux foisplus grande queP particule.L’intégrale de lapro-
babilitésur tout l’espacevaut 1 pour lesparticulesclassiques
aussibien que pour lesondes.Une probabilité de retour plus
élevée implique doncque le transport quantique est réduit
par rapport au transport classique. En effet,puisqu’une onde
aplus de chancesde reveniràson pointde départ,elle aforce-
mentmoinsde chancesde se dégager!
Ceraisonnement,illustrésur lafigureE2 ,peut être mis
sous une forme un peuplus mathématique. Dans une des-
cription classique,le parcours aléatoire d’une particule se
trouvantinitialementen r ′est décritparlaprobabilité
de trouverlaparticule aupoint r après untempst .
Ala condition que,oùlest le libre parcours
moyen, cette probabilité obéitàune équation de diffusion :
oùest latransformée de Fourierde . Le
coefficientde diffusion est une constante dansladescription
classique:.Pour une onde cohérente,le coeffi-
cientde diffusion est réduità cause desinterférencesentre
leschemins réciproquesévoquéesci-dessus :
,
oùCest uncoefficientnumérique etkest le vecteur d’onde.
Onretrouve danscette équation laprobabilité de retour dis-
cutée danslafigureE2 ,sauf que maintenantc’est laprobabi-
lité de retour dans une région d’espace de taille ∼lautour du
pointde départ quicompte. Cette équation exprime mathé-
matiquementl’impactdesinterférences sur le transport
ondulatoire dans un milieudésordonné. La correction inter-
férentielle aucoefficientde diffusion est donnée parlasolu-
tion de l’équation de diffusion qui doitêtrerésolue de
manièreauto-cohérente (d’oùle nom de lathéorie). La dépen-
dance de Daveclaposition apparaîtnaturellementdans un
milieude taille finie puisque l’importance desinterférences
n’est paslamême aux interfacesetàl’intérieur dumilieu.
Lesdeux équationsde cetencadréreprésententlesdeux
équationsfondamentalesde lathéorie auto-cohérente de la
localisation dans saformulation moderne. D’une part,dans
le milieuinfini tridimensionnel,ellesprédisentlatransition
d’Anderson autour de kl =( kl) c∼1 (critère de Ioffe-Regel).
D’autre part,pour un milieufini etkl >> ( kl) ccesmêmes
équationsdonnentle critèredeThouless (avecgla
«conductancesansdimension ») comme condition néces-
saire pour observerlalocalisation.
Pt(,,)rr
′
rr−′≥l
−−∇⋅∇
′=−′
iDPΩΩ Ω(,)(,,)( )rrrrr δ
P(,,)rr
′Ω
Pt(,,)rr
′
DD
B
(,)rΩ=
FigureE2–La probabilité de reveniraumême point r est plus élevée
pour une onde que pour une particule classiqueà cause desinterféren-
cesconstructivesentre lesondes se propageantle long deschemins1 et
2qui ne diffèrentque parladirection de propagation de l’onde.
11
2
DD
C
kl Pl
(,)(,,) rrr rr ΩΩ=+× ′−′≈
B
g≤1