TP no 1 – Électrostatique : mesure d`un potentiel et d`une

TP no 1 – Électrostatique : mesure d’un potentiel et d’une capacité
PREPARATION (à rédiger avant de venir en TP)
Il s’agit de trouver une méthode pour mesurer la capacité C d’un condensateur, en étudiant
sa charge et sa décharge dans un circuit RC.
VR
b
R
i
a
C
E
VG
VC
F IGURE 1 – Circuit RC
Décharge. On se place dans le cas où l’interrupteur est sur la position a. On suppose que le
condensateur de capacité C , initiallement chargé avec une charge Q 0 = C .V0 , se décharge dans
la résistance R (cf. Fig.1).
– En utilisant les lois de l’électronique, écrivez une équation différentielle pour VC (t ) ou
VR (t ).
– Résolvez cette équation en prenant en compte les conditions initiales et montrez que
VC (t ) et VR (t ) s’écrivent respectivement :
VC (t ) = V0 e −t /RC
VR (t ) = −V0 e −t /RC
et
– Donnez l’allure des tensions VC (t ) et VR (t ) en fonction du temps.
– Quelle est la dimension de RC ? Quelle est sa signification physique ? Comment à partir
des courbes VC (t ) ou VR (t ) peut-on retrouver la valeur de RC ? (Conseil : intéressez vous
au développement limité de l’exponentiel à t → 0 et alors à la tangente à l’origine).
Charge. On se place dans le cas où l’interrupteur est sur la position b. On suppose que le
condensateur de capacité C est chargé par l’intermédiaire d’une résistance R par un générateur
de tension continue E .
– En utilisant les lois de l’électronique, écrivez une équation différentielle pour VC (t ) ou
VR (t ).
– Résolvez cette équation en prenant en compte les conditions initiales et montrez que
VC (t ) et VR (t ) s’écrivent respectivement :
VC (t ) = E (1 − e −t /RC )
et
VR (t ) = E e −t /RC
– Donnez l’allure des tensions VC (t ) et VR (t ) en fonction du temps. Vérifiez que l’on peut
utiliser la même méthode que trouvée précedemment pour mesurer RC .
– Que se passe-t-il quand le produit RC devient très grand RC >> t ? Et au contraire que se
passe-t-il quand le produit RC devient très petit RC << t ?
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TRAVAIL EXPERIMENTAL
1. – Première partie : quelques expériences d’électrostatique
Il s’agit de mettre en évidence les forces électrostatiques dues à l’interaction entre les
charges électriques. Pour cela, on dispose du matériel de base suivant :
1. Pour isoler des charges électriques :
– des pailles plastiques isolantes : en frottant vivement ces pailles sur de la laine, on fait
apparaître des charges (dont on ne connaît pas le signe a priori) qui sont localisées sur
la surface des pailles
– des cristaux piézoélectriques : on crée des charges statiques avec les étincelles d’un
allume-gaz
– un générateur de VAN DE G RAAF (voir deuxième partie)
2. Pour mettre les charges en évidence : des électroscopes. On constituera un électroscope
avec un conducteur posé sur un support isolant et muni de languettes légères et conductrices (en papier à cigarette). On utilisera en particulier le modèle de la Fig. 2.
3. Différents matériaux conducteurs et isolants : aluminium, plastique, bois, fil de fer, etc.
F IGURE 2 – Modèle d’électroscope.
On rappelle que mettre en contact deux conducteurs chargés revient à les mettre au
même potentiel.
a. – Charge d’un conducteur par contact et par influence.
1. On va charger un électroscope par contact. Pour cela, commencez par préparer un électroscope et chargez une paille. Approchez celle-ci du chapeau de l’électroscope. La languette se dresse. Pourquoi ? Réfléchissez en terme de charges qui s’attirent et se repoussent. Ensuite, touchez le chapeau de l’électroscope avec la paille chargée, et éloignez
celle-ci. La languette reste dressée. Pourquoi ? Que se passe-t-il si on approche (prudemment) cette paille de la languette ? Que peut-on en déduire sur le signe des charges portées par la paille et par l’électroscope ainsi chargé par contact ?
Remarque : pour décharger l’électroscope, il suffit de le toucher avec un matériau
conducteur, comme votre doigt par exemple !
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2. On va maintenant charger un électroscope par influence. Pour cela, on se munit d’un
électroscope non chargé et d’une paille frottée avec de la laine. Approchez la paille chargée du chapeau de l’électroscope sans le toucher. La languette se dresse. Tout en maintenant la paille près de l’électroscope, touchez avec un doigt le bas de l’électroscope. La languette retombe. Pourquoi ? Eloignez le doigt puis la paille. La languette se dresse. Pourquoi ? Réfléchissez en terme de charges qui s’attirent et se repoussent. Quel est maintenant le signe des charges portées par la paille et par l’électroscope ainsi chargé par
influence ?
3. On va maintenant déterminer si un matériau est conducteur ou isolant. Chargez un électroscope par la méthode de votre choix. Touchez le avec divers objets tenus à la main :
feuille d’aluminium, gaine de câble électrique, pince en bois et tout autre trouvaille en
tout genre. Repérez les conducteurs et les isolants. Attention toutefois à garder un esprit
critique sur vos résultats.
b. – Pouvoir des pointes.
Dans le matériel à votre disposition, prenez un conducteur large en bas et plus étroit en
haut, en forme de pointe. Munissez le de deux languettes en papier fin, une en bas du conducteur et une vers la pointe. Préparer un électroscope avec ceci. Chargez le à l’aide d’un allumegaz, par exemple. Que constatez-vous ? Comment les charges sont-elles réparties sur le conducteur ? Dans quelle utilisation de la vie courante le ’pouvoir des pointes’ est-il utilisé ?
c. – Localisation des charges sur un conducteur.
1. Dans le matériel à votre disposition, prenez un plan conducteur souple, typiquement
une feuille d’aluminium, avec un support isolant. Munissez le de languettes de chaque
côté du plan. Chargez cette électroscope à l’aide d’un allume-gaz, par exemple. Que
constatez-vous lorsque le conducteur est plan ? et lorsque que vous transformez progressivement ce conducteur souple en cylindre fermé ? Comment les charges sont-elles
réparties sur le conducteur ?
2. Théorème de G AUSS. Les équations locales de Maxwell régissent le comportement des
champs électrique et magnétique engendrés par des charges électriques. Dans le cas de
charges statiques, une des équations de Maxwell permet de montrer que le flux du champ
électrostatique au travers d’une surface fermée S est proportionnel à la charge électrique
totale contenue dans le volume délimité par cette surface :
I
Q
~ .d~S = INT
E
²0
S
avec ²0 = 8.85 × 10−12 F.m −1 la permittivité diélectrique du vide. Comment est le champ
électrique à l’intérieur d’un conducteur à l’équilibre ?
2. – Deuxième partie : mesure du potentiel d’un générateur de VAN DE G RAAF
IMPORTANT : Les appareils utilisés dans cette partie sont fragiles et seront manipulés en
présence de l’enseignant
Générateur de Van de Graaf Un générateur de Van de Graaff est une machine électrostatique
inventée par Robert Van de Graaff au début des années 1930. Le générateur utilise le mouvement d’une courroie isolante pour accumuler en continu des charges électriques sur une
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électrode terminale, typiquement une sphère métallique fixe et creuse. On veut déterminer le
potentiel de cette sphère.
1. Sphère creuse chargée positivement
2. Électrode connectée à la sphère (un peigne est au plus
près de la courroie)
3. Poulie supérieure
4. Partie de la courroie chargée positivement
5. Partie de la courroie chargée négativement
6. Poulie inférieure (son axe est relié à un moteur)
7. Électrode inférieure destinée à collecter les charges
négatives
8. Sphère chargée négativement utilisée pour décharger la
boule principale
9. Étincelle ou arc électrique produits par la décharge
électrique
F IGURE 3 – Générateur de VAN DE G RAAF.
Pour accumuler des charges statiques sur la sphère, il y a deux électrodes qui sont placées
respectivement juste en dessous de la poulie inférieure et à l’intérieur de la sphère. Elles sont
munies de peignes qui sont au plus près de la courroie, sans la toucher, et permettent le déplacement des charges. La courroie isolante fait fonction de convoyeur de charges électriques.
Son mouvement est assuré par la poulie motrice, actionnée par le moteur situé en bas du dispositif. Ce chargement se poursuit jusqu’à un certain point qui dépend des caractéristiques de
la sphère. Pour décharger la sphère de VAN DE G RAAF, il faut approcher un conducteur de sa
surface (voir sphère 8 de la Fig.3). On peut alors voir un éclair lorsque la différence de potentiel
est suffisante pour ioniser l’air. Attention aux coups de jus !
Condensateur cylindrique Un condensateur est constitué de deux armatures conductrices,
les électrodes, en influence totale et séparées par un isolant polarisable (ou « diélectrique »),
ici l’air. Sa propriété principale est de pouvoir stocker des charges électriques opposées sur ses
armatures. La charge électrique Q emmagasinée par un condensateur est proportionnelle à
la différence de potentiel entre ses deux armatures ∆V . Le coefficient de proportionnalité est
appelé capacité C et s’exprime en farads (F). On a donc Q = C .∆V .
Soit un condensateur cylindrique de hauteur L et comportant deux armatures cylindriques
ayant le même axe de symétrie et respectivement placées à des distances R 1 et R 2 de l’axe (avec
2π²0 L
R 1 < R 2 ). On peut montrer que, dans le cas idéal, sa capacité s’exprime C = l n(R
. Pour me2 /R 1 )
surer la différence de potentiel entre les armatures de ce condensateur, on dispose d’un électromètre (voltmètre à grande résistance interne de l’ordre de 1014 Ω). Avant toute utilisation,
on veillera à bien régler le 0 en l’absence de charge et à choisir un calibre approprié.
1. Calculez la capacité du condensateur cylindrique et comparer cette valeur à celle mesurée par un multimètre. Commentez.
2. Que se passe-t-il lorsque l’on place un objet chargé dans l’enceinte du condensateur cylindrique sans contact ? Réfléchissez en terme de charges qui s’attirent et se repoussent.
On suppose le système en influence totale. Représenter schématiquement la répartition
des charges sur les armatures. Expliquez comment on peut déduire le signe et la valeur
de la charge de l’objet avec la mesure faite par l’électromètre.
3. Chargez la sphère de VAN DE G RAAF en laissant tourner le moteur 2 à 3 minutes. Prenez une petite boule conductrice sur un support isolant et chargez la par contact avec la
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sphère de VAN DE G RAAF. Plongez la dans le condensateur cylindrique. Déduisez-en le
signe et la valeur de la charge Q de la petite boule conductrice.
4. Dans la mesure où on peut assimiler la petite boule à un condensateur sphérique (voir
Q
cours), on peut établir la relation Vboul e = 4π²0 R avec R le rayon de la boule. Connaissant
la charge portée par la boule conductrice, déduisez-en le potentiel de la boule puis le
potentiel de la sphère de VAN DE G RAAF. Donnez des ordres de grandeurs de tensions
connues et commentez.
5. Recommencer l’expérience en chargeant la petite boule conductrice par influence cette
fois-ci.
3. – Troisième partie : mesure de la capacité d’un condensateur
Il s’agit de déterminer la capacité C d’un condensateur en mesurant son temps caractéristique de charge/décharge dans un circuit RC . Pour mener cette expérience, faîtes le montage
de la Figure 4 en utilisant une boîte à décades pour la résistance et une boîte à condensateurs.
Vous prendrez bien soin de brancher la masse du circuit correctement et de ne jamais mettre
les boîtes à décades à des valeurs trop faibles pour ne pas griller les composants. Conseil : branchez d’abord le circuit, puis l’oscilloscope.
R
Oscilloscope
C
VG
Vc
GBF
Voie 1
Voie 2
F IGURE 4 – Mesure à l’ocilloscope de la charge et décharge d’un condensateur.
Remarque : on mesure toujours une tension entre un point du circuit et un point de référence commun au circuit appelé la masse, ou la terre. La masse définit le potentiel de référence
commun à tous les appareils connectés au réseau 240 V. En particulier, pour des raisons de
sécurité, c’est le potentiel des boîtiers des appareils. Ici, on mesure la tension aux bornes du
condensateur VC sur la voie 1 de l’oscilloscope, et la tension aux bornes du générateur VG sur
la voie 2.
1. Choix des paramètres du GBF. Quel type de signal choisissez-vous pour alimenter le circuit ? sinusoïdal, carré, triangulaire ? Justifiez votre choix. Donnez des ordres de grandeurs courants en travaux pratiques pour l’amplitude de la tension d’alimentation, la
résistance et la capacité. Ayant alors un ordre de grandeur pour le temps caractéristique RC , choisissez une fréquence du signal du GBF adaptée afin de bien observer la
charge/décharge du condensateur.
2. Influence des paramètres. Pour R et C donnés, observez comment varient la forme et l’amplitude de la tension VC (t ) en fonction de la fréquence f du signal du GBF. De même,
pour f donnée, observez comment varient la forme et l’amplitude de la tension VC (t ) en
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fonction de R, puis C . Raisonnez en utilisant la grandeur τ = RC . Vous vous intéresserez
notamment aux cas extrêmes où τ >> t et τ << t .
3. Mesure de C . Fixez les paramètres f , R et C de façon à observer correctement la charge
et/ou décharge du condensateur. Il faut alors transférer les données VC (t ) de l’oscilloscope vers l’ordinateur à l’aide du programme NI Signal Express. Pour cela, dans le programme choisir ’Add step’ - ’Acquire signal’ - ’Tektronik’ - ’TDS1000/2000’ - ’Acquire signal’. Ensuite, dans le menu déroulant Tektronik, faire ’Save image’. Enregistrer le fichier
sur le bureau et imprimer l’image. Déterminer τ à partir de VC (t ) en utilisant la tangente
à l’origine. Comparer la valeur de C ainsi mesurée avec celle donnée par le constructeur.
Commentez.
Supplément Dans ce même montage, remplacez la boîte à condensateurs par un condensateur plan à espacement variable, disponible sur vos paillasses. Théoriquement (voir cours
et TD), la capacité d’un condensateur plan infini s’exprime C = ²0 ²r S/e, avec ²0 la permittivité
diélectrique du vide, ²r la permittivité diélectrique du matériau entre les armatures du condensateur, S la surface des armatures et e l’espacement entre les armatures.
1. Variez e et observez qualitativement comment Vc (t ) varie. La variation de la capacité estelle en accord avec l’expression théorique d’un condensateur plan infini ?
2. Placez une lamelle de plexiglass entre les armatures du condensateur bien en contact.
Enlevez la rapidement et observez comment varie VC (t ). Que peut-on en déduire à propos de la valeur de la constante diélectrique du plexiglass comparée à celle de l’air ?
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