Modélisation des moteurs à aimant permanent avec saturation

Modélisation des moteurs à aimant permanent
avec saturation magnétique
Al-Kassem Jebai 1
Philippe Martin1
François Malrait2
Pierre Rouchon1
1 Mines ParisTech
Centre Automatique et Systèmes
[email protected]
2
Schneider Toshiba Inverter Europe
[email protected]
23 juin 2011
Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech)
Modèle de saturation des PMSM
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Plan
1
Modèle linéaire
2
Modèle de saturation
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Modèle de saturation des PMSM
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Introduction
Moteur synchrone à aimant permanant MSAP - PMSM.
Variation de vitesse.
Contrôle sans capteur de position à basse vitesse.
Problème d’observabilité autour de vitesse nulle.
Estimation de position par l’ajout des signaux hautes fréquences.
Saturation magnétique et contrôle du moteur à basse vitesse.
Modèle paramétrique de saturation avec validation expérimentale.
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1
Modèle linéaire
2
Modèle de saturation
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Principe de fonctionnement du PMSM
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Equations du PMSM dans le repère fixe (α, β)
Changement de repère : ia + ib + ic = 0
[ iα iβ ] = C[ ia ib ic ]
Courant et flux complex
i = iα + iβ ,
φ = 12 (Ld + Lq )i − 12 (Lq − Ld )i ∗ e2θ + ϕm eθ
Equations dynamiques
dφ
= u − Ri
dt
J dω
= np = (φ∗ i) − τL
np dt
dθ
= ω,
dt
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Equations du PMSM dans le repère du rotor (d, q)
[ id iq ] = R(θ)[ iα iβ ]
φd = Ld id ,
φq = Lq iq
Equations dynamiques
q
did
dt
diq
Lq
dt
J dω
np dt
dθ
dt
Ld
= ud − Rid + ωLq iq
b
rotor
= uq − Riq − ωLd id − ωϕm
= np ϕm iq − (Lq − Ld )id iq − τL
d
w
q
repère fixe
a
=ω
Pas d’observabilité autour de ω = 0 au premier ordre dans le
repère (α, β).
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Injection d’une tension haute fréquence
Ajout d’une tension haute fréquence dans le repère (α, β)
ef (Ωt).
u =u+u
u est la tension de commande du moteur.
e est l’amplitude de la tension HF.
u
f (Ωt) est un signal HF rectangulaire de moyenne nulle où Ω Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech)
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R
Ld .
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Injection d’une tension haute fréquence
Ajout d’une tension haute fréquence dans le repère (α, β)
ef (Ωt).
u =u+u
u est la tension de commande du moteur.
e est l’amplitude de la tension HF.
u
f (Ωt) est un signal HF rectangulaire de moyenne nulle où Ω R
Ld .
Ainsi, d’après l’équation de tension :
dφ
ef (Ωt) − Ri
=u+u
dt
Le flux totale φ est la somme des deux composantes
e
φ = φ + φ.
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Expression du flux haute fréquence
La moyennisation de second ordre permet de séparer la partie
haute fréquence et la partie basse fréquence d’un signal.
Ce qui permet d’établir
dφ
= u − Ri
dt
d φe
ef (Ωt)
=u
dt
Finalement, le flux s’écrit par
φ=φ+
e
u
Ω F (Ωt)
+ O( Ω12 )
F est l’intégral de f , elle est triangulaire et de moyenne nulle.
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Estimation de position par les tensions HF
A partir de la relation courant-flux
φ = 12 (Ld + Lq )i − 12 (Lq − Ld )i ∗ e2θ + ϕm eθ ,
on établit que
i = i + eiF (Ωt) + O( Ω12 )
Amplitudes des courants
eiα =
eiβ =
e
u
2ΩLd Lq
Lq + Ld + (Lq − Ld ) cos 2θ
e
u
2ΩLd Lq (Lq
− Ld ) sin 2θ
où ei = eiα + eiβ .
L’information de position est multipliée par (Lq − Ld ).
Ld et Lq ne sont pas constantes à cause de la saturation magnétique.
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1
Modèle linéaire
2
Modèle de saturation
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Modèle générale du PMSM dans (d, q)
Equations de tension
dφd
= ud − Rid + ωφq
dt
dφq
= uq − Riq − ω(φd + ϕm )
dt
Les courants s’expriment d’une façon non linéaire
id = Id (φd , φq )
iq = Iq (φd , φq )
Les fonctions Id et Iq doivent respecter l’égalité suivante
∂Iq
∂Id
=
∂φq
∂φd
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Principe énergétique
Énergie magnétique
Soit H(φd , φq ) l’énergie magnétique total du moteur
∂H
(φd , φq ),
∂φd
id =
iq =
∂H
(φd , φq ).
∂φq
Cas linéaire
Hl (φd , φq ) =
2
1
2Ld φd
+
2
1
2Lq φq
∂H
(φd , φq ) =
∂φd
∂H
iq =
(φd , φq ) =
∂φq
id =
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φd
Ld
φq
Lq
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Modèle de saturation
Énergie avec saturation : développement limitée à l’ordre 4
H(φd , φq ) = Hl (φd , φq ) +
3
X
i
α3−i,i φ3−i
d φq
i=0
+
4
X
i
α4−i,i φ4−i
d φq .
i=0
C’est un modèle paramétrique de perturbation avec des termes
d’ordre supérieur qui corrigent le terme dominant Hl .
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Modèle de saturation
Énergie avec saturation : développement limitée à l’ordre 4
H(φd , φq ) = Hl (φd , φq ) +
3
X
i
α3−i,i φ3−i
d φq
+
i=0
4
X
i
α4−i,i φ4−i
d φq .
i=0
C’est un modèle paramétrique de perturbation avec des termes
d’ordre supérieur qui corrigent le terme dominant Hl .
On peut le simplifier grâce à une symétrie par rapport à l’axe d
H(φd , −φq ) = H(φd , φq )
Énergie magnétique avec 5 paramètres
q
2
2
1
1
2Ld φd + 2Lq φq
+α3,0 φ3d +α1,2 φd φ2q +α4,0 φ4d +α2,2 φ2d φ2q +α0,4 φ4q .
H(φd , φq ) =
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d
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Expressions des courant
∂H
(φd , φq ) =
∂φd
∂H
iq =
(φd , φq ) =
∂φq
id =
φd
Ld
+ 3α3,0 φ2d + α1,2 φ2q + 4α4,0 φ3d + 2α2,2 φd φ2q
φq
Lq
+ 2α1,2 φd φq + 2α2,2 φ2d φq + 4α0,4 φ3q
id=0
200
id=1.5
0.16
φq in mWb
Energie magnétique totale
id=−1
300
0.2
0.18
0.14
0.12
0.1
0.08
100
id=2.5
0
−100
0.06
−200
0.04
Linéaire
Saturé
0.02
0
−0.25
−0.2
−0.15
−0.1
−0.05
0
0.05
Flux
0.1
0.15
0.2
−300
0.25
−2.5
−2
−1.5
−1
−0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
i in A
q
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Principe d’estimation des paramètres de saturation (1)
Tensions rectangulaires hautes fréquences à rotor bloqué
ed f (Ωt),
ud (t) = u d + u
eq f (Ωt),
uq (t) = u q + u
Les flux correspondants sont (moyennisation second ordre)
φd = φd +
f
u
d
Ω F (Ωt)
Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech)
+ O( Ω12 ),
φq = φq +
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f
u
q
Ω F (Ωt)
+ O( Ω12 )
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Principe d’estimation des paramètres de saturation (1)
Tensions rectangulaires hautes fréquences à rotor bloqué
ed f (Ωt),
ud (t) = u d + u
eq f (Ωt),
uq (t) = u q + u
Les flux correspondants sont (moyennisation second ordre)
φd = φd +
f
u
d
Ω F (Ωt)
+ O( Ω12 ),
φq = φq +
f
u
q
Ω F (Ωt)
+ O( Ω12 )
Le courant de l’axe d devient
f
f
u
id = Id (φd , φq ) = Id φd + uΩd F (Ωt)+O( Ω12 ), φq + Ωq F (Ωt)+O( Ω12 )
Développement à l’ordre 2 en
1
Ω
ed
F (Ωt) u
ed + 2α1,2 φq u
eq
+ 6α3,0 φd u
Ω
Ld
2
2
ed + 2α2,2 (2φd φq u
eq + φq u
ed ) +O( 12 )
+ 12α4,0 φd u
Ω
id = i d + eid F (Ωt) = i d +
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Principe d’estimation des paramètres de saturation (2)
Amplitude du courant de l’axe d
ed
2
2
eid = 1 u
ed +2α1,2 φq u
eq +12α4,0 φd u
ed +2α2,2 (2φd φq u
eq +φq u
ed )
+6α3,0 φd u
Ω Ld
La relation flux-courant en première ordre en αi,j
φd = Ld i d + O(|αi,j |),
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φq = Lq i q + O(|αi,j |)
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Principe d’estimation des paramètres de saturation (2)
Amplitude du courant de l’axe d
ed
2
2
eid = 1 u
ed +2α1,2 φq u
eq +12α4,0 φd u
ed +2α2,2 (2φd φq u
eq +φq u
ed )
+6α3,0 φd u
Ω Ld
La relation flux-courant en première ordre en αi,j
φd = Ld i d + O(|αi,j |),
φq = Lq i q + O(|αi,j |)
Amplitudes des courants en fonction des paramètres de saturation
2
eid = 1 eud + 2α2,2 Lq i q (2Ld i d u
ed ) + 12α4,0 L2d i d u
ed
eq + Lq i q u
Ω Ld
eq
ed + 2α1,2 Lq i q u
+ 6α3,0 Ld i d u
2
eiq = 1 euq + 2α2,2 Ld i d (2Lq i q u
ed + Ld i d u
eq ) + 12α0,4 L2q i q u
eq
L
q
Ω
eq + Lq i q u
ed )
+ 2α1,2 (Ld i d u
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Procédure d’estimation par moindre carré linéaire
ed 6= 0 et u
eq 6= 0
Estimation des inductances : i d = i q = 0, u
Ld =
ed
1 u
Ω eid ,
Lq =
e
1 uq
Ωe
iq
ed 6= 0 et u
eq = 0
Estimation des α3,0 et α4,0 : i d 6= 0, i q = 0, u
eid = ued 1 + 6α3,0 Ld i d + 12α4,0 L2 i 2
d d
Ω
Ld
ed 6= 0 et u
eq = 0
Estimation des α1,2 et α2,2 : i d = 0, i q =
6 0, u
eiq = 2ued α1,2 Lq i q
eid = ued 1 + 2α2,2 L2 i 2 ,
q
q
Ω Ld
Ω
ed = 0 et u
eq 6= 0
Estimation de α0,4 : i d = 0, i q 6= 0, u
eiq = ueq 1 + 12α0,4 L2 i 2 .
q q
Ω Lq
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Résultats expérimentaux - estimation
80
800
Measured value
Estimated value
700
60
Measured value
Estimated value
40
600
eiq in mA
eid in mA
20
0
500
−20
400
−40
300
−60
200
−10
−8
−6
−4
−2
0
2
4
6
8
10
−80
−6
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−4
−2
0
2
4
6
īq in A
īd in A
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Résultats expérimentaux - validation
3
2.5
600
Measured value
Estimated value
2
id in in A
eid in mA
550
500
1
0.5
450
400
1.5
Measured value
Simulation value with saturation
Simulation value without saturation
0
−0.5
0
0
1
2
3
4
0.1
0.2
5
0.3
0.4
0.5
0.6
Time in s
|i| in A
550
100
Measured value
Estimated value
500
eiq in mA
80
60
φd in mWb
450
40
20
400
350
0
300
−20
0
1
2
3
|i| in A
u d = 12 u et u q =
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4
Measured flux
Estimated flux with saturation model
Linear flux
5
250
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
id in A
√
3
2 u
Modèle de saturation des PMSM
Echelons de tension
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Ouverture sur le moteur asynchrone
Pas de saillance géométrique (Ld = Lq ).
Estimation de la position du flux par la saillance magnétique.
Modélisation de cette saillance magnétique par une fonction d’énergie.
1400
i=1
i=1.5
i=2.8
i=4
i=0
1200
Id in mA
1000
800
600
400
200
0
20
Al Kassem JEBAI (Mines ParisTech)
40
60
80
θ in degre
100
120
Modèle de saturation des PMSM
140
160
180
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Conclusion
Modèle paramétrique de saturation des moteurs PMSM basée sur une
fonction d’énergie.
Estimation des paramètres du modèle par l’injection des tensions hautes
fréquences.
Validation expérimentale sur un moteur synchrone.
Verification par échelon de tension.
Le but est d’utiliser ce modèle pour trouver une méthode robuste
d’estimation de la position à basse vitesse.
On poursuit le travail sur le moteur asynchrone qui n’a pas de saillance
géométrique.
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