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Pour le contrôle actif de type feedfowmd (par anticipation) du bruit et des vibrations,
l'algorithme de contrôle le plus utilisé est sans aucun doute le LMS à référence filtrée multi-
canaux [NELSONet coll., 19921. Le défaut principal de cet algorithme est que, dans le cas du
contrôle à large bande, sa vitesse de convergence est faible lorsque les signaux de référence filtrée
sont fortement cordés. Pour éviter ce problème de convergence lente, l'algorithme Newton-LMS
[WIDROW et cou., 19851 a référence filtrée multi-canaux peut être utilisé. La charge de calcul de
cet aigorithme est cependant élevée lorsque des nltres adaptatifs avec un nombre important de
coefficients sont requis, et il n'est pas robuste à une augmentation soudaine de l'énergie des
signaux de référence filtrée (il peut alors diverger). Le LMS à référence filtrée multi-canaux a ce
même problème de robustesse, mais dans ce cas il est possible de normaliser le pas d'adaptation
de l'algorithme pour produire un algorithme robuste : le NLMS multi-canaux [DOUGLAS et
coll., 19931.
Le but de ce document est d'introduire un algorithme qui a pratiquement la même vitesse de
convergence que le Newton-LMS à référence filtrée multi-canaux, presque la même faible charge
de calcul que le LMS à référence filtrée multi-canaux, et la même robustesse que le NLMS multicanaux.
Il sera appelé le COS-NLMS, parce que cet algorithme utilise p~cipalementune
transformée discrète en cosinus @CT) pour éliminer la corrélation dans les signaux de référence
filtrée qui ralentit le processus de convergence. Des résultats de simulation seront d'abord
présentés, et ensuite des résultats de contrôle actif en temps réel sur une structure mécanique (un
conduit) permettront de vérifîer les performances du nouvel algorithme.
L'auteur de ce texte désire remercier sincèrement l'initiateur de ce projet de recherche, Bruno
Paillard, de qui il a appris la majeure partie des notions utiles à cet ouvrage. De plus, ce projet
n'aurait vraisemblablement jamais vu le jour n'eut été de l'intérêt et le support du groupe
d'acoustique et de vibrations de 1'Univeniti de Sherbrooke (GAUS), dirigé par Jean Nicolas.
L'auteur désire également remercier André L'Espérance, à la fois pour son support financier via
un projet de contrôle actif avec l'aluminerie Lauralco et pour ses remarques judicieuses sur la
propagation des ondes acoustiques. L'institut de recherche en santé et en sécurité au travail
(IRSST) a également foumi une aide financière nécessaire à la réalisation de ce projet. L'auteur
désire finalement remercier quelques professeurs et étudiants qui ont travaillé en contrôle actif
pendant ce projet de maîtrise, Main Berry, Catherine Guigou et François Charette, de même que
les techniciens Martin Gagnon et Christian Clavet pour leur collaboration indispensable.
TABLE DES MATIÈRES
1.
INTRODUCTION
1.1
Problématique
1.2
Systèmes feedbacks et feedforwards
1.3
Filtres à réponse impulsiomelle finie (FR)et filtres à réponse
impulsiomelie infinie (W)
1-4 Systèmes mono-canal et muhi-canaux
1-5
Définition du projet de recherche
1.6
Bases théoriques de l'ouvrage
2.
DÉVELOPPEMENT D'UN NOWEL ALGORITHME À CONVERGENCE
RAPIDE
2.1
Développement d'un algorithme LMS équivalent au Newton-LMS
2.2
Développement d'une approximation efficace de l'algorithme
LMS équivalent Newton.
2.3
Évaluation de l'ordre de grandeur de la charge de calcuI des
différents algorithmes
2.4
Résumé du chapitre
3.
SIMULATION DES PERFORMANCES DES ALGOEUTHMES
3.1
Avantages des simulations par rapport aux expérimentations
réelles
3.2
Description du système simulé
3.3
Aperçu du programme de simulation
3.4
Résultats de simulation
3.5
Résumé du chapitre
4.
MISE EN OEUVRE EN T E M P S &EL DES ALGûRlTHMES
Description des tâches devant être exécutées par le système de contrôle
4.2
Description du matériel utilisé
Système d'exploitation permettant la communication PC-DSP
4.3
4.3
Parallélisation des calculs et synchronisation des processus
4.5
Résumé du chapitre
4.1
S.
EXPERIMENTATIONS SUR UN SYSTÈMEACOUSTIQUE &EL
5.1
Description du système acoustique réel
5.2
Problème de fannulation de bouclage
Expérimentations et résultats de contrôle
5.3
5.4
Résumé du chapitre
CONCLUSION
BIBLIOGRAPHIE
81
LISTE DES FiGURES
Page
Figure 1.1 :
exemple d'un système de contrôle actif feedforward
4
Figure 1-2 : exemple d'un système de contrôle actif feedback
Figure 1.3 : exemple d'un système de contrôle actif feedback modifié
6
Figure 2.4 : exemple d'un système de contrôle actif feedforward, avec filire W
9
7
Figure 1.5 :
exemple d'un système de contrôle actif feedback modifié, avec filtre W 9
Figure 2.1 :
mise en oeuvre classique du LMS à référence filtrée.
mise en oeuvre alternative du LMS à référence filtrée.
Figure 2.2:
Figure 2.3 :
mise en oeuvre du LMS équivalent Newton.
mise en oeuvre du COS-LMSou du COS-NLMS
Figure 2.4:
Figure 3.1:
exemple mono-canal d'un système simulant I'aigorithme LMS à
Figure 3.2 :
référence filtrée.
interface usager du simulateur.
Figure 3.3 :
programme principal ("main") du simulateur en langage graphique
Figure 3.4 :
LABVIEW
courbe de convergence des différents algorithmes, cas 1- 1- 1
Figure 3.5 :
courbe de convergence des différents algorithmes, cas 1-2-2
Figure 4.1 :
architecture utilisée pour la mise en oeuvre en temps réel du contrôleur
Figure 4.2 :
système d'exploitation permettant la communication PC-DSP
Figure 4.3 :
interface usager typique des programmes utilisant le système
d'exploitation développé
Figure 5.1 : système acoustique utihsé pour les expérimentations en temps réel
Figure 5.2 :
système feedfoward de contrôle actif avec annulation de bouclage
numérique
Figure 5.3 : courbes de convergence obtenues lors des expérimentations en monocanal (1- 1-1)
Figure 5.4 :
courbes de convergence obtenues lors des expérimentations en multicanaux (1-2-2), canai 1
Figure 5.5 :
courbes de convergence obtenues lors des expérimentations en multicanaux (1-2-2), canal 2
LISTE DES TABLEAUX
F%=
Tableau 2.1 : Ordres de grandeur de la charge de calcul des différents algorithmes
42
1.
INTRODUCTION
1.1
Problématique
Depuis un certain nombre d'années, on assiste à des développements technologiques importants
dans le domaine des microprocesseun. En particulier, les processeurs de traitement numérique
des signaux @SP pour Digital Signal Processor) sont aujourd'hui suffisamment rapides pour que
l'on puisse utiliser des algorithmes de traitement des signaux sophistiqués, pour réagir et
contrôler en temps réel des smictures mécaniques complexes. De tels systèmes, appelés systèmes
de contrôle actif, comprennent des capteurs mécaniques (pression, force, position, etc.)
permettant de mesurer le comportement de la structure, des actionneun (moteurs, haut-parleurs.
etc.) permettant de réagir sur la structure, et un algorithme de traitement numérique des signaux
s'exécutant en temps réel et reliant intelligemment les signaux issus des capteurs aux signaux des
actionneurs.
Les applications du contrôle actif sont relativement nombreuses. On pense par exemple aux
systèmes permettant d'annuler activement les bruits d'échappement de véhicules automobiles.
aux systèmes permettant de minimiser le champ acoustique dans une enceinte close (cabine
d'avion par exemple) BILLOUD et coll., 19921,aux casques actifs antibruit [DANO, 19941, ou
encore au contrôle à la source du bruit généré par un appareil, par exemple le contrôle des
vibrations d'un appareil [GUIGOU et coll., 19951. Les applications futures seront certainement
nombreuses et déborderont largement du domaine de l'acoustique.
Toutefois les techniques de traitement du signal utilisées en contrôle actif, aussi sophistiquées
soient elles, sont encore souvent inadéquates. Un problème souvent rencontré est que les
algorithmes d'optimisation utilisés ont d'excellentes performances après convergence, mais ont
des temps de convergence tellement longs qu'il est impossible de les utiliser pour résoudre
certains problèmes industriels réels. Afin d'assurer le développement et l'essor équilibré des
systèmes de contrôle actif, il est nécessaire de travailler sur les techniques et les algorithmes de
traitements des signaux permettant de résoudre finement et efficacement les problèmes
spécifiques du contrôle actif.
Le projet de rnaTtrise vise donc à étudier une technique d'accélération de convergence pour un
algorithme de contrôle. Cette technique d'accélération de convergence sera basée sur une
décorrélation de certains signaux par une transformation temps-fréquence. Elle peut en principe
amener des gains de vitesse de convergence très élevés (100,1000,10ûûûou plus) par rapport agx
techniques classiques.
De façon à bien préciser sur quel rype d'algorithme ou de système ce mémoire présentera de
nouveaux développements et de nouvelles idées, une classification des systèmes de contrôle actif
existants doit d'abord être présentée. Le choix d'un système ou d'un algorithme est relié à des
facteurs tels :
la disponibilité d'une information avancée sur la perturbation à éliminer
la puissance de calcul requise par 1' algorithme
la stabilité de la convergence de l'algorithme (prédictibilité, répétabilité)
la vitesse de convergence de l'algorithme
l'existence d'une solution optimale unique pour l'algorithme
nécessité d'un système mono-canal ou multi-canaux.
1.2
Systèmesfeedbacks etfeedfoomrtk
La première classification qui est présentée identifie dew types de systèmes : les systèmes
feedforwmds (par anticipation) et les systèmes feedbucks (par rétroaction) W R O W et COL,
19851. Une des difEcultés pour la distinction entre les systèmes feedfoMards et feedbacks est la
présence d'une boucle de réaoaction (feedback) dans les deux types de contrôleurs : feedforward
et feedback. Pour illustrer et expliquer ceci, la figure 1.1 présente un système classique de
contrôle actif, où le bruit présent à l'extrémité d'un conduit circulaire est réduit de façon active.
Dans ce système, on retrouve d'abord une source de bruit indésirable (souvent appelée source
primaire) qui est dans ce cas-ci un haut-parleur. En pratique, dans les systèmes industriels, la
source de bruit sera un ventilateur ou un moteur. Dans la même figure, on retrouve également une
source de contre-bruit (actionneur ou source secondaire), dont la fonction est d'éliminer ou de
réduire l'effet de la source primaire à la sortie du conduit (c'est l'addition physique du champ
sonore émis par chacune des deux sources qui permet la réduction active du bruit). On remarque
qu'un microphone de référence est utilisé par le contrôleur en amont dans le conduit, de façon a
avoir une information avancée à partir de laquelle le signal de contrôle (signal de l'actionneur)
sera calculé. C'est l'utilisation d'une telle information avancée qui caractérise les systèmes
feedforwards.
On voit cependant à la même figure qu'un autre microphone est présent, à l'extrémité du tuyau, et
le signal de bruit résiduel en provenance de ce microphone agit comme une rétroaction, c'est-àdire qu'il permet l'optimisation du Ntre numérique adaptatif en lui fournissant une information
sur la performance du système en boucle fermée. On rewouve donc un certain feedback même
dans les systèmes feedfonvards.
Source de
perturbation
(haut-parleur)
résiduelle (bruit
au microphone)
Signal de référence
avancée sur la
perturbation à
éliminer
(microphone)
1' actiomeur (hautparleur de contre-
I
Figure 1.1 : exemple d'un système de contrôle actif feedforward
Dans cet exemple fwdforward (figure 1.l), le filtre numérique adaptatif cherche à modéliser la
réponse impulsiomelle entre le microphone de référence et I'actionneur, en tenant compte des
réflexions dans le conduit et des délais de propagation. Dans le cas d'un système très réverbérant
(GU
on retrouve de nombreuses réflexions contre des parois irrégulières etlou à l'extrémité du
conduit dû à une discontinuité d'impédance), la réponse impulsiomelle entre le microphone de
référence et l'actionneur est très longue, et le filtre numérique du contrôleur devrait par
conséquent avoir une longue réponse impulsionnelle de façon à bien la modéliser.
Certains systèmes de contrôle actif n'utilisent pas d'information avancée sur la perturbation à
éliminer. Par exemple, il est possible qu'une teiie information ne soit pas disponible, c'est-à-dire
que la perturbation (source primaire) est générée pratiquement au même endroit où elle doit être
contrôlée. C'est le cas du bruit produit par la vibration d'un toit d'automobile excité
aérodynamiquement. Ii y a également des cas où l'utilisation d'une référence avancée peut être
supefflue, par exemple lorsque la perturbation à éliminer peut bien être prédite (source
périodique) et que le contrôleur peut déterminer lui-même quelle sera la prochaine perturbation à
éliminer. Les systèmes n'utilisant aucune information avancée sont appelés feedbacks. La
particularité d'un système feedback est que la référence de l'algorithme (l'entrée du filtre
numérique adaptatif) provient du signal d'erreur résiduelle (par exemple le microphone à
l'extrémité du conduit à la figure 1.1). La figure 1-2 illustre un système feedback de contrôle actif
semblable au système feedforward de la figure 1.1.
Source de
perturbation
(haut-parleur)
n
F-3
résiduelle
(bruit au
microphone)
Signal de réference
parleur de contre\
I
Figure 1.2 : exemple d'un système de contrôle actif feedback
Le système de la figure 1.2 n'est pas toujours pratique car l'énergie de la référence du filtre
adaptatif diminue en même temps que l'erreur résiduelle (le film optimal théorique, qui élimine
complètement le bruit, aurait donc une référence nulle et ne pourrait donc pas émettre aucun
signal de contrôle !). De plus, il est clair que dans ce cas le signal de référence à l'entrée du filtre
adaptatif dépend en partie de ce même fdtre, ce qui a pour conséquence que le système n'est plus
linéaire et que l'analyse de la convergence est beaucoup plus complexe.
Une approche utilisée pour contourner ce problème est d'utiliser un estimé de la perturbation
présente au point de contrôle comme référence du filtre adaptatif @5LLIOT'I'et coll., 19951. Cet
estimé est obtenu en calculant la contribution de l'actiomeur au point de contrôle et en la
soustrayant au signal d'erreur résiduelle. Ceci requiert la connaissance de la fonction de transfert
entre l'actiomeur et le point de contrôle. Un tel système feedback modifié se comporte alors
comme un système feedforward. La figure 1.3 illustre le système de contrôle actif de la figure 1.2
où l'on a apporté la modification décrite dans ce paragraphe.
Source de
perturbation
(haut-parleur)
4
- -- ..
.
4
Estime de fa fonction
de transfert entre
l'actio~euret le point
Signal de
l'actionneUT(haut- de contrôle
parleur de contre- bruit)
Signal d'erreur
résiduelle
(bruit au
microphone)
- - - - .
Signal de référence = estimé de la perturbation présente au point de contrôle
Figure 1.3 : exemple d'un système de contrôle actif feedback modifié
Les systèmes feedbacks ne peuvent éliminer que la partie des signaux de perturbation qui peut
être prédite linéairement à partir des signaux de perturbation filtrés par la fonction de transfert
entre l'actionneur et le point de contrôle. Par exemple, si la perturbation filtrée était une sinusoïde,
elle pounait être complètement éliminée par le contrôleur feedback (parce que tout échantillon
d'un signal sinusoïdal peut être prédit à partir de deux échantillons d'un autre signal sinusoïdal.
dont la fréquence est la même mais la phase et I'amplitude peuvent être différentes).
A l'opposé, si la pemirbation filtrée était complètement aléatoire, alors un contrôleur feedback ne
pourrait ni éliminer ni diminuer la perturbation (puisqu'un signal parfaitement aléatoire ne peut
être prédit à partir de ses derniers échantillons fütrés par un filtre quelconque). Par contre, les
contrôleun feedforwards peuvent éliminer tous les types de perturbation, à la condition que la
référence avancée soit cohérente avec la perturbation à éliminer au point de contrôle, et qu'il n'y
ait pas de problème de causaW. C'est cette cohérence entre la référence et la perturbation à
éliminer qui déterminera la performance maximale pouvant être atteinte par le système
feedfonvard. Par problème de causalité, on entend que le délai de propagation entre le capteur de
référence et le point de contrôle (capteur d'cireur) doit être plus élevé que la somme des délais
suivants :
délai pour la génération du signal de sortie du contrôleur à partir de la référence
délai de propagation entre la sortie du contrôleur et le point de contrôle (capteur
d'erreur).
1.3
Filtres à réponse impuisionnelle h i e (FDR) et filtres à réponse impuisionneile infinie
W)
Les filtres présentés jusqu'à présent dans les figures 1.1 à 1.3 sont tous du type filtre à réponse
finie (FI'pour Finite Impulse Response), c'est-à-dire que les filtres utilisent uniquement un
signal d'entrée pour générer un échantillon en sortie. Li existe une autre catégorie de filtres dits
récursifs (ou [IR pour Infinite Impulse Response ou filtre à réponse infinie) [OPPENHEIM et
coll., 19831. En plus d'utiliser un signal Gentrée comme les filtres FIR,ces filtres utilisent les
derniers échantillons qu'ils ont produits pour calculer le nouvel échantillon. L'exemple de la
figure 1.1 représentait donc un système feedforward avec filtre FR adaptatif, tandis que
l'exemple de la figure 1.3 représentait un système feedback modifié avec filtre FIR adaptatif.
Leurs équivalents W adaptatifs sont présentés aux figures 1.4 et 1.5.
Source de
perturbation
(haut-parleur)
n
F--+
résiduelle
(bruit au
microphone)
Signal de référence
avancée sur la
perturbation &
éliminer
I'actionneur (haut-
Figure 1.4 : exemple d'un système de contrôle actif feedfoward, avec filtre W adaptatif
Source de
perturbation
(haut-parleur)
h
4
Estimé de la fonction
de transfert entre
* l'actiomeur et le point
(haut- de contrale
parleur de contre-
Signal d'erreur
résiduelle
microphone)
\
J
Signal de référence = estimé de la perturbation présente au point de contrôle
Figure 1.5 : exemple d'un système de contrôle actif feedback modifié, avec filtre W adaptatif.
Les filtres F R et W présentent chacun des avantages et des désavantages. Les filtres W
nécessitent habituellement beaucoup moins de coefficients pour modéliser une réponse
impulsionnelle longue (et par conséquent les filtres W adaptatifs convergent plus vite et
requièrent une puissance de calcul moindre). Les fdtres
IR peuvent cependant être instables.
c'est-à-dire qu'ils peuvent avoir des pôles à I'exténeur du cercle unitaire. Pendant le processus
d'apprentissage du fütre adaptatif W,les pôles du filtre peuvent se déplacer à l'extérieur du
cercle unitaire même si la solution optimale qui serait éventuellement trouvée (après
convergence) ne contient pas de pôles à l'extérieur du cercle unitaire. Ce phénomène peut être
dommageable (par exemple il peut entraîner la saturation des signaux de sortie du contrôleur, ce
qui empêche toute convergence par la suite car le système devient alors non-linéaire), et doit
généralement être évité. Il faut toutefois préciser que quelques algorithmes ont été développés
pour améliorer la stabilité des filtres W adaptatifs pendant la convergence [IWIDROW et coll.,
19851.
De plus, la performance après convergence des filtres IR adaptatifs n'est pas nécessairement
optimale, car la surface de performance de ces filtres est généralement non quadratique, c'est-àdire qu'il existe des minimums locaux oh l'algorithme a l'impression d'avoir atteint l'optimum
sans réellement l'avoir atteint. Certaines publications ont laissé entendre que la surface de
performance des fdtres IIR adaptatifs deviendrait quasiquadratique lorsque le nombre de
coefficients est grand W R O W et coll., 19851, mais alors le filtre W adaptatif perdrait son
avantage majeur sur le filtre FIR adaptatif : son nombre peu élevé de coefficients.
A l'opposé, un filtre FIEZ est toujours stable, c'est-à-dire qu'il génère une sortie d'énergie finie
pour une entrée d'énergie finie. Par contre, les Nûes adaptatifs FR numériques ne seront toujours
stables (dans le sens de ne pas diverger et de converger vers une solution valable) que si un pas
d'adaptation approprié est utilisé dans l'algorithme de contrôIe. De plus la surface de performance
des algodh.mes adaptatifs FlR est toujours quadratique, c'est-à-dire qu'il n'y a qu'un seul
minimum (pas de minima locaux). La convergence des fdtres adaptatifs FIR est bien maîtrisable
et bien connue [HAYKIN, 19861. Des algorithmes
F R adaptatifs
à convergence rapide sont
également bien connus W R O W et coll., 1985 et HAYKIN et cou., 19861, mais ils sont
cependant plus lourds en complexité de calcul ou bien moins stables numériquement.
Finalement, l'analyse mathématique de la convergence des fütres adaptatifs F E étant mieux
connue, il est plus facile d'apporter des modifications ou des améliorations à l'algorithme tout en
prévoyant analytiquement leurs effets. Le seul inconvénient des filtres FIR adaptatifs est le
nombre souvent élevé de coefficients requis pour le contrôle d'une perturbation à large bande
(parce qu'en large bande les filtres FIR adaptatifs doivent modéliser la réponse impulsionnelle
d'un système réverbérant, qui est souvent longue tel que mentionné plus tôt).
1.4
Systèmes mono-canai et muiti-canaux
Le dernier point à spécifier pour classifier précisément l'algorithme qui sera développé dans la
suite du document consiste à distinguer les systèmes mono-canul des systèmes multi-canaux. Un
système mono-canal est un système où 1'011 retrouve un capteur de référence (pour les systèmes
feedfonvards), un actionneur et un capteur d'erreur résiduelle (au point de contrôle). A l'opposé,
dans les systèmes multicanaux, on peut retrouver plusieurs capteurs de référence (pour les
systèmes feedforwards), plusieurs actionneurs et plusieurs capteun d'erreur. L'inconvénient des
systèmes multi-canaux est la grande puissance de calcul qu'ils exigent. a s sont cependant très
intéressants ou mêmes nécessaires dans certains cas.
En effet, si on reprend le système de contrôle actif qui a été présenté aux figures 1.1 à 1.5
(conduit circulaire), un système mono-canal ne pourra réduire le bruit qui est émis à l'extrémité
du conduit que si la fréquence maximale présente dans le conduit est inférieure à la fréquence de
coupure du premier mode de propagation. En d'autres termes, un système de contrôle actif monocanal dans un conduit ne permet que le contrôle des ondes acoustiques planes. Si des fréquences
supérieures sont présentes (présence d'ondes stationnaires), alors Ie contrôleur pourra toujours
éliminer ou réduire le niveau de bruit au point de contrôle (capteur d'erreur), mais l'effet du
contrôle sera très local c'est-à-dire qu'à quelques centimètres du point de contrôle le niveau de
bruit n'aura pas diminué et aura même probablement augmenté (en espérance). Dans ce cas le
niveau de bruit global émis à l'extrémité du conduit aura également augmenté (en espérance).
Pour pouvoir contrôler de façon efficace le son émis à I'extrérnité d'un conduit circulaire lorsque
plusieurs modes de propagation sont présents, un système multi-canaux est requis
[LESPÉRANCE et cou., 19951. Le principe est de placer plusieurs capteurs d'erreur dans une
même section du conduit, et de minimiser la distance moyenne des points dans la section au
capteur d'erreur le plus près. En utilisant suffisamment de capteun d'erreur, il est alors possible de
contrôler plusieurs modes de propagation. Toutefois, pour pouvoir imposer des niveaux de bruits
nuls ou réduits à chacun des capteurs d'erreur, plusieurs actionneurs sont requis de façon à ce que
le contrôleur ait suffisamment de degrés de liberté pour pouvoir accomplir sa tâche.
Un autre cas où il peut être intéressant d'utiliser un système multi-canaux plutôt qu'un système
mono-canal est le cas du contrôle actif du bruit dans les cabines et les salles. Le cas du contrôle
du bruit dans ces cas est légèrement différent du contrôle du bruit dans les conduits. En
considérant d'abord le cas des contrôleurs mono-canal, il est possible pour un système de contrôle
actif de réduire considérablement le niveau de bruit présent à un capteur d'erreur situé dans une
pièce [NELSON et COU., 19921. L'effet du contrôle n'est pas ponctuel, et autour du capteur
d'erreur le niveau de bruit est également réduit (mais dans une moindre mesure qu'au point de
contrôle c'est-à-dire au capteur d'erreur lui-même). La dimension de la zone autour d'un capteur
d'erreur où une atténuation appréciable du bruit est obtenue (par exemple 10 dB) dépend
directement de la longueur d'onde de la fréquence qui est contrôlée. Une telle zone est appelée
zone de silence. Ceci signifie que plus la fréquence à contrôler est élevée, plus la zone de silence
obtenue sera petite.
Le contrôle du bruit en un point seulement dans une pièce n'est pas utile habituellement car la
zme de silence produite par le contrôle est trop petite et à l'extérieur de cette zone de silence les
niveaux de bruit sont souvent augmentés. Les fréquences à partir desquelles une seule zone de
silence pourrait être produite pour couvrir l'ensemble une p i h e moyenne sont si faibles qu'à ces
fréquences elles ne constituent pas une nuisance majeure pour l'oreille humaine. Cependant, en
juxtaposant différentes zones de silence les unes aux côtés des autres il est possible d'obtenir une
atténuation globale dans un volume appréciable W O S H I et coll., 19941. Ceci requiert
cependant un contrôleur actif multi-canaux, et bien sûr le nombre de canaux requis pour contrôler
le niveau sonore dans une pièce augmente rapidement avec la fréquence maximale du son à
éliminer,
D'autres raisons peuvent favoriser I'utilisation de systèmes de contrôle actif multi-canaux. Par
exemple, les systèmes multi-canaux peuvent être utilisés pour une question de sécurité (avec des
éléments redondants). De plus, dans certaines conditions, seul l'utilisation d'un système multicanaux permet l'élimination exacte du bruit au capteur d'erreur. C'est le cas du contrôle actif d'une
pemirbation à large bande dans un environnement réverbérant W O S H I et coll., 19911. La
réverbération introduit des zéros à l'extérieur du cercle unitaire dans les fonctions de transfert
entre la source de bruit primaire et le capteur de référence (système feedfonvard), et entre
I'actionneur et le capteur d'erreur. Le filtre adaptatif optimal doit contenir des éléments qui
proviennent de l'inverse de ces fonctions de transfert, et donc dans ce casci ces éléments ne
seront stables que s'ils sont nontausaux (à cause des pôles à l'extérieur du cercle unitaire). En
pratique, le Ntre adaptatif utilisé dans un contrôleur actif mono-canal est causal, et il est alors
impossible pour ce filtre de modéliser le filtre optimal qui lui est non-causal. L'utilisation d'un
système multicanaux où l'on retrouve un actiomeur de plus que le nombre de capteur d'erreur
permet de résoudre ce problème de causalité, en augmentant le nombre de degrés de liberté du
contrôleur. Les filtres adaptatifs utilisés sont alors tous causaux, et ils correspondent i la solution
optimale qui est recherchée.
Les systèmes multi-canaux peuvent également améliorer les performances de systèmes où on
retrouve des «trous » spectraux (zones spectrales très peu énergétiques) dans le signal en
provenance du capteur de référence, ou bien dans la fonction de transfert entre I'actionneur et le
capteur d'erreur. La présence de ces «ûous» se retrouvera dans le signal de référence filtrée (dont
la définition sera donnée à la section 2), et si ces trous correspondent à des zones énergétiques
dans le signal du capteur d'erreur, alors la convergence sera très lente pour éliminer le bruit à ces
fréquences au capteur d'erreur. Dans ce cas, de multiples capteurs de référence ou de multiples
actionneurs, positionnés 2 différents endroits, peuvent se compléter au niveau spectral, c'est-à-dire
que les trous présents dans certains signaux de référence filtrée ne seraient pas présents dans
d'autres. Le contrôleur disposerait alors d'une information assez énergétique pour l'ensemble des
fréquences, et la convergence ne serait plus ralentie ou limitée par la présence de trous.
Finalement, l'utilisation de systèmes de contrôles actifs multisanaux peut être requise dans le cas
du contrôle feedfoward d'une perturbation en provenance de différentes sources non cohérentes
entre elles. Dans ce cas, l'utilisation d'un signal de référence en provenance de chacune des
sources peut être requise de façon à améliorer la perfomance du contrôleur. Pour l'ensemble des
raisons mentionnées dans cette sous-section, les algorithmes qui seront présentés dans la suite de
ce document seront essentiellement muki-canaux, le cas mono-canal pouvant facilement être vu
comme un cas particulier des algorithmes muiti-canaux.
1.5
Définition du projet de recherche
Après la considération des éléments mentionnés aux paragraphes pr&édents, les algorithmes
adaptatifs FIR ont été retenus comme sujet d'étude pour la maîtrise parce que leur convergence
est facilement contrôlable et parce que l'analyse mathématique de ces algorithmes est plus simple
que celle des algorithmes adaptatifs W. De plus, un système de type feedfonvard sera utilisé pour
l'étude des performances des filtres adaptatifs FR,le but ultime étant d'obtenir un algorithme
permettant le contrôle efficace de perturbations aléatoires à large bande. Les systèmes feedbacks
seraient donc moins appropriés dans ce cas, puisque tel que mentionné plus tôt ils sont
particulièrement efficaces pour le contrôle de perturbations périodiques.
Le but principal de ce mémoire peut maintenant être décrit de façon plus explicite : une technique
d'accélération de convergence, basée sur une transformation temps-fréquence, sera développée
pour des systèmes feedforward muiti-canaw, avec fdtres adaptatifs FR.Cette technique sera en
quelque sorte une extension du cas mono-canal non normalisé au cas multi-canal normalisé, d'un
algorithme à convergence rapide ne nécessitant pas une puissance de calcul élevée PAILLARD
et cou., 19951. Ce nouvel algorithme combinera les avantages des filtres adaptatifs
FR
(prédictibilité et contrôlabilité de la convergence, minimum global atteint à tout coup) et un des
avantages des filtres W adaptatifs (rapidité de la convergence).
Dans la prochaine partie de ce travail (chapitre 2), le développement théorique du nouvel
algorithme est présenté. Au chapitre suivant, une simulation du nouvel algorithme et une
comparaison avec des algorithmes classiques est réalisée avec le logiciel LABVIEW. Une brève
description du simulateur y est décrite et des résultats de simulation sont présentés. Le chapitre 4
décrira une mise en oeuvre en temps réel de l'algorithme sur une carte multiprocesseurs
TMS320C4-û (DSP). On y traitera de la communication entre l'ordinateur personnel (PC) et la
carte spécialisée, de l'interface LABVIEW qui est utilisé, de la synchronisation de processus entre
les processeurs C40, de la stratégie de parallélisation des calculs pour I'utilisation efficace des
multiples processeurs, etc.. Finalement, le chapitre 5 présentera un système acoustique réel sur
lequel des expérimentations de contrôle actif ont été effectuées. Des résultats de contrôle
comparant les performances du nouvel algorithme et d'un algorithme classique seront présentés.
1.6
Bases théoriques de l'ouvrage
Les bases théoriques de cet ouvrage proviennent essentiellement de sources bien connues dans le
domaine du filtrage adaptatif ou du contrôle actif de bruit et de vibrations. En particulier, les
livres de Bernard Widrow et Samuel D-Steams W R O W et coll., 19851 et de Simon Haykin
[HAYKIN, 19861 ont servi de références sur la base du filtxage adaptatif. Du côté contrôle actif,
le livre de P.A Nelson et SJ.El1ion N L S O N et coll., 19921 est une référence utile pour les
aspects mécaniques (acoustiques) du contrôle actif du son. Les communications des conférences
internationales majeures traitant de contrôle actif (ASME, Inter-Noise, Active 95, Recent
advances in active control of sound and vibrations) ont permis à l'auteur de connaître l'état de
l'art de la recherche dans ce domaine.
2.
DÉVELOPPEMENT D'UN NOUVEL ALGORITHME À CONVERGENCE W I D E
2.1
Développement d'un algorithme LMS é<iuivalent au Newton-LMS
Un algorithme d'usage très répandu pour des mises en oeuvre en temps réel de contrôle actif de
bruit ou de vibrations sur des systèmes feedfowards est le LMS multi-canaux à référence filtrée
[NELSON et cou., 19921. Une normalisation de cet algorithme existe et a été publiée
[DOUGLASet coll., 19931 : l'algorithme NLMS (implicitement à référence fütrée). Puisque tous
les algorithmes dont il sera question dans ce document seront des algorithmes multi-canaux, le
terme << multi-canaux u sera la plupart du temps omis. Un algorithme adaptatif est dit normalisé
lorsque l'algorithme converge pour des pas d'adaptation inférieurs à un seuil qui est connu et qui
est indépendant de l'énergie des signaux en provenance des capteurs de référence. Le LMS à
référence filtrée est une extension du bien connu M S W R O W et coll., 19851, et il conserve la
plupart de ses propriétés. Ses caractéristiques de convergence sont bien maîtrisées. C'est la
simplicité de sa structure et la faible puissance de calcul qu'il nécessite qui en font un algorithme
applicable à un grand nombre de situations réelles, en utilisant des processeun de traitement des
signaux disponibles (DSP).
Le désavantage principal du LMS à référence filtrée est sa faible vitesse de convergence pour des
contrôles à large bande, lorsque les signaux de référence fiItrée (ces derniers sont définis quelques
paragraphes plus loin) sont fortement corrélés (auto-corrélés ou inter-corrélés). Des signaux de
référence filtrée statistiquement indépendants (blancs) atteignent la vitesse de convergence
optimale, tandis que des signaux de référence filhée fortement corrélés peuvent nécessiter un
nombre d'itérations de convergence qui est plusieurs ordres de grandeur plus élevé que dans le
cas des signaux indépendants, pour atteindre la même performance après convergence.
Pour atteindre la vitesse de convergence optimale, le Newton-LMS à référence filtrée (extension
du Newton-LMS W R O W et coll., 19851 ) peut être utilisé. Cet algorithme nécessite cependant
un nombre élevé d'opérations mathématiques, comme il le sera démontré plus loin. Pour des
applications temps réel large bande, cet algorithme est habituellement beaucoup trop exigeant.
Dans cette section, un algorithme de type LMS ayant les mêmes propriétés de convergence que le
Newton-LMSà référence filtrée sera développé. Cet algorithme pourra être normalisé de la même
façon que le NLMS, alon que ceci n'est pas possible dans le cas du Newton-LMS. Mais d'abord,
les trois algorithmes mentionnés jusqu'à présent (le LMS à référence filtrée, le NLMS et le
Newton-LMS à référence filtrée) seront explicitement décrits.
Tout d'abord, quelques définitions sont requises pour identifier les différents éléments d'un
système feedfonvard de contrôle actif avec fdtres adaptatifs FIR (figure 1.1) :
nombre de capteurs de référence
nombre d'actionnem
nombre de capteurs d'erreur
filtre adaptatif entre le iCcapteur de référence et le je actionneur, après << iter »
itérations d' optimisation
modification à apporter au filtre adaptatif entre le ie capteur de référence et le je
actionneur
filtre modélisant la fonction de transfert entre le je actionneur et le me capteur
d7erreur
longueur des filtres adaptatifs Wi jm
longueur des fdtres Hjm
vecteur des Lh derniers échantillons en provenance du ie capteur de référence, à
l'instant k
erreur résiduelle associée au mecapteur d'erreur, à l'instant k
échantillon en provenance du me capteur d'erreur, à l'instant k
vecteur des LWderniers échantillons du signal de référence filtrée, calculé en
filtrant Xi+avec Hj,rn
Le schéma classique d'un contrôleur feedfoward avec un algorithme adaptatif FIR à référence
filtrée est présenté à la figure 2.1 (pour le cas monotanal). On y retrouve le signal du capteur de
référence
le signal du capteur d'erreur (d&, le filtre adaptatif (Wyi,), la référence filtrée
(Vi4,mk),la fonction de transfert entre i'actio~meuret le capteur d'erreur (HjPm)
et le processus de
modification du filtre adaptatif (à partir de
et dmJ. Comme il est indiqué dans cette
figure, toutes les opérations numériques (à l'intérieur du trait en pointillés) sont effectuées en
temps réel, c'est-à-dire à chaque échantillon.
être
Figure 2.1 :mise en oeuvre classique du LMS à référence filtrée.
En pratique cependant, les algorithmes de contrôle pour des systèmes feedforwards sont souvent
divisés en deux parties : la partie contrôle (partie temps réel) et la partie optimisation. Comme il
est montré à la figure 2.2, plutôt que d'optimiser directement les filtres adaptatifs WQtiEravec les
signaux en provenance des capteurs d'erreur (d&, des filtres de modifications
sont
optimisés avec les erreurs résiduelles (%J, Le. les signaux qui n'ont pas été annulés par les
filtres Wijviter
et AWijVitcr.
La tâche de contrôle temps réel des filtres WiJ,imest exécutée à
chaque ichantillon, mais l'optimisation des fiitres AWUimest calculée pendant les temps libres
du processeur (quand le processeur n'est pas en train d'exécuter une tâche temps réel). Après un
ce*
nombre d'itérations d'optimisation, les valeurs des £ïltres AWijPimsont additionnées aux
filtres WijSimet ensuite mises à zéro
POUT
débuter un nouveau cycle d'optimisation. C'est
toujours cette approche alternative (figure 2.2) qui sera utiüsée dans ce travail, car le but ultime
est la mise en oeuvre en temps réel de l'algorithme qui sera développé. Cette approche permet des
mises en oeuvre en temps réel à des fkéquences d'échantillonnage bien plus élevées que l'approche
classique de la figure 2.1.
êîre
Figure 2.2: mise en oeuvre alternative du LMS à référence filtrée.
Les équations de base du LMS a référence filtrée sont alors (a*» signifie un produit scalaire):
Notez la convention utilisée à l'équation 2.2, où le signal d'erreur est la somme de l'échantillon
en provenance du capteur d'erreur et de la contribution du contrôleur, et non leur différence
comme c'est souvent le cas en fdtrage adaptatif. Cette convention affectera plusieurs autres
équations, et elle est utilisée pour mieux représenter un système de contrôle actif physique où les
ondes mécaniques (acoustiques ou vibratoires) s'additionnent. Maintenant pour décrire le
Newton-LMS à référence Ntrée et le NLMS de façon compacte, une notation entrelacée est
introduite. Cette notation rendra la mairice de corrélation globale des signaux de référence filtrée
<< bloc
Toeplitz ». c< Bloc Toeplitz u signifie que tous les blocs d'éléments au sein d'une même
<< bloc
diagonale » sont identiques. Cette propriété sera utile dans la section suivante lors du
développement d'un nouvel algorithme normalisé, à convergence rapide et avec une charge de
calcul faible.
Si les matrices suivantes sont définies :
alors les équations 2.2 et 2.3 pour le LMS à référence filtrée peuvent être ré-écrites d'une façon
plus compacte:
La nouvelle déf~tionpour le LMS à référence fdtrée serait donc les équations 2.1, 2.4 et 2.5. Le
NLMS peut lui-aussi être décrit avec les équations 2.1 et 2.4, cependant l'équation de récurrence
ne serait plus l'équation 2.5 mais plutôt :
T
Notons que si la matrice (VkVI;)devant être inversée à l'équation 2.6 est singulière, d o n soit un
pseudo inverse devra être uutisé, soit une fraction de la matrice identité pourra être additionnée à
la matrice avant de l'inverser, de façon à la rendre moins singulière. Cet algorithme DOUGLAS
et cou., 19931 minimise les variations des éléments de A W i , sujet à la contrainte:
Cette contrainte signifie que le filtre calculé pour la prochaine itération est la solution exacte du
système pour l'itération présente. Introduire l'inverse de la matrice V
~ (Ne
V X~ Ne) dans
l'équation de récurrence modifie également les valeurs de u pour lesquelles l'algorithme converge
:O
< u < 2. L'algorithme est alors normalisé, c'est à dire que les valeurs admissibles de u sont
indépendantes des statistiques des signaux de référence filtrée. À l'opposé, la valeur de u utilisée
dans l'équation 2.5 pour le LMS à référence filtrée est ajustée manuellement en pratique (par
essais et erreur) de façon à trouver une convergence convenable. Les valeurs valides de u pour la
convergence de l'équation 2.5 dépendent des statistiques des signaux de référence filtrée et sont
(pour des signaux de référence filtrée n'ayant pas d'augmentation soudaine de leur énergie totale.
et si u cc 1 1 valeur propre maximale de E p ]
k:v
D Y K I N , 19861) :
O < u < 2rïrace(EpkVA)
ou de façon équivalente
0 < u < 2/E[énergie totale de tous les échantillons de la matrice de référence filtrée].
La matrice E v k
vC]
est la matrice de comélation giobale de tous les signaux de référence
filtrée. Elle est de dimensions
instantanée V
v]:
NXNYLWx NXNYLW(à ne pas confondre avec la matrice
~ deVdimensions
~
Ne x Ne à i'équation 2.6). À partir de maintenant, E p k
sera appelée Rw. Cette matrice de corrélation globale est « bloc Toeplitz D, à cause de la
notation entrelacée choisie pour Vket AWim.
L'équation de récurrence de l'algorithme Newton-LMS à référence filtrée peut maintenant être
présentée (une fois de plus les équations 2.1 et 2.4 demeurent valides) :
C'est le produit matriciel avec R,
-1
, nécessitant une puissance de calcul élevée, qui fait que cet
algorithme n'est pas pratique pour des systèmes en temps réel avec un nombre élevé de
coefficients (LW).Néanmoins, cet algorithme atteint la vitesse de convergence optimale, et il est
le plus rapide (en convergence) de tous les algorithmes utilisant le gradient stochastique
W R O W et coll., 19851. Les valeurs de u pour lesquelles l'algorithme converge sont (pour des
signaux de référence filtrée n'ayant pas d'augmentation soudaine de leur énergie totale, et u «
1):
O c u c 2/NxNyLw.
Il est important ici de remarquer les différences entre les équations 2.6 et 2.8. L'équation 2.6
(NLMS)est un algorithme qui ajuste l'amplitude des variations sur AWim à chaque itération, en
fonction de l'énergie et de la corrélation des signaux de référence Ntrée, et par conséquent c'est
un algorithme robuste (qui ne diverge pas à cause d'une augmentation soudaine du niveau d'un
signal de référence). Ce n'est pas un algorithme ayant une vitesse de convergence
particulièrement rapide, même si un certain gain en vitesse de convergence peut être obtenu par
rapport au L,MS à référence filtrée [DOUGLAS et COU., 19931. À I'opposé, l'équation 2.8
(Newton-LMS à référence filtrée) est un algorithme à convergence rapide qui peut être robuste
lors de I'utilisation du pas optimal u=1.0, lorsqu'il n'y a pas d'augmentation soudaine de
l'énergie totale des signaux de référence filtrée. Cependant, lorsqu'il y a une augmentation
soudaine de l'énergie totale des signaux de référence filtrée (due aux caractéristiques du signal ou
à du bruit), les modifications instantanées sur les flues adaptatifs peuvent être trop grandes pour
que la convergence de l'algorithme soit assurée avec l'utilisation du pas optimal. Un pas
d'adaptation très inférieur à 1.0 doit alors être utilisé pour que la convergence soit assurée, et ceci
cause une perte de vitesse de convergence. Ii serait utile de pouvoir combiner les propriétés des
deux algorithmes (robustesse avec l'utilisation du pas optimal et grande vitesse de convergence),
et c'est ce qui sera maintenant fait en développant un algorithme
LMS à référence filtrée
équivalent au Newton-LMS à référence Ntrée (ayant la même vitesse de convergence). Cet
algorithme sera dorénavant appelé le « LMS équivalent Newton ».
D'abord, définissons le vecteur Wdi, comme étant :
Wdi, = WO- A W i , où WOest le filtre optimal (la soiution de Wiener du système) (2.9).
En utilisant les équations 2.9 et 2.4, l'équation 2.8 pour le Newton-LMS à référence filtrée peut
maintenant être ré-écrite :
Et puisque
E[V,(V*O
+ Dd] = EIVkEo]= O
(2.1 1)
(l'erreur n'est pas corrélée avec la référence filtrée à I'opti~num),alors l'équation 2.10 devient:
Et puisque E[Vk v:]
est Rw dors :
Il n'est pas nécessaire d'aller plus loin dans l'analyse du Newton-LMS à référence filtrée. Pour
déterminer les valeurs de u pour lesquelles Wdimi converge en espérance et en variance, le
développement classique pourrait être continué W R O W et coll., 1985 et HAYKIN, 19861.
L'équation 2.13 sera cependant suffisante pour prouver I'équivalence entre le Newton-LMS à
référence filtrée et le LMS équivalent Newton.
En considérant maintenant I'algorithrne LMS à référence filtrée, (équations 2.1, 2.4 et 2.5), une
nouvelle matrice Zkest introduite et est donnée par:
où
m T
est une matrice de dimensions N f l y L w x NxNyLw où les colonnes sont les
vecteurs propres de la matrice
Rw (il s'agit de la transformée de Karhunen-Loeve
rnuitidimensiomel~e des signaux de référence filtrée). La matrice de corrélation globale de
dimensions NXNYLW
x N x N ~ L west :
R= = E [ Z ~z?] = E ~ T vk
*vkTmq
=K L T ~
R~ KLT
et donc
parce que les vecteurs propres d'une maaice symétrique (comme R d sont orthonormaux, et
donc K L T =
~ KLT'. Il est alors clair que la matrice R, est égale à la manice diagonale A qui
contient ies valeurs propres de R
,
.
Si la matrice Znkest maintenant définie comme étant:
la nouvelle matrice de corrélation globale sera :
Les équations de I'algorithme LMS équivalent Newton sont donc (où A w ~ , est l'équivalent dans
le domaine de la IUT de AWisr dans le domaine du temps, l'équation 2.1 est toujours valide):
En définissant le vecteur Odim d'une façon similaire à Wdim à l'équation 2.9 (die
00 -
AG,),
l'équation 2.20 peut alors être réécrite:
Et à nouveau puisque
~ [ Z n , ( Z n h+ D3]= E[Zn&o] = O
(l'erreur n'est pas conélée avec la référence filtrée à l'optimum), dors l'équation 2.21 devient:
T
Et puisque E[Znk Znk ] est R-,
et que cette dernière est égaie à la matrice identité 1. alors :
L'équation 2.24 a exactement la même forme que l'équation 2.13, alors l'algorithme LMS
équivalent Newton a exactement la même vitesse de convergence que l'algorithme Newton-LMS
à référence fdtrée.
Ce qu'il y a d'intéressant au niveau de l'équivalence des équations 2.24 et 2.13, c'est que
I'équation 2.20 (à partir de laquelle l'équation 2.24 a été développée) peut être normalisée de la
même façon que le NLMS pour donner l'algorithme LMS équivalent Newton normalisé :
tandis que l'équation 2.8 (à partir de laquelle l'équation 2.13 a été développée) ne peut pas être
normalisée d'une telle façon. Il ne peut donc pas y avoir une solution exacte à chaque itération de
I'équation 2.8, avec la minimisation de la variation des coefficients, et pas de protection contre
une augmentation soudaine de l'énergie des signaux de référence filtrée (à moins d'utiliser un pas
d'adaptation plus faible et donc de diminuer la vitesse de convergence). L'équation 2.25 conduit
donc à une convergence plus robuste (moins susceptible de diverger dû à une augmentation
soudaine de I'énergie de la référence) que l'équation 2.8.
La figure 2.3 montre une mise en oeuvre de l'algorithme LMS équivalent Newton. Il est
important de remarquer que la partie temps réel de I'algorithme à la figure 2.3 est exactement la
même que la partie temps réel de la figure 2.2, dors l'augmentation de la puissance de calcul
requise pour l'algorithme LMS équivalent Newton, par rapport au LMS a référence filtrée
standard, est entiérement située dans la partie optimisation. Néanmoins, dans la partie
optimisation, le calcul des équations 2.14 et 2.17 est une grande charge de calcul
(particulièrement pour un nombre élevé de coefficientspour les fdtres adaptatifs (Lw)), et trouver
les vecteurs propres et les valeurs propres de Rw (les matrices KLT et A) est aussi une grande
charge de calcul (mais pas aussi critique que le calcul des équations 2.14 et 2.17 car ces matrices
n'ont pas à être estimées à chaque itération).
-----.-.*-.--*-.-..--
.
i TEMPS RÉEL
w
4-
H
:
KLT
4
*-in
v
*-1/2T
,
Zn
Figure 2.3 : mise en oeuvre du LMS équivalent Newton.
Il sera maintenant montré que le vecteur de filtres AWim à la figure 2.3 est le vecteur approprié
i
b
w
e
s
2.2 et 2.3, on remarque que les deux termes de
obtenu à partir de Amkp En comparant les f
l'équation suivante doivent être équivalents :
d'où
AWita= KLT
A Q ~ ~
ce qui correspond à la transformation au centre de la figure 2.3.
2.2
Développement d'une approximation efficace de I'algorithme LMS équivalent
Newton.
Comme il a été mentionné quelques paragraphes plus tôt, l'équation 2.25 (LMS équivalent
Newton et normalisé) a hérité du principal défaut du Newton-LMS à référence filtrée : une grande
puissance de calcul est exigée (augmentant avec le carré du nombre de coefficients Lw). Une
approximation rapide de cet algorithme sera maintenant développée (le COS-LMS), de même
qu'une version normalisée de cette approximation rapide (le COS-NLMS). L'élimination de la
corrélation entre les signaux de référence sera en majeure partie effectuée par une transformation
temps-fréquence plutôt que par l'utilisation de la matrice m T .
C'est un fait bien connu dans le domaine du traitement des signaux numériques que la
transformée en cosinus discrète (DCT) peut presque orthogonaliser un signai fortement corrélé
WARAYAN et cou., 19831.La transformée en sinus discrète (DST)a une meilleure performance
sur des signaux faiblement corr6lés, tandis que la transformée de Fourier discrète (DFT) obtient
de meilleures performances lorsque les signaux à orthogonaüser ne sont ni trop faiblement ni trop
fortement corrélés. Dans
[PAILLARDet coll.,
19951, un algorithme à convergence rapide LMS
mono-canal à référence filtrée basé sur une optimisation spectrale @CT) a été présenté. Il a été
montré que dans des cas réels, une augmentation de la vitesse de convergence d'un facteur lûûûû
pouvait facilement être atteinte. ûrthogonaliser un signal de référence filtrée équivaut à
diagonaliser sa matrice d'auto-corrélation. Orthogonaliser plusieurs signaux de référence filtrée
entre eux équivaut à diagonaliser la matrice de corrélation globale R,,
qui tient compte de toutes
les auto-corrélations et intercorrélations des différents signaux de référence filtrée.
Soit le nouveau vecteur de référence filtrée Ci, défini comme étant :
où DCT est une matrice de dimension NXNYLW
x NxN~Lw,qui peut être vue comme étant
une matrice de dimension
LW blocs X LW blocs où chaque bloc est de dimension NXNYx
N m y . Chaque bloc est la matrice identité multipliée par une valeur scalaire. Ces valeurs
scalaires seront les éléments de chaque vecteur de base de la transformée en cosinus, c'est-à-dire
que les éléments d'un même vecteur multiplieront les blocs d'une même bloc-colonne. Cette
notation est compacte et sera utilisée pour le développement des algorithmes COS-LMSet COSNLMS parce qu'elle facilite la comparaison des équations 2.28 et 2.14. de même que la
comparaison des matrices DCT et
M T .L'utilisation de D C T ~à l'équation
2.28 correspond
bien à une «bloc transformée» en cosinus discrète (étant donné la défmition de DCT), et non à
une «bloc transformée» inverse en cosinus.
Mais l'équation 2.28 n'est pas une façon efficace de calculer Ck,
et en pratique l'approche utilisée
pour calculer Ckest de calculer ses éléments avec une transformée en cosinus discrète sur chacun
des signaux de référence fdtrée :
= transformée en cosinus (vij,mJrT)
Riisqu'il existe plusieurs algorithmes rapides pour calculer des transfodes en cosinus, le calcul
de Cksera de l'ordre de NxNyNeLwiog(Lw) opérations et non de l'ordre de NxNyNeLwLw
opérations. La matrice de corrélation de Ckest :
La aansformée en cosinus sur les différents signaux de référence filtrée peut rendre
&
approximativement bloc-diagonale, ce qui signifie que l'auto-corrélation des différents signaux
de référence filtrée est presque éliminée, et que I'inter-corrélation entre les différents signaux de
référence filtrée a également été presque éliminie à l'exception des composantes à la même
fréquence. Par exemple, C ~ J , J Let~ -C~~ . J L L ~sont
- ~ à la même fréquence (Lw-2), alors la
corrélation entre ces deux composantes n'a pas été éliminée par la transformée en cosinus, et elle
apparaîtra comme une composante d'un des blocs de la bloc-diagonale de la matrice &.
La matrice ayant des éléments nuls à l'extérieur de la bloc-diagonale principale et ayant les
mêmes éléments que & dans la bloc-diagonale principale est appelée
-
Rd, (Rac &). La
décomposition en valeurs propres de cette matrice bloc-diagonale est dors calculée en effectuant
la décomposition en valeurs propres de chacun des LW blocs de dimension
NXNYX NXNYet
en combinant ensuite les vecteurs propres et les valeurs propres pour former:
Rd, = Q L Q-'=Q L Q~(parce que Rd, est symétrique)
où Q est la matrice des vecteurs propres (les colonnes de Q sont les vecteurs propres de R k ) , et
L est la matrice des valeurs propres (une matrice diagonale où chaque valeur de la diagonale
-112
correspond à une valeur propre de Rd&. Ii est dors possible de calculer Rd,
La matrice de référence filtrée Cnkest alors introduite :
et la nouvelle matrice de corrélation globale sera :
.
1
Donc les signaux de référence fdtrée sont donc maintenant quasi-décorrélés, et la vitesse de
convergence sera quasi-optimale. Les nouvelles équations pour l'approximation à faible charge
de calcul de I'algorithme LMS équivalent Newton seront donc (algorithme COS-LMSoù
est l'équivalent dans le domaine spectral de
Aniw
AWim dans le domaine temporel, l'équation 2.1
demeure valide) :
Lorsqu'un cycle d'optimisation est compiété, l'équation 2.37 est utilisée pour calculer la
modification à apporter aux filtres temps réel:
Le même commentaire qu'à I'équation 2.28 doit être fait ici, c'est-à-dire que l'utilisation de la
mamce
DCT
à l'équation 2.37 facilite la comparaison des équations 2.37 et 2.27, tout en
respectant la définition de la matnce
DCT.L'utilisation de DCT à l'équation 2.37 correspond
bien à une «bIoc transformée» inverse en cosinus discrète, et non à une «bloc transformée» en
cosinus. En pratique, plutôt que d'utiliser la matrice DCT et I'équation 2.37, une transformation
en cosinus inverse est appliquée à chacun des filtres adaptatifs de Mit,pour calculer les filtres
= transformée en cosinus inverse([A(i)i
j,i,aLw
..- AoiJ,iccs I 1)
(la stnicnire de LQiter
est la même que la structure de AWita).
Un algorithme NLMS peut maintenant être utilisé pour normaliser I'équation 2.36 et ainsi donner
l'algorithme COS-NLMS:
La figure 2.4 montre une mise en oeuvre du COS-LMS ou de sa version normalisée, le COSNLMS. Le COS-NLMSest un algorithme LMS à référence filtrée robuste (normalisé), avec une
vitesse de convergence quasi-optimale et une charge de calcul fible. La charge de calcul de cet
algorithme n'augmente pas avec le camé de la longueur des filtres adaptatifs (Lw), à l'opposé de
l'algorithme Newton-LMS à référence filtrée. Tout comme le NLMS, les valeurs du pas
d'adaptation pour lesquelles l'algorithme converge sont: 0 < u < 2. De plus, la valeur du pas
d'adaptation produisant la vitesse de convergence optimale est de 1 (parce que les signaux de
référence filtrée sont décorrélés). Pour des systèmes avec beaucoup de capteurs d'erreur, dans
lesquels l'inversion de matrice à l'équation 2.39 pour le COS-NLMSpeut être une tâche trop
exigeante, une alternative simplificatrice serait de normaliser le pas d'adaptation avec la somme
instantanée de l'énergie des composantes de la matrice des signaux de référence filtrée Cnk.
Figure 2.4: mise en oeuvre du COS-LMSou du COS-NLMS.
2.3
Évaluation de l'ordre de grandeur de la charge de calcul des différents algorithmes
De façon à justifier le qualificatif de «charge de calcul faible » utilisé pour décrire le COS-
NLMS,I'ordre de grandeur de la charge de calcul requise par les différents algorithmes dont il a
été question précédemment dans ce chapitre sera maintenant évalué. Le tableau 2.1 présente un
résumé des différents ordres de grandeur obtenus pour la charge de calcul des algorithmes. On
remarque dans ce tableau que la charge de calcul du COS-LMS ou du COS-NLMS n'augmente
pas en fonction du camé de Lw. C'est p~cipalementce fait qui justifiait le terme « charge de
calcul faible n. De plus, pour des systèmes ayant un faible nombre de canaux, la charge de calcul
requise par le COS-LMSou le COS-NLMSest d o n presque aussi faible que la charge de calcul
du LMS à référence filtrée.
TABLEAU 2.1 : ORDRES DE GRANDEUR DE LA CHARGE DE CALCUL DES
Algorithme
Ordre de grandeur de la charge de calcul
LMS à référence filtrée
O(NxNyNe(2Lw+Lh))
NLMS
O(NxNyNe(2Lw+Lh))
Newton-LMS à référence 6itrée
O(NxNyNe(Zw+Lh)
+ NxNxNyNyLwLw)
LMS équivaient Newton
O(NxNyNe(2Lw+Lh)
+ NxNxNyNyNeLwLw)
LMS équivalent Newton normalisé
O(NxNyNe(2Lw+Lh+NeLw)
COS-LMS
O(NxNyNe(2Lw+Lh+Lwxlog(Lw)+NxNyt w))
COS-NLMS
O(NxNyNe(2Lw+Lh+Lwxiog(L~)+NxNyLw+NeLw))
+ NxNxNyNyNeLwLw)
L'ordre de la charge de calcul ( O()) requise par le LMS à référence filtrée (équations 2.1, 2.4 et
2.5) est d'abord estimé. L'équation 2.1 requiert O(NxNyNeLh) caicuis, et 1' équation 2.4
requiert O(NxNyNeLw) caicuis. Fiaiement, I'équation 2.5 nécessite O(NxNyNeLw)
calculs. L'ordre total de la charge de calcul requise par cet algorithme est alors
O(NxNyNe(2Lw+Lh)).
Le NLMS utilise également les équations 2.1 et 2.4 tout comme le L M S à référence filtrée
(O(NxNyNeLh)et O(NxNyNeLw)), mais l'équation de récurrence sera l'équation 2.6 plutôt
que l'équation 2.5. Le calcul complet de V&
calcul plus efficace de V
requiert O(NxVyNeNeLw) calculs, mais un
~ peut
V être
~ fait puisque Vkest la matrice Vk-Ià laquelle les NxNy
lignes du haut ont été éliminées et à laquelie NXNY
nouvelles lignes ont été ajoutées au bas. En
soustrayant la contribution des lignes éliminées à V
nouvelles lignes, un calcul plus efficace de
~ etVen additionnant
~
la contribution des
v a t est obtenu nécessitant O(2NxNyNeNe)
calculs. L'inversion de la matrice requiert O(NeNeNe) caiculs (inversion de Gauss-Jordan
[STRANG, 1988]), mais pour des systèmes avec un grand Ne le lemme d'inversion de matrice
pourrait être utilisé et il nécessiterait plutôt O(2NxNyNeNe) calculs [DOUGLAS et
19931. Le reste de I'équation 2.6 requiert
O(NxNyNeLw
+ NeNe)
COIL,
caiculs. L'ordre de
grandeur total de la charge de calcul requise pour cet algorithme est donc : O(
NxNyNe(2Lw+Lh) + NeNeNe + NeNe + 2NxNyNeNe)
-
O(NxNyNe(2Lw+Lh)) si
2Lw+Lh »2Ne et NxNy(2Lw+Lh)»NeNe. Avec le calcul efficace de VA,
l'ordre
du NLMS est approximativement le même que celui du LMS à référence filtrée.
Le Newton-LiMS à référence filtrée utilise également les équations 2.1 et 2.4 (O(NxNyNeLh)et
O(NxNyNeLw)), mais l'équation 2.8 sera utilisée pour l'équation de récurrence. L'équation
2.8 requiert O(NflXNyNyLwLw
+ NxNyLwNe) calculs. II faut noter que l'estimation de
Rw et Rw- 1 n'est pas incluse parce que ces matrices n'ont
pas à être modifiées à chaque itération
d'optimisation. Dans le cas d'un système stationnaire,
Rw
et
R,
-1
pourraient même être
estimées une seule fois avant l'optimisation. L'ordre de grandeur de la charge de calcul totale
requise par le Newton-LMS à référence filtrée est alors O(NxNyNe(2Lw+Lh)
+
NxNxN~NYLwLw). Le terme LWLWest ce qui fait qu'habituellement le Newton-LMS à
référence filtrée est inutilisable en pratique pour des systèmes avec des filtres adaptatifs longs.
L'algorithme LMS équivalent Newton utilise également l'équation 2.1 (O(NxNyNeLh)). Les
équations 2.14 et 2.17 peuvent être combinées en un seul produit matriciel en pré-multipliant les
matrices KLT et A?
Encore une fois, l'estimation des matrices KLT et A-'" n'est pas incluse
parce que ces matrices n'ont pas à être modifiées à chaque itération d'optimisation. L'équation
résultante requiert O(NxNxNyNyNeLwLw) calculs. L'équation 2.19 aura la même charge de
calcul que l'équation 2.4 (O(NxNyNeLw )), et I'équation de récurrence sera 1' équation 2-20
(même charge de calcul que l'équation 2.5: OVxNyNeLw)). L'algorithme LMS équivalent
Newton a donc une charge de calcul totale ayant un ordre de O(NxNyNe(2Lw+Lh)
+
NxNxNyNyNeLwLw) calculs. fl est à noter que le calcul de la matrice intermédiaire Znk
n'est pas un choix optimal (au sens de la charge de calcul), parce que les équations 2.14 et 2.17
pourraient être incluses dans les équations 2.19 et 2.20 pour obtenir une mise en oeuvre plus
efficace, mais le calcul de la matrice intermédiaire Znk sera cependant le choix optimal dans la
version normalisée de I'algorïthme dont il est question au paragraphe suivant.
L'algorithme LMS équivalent Newton normalisé utilise les équations 2.1, 2.14, 2.17 et 2.19 tout
comme l'algorithme non normalisé. L'équation de récurrence sera cependant l'équation 2.25.
Contrairement au w de l'algorithme NLMS, un cdcui efficace de
znkTak
n'est pas possible
parce que les valeurs de Znk changent complètement à chaque itération. Le calcul de zn*nk
requiert donc O(NxNyNeNeLw) calculs, le calcul de son inverse requiert
O(NeNeNe)
calculs, et le reste de l'équation 2.25 requiert O(NxNyNeLw+NeNe) calculs. L'ordre de
grandeur totai de la charge de calcul de cet algorithme est donc O(NxNyNe(2Lw
NeLw)
+ NxNxNyNyNeLwLw + NeNe + NeNeNe)
= O(NxNyNe(2Lw
+ Lh +
+ Lh +
NeLw) + NxNxNyNyNeLwLw) cdcuis si NxNy(2Lw + Lh + NeLw) >> NeNe.
L'algorithme COS-LMSutilise d'abord I'équation 2.1 (O(NxNyNe) calculs). L'équation 2.29
est ensuite calculée avec une transformée discrète en cosinus rapide sur chaque signal de
référence filtrée, ce qui requiert O(NxNyNe Lw~log(Lw))cdcuis. L'équation 2.33 requiert
O(NxNxNyNyNeLw) calculs puisque seulement la bloc-diagonale de R&;'~ est impliquée
dans le produit matriciel. Une fois de plus il faut noter que l'estimation des matrices
R&, et
R&;'~ n'est pas incluse parce que ces matrices n'on: pas à être modifiées à chaque itération
d'optimisation. L'équation 2.35 aura la même charge de calcul que I'équation 2.4
(O(NxNyNeLw)), et l'équation de récurrence sera l'équation 2.36 (même charge de calcul que
I'équation 2.5 : O(NxNyNeLw)). L'algorithme COS-LMS a alors une charge de calcul totale
ayant un ordre de O(NxNyNe
(L~+~Lw+Lwx~o~(Lw)+N~N~Lw))
calculs. Une fois de
plus le calcd de la mairice intermédiaire Cnkn'est pas un choix optimal (au sens de la charge de
calcul)), parce que l'équation 2.33 pourrait être incluse dans les équations 2.35 et 2.36 pour
obtenir une mise en oeuvre plus efficace, mais le calcul de la matrice intermédiaire Cnk sera le
choix optimal pour l'algorithme COS-NLMSdont il est question au paragraphe suivant.
L'algorithme COS-NLMSutilise les équations 2.1, 2.28, 2.33 et 2.35 tout comme le COS-LMS,
mais l'équation de récurrence sera l'équation 2.39 plutôt que l'équation 2.36. L'équation 2.39 a la
même charge de calcd que I'équation 2.25 : O(NxNyNeNeLw
+ NeNe + NeNeNe +
NxNyNeLw). La charge de calcul totale du COS-NLMS est donc de l'ordre de O(NxNyNe
(Lh + 2Lw + Lwxlog(Lw) + NxNyLw + NeLw) + NeNe + NeNeNe) =O( NxNyNe
2.4
R h é du chapitre
Les algorithmes LMS à référence filtrée, Newton-LMS à référence filtrée et NLMS ont été
décrits. Le Newton-LMS est un algorithme à convergence rapide mais avec une charge de calcul
élevée. Le NLMS pour sa part est un algorithme nonnalisé, robuste aux augmentations soudaines
du niveau des références, mais n'ayant pas une convergence rapide. Un algorithme de type LMS à
référence filtrée pouvant être normalisé comme le NLMS et ayant La même vitesse de
convergence que le Newton-LMS a été développé : le LMS équivalent Newton normalisé. Cet
algorithme a également une charge de calcul élevée, et c'est pourquoi une approximation efficace
au niveau de la charge de calcul a été présentée : l'algorithme COS-NLMS. Les charges de calcul
des différents algorithmes ont ensuite été décrites plus explicitement, à titre de comparaison.
3.
SIMCZATION DES PERFORMANCES DES ALGORIT)I[MES
3.1
Avantages des simuiations par rapport aux expérimentations réelles
Avant de procéder aux essais de contrôle avec l'algorithme COS-NLMS développé dans la partie
précédente et l'algorithme NLMS, des simulations seront d'abord effectuées de façon à observer
le comportement des différents algorithmes. Les aspects acoustiques des systèmes à contrôler
étant très difficiles à prendre en compte en simu1ation (réflexions multiples dans le système à
contrôler, trous spectraux très prononcés dans les signaux traités, etc.), l'évaluation ultime des
performances des algonthmes doit absolument se faire en temps réel sur une structure mécanique
complexe. Cependant, les simulations peuvent être utilisées à titre de comparaison et offrent des
avantages certains :
les éléments simulés sont tous idéaux, c'est-à-dire parfaitement linéaires. Ces éléments
peuvent être des actionneurs (haut-parleurs, piézo-céramiques, etc.) ou bien des
capteurs (microphones, accéléromètres, capteurs de force, piézo-électriques, etc.).
en pratique, lorsque les fonctions de transfert entre la source de perturbation et les
capteurs de référence sont non minimales de phase (dû à la réverbération du système),
ou bien lorsque les fonctions de transfert entre les actionneurs et les capteurs d'erreur
sont non minimales de phase, alors les filtres optimaux contiennent des éléments non
causaux qui ne peuvent pas être représentés exactement par des filtres FIR causaux.
C'est derniers ne peuvent alors qu'approximer la solution exacte. Dans les simulations,
les fonctions de transfert peuvent être forcées à être minimales de phase, et donc la
solution exacte peut exister, c'est-à-dire que les filtres adaptatifs optimaux pourront
être causaux.
le niveau de bruit à chacun des capteurs est déterminé par le programmeur. Par
exemple, dans les simulations qui vont suivre, les capteurs d'erreur auront un rapport
signal sur bruit de 30 dB, tandis que les capteurs de référence seront non-bruités.
Les simulations permettront donc de valider le comportement des algorithmes avant d'effectuer le
test ultime : le contrôle acoustique large bande dans un conduit. Ces simulations ont été
effectuées avec le logiciel labview (O 1994 National Instruments Corporation). Ce logiciel a été
choisi principalement pour deux raisons :
le temps de développement du simulateur est plus court à cause de l'environnement de
programmation graphique fourni par ce logiciel
les capacités graphiques fournies par ce logiciel pour visualiser les résultats ainsi que
pour l'entrée des paramètres du simulateur sont très développées.
3.2
Description du système simulé
Contrairement à un système physique réel, il faudra calculer dans les simulations les valeurs à la
sortie des fonctions de transfert entre la source de perturbation et les capteurs de référence, entre
la source de perturbation et les capteurs d'eneur, et entre les actionneurs et les capteurs d'erreur.
Les premières seront appelées NX, les secondes ND et les dernières seront appelées H comme au
chapitre 2. Ces fonctions de transfert seront approximées par des filtres FIR causaux. Dans un
système réel, ces fonctions sont physiques et les valem résultantes sont mesurées plutôt que
calculées. Pour illustrer le système global des simulations, la figure 3.1 présente le cas monocanal avec l'algorithme LMS 2 référence filtrée :
système
physique
sirnuié
1
bruit au capteur
d'erreur
I
I
1 capteur
S-
*
"
N
(source de
pembation)
H
v
capteur de
référence
-
filtre adaptatif
Figure 3.1 : exemple mono-canal d'un système simulant l'algorithme LMS à référence filtrée.
Il est à noter que dans le système simulé de la figure 3.1 la branche de contrôle est absente (à
comparer avec la figure 2.2). Il est en effet inutile dans les simulations de séparer l'algorithme en
une partie contrôle en temps réel et une partie optimisation en temps différé puisqu'il n'y a aucune
contrainte reliée au temps ou à la fféquence d'échantillonnage dans les simulations. Ceci signifie
que contrairement aux systèmes de contrôle en temps réel, les coefficients des filtres adaptatifs W
seront modifiés à chaque échantillon dans les simulations. Comme il a été mentionné quelques
pwgraphes plus tôt, les filtres ND,
M(.
et H sont en fait des filtres FIR causaux à phase
minimale, de façon à ce que la solution exacte pour les fdms W soit causale (notons que le filtre
ND n'a pas besoin d'être à phase minimale mais il a cependant été construit de la même façon
que NX et H). Pour s'assurer de la propriété de phase minimale, les filtres ont été construits en
convoluant les réponses temporelles de zéros à l'intérieur du cercle unitaire dans le domaine de la
transformée en 2.Ce sont ces mêmes filtres NX et H qui détermineront la vitesse de convergence
de l'algorithme LMS à référence filtrée (ou du NLMS), dépendamment de la corrélation des
signaux de référence filtrée qu'ils produiront L'algorithme COS-NLMS pour sa part devrait
toujours avoir une vitesse de convergence quasi-optimale.
3.3
Aperçu du programme de simulation
La vitesse de convergence de ces trois derniers algorithmes (LMS à référence filtrée, NLMS et
COS-NLMS)sera comparée dans les simulations. De façon à demeurer le plus général possible
dans les simulations, le simulateur a été construit avec plusieurs paramètres qui lui sont fournis en
entrée. La figure 3.2 illustre l'interface usager du simulateur avec les différents paramètres
d'entrée et de sortie.
1
bruit capteur deneu
excitaho
BRUIT BLANC r
Figure 3.2 : interîace usager du simulateur.
À la figure 3.2, I'encadré à gauche contient les paramètres d'initialisation du simulateur. Ces
paramètres ne sont lus qu'une seule fois. Ils permettent de déterminer:
le nombre de capteurs de référence (Nx)
le nombre d'actiomeurs (Ny)
le nombre de capteurs d'erreur (Ne)
la longueur des filtres ND, NX et H (L)
la longueur des filtres adaptatifs W (Lw)
le niveau de bruit par rapport au signal utile aux capteurs d'erreur
le nombre d'itérations de convergence à simuler (ensuite la courbe de convergence sera
écrite dans un fichier)
le type d'excitation (source de perturbation large bande ou harmonique)
l'algorithme à simuler (LMS à référence filtrée, NLMS ou COS-NLMS).
L'encadré à gauche sous le graphique contient des éléments qui seront constamment lus ou écrits
(à l'opposé des éléments dans l'encadré à gauche complètement). On y retrouve:
le pas d'adaptation de l'algorithme utilisé
le nombre d'itérations de convergence effectuées
la convergence de l'algorithme à I'itération présente.
Les éléments de l'encadré à droite directement sous le graphique servent à contrôler l'affichage
graphique. Le commutateur qu'on y retrouve sert à activer ou désactiver l'affichage graphique.
Cette option est présente parce que les calculs se font beaucoup plus rapidement lorsque
l'affichage graphique est désactivé. Les deux autres paramètres servent à sélectionner quel type
de courbe doit être affichée (courbe de convergence, filtre adaptatif, signai de référence, signal
d'erreur, etc.), ainsi que le numéro de courbe à afficher lorsqu'il y a plusieurs courbes du même
type (par exemple plusieurs filtres adaptatifs dans le cas multi-canaux). Finalement l'encadré à
droite au bas de la figure sert à vérifier qu'aucune condition d'erreur ne s'est produite pendant la
simulation. en particulier lors de l'inversion de matrices.
La figure 3.3 présente Le programme principal du simulateur (le "main") écrit en langage
graphique LABVIEW. On retrouve dans ce langage de programmation les différents éléments de
la programmation classique (boucle FOR, boucle WHILE, CASE, les structures, les types de
données), ainsi qu'un aspect de la programmation orientée objet : le pol ymorphisrx. D'autres
fonctionnalités sont particulières au langage de programmation LABVIEW, par exemple l'autoindexage des tableaux et des matrices utilisés dans une boucle, fonctionnalité qui évite d'avoir à
entrer la dimension du tableau ou de la matrice comme paramètre de la boucle.
Figure 3.3 : programme principal ("main")
du simulateur en langage graphique LABç7EW
3.4
Résultats de simulation
Dans les simulations, l'algorithme LMS à référence filtrée a été normalisé par la moyenne de la
somme des énergies totales des signaux de référence filtrée (normalisation par la trace de la
matrice
Rw)- Le NLMS
et le COS-NLMS étant déjà normalisés, aucune normalisation
supplémentaire ne fut requise. Le pas d'adaptation optimal (au niveau de la vitesse de
convergence) a été trouvé par essai et erreur dans le cas du LMS et du NLMS. Dans le cas du
COS-NLMS,puisque les signaux de référence filtrée sont quasi-décorrélés, alon I'hypothèse
d'indépendance des signaux de référence filtrée devient valide [UNGERBOECK. 19721 et le pas
d'adaptation optimal est alors u=1.O.Le bruit au capteur d'erreur a été fixé à 30 d B sous le niveau
du signal utile (sans cela la convergence aurait été limitée seulement par la précision de calcul).
Pour toutes les simulations effectuées, la longueur des filtres ND, NX et H a été fixée à 64
coefficients, tandis que la longueur des filtres adaptatifs W était de 256 coefficients. Les
simulations ont été effectuées pendant lûûûû itérations avec une excitation large bande (bruit
blanc).
Deux cas G intéressants » seront présentés : un système classique mono-canal 1- 1- 1 ( 1 capteur de
référence, 1 actionneur et 1 capteur d'erreur) et un système 1-2-2. Ces configurations sont
intéressantes parce que ce sont ces mêmes configurations qui seront ensuite testées dans les
expériences de contrôle en temps réel dans un conduit circulaire. Pour évaluer la performance des
différents algorithmes de contrôle, le critère suivant est calculé : le rapport entre l'énergie
résiduelle aux capteurs d'erreur et l'énergie de la perturbation à éliminer aux capteurs d'erreur, le
tout converti en dB.
La figure 3.4 présente les courbes de convergence des algorithmes à référence filtrée LMS,
NLMS et COS-NLMSpour le cas 1-1-1. On remarque aisément que le COS-NLMSa une vitesse
de convergence bien supérieure aux deux autres algorithmes, qui ont une vitesse de convergence à
peu près identique. Il faut mentionner une fois de plus que le gain en vitesse de convergence du
COS-NLMSpar rapport au LMS et au NLMS dépend uniquement de la comélation des signaux
de référence filtrée. Comme cette corrélation est produite dans ce casci par les filtres M( et H (la
source de perturbation étant blanche), ce sont ces derniers qui déterminent l'amélioration obtenue
par le COS-NLMS.Dans le cas où tous ces fdtres ne seraient que des retards purs, tous les
algorithmes auraient la même vitesse de convergence car les signaux de référence fdtrée seraient
non-corrélés. Le cas illustré à la figure 3.4 correspond cependant à un cas où les signaux de
référence fùtrée sont très corrélés, comme c'est souvent le cas en pratique dans les conduits. C'est
ce qui explique la vitesse de convergence sup6rieure du COS-NLMSà cette figure.
"'%
NLMS 1.
COSNLMS 2
Figure 3.4 : courbe de convergence des différents algorithmes, cas 1- 1-1
À la figure 3.5, les courbes de convergence du cas 1-2-2 sont maintenant affichées, et le gain en
vitesse de convergence du COS-NLMS par rapport au LMS et au NLMS est encore plus évident,
car ces demies semblent avoir atteint un plateau. Après un temps de convergence très long, le
LMS et le NLMS obtiendraient la même performance après convergence que le COS-NLMS(-27
dB). Cependant dans un environnement non-stationnaire (où les fonctions de transfert ND, NX et
H de la figure 3.1 varient en fonction du temps), on imagine facilement que le COS-NLMS
parviendrait à s'adapter beaucoup mieux aux changements des fonctions de transfert que les deux
autres algorithmes.
Figure 3.5 : courbe de convergence des différents algorithmes, cas 1-2-2
3.5
Résumé du chapitre
Des simulations de contrôle actif ont été effectuées avec le logiciel LABVIEW dans le but
d'obtenir une première validation des vitesses de convergence des différents algorithmes. Le
système simulé a été présenté et un aperçu du programme de simulation a été montré. Les
résultats ont clairement indiqué que pour des signaux de référence filtrée fortement corrélés, le
COS-NLMSavait une vitesse de convergence bien supérieure au LMS et au NLMS.
4.
MISE EN OEUVRE EN TEMPS RÉEL DES ALGORITHMES
4.1
Description des tâches devant être exécutées par le système de contrôle
k système en temps réel permettant la mise en oeuvre des algorithmes de contrôle dont il a été
question jusqu'à présent dans ce document est un système complexe, c'est-à-dire qu'il doit
exécuter plusieurs tâches en simultané. La tâche ayant la priorité absolue est la tâche de filtrage
en temps réel, c'est-à-dire la branche temps réel des figures 2.2 et 2.4. Cette tâche doit s'exécuter
de façon synchrone avec la fréquence d'échantillonnage du contrôleur (donc un filtrage en temps
réel et la génération d%i échantillon de sortie à chaque fois qu'un nouvel échantillon est lu en
entrée), et ne doit pas ê e retardée ou empêchée de s'exécuter sous aucune condition. Cette tâche
sera donc exécutée par une i n t e m o n qui sera déclenchée par la lecture d'un nouvel échantillon
sur les convertisseurs AIN.
La tâche la plus prioritaire après celle du filtrage en temps réel est la tâche d'optimisation, c'est-àdire la tâche correspondant aux branches doptimisation des figures 2.2 et 2.4. Cette tâche est
responsable de l'adaptation des filtres adaptatifs et du calcul des références filtrées, ainsi que de
l'estimation des différents paramètres utiles au contrôle (calcul de l'énergie instantanée des
références filtrées, calcul de la performance de l'algorithme, etc.). L'exécution de cette tâche se
produit dès que la tâche prioritaire (exécutée par interruption) n'est pas en cours d'exécution.
L,e troisième type de tâche devant être exécutée par le système de contrôle en temps réel est la
tâche de communication avec un ordinateur portatif (PC). Cette tâche est la moins prioritaire des
tâches. Communiquer avec un PC est essentiel dans le cas d'un système prototype car cela permet
l'entrée de paramètres de façon conviviale par un usager (pas d'adaptation, type de contrôle,
configuration du système, etc.), ainsi que la visualisation par l'usager de courbes et de valeurs
pertinentes au contrôle (signaux en provenance des capteurs, filtres adaptatifs, performance du
contrôleur, etc.). Un tel prototype permet rajustement approprié des divers paramètres du
contrôleur et l'évaluation correcte de ses performances. Une fois cette étape franchie, la tâche de
communication avec un PC n'est plus absolument requise, c'est-à-dire que si le système de
contrôle actif doit être produit à un faible coût alors cette tâche peut être réduite ou éliminée.
4.2
Description du matériel utilisé
La mise en oeuvre en temps réel des algorithmes a été effectuée sur une carte DSP
multiprocesseurs. La carte DSP est connectée sur un bus VME, et sur ce bus on retrouve d'autres
cartes dont une carte pour communiquer avec le PC via un port dédié et une autre carte pour gérer
un bus spécialisé, le bus MIX, pemettant d'accéder à des cartes de convertisseurs A/N et DIA. La
figure 4.1 donne un aperçu de l'architecture du système informatique utilisé.
LE fait que la carte DSP ait accès à deux bus en parallèle lui permet d'avoir une bonne bande
passante au niveau du transfert des données. Au niveau de la puissance de calcul, cette même
carte contient 4 processeurs TMS320C40 (O Texas Instrument) en parallèle, ce qui lui donne une
puissance de calcul théorique de 200 MFLOPS (millions d'opération en point flottant à la
seconde). Pour sa part, le PC utilisé est un ordinateur Hewlett-Packard avec microprocesseur
80486 DX2 n'ayant rien de vraiment particulier pour un PC, à part le fait qu'il contient une carte
permettant de communiquer avec le bus VME via un bus dédié.
CARTE DSP
CARTE DE
CONVERTISSEURS
A/N ET NIA
BUS MIX
BUS VMIE
1
CARTE DE
CONVERTISSEURS
CARTE GÉRANT
LE BUS MIX
LE BUS
VME ET LE BUS DÉDIÉ
CARTE GÉRANT
CARTE GÉRANTLE BUS
DÉDG
BUS ISA (FC)
Figure 4.1 : architecture utilisée pour la mise en oeuvre en temps réel du contrôleur
4.3
Système d'exploitationpermettant la communication PC-DSP
Traditionnellement, l'environnement de programmation des DSPs est un environnement du type
"debugger",où on a accès aux registres et à la mémoire telle que vue par le DSP. Ce type
d'environnement ne convient pas três bien aux applications de contrôle actif, où il est vital de
pouvoir visualiser de façon graphique différents signaux et spectres. D'autres environnements
plus sophistiqués sont également disponibles (par exemple SPOX), mais les possibilités
graphiques de ces environnements semblent limitées ou inexistantes. Un système d'exploitation
permettant le chargement du code dam les DSPs et l'échange de données en continu avec le PC
pendant l'exécution du code a donc été développé. Le système d'exploitation contient une partie
s'exécutant sur le PC et une partie s'exécutant sur le DSP,tel qu'indiqué à la figure 4.2.
La partie s'exécutant sur le DSP opère en mode maître, c'est-à-dire que c'est eile qui détermine
quand les échanges doivent avoir Lieu avec le PC.Ce dernier opère en mode esclave, c'est-à-dire
qu'il vérifie constamment si une requête est émise par le DSP. Ceci est préférable car d'une part le
DSP ne peut se permettre de vérifier constamment si le PC veut communiquer (parce que le DSP
a d'autres tâches plus importantes à accomplir), et d'autre part le PC peut difficilement
interrompre le DSP pour lui indiquer qu'il veut communiquer.
En effet, si le PC interrompt trop souvent le DSP (à chaque mot échangé par exemple), ceci
risque de duninuer le temps de calcul alloué par le DSP à des tâches prioritaires. A I'opposé, si le
PC interrompt moins souvent le DSP mais pour le transfert d'un nombre important de données,
cette interruption risque de durer trop longtemps, c'est-à-dire qu'elle empêchera l'interruption du
filtrage en temps réel de pouvoir s'exécuter entre deux instants d'échanti~omage.Il est donc
préférable que le DSP opère en mode maître, et qu'il n'effectue des tâches de communication que
lorsqu'il a commandé un échange avec le PC. Pour sa part, le PC peut constamment lire dans la
mémoire du DSP pour déterminer s'il y a une requête de communication, parce que la
communication avec le DSP (pour l'affichage des résultats et rentrée des paramètres) est la seule
tâche exécutée par le PC et que cette tâche n'est pas critique (eue ne requiert pas d'être exécutée
en temps réel).
.-----------------------------.-----------.
i ~ S (C
.. . P a a w m b ~ ~ )
... ..
..
.... ....
PARTIE PCDU
ALGOFUTHME 1
i i PARTIE DSP DU
: : SYSTÈME
KERNEL PC ,
i-*
i
SYSTÈME
DE
CONTRÔLE
.. ..
D'EXPLOITATION y D'EXPLOITATION O SUR DSP
(ESCLAVE)
i : (MAZTRE)
.. .
... '
... ..
. .-----------.----.--.-------.---.--...--+:
- . t . - - - c - c , - r - . - - - - * - * . * - * - - . * - * * * - * - * . ~ * * - - . - - - - -
: DISQUE
i DUR
:* CUVIER
.i .PC(LABVIEW)
'
*
'
'
*
,
i ÉCRAN
: GRAPHIQUE
a
m
0
.
c----------------...---..---------------
Figure 4.2 : système d'exploitation permettant la communication PC-DSP
Notons ici qulm seul des 4 DSPs est utilisé pour échanger des données avec le PC. Du côté DSP,
le code doit être écrit en C ou en assembleur, avec les outils de développement fournis par le
fabricant (Texas Instrument). Par contre, du côté PC, le choix de I'enviromement de
développement est plus vaste, et une fois de plus le logiciel LABVIEW a été utilisé parce que ses
capacités graphiques sont importantes et que sa convivialité est bonne.
La figure 4.3 illustre une interface usager typique des programmes LABVIEW utilisant le système
d'exploitation développé pour communiquer avec les DSPs. On remarque qu'il est facile de
sélectionner quelle courbe doit être affichée, de signaler au contrôleur de terminer son exécution,
de choisir le pas d'adaptation, d'afficher des statistiques, etc..
niveau de s o r k
N d r e cfitératioils de convergence
Etat âe i'a1gont)me:
lntemrption cp
Intenuptionnode
Figure 4.3 : interface usager typique des programmes utilisant le système d'exploitation développé
4.4
Parallélisation des calculs et synchronisation des processus
De façon à simplifier la gestion de la parallélisation des calculs, une approche rnodulo 4 a été
utilisée pour Les filtres en temps réel (voir figure 2.2). Ceci signifie que s'il n'y a qu'un filtre en
temps réel à convoluer, alors seulement le processeur 1 est sollicité pour la convolution. S'il y a
deux filtres en temps réel à convoluer, alors les processeurs 1 et 2 seront utilisés, chacun calculant
une convolution. S'il y a quatre filtres en temps réel à convoluer, chaque processeur effectuera
une convolution. S'il y a cinq filtres en temps réel à convoluer, alors le processeur 1 effectuera 2
convolutions, et les autres processeurs effectueront chacun 1 convolution. Une répartition plus
égale de la charge de calcul entre les processeurs serait possible en sous-divisant chaque
convolution en sous-convolutions réparties enae les quatre processeurs, mais cette technique
exigerait cependant une synchronisation supplémentaire entre les différents processeurs.
Aucune synchronisation n'est requise pour l'échange des résultats des convolutions en temps réel
entre les DSPs (sauf évidemment l'interruption qui survient à la fréquence d'échantillonnage).
Ceci est possible parce qu'à chaque instant les processeurs utilisent les résultats des convolutions
calculées à I'échantiIlon précédent pour génkrer les résultats de l'instant présent, et effectuent des
convolutions qui serviront à calculer les résultats de l'échantillon suivant. Ceci implique que l'on
ajoute artificieiIernent un retard de un échantillon dans le temps de réponse du contrôleur mais
habituellement un tel retard n'est pas critique pour un système de type feedforward.
Pour sa part, la partie optimisation s'effectue sur un seul processeur. La cause de ceci est que
l'effort requis pour paralléliser ce processus n'est probablement pas rentable car une telle
parallélisation n'aura pas d'impact sur la fréquence d'échantillonnage maximale pouvant être
atteinte par le système. Comme il a été mentionné un peu plus tôt, un seul processeur
communique avec le PC via le système d'exploitation. Ceci signifie donc que ce processeur devra
envoyer les paramètres qu'il a reçus en provenance du PC aux autres processeurs quand cela
s'avérera nécessaire. Ces communications inter-processeurs sont très peu souvent requises
(seulement à l'initialisation), et pour les synchroniser, de simples sémaphores sont utilisés avec
une mémoire partagée pour les données à échanger. Le DSP devant calculer la partie optimisation
et devant gérer la commiinication PC-DSPn'est cependant pas ralentie dans sa tâche de contrôle
en temps réel, car cette tâche s'effectue dans une interruption déclenchée par les convertisseurs
A N et N/A.
4.5
R b é du chapitre
Les différentes tâches devant être exécutées par le système de contrôle ont été décrites. et
l'architecture du matériel informatique utilisé pour la mise en oeuvre en temps réel du contrôleur
a été présentée. De plus. un système d'exploitation permettant aux programmes de contrôle de
visualiser des courbes et d'envoyer des paramètres aux DSPs a été développé, et l'interface
typique d'un programme de contrôle avec l'usager a été montré. Finalement la parallélisation des
calculs de temps réel a été décrite, et on a vu que les autres processus (cdculs en temps différé et
communication DSP-PC)sont effectués par un seul DSP.
5.1
Description du syst6me acoustique réel
Le système acoustique utilisé pour les expérimentations en temps réel est un conduit d'environ 10
cm de diamètre. De tels conduits ont été parmi les premiers systèmes sur lesquels la technologie
du contrôle actif a été appliquée [SWINBAPXS,19731.La figure 5.1 illustre le conduit ainsi que
les différents éléments du système de contrôle actif. Ce système peut être utilisé aussi bien pour
des cas de contrôle mono-canal (avec un seul actiomeur et un seul capteur demur) que pour des
cas multicanaux (avec deux actionneun et deux capteurs d'erreur). Un seul capteur de référence a
été utilisé dans les expérimentations, celui-ci s'avérant suffisant pour effectuer un contrôle
efficace.
CAPTEUR
D'ERREUR
PERTURBATION
ÀLARGEBANDE
(BRUITBLANC)
/
))
\
1
CONDUIT
CAPTEUR DE
RÉFÉRENCE
ACTIONNEUR
.*.-.
CAPTEUR
D'ERREUR
fermé lorsqu'un seul
capteur d'erreur est utilisé
Figure 5.1 : système acoustique utilisé pour les expérimentations en temps réel
Le capteur de référence a été placé dans une partie de conduit perpendiculaire au conduit
principal, ceci dans le but d'obtenir un signal de référence assez auto-corrélé (avec une bonne
dynamique spectrale). Notons que cet emplacement n'est pas le seul où il est possible d'obtenir un
signal de référence assez auto-corrélé, mais les chances d'obtenir de telles propriétés sur le signal
de référence étaient meilleures à cet endroit. Un signal de référence corrélé produira un signal de
référence Ntrée (ou plusieurs signaux dans le cas d'un contrôleur multi-canaux) qui sera
également corrélé, le signal de référence filtrée étant obtenu en fdtrant le signal de référence avec
la fonction de transfert entre l'actionneur et le capteur d'erreur. Plus le signal de référence filtrée
sera corrélé, plus le COS-NLMS sera avantageux par rapport aux algorithmes classiques tels le
LMS et le NL,MS.
En effet, la performance (en vitesse de convergence) du COS-NLMS ne dépend pas de la
corrélation du signal de référence filtrée, alors que la performance du LMS ou du NLMS en
dépend fortement. En pratique, les situations où Iton retrouve des signaux de référence filtrée
fortement cornélés ne sont pas rares, que ce soit dû à une corrélation des signaux de référence ou
bien à une fonction de transfert entre l'actionneur et le capteur d'erreur ayant une grande
dynamique spectrale (ces deux causes sont typiques des systèmes très réverbéranü). Les
expérimentations qui seront effectuées avec de tels signaux de référence filtrée seront donc très
réalistes.
La bande de fréquences à contrôler pendant les expérimentations sera de O à 1000 Hz. Ces
fréquences sont en dessous de la fréquence de coupure du premier mode supérieur de propagation
dans le conduit, donné par:
Fc
=
1.84 * C * (2*pi*r)
(5-1)
où Fc (en Hz) est la fréquence de coupure du premier mode supérieur, soit la fréquence à partir de
laquelle ce mode existe, C (en mètreds) est la vitesse du son dans le conduit (qui varie en
fonction de la température), et r (en mètres)est le rayon dans le conduit. Notons que cette relation
n'est valide que pour des conduits circulaires. En supposant une vitesse du son d'environ 330 m/s,
et pour un rayon de 5 cm, la fréquence de coupure est alors de 1932 Hz. Donc en limitant la
perturbation à éliminer à 1 0 Hz de largeur de bande, on s'assure que seul le mode plan de
propagation sera présent dans le conduit.
Ne retrouver que le mode plan comme mode de propagation dans le conduit est intéressant pour
la raison suivante : si le contrôleur parvient bien à réduire le niveau de bruit au capteur d'erreur,
alors le contrôle sera effectif dans l'ensemble de la section où se trouve le capteur d'erreur, et le
niveau de bmit sera réduit partout en aval du microphone d'erreur (et par conséquent le niveau de
bruit à la sortie sera également réduit). À l'opposé, tel que mentionné dans l'introduction. lorsque
des modes de propagation supérieurs sont présents, même si le contrôleur réussi bien à éliminer le
bruit au capteur d'erreur, le niveau de bruit ailleurs dans la section où se trouve le capteur d'erreur
ainsi qu'en aval dans le tuyau ne sera pas atténué, et pourra même être augmenté (en espérance).
Le contrôle est dans ce cas uniquement local, et aucune atténuation globale n'est observée à la
sortie du tuyau.
5.2
Problème de l'annulation de bouclage
Un système tel que celui qui apparaît à la figure 5.1 présente un problème : il y a une rétroaction
entre l'actionneur de contrôle et le capteur de référence, c'est-à-dire que le capteur de référence ne
capte pas seulement le signal en provenance de la source de perturbations, mais plutôt la somme
de la contribution de la source de perturbation et de la contribution de l'actionneur de contrôle au
capteur de référence. Ce phénomène peut mener directement à l'instabilité (divergence) dans le
cas de contrôleurs utilisant des filtres FIR (comme ce sera le cas dans les expérimentations), s'il
n'est pas traité d'une façon appropriée. Ji existe plusieurs approches pour éliminer cette rétroaction
entre l'actionneur et le capteur de référence. La première approche est d'utiliser un système où on
élimine de façon physique la contribution de l'actiomeur au capteur de référence. Par exemple,
deux actionneurs sont stratégiquement situés pour que leur contribution au capteur de référence
soit nulle, et que leur contribution au capteur d'erreur permette d'éliminer la perturbation. Ce
principe n'est valide que pour une fréquence fixe, et n'est donc pas applicable pour des contrôleurs
à large bande.
Une autre approche est d'utiliser un capteur de référence qui n'est pas «couplé» avec l'actionneur.
Par exemple, dans le cas où la source de perturbation éliminer est un moteur, un accéléromètre
peut être utilisé comme capteur de référence, et dans ce cas si l'actionneur est un haut-parleur
alors celui-ci n'a aucune influence sur le signal capté par le capteur de référence. L'inconvénient
de cette approche est que la cohérence entre le signal à éliminer au capteur d'erreur et le signal du
capteur de référence n'est pas toujours bonne, ce qui rend difficile la tâche du contrôleur. Par
exemple, un accéléromètre détecte des modes de vibrations qui ne rayonnent pas acoustiquement
et donc qui ne seront pas présents dans le conduit.
D'autres approches essaient de compenser numériquement pour la rétroaction entre l'actionneur et
le capteur d'erreur. Pour les contrôleurs feedfonvard à perturbation large bande, il existe
essentiellement deux approches. La première approche combine le fdtre de contrôle entre le
capteur de référence et l'actionneur, et le filtre d'annulation de bouclage entre l'actionneur et le
capteur de référence, en un seul filtre dont la structure est celle d'un filtre à réponse
impulsionnelle infinie (W) ERIKSSON et coll., 19871. Cette approche permet d'obtenir des
filtres efficaces ayant un faible nombre de coefficients. La convergence est relativement rapide,
mais les algorithmes doptimisation de filtres à réponses impulsionnelles infinies souffrent d'un
manque de robustesse. En particulier, ces algorithmes peuvent converger vers des minima locaux
et manquer le minimum global. De plus, l'optimisation peut converger temporairement vers un
filtre instable (avec des pôles à l'extérieur du cercle unitaire). Puisque dans ce projet de recherche
l'accent est surtout mis sur l'étude de filtres RR pour les raisons mentionnées dans I'introduction,
cette approche ne sera pas utilisée.
L'autre approche de compensation de la rétroaction entre l'actionneur et le capteur de référence
consiste à considérer le filtre de contrôle (entre le capteur de référence et l'actionneur)
indépendamment du filtre d'annulation de bouclage (entre l'actionneur et le capteur de référence).
Pour cette approche, la convergence est bien contrôlée. L'optimum global est toujours atteint, et il
n'y a pas de problème de stabilité (pas de pôles à l'extérieur du cercle unitaire). Par contre, le filtre
peut nécessiter un nombre important de coefficients et la convergence est en général lente (c'est
pourquoi le COS-NLMS a été développé dans ce projet). C'est cette dernière approche qui a été
retenue, et la figure 5.2 illustre plus en détail le concept.
Source de
perturbation
(haut-parleur)
n
5-4
--
xgnai ae rererence .
- N
p e . - - -
Fiitre
d'annulation 4
de bouclage
avancée sur ia
perturbation à
éliminer
I
A
Signal de
1' actiomeur
(haut-parleur
de contrebruit)
Signa1 d'erreur
résiduelle (bruit
au microphone)
Figure 5.2 : système feedfonvard de contrôle actif avec annulation de bouclage numérique
5.3
Expérimentations et résultats de contrôle
Le contrôleur utilisé procédait en deux étapes : une étape d'identification et une étape de contrôle.
Dans l'étape d'identification, la source de perturbation n'était pas en marche et du bruit blanc était
émis dans I'actiomeur (ou les actiomeurs dans le cas multi-canaux), de façon à pouvoir identifier
les fonctions de transfert entre l'actionneur et les capteurs d'erreur et de référence. Un algorithme
LMS classique (et non pas un LMS à référence filtrk) est utilisé pour
cette identification, et
puisque dans ce cas la référence de l'algorithme est blanche don la vitesse de convergence est
optimale. Mentionnons qu'il existe des techniques d'identification «on-line», c'est-à-dire des
techniques qui permettent de procéder à l'identification pendant que la source de perturbation à
éliminer est en marche [COLEMAN et coll., 19941. k principe général est d'émettre à
l'actionneur un signal faible et non-corrélé avec le signal de contrôle émis par l'actionneur, et
d'identifier les fonctions de transfert à partir des corrélations qui existeront entre le signal faible
émis et les signaux recueillis par les capteurs d'erreur et de référence.
La fréquence d'échantillonnage utilisée pour les essais en temps réel a été choisie 2 3000 Hz, de
façon à pouvoir contrôler la bande de O à 1000 Hz. Des filtres de reconstruction elliptiques
analogiques passes-bas avec une fréquence de coupure à 1OOO Hz ont été utilisés à sortie des
convertisseurs D/A du contrôleur. Ces filtres avaient une atténuation de plus de 60 dB à la dernie
fréquence d'échanflonnage, soit 1500 Hz. De plus, un fdue analogique similaire a été appliqué
sur la source de perturbation (générateur de bruit blanc), de façon à ce que la perturbation soit à
bande limitée. Comme la perturbation était à bande limitée et que la contribution du contrôleur
était également à bande limitée, les signaux recueillis par les microphones (capteurs d'erreur et de
référence) étaient également à bande limitée, ce qui implique que des filtres anti-repliements
analogiques n'étaient pas requis sur ces capteurs.
Dans tous les
cas, le nombre de coefficients utilisés
a été de 256, que ce soit pour les filtres
modélisant les fonctions de transfert entre les actionneun et les microphones ou bien pour les
filtres de contrôle en temps réel. Deux algorithmes ont été comparés dans les expérimentations :
le NLMS et le COS-NLMS (les deux algorithmes sont évidemment des algorithmes à référence
filtrée). Le LMS à référence filtrée n'a pas été mis en oeuvre en temps réel tout simplement parce
que ses performances sont habituellement soit équivalentes, soit inférieures au NLMS. Dans le
cas du C O S - U S , l'estimation de
démarré, et
Ra, (2.33) a été effectuée avant que le contrôle ne soit
Rd, n'a pas été modifié par la suite pendant le contrôle (hypothèse d'un système
stationnaire). Bien sûr dans un système non-stationnaire, l'estimation de
Rd,
devrait
constamment être modifiée. Pour calculer
Rd, -IR,
une décomposition en valeurs singulières
(SVD [ S W G , 19881) a été utilisée. Plutôt que de faire une décomposition globale, il était
possible d'effectuer une décomposition en valeurs singulières de chacun des blocs de la blocdiagonale de R&, puisque cette dernière est une matrice bloc-diagonale. Seules les valeurs
propres qui étaient situées audessus du niveau de bruit et au-dessus du niveau de la résolution de
la DCT étaient inversées. En fait, les valeurs propres étaient visualisées sur une même courbe et
le seuil à partir duquel elles ne devaient plus être inversées était déterminé «àl'oeil» par l'allure de
la courbe. Les valeurs propres qui n'étaient pas inversées étaient mises à zéro, mais une autre
approche qui aurait pu être utilisée serait d'inverser toutes les valeurs propres mais de limiter les
valeurs de l'inverse des valeurs propres faibles.
Dans certains cas, le seuil pour la valeur du pas d'adaptation du NLMS et du COS-NLMS
permettant la convergence a été trouvé en pratique plus faible qu'en théorie. En effet, dans ces
cas, des divergences survenaient pendant la phase de contrôle, alon qu'un pas d'adaptation de 1.0
(et donc sous la limite théorique de 2.0 pour les deux algorithmes normalisés) était utilisé. La
cause principale de cette divergence pour un pas d'adaptation de 1.0 est attribuée à une
imprécision dans le calcul du signal de référence, qui est obtenu en soustrayant la contribution
estimée des actiomeurs au capteur de référence au signal mesuré par le capteur de référence
(annulation de bouclage). En effet, dans le cas rnulti-canaux (principal cas où le problème de
divergence s'est présenté), l'imprécision peut être plus grande car c'est l'erreur cumulée de
l'estimation de chaque fonction de transfert entre les actionneurs et le capteur de référence qui
sera perçue sur le signal de référence. De plus, dans le cas du COS-NLMS,il est possible que si
trop de valeurs propres ont été inversées dans le calcul de Rd, -IR (alors que certaines valeurs
propres n'auraient pas dû être inversées car elles étaient trop près du niveau de bruit), alors le
seuil du pas d'adaptation maximal assurant la convergence s'en trouve modifié car dans ce cas le
bruit du système est amplifié.
Deux configurations ont été retenues pour les expérimentations : le cas mono-canai (un capteur de
référence, un actionneur et un capteur d'erreur) et le cas 1-2-2 (un capteur de référence, 2
actionneurs et 2 capteun &erreur). C'est le cas 1-2-2 qui apparaît à la figure 5.1. À la figure 5.3, la
performance des 2 algorithmes testés en fonction du nombre d'itérations (et donc en fonction du
temps) est présentée pour le cas mono-canal. Comme auparavant, pour évaluer la performance
des différents algorithmes de contrôle, on calcule le rapport entre l'énergie résiduelle au capteur
d'erreur et l'énergie de la perturbation à éliminer au capteur d'erreur, le tout converti en dB.
O.0
10~0.13
Figure 5.3 :courbes de convergence obtenues lors des expérimentations en mono-canai (1- 1- 1)
On remarque à la figure 5.3 que la vitesse de convergence du COS-NLMSest bien supérieure à
celle du LVS. De plus, l'algorithme NLMS (tout comme l'algorithme LMS) converge
initialement rapidement pour les fréquences qui sont énergétiques dans les signaux de référence
filtrée, pour ensuite converger beaucoup moins rapidement pour les fréquences moins
énergétiques W R O W et coll., 1985 et PAILLARD et coll., 19951. Autrement dit, la courbe de
convergence du NLMS a une pente beaucoup plus élevée dans les premiers instants de
convergence que par la suite. Le nombre d'itérations requises par l'algorithme NLMS pour
atteindre la même performance après convergence que le COS-NLMSserait donc très élevé, plus
élevé encore que ce qui peut être déduit de la figure 5.3 en extrapolant.
La limitation de I'algorithme à une performance de 15 dB d'anénuation est due au nombre limité
de coefficients utilisés pour les fdtres et à la nonsausdité des filtres optimaux de contrôle (dû à
la réverbération du système, et donc aux fonctions de transfert non minimales de phase entre les
actionneurs et les capteurs d'erreur). À la figure 5.4, les courbes de convergence sont présentées
pour le cas 1-2-2, et pour le capteur d'erreur 1. Dans ce cas l'amélioration du COS-NLMS par
rapport au NLMS est encore plus évidente que pour le cas précédent 1- 1- 1. De plus, ce cas prouve
que le principe d'utiliser des techniques dans le domaine des transformées pour accélérer la
convergence de I'algorithme LMS à référence filtrée, tel que présenté auparavant pour le cas
mono-canal seulement WARAYAN et coll., 1983 et PAILLARD et coll., 19951, peut être étendu
au cas multi-canaux.
Figure 5.4 :courbes de convergence obtenues lors des expérimentations en multitanaux ( 1-2-2).
canal 1
La figure 5.5 présente les courbes de convergence au capteur 2 pour le même cas 1-2-2. On
remarque que bien que le COS-NLMSse comporte mieux que le NLMS une fois de plus, le gain
en performance n'apparaît vraiment qu'après 20000 itérations de convergence. Ceci est dû au fait
mentionné quelques paragraphes plus tôt que la vitesse de convergence du NLMS est initialement
assez rapide (convergence dans les zones spectrales énergétiques dans les signaux de référence
filtrée) pour ensuite devenir beaucoup moins rapide (convergence dans les zones spectrales moins
énergétiques dans les signaux de référence filtrée). Rappelons une fois de plus que le gain en
performance obtenu par le COS-NLMS par rapport au NLMS est directement fonction de la
corrélation des signaux de référence filtrée utilisés par l'algorithme LMS. Plus cette corrélation
sera grande, plus le COS-NLMSconvergera plus vite que le NLMS.
Figure 5.5 :courbes de convergence obtenues lors des expérimentations en multi-canaux
canal 2
5.4
Résumé du chapitre
Le système physique réel sur lequel les expérimentations de contrôle actif en temps réel ont été
effectuées a été décrit: il s'agit d'un conduit circulaire. Des problèmes pratiques tels la
propagation des modes supérieurs dans un conduit ou la présence d'une rétroaction entre les
actionneurs et le capteur de référence ont été abordés. Des détails sur les expérimentations qui ont
été effectuées ont également été présentés. Les résultats de contrôle montrent hors de tout doute
que pour des signaux de référence assez corrélés, le COS-NLMSpermet d'obtenir une vitesse de
convergence bien supérieure au NLMS, aussi bien dans le cas monocanal que dans le cas multicanaux.
CONCLUSION
Dans ce travail, un nouvel algorithme de contrôle actif avec fdtres F R pour systèmes
feedfonvards a été développé : le COS-NLMS.Cet algorithme a la même robustesse que le
NLMS (robustesse à une augmentation soudaine du niveau des références), presque la même
faible charge de calcul que le LMS à référence filtrée ou le NLMS, et une vitesse de convergence
quasi-optimale (approchant celie du Newton-LMS). Cet algorithme offie donc une alternative
intéressante aux filtres W car il permet lui aussi une convergence rapide, et en plus la
convergence est bien contrôlée dans ce cas car il s'agit d'un filtre
FR.D'autres algorithmes du
genre existent mais ces algorithmes ont quelques défauts [HAYKIN et coll., 19911:
leur structure est trop complexe pour être décomposée en une tâche de contrôle en
temps réel et une tâche d'optimisation en temps différé (Fast Kalman)
ils exigent plus de calculs et sont applicables surtout au cas monosanal (approches en
treillis).
Des simulations effectuées avec le logiciel LABVIEW ont pemiis de vérifier le gain en vitesse de
convergence obtenu par l'utilisation de l'algorithme COS-NLMS plutôt que I'utilisation des
algorithmes LMS à référence filtrée ou NLMS. Ce gain s'est avéré être très intéressant dans le cas
de signaux de référence filtrée très corrélés. Ensuite, les aigorithmes COS-NLMS et NLMS ont
été m i s en oeuvre en temps réel sur une carte DSP de façon à pouvoir effectuer un contrôle sur
une structure mécanique réelle, soit le contrôle du bruit dans un conduit. Encore une fois, le gain
en vitesse de convergence apporté par le COS-NLMS par rapport au NLMS s'est avéré
intéressant.
Ce travail a donc prouvé que, dans des environnements stationnaires (c'est-à-dire lorsque les
différentes fonctions de transfert présentes dans le système de contrôle actif sont invariantes et
que la source de perturbation est également stationnaire), le COS-NLMS pouvait permettre
d'atteindre une performance donnée plus rapidement que les algorithmes LMS classiques. Parmi
les points qu'il reste à évaluer, il y a l'étude de la performance du COS-NLMS dans des
environnements où les fonctions de transfert sont non-stationnaires ou bien dans des
environnements où les statistiques de la source de perturbation varient en fonction du temps. Le
COS-NLMS devrait permettre une meilleure poursuite ("tracking") que les algorithmes L M S
classiques mais cependant l'estimation de la matrice Rd, (voir l'équation 2.33) devra dans ce cas
être effectuée continuellement, et puisque le calcul d'un estimé valable n'est pas instantané alors
une perte de performance pourrait être observée par rapport au cas stationnaire.
L'applicabilité de l'algorithme COS-NLiMS aux systèmes feedbacks pourrait également être un
point à étudier. En théorie, l'algorithme pourrait être directement utilisable pour les systèmes
feedbacks mais la problématique des systèmes feedbacks est différente de celle des systèmes
feedforwards. En effet, les systèmes feedbacks essaient généralement d'éliminer les composantes
périodiques ainsi que les résonances du système à contrôler, et les algorithmes de type LMS à
référence filtrée sont généralement efficaces pour un tel contrôle.
De plus, la performance des contrôleurs feedbacks provient en partie de leur capacité à identifier
des corrélations à court terme entre le signal de référence filtrée et le signal à éliminer. Donc pour
de tels systèmes, la décomposition du contrôleur en un système de contrôle en temps réel et un
système d'optimisation en temps différé (figure 2.2) n'est pas intéressante, car le délai entre les
mmcations
aux filaes de temps réel est beaucoup plus long dans ce cas, et les corrélations à
court terme ne peuvent alors être contrôlées. A l'opposé, le COS-NLMS est un algorithme
particulièrement intéressant lorsque cette décomposition temps réel - temps différé est possible,
car la partie temps réel du COS-NLMS est strictement identique à celle du LMS à référence
filtrée. Le COS-NLMS deviendrait cependant un algorithme plus lourd que le LMS si
l'optimisation devait être calculée en temps réel.
Néanmoins, dans le cas où la fonction de transfert entre l'actionneur et le point de contrôle est
faible en amplitude aux fréquences qui sont les plus importantes à contrôler (et donc le signal de
référence aura également une composante faible à ces fréquences), alors un algorithme de type
COS-NLMS où la partie contrôle et la partie optimisation seraient calculées en temps réel
pourrait vraisemblablement améliorer les performances d'un système feedback de contrôle actif
par rapport à un système qui utilise l'algorithme LMS à référence filtrée classique.
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