Complément II.3 : Autres démonstrations de la loi fondamentale de l

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Autres démonstrations de la loi fondamentale de l’hydrostatique
Le début des deux premières démonstrations est exactement le même que dans le chapitre
Variables d’état. Mais on part d’une portion de fluide non élémentaire et cependant petite.
Ensuite, seuls les traitements mathématiques diffèrent. Pour la première démonstration on
utilise une dérivée, pour la seconde un développement limité.
La troisième démonstration utilise la formule du gradient.
A. Dérivée et développement limité
1. Forces exercées par le fluide sur une petite partie de fluide
Nous considérons un fluide parfait en équilibre sous l’action de la pesanteur terrestre et en
équilibre thermique. Nous étudions l’équilibre d’une petite partie de ce fluide. Dans le référentiel
terrestre considéré comme galiléen, cette partie est en équilibre mécanique au sein du fluide
sous l’action des forces pressantes exercées par le reste du fluide et de son poids.
Nous donnons à cette partie une forme parallélépipédique. Le reste du fluide exerce sur chacune
de ses six faces une force pressante élémentaire que nous allons calculer dans les paragraphes
suivants.
Figure 1 : la portion de fluide et les forces extérieures qu’elle subit
Sur les deux faces verticales d’abscisses x et x+Δx de même aire ΔyΔz s’exercent deux forces
horizontales F(x) et F(x+Δx). La force F(x) et le vecteur unitaire i sont colinéaires et de même
sens et la force F(x+Δx) leur est colinéaire et de sens contraire.
Sur les deux faces verticales d’abscisses y et y+Δy de même aire ΔxΔz s’exercent deux forces
horizontales F(y) et F(y+Δy). La force F(y) et le vecteur unitaire j sont colinéaires et de même
sens et la force F(y+Δy) leur est colinéaire et de sens contraire.
Sur les deux faces horizontales de cotes z et z+Δz de même aire ΔxΔy s’exercent deux forces
verticales F(z) et F(z+Δz). La force F(z) et le vecteur unitaire k sont colinéaires et de même sens
et la force F(z+Δz) leur est colinéaire et de sens contraire.
x
y
z
O
x
y
z
M(x, y, z)
F(x) F(x+
x)
F(y)
F(y+ y)
F(z+ z)
F(z)
P

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De plus la partie de fluide est soumise à son poids P.
(Habituellement, on représente un vecteur-force avec son origine au point d’application de la
force ; pour préserver la clarté de la figure, cette habitude n’est pas respectée ici, sauf pour le
vecteur-poids.)
2. Equilibre de la petite partie de fluide
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, l’équilibre se traduit par :
( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0
extérieures
iF
ii F x F x x F y F y y F z F z z P
iii F x F x x i F y F y y j F z F z z P k
3. Expression des forces pressantes : Première méthode
a) Exercées par le fluide sur les faces d’abscisses x et x+dx
La pression est fonction du point M donc des trois variables x, y, z. Chaque face étant petite, nous
considérons la pression qu’elle subit comme uniforme sur toute sa surface d’aire ΔyΔz et nous
choisissons p(x, y, z) comme valeur commune pour la face dont les coordonnées sont x, de y à
y+Δy, de z à z+Δz. De même pour l’autre face nous choisissons p(x+Δx, y, z). En appliquant la
relation entre force pressante et pression, nous obtenons :
( ) ( , , )
( ) ( , , )
F x p x y z y z i
F x x p x x y z y z i
Un peu plus loin nous ferons tendre les dimensions de la portion vers 0 et cela effacera toute
interrogation sur la valeur de la pression choisie dans le calcul de la force pressante.
b) Exercées par le fluide sur les faces d’ordonnées y et y+dy
La situation est semblable pour les faces d’ordonnées y et y+Δy :
( ) ( , , )
( ) ( , , )
F y p x y z x z j
F y y p x y y z x z j
c) Exercées par le fluide verticalement
La somme vectorielle des deux forces verticales donne :
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
F z F z z p z x y k p z z x z k
p z z p z x y k
Nous allons diviser cette force par le volume de la partie de fluide pour faire apparaître le taux
d’accroissement de la pression :
1 ( ) ( )
( ) ( ) p z z p z F z F z z k
x y z z

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Et maintenant nous prenons la limite de cette expression quand Δx, Δy et Δz tendent vers 0 :
, , 0
1
lim ( ) ( ) ( )
x y z
dp
F z F z z z k
x y z dz
Ce terme représente la force pressante verticale par unité de volume. La partie de fluide est
devenue un élément de fluide de volume élémentaire dV = dxdydz. La force pressante verticale,
devenue élémentaire, qui s’exerce sur cet élément de fluide vaut :
()
zdp
dF k z dxdydzk
dz
4. Expression des forces pressantes : Deuxième méthode
a) Exercées par le fluide sur les faces d’abscisses x et x+dx
Nous allons reprendre l’expression établie au paragraphe A.3.a :
( ) ( ) ( , , ) ( , , )
( , , ) ( , , )
x
x
F F x F x x p x y z y z i p x x y z y z i
F p x x y z p x y z y z i
Et nous allons faire un développement limité { l’ordre 1 de p(x+Δx, y, z). Rappelons la formule de
Taylor :
0 0 0 0
01
df
f X f X X X X o X X
dX
ordre ordre reste
Rappelons aussi que la notation o (X-X0) signifie que ce terme tend vers 0 plus vite que (X-X0).
Posons x+Δx = X et x = X0 ; alors Δx = X – X0 :
( , , ) ( , , ) , , ( )
, , ( )
x
p
p x x y z p x y z x y z x o x
x
p
F x y z x o x y zi
x
La pression étant une fonction de trois variables la dérivée (appelée dérivée partielle) par
rapport à x se note avec des ∂ (d ronds). Les variables y et z ne varient en fait pas ici donc on se
contente de les répéter.
Nous faisons maintenant tendre Δx, Δy et Δz vers 0. Le reste o(Δx) tend vers 0. La somme
vectorielle des deux forces devient alors une force élémentaire et s’écrit :
( , , )
xp
dF x y z dxdydz i
x

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b) Exercées par le fluide sur les faces d’ordonnées y et y+dy
En procédant comme pour dFx leur somme vectorielle s’écrit :
( , , )
yp
dF x y z dxdydz j
y
c) Expression des forces pressantes verticales
En procédant comme précédemment nous obtenons :
( , , )
zp
dF x y z dxdydzk
z
5. Poids de l’élément de fluide
Il nous faut aussi exprimer le poids élémentaire du parallélépipède de fluide :
dP dmg dxdydz g g dxdydz k
6. Equilibre de l’élément de fluide : Première méthode
a) Projections sur les axes des abscisses et des ordonnées
En projetant orthogonalement l’égalité vectorielle A.2 (iii) sur l’axe des abscisses, nous
obtenons :
( ) ( ) 0
( ) ( )
F x F x x
F x F x x
L’aire des deux surfaces est la même ΔyΔz donc l’égalité des forces entraîne l’égalité des
pressions :
( , , ) ( , , )p x x y z p x y z  
Cette égalité est valable pour toutes les valeurs de x et Δx. Donc la pression ne dépend en fait pas
de l’abscisse x. La situation est semblable pour les faces d’ordonnées y et y+dy. Donc la pression
ne dépend en fait pas de l’ordonnée y. Nous avons donc montré que la pression est uniforme
dans tout plan horizontal. Elle n’est fonction que de la cote z.
b) Projection sur l’axe vertical
Nous projetons l’égalité vectorielle A.2 (iii) orthogonalement sur l’axe des z :
( ) ( ) 0F z F z z P    
En faisant tendre les dimensions de la petite partie de fluide vers 0, la relation d’équilibre de
l’élément fluide projetée sur l’axe des z devient :
, , 0
lim ( ) ( ) 0
0
x y z
z
F z F z z P
dF k dP

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( ) 0
dp z dxdydz gdxdydz
dz
()
()
dp zg
dz
dp z gdz
Nous retrouvons la loi fondamentale de l’hydrostatique.
7. Equilibre de l’élément fluide : Deuxième méthode
Dans le référentiel terrestre considéré comme galiléen, l’équilibre se traduit par :
( , , ) ( , , ) ( , , ) 0
( , , ) ( , , ) ( , , ) 0
p p p
x y z i x y z j x y z k gk dxdydz
x y z
p p p
x y z i x y z j x y z g k
x y z
Nous projetons cette dernière égalité vectorielle orthogonalement sur les trois axes :
(1) ( , , ) 0
(2) ( , , ) 0
(3) ( , , ) 0
px y z
x
px y z gradp g
y
px y z g
z
La première équation établit que la pression dans un fluide parfait en équilibre sous l’action du
champ de pesanteur terrestre ne dépend pas de l’abscisse x. (Par rapport { l’abscisse x, la
pression p est une constante car cette dérivée est nulle.) La deuxième établit de même que la
pression ne dépend pas de l’ordonnée y. C’est-à-dire que la pression est uniforme dans chaque
plan horizontal.
La pression est donc fonction d’une seule variable, la cote z. La dérivée partielle par rapport à z
est en fait une simple dérivée. Nous retrouvons la loi fondamentale de l’hydrostatique :
()
dp zg
dz
()dp z gdz