PSI samedi, 21 Janvier 2017 2016/2017 DEVOIR SURVEILLE DE

PSI
2016/2017
samedi, 21 Janvier 2017
DEVOIR SURVEILLE DE PHYSIQUE N° 4
8h00 – 12h00
4 heures
Calculatrices autorisées
NB: Le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la
rédaction.
Toutes les interprétations physiques seront comptabilisées
Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d'énoncé, il le signalera
sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il a été
amené à prendre.
***
Le devoir se compose de trois problèmes
Premier problème : Dosage du pentaoxyde d’azote dans l’atmosphère (25% du barême)
Dans l’atmosphère, le dioxyde d’azote NO2 entre dans une chaine de plusieurs réactions menant à
la fabrication d’ozone O3, gaz toxique. On obtient par ailleurs de nombreux produits dérivés et
notamment du pentaoxyde de diazote N2O5. En atmosphère humide, N2O5 réagit au cours d’un
mécanisme non détaillé ici mais dont le bilan est le suivant :
N2O5 (g) + H2O(liq) → 2 NO3- (aq) + 2 H+ (aq)
On obtient donc une solution aqueuse d’acide nitrique. Cette réaction atmosphérique (supposée
totale) amplifiée par les polluants issus des pots d’échappement contribue au phénomène des
pluies acides.
On souhaite ici utiliser cette réaction pour déterminer la concentration en N2O5 (g) présent dans les
gaz d’échappement d’un moteur thermique d’un groupe électrogène alimenté avec du gazole. Pour
cela, on fait barboter 1 m3 de gaz d’échappement dans un 1L d’eau. On admet que la totalité des
nitrates NO3- se retrouve en solution aqueuse acide. On souhaite alors doser les nitrates NO3- (aq)
suivant le protocole décrit en ANNEXE 1.
1. Dans le cadre d’un diagramme potentiel-pH, déterminer l’équation de la droite donnant les
variations du potentiel du couple NO3-(aq) / NO2-(aq) en fonction du pH. On prendra [NO3-(aq) ] =
[NO2-(aq)] comme convention de frontière.
2. Calculer le coefficient directeur de la frontière oblique séparant les domaines  et  du
diagramme potentiel – pH simplifié du Cadmium.
3. En utilisant le document-réponse (en fin de sujet en ANNEXE 2 et à rendre avec la copie),
justifier graphiquement que la réaction entre le cadmium métallique et les ions nitrate est
quantitative.
Ecrire l’équation de la transformation chimique correspondante, en milieu acide.
4. Pourquoi a-t-on choisi une longueur d’onde de 540 nm ?
5. La loi de Beer-Lambert est-elle vérifiée au cours du protocole réalisé ?
6. Déterminer la concentration massique en acide nitrique initialement présent dans la solution S0.
En déduire la concentration massique initiale en N2O5
d’échappement).
(exprimée en mg par m3 de gaz
Deuxième problème :
Paramètres électriques d’une bobine et courants de Foucault (25% du barême)
On considère une bobine d’axe z, sans noyau, d’inductance propre LH et de résistance
électrique RΩ, parcourue par un courant électrique ie(t) = Ieff√2 cos(ωt) . On note Hb la longueur de
cette bobine. Il règne alors dans cette bobine un champ magnétique : B  B(t )u z  µo nie (t )u z , où n
est le nombre de spires par unité de longueur de la bobine et µo la perméabilité magnétique du vide.
On place intégralement à l’intérieur de cette bobine un tube métallique de même axe z que la
bobine représentée à la figure 5. On note Rt son rayon moyen, e son épaisseur supposée très fine
devant le rayon Rt et Ht sa longueur supposée inférieure à celle de la bobine (Ht < Hb).
Ce conducteur métallique est caractérisé par sa conductivité électrique γ. D’un point de vue
magnétique, il est ici assimilé à du vide.
On négligera les effets de bord. Le repère utilisé sera celui des coordonnées cylindriques (r,
θ, z) de base : (u r , u , u z ) .
1. Expliquez pourquoi des courants électriques prennent naissance dans le tube conducteur.
Les lignes de courants induits sont-elles colinéaires à u r , à u ou à u z ?
2. On note j e la densité volumique de courant associée à ces courants induits, aussi appelés
courants de Foucault.
Préciser l’unité de j e .
Rappeler l’expression de l’équation de Maxwell-Faraday.
Par un calcul de circulation sur un contour qu’on définira, déterminer l’expression du champ
électrique induit dans le tube en fonction de B(t) et de r.
En déduire l’expression de j e en fonction de γ , B(t) et de r.
3. Le tube conducteur est suffisamment fin pour considérer que r = Rt dans tout le tube.
Déterminer en fonction des paramètres géométriques du tube, du champ magnétique B(t) et de la
conductivité électrique γ, la puissance instantanée P(t)c.f. dissipée par les courants de Foucault.
En déduire que la puissance moyenne Pc.f ., dissipée par les courants de Foucault dans le tube, est de
la forme Pc.f. = C2.Ieff2. Préciser l’expression de C en fonction de µo, γ, n et des caractéristiques
géométriques du tube.
On note R’Ω la résistance apparente de la bobine en présence du tube conducteur.
Donner l’expression de R’Ω puis comparer simplement R’Ω et RΩ .
4. Dans le cas où le tube conducteur présente une fissure orthoradiale parallèle au plan
(u r , u ) (figure 6a), la distribution des courants de Foucault est-elle modifiée ? Qu’en est-il pour la
puissance Pc.f . ?
Dans le cas où le tube conducteur présente une fissure axiale parallèle à l’axe z’z, (figure 6b), la
distribution des courants de Foucault est-elle modifiée ? Qu’en est-il pour la puissance Pc.f . ?
5. Rappeler la loi de Lenz. La présence de courants de Foucault modifie-t-elle l’inductance
apparente L’H de la bobine ? Si oui, comparer simplement L’H et LH .
Troisième problème :
Suspension magnétorhéologique (50% du barême)
La suspension sur un véhicule est le terme donné au système composé des ressorts, des
amortisseurs et des liaisons mécaniques qui connectent le châssis du véhicule aux roues. Dans une
suspension, l’amortisseur joue un rôle central en répondant à un double objectif : il contraint
l’élasticité du ressort de suspension et limite ainsi les mouvements oscillatoires du véhicule ; il
freine le rebond des roues sur les obstacles et maintient celles-ci en contact avec le sol. La
modification continue de l’état de la route et des exigences sur la tenue en virage oblige à modifier
les caractéristiques de réponses des suspensions. C’est le cas de cette suspension qui est capable de
faire varier la raideur de l’asservissement roue par roue. Pour contenir les mouvements de caisse et
préserver le confort sur chaussée dégradée, la vitesse de déplacement de la suspension devra être
très précise. Ce sujet concerne donc la caractérisation d’un nouveau type de suspension utilisant un
fluide magné- torhéologique et son asservissement. Les exigences désirées par les constructeurs
l’utilisant (Audi, Ferrari,...) sont fournies et représentées dans le tableau 1.
La suspension magnétorhéologique (MR), ou MagneRide (dénomination commerciale), fait
appel à des amortisseurs à orifices fixes et fluide magnétorhéologique. En cas de besoin de
raidissement, les bobines électriques à la périphérie de l’orifice sont alimentées en courant, ce qui
provoque l’attraction des particules souples magnétisées en suspension dans le fluide et augmente la
résistance à l’écoulement.
Pour caractériser les paramètres de cette suspension, une suspension MR de taille réduite
sera montée sur un banc d’essai et sollicitée. On étudie une modélisation de l’influence du caractère
ferromagnétique du fluide, puis une modélisation du circuit magnétique de l’amortisseur.
Description de l’amortisseur à fluide magnétorhéologique :
L’amortisseur exerce sur la roue une force d’amortissement de la forme F = − αV où V est la
vitesse de la roue perpendiculairement à la route. L’amortisseur est constitué d’un fluide enfermé
dans un cylindre de révolution d’axe ( Oz ). À l’intérieur de ce cylindre se trouve un piston, de
même diamètre que le cylindre, percé d’une valve. On suppose que le piston coulisse sans
frottements à l’intérieur du cylindre.
Le fluide enfermé dans le cylindre est ici huile. Lorsque le véhicule roule sur une
anfractuosité de la route, le piston se déplace dans le cylindre et le fluide passe d’un côté à l’autre
du piston en s’écoulant par la valve.
Le corps du piston est constitué d’un matériau ferromagnétique doux (acier) et d’une bobine
parcourue par un courant électrique d’intensité i. Le tout forme un circuit magnétique dont la valve
est l’entrefer.
Données et notations utilisées
Les données ci-dessous sont celles de l’amortisseur de taille réduite utilisé pour réaliser les expériences :
– perméabilité magnétique relative de l’acier : µ1≈ 5 000 ;
– perméabilité magnétique relative de l’huile MR : µ2 ≈ 2,5 ;
– rayon du piston (S p sa surface) : rp = 10 mm ;
– rayon interne de la valve : r1 = 7,0 mm ;
– rayon externe de la valve : r2 = 8,0 mm;
– rayon moyen de la valve : rm ;
– circonférence moyenne de la valve : w = 2πrm ;
– épaisseur de la valve : e = 1,0 mm ;
– longueur du piston : L = 20 mm ;
– vitesse caractéristique de déplacement du piston : 0 < V0 < 100 mm.s−1 ;
– intensité du courant électrique circulant dans la bobine : i ;
– nombre de spires (jointives) de la bobine : N ;
– rayon interne de la bobine : ro = 3,0 mm ;
– hauteur de l’entrefer : h = 1,0 mm
Sur les figure 5.(b) et figure 5.(c) et dans toutes les suivantes, le fluide circule dans la partie
annulaire en gris foncé.
Influence du caractère ferromagnétique du fluide
Objectif : Caractériser le facteur d’amortissement α de l’amortisseur.
Le fluide magnétorhéologique est une suspension colloïdale de particules ferromagnétiques
(typiquement du fer) d’un diamètre compris entre 0,1 µm et 10 µm. Les particules ferromagnétiques
s’organisent sous forme d’agrégats sous l’action d’un champ magnétique et altèrent les propriétés
du fluide qui semble changer de viscosité d’un point de vue macroscopique. Sous l’action d’un
champ magnétique, les particules ferromagnétiques s’organisent sous forme de chaînes selon la
direction du champ magnétique B (figure 7). Le mécanisme de formation des agrégats lors de
l’application d’un champ magnétique est représenté figure 8
Q1. En présence d’un champ magnétique, expliquer qualitativement la formation des
agrégats de particules ferromagnétiques (figure 8).
Q2. En considérant la figure 9, sur quelle plage de vitesse peut-on considérer que
l’amortisseur exerce sur la roue une force d’amortissement de la forme F   ( H )V ? Est-ce
acceptable?
Q3. Le temps de formation caractéristique des agrégats est de 3 ms. Ce temps de réponse
est-il acceptable?
Modélisation du circuit magnétique et du circuit électrique de la bobine
Objectif Modéliser le circuit magnétique et le circuit électrique permettant de contrôler α.
Vérifier que le temps de réponse du système est en accord avec le cahier des charges.
Le circuit magnétique du piston est représenté figure 10. On supposera que l’acier et le
fluide MR sont des milieux ferromagnétiques doux. Le vecteur excitation magnétique est noté H et
on suppose que le circuit magnétique canalise la totalité des lignes de champ magnétique. On
négligera les pertes fer dans l’acier.
Q4. Rappeler les équations de Maxwell-Ampère et de Maxwell-Thomson.
Q5. Définir ce qu’est l’approximation des régimes quasi-stationnaires (ARQS) et simplifier
l’équation de Maxwell-Ampère dans ce cadre.
On se place maintenant et pour toute la suite dans le cadre de l’ARQS.
Q6. Retrouver le théorème d’Ampère à partir de l’équation de Maxwell-Ampère.
On considère un solénoïde infiniment long de section circulaire de rayon δ, comportant n spires
jointives par unité de longueur régulièrement réparties et parcourues par un courant d’intensité i.
Q7. Établir l’expression du champ magnétique créé par ce solénoïde infini en admettant que
le champ extérieur est nul.
Q8. Que pouvez-vous dire des lignes de champ magnétique dans le cas d’un solénoïde
infini?
Q9. Dessiner l’allure des lignes de champ magnétique dans le cas d’un solénoïde de
longueur finie. Rappeler le lien entre l’équation de Maxwell-Thomson et l’allure des lignes de
champ que vous venez de tracer.
Q10. Dans le cas du solénoïde infini, exprimer le flux magnétique ϕ à travers une spire.
Q11. On note Nt le nombre total de spires et l la longueur du solénoïde. Exprimer, toujours
en considérant le solénoïde comme infini, le flux propre Φp à travers les Nt spires. En déduire
l’expression de l’inductance propre Lp de ce solénoïde.
On considère que le vecteur excitation magnétique et le champ magnétique sont uniformes au
niveau de la bobine et dans l’entrefer. On note :
H 1  H 1 u z et B1  B1 u z au niveau de la bobine ;
H 3  H 3 u r et B3  B3 u r entre E et D (entrefer).
Q12. Au vu de ce qui précède, justifier cette modélisation.
Q13. Rappeler la relation entre B et H pour un milieu ferromagnétique doux.
Q14. Donner la relation liant B3, B1, la section S1 = πro2 de la partie interne du piston, le
rayon moyen rm de l’entrefer et la hauteur h de l’entrefer. Une vue en coupe transversale du piston
est représentée figure 11.
Q15. Évaluer la norme du champ magnétique le long du contour C, représenté sur la figure
10. En déduire que la circulation de H sur le contour C, vérifie :
Q16. Appliquer le théorème d’Ampère au contour C. En déduire qu’une modification de
l’intensité du courant circulant dans la bobine permet de modifier le facteur d’amortissement α de
l’amortisseur.
Q17. Montrer que l’inductance propre L’ de la bobine vérifie, en présence du fluide,
L’= µ2L0 où L0 est l’inductance propre de la bobine en absence de fluide (µ2 = 1).
Q18. Proposer une modélisation pour la bobine réelle en justifiant l’origine physique des
composants idéaux qui la composent, à savoir une inductance L’ et une résistance Rb. Faire un
schéma électrique équivalent de la bobine réelle.
Q19. On soumet la bobine à un échelon de tension : Ue(t) = E pour t > 0. Établir l’équation
différentielle vérifiée par l’intensité i(t) du courant électrique circulant dans la bobine. Donner
l’expression du temps caractéristique d’évolution de l’intensité du courant circulant dans la bobine.
Q20. Sachant que Rb = 1,7 Ω, vérifier la cohérence des résultats expérimentaux (figure 12)
avec l’expression de L trouvée question Q17.
Q21. Conclure sur la possibilité d’adapter en “temps réel” le facteur d’amortissement d’un
amortisseur à fluide magnétorhéologique.
ANNEXE 1 :
Eléments chimiques :
Elément
Masse molaire
atomique (g.mol-1)
H
C
N
O
1,0
12,0
14,0
16,0
Dosage des nitrates NO3- (aq) dans une solution acide.
La solution S0 à doser a un volume d’un litre et a été obtenue en faisant barboter 1 m 3 de gaz de
pot d’échappement.
 Mode opératoire :
1) Faire passer la totalité de la solution S0 dans une colonne à chromatographie contenant des
grains de Cadmium métallique Cd.
2) Prélever précisément 50 mL du filtrat et les placer dans une fiole jaugée de 100 mL. Ajouter
précisément 1 mL de solution de réactif R0 fournie par le labo. La solution se colore en rose.
Compléter au trait de jauge.
A partir d’une solution mère (appelée S1) acide et contenant des ions nitrates de concentration
connue, on a fabriqué (au laboratoire) plusieurs solutions filles par dilution successives
auxquelles on a appliqué le même protocole expérimental. Elles sont nommées S2, S3, S4 et
S5.
3) Régler le spectrophotomètre sur la longueur d’onde égale à 540 nm puis faire « le blanc » à
l’eau distillée. Mesurer l’absorbance des solutions traitées à partir de S1, S2, S3, S4, S5 et S0.
 Tableau des résultats :
Solution
Concentration
massique initiale
en nitrate (mg/L)
Absorbance A
Eau
distillée
S5
S4
S3
S2
S1
S0
0
0,20
0,40
0,60
0,80
1,00
?
0,000
0,127
0,254
0,382
0,509
0,636
0,231
 Documents et données complémentaires :
 Potentiel standard du couple NO3- / NO2- :
E° = 0,94 V
 Allure du diagramme potentiel-pH
simplifié du Cadmium
E(V)
 Réaction entre les nitrites NO2-(aq) et R0 :
NO2-(aq)
+ R0  P0
 Cd2+
Réaction totale et mole à mole
R0 et P0 sont des espèces non explicitées
(formules non utiles)
P0 est la seule espèce absorbante : elle est
colorée en rose
-0,46
 Cd
8,1
11,3

Cd(OH)2
pH

HCdO2-
Nom :
ANNEXE 2 :
Document-réponse, à compléter et à rendre avec la copie