Courants électriques (v7.0)

14
Courants électriques
v 7
1
Les courants
Courant continu: CC (UK: DC = Direct Current)
Courant alternatif: CA (UK: AC)
dq
I(t) = (t)
dt
G
C
I
unité: Ampère A
1 A = 1 C / s
Convention: le courant va du + au -
€
G=Générateur
C=Charge
I=Ampèremètre
Au niveau microscopique, le courant est dû au mouvement moyen
des charges libres (dans un conducteur: les e-).
2
Courant continu
dL
A
Segment de fil de section A, longueur dL.
On a n électrons de conduction (libres)
par unité de volume.
La vitesse de dérive moyenne est v
Volume du segment de fil
Nombre d'électrons dans dV
la charge correspondante est
Temps pour traverser dL
dV = A dL
dN = n dV = n (A dL)
dQ = e dN
dt = dL / v
Le courant vaut dQ enAdL
I=
=
= enAv
dt
dL /v
charge de
l'électron
3
Vitesse de dérive des électrons
I
v=
enA
dQ enAdL
I=
=
= enAv
dt
dL /v
Exemple: fil de Cu de 1 mm de rayon parcouru
par un courant I = 10 A
€ masse atomique Cu: 64 uma, masse volumique ρ = 8900 kg/m3 .
€
On suppose 1 e- de conduction/atome.
n = nombre de charges de conduction/V ≈ Natomes/V
Masse d'un atome = m = 64 x 1.66 10-27 kg = 1.06 10-25 kg
m n = m (Natomes/V) = (m Natomes)/V = ρ donc: n = ρ /m =8900/(1.06 10-25)= 8.38 1028 m-3
v=
10 C /s
−3 2
1.6 10 C × 8.38 10 m × π(10
−19
28
−3
)m
2
= 2.310−4 m/s
v ~ 1 m/h !!
4
Vitesse de dérive des électrons .2
Dans un câble, les signaux se propagent à des vitesses
comparables à celle de la lumière.
Nous avons calculé une vitesse de dérive de l'ordre de 1 m/
heure.
Cela signifie que la vitesse de propagation des signaux
électriques est due à un processus similaire aux ondes de
pression dans les fluides.
A suivre...
5
Résistance électrique
TV set 1932
I
G
R
V
Les dispositifs qui suivent
la loi d'Ohm:
V = R I
sont dit "ohmiques"
unité de la résistance: le Ohm (Ω)
R = 1 Ω quand à I=1 A correspond une différence de potentiel V=1 V
6
Résistance électrique .2
Les contre-exemples,
c.a.d.
les dispositifs non ohmiques:
- beaucoup de circuits compliqués (ex une radio) car il
y a des éléments non-linéaires à l'intérieur (transistors,...)
- les lampes néon (tension d'allumage à ~ 80 V)
- l'air a une résistivité énorme, mais on peut générer
des étincelles → foudre: la résistivité tombe rapidement
-
... definition: voir page 8
7
Résistance .3
La R d'un conducteur dépend de sa géométrie et de sa
composition et aussi de sa température.
On a normalement:
L
R=ρ
A
A
L
La constante de proportionnalité
ρ est la résistivité en Ωm
€
Son inverse est la conductivité σ = 1 / ρ
8
Résistance .4
Résistivité ρ en (ohm mètre)
Ag
Cu
Al
1.47 10-8
1.72 10-8
2.63 10-8
Si
2300
Verre
> 1010
Les fluides physiologiques ont une ρ de l'ordre de 0.1 Ωm 9
Résistance .5
V
circuit série
I
R1
R = R1 + R2
R2
R1 R2
circuit parallèle
I
1 ⎛ 1
1 ⎞
= ⎜ + ⎟
R ⎝ R1 R 2 ⎠
V
€
10
La puissance
La charge dQ = I dt qui
traverse le circuit dans le
temps dt subit un changement
d'énergie potentielle
dU = V dQ = V I dt
I
élément de
circuit
V
I
En égalisant au travail, on a
dW = dU = V I dt
et la puissance instantanée est
P = dW/dt = VI
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La puissance .2
Dans le cas d'une résistance R, l'énergie fournie par le générateur
est dissipée sous forme de chaleur.
Si l'on connaît R, on peut déterminer la puissance reçue
et dissipée par R, par la loi d'Ohm:
P = VI = (RI)I = RI2 P = VI = V(V/R) = V2/R Dans le cas d'un générateur, c'est celui-ci qui fournit
la puissance. Une pile de 1.5 V qui fournit 1 A à un dispositif
doit pouvoir travailler à P = VI = 1.5 x 1 = 1.5 W.
12
Voltmètres et Ampèremètres
I
G
R
V
La mesure de V et I se fait par des dispositifs électriques ou
électroniques qui doivent perturber de façon minime le circuit.
Idéalement, l'ampèremètre doit avoir une résistance RA = 0
et le voltmètre RV = infini. Sinon, la situation réelle est donnée
par le circuit équivalent:
I
RA
RV
R
V
où I et V sont maintenant des dispositifs "idéaux".
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Les instruments
Pour mesurer un courant électrique, on utilise les "ampèremètres"
Ampèremètre à cadran mobile (1932)
Multimètre digital
14
Les instruments
.2
Un ampèremètre est constitué par une résistance Rs de faible
valeur (shunt) et un "galvanomètre" G qui permet de mesurer les
faibles courants. Le galvanomètre classique (non digital) utilise la force
électromagnétique pour dévier une aiguille d'un angle
proportionnel au courant Ig qui le traverse. La résistance interne
de G (Rg) est de l'ordre de centaines ou milliers de Ω.
A
≡
Rg
Ig
G
I-Ig
Rs
I
Rs = RgIg/(I-Ig)
La résistance interne totale de l'instrument vaut R=(1/Rg + 1/Rs)-1
15
Les instruments
.3
Pour mesurer une tension électrique, on utilise les "voltmètres".
Il s'agit de soustraire au circuit un petite courant Iv, de la mesurer
avec un galvanomètre et de tirer V par la loi d'Ohm.
Iv
V = (Rs+Rg)Iv = RvIv
Rs
V
circuit
à mesurer
G
voltmètre
Rg
Pour que Iv soit négligeable,
il faut que Rv soit grand.
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Les instruments
.4
Les instruments électroniques modernes remplacent les
galvanomètres classiques par des systèmes à transistors
à faible bruit et très grande résistance d'entrée.
La lecture se fait par des échelles à lecture digitale.
P. ex, les voltmètres peuvent avoir une résistance d'entrée de
l'ordre du MΩ ou plus. 17
Théorie microscopique de la résistance
Le courant dans un conducteur est dû au mouvement moyen
des électrons qui se déplacent entre les atomes.
En l'absence de champ électrique, le mouvement est
"thermique" avec vitesse moyenne u qui dépend de la
température u = u (T).
Les e- font fréquemment des collisions sur les
atomes, avec un libre parcours moyen indiqué par λ.
y
λ
En présence d'un champ E,
donc d'une force électrique,
les trajectoires sont légèrement
modifiées, ce qui, macroscopiquement,
produit un courant.
x
E
δx
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Théorie microscopique de la résistance .2
On applique une différence de potentiel V aux extrémités d'un
fil de longueur L. On suppose le champ uniforme le long du fil:
E = V/L
E
V
L'accélération sur un e- vaut a = F/m = eE/m = eV/Lm
Si δt est le temps moyen entre deux collisions, la vitesse v de dérive moyenne vaut:
v = (0 + a δt)/2 = a δt / 2
On peut estimer δt = λ/u, où u est la vitesse
thermique moyenne et λ le libre parcours moyen.
Donc, la vitesse de dérive vaut:
eV 1 λ
v=
Lm 2 u
19
Théorie microscopique de la résistance .3
Si le fil a une section A et qu'il y a n e- par m3, le courant
I vaut:
eV 1 λ
1 e2 λ
I = envA = en
A= n
AV
Lm 2 u
2 Lm u
On a donc la proportionnalité I-V, comme indiqué par la loi
d'Ohm.
€
2Lmu
V = RI ⇒ R = 2
ne λA
et
€
2mu
R = ρL /A ⇒ ρ = 2
ne λ
20
€
Théorie microscopique de la résistance .4
Notre prédiction sur la résistivité 2mu
ρ= 2
ne λ
indique que le passage du courant est favorisé quand il y a
beaucoup d'e- libres, c. à d. n €
grand.
Idem pour le libre parcours moyen λ.
De plus, l'augmentation de la température augmente la résistivité
car u augmente. De plus l'agitation thermique du réseau diminue λ,
ce qui augmente aussi la fréquence des chocs.
21
Circuits RC
Ce sont des circuits avec résistances et condensateurs.
I
+
Vg
-
R
C
Au moment où l'interrupteur I
est fermé, un courant circule à
travers R pour amener des
charges sur le condensateur C.
Le courant s'arrête quand la capacité C est chargée à un voltage
qui est égal à celui de la batterie:
R
C
+
+
Si C était initialement
V=Vg
Vg
-
-
déchargé, la quantité de
situation à t=∞
charge à apporter sera Q = CVg au total.
22
Circuits RC .2
A un temps t quelconque, on a la situation suivante:
VR
R
C
Vg
+
+
-
-
VC
supposé
constante
I
I, VR et VC sont des fonctions de t et on a VR(t) + VC (t) = Vg d'où on tire:
Q(t)
Vg = RI(t) +
C
où Q(t) est la charge
accumulée dans C
Un changement dQ de la charge dans C, en un temps dt, est dû à
un courant I(t) = dQ/dt, d'où l'équation différentielle:
dQ Q
€
Vg = R
+
dt C
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Circuits RC .3
Q
dQ
+R
− Vg = 0
C
dt
la solution est du type €
Q dQ Vg
+
−
=0
RC dt R
Q(t) = ae bt + k
dQ /dt = abe bt
d'où
on remplace
€
€
on égalise les termes qui
ne dépendent pas de t:
€
... et les termes qui
dépendent de t:
€
a, b, k constantes
à déterminer Vg
a bt
k
bt
e +
+ abe −
=0
RC
RC
R
k Vg
−
= 0 ⇒ k = CVg
RC R
a bt
1
bt
e + abe = 0 ⇒ b = −
RC
RC
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Circuits RC .4
Q(t) = ae−t / RC + CVg
Conditions limites:
pour€ t = 0 la charge doit être nulle Q(0) = ae−0 / RC + CVg = a + CVg = 0 ⇒ a = −CVg
En conclusion:
Q(t) = CVg (1− e−t / RC )
€
On a bien Q(t=infini)= CVg
€
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Circuits RC .5
La charge dans C au cours du temps
vaut donc:
On peut aussi tirer I(t)=dQ/dt
Q(t) = CVg (1− e−t / RC )
Vg −t / RC
I(t) = e
= I 0e−t / RC
R
€
ici I0 représente le courant au temps t=0
Q(t)
CVg
Exemple C=1
€ R=3
Vg=2,
I(t)
Vg/R
t
t
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