modes stationnaires résultant de la discrétisation

VIRGILE ROSTAND
MODES STATIONNAIRES R´ ESULTANT DE LA
DISCR´ ETISATION DES ´ EQUATIONS DE
SAINT-VENANT
M´emoire pr´esent´e
`a la Facult´e des ´etudes sup´erieures de l’Universit´e Laval
dans le cadre du programme de maˆıtrise en math´ematiques
pour l’obtention du grade de maˆıtre `es sciences (M. Sc.)
FACULT´ E DES SCIENCES ET G´ ENIE
UNIVERSIT´ E LAVAL
NOVEMBRE 2004
c
Virgile Rostand, 2004

R´ ESUM´ E
La mod´elisation des ´ecoulements en milieux naturels tels que les rivi`eres, les lacs et
les oc´eans, fait souvent intervenir un syst`eme d’´equations aux d´eriv´ees partielles dit de
Saint-Venant. La plupart des m´ethodes num´eriques utilis´ees pour r´esoudre les ´equations
de Saint-Venant g´en`erent des modes purement num´eriques en approximant les ondes
de type inertie-gravit´e. Les modes parasites les plus dangereux sont les modes station-
naires. Ils conduisent g´en´eralement `a des solutions erron´ees.
Ce travail propose une ´etude des modes stationnaires r´esultants de la discr´etisation des
´equations de Saint-Venant par des m´ethodes aux diff´erences finies et d’´el´ements finis.
Nous privil´egions une approche de type alg`ebre lin´eaire au lieu de celle de type Fourier
largement utilis´ee. Nous introduisons une nouvelle nomenclature des modes parasites
qui d´epasse largement celle utilis´ee jusqu’`a pr´esent et g´en´eralement restreinte aux seuls
modes parasites pression. Enfin l’approche de type alg`ebre lin´eaire utilis´ee ici nous per-
met de tirer quelques conclusions pr´eliminaires quant `a la manifestation des modes
parasites sur des maillages non structur´es.

AVANT-PROPOS
Je tiens `a remercier tous les gens qui de pr`es ou de loin m’ont aider `a ´ecrire ce pr´esent
m´emoire. En particulier ;
Mon directeur de recherche, le professeur Daniel Y. Le Roux, pour sa grande disponi-
bilit´e, son appui financier et ses conseils pertinents clairs et pr´ecis. Avant le directeur,
c’est d’abord un collaborateur !
Mon fr`ere J´er´emie pour m’avoir donn´e le goˆut des math´ematiques et de l’informatique
d`es mon plus jeune ˆage.
Mes parents Sylvie et L´eonard pour leur amour et leur soutient mat´eriel. Avec vous je
n’ai jamais manqu´e de rien et ce dans toutes les situations. Un grand merci !
Mon amie de coeur, Karine, pour ses encouragements et sa gentillesse.
Finalement, les Fonds Qu´eb´ecois de Recherche sur la Nature et les Technologies (FQRNT)
pour une bourse de maˆıtrise en recherche. Cette bourse m’a permis de me consacrer
enti`erement `a mon programme d’´etude afin d’y donner mon maximum.

TABLE DES MATI`
ERES
R´esum´e ii
Avant-propos iii
Table des mati`eres iv
Table des figures vi
Liste des tableaux viii
Liste des symboles x
0. Introduction 1
1. Le mod`ele math´ematique 3
1.1 Les ´equations d’un fluide en mouvement sur une sph`ere en rotation . . . 3
1.2 Incompressibilit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.3 Rep`ere cart´esien en rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.4 Simplification du terme de Coriolis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.5 Passage au mod`ele bidimensionnel, les ´equations de Saint-Venant . . . . 7
1.6 Les ´equations de Saint-Venant lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.7 L’analyse de dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.8 Discr´etisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.9 Rotationnels stationnaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2. Les m´ethodes aux diff´erences finies 16
2.1 Les grilles d’Arakawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Notation quant aux sch´emas de diff´erences finies . . . . . . . . . . 16
2.1.2 La grille A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.1.3 La grille B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.1.4 La grille C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.1.5 La grille D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.6 La grille E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.2 La grille C-D d’Adcroft et al. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.3 Comparaisons entre les m´ethodes aux diff´erences finies . . . . . . . . . . 36

Table des mati`eres v
3. Les m´ethodes d’´el´ements finis 38
3.1 Formulation faible des ´equations de Saint-Venant . . . . . . . . . . . . . 39
3.2 Les paires d’´el´ements finis mixtes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.1 La paire P1−P1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
3.2.2 La paire MINI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.3 La paire P2−P1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.2.4 La paire P1−P0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.5 La paire PNC
1−P1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
3.2.6 La paire RT0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.3 Comparaisons entre les m´ethodes d’´el´ements finis . . . . . . . . . . . . . 56
4. Notes sur les mini-rotationnels et les autres modes stationnaires 58
4.1 Tableaux comparatifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
4.2 Lien entre les mini-rotationnels et les rotationnels stationnaires . . . . . . 60
5. La viscosit´e et les maillages non-structur´es 61
5.1 La viscosit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
5.2 Les maillages non-structur´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
6. Conclusion 67
Bibliographie 69
A. R´esultats num´eriques 71