Chapitre 5 Condensateurs et diélectriques Objectif intermédiaire 3.1 Connaître les caractéristiques électriques d'un condensateur, les groupements de condensateurs et la façon dont la d.d.p., la charge et l'énergie électrique se distribuent entre eux. Capacité +Q La capacité est la caractéristique électrique d'un condensateur. Un condensateur est un élément de circuit électrique. Un condensateur plan est simplement constitué de deux armatures planes et parallèles en métal. Les armatures sont séparées par un espace isolant. C V E -Q Lorsqu'une différence de potentielle (d.d.p.) est appliquée aux bornes d'un condensateur, des charges s'accumulent sur les deux armatures en quantités égales mais avec leur polarité opposée. La différence de potentielle (d.d.p.) est l’équivalent de la variation de potentiel du chapitre précédent. De plus, le symbole ∆V employé au chapitre précédent est dorénavant remplacé par V . La capacité du condensateur se calcule avec C= où et C Q V Q V est la capacité du condensateur en farads, est la charge accumulée sur les armatures en coulombs est la d.d.p. entre les armatures en volts. Un champ électrique est produit par les charges présentes sur les armatures du condensateur. Le champ électrique dans le condensateur plan (rempli d'air) est E= où et E σ σ Q = ε0 ε0 A Q est le champ électrique en volts par mètre, est la densité superficielle de charge en coulomb par mètre carré, est la charge accumulée sur les armatures en coulombs, ε0 est la permittivité du vide (8,85⋅10-12 C2/(N⋅m2)) A est la surface des armatures en mètres carrés. Il y a une relation directe reliant le champ électrique (uniforme) entre les armatures et la d.d.p. aux bornes du condensateur plan; soit Chapitre 5: Condensateurs Page C5-2 E= où et E V d V d est le champ électrique en volts par mètre, est la d.d.p. entre les armatures en volts est la distance entre les armatures du condensateur en mètres. On peut montrer que la capacité d'un condensateur plan (rempli d'air) dépend principalement de ses dimensions. D'après les équations précédentes, on a Qd Q V = E d = d = ε0 A ε0 A Q Q ε A = 0 ⇒ C= = V d Qd ε0 A où et C E A V E d Q est la d.d.p. entre les armatures en volts, est le champ électrique en volts par mètre, est la distance entre les armatures du condensateur en mètres, est la charge accumulée sur les armatures en coulombs, ε0 est la permittivité du vide (8,85⋅10-12 C2/(N⋅m2)), A C est la surface des armatures en mètres carrés est la capacité du condensateur en farads. Attention: d L'expression de la capacité d'un condensateur dépend des dimensions, de la géométrie du condensateur et de la nature du matériau se trouvant entre les armatures. L'expression précédente est valide pour un condensateur plan dont les armatures sont planes, identiques, alignées et parallèles. On retiendra simplement que C0 = où et ε0 A d C0 est la capacité du condensateur plan rempli d'air en farads, ε0 est la permittivité du vide (8,85⋅10-12 C2/(N⋅m2)), A d est la surface des armatures en mètres carrés est la distance entre les armatures en mètres. 1. Un condensateur plan de 100 pF possède une d.d.p. de 50 V entre ses bornes. L'espace entre les armatures est rempli de 1 mm d'air. a) Quelle est la charge accumulée sur les armatures du condensateur ? b) Quel est le champ électrique entre les armatures du condensateur ? Chapitre 5: Condensateurs Page C5-3 c) Quelle est la surface des armatures du condensateur ? 2. Un condensateur plan possède des armatures de 4 cm2 avec un espace d'air de 2 mm entre les armatures. Les armatures possèdent une charge de 50 pC. a) Quelle est la capacité du condensateur ? b) Quel est le champ électrique entre les armatures du condensateur ? c) Quelle est la d.d.p. aux bornes du condensateur ? Groupement de condensateurs en série +Q1 -Q1 +Q2 -Q2 +Q3 -Q3 +QN -QN C1 La charge accumulée sur les armatures de chaque condensateur en série est la même. Les d.d.p. aux bornes de chaque condensateur en série s'additionnent. La d.d.p. aux bornes du groupe de condensateurs en série est la somme des d.d.p. aux bornes de chaque condensateur. V1 C2 V2 +Q Céq C3 CN V3 -Q VN Vgroupe Q = Q1 = Q 2 = Q 3 = K = Q N V groupe où Q Q1 , Q 2 , Q3 QN V groupe V1 , V 2 , V3 et VN et = V1 + V 2 + V 3 + K + V N est la charge accumulée sur les armatures en coulombs, sont les charges accumulées sur les armatures des condensateurs no1, no2 et no3 en coulombs, est la charge accumulée sur les armatures du nième condensateur en coulombs, est la d.d.p. aux bornes du groupement série en volts, sont les d.d.p. aux bornes des condensateurs no1, no2 et no3 en volts est la d.d.p. aux bornes du condensateur du nième condensateur en volts. Un groupe de condensateurs en série peut être remplacé par un condensateur ayant une capacité équivalente dont la valeur est donnée par 1 C éq où C éq C1 , C 2 , C 3 et CN = 1 C1 + 1 C2 + 1 C3 + K+ 1 CN est la capacité équivalente du gourpement en farads, sont les capacités des condensateurs no1, no2 et no3 en farads est la capacité du nième condensateur en farads. Chapitre 5: Condensateurs Page C5-4 La définition de la capacité avec les équations pour la charge et la d.d.p. permettent de démontrer cette valeur de la capacité équivalente. Pour deux condensateurs, on a Q1 = C 1 V 1 Q 2 = C 2 V 2 où Q1 , Q 2 et V1 , V2 C1 , C 2 sont les charges accumulées sur les armatures des condensateurs no1 et no2 en coulombs, sont les d.d.p. aux bornes des condensateurs no1 et no2 en volts sont les capacités des condensateurs no1 et no2 en farads. Si les condensateurs sont en série, on a Q1 = Q 2 = Q Q Q 1 1 ⇒ V groupe = 1 + 2 = Q + C1 C 2 C1 C 2 V groupe = V 1 + V 2 où Q1 , Q 2 Q et sont les charges accumulées sur les armatures des condensateurs no1 et no2 en coulombs, est la charge accumulée sur les armatures en coulombs, V groupe est la d.d.p. aux bornes du groupement série en volts, V1 , V2 C1 , C 2 sont les d.d.p. aux bornes des condensateurs no1 et no2 en volts sont les capacités des condensateurs no1 et no2 en farads. Ainsi, la capacité équivalente est C éq = où C éq Q et Q V groupe = Q 1 1 + Q C1 C 2 = 1 1 C1 + 1 ⇒ 1 C éq = C2 est la capacité équivalente du gourpement en farads, est la charge accumulée sur les armatures en coulombs, V groupe est la d.d.p. aux bornes du groupement série en volts C1 , C 2 sont les capacités des condensateur no1 et no2 en farads. En série, la d.d.p. se divise entre les condensateurs. Soit 1 C1 + 1 C2 Chapitre 5: Condensateurs Page C5-5 Q = C 1 V 1 = C 2 V 2 = C éq V groupe V goupe C éq V groupe = V 1= 1 1 C1 + C 1 C1 C 2 ⇒ V groupe = C éq V groupe = V 2 1 1 C2 + C 2 C1 C 2 où et Note: Q C1 , C 2 V1 , V2 C éq V groupe = C 2 V groupe C1 + C 2 = C 1 V groupe C1 + C 2 est la charge accumulée sur les armatures en coulombs, sont les capacités des condensateurs no1 et no2 en farads, sont les d.d.p. aux bornes des condensateurs no1 et no2 en volts, est la capacité équivalente du gourpement en farads est la d.d.p. aux bornes du groupement série en volts. On peut vérifier que plus la capacité est grande, plus la d.d.p. aux bornes d'un condensateur est petite. De plus, on peut vérifier que V groupe = V1 + V 2 . 3. Un condensateur de 24 µF est branché en série avec un condensateur de 36 µF. La d.d.p. aux bornes du groupe de condensateurs est de 12 V. a) Quelle est la capacité équivalente du groupe de deux condensateurs ? b) Quelle est la charge accumulée sur les armatures du groupe de condensateurs en série ? c) Quelle est la d.d.p. aux bornes du condensateur de 24 µF ? d) Quelle est la d.d.p. aux bornes du condensateur de 36 µF ? 4. Un condensateur de 180 nF est branché en série avec un condensateur de 540 nF. La d.d.p. aux bornes du groupe de condensateurs est de 16 V. a) Quelle est la d.d.p. aux bornes du condensateur de 180 nF ? b) Quelle est la d.d.p. aux bornes du condensateur de 540 nF ? Groupement de condensateurs en parallèle La d.d.p. aux bornes de condensateurs en parallèle est la même. Les charges accumulées sur les armatures de chaque condensateur en parallèle s'additionnent. La charge accumulée sur les armatures du groupe de condensateurs en parallèle est la somme des charges accumulées sur les armatures de chaque condensateur. +Q1 +Q2 +Q3 +QN C1 V1 C2 V2 C3 V3 CN -Q2 -Q3 -Q1 +Qgroupe Céq V -QN -Qgroupe VN Chapitre 5: Condensateurs Page C5-6 V = V 1 = V 2 = V 3 = K= V N Q groupe où V V1 , V2 , V3 VN Q groupe Q1 , Q 2 , Q3 et QN et = Q1 + Q 2 + Q3 + K + Q N est la d.d.p. entre les armatures en volts, sont les d.d.p. aux bornes des condensateurs no1, no2 et no3 en volts, est la d.d.p. aux bornes du condensateur du nième condensateur en volts, est la charge accumulée dans le groupement parallèle en coulombs, sont les charges accumulées sur les armatures des condensateurs no1, no2 et no3 en coulombs est la charge accumulée sur les armatures du nième condensateur en coulombs. Un groupe de condensateurs en parallèle peut être remplacé par un condensateur ayant une capacité équivalente dont la valeur est C éq = C 1 + C 2 + C 3 + K + C N où C éq C1 , C 2 , C 3 et CN est la capacité équivalente du groupement en farads, sont les capacités des condensateurs no1, no2 et no3 en farads est la capacité du nième condensateur en farads. La définition de la capacité avec les équations pour la charge et la d.d.p. permettent de démontrer cette valeur de la capacité équivalente. Pour deux condensateurs, on a Q1 = C 1 V 1 Q 2 = C 2 V 2 où Q1 , Q 2 et V1 , V 2 C1 , C 2 sont les charges accumulées sur les armatures des condensateurs no1 et no2 en coulombs, sont les d.d.p. aux bornes des condensateurs no1 et no2 en volts sont les capacités des condensateur no1 et no2 en farads. Si les condensateurs sont en parallèle, on a V 1=V 2 =V ⇒ Q groupe = C 1 V 1 + C 2 V 2 = ( C 1 + C 2 ) V Q groupe = Q1 + Q 2 où V1 , V 2 V Q groupe sont les d.d.p. aux bornes des condensateurs no1 et no2 en volts, est la d.d.p. entre les armatures en volts, est la charge accumulée dans le groupement parallèle en coulombs, Chapitre 5: Condensateurs Q1 , Q 2 et C1 , C 2 Page C5-7 sont les charges accumulées sur les armatures des condensateurs no1 et no2 en coulombs sont les capacités des condensateur no1 et no2 en farads. Ainsi, la capacité équivalente est C éq = où C éq et Q groupe V C1 , C 2 Q groupe V = ( C 1 + C 2 )V = V C1 + C 2 est la capacité équivalente du gourpement en farads, est la charge accumulée dans le groupement parallèle en coulombs, est la d.d.p. entre les armatures en volts sont les capacités des condensateur no1 et no2 en farads. En parallèle, la charge se divise entre les condensateurs. Soit V= Q1 C1 = Q2 C2 = Q groupe C éq C 1 Q groupe C 1 Q groupe = Q1 = C éq C1 + C 2 ⇒ Q = C 2 Q groupe = C 2 Q groupe 2 C éq C1 + C 2 où V Q1 , Q 2 C1 , C 2 Q groupe et Note: C éq est la d.d.p. entre les armatures en volts, sont les charges accumulées sur les armatures des condensateurs no1 et no2 en coulombs, sont les capacités des condensateurs no1 et no2 en farads, est la charge accumulée dans le groupement parallèle en coulombs est la capacité équivalente du gourpement en farads. On peut vérifier que plus la capacité est grande, plus la charge sur les armatures d'un condensateur est grande. De plus, on peut vérifier que Q groupe = Q1 + Q 2 . 5. Un condensateur de 6 µF est branché en parallèle avec un condensateur de 10 µF. La charge accumulée sur les armatures du groupe de condensateurs est de 200 µC. a) Quelle est la capacité équivalente du groupe de deux condensateurs ? b) Quelle est la d.d.p. aux bornes des condensateurs en parallèle ? c) Quelle est la charge accumulée sur les armatures du condensateur de 6 µF ? d) Quelle est la charge accumulée sur les armatures du condensateur de 10 µF ? Chapitre 5: Condensateurs Page C5-8 6. Un condensateur de 25 nF est branché en parallèle avec un condensateur de 100 nF. La charge sur les armatures du groupe de condensateurs est de 7 µC. a) Quelle est la charge sur les armatures du condensateur de 25 nF ? b) Quelle est la charge sur les armatures du condensateur de 100 nF ? Énergie emmagasinée dans un condensateur Puisqu'un condensateur fournit du courant pendant qu'il se décharge, il restitue de l'énergie qu'il avait emmagasinée lorsqu'il était chargé. L'énergie emmagasinée dans un condensateur se calcule avec 2 UE= où et UE Q C Q 2C est l'énergie emmagasinée dans le condensateur en joules, est la charge accumulée sur les armatures en coulombs est la capacité du condensateur en farads. À l'aide de la définition de la capacité, on a aussi deux équations utiles pour calculer l'énergie emmagasinée dans un condensateur; soit 2 Q ( C V ) QV Q = = = U E 2 2 C 2 C Q=CV ⇒ 2 2 2 UE= Q = ( CV ) = CV 2 2C 2C où et UE Q C V est l'énergie emmagasinée dans le condensateur en joules, est la charge accumulée sur les armatures en coulombs, est la capacité du condensateur en farads est la d.d.p. aux bornes du condensateur en volts. 7. Un condensateur de 450 µF possède une d.d.p. de 15 V à ses bornes. a) Quelle est la charge accumulée sur ses armatures ? b) Quelle est l'énergie emmagasinée dans le condensateur ? 8. Un condensateur possède une d.d.p. de 30 V à ses bornes et une charge de 50 µC sur ses armatures. a) Quelle est la capacité du condensateur ? b) Quelle est l'énergie emmagasinée dans le condensateur ? Chapitre 5: Condensateurs Page C5-9 Densité d'énergie du champ électrique L'énergie emmagasinée dans un condensateur plan (rempli d'air) est UE= où et UE C0 V 1 2 C0 V 2 est l'énergie emmagasinée dans le condensateur en joules, est la capacité du condensateur plan rempli d'air en farads est la d.d.p. aux bornes du condensateur en volts. La capacité du condensateur plan (rempli d'air) vaut C0 = où et ε0 A d C0 est la capacité du condensateur plan rempli d'air en farads, ε0 A est la permittivité du vide (8,85⋅10-12 C2/(N⋅m2)), d est la surface des armatures en mètres carrés est la distance entre les armatures en mètres. Le champ électrique dans un condensateur plan étant E= où et E V d V d est le champ électrique en volts par mètre, est la d.d.p. entre les armatures en volts est la distance entre les armatures du condensateur en mètres; alors, on a UE= où et UE 1 ε0 A 2 1 ε0 A V = (Ed 2 d 2 d )2 = 1 ε 0 E2 2 ( Ad ) est l'énergie emmagasinée dans le condensateur en joules, ε0 est la permittivité du vide (8,85⋅10-12 C2/(N⋅m2)), A d V E est la surface des armatures en mètres carrés, est la distance entre les armatures en mètres, est la d.d.p. entre les armatures en volts est le champ électrique en volts par mètre. La densité d'énergie est l'énergie par unité de volume. La densité d'énergie emmagasinée dans un condensateur plan est uE = UE 1 = ε 0 E2 Ad 2 Chapitre 5: Condensateurs où et uE UE A d Page C5-10 est la densité d'énergie électrique en joules par mètre cube, est l'énergie emmagasinée dans le condensateur en joules, ε0 est la surface des armatures en mètres carrés, est la distance entre les armatures en mètres, est la permittivité du vide (8,85⋅10-12 C2/(N⋅m2)) E est le champ électrique en volts par mètre. Ce résultat, pour la densité d'énergie électrique, est bon même s'il ne s'agit pas d'un condensateur plan. Ainsi, la densité d'énergie emmagasinée dans un champ électrique est uE = où et uE ε0 E 1 ε 0 E2 2 est la densité d'énergie électrique en joules par mètre cube, est la permittivité du vide (8,85⋅10-12 C2/(N⋅m2)) est le champ électrique en volts par mètre. 9. Un condensateur possède une d.d.p. de 12 V à ses bornes. La surface des armatures est de 0,5 cm2 et la distance entre les armatures est de 0,75 mm. a) Quel est le champ électrique dans le condensateur ? b) Quelle est la densité d'énergie emmagasinée par le champ électrique dans le condensateur ? c) Quelle est l'énergie emmagasinée dans le condensateur ? 10. Un condensateur est formé de deux armatures parallèles. La charge sur les armatures est de 10 nC. La surface des armatures est de 1,5 cm2 et la distance entre les armatures est de 2 mm. a) Quel est le champ électrique entre les armatures ? b) Quelle est la densité d'énergie entre les armatures ? c) Quelle est l'énergie emmagasinée dans le condensateur ? Matériaux diélectriques Lorsque l'espace d'air est remplacé par un matériau diélectrique, la capacité du condensateur augmente. Un matériau diélectrique est un matériau qui a la propriété de faire augmenter la capacité d'un condensateur. La constante diélectrique indique par quel facteur est multipliée la capacité; soit C = κ C0 où C et C0 κ est la capacité d'un condensateur avec un matériau diélectrique en farads, est la constante diélectrique du matériau entre les armatures est la capacité du condensateur rempli d'air en farads. Pour un condensateur plan avec un diélectrique, la capacité est Chapitre 5: Condensateurs Page C5-11 C= où et C ε A d Note: εA d est la capacité du condensateur en farads, est la permittivité du matériau, est la surface des armatures en mètres carrés est la distance entre les armatures en mètres. La permittivité dépend de la nature du matériau diélectrique. Pour un condensateur plan rempli d'air, la capacité est C0 = où et ε0 A d C0 est la capacité du condensateur plan rempli d'air en farads, ε0 est la permittivité du vide (8,85⋅10-12 C2/(N⋅m2)), A d est la surface des armatures en mètres carrés est la distance entre les armatures en mètres. Donc, la constante diélectrique est κ= où ε = ε0 κ est la constante diélectrique du matériau entre les armatures, est la capacité d'un condensateur avec un matériau diélectrique en farads, est la capacité du condensateur rempli d'air en farads, ε est la permittivité du matériau, est la surface des armatures en mètres carrés, est la distance entre les armatures en mètres est la permittivité du vide (8,85⋅10-12 C2/(N⋅m2)). C C0 A d et εA d = C0 d ε 0 A C ε0 Constantes diélectriques de différents matériaux (voir tab. 4.1 - Serway) matériau vide air backélite verre pyrex polystyrène téflon caoutchouc néoprène nylon papier Note: constante diélectrique 1,000 00 1,000 59 4,90 5,60 2,56 2,10 6,70 3,40 3,70 On voit que la constante diélectrique de l'air vaut presque un. La permittivité de l'air est presque égale à celle du vide. Chapitre 5: Condensateurs Page C5-12 Si l'espace entre les armatures comprend des matériaux de nature différente, la capacité du condensateur est calculée comme pour la capacité équivalente d'un groupement de condensateurs. Chaque matériau est en série ou en parallèle avec les autres. La présence d'armatures métallique n'est pas nécessaire. C κ2 κ1 C2 C1 C3 κ3 11. Un condensateur rempli d'air possède des armatures de 25 cm2 avec un espace de 0,5 mm entre les armatures. a) Quelle est la capacité du condensateur rempli d'air ? b) Quelle serait la capacité du condensateur si de la paraffine avec une constante diélectrique κparaffine=2,3 est employée comme matériau diélectrique ? c) Quelle serait la capacité du condensateur si du mica avec une constante diélectrique κmica=6 est employé comme matériau diélectrique ? 12. Un condensateur avec du quartz comme matériau diélectrique possède une capacité de 21,5 µF. La constante diélectrique du quartz est κquartz=4,3. a) Quelle serait la capacité du condensateur s'il était rempli d'air ? b) Quelle est la permittivité du quartz ? c) Quelle est la permittivité de l'air si κair=1,000 59 ? Suggestion: 13. Prenez la valeur exacte de la permittivité du vide; soit 8,854 187 818⋅10-12 F/m. Soit un condensateur ayant des armatures de 1 cm2 avec une distance de 2 mm entre les armatures. Les constantes diélectriques des matériaux entre les armatures ont les valeurs κ1=4,9, κ2=5,6 et κ3=2,1. l l d/2 κ2 d κ1 κ3 l/2 l/2 schéma no1 d/2 κ1 d d/2 d/2 κ2 κ3 l/2 l/2 schéma no2 Chapitre 5: Condensateurs Page C5-13 a) Quelle est la capacité du condensateur si les matériaux sont placés comme sur le schéma no1 ? b) Quelle est la capacité du condensateur si les matériaux sont placés comme sur le schéma no2 ? Réponses 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. Note: 13. a) 5 nC b) 50 kV/m c) 113 cm2 a) 1,77 pF b) 14,12 kV/m c) 28,25 V a) 14,4 µF b) 172,8 µC c) 7,2 V d) 4,8 V a) 12 V b) 4 V a) 16 µF b) 12,5 V c) 75 µC d) 125 µC a) 1,4 µC b) 5,6 µC a) 6,75 mC b) 50,625 mJ a) 1,67 µF b) 750 µJ a) 16 000 V/m b) 1,133 mJ/m3 c) 42,5⋅10-12 J a) 7,533⋅106 V/m b) 251,1 J/m3 c) 75,33 µJ a) 44,25 pF b) 101,8 pF c) 265,5 pF a) 5 µF b) 3,806⋅10-11 F/m c) 8,86⋅10-12 F/m On tolère la valeur 8,85⋅10-12 F/m pour la permittivité de l'air. a) 1,760 pF b) 1,910 pF Tous droits réservés, Richard Fradette.