Chapitre IV : Propagation d`ondes sonores dans les fluides 1. Le son

Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes" 1
Ondes sonores dans les uides
Chapitre IV : Propagation d’ondes sonores dans les uides
Objectifs :
•Mise en équation de la propagation d’ondes sonores dans les uides.
•Aspect énergétique.
1. Le son
Nous rappelons ici les principales propriétés du son dans les uides. Les ondes sonores :
•ne se propagent que dans des milieux matériels (pas dans le vide) ;
•sont de petites vibrations de ce milieu qui se propagent grâce au couplage entre le déplacement et la surpression au
sein du uide ;
•sinusoïdales (fonction du temps de periode T) possèdent une période spatiale (longueur d’onde) liée à Tpar une
relation compatible avec l’équation de d’Alembert : =cT ou cest la célérité de l’onde dans le milieu (par exemple
c340 m.s1dans l’air).
2. Equation de propagation
2.1. Position du problème
2.1.1. Cas général
Le référentiel d’étude est supposé galiléen.
Nous supposons que le uide est toujours en équilibre thermodynamique local. Nous pouvons alors dé,nir localement sa
température T(r, t).
Au repos, l’état du uide est caractérisé par sa masse volumique 0, sa pression P0et sa vitesse v0nulle.
Une onde acoustique correspond à la propagation d’une perturbation de cet état. L’état du uide est alors décrit localement,
au point r, à l’instant t, par la masse volumique (r, t), la pression P(r, t)et la vitesse v(r, t)(nous nous plaçons en
description eulérienne pour décrire le uide).
Pour cette étude nous disposons de :
•l’équation de conservation de la masse ;
•l’équation du mouvement ;
•le bilan énergétique (application du 1er principe de la thermodynamique) ;
•l’équation d’état du uide.
La résolution exacte du système précédent à six inconnues (masse volumique (r, t), pression P(r, t), température T(r, t)et
vitesse v(r, t))estdi0cile et nous e1ectuons quelques hypothèses simpli,catrices.
2.1.2. Hypothèse thermodynamique simpli catrice
Dans la pratique, la propagation des ondes sonores dans un uide est faiblement amortie. Nous pouvons alors négliger les
phénomènes dissipatifs : conduction thermique et viscosité. Dans la suite nous supposerons donc l’écoulement isentropique.
Grâce à cette hypothèse nous pouvons exprimer la masse volumique du uide en fonction de sa pression et ainsi ”oublier”
les deux dernières équations du paragraphe 2.1.1. .
La propagation d’ondes ne modi,e que faiblement les paramètres du milieu : les variations relatives de masse volumique et
de pression sont faibles.
Nous posons :
• =0=variation de la masse volumique du uide ;
•p=PP0=variation de pression ou surpression acoustique ;
•S=1
VV PS=coe0cient de compressibilité isentropique.
et nous avons ||0et |p|P0,d’où
S=1
VV PS
=1
PS1
0
PP01 0 p
Une onde acoustique dans un uide est une propagation de petits mouvements isentropiques pour lesquels
la surpression acoustique p=PP0et la variation de la masse volumique du uide =0sont faibles
et liées par la relation :
 =0Sp

Physique des ondes. Chapitre IV : Propagation d’ondes sonores dans les uides 2
2.1.3. Approximation acoustique : linéarisation des équations
Comme nous l’avons déjà mentionné précédement (§ 2.1.2.) l’onde acoustique ne modi,e que faiblement l’état du uide.
Comme nous l’avons fait pour la relation  =0Spnous utilisons cette hypothèse pour linéariser les équations ; cette
approximation est appelée approximation acoustique.
•Equation de conservation de la masse :
L’équation de conservation de la masse s’écrit
t+div
j=0avec  j=v
(0+)
t+div ((0+)v)=0
()
t+(0+)div v+
grad (0+).v=0
()
t+0div v+div v+
grad ().v=0
()
t+0div v=0
—car  00div (v)+div v0div v
()
t+0div v+
grad ().v=0
—et nous pouvons également négliger  grad ().vdevant ()
t: nous allons le véri,er dans le cas d’une onde sonore
monochromatique de période Tet de longueur d’onde =cT : avec les hypothèses précédentes ()
t Tet
grad ().v
v= T
v
c;sivcalors 
grad ().v()
t.
•Equation du mouvement :
La viscosité du uide est négligée, l’équation du mouvement est donc l’équation d’Euler :
v
t+v.
gradv= gradP + fV
la force volumique statique  fV( fV=gpar exemple) est compensée par le gradient de pression statique P0:
grad P0+
fV= 0. L’équation d’Euler s’écrit alors v
t+v.
gradv= grad p soit au premier ordre :
0
v
t=
grad p
Dans l’approximation linéaire ( 0et vc), l’évolution d’un uide parcouru par des ondes sonores
est caractérisée par les équations suivantes :
•()
t+0div v=0 (I): équation de conservation de la masse,
•0v
t=
grad p (II): équation du mouvement (équation d’Euler),
• =0Sp(III): caractère isentropique des transformations.
2.2. Equations couplées
Avec l’équation (III)nous pouvons éliminer  de l’équation (I):
()
t+0div v=0(0Sp) t+0div v=0p t=1 S
div v
La propagation d’ondes sonores dans un uide est possible grâce au couplage entre la vitesse vet la
surpression acoustique pqui se traduit par le système d’équations di/érentielles couplées :
p
t=1 Sdiv v(IV)
v
t=1 0
grad p (V)

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2.3. Ecoulement potentiel
Le rotationnel appliqué à l’équation (V)donne :
v
t=1 0
grad p  rot v
t=
rot 1
0
grad p
rotv
t=1 0
rot  grad p = 0
rotv=
cste
Le rotationnel de vest ainsi indépendant du temps et donc égal à sa valeur moyenne, elle même supposée nulle car le
mouvement est vibratoire :
rotv= rotvt=
rot [vt]= 0(r, t)tel que v= grad 
L’équation du mouvement (V)s’écrit alors :
v
t=1 0
grad p 
grad 
t=1 0
grad p  grad 
t=
grad 1
0
p
t=1 0
p+f(t)
le potentiel des vitesses est dé,ni à une fonction du temps près (choix de jauge), nous pouvons donc le choisir de façon à
avoir f=0.
Pour une onde acoustique l’écoulement du uide est irrotationnel : il existe un potentiel des vitesses
(r, t)tel que v= grad . La surpression est alors :
p=0
t
2.4. Equation de d’Alembert
(IV )p
t=1 S
div v=1
S
div  grad=1
S
d’après le paragraphe précédent :
p=0
tp t=0
2
t2
en éliminant p
tnous obtenons :
0
2
t2=1 S
2
t21 0S
=0
Par application du gradient nous obtenons :
2
t21 0S
=0 grad 2
t21 0S
grad =0
2
grad
t21 0S
graddiv  grad =0
2v
t21 0S
grad div v=0
2v
t21 0S
v+ rot  rotv=0
2v
t21 0S
v=0
Par application de la dérivée partielle par raport au temps nous obtenons :
2
t21 0S
=0
2
t
t21 0S t=0
2p
0
t21 0S
p
0=0
2p
t21 0S
p=0

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La propagation des ondes acoustiques dans un uide est régie par l’équation tridimensionelle
de d’Alembert, véri ée par le potentiel des vitesses , par le champ des vitesses vet par celui
des surpressions p:
1
c2
2
t2=0; 
v1
c2
2v
t2=0; p1 c2
2p
t2=0
où c, la vitesse de propagation du son, est donnée par :
c=1
0S=P
 S
2.4. Equation de d’Alembert - Méthode rapide
Il est possible de retrouver les équations de propagation plus rapidement sans utiliser le potentiel des vitesses ; d’après le
paragraphe 2.2. :
v
t=1 0
gradp et p
t=1 S
div v
div v
t=1 0
div 
grad pet  grad p
t=1 S
grad (div v)
(divv)
t=1 0
pet
grad p
t=1 S
grad (div v)=1
S
vcar  rot  rotv= 0
en e1et, en procédant comme au paragraphe 2.3. :
v
t=1 0
grad p  rot v
t=
rot 1
0
grad p
rotv
t=1 0
rot  gradp = 0
rotv=
cste
0= rot  rotv= grad (div v) vsoit  grad (div v)= v
nous obtenons alors :
(divv)
t=
S
p
t
t=1 0
pet
gradp
t=0v
t
t=1 S
v
2p
t21 0S
p=0 et 2v
t21 0S
v=0
Remarque : cette méthode permet de retrouver les équations de propagation mais il nous manque le lien (p, v):v= grad 
et p=0
t
3. Propagation d’ondes sonores
3.1. Solutions sous forme d’ondes planes
Soit une onde sonore plane se propageant suivant l’axe (Ox). Dans une telle situation (r, t)=(x, t)et l’équation de
d’Alembert s’écrit : 2
x21 c2
2
t2=0
Cette équation d’onde à une dimension admet comme solution générale :
(x, t)=Ftx
c+Gt+x c

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nous obtenons alors pour le champ des vitesses, en posant f=1
cFet g=1 cG:
v(x, t)= grad (x, t)= grad Ftx
c+Gt+x c
v(x, t)=Ftx
c+Gt+x c
xex
v(x, t)=Ftx
c
x+Gt+x
c
xex
v(x, t)=1
cFtx c+1 cGt+x cex
v(x, t)=ftx
c+gt+x cex
de même pour la surpression :
p(x, t)=0
t=0
Ftx
c+Gt+x c
t
p(x, t)=0Ftx
c
t+Gt+x
c
t
p(x, t)=0Ftx
c+Gt+x c
p(x, t)=0cftx
cgt+x c
Les ondes sonores planes se propageant dans un uide sont des ondes longitudinales superposition
de deux ondes planes progressives se propageant en sens opposé (OPP) telles que :
•le potentiel des vitesses est (x, t)=cftx
c+cgt+x c;
•le champ des vitesses est v(x, t)=ftx
c+gt+x cex;
•le champ des surpressions est p(x, t)=0cftx
cgt+x c.
Pour chaque OPP, on a de plus la relation : p+(x, t)=0cv+(x, t)et p(x, t)=0cv(x, t)
3.2. Cas des ondes planes progressives monochromatiques
Dans le cas d’une onde plane progressive monochromatique de pulsation et de vecteur d’onde  k, le potentiel est (en notation
complexe) :
=0ej(kxt)v=
grad =jk0ej(kxt)
p=0
t=j0 0ej(kxt)
dans le cas général nous aurons : 
=0ej(
k.rt)
v=
grad =j k0ej(
k.rt)
p=0
t=j0 0ej(
k.rt)
L’équation de propagation 1
c2
2
t2=0donne la relation de dispersion :
1
c2
2
t2=0k2+ 2 c2=0
k=±
c
nous retrouvons la relation de dispersion déjà rencontrée dans les chapitres précédents.
4. Aspect énergétique
4.1. Energie acoustique
Dans une onde acoustique :
•le uide est localement en mouvement et possède donc de l’énergie cinétique. Par unité de volume nous avons :
ec=1
2v2=1 2(0+)v21 20v2au 2`eme ordre