Chapitre IV : Propagation d`ondes sonores dans les fluides 1. Le son
Spéciale PSI - Cours "Physique des ondes" 1
Ondes sonores dans les uides
Chapitre IV : Propagation d’ondes sonores dans les uides
Objectifs :
•Mise en équation de la propagation d’ondes sonores dans les uides.
•Aspect énergétique.
1. Le son
Nous rappelons ici les principales propriétés du son dans les uides. Les ondes sonores :
•ne se propagent que dans des milieux matériels (pas dans le vide) ;
•sont de petites vibrations de ce milieu qui se propagent grâce au couplage entre le déplacement et la surpression au
sein du uide ;
•sinusoïdales (fonction du temps de periode T) possèdent une période spatiale (longueur d’onde) liée à Tpar une
relation compatible avec l’équation de d’Alembert : =cT ou cest la célérité de l’onde dans le milieu (par exemple
c340 m.s1dans l’air).
2. Equation de propagation
2.1. Position du problème
2.1.1. Cas général
Le référentiel d’étude est supposé galiléen.
Nous supposons que le uide est toujours en équilibre thermodynamique local. Nous pouvons alors dé,nir localement sa
température T(r, t).
Au repos, l’état du uide est caractérisé par sa masse volumique 0, sa pression P0et sa vitesse v0nulle.
Une onde acoustique correspond à la propagation d’une perturbation de cet état. L’état du uide est alors décrit localement,
au point r, à l’instant t, par la masse volumique (r, t), la pression P(r, t)et la vitesse v(r, t)(nous nous plaçons en
description eulérienne pour décrire le uide).
Pour cette étude nous disposons de :
•l’équation de conservation de la masse ;
•l’équation du mouvement ;
•le bilan énergétique (application du 1er principe de la thermodynamique) ;
•l’équation d’état du uide.
La résolution exacte du système précédent à six inconnues (masse volumique (r, t), pression P(r, t), température T(r, t)et
vitesse v(r, t))estdi0cile et nous e1ectuons quelques hypothèses simpli,catrices.
2.1.2. Hypothèse thermodynamique simpli catrice
Dans la pratique, la propagation des ondes sonores dans un uide est faiblement amortie. Nous pouvons alors négliger les
phénomènes dissipatifs : conduction thermique et viscosité. Dans la suite nous supposerons donc l’écoulement isentropique.
Grâce à cette hypothèse nous pouvons exprimer la masse volumique du uide en fonction de sa pression et ainsi ”oublier”
les deux dernières équations du paragraphe 2.1.1. .
La propagation d’ondes ne modi,e que faiblement les paramètres du milieu : les variations relatives de masse volumique et
de pression sont faibles.
Nous posons :
• =0=variation de la masse volumique du uide ;
•p=PP0=variation de pression ou surpression acoustique ;
•S=1
VV
PS=coe0cient de compressibilité isentropique.
et nous avons ||0et |p|P0,d’où
S=1
VV
PS
=1
PS1
0
PP01
0
p
Une onde acoustique dans un uide est une propagation de petits mouvements isentropiques pour lesquels
la surpression acoustique p=PP0et la variation de la masse volumique du uide =0sont faibles
et liées par la relation :
=0Sp
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2.1.3. Approximation acoustique : linéarisation des équations
Comme nous l’avons déjà mentionné précédement (§ 2.1.2.) l’onde acoustique ne modi,e que faiblement l’état du uide.
Comme nous l’avons fait pour la relation =0Spnous utilisons cette hypothèse pour linéariser les équations ; cette
approximation est appelée approximation acoustique.
•Equation de conservation de la masse :
L’équation de conservation de la masse s’écrit
t+div
j=0avec
j=v
(0+)
t+div ((0+)v)=0
()
t+(0+)div v+
grad (0+).v=0
()
t+0div v+div v+
grad ().v=0
()
t+0div v=0
—car 00div (v)+div v0div v
()
t+0div v+
grad ().v=0
—et nous pouvons également négliger
grad ().vdevant ()
t: nous allons le véri,er dans le cas d’une onde sonore
monochromatique de période Tet de longueur d’onde =cT : avec les hypothèses précédentes ()
t
Tet
grad ().v
v=
T
v
c;sivcalors
grad ().v()
t.
•Equation du mouvement :
La viscosité du uide est négligée, l’équation du mouvement est donc l’équation d’Euler :
v
t+v.
gradv=
gradP +
fV
la force volumique statique
fV(
fV=gpar exemple) est compensée par le gradient de pression statique P0:
grad P0+
fV=
0. L’équation d’Euler s’écrit alors v
t+v.
gradv=
grad p soit au premier ordre :
0
v
t=
grad p
Dans l’approximation linéaire ( 0et vc), l’évolution d’un uide parcouru par des ondes sonores
est caractérisée par les équations suivantes :
•()
t+0div v=0 (I): équation de conservation de la masse,
•0v
t=
grad p (II): équation du mouvement (équation d’Euler),
• =0Sp(III): caractère isentropique des transformations.
2.2. Equations couplées
Avec l’équation (III)nous pouvons éliminer de l’équation (I):
()
t+0div v=0(0Sp)
t+0div v=0p
t=1
S
div v
La propagation d’ondes sonores dans un uide est possible grâce au couplage entre la vitesse vet la
surpression acoustique pqui se traduit par le système d’équations di/érentielles couplées :
p
t=1
Sdiv v(IV)
v
t=1
0
grad p (V)
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2.3. Ecoulement potentiel
Le rotationnel appliqué à l’équation (V)donne :
v
t=1
0
grad p
rot v
t=
rot 1
0
grad p
rotv
t=1
0
rot
grad p =
0
rotv=
cste
Le rotationnel de vest ainsi indépendant du temps et donc égal à sa valeur moyenne, elle même supposée nulle car le
mouvement est vibratoire :
rotv=
rotvt=
rot [vt]=
0(r, t)tel que v=
grad
L’équation du mouvement (V)s’écrit alors :
v
t=1
0
grad p
grad
t=1
0
grad p
grad
t=
grad 1
0
p
t=1
0
p+f(t)
le potentiel des vitesses est dé,ni à une fonction du temps près (choix de jauge), nous pouvons donc le choisir de façon à
avoir f=0.
Pour une onde acoustique l’écoulement du uide est irrotationnel : il existe un potentiel des vitesses
(r, t)tel que v=
grad . La surpression est alors :
p=0
t
2.4. Equation de d’Alembert
(IV )p
t=1
S
div v=1
S
div
grad=1
S
d’après le paragraphe précédent :
p=0
tp
t=0
2
t2
en éliminant p
tnous obtenons :
0
2
t2=1
S
2
t21
0S
=0
Par application du gradient nous obtenons :
2
t21
0S
=0
grad 2
t21
0S
grad =0
2
grad
t21
0S
graddiv
grad =0
2v
t21
0S
grad div v=0
2v
t21
0S
v+
rot
rotv=0
2v
t21
0S
v=0
Par application de la dérivée partielle par raport au temps nous obtenons :
2
t21
0S
=0
2
t
t21
0S
t=0
2p
0
t21
0S
p
0=0
2p
t21
0S
p=0
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La propagation des ondes acoustiques dans un uide est régie par l’équation tridimensionelle
de d’Alembert, véri ée par le potentiel des vitesses , par le champ des vitesses vet par celui
des surpressions p:
1
c2
2
t2=0;
v1
c2
2v
t2=0; p1
c2
2p
t2=0
où c, la vitesse de propagation du son, est donnée par :
c=1
0S=P
S
2.4. Equation de d’Alembert - Méthode rapide
Il est possible de retrouver les équations de propagation plus rapidement sans utiliser le potentiel des vitesses ; d’après le
paragraphe 2.2. :
v
t=1
0
gradp et p
t=1
S
div v
div v
t=1
0
div
grad pet
grad p
t=1
S
grad (div v)
(divv)
t=1
0
pet
grad p
t=1
S
grad (div v)=1
S
vcar
rot
rotv=
0
en e1et, en procédant comme au paragraphe 2.3. :
v
t=1
0
grad p
rot v
t=
rot 1
0
grad p
rotv
t=1
0
rot
gradp =
0
rotv=
cste
0=
rot
rotv=
grad (div v)
vsoit
grad (div v)=
v
nous obtenons alors :
(divv)
t=
S
p
t
t=1
0
pet
gradp
t=0v
t
t=1
S
v
2p
t21
0S
p=0 et 2v
t21
0S
v=0
Remarque : cette méthode permet de retrouver les équations de propagation mais il nous manque le lien (p, v):v=
grad
et p=0
t
3. Propagation d’ondes sonores
3.1. Solutions sous forme d’ondes planes
Soit une onde sonore plane se propageant suivant l’axe (Ox). Dans une telle situation (r, t)=(x, t)et l’équation de
d’Alembert s’écrit : 2
x21
c2
2
t2=0
Cette équation d’onde à une dimension admet comme solution générale :
(x, t)=Ftx
c+Gt+x
c
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nous obtenons alors pour le champ des vitesses, en posant f=1
cFet g=1
cG:
v(x, t)=
grad (x, t)=
grad Ftx
c+Gt+x
c
v(x, t)=Ftx
c+Gt+x
c
xex
v(x, t)=Ftx
c
x+Gt+x
c
xex
v(x, t)=1
cFtx
c+1
cGt+x
cex
v(x, t)=ftx
c+gt+x
cex
de même pour la surpression :
p(x, t)=0
t=0
Ftx
c+Gt+x
c
t
p(x, t)=0Ftx
c
t+Gt+x
c
t
p(x, t)=0Ftx
c+Gt+x
c
p(x, t)=0cftx
cgt+x
c
Les ondes sonores planes se propageant dans un uide sont des ondes longitudinales superposition
de deux ondes planes progressives se propageant en sens opposé (OPP) telles que :
•le potentiel des vitesses est (x, t)=cftx
c+cgt+x
c;
•le champ des vitesses est v(x, t)=ftx
c+gt+x
cex;
•le champ des surpressions est p(x, t)=0cftx
cgt+x
c.
Pour chaque OPP, on a de plus la relation : p+(x, t)=0cv+(x, t)et p(x, t)=0cv(x, t)
3.2. Cas des ondes planes progressives monochromatiques
Dans le cas d’une onde plane progressive monochromatique de pulsation et de vecteur d’onde
k, le potentiel est (en notation
complexe) :
=0ej(kxt)v=
grad =jk0ej(kxt)
p=0
t=j0 0ej(kxt)
dans le cas général nous aurons :
=0ej(
k.rt)
v=
grad =j
k0ej(
k.rt)
p=0
t=j0 0ej(
k.rt)
L’équation de propagation 1
c2
2
t2=0donne la relation de dispersion :
1
c2
2
t2=0k2+ 2
c2=0
k=±
c
nous retrouvons la relation de dispersion déjà rencontrée dans les chapitres précédents.
4. Aspect énergétique
4.1. Energie acoustique
Dans une onde acoustique :
•le uide est localement en mouvement et possède donc de l’énergie cinétique. Par unité de volume nous avons :
ec=1
2v2=1
2(0+)v21
20v2au 2`eme ordre
6
7
8
9
10
11
12
13
14
1
/
14
100%
