Lignes aériennes : échauffements et efforts électrodynamiques

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D 4 439 2 - 1997
Lignes aériennes : échauffements
et efforts électrodynamiques
par Michèle GAUDRY
Ingénieur de l’École centrale de Paris
Ingénieur-chercheur au département Postes et Lignes de la Direction des études
et recherches d’EDF
Secrétaire du groupe CIGRE 22-12 (comportement électrique et thermique
des conducteurs)
et Jean-Luc BOUSQUET
Ingénieur
Groupe Coordination électrique et mécanique des ouvrages à la Direction des études
et recherches d’EDF
e passage du courant dans un conducteur entraîne l’échauffement de
celui-ci ; ce conducteur est également soumis à d’autres phénomènes
d’ordre climatique tels que le vent, l’ensoleillement et la température ambiante.
Il est donc important de connaître cet échauffement afin d’assurer aux conduc-
teurs une température de fonctionnement compatible, d’une part, avec les
matériaux utilisés pour leur fabrication et, d’autre part, avec la flèche de ceux-ci
au-dessus du sol et des constructions.
1. Calculs thermiques.................................................................................. D 4 439 - 2
1.1 Bilan des puissances en régime permanent ............................................. — 2
1.1.1 Effet Joule ........................................................................................... — 2
1.1.2 Ensoleillement .................................................................................... — 2
1.1.3 Convection .......................................................................................... — 2
1.1.4 Rayonnement...................................................................................... — 3
1.2 Calcul de l’échauffement en régime permanent....................................... — 3
1.3 Calcul de l’échauffement en régime variable............................................ — 3
1.3.1 Régime de surcharge temporaire...................................................... — 4
1.3.2 Régime de court-circuit...................................................................... — 4
1.4 Calcul du courant en régime permanent................................................... — 4
1.5 Calcul du courant en régime variable........................................................ — 4
1.5.1 Régime de surcharge temporaire...................................................... — 4
1.5.2 Régime de court-circuit...................................................................... — 4
1.6 Ordre de grandeur des paramètres à prendre en compte dans les
calculs d’échauffement ............................................................................... — 4
1.7 Exemple d’application................................................................................. — 5
2. Efforts électrodynamiques dus aux courants de court-circuit ... — 5
2.1 Courant de court-circuit .............................................................................. — 5
2.2 Efforts électrodynamiques : description du phénomène......................... — 5
2.3 Modélisation mathématique....................................................................... — 5
2.3.1 Principe de calcul des efforts électrodynamiques ........................... — 5
2.3.2 Application aux portées en câbles de lignes ou de postes............. — 6
2.4 Pincement dans un faisceau de conducteurs............................................ — 7
2.4.1 Description du phénomène ............................................................... — 7
2.4.2 Modélisation mathématique.............................................................. — 7
Pour en savoir plus........................................................................................... Doc. D 4 439
L

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Par ailleurs, à la suite des travaux de Laplace, nous savons que la circulation
de courants dans des conducteurs parallèles induit dans ces conducteurs des
forces électromagnétiques proportionnelles au produit des courants
circulant dans les deux conducteurs.
En cas de court-circuit dans une configuration de ligne ou de poste en
conducteurs souples, on mesure alors des surtensions mécaniques (traction et
flexion) appelées efforts électrodynamiques au niveau des supports et des
isolateurs d’ancrage. On observe également des mouvements de conducteurs
très importants.
Ces efforts pouvant être considérables, il est indispensable de les prendre en
compte dès la conception d’un nouvel ouvrage.
Ce sont ces deux phénomènes qui sont étudiés dans cet article.
1. Calculs thermiques
Les calculs qui sont proposés dans ce paragraphe demandent,
pour la plupart d’entre eux, des itérations ; pour cette raison, il est
préférable de programmer les algorithmes qui suivent afin d’obte-
nir des résultats plus rapides et plus précis.
1.1 Bilan des puissances
en régime permanent
D’une manière générale, le bilan thermique des puissances d’un
conducteur en régime permanent (en équilibre thermique) s’écrit
de la façon suivante :
Puissance d’échauffement = Puissance de dissipation (1)
PJoule + Pensoleillement =Pconvection + Prayonnement
PJ + Ps=Pc + Pray
1.1.1 Effet Joule
La puissance linéique due à l’effet Joule PJ(W · m–1) s’écrit :
PJ = RI2(2)
avec Rrésistance linéique à 50 Hz et à la température considérée
du conducteur (Ω · m–1),
Icourant transité par le conducteur (A) ;
où R = kR
20[1 +
α ( θ
c –
θ
20)] (3)
avec R20 résistance linéique en continu du conducteur à la tempé-
rature de 20 oC (Ω · m–1),
α coefficient de variation de la résistance du conducteur
en fonction de la température (oC–1),
θ
ctempérature du conducteur (oC),
θ
20 température de référence (20
oC) de la valeur de R20
(oC).
Le coefficient k s’exprime par :
(4)
(formule de Rayleigh limitée à trois termes et valable pour les fré-
quences inférieures à 150 Hz)
avec ffréquence du réseau (Hz) ;
Rc résistance linéique en continu du conducteur (Ω · m–1) ;
µ
0 = 4π × 10–7(H · m–1)(5)
= perméabilité magnétique du vide et, par extension, de
l’air.
1.1.2 Ensoleillement
La puissance linéique due à l’ensoleillement Ps(W · m–1) est la
suivante : Ps = r
ϕ D(6)
avec rcoefficient de réceptivité du flux solaire (0 < r < 1) sans
dimension, pris par défaut à 0,5 (§ 1.6),
ϕ flux solaire (W · m–2),
Ddiamètre extérieur du conducteur (m).
1.1.3 Convection
La puissance linéique dissipée par convection Pc(W · m–1) est :
(7)
avec Sesurface d’échange du conducteur (m2),
λ conductivité thermique de l’air ambiant (W · m–1 · K–1),
Nu nombre de Nusselt, sans dimension, qui dépend de la
vitesse du vent, de sa direction, de sa stabilité et des
caractéristiques de la surface extérieure du conducteur
[3],
∆Tséchauffement du conducteur par rapport à la tempéra-
ture ambiante.
Nu s’exprime différemment suivant le type de convection, natu-
relle ou forcée.
En convection naturelle, on a :
Nu = A(Gr · Pr)m(8)
avec A, mcoefficients déterminés expérimentalement ;
nombre de Grashof-Prandtl,
sans unité ; (9)
ρ
amasse volumique de l’air ambiant (kg · m–3) ;
k11
12
--------
µ
0f
2Rc
-------------
21
180
-----------
µ
0f
2Rc
-------------
4
–+=
Pc∆TsSe
λ
D
------- Nu
=
Gr Pr⋅
ρ
a
2
β gcpD3∆Ts
µ
d
λ
---------------------------------------=

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β coefficient de dilatation à pression constante de l’air
(K–1) ;
g accélération normale due à la pesanteur (m · s–2) ;
cp capacité thermique massique à pression constante
(J · kg–1 · K–1) ;
µ
d viscosité dynamique de l’air ambiant
(N · S · m–2 ou Pa · s).
Dans le produit Gr · Pr, la quantité ne dépend que du
fluide (à la pesanteur g près) et peut s’exprimer, pour l’air atmo-
sphérique, par la formule approchée : 3,912 × 1019 (
θ
film)–4,69
avec θ
film température de l’air au contact du conducteur
[( θ
c +
θ
a)/2](oC) ;
θ
atempérature de l’air ambiant (oC).
En convection forcée, on a :
Nu = BRen(10)
avec B, n coefficients déterminés expérimentalement ;
nombre de Reynolds ; (11)
v vitesse de l’air ambiant (m · s–1).
Dans le calcul de Re, la quantité peut s’exprimer par la
relation : 1,644 × 109( θ
film)–1,78.
La convection forcée se distingue de la convection naturelle par
la vitesse du vent, sans pour cela pouvoir déterminer précisément
le passage de l’une à l’autre. Pour cette raison, il est préférable
d’utiliser une convection mixte plus représentative des phénomènes
physiques.
De plus, la convection mixte assure une parfaite continuité dans
l’évolution des phénomènes de convection.
Il s’agit donc de calculer un nombre de Reynolds de convection
mixte :
(12)
avec Rennombre de Reynolds de convection naturelle obtenu
en écrivant l’égalité des deux équations (8) et (10),
d’où :
(13)
La formule (12) prend en compte la vitesse résultante d’écoule-
ment de l’air qui est la somme vectorielle du flux vertical de
convection naturelle et du flux horizontal de convection forcée.
Les coefficients A, B, m et n utilisés sont ceux des tableaux 1 et 2.
(0)
1.1.4 Rayonnement
La puissance linéique dissipée par un conducteur par rayonne-
ment infrarouge Pray est la suivante :
(14)
avec σ = 5,67 × 10–8 W · m–2 · K–4
constante de Stefan-Boltzmann,
ε coefficient d’émissivité du conducteur, sans dimension
(0 <
ε < 1), pris par défaut égal à 0,6 (§ 1.6),
Ta= θ
a + 273,15 température ambiante (K),
Tc= θ
c + 273,15 température du conducteur (K),
∆Tséchauffement du conducteur par rapport à la tempéra-
ture ambiante (K),
∆Ts= Tc – Ta =
θ
c –
θ
a.(0)
1.2 Calcul de l’échauffement
en régime permanent
En remplaçant dans l’équation (1) les différents termes respecti-
vement par ceux obtenus dans les relations (2), (6), (7) et (14), on
obtient :
(15)
donc (16)
Le résultat final est obtenu par itération sur ∆Ts.
Dans le cas d’une solution informatique, les calculs d’effet de
peau (coefficient k) sont inclus dans la boucle itérative. La résisti-
vité augmente avec la température et modifie ainsi la valeur de ce
coefficient.
1.3 Calcul de l’échauffement
en régime variable
Le bilan énergétique d’un conducteur en régime variable s’écrit
de la façon suivante :
Énergie emmagasinée = EJoule + Esolaire – Edissipée
S ρ
ccdT = I2R20 [1 +
α ( θ
c – 20)]dt + r
ϕ Ddt – πD γ ( θ
f –
θ
a)dt(17)
avec Ssection du conducteur (m2) ;
ρ
c masse volumique du métal constituant le conducteur
(kg · m–3) ;
c capacité thermique massique du conducteur à 20 oC
(J · kg–1 · oC–1) ;
θ
f température du conducteur à la fin du régime transitoire
(oC) ;
γ coefficient d’échange propre du conducteur :
(18)
Tableau 1 – Coefficients utilisés en convection naturelle
Gr · Pr A m
de 102 à 1040,850 0,188
de 104 à 1060,480 0,250
ρ
a
2
β gcp
µ
d
λ
-------------------------
Re
ρ
avD
µ
d
----------------=
ρ
a
µ
d
------
Remixte Re2Ren
2
+=
RenA
B
------
1n⁄GR Pr⋅()
mn⁄
=
Pray
σε SeTa∆Ts +()
4Ta
4–=
Tableau 2 – Coefficients utilisés
en convection forcée
Caractéristiques
géométriques (1) Re B n
de 102 à 2,65 × 1030,641 0,471
de 2,65 × 103 à 5 × 1040,048 0,8
de 2,65 × 103 à 5 × 1040,718 0,633
(1) D : diamètre extérieur du conducteur,
d : diamètre d’un brin de la couche extérieure.
0,062 5
d /2 Dd – () 0,718
d/2 Dd–()0,718
d/2 Dd–()0,05
RI2r ϕ D∆TsSe
λ
D
-------Nu
+
σε Se θ
c273,15+()
4
θ
a273,15+()
4–+
∆TsRI2r
ϕ D+
Se
λ
D
-------Nu
σε Ta∆Ts +()
4Ta
4–
∆Ts
------------------------------------------------------- 
+
--------------------------------------------------------------------------------------------=
γ
Σ flux thermiques sortant du conducteur
θ
f
θ
a
–
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------=

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4
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et (19)
On distingue 2 types de régimes variables pour les conducteurs
de lignes aériennes :
— la surcharge temporaire (durée 10 ou 20 min) ;
— le court-circuit (durée inférieure à 5 s).
1.3.1 Régime de surcharge temporaire
La solution de l’équation différentielle (17) conduit à
l’expression :
(20)
avec (21)
θ
i
température du conducteur au début du régime transi-
toire (
o
C) ;
La constante de temps τ s’écrit :
(22)
Dans le cas d’une solution informatique, les calculs d’effet de
peau (coefficient k ) sont inclus dans la boucle de calcul. La résisti-
vité augmente avec la température et modifie ainsi la valeur de ce
coefficient.
1.3.2 Régime de court-circuit
Celui-ci est considéré comme étant adiabatique. L’équation
différentielle (17) prend donc la forme simplifiée suivante :
S
ρ
c
c d T = I
2
R
20
[1 + α ( θ
c
– 20)]d t (23)
qui a pour solution :
(24)
Dans l’équation (24), il est recommandé d’introduire la valeur de
I
correspondant au courant thermique équivalent (courant symétrique
+ composante asymétrique) défini dans la norme CEI 865.
1.4 Calcul du courant
en régime permanent
On peut déduire I de l’équation (15) :
(25)
1.5 Calcul du courant en régime variable
1.5.1 Régime de surcharge temporaire
Il s’agit de calculer un courant ( I
variable
) faisant passer le conduc-
teur d’une température θ
i à une température
θ
f en un temps t.
À partir de l’équation de calcul d’intensité en régime permanent
(15), on en déduit Ii correspondant à
θ
i.
On réalise ensuite Ivariable = Ii + ∆I(26)
On peut alors poser le pas d’itération suivant :
∆I = 2(
θ
f –
θ
variable)(27)
On effectue un calcul d’échauffement en régime variable avec
l’équation (20) en remplaçant I par Ivariable.
La boucle itérative est stoppée lorsque .
1.5.2 Régime de court-circuit
On peut déduire Icc de l’équation (24) :
(28)
Icc est un courant symétrique.
1.6 Ordre de grandeur des paramètres
à prendre en compte dans les calculs
d’échauffement
■Ensoleillement
Le tableau 3 donne les valeurs maximales d’ensoleillement rele-
vées à 12 heures TU dans le sud de la France pour les douze mois
de l’année. (0)
■Émissivité, réceptivité
Une bonne appréciation de ces deux paramètres peut être don-
née par la formulation suivante en fonction de l’âge z (en années)
du conducteur, pour une ligne installée à proximité d’une zone
urbanisée :
Σ flux thermiques I2R201
αθ
c20–()r
ϕ D++
πD
--------------------------------------------------------------------------------=
θ
cAA
θ
i
–() tπD
γ RI2 α –
S
ρ
cC
-------------------------------
–
exp–AA θ
i
–() t
τ
----
–
exp – ==
ARIi
21
αθ
i
–()Dr ϕπγθ
a
+()+
πD
γ RIi
2
α –
----------------------------------------------------------------------------=
τ
S ρ
cc
πD
γ RIf
2
α –
----------------------------------=
θ
f20 1
α
------–
1
α R20If
2t
S
ρ
cc
-------------------------
θ
i
α R20If
2t
S
ρ
cc
-------------------------
exp+exp–=
I
∆TsSe
λ
D
------- Nu
+
σε Se θ
c273,15+()
4
θ
a273,15+()
4
–[]r ϕ D–
kR20 1
αθ
c
θ
20
–()+[]
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
=
Tableau 3 – Valeurs maximales du flux solaire
à 12 heures TU
Mois Flux solaire
(W · m
–2
)
Janvier 450
Février 580
Mars 750
Avril 900
Mai 1 000
Juin 1 050
Juillet 1 000
Août 980
Septembre 900
Octobre 720
Novembre 600
Décembre 450
θ
variable
θ
f0,5°C–
Icc
S ρ
cc
α R20t
------------------ 1
αθ
f20–()+
1
αθ
i20–()+
------------------------------------
ln=
r ou ε 0,23 0,7z
1,22 z+
--------------------+=

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−
5
■ Vitesse du vent
Pour les calculs thermiques de lignes aériennes, la plupart des
réglementations préconisent des vitesses de vent comprises entre
0,5 et 1 m · s
–1
.
1.7 Exemple d’application
À partir des différentes équations précédemment définies, il est
possible de déterminer les courants permanents et de surcharge
admissibles dans un conducteur de ligne aérienne.
2. Efforts électrodynamiques
dus aux courants
de court-circuit
2.1 Courant de court-circuit
La mise en contact de points à potentiels différents est appelée
court-circuit . Dans le cas des réseaux triphasés de transport d’éner-
gie électrique, trois types de courts-circuits peuvent survenir.
■ Lors des courts-circuits triphasés , les trois phases sont mises
simultanément en contact. C’est, par exemple, le cas d’une branche
qui tombe sur la ligne et se couche sur les trois conducteurs. Ce
défaut engendre des forces de répulsion entre les deux phases
extérieures du circuit.
■ Pendant les courts-circuits biphasés (ou biphasés-terre s’il y a
écoulement du courant par la terre), deux phases seulement sont en
contact. C’est le cas d’une branche tombée sur deux conducteurs ou
de la perche isolante de travail oubliée entre deux phases. Ce défaut
engendre une répulsion des deux conducteurs concernés.
■ Les courts-circuits monophasés entraînent la mise à la terre de la
phase concernée. Ce défaut engendre un courant important dans le
conducteur concerné.
La figure 1 illustre ces différents défauts.
Dans le cas des ouvrages de transport d’énergie électrique,
l’intensité du courant de court-circuit varie entre 30 et 80 kA.
2.2 Efforts électrodynamiques :
description du phénomène
La circulation de courants dans des conducteurs parallèles induit
dans ces conducteurs des forces électromagnétiques . Ces forces
sont attractives ou répulsives (selon que les courants sont de même
sens ou de sens opposé) et également réparties le long des conduc-
teurs. Elles sont proportionnelles au produit des intensités circulant
dans les deux conducteurs.
En cas de court-circuit , on observe alors des surtensions méca-
niques appelées efforts électrodynamiques au niveau des supports
et des isolateurs d’ancrage, ainsi que des mouvements importants
des conducteurs.
2.3 Modélisation mathématique
2.3.1 Principe de calcul des efforts électrodynamiques
D’après Laplace, un conducteur électrique parcouru par un courant
I
1
(A), placé dans un champ magnétique créé par un conducteur
parallèle parcouru par un courant I
2
(A) est soumis à une force élec-
tromagnétique F (N/m) :
(29)
avec ddistance séparant les deux conducteurs (m).
L’application de la formule (29) est très simple et permet d’obtenir
un ordre de grandeur. Toutefois, elle n’est pas suffisante si l’on veut
prendre en compte :
— les caractéristiques instantanées du courant de court-circuit ;
— les mouvements des conducteurs ;
— l’élasticité des supports et des conducteurs...
Nous rappelons qu’une solution informatique est recomman-
dée du faut des itérations qui sont nécessaires pour ce type de
calcul.
Prenons l’exemple d’un conducteur de type ASTER 570 dont les
caractéristiques sont les suivantes :
— section : 570,22 mm2 ;
— diamètre extérieur : 31,05 mm ;
— diamètre d’un brin : 3,45 mm ;
— résistance électrique à 20 oC : 5,83 × 10–5 Ω · m–1 ;
— émissivité, absorptivité : 0,7.
Conditions climatiques retenues :
— température ambiante : 15 oC ;
— vitesse du vent : 1 m · s–1 ;
— direction du vent : 90o d’incidence ;
— puissance solaire : 600 W · m–2.
Pour une température du conducteur en régime permanent de
60 oC, nous obtenons un courant permanent de 1 160 A.
Pour une température finale du conducteur en régime de surcharge
de 90
oC, sur une durée de 10 min, établie à partir du régime
permanent (60 oC, 1 160 A), nous obtenons un courant admissible de
1 690 A.
Figure 1 – Les différents types de court-circuit [1]
Exemples
Pour une ligne aérienne à 400 kV sujette à un court-circuit biphasé
de 40 kA, on obtient, pour d = 8 m, F = 40 N/m.
Pour un faisceau de trois conducteurs en ASTER 570, et une
longueur de portée de 500 m, la force électrodynamique vaut environ
1,5 fois la tension mécanique initiale du conducteur. Cet exemple
montre qu’il ne faut donc pas la négliger.
F
µ
0
2π
--------- I
1 I 2
d
-----------
=