LE MODÈLE ÉLECTROSTATIQUE DU PARAFOUDRE*1

LE MODÈLE ÉLECTROSTATIQUE DU PARAFOUDRE*1
OVIDIU CENTEA2
Mots-clé:
Modèle électrostatique, Foudre, Traceur, Parafoudre, Champ
électrique, Champ électrostatique, Transformation de SchwartzChristoffel, Facteur de protection, Efficience (efficacité) des
parafoudres.
Le modèle de l’atmosphère pendant les orages est composé d’un plafond de nuages
parallèle à la surface de la terre, au-dessus de laquelle s’érige une construction prévue
d’un parafoudre. En déroulant le contour inférieur le long d’une droite à l’aide d’une
transformation Schwartz-Christoffel, on obtient un condensateur entre les armatures
duquel se développe un champ électrique plan parallèle. En revenant au contour initial,
on constate que l’intensité du champ devient infinie à la proximité des coins convexes.
Donc, les foudres seront attirées vers les coins convexes. Le rapport entre les intensités
du champ au niveau du sommet du parafoudre et des coins convexes de l’édifice, KP, et
l’efficacité du parafoudre φ – le quota des éclairs capturés par ceci pendant un orage,
sont liés par une dépendance exponentielle, très utile pour établir les dimensions des
installations de parafoudre.
1. INTRODUCTION
Il est évident que l’ampleur des dégâts produits par la foudre dépend de la
position de son point d’impact avec la terre. Si la foudre tombe sur une cime d’une
montagne ou dans la rase campagne, les dégâts seront minimes, ou même nuls ;
mais si la foudre atteint une construction, celle-ci peut être endommagée, il peuvent
se produire des incendies, des explosions ou même des pertes de vies humaines. Il
est évident donc qu’il est de première importance de connaître à l’avance les
facteurs qui déterminent la position du point où la foudre frappera la terre, afin
qu’on puisse prendre des mesures pour conduire la décharge électrique à la terre
par des voies qui assurent un minimum de dommages aux biens matériels produits
par l’homme.
1
*
Le contenu de cet article a été présenté devant le Sénat de l’Université Technique de
Constructions de Bucarest, lors du décernement du diplôme de Doctor Honoris Causa à l’auteur, le 8
avril 2011.
2
Professeur à l’Université Technique de Constructions de Bucarest, Faculté d’Installations,
Bd. Pache Protopopescu nr. 66, cod 73232, sector 2, Bucarest, [email protected]
Rev. Roum. Sci. Techn. – Électrotechn. et Énerg., 56, 4, p. 377–386, Bucarest, 2011
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2
2. UTILISATION DE LA TRANSFORMATION
DE SCHWARTZ-CHRISTOFFEL
Les dispositifs destinés à ce but sont les parafoudres ; par la suite, je présente
une théorie originale pertinente concernant le mode d’agir de ces instruments
tellement utiles. J’ai attribué la dénomination d’ « électrostatique » à cette théorie,
en considérant que le déroulement des phénomènes est déterminé dans la phase qui
précède immédiatement le déclenchement de la foudre, phase durant laquelle dans
l’atmosphère il règne un champ déterminé par des charges électriques immobiles.
Je présenterai la démonstration de la théorie électrostatique á l’aide du
modèle représenté dans la Fig. 1, où il s’agit de la surface plane infinie de la terre,
au dessus de laquelle est érigé un bâtiment circulaire, dont les parois sont verticales
et le toit – plain horizontal. Au centre du toit est installée une tige métallique
longue et mince, verticale, qui représente le dispositif de captage du parafoudre. La
tige est liée à une prise de terre par l’intermédiaire d’un dispositif de descente.
Quelque part, à grande hauteur au-dessus de la surface du sol, se trouve un
plafond de nuages infini, parallèle à la surface de la terre. Les nuages portent une
charge électrique, considérée – ici – négative. Par induction électrostatique, la
surface de la terre est recouverte par des charges positives.
Avant de nous référer au mode d’action des parafoudres, il faut dire quelques
mots concernant la formation des foudres.
Conformément aux connaissances actuelles, à un certain moment, dans une
zone des nuages ou l’intensité du champ électrique dépasse une valeur critique
donnée, il apparaît un état d’ionisation intense de l’air atmosphérique : ainsi, il se
A0
A2
A-∞
A1
A3 A3’
A2’
A1’
+ A+∞
Fig. 1 – Géométrie du modèle adopté pour exemplifier
la théorie électrostatique du parafoudre.
forme un sac qui abrite un nombre immense de charges électriques négatives. Cette
formation porte le nom de leader ou traceur. En même temps, au niveau du sol
apparaissent un ou plusieurs traceurs portant des charges positives (Fig. 1). Les
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Modèle électrostatique du parafoudre
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traceurs développés au niveau des nuages et ceux qui sont engendrés au niveau du
sol, ayant des charges de signes contraires, s’attirent, ainsi que, à un certain
moment, leurs sommets arrivent en contact. De cette manière se forme un canal
électroconducteur qui unit les nuages avec un point ou avec plusieurs points situés
au niveau du sol. Le long de ce conducteur les charges électriques se déplacent à
grande vitesse, en produisant un processus violent de recombinaison des ions,
phénomène qui représente, en effet, la foudre. Si le pied terrestre de la foudre se
trouve au dessus d’une bâtisse, les dégâts mentionnés ci-dessus peuvent se
produire.
Le parafoudre a été installé en espérant qu’il sera celui qui attirera le coup de
foudre vers lui, en protégeant, de cette manière, la bâtisse.
Pour étudier le comportement du parafoudre, la Fig. 1. sera simplifiée, en
éliminant les éléments non essentiels de la configuration et en conservant
nuages
A0
A2
terre
A-∞
A1
A3 A3’
A2’
A1’
+
A+∞
Fig. 2 – Le condensateur formé par les deux armatures (nuages et
terre) et le diélectrique (l’air).
seulement le contour des nuages et, d’autre part, le contour terre-bâtisseparatonnerre (Fig. 2). Ces contours sont, chacun, équipotentiels. La configuration
résultée représente un condensateur électrique formé de deux armatures entre
lesquelles se trouve le milieu diélectrique – l’air atmosphérique.
Le champ électrique à l’intérieur de ce condensateur est difficile à étudier
d’une manière directe, parce que son armature inférieure n’est pas parfaitement
plane : à la surface du sol se trouve les irrégularités formées par la construction et
le parafoudre.
Afin d’être en mesure de réaliser toutefois cette étude, le contour inférieur
sera soumis à une transformation de Schwarz-Christoffel.
Malgré son nom impressionnant, la transformation de Schwarz-Christoffel
permet une interprétation facile, intuitive. En outre, l’entière démonstration qui
s’ensuit aura un caractère ad usum delphini, c’est-à-dire j’éliminerai tout élément
de nature mathématique, en me basant seulement sur des raisonnements directs,
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Ovidiu Centea
4
intuitifs. Toutefois, je vous assure que la théorie présente s’appuie sur une
démonstration mathématique élégante et tout à fait rigoureuse.
J’observe de nouveau que le contour inférieur possède deux bouts à l’infini.
Je fais que mes deux bras deviennent provisoirement d’une longueur infinie ; de la
main gauche je commence à tirer le bout gauche du contour et, de la main droite –
le bout droit. Alors, le contour, que j’imagine être confectionné d’une sorte de
ficelle, commence à se déformer. Dans la Fig. 3. on peut observer l’une de ses
formes intermédiaires. En continuant de tirer les bouts, le contour obtient,
finalement, une forme droite (Fig. 4). Les points A – coins du contour initial – se
logent, sagement, dans leurs transformées situées le long de la ligne droite.
nuages
A0
A2
terre
A-∞
A1
A3
A3’
A2’
A1’
A+∞
Fig. 3 – Forme intermédiaire du contour durant la transformation
de Schwartz-Christoffel.
Cette fois-ci on a à faire avec un condensateur à deux armatures infinies
parfaitement parallèles, séparées par le milieu diélectrique – l’air.
Dans ce plan, le champ électrique est représenté par deux catégories de
lignes : les lignes équipotentielles, parallèles avec les armatures du condensateur
(qui sont, elles aussi, équipotentielles) et les lignes de champ, qui coupent
orthogonalement
les
lignes
équipotentielles,
leurs
pieds
tombant
perpendiculairement sur les deux armatures. Ce condensateur élémentaire est
étudié dans tous les manuels de physique de lycée.
Après le traçage des deux catégories de lignes, on réalise la transformation
de Schwarz-Christoffel inverse, c’est-à-dire l’armature inférieure de la Fig. 4. passe
consécutivement par la forme intermédiaire de la Fig. 3, pour revenir à la forme
initiale de la Fig. 2.
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Modèle électrostatique du parafoudre
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nuages
terre
A1
A2
A3
A0
A3’
A2’
A1’
Fig. 4 – Le condensateur obtenu après la
transformation de Schwartz-Christoffel.
Simultanément, avec le contour de cette armature, se déformeront les lignes
du champ électrique, tout en conservant leurs propriétés originales, c’est-à-dire les
deux familles de lignes s’entrecroisent toujours orthogonalement et les lignes de
champ restent perpendiculaires sur les armatures.
Dans la Fig. 5. sont représentées les trajectoires des lignes de champ dans la
zone située au voisinage du parafoudre. On observe que, dans le voisinage des
coins concaves A3 et A3’, les lignes équipotentielles sont très distanciées les unes
des autres : donc, l’intensité du champ électrique dans ces zones est extrêmement
faible, c’est-à-dire la probabilité que des coins concaves apparaissent des traceurs
ascendants est très petite. Tout au contraire, dans le coin convexe, représenté par le
A0
A3
A3’
Fig. 5 – Le réseau des lignes équipotentielles et
des lignes de champ dans la zone du parafoudre.
sommet du parafoudre, A0, les lignes équipotentielles sont très rapprochées, ici
l’intensité du champ électrique est très grande, donc la probabilité d’apparition du
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traceur ascendant est grande aussi. Si les coins seraient parfaitement aigus, dans les
coins concaves le champ serait nul et dans les coins convexes il deviendrait infini.
De ces choses résulte une conclusion très importante d’ordre pratique, pour
chacun de nous. Si une tempête orageuse vous surprend sur un terrain plat, ne
restez pas debout : au sommet de votre tête apparaîtra un traceur ascendant et vous
aurez de grandes chances d’être frappés par la foudre. Ni la solution de courir vers
l’arbre le plus proche pour vous protéger contre la pluie sous sa couronne n’est pas
indiquée : l’arbre représente un dispositif naturel de captage du parafoudre et vous
risquez d’être accidentés en étant soumis à la tension de pas qui apparaît entre les
points de contact de vos pieds avec la terre, où s’écoule le courant de foudre. La
meilleure solution est de vous abriter dans le bâtiment le plus proche : s’il est prévu
d’un parafoudre, tant mieux ; s’il n’y a pas de parafoudre, les armatures du béton
constitueront une cage de Faraday, qui vous protégera des influences
électromagnétiques extérieures. Si l’abri trouvé est constitué de maçonnerie simple,
au moins vous avez la chance de vous protéger contre la pluie. Si vous ne trouvez
pas ni ce modeste toit qui vous mette à l’abri, je vous conseille de vous allonger sur
la terre et d’attendre patiemment que l’orage cesse, au risque d’attraper un rhume
A0
A2
A-∞
A1
A3 A3’
A2’
A1’
A+∞
Fig. 6 – Le contour sol-bâtiment-tige du parafoudre et la
distribution de l’intensité du champ électrique le long de
ce contour.
sévère, mais probablement en vous sauvant la vie.3
3
On peut retenir que, même par beau temps, dans l’atmosphère il y a un champ électrostatique
(« le champ du ciel serein »), de faible intensité. Donc, du sommet de notre tête s’érige, pendant toute
notre vie, un traceur, un « bonnet » invisible, rempli de charges électriques, dont la hauteur augmente
avec l’intensité du champ atmosphérique. À coup sûr, ces traceurs participent à l’immense concert
synergétique de tout l’Univers et ils influencent, d’une manière quelconque, toutes les manifestations
conscientes ou inconscientes de notre existence.
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Modèle électrostatique du parafoudre
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Les conclusions mentionnées sont valables pour tous les coins du contour.
Comme on voit dans la Fig. 6, le contour possède quatre coins concaves (A1, A3,
A3’, A1’); dans l’hypothèse qu’ils sont parfaitement aigus, le champ électrique dans
ces points est nul. Le contour possède aussi trois coins convexes (A2, A0, A2’); ici
l’intensité du champ est très grande; s’ils sont parfaitement aigus, le champ
électrique dans ces coins devient infini. Par conséquent, les sommets A2, A0 et A2’
représentent les points dangereux du contour, ils formeront les bases de
développement des traceurs ascendants qui attireront la foudre.
Dans la Fig. 6. on a tracé l’épure de la distribution du champ électrique le
long de la surface du sol. On observe que, à grande distance de la construction
(c'est-à-dire aux alentours du point A-∞), le champ possède une intensité constante,
non perturbée par la construction. Au fur et à mesure qu’on s’approche du coin
concave A1, l’intensité diminue jusqu'à zéro, valeur qu’elle atteint au coin. Puis, le
long de la muraille A1 – A2, l’intensité augmente jusqu'à la valeur infinie. En
parcourant la moitié de la terrasse A2 – A3, le champ diminue de cette valeur infinie
jusqu'à zéro. Enfin, en se déplaçant le long du bord gauche du parafoudre, on
constate que le champ s’accroît de zéro dans le point A3 jusqu’à l’infini dans le
point A0, sommet de la tige captatrice. Du côté droit, le champ électrique est
distribué d’une manière symétrique.
Quoique tous les trois coins convexes A2, A0 et A2’ sont parfaitement aigus,
on observe que, de notre point de vue, ils ne peuvent pas avoir un comportement
identique: leur degrés d’aiguisement est différent. A l’œil nu on observe que le
sommet A0 est plus aigu que les deux autres A2 et A2’ (l’angle formé entre les cotés
immergent et émergent dans le coin A0 est zéro, tandis que l’angle correspondant
dans les coins A2 et A2’ est de 90°).
Cette chose signifie que l’intensité du champ dans le point A0 est un infini
d’un ordre de grandeur plus grand que celui des coins A2 et A2’. Par conséquent, le
traceur développé du sommet du parafoudre sera plus vigoureux que ceux afférents
aux coins A2 et A2’, ainsi que la foudre va tomber sur la tige du parafoudre, en
évitant l’édifice protégé.
Plus le rapport entre les intensités du champ électrique au sommet du
parafoudre, EV, et des coins du bâtiment, EC, est grand, plus grande est aussi la
probabilité que la foudre tombe sur l’extrémité de la tige de captage, en épargnant
le bâtiment. Ce rapport, noté avec KP, nous l’avons nommé facteur de protection. Il
a donc l’expression
E
KP = V .
EC
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Ovidiu Centea
8
D’autre part, nous avons défini l’efficacité du parafoudre par le rapport
n
ϕ = lim
,
N →∞ N
où N est le nombre total de foudres qui tombent pendant un orage et n est le quota
des foudres qui ont été capturées par le parafoudre pendant le même orage (Si, par
exemple, N = 100 et n = 70, l’efficience du parafoudre est 0,7). Puisque n est
ϕ
3
1
Φ nécessaire
2
0,5
1
0
1
2
3
KP nécessaire
4
KP
Fig. 7 – Graphique de la dépendance entre l’efficacité du
parafoudre φ et le facteur de protection KP.
toujours inférieur à N, l’efficience est un nombre compris entre 0 et 1.
Le calcul mathématique montre que, entre efficacité φ et le facteur de
protection KP, il y a une dépendance exponentielle, représentée par le graphique de
la Fig. 7. La courbe possède trois points d’intérêt :
– le point 1, dans l’origine, où KP = 0, c’est-à-dire que le parafoudre n’est pas
installé et donc φ = 0 : aucune foudre ne sera pas capturé par le parafoudre ;
– le point 2, où le facteur de protection est égal à 1: donc, la moitié du
nombre des foudres sera capté par le parafoudre et l’autre moitié tombera sur les
coins A2 et A2’ du bâtiment, par conséquent l’efficacité de la protection sera 0,5 ;
– le point 3, dont la position est décrite par KP = ∞, quand la tige du
parafoudre est infiniment longue, c’est-à-dire son sommet perce le plan des nuages.
Il est évident que, dans ce cas, les charges électriques seront drainées vers la terre
par ce conducteur métallique, à travers l’atmosphère il n’y aura pas de décharge et
φ = 1.
La courbe de la Fig. 7 est de grande utilité pour les concepteurs des
installations de parafoudre; tenant en compte la valeur socio-économique du
bâtiment, ils choisissent l’efficacité nécessaire, et le graphique indique la valeur
correspondante du facteur de protection. Il reste que, en modifiant la position et les
dimensions de la tige captatrice du parafoudre, on réalise effectivement cette valeur
du facteur de protection.
9
Modèle électrostatique du parafoudre
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À la fin de l’exposé nous avons concentré unes des conclusions principales
que l’on peut tirer de l’étude proposée.
3. LES PROPRIÉTES PRINCIPALES DU MODÈLE ÈLECTROSTATIQUE
1. Les conditions de l’initiation de la foudre s’établissent dans la phase qui
précède immédiatement l’éclatement de la foudre, phase électrostatique.
2. Conformément à la théorie électrostatique, le développement des
phénomènes n’est pas influencé par :
– la polarité des charges des nuages et de la terre ;
– la position du point au niveau des nuages où s’initie la décharge ;
– la trajectoire des charges électriques qui parcourent la distance entre les
nuages et la terre.
3. Le point d’impact avec le sol de la foudre est déterminé par l’intensité du
champ électrique et de sa distribution le long du relief accidenté de la terre.
4. L’efficacité de la protection offerte par un parafoudre est la même,
indépendamment de l’intensité du courant de foudre.
Il faut remarquer que, en attribuant le rôle décisif concernant la
détermination de la position du point d’impact de la foudre à l’intensité du champ
électrique et à sa distribution le long de la surface de la terre, nous avons donné à
César ce qui est à César. Mais, en dehors de l’intensité du champ il y a, à titre sûr,
d’autres facteurs qui influencent cette position. Parmi ces facteurs on peut
énumérer la distribution de la composition (conductivité ?) du sol le long de sa
surface, la distribution de l’humidité et de la température dans l’atmosphère, la
direction et l’intensité des courants d’air et, peut-être, autres facteurs. Que
l’évolution des phénomènes est influencée par de tels facteurs résulte de
l’observation qu’il y a des foudres qui ont frappé les parois des bâtisses ou leurs
toits en d’autres coins que leurs sommets convexes. Par conséquent, la recherche
peut et doit être continuée, afin qu’on connaisse intégralement les phénomènes et
qu’on puisse perfectionner les méthodes de mise en œuvre des projets des
parafoudres.
Parmi les perfectionnements qu’on peut et qu’on doit ajouter aux fondements
mis par cet article, se trouvent :
– l’étude de la contribution des facteurs cités ci-dessus à l’établissement de la
position du point où tombe la foudre sur la terre: la distribution de la composition
du sol le long de sa surface, la distribution de l’humidité et de la température dans
l’atmosphère et l’influence des coups de vent ;
– la simplification de l’application de la transformation de SchwartzChristoffel, en imaginant des logiciels qui conduisent à des résultats numériques
plus rapides ;
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Ovidiu Centea
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– l’étude des méthodes qui permettent de déterminer directement les
dimensions géométriques des dispositifs de captage qui correspondent à la valeur
requise du facteur de protection.
Reçu le 21 juin 2011
REFERENCES
1. C. Gary, La foudre, MASSON, Paris, Milan, Barcelone, 1995.
1. H. Gavrilă , O.Centea, Teoria modernă a câmpului electric şi aplicaţii, EBIC ALL, Bucarest, 1998.
2. O.Centea, Echipamente pentru sudarea electrică prin topire, EMR, Bucarest, 1998.
3. O. Centea, Elemente de teoria câmpurilor. Instalaţii de paratrăsnet, EMR Bucarest 2000.
4. O. Centea, Elemente de teoria câmpurilor. Sisteme de coordonate curbilinii şi aplicaţii, EMR
Bucarest, 2000.
5. O. Centea, Le facteur de protection des parafoudres à tige verticale, Proceedings of the 1st
Flemish- Romanian Workshop, June, 8-9, 2000, Gent, Belgique.
6. Eleonora Ştefănescu, Studiul eficienţei protecţiei instalaţiilor de paratrăsnet ale construcţiilor,
Thèse de doctorat, Univ. Techn. de Constr., Bucarest, 2001.
7. O. Centea, Eleonora Ştefănescu, Două teorii cu privire la determinarea locului de impact cu solul
al trăsnetului, Conferinţa Facultăţii de Instalaţii, decembrie 2001.
8. O. Centea, Sur l’ (in)validité du modèle électrogéometrique de la foudre, Rev. Roum. Sci. Techn. –
Électrotechn. et Énerg., 52, 3(2007).
9. O. Centea, Théorie électrogéometrique ou théorie électrostatique? (Détermination du point
d’impact de la foudre avec le sol), Rev. Roum. Sci. Techn. – Électrotechn. et Énerg., 52,
4(2007).
THE ELECTROSTATIC MODEL OF THE LIGHTNING CONDUCTOR
Key words: Electrostatic model, Lightning, Tracer, Lightning conductor,
Electrostatic field, Schwartz-Christoffel mapping, Protection factor,
Lightning conductor efficiency (effectiveness).
The model of the atmosphere during thunderstorms is constituted by a cloud ceiling
parallel to the surface of the earth, over which is erected a building having on top a
lighting conductor. Using the Schwartz-Christoffel mapping, the soil and building’s
contour is transformed into a straight line, and thus a parallel plate capacitor is
obtained, which is characterized by a bidimensional uniform electric field. Returning to
the initial contour, it is found that the electric field strength becomes infinite near the
convex corners. Therefore, the lightning will be attracted to these areas. The ratio
between the electric field intensity values at the top of the lightning conductor and at
the convex corners of the building, KP, and the efficiency of the device φ – the quota of
the captured lightning strikes during a thunderstorm, are linked by an exponential
dependence, very useful for the design of the lightning protection systems.