Chapitre 11 : électricité, deuxième partie

Chapitre 11 : électricité, deuxième partie
1 La force magnétique
1.1 La découverte de la force magnétique
On connaissait très peu de choses concernant le magnétisme avant 1820. Les Grecs savaient que
certaines pierres attiraient de petits morceaux de fer et comme ces pierres venaient de
Magnésie (aujourd'hui en Turquie), on parla de magnétisme. Ces pierres sont en fait des
aimants naturels et c'était la seule manifestation du magnétisme connue avant 1820. Voici les
éléments qui furent découverts avant cette date.
Pôle Nord et Sud
On découvrit, fort probablement au 9e siècle en Chine, que les
aimants s'alignent dans la direction nord-sud, ce qui mena
directement à l'invention de la boussole. On donna alors le nom de
pôles aux deux côtés de l'aimant. Le pôle nord est le côté de
l'aimant qui pointe vers le nord et le pôle sud est évidemment le
côté de l'aimant qui pointe vers le sud.
En jouant avec des boussoles, on se rend compte assez rapidement que parfois les aimants
s'attirent et parfois ils se repoussent. On arrive aussi rapidement à la conclusion suivante.
Il est fort probable que les Chinois connaissaient ces lois d'attraction et de répulsion, mais
aucun texte ne les mentionne. Le plus vieux texte connu qui mentionne ces lois fut écrit par
Pierre de Maricourt en 1269.
Beaucoup plus tard (par Mitchell en 1750, et de façon plus précise par Coulomb en 1785), on
mesura la force entre les pôles en utilisant des aimants très longs et on arriva à la conclusion
que la force diminuait avec le carré de la distance.
La Terre est un aimant
Les lois d'attraction des pôles permirent à William Gilbert de déduire en
1600 que la Terre devait être un gigantesque aimant avec un pôle
magnétique sud dans l'Arctique et un pôle magnétique nord en
Antarctique (oui, oui, vous avez bien lu).
On pouvait alors expliquer pourquoi l'aimant s'alignait dans la direction
nord-sud. Le pôle nord de la boussole est attiré par le pôle magnétique
sud dans l'arctique et le pôle sud de l'aimant est attiré par le pôle
magnétique nord en antarctique.
Gilbert en fit la démonstration devant la reine Elisabeth lère et sa
cour. En déplaçant une petite boussole sur la surface d'une
Terrella magnétique, petit aimant sphérique faisant office de
Terre pour vérifier l'orientation d'un aimant tout autour de cette
sphère, William Gilbert reproduit le comportement directionnel
de la boussole. Non seulement, l'aiguille pointe en direction des
pôles de la Terrella, mais encore, l'aiguille articulée sur un axe
horizontal pointe vers la surface sphérique de la Terrella plus ou
moins fortement en fonction de sa position par rapport aux
pôles magnétiques.
La boussole s'oriente aussi vers le sol et que plus on est au nord, plus la boussole s'incline vers le
sol. Dans, l'Arctique, la boussole pointe presque directement vers le sol alors qu'à l'équateur, la
boussole est presque horizontale. Cette déviation vers le sol s'appelle l'inclinaison magnétique.
Ces résultats étaient en accord avec les observations faites à ce sujet depuis que Georg
Hartmann avait découvert l'inclinaison magnétique en 1544. La première observation de
l'inclinaison magnétique est en fait à attribuer à Georg Hartmann (1489-1564), qui la relate dans
une lettre au Duc de Prusse en 1544, mais cette information étant restée cachée, Robert
Norman la re-découvre indépendamment en 1584.
Il n'y a pas de monopôles magnétiques
On découvrit aussi qu'on ne pouvait obtenir de monopôle magnétique, c'est-à-dire un aimant
avec uniquement un pôle nord ou uniquement un pôle sud. Les deux pôles sont toujours
présents sur un aimant, ce qui veut dire qu'on a toujours un dipôle magnétique.
Même si on coupe un aimant en deux, on n'aura pas de monopôles
puisqu'on verra apparaitre de nouveaux pôles sur chaque morceau pour
qu'on ait toujours un dipôle.
Même si on continuait à séparer ainsi l'aimant jusqu'à ce qu'on ait
séparé tous les atomes, on verrait que chaque atome est un petit dipôle
magnétique.
Malgré tous les efforts déployés (parce que certaines théories en physique des particules
postulaient l'existence de monopôles magnétiques), on n'a jamais observé de monopôles
magnétiques.
C'est John Mitchell qui montra en 1750 que les deux pôles de l'aimant avaient toujours
exactement la même intensité.
Cela résume à peu près ce qu'on savait du magnétisme à la fin du 18e siècle.
Un aimant n'a aucun effet sur l'électricité statique
Pendant longtemps, on voyait mal la distinction qu'il y avait entre la force électrique, qui n'était,
selon les connaissances de l'époque, qu'une simple attraction de petits morceaux de papier par
de l'ambre frotté, et la force magnétique, qui n'était qu'une simple attraction de petits
morceaux de fer par un aimant naturel. Gerolamo Cardano fut probablement le premier à
comprendre, en 1550, qu'on avait affaire à deux phénomènes complètement différents.
Ainsi, si une charge électrique immobile est à proximité d'un aimant, il ne se passe absolument
rien.
Encore aujourd'hui, les gens peuvent confondre l'électricité et le magnétisme. Impossible de
faire une boussole en frottant une aiguille sur son linge. En frottant l'aiguille, on lui donne une
charge électrique (et encore, il ne faut pas la tenir directement avec nos doigts, car on doit
isoler les conducteurs si on veut les charger), ce qui n'a rien à voir avec une boussole.
1.2 Le champ magnétique
Comme en électricité, on va utiliser le concept de champ. On part de l'idée simple que si un
pôle magnétique subit une force quand il est à un endroit, alors il y a un champ magnétique à
cet endroit. On va noter ce champ B. C'est une notation empruntée à Maxwell qui utilisait les
lettres de A à H pour noter des vecteurs. Dans cette notation, les trois composantes du champ
magnétique étaient représentées par les lettres B, C, D. Les pôles nord subissent une force dans
le sens du champ et les pôles sud subissent une force dans le sens contraire du champ.
Plus le champ est fort, plus la force sur les pôles est grande :
Un dipôle dans un champ magnétique subit les forces suivantes :
On voit que les forces sur le dipôle l'amènent à s'aligner avec les
lignes de champ. Les boussoles, qui sont des dipôles, tournent
donc pour s'orienter avec la direction du champ, magnétique,
exactement comme les dipôles électriques tournent pour
s'aligner avec la direction du champ électrique.
Action d’un champ magnétique sur une aiguille aimantée
Le champ magnétique d'un aimant exerce sur une
aiguille aimantée un moment de force.
Si l'aiguille est en rotation libre, elle tourne jusqu'à
une position d'équilibre, dans laquelle ce moment est
nul.
On va aussi utiliser les lignes de champ pour représenter le champ magnétique. Ces lignes de
champ respectent encore une fois les règles suivantes :
Propriétés des lignes de champ
1. Le champ est toujours tangent à la ligne de champ, dans la direction de la ligne
2. Plus les lignes de champ s'approchent les unes des autres, plus le champ est fort
3. Les lignes de champ ne peuvent pas apparaître ou disparaître dans le vide
4. Le nombre de lignes de champ qui arrivent ou qui partent d'un pôle est proportionnel
à l'intensité du pôle.
5. Les lignes de champ ne se croisent pas
Par exemple, le champ d'un barreau aimanté ressemble à ceci :
On peut voir sur l'image suivante que les
boussoles qui s'orientent dans le sens du
champ magnétique autour d'un aimant.
On peut aussi mettre ce champ en évidence en mettant de la limaille de fer autour d'un aimant.
Comme chaque petit morceau de fer est un dipôle, chacun s'aligne avec le champ, ce qui nous
permet de visualiser le champ.
Le champ magnétique autour de l’aimant droit
Les schémas suivants représentent les lignes de champ magnétique autour de l’aimant
droit. Sur l’image de droite, on a placé de la limaille de fer qui agit comme de minuscules
boussoles autour de l’aimant. Même si on ne peut en voir l’orientation, il est intéressant de
remarquer comment la forme des lignes de champ magnétique se compare d’un dessin à l’autre.
Il est important de remarquer que les lignes partent toujours du pôle nord magnétique et se
rendent au pôle sud magnétique.
Le schéma suivant représente le même aimant mais
quelques boussoles ont été insérées.
Les boussoles sont toujours orientées de la même façon
que la ligne de champ magnétique la plus proche. Soit
elles sont repoussées par le nord magnétique, soit elle
sont attirées par le sud magnétique.
Le champ magnétique autour de l’aimant en U
Le schéma suivant représente les lignes de champ magnétique autour de l’aimant en U.
Les lignes de champ magnétique partent toujours du pôle nord magnétique en direction du pole
sud magnétique.
L'attraction entre les aimants
Pour comprendre pourquoi les aimants s'attirent, il faut comprendre comment se comporte un
dipôle (parce que les aimants sont des dipôles) dans un champ magnétique.
Premièrement, un aimant dans un champ magnétique uniforme
subit une force nette nulle. En effet, les forces sur les pôles de
l'aimant font tourner l'aimant pour qu'il s'aligne avec le champ.
Toutefois, la force nette sur le dipôle reste toujours nulle puisque
les pôles subissent des forces de même grandeur dans des
directions opposées.
Pour qu'il y ait une force sur un aimant, on doit avoir un champ non uniforme.
Dans le cas illustré sur la figure, la force sur le pôle nord est
maintenant plus grande que celle sur le pôle sud, car le champ
est plus grand du côté du pôle nord. Les forces ne s'annulent
plus exactement et l'amant est attiré vers la gauche. On
pourrait examiner plusieurs situations pour se rendre compte
que, une fois que le dipôle est aligné avec le champ
magnétique, il est toujours attiré vers l'endroit où le champ est
le plus fort.
Il y a une force entre les aimants justement parce que les aimants ne font pas des champs
magnétiques uniformes.
Prenons la situation où on approche le pôle nord d'un aimant du
pôle sud d'un autre aimant.
Sur la figure, on voit le champ fait par l'aimant 1. L'aimant 2 est
donc placé dans un champ magnétique non uniforme dirigé vers la
gauche. Il y a une force vers la gauche sur pôle nord de l'aimant 2
et une force vers la droite sur le pôle sud de l'aimant 2. Mais
comme le champ est plus fort à l'endroit où est le pôle nord, la
force sur le pôle nord (vers la gauche) est plus grande que la force
sur le pôle sud (vers la droite). Il y a donc une force nette vers la
gauche sur l'aimant 2 et l'aimant 2 est donc attiré par l'aimant 1
Prenons maintenant la situation où on approche le pôle sud d'un
aimant du pôle sud d'un autre aimant.
Sur la figure, on voit le champ fait par l'aimant 1. L'aimant 2 est
donc placé dans un champ magnétique non uniforme dirigé vers la
gauche. Il y a une force vers la gauche sur pôle nord de l'aimant 2
et une force vers la droite sur le pôle sud de l'aimant 2. Mais
comme le champ est plus fort à l'endroit où est le pôle sud, la force
sur le pôle sud (vers la droite) est plus grande que la force sur le
pôle nord (vers la gauche). Il y a donc une force nette vers la droite
sur l'aimant 2 et l'aimant 2 est donc repoussé par l'aimant 1
Le champ magnétique associé à l’interaction entre deux aimants
Il existe deux formes de champ magnétique lorsque l’on approche deux aimants un de
l’autre. La forme du champ magnétique sera différente si les pôles qui sont rapprochés sont
identiques ou non.
Interaction entre deux pôles différents (forme de l’oignon)
Lorsque deux pôles différents se
rencontrent, on observe entre ces deux
pôles la même forme que l’intérieur d’un
oignon coupé en deux.
Interaction entre deux pôles semblables (forme de la croix)
Comme on peut le voir sur l’image ci-dessous, la
forme des deux champs magnétiques est identique
si on étudie deux pôles nord ou deux pôles
sud. Cependant, l’orientation des lignes de champ
est différente. On sort toujours par le nord
magnétique et on entre toujours par le sud
magnétique. La forme de la croix au centre de
chacun des champs magnétiques est remarquable.
1.3 La force magnétique sur une charge électrique en mouvement
Les courants dévient les boussoles
Au 18e siècle, certains pensaient qu'il devait exister un lien entre l'électricité et le magnétisme.
On tentait, depuis au moins 1770, de découvrir si un aimant peut exercer une force sur des
charges électriques ou si des charges électriques peuvent dévier une boussole, mais sans
succès. Les aimants ne faisaient aucune force sur les charges électriques dans les situations
explorées.
Il faut attendre 1820 pour que Hans Christian Ørsted découvre ce lien. Sachant que les éclairs
faisaient dévier une boussole, il fait l'hypothèse que ce doit être le courant qui fait dévier la
boussole. Quand il vérifie expérimentalement cette idée le 21 avril 1820, les résultats
confirment l'hypothèse sans l'ombre d'un doute : quand le courant passe au-dessus d'une
boussole comme sur la figure, elle change de direction.
Voici une version très simple de cette expérience :
http://www.youtube.com/watch?NR=1&v=NwEBJBlneNE
Cela signifie donc que les courants peuvent donc exercer une force sur les pôles de l'aimant
pour le faire dévier, et donc que le courant électrique dans le fil fait un champ magnétique.
La force magnétique sur un courant
Selon la troisième loi de Newton, si les courants exercent une force sur les pôles magnétiques,
cela veut dire que les pôles exercent une force sur les courants. Un aimant peut donc exercer
une force sur un fil parcouru par un courant.
En voici une magnifique démonstration :
http://www.youtube.com/watch?v=tUCtCYty-ns
Autrement dit, Ørsted venait aussi de découvrir qu'il y a une force sur un courant placé dans un
champ magnétique.
La force magnétique sur une charge en mouvement
Comme les courants sont en fait des charges en mouvement, cela signifie que les aimants
peuvent exercer une force sur une charge en mouvement, donc que les charges électriques en
mouvement dans un champ magnétique subissent une force.
On peut faire une démonstration de cette force avec une télévision à écran cathodique
(télévision à tube). Dans ce type de télévision, l'image est créée en projetant des électrons sur
un écran de verre recouvert d'une substance fluorescente (à l'intérieur du tube). Quand les
électrons frappent cette substance, il y a de la lumière d'émise, ce qui permet de faire l'image.
Toutefois, quand on approche un aimant, l'image se déforme.
http://www.youtube.com/watch?v=owI6Ya73ykI
Elle est déformée parce que l'aimant exerce une force sur les électrons pendant qu'ils se
dirigent vers l'écran, ce qui les dévie de leur trajectoire. Ils frappent donc l'écran à la mauvaise
place et l'image est déformée.
Des expériences ont montré que cette force est...
1. proportionnelle à la charge q
2. proportionnelle à la vitesse de la charge v
3. proportionnelle au champ magnétique B
4. proportionnelle au sinus de l'angle θ entre la vitesse de la charge et la direction
du champ magnétique.
En combinant ces résultats, on obtient
En fait, cette équation nous sert également de définition du champ magnétique. On peut
trouver l'intensité du champ magnétique en mesurant la force sur une charge en mouvement
dans ce champ. Si on sait les valeurs de la charge, de la vitesse, de la force et de l'angle entre
la vitesse et le champ, cette équation nous permet de calculer l'intensité du champ.
L'unité de champ doit donc être des Ns/mC (pour qu'on obtienne une réponse en newton
dans ce calcul). On a donné le nom de tesla à cette unité.
On utilise aussi le gauss pour mesurer le champ :
Pour vous donner une idée, le champ magnétique de la Terre est d'environ 50 µT (0,5 G) et le
champ à la surface d'un aimant de frigo est d'environ 5 mT. Un champ magnétique de 1 T est un
champ magnétique vraiment intense. On retrouve de tels champs à la surface d'un aimant au
néodyme (qui sont très difficiles à séparer à mains nues) ou dans un appareil à résonance
magnétique.
La direction de la force est un peu surprenante. Pour la trouver, on utilise la règle de la main
droite :
Certains d'entre vous ont peut-être reconnu les règles de la grandeur du produit vectoriel et de
la direction du produit vectoriel. On peut donc écrire la formule de la force magnétique sous la
forme suivante.
Avec de tels produits vectoriels, nous aurons souvent des vecteurs dans les trois dimensions de
l'espace. Il arrivera donc qu'il y ait des vecteurs qui sortent de la page ou qui entrent dans la
page et il peut être utile de rappeler la notation pour ces vecteurs.
1.4 La force magnétique sur un courant (force de Laplace)
Maintenant qu'on a vu la formule de la force sur une charge en mouvement, on va pouvoir
trouver la formule de la force magnétique sur un fil parcouru par un courant.
Dans un courant, il y a plusieurs charges qui se déplacent avec la vitesse de dérive. La force sur
chacune de ces charges est :
S'il y a N charges qui font le courant, la force totale est simplement la somme de toutes ces
forces :
Le nombre de charges dépend de la densité de charges libres n et du volume du fil. On a donc :
Si on prend un fil avec une aire A et une longueur l, le volume est A x l. On a donc :
La force est donc :
Or, comme le courant dans un fil est:
cela signifie que la force est :
On trouve aussi la direction avec la règle de la main droite. Comme le courant est dans la
même direction que le mouvement des charges positives, on place initialement nos doigts
dans le sens du courant.
On peut appliquer cette formule pour un bout de fil tant que B, θ et l'orientation du fil sont
constants. Si B ou θ ou l'orientation du fil varient, on sépare le fil en morceaux où B, θ et
l'orientation du fil sont constants, on calcule la force sur chacun de ces morceaux et on somme
ensuite pour trouver la force magnétique nette.
Si le fil n’est pas rectiligne comme sur l’exemple cicontre, l'orientation change constamment, et on va
devoir séparer le fil en petits morceaux de longueur
infinitésimale dl et intégrer :
Si le champ est constant, on peut alors sortir le champ de l'intégrale. En notation vectorielle, on
a alors :
où le vecteur dl est un petit vecteur orienté dans le sens du fil.
Or, la figure ci-contre nous montre à quoi ressemble cette addition de
vecteurs.
Tous les petits vecteurs dl mis bout à bout refont exactement la forme du
fil. La somme de ces vecteurs est simplement un vecteur qui va du début
du fil à la fin du fil. Appelons D ce vecteur.
On peut donc calculer la force sur le fil avec :
qui est la même formule que pour le fil rectiligne.
Ainsi, on peut facilement calculer la force sur notre arc de cercle en remplaçant l'arc de cercle
par un fil rectiligne allant du point de départ au point final du fil.
La force est donc :
et elle est vers le haut selon la règle de la main droite
Le moteur linéaire
On peut utiliser la force magnétique sur des courants pour
propulser des objets. Donnons ici l'exemple d'une tige
conductrice mobile sur des rails conducteurs.
Quand on met une différence de potentiel entre les rails à
l'aide d'une source, il y aura un courant dans la tige. Si le
tout est placé dans un champ magnétique dans la direction
montrée sur la figure, il y aura une force sur la tige :
On peut donc accélérer la tige et lui donner beaucoup de vitesse. En reliant la tige à un objet,
on peut accélérer à peu près n'importe quoi ainsi.
C'est d'ailleurs sur ce principe que fonctionnent les
catapultes servant à accélérer les avions sur les porteavions plus récents. Sur ce film, l'avion se fait tirer par une
telle catapulte (la catapulte est fixée à l'avion sur la roue
avant, quand l'avion quitte le sol, elle se détache).
http://www.youtube.com/watch?v=eL9tmes8eu0
1.5 Une boucle de courant magnétique dans un champ uniforme
Force nette sur la boucle de courant
La force nette sur une boucle dans un champ magnétique uniforme
est nulle selon ce qu'on vient de voir. En effet, si on remplace le fil
par un fil en ligne droite qui va du début du fil jusqu'à la fin du fil,
on obtient un fil qui a une longueur nulle, car le point de départ est
à la même place que le point final pour un fil qui fait une boucle qui
se referme sur elle-même.
On a donc que :
peu importe la forme de la boucle
Moment de force nette sur la boucle de courant
Par contre, il peut y avoir un moment de force sur
une boucle de courant, ce qui peut la faire
tourner. Pour simplifier, nous avons considéré une
boucle rectangulaire, mais on pourrait arriver au
même résultat en prenant une boucle de
n'importe quelle forme.
On voit très bien que les deux forces montrées sur la figure cherchent à faire tourner la boucle
dans le sens indiqué par les flèches rouges. Il y a aussi une force vers le haut sur le dessus de la
boucle et une force vers le bas sur le dessous de la boucle, mais ces deux forces ne font pas
tourner la boucle.
Un calcul simple donne pour le moment de force le résultat :
Il se peut qu'il y ait plusieurs tours de fil sur une telle boucle.
Dans ce cas, chaque tour fait un moment de force et le moment
de force est simplement la somme des moments de force pour
chaque tour. S'il y a N tours de fil, on a donc :
Dans cette formule, il y a un groupe de quantités qu'on retrouve dans toutes les formules d'une
boucle dans un champ magnétique. On a donc inventé une nouvelle quantité pour le
représenter :
Il s'agit en fait d'un vecteur dont
l'orientation est un peu particulière :
Reprenons notre situation de départ. Dans ce cas, voici la direction du moment dipolaire
magnétique (on a mis en gris le plan de la boucle pour qu'il soit plus évident) :
Avec ce vecteur, on peut alors voir que la rotation de la boucle se fait dans le sens qui permet
au vecteur µ de s'aligner avec le champ.
On peut alors formuler les règles suivantes pour le moment de force sur une boucle de courant
dans un champ magnétique.
Il n'est pas si surprenant que µ s'appelle le moment dipolaire. La boucle dans un champ tourne
pour aligner le vecteur µ avec le champ magnétique exactement comme un dipôle magnétique
tourne dans un champ pour s'aligner avec le champ. Le comportement des boucles de fil dans
un champ magnétique est donc très similaire au comportement des dipôles
Le moteur électrique
Un moteur électrique est une simple boucle dans un champ
magnétique. On fait passer un courant dans la boucle, ce qui fait
tourner la boucle pour que n s'aligne avec le champ.
Ici, la boucle tourne dans le sens indiqué par la flèche circulaire en
haut de l'axe de rotation.
Sauf qu'une fois que µ est aligné avec le champ, il ne se passe plus
rien.
C'est alors qu'on va changer le sens du
courant dans a boucle. Cela inverse la
direction de fi, et il n'est plus aligné avec
le champ. La boucle doit donc faire un
autre demi-tour pour réaligner  avec B
La boucle va donc faire un demi-tour pour que µ s'aligne à nouveau avec le champ. Quand il
est aligné, on inverse une nouvelle fois le sens du courant, ce qui change la direction de n et
qui force la boucle à faire encore un demi-tour pour refaire l'alignement. On change alors
encore la direction du courant, ce qui force la boucle à faire encore un demi-tour, et ainsi de
suite... On a alors un moteur qui tourne.
Comment faire pour que les fils ne s'emmêlent pas?
Si les fils de la bobine sont simplement branchés à
une source, ils vont s'entortiller un autour de l'autre
avec la rotation de la bobine. Pour éviter cela, on
utilise des petits balais métalliques qui frottent sur
des anneaux sur lesquels sont fixés les fils de la
bobine
Cette animation vous montre le fonctionnement d'un
moteur électrique
On peut voir sur cette animation comment on change le
sens du courant chaque demi tour avec les balais
http://www.youtube.com/watch?v=Xi7o8cMPI0E
2 Les courants sont des sources de champ magnétique
2.1 Le champ magnétique d’un fil rectiligne infini parcouru pas un courant
Quand Ørsted trouva qu’un courant dévie une boussole, il venait en fait de découvrir qu’un
courant créé un champ magnétique autour de lui. En effet, si la boussole est déviée, c’est qu’il y
a une force sur les pôles de la boussole et donc qu’il y a un champ magnétique.
La grandeur du champ magnétique fait par un fil rectiligne infini parcouru par un courant I est :
Dans cette formule, R est la distance entre l’endroit où on veut savoir le champ et le centre du
fil. µ0 est une constante qu’on appellera constante magnétique (elle est aussi appelée
perméabilité du vide) qui vaut :
Les lignes de champ forment des cercles autour du fil.
On peut d’ailleurs voir sur cette image que les
boussoles s’alignent dans une direction tangente à
un cercle entourant le fil sur cette image quand il y
a un courant (le courant dans le fil sur cette image
est vers le bas)
Pour trouver la direction du champ
magnétique, on utilise une règle de la
main droite (la troisième!). On place
notre pouce dans la direction du
courant et nos doigts pointent alors
dans la direction du champ
magnétique.
C’est ce que vous montrent l’animation suivante :
http://www.youtube.com/watch?v=Z927bDX1l04
et la vidéo suivante :
http://www.youtube.com/watch?v=CfUCOlMoQvE
Notez que le champ est toujours tangent aux lignes de
champ. Comme les lignes de champ forment des cercles
autour des fils, le champ sera toujours perpendiculaire à une
ligne allant du fil jusqu’au point où un veut connaitre le
champ (ligne R sur la figure)
2.2 La force magnétique faite par des fils rectilignes infinis
On calcule le champ puis la force.
On applique ici l’idée derrière le principe du champ : séparer le calcul en deux parties :
1) On calcule le champ fait par le fil infini.
Les fils infinis font un champ magnétique dont la grandeur est :
2) On calcule la force sur l’objet dans le champ.
Si une charge se déplace dans ce champ, elle subira une force valant :
et s’il y a un fil parcouru par un courant dans ce champ, il subira la force :
Grandeur de la force par unité de longueur entre deux fils rectilignes infinis parallèles
Il y a un cas qui a une certaine importance. Il s’agit de la force entre deux fils rectilignes infinis
parallèles. Dans ce cas, les fils vont s’attirer mutuellement ou se repousser mutuellement. Voici
pourquoi.
Le courant dans le fil 1 va faire un champ magnétique. Le champ
magnétique fait par le fil 1 à la distance où est situé le fil 2 est :
Le courant I2 sera donc dans un champ magnétique (fait par le fil
1) et il y aura une force magnétique sur le fil 2. Cette force est :
Avec la règle de la main droite, on trouve que le fil 2 sera attiré par
le fil 1. Évidemment, selon la troisième loi de Newton, l’attraction
sera mutuelle, ce qui veut dire que les fils s’attireront l’un et
l’autre. Si le courant 2 avait été dans l’autre direction, les deux fils
se seraient repoussés mutuellement.
Comme on a, en théorie, des fils infinis, c’est difficile de parler de la longueur du fil 2.
Toutefois, on peut trouver la force par unité de longueur entre les fils. On la trouve en divisant
la force sur le fil par la longueur du fil :
On a donc :
Cette formule fut obtenue pour la première fois par André-Marie
Ampère en 1822.
Les films suivants vous montrent ces forces entre des fils :
http://www.youtube.com/watch?v=kapi6ZDvoRs
http://www.youtube.com/watch?v=43AeuDvWc0k
Définition de l’ampère
Ce phénomène a une importance particulière parce qu’on l’utilise pour définir l’ampère.
La définition exacte de l’ampère est :
Cette définition fait en sorte que la constante magnétique prend la valeur exacte de 4π10-7
Tm/A. Cela impose aussi la valeur de ε0, car on doit avoir ε0 -1=µ0c².
À partir de cette définition, on définit le coulomb comme la charge obtenue en 1 seconde avec
un courant de 1 ampère. On prend cette définition, car elle est, semble-t-il, plus axée sur
l’expérience que de simplement définir le coulomb à partir de la charge du proton comme on
l’a fait au début.
2.3 Champ au centre de courbure d’un arc de cercle
On montre :
2.4 Champ au centre d’une boucle (ou anneau) circulaire avec N tours de fils
On n’a simplement qu’à appliquer la formule de l’arc de cercle. Avec N tours de fil, l’angle fait
par l’arc est :
On a donc :
Pour la direction, on peut trouver la direction du
champ avec la règle de la main droite qu’on connait
déjà. On place notre pouce dans le sens du courant et
nos doigts vers le centre de l’anneau (endroit où on
veut connaitre le champ). La direction du champ est
donnée par la direction vers laquelle nos doigts plient.
En fait, le champ doit absolument être perpendiculaire
au plan de la boucle. Il ne reste donc que deux
possibilités pour la direction du champ : d’un côté du
plan de la boucle, ou de l’autre côté.
On peut aussi trouver la direction du champ avec une autre règle de la main droite pour
déterminer la direction du champ au centre de la boucle.
On pourrait calculer le champ n’importe où autour de
l’anneau, mais les calculs sont beaucoup plus longs que ce
qu’on vient de faire. Voici l’allure du champ qu’on obtient
dans le cas d’un anneau parcouru par un courant.
2.5 Champ dans un solénoïde
Un solénoïde ressemble beaucoup à un ressort. On va faire passer un courant dans le fil et on
veut connaitre le champ dans le solénoïde.
On peut trouver ce champ en sommant le champ de chaque petit bout de fil formant le
solénoïde. On ne fera pas ce calcul ici.
Le résultat est remarquable : le champ est constant à l’intérieur du
solénoïde (à condition que les anneaux du solénoïde soient assez
près l’un de l’autre et qu’on ne soit pas trop près des bouts du
solénoïde). La grandeur du champ dans le solénoïde est :
On utilise parfois la densité de tour de fil du solénoïde, qui est :
On a alors :
Les lignes de champs sont parallèles à l’axe du solénoïde.
Vous pouvez aussi observer sur cette figure que le champ
est uniforme à l’intérieur du solénoïde, en remarquant
que les lignes de champ sont équidistantes.
Pour savoir dans quelle direction elles suivent l’axe, on prend le même truc qu’avec l’anneau
(c’est la même règle parce que le solénoïde est en fait une série d’anneaux)
3 Aimantation dans la matière
Il n’existe que deux façons de créer un champ magnétique : avec un courant ou avec de la
matière. On a vu les champs magnétiques faits par les courants, examinons maintenant
comment la matière peut aussi créer un champ magnétique.
3.1 Introduction
Dès le VIème siècle avant Jésus Christ, les Grecs connaissent la pierre de magnétite, un étrange
minerai qui attire le fer. Ils l'appellent pierre de Magnésie du nom de la cité du même nom
située en Asie mineure - aujourd'hui la Turquie - près de laquelle on en trouve de grandes
quantités. Thales de Milet, puis Aristote, expliquent les propriétés de ces roches par la
philosophie animiste :
« Toutes choses sont pleines de Dieux. L'aimant (...) est vivant car il a la puissance de mouvoir le
fer. »
Les Chinois connaissent aussi cette pierre et le fait que le fer est attiré par elle. Ils nomment ces
minéraux tzhu shih, c'est à dire « pierres qui s'aiment ».
Aux environs de l'an 200 avant Jésus Christ, ils découvrent que lorsque la pierre de magnétite est
placée sur un radeau sur l'eau, elle pointe toujours vers le sud. C'était les premières observations
du champ magnétique terrestre.
Les premières boussoles, constituées d'une cuillère taillée dans une pierre de magnétite et
d'un plateau en bronze font leur apparition.
Il faut attendre le VIIIème siècle après Jésus Christ pour voir apparaître, en Chine toujours, la
forme la plus récente de la boussole, qui consiste alors en une aiguille de fer aimantée. En
Europe, ces objets arrivent par l'intermédiaire des marchands arabes au XIIème siècle.
Reconstitution moderne d’une ancienne boussole chinoise
(vers le IIème siècle avant J.C.).
Une « cuillère » taillée dans la magnétite (oxyde de fer
Fe3O4 naturellement aimanté) peut tourner librement
sur une plaque de bronze poli.
La plaque de bronze symbolisant la Terre est elle-même
posée sur un support carré symbolisant le Ciel.
Cet instrument a très longtemps été utilisé pour la
divination avant d’être employé pour la navigation. Le
manche de la cuillère pointe généralement vers le sud.
Pour aimanter les aiguilles de fer, la première des techniques consiste à frotter l'aiguille contre
la pierre de magnétite. Ces premières expériences montrent la persistance de l'aimantation de
la matière qui a été soumise à l'action d'un champ magnétique. On parle d'aimantation
rémanente. Mais l'aiguille ainsi traitée ne conserve pas son aimantation très longtemps et c'est
pourquoi à bord des navires on trouve généralement toujours une pierre de magnétite.
La technique plus récente consiste à chauffer l'aiguille de fer et à l'aimanter ensuite pendant
qu'elle refroidit. Elle acquiert alors une aimantation thermorémanente. L'avantage de cette
technique est qu'il n'est plus nécessaire d'aimanter régulièrement ces aiguilles.
Cela était fort pratique, mais personne n'était capable d'expliquer pourquoi ces roches ou ces
aiguilles de fer étaient capables de ne pas perdre le Nord. Il fallut attendre le début du XXème
siècle pour que Paul Langevin (physicien français, 1872-1946) publie en 1905 sa théorie sur la
nature microscopique du magnétisme.
3.2 Moments magnétiques atomiques et aimantation
Selon Langevin, les matériaux magnétiques sont formés d'une multitude de petits aimants.
À l'intérieur des atomes, les mouvements orbitaux des électrons et les mouvements des protons
des noyaux créent des courants électriques produisant un champ magnétique.
Un électron en mouvement sur une orbite fermée
autour de l'atome est l'équivalent d'une boucle de
courant et crée donc un moment magnétique. Il le
nomme moment magnétique orbital.
De plus, chaque électron porte un
moment magnétique intrinsèque,
appelé moment magnétique de
spin. La somme totale de ces
moments magnétiques, qui varie
d'un élément à l'autre, détermine
l'intensité du moment magnétique
atomique.
Chaque atome peut être considéré comme un dipôle magnétique et on peut lui associer un
moment magnétique atomique M.
Moment magnétique orbital
On peut transposer le lien entre le moment magnétique et le moment cinétique qu'il existe en
mécanique classique à la mécanique quantique. Ainsi, au moment cinétique orbital d'une
particule de charge q et de masse m est associé un moment magnétique orbital µL :
Le facteur q/2m est appelé rapport gyromagnétique.
Moment magnétique de spin
D'une manière similaire, on définit le moment magnétique de spin µS par :
où g est un nombre pur, appelé facteur de Landé (1921). Ce nombre varie selon la nature de la
particule.
3.3 Susceptibilité magnétique et types de matériaux magnétiques
Si l'on applique à un matériau un champ magnétique extérieur H (en A.m-1), l'intensité de
l'aimantation induite M ou A (en A.m-1 également) est proportionnelle, modulo un coefficient
sans dimension, noté χm qui définit la susceptibilité magnétique de l'élément considéré :
uur
uur
M = χm H
Matériaux diamagnétiques
Si la structure atomique comporte un nombre pair d'électrons, tous appariés en doublets
associant deux électrons de spin opposé, alors le moment magnétique - tant au niveau
atomique qu'au niveau macroscopique - est nul.
Un champ magnétique extérieur entraînera une modification des rotations des électrons et
induit un champ qui tend à s'opposer à celui qui lui a donné naissance. Il sera de sens inverse,
toujours très faible et indépendant de la température.
S'il n'y a plus de champ extérieur, il n'y a pas de phénomène de rémanence et le moment
magnétique total redevient nul. On parle alors de diamagnétisme. Les gaz, l'eau, le quartz, la
calcite, de nombreux métaux et la plupart des composés organiques sont des corps
diamagnétiques.
Par convention, la susceptibilité magnétique
des corps diamagnétiques est négative et
indépendante de la température.
Matériaux paramagnétiques
Si la structure atomique comporte un nombre impair d'électrons, ou un
nombre pair d'électrons qui ne sont pas tous appariés en doublets, le
moment résultant n'est pas nul. Chaque atome constitue alors un dipôle
qui, en l'absence de champ magnétique extérieur, est orienté au hasard.
Ainsi, la somme des moments magnétiques (micro-aimants) est nulle à
l'échelle macroscopique, le corps n'est pas aimanté.
Sous l'effet d'un champ, l'élément acquiert une aimantation induite de
même sens que le champ appliqué (ex : l'aluminium, le baryum, le
calcium, le platine, le sodium,...).
Mais s'il n'y a plus de champ extérieur, le moment magnétique
macroscopique redevient nul. On parle alors de paramagnétisme.
La susceptibilité magnétique des corps paramagnétiques est positive et
dépendante de la température.
En 1895, Pierre Curie (physicien français, 1859-1906) soutient sa thèse sur « les propriétés
magnétiques des corps soumis à diverses températures » et montre expérimentalement que les
corps paramagnétiques sont caractérisés par une très forte susceptibilité magnétique qui
décroît avec la température. C'est la loi de Curie :
où χm est la susceptibilité magnétique (sans dimension), C est la constante de Curie du matériau
(en Kelvin) et T est la température absolue (en Kelvin également).
Le moment magnétique peut donc devenir assez important si la température est très basse.
C’est ce qui se produit ici avec l’oxygène liquide
http://www.youtube.com/watch?v=Lt4P6ctf06Q
Le comportement est d’autant plus linéaire que la température augmente.
Matériaux ferromagnétiques
Pour la magnétite (et l'aiguille de la boussole en fer), le phénomène de rémanence vient du fait
que chacun de ces aimants minuscules peuvent interagir l'un sur l'autre. Cette interaction
d'échange tend à aligner les moments magnétiques dans une même direction. Elle est parfois si
grande que les moments de tous les atomes localisés dans une région, appelée domaine de
Weiss, s'alignent dans la même direction même en l'absence d'un champ ambiant. On a alors
affaire à un matériau fortement aimanté qualifié de ferromagnétique.
Les propriétés magnétiques de ces matériaux sont alors interprétées comme le compromis entre
la tendance des petits aimants à s'aligner les uns avec les autres et l'agitation thermique qui
tend à leur donner des directions aléatoires.
Dans une roche, les minéraux ferromagnétiques (la magnétite par exemple, Fe3O4) sont
dispersés sous forme de grains de tailles variées.
A chaque ion du réseau cristallin, on peut associer un petit aimant ou un petit moment
magnétique. Les spins sont parallèles (ou antiparallèles) d'un ion au suivant et cet ordre s'étend
sur des centaines, voire des milliers d'ions. Théoriquement, il devrait s'étendre à tout le volume
du grain. Mais si le grain est gros (quelques dizaines de µm à quelques mm), il y a action
antagoniste due à l'énergie magnétostatique rayonnée à l'extérieur de ce grain. Cette action est
moindre si le grain est divisé en deux domaines de Weiss d'aimantation antiparallèle ou mieux
encore en quatre domaines ou plus. Les domaines de Weiss sont en nombre et en organisation
tels qu'ils minimisent l'interaction de l'échantillon avec le champ magnétique extérieur, en
permettant la fermeture de toutes les lignes de champ à l'intérieur de la substance.
Domaine de Weiss et parois de Bloch à l'intérieur d'un mono-cristal de substance
ferromagnétique pour trois tailles de cristal. Le nombre de domaine de Weiss est
fonction de la taille du cristal.
Les domaines magnétiques sont séparés par des parois magnétiques appelées parois de Bloch,
à l'intérieur desquelles les orientations de spin tournent progressivement, ce qui permet
d'accommoder la discontinuité d'orientation d'un domaine à l'autre. On ne peut pas subdiviser
un grain en domaines trop petits du fait de l'augmentation de l'énergie magnétostatique des
parois. En dessous d'une certaine taille, un grain ne contient donc qu'un seul domaine, on les
appelle des grains mono-domaines (Single Domain ou SD en anglais). S'il est plus gros, il se
divise et devient un grain poly-domaine (Multi Domain ou MD). On utilise encore parfois une
appellation pour les grains hybrides ayant des propriétés intermédiaires : les grains pseudo
mono-domaine (Pseudo Single Domain ou PSD).
Considérons un système dans la phase ferromagnétique et comportant plusieurs domaines
magnétiques : un grain poly-domaine (figure de gauche ci-dessous).
Le système est bloqué dans un état métastable. L'état de plus basse énergie correspond en fait
à celui où tous les moments magnétiques sont orientés dans la même direction. Cependant
pour atteindre cet état, il faut modifier l'orientation d'un nombre important de moments
magnétiques. À basse température, la chaleur apporte trop peu d'énergie au système pour
réaliser cette opération.
Vous pouvez voir sur cette figure les domaines d’un cristal de NdFeB. Typiquement, ces
domaines ont des dimensions des quelques dizaines de micromètres.
Pour modifier la direction d'un moment magnétique, on peut alors appliquer un champ
magnétique. Les moments magnétiques atomiques qui vont se retourner, sont ceux à l'interface
entre les deux domaines (la paroi de Bloch). En augmentant le champ magnétique, on va
déplacer la paroi du domaine. Le passage d'un domaine à l'autre se fait progressivement sur une
épaisseur d'une centaine d'atomes par rotation des spins dans le plan de séparation. On dit
alors que le matériau a acquis une aimantation rémanente isotherme - ARI (en anglais,
Isothermal Rémanent Magnetization - IRM). Dans la nature, une roche qui subit un impact de
foudre, est soumise pendant un temps très court à un champ magnétique fort. Elle acquiert une
aimantation rémanente isotherme.
Il est possible également d'apporter un peu d'énergie calorifique au système. Dans ce cas, les
moments magnétiques prennent des directions aléatoires, se compensent et l'aimantation
totale du cristal devient nulle. Il passe alors dans une phase paramagnétique. La température au
delà de laquelle s'effectue ce changement d'état magnétique, est appelée la température de
Curie Tc.
Le système étant dans une phase paramagnétique, si on applique un champ magnétique
extérieur, les moments magnétiques de la structure cristallographique vont tous s'orienter
suivant la direction et le sens du champ appliqué. Lorsque l'on refroidit le système en dessous de
sa température de Curie, il est alors à nouveau dans sa phase ferromagnétique. L'interaction
d'échange bloque les moments magnétiques dans une même direction : celle acquise sous
l'influence du champ magnétique appliqué précédemment et que l'on peut donc supprimer. Le
matériel a ainsi acquis une aimantation thermorémanente - ATR (en anglais, Thermal Rémanent
Magnetization - TRM). Cette température est propre à chaque minéral magnétique (ex : Tc =
585°C pour la magnétite, Tc = 770°C pour le fer et Tc = 675°C pour l'hématite).
Enfin, il est important de noter que deux autres types d'aimantation rémanente peuvent
être acquises par les roches dans la nature. Nous ne détaillerons pas les processus mais ils
peuvent être expliqués simplement.
Pour les roches sédimentaires, l'aimantation est acquise lors du dépôt des particules qui
s'orientent parallèlement à la direction du champ magnétique ambiant, puis fossilisent
cette direction. On parle alors d'aimantation rémanente détritique - ARD (detrital rémanent magnetization - DRM en anglais).
Lors de la transformation ou la formation de nouveaux minéraux, la roche peut
également acquérir une aimantation rémanente chimique - ARC (en anglais, Chemical
Rémanent Magnetization -CRM).
En résumé…
Dans les matériaux ferromagnétiques, au-dessous d'une certaine température dite température
de Curie, les moments magnétiques atomiques ont tendance à s'aligner spontanément dans une
même direction par interactions entre atomes, créant des domaines d'aimantation spontanée.
Si la température dépasse la température de Curie, les moments ne sont plus parallèles :
l'aimantation décroît jusqu'à s'annuler.
Un matériau peut donc se désaimanter à condition qu’il soit porté à une température
suffisamment haute.
Sous l'action d'un champ extérieur, les domaines dont l'aimantation est de même sens que le
champ extérieur croissent et pour une valeur suffisante du champ appliqué, tous les moments
atomiques sont parallèles entre eux (aimantation de saturation).
Lors de la décroissance ou de l'annulation du champ il subsiste une aimantation rémanente.
3.4 Courbe de première aimantation et cycle d’hystérésis
Lorsqu'un corps ferromagnétique est aimanté pour la première fois, son aimantation croît
selon sa courbe de première aimantation jusqu'à sa valeur de saturation.
Lorsque l'on a magnétisé un échantillon de matériau jusqu'à la
saturation et que l'on fait décroître l'excitation H, on constate que B
décroît également mais en suivant une courbe différente qui se situe
au-dessus de la courbe de première aimantation. Ceci est le fait d'un
retard à la désaimantation. On dit qu'il y a hystérésis
Lorsque H est ramené à 0, il subsiste un champ magnétique Br appelé
champ rémanent. Pour annuler ce champ rémanent, il est nécessaire
d'inverser le courant dans le solénoïde, c’est-à-dire d'imposer à H une
valeur négative. Le champ magnétique s'annule alors pour une valeur
de l'excitation Hc appelée excitation coercitive.
Le cycle d’hysteresis d’un matériau ferromagnétique.
En haut : courbe de première aimantation
Au départ (point A) le matériau n’est pas aimanté.
L’application d’un champ magnétique H va lui faire
prendre une aimantation (point B). Lorsque le
champ magnétique appliqué est retiré, le matériau
conserve son aimantation (C) : c’est devenu un
aimant.
En bas : le cycle d’hysteresis complet.
Il faut appliquer un champ magnétique -Hc, appelé
champ coercitif, pour faire perdre son aimantation
au matériau (D).
L’application d’un champ -H plus intense va
aimanter le matériau dans l’autre sens (E).
Là encore, lorsqu’on retire le champ magnétique
appliqué le matériau conserve son aimantation (F),
et un champ coercitif +Hc est alors nécessaire pour
lui faire perdre son aimantation (G).
L’application d’un champ +H plus intense inversera
de nouveau son aimantation (B).
Le cycle peut être parcouru à volonté, aimantant
ainsi le matériau dans un sens ou dans l’autre.
Lorsqu'un barreau de matériau magnétique est
placé à l'intérieur d'une bobine, l'induction B n'est
pas proportionnelle à l'excitation magnétique
(champ) H. Si l'on part d'un barreau non aimanté la
courbe de première aimantation ressemble à la
courbe OAS en bleu sur la figure ci-jointe.
En A commence la saturation : si le champ
augmente l'induction B n'augmente plus que très
faiblement.
Si le champ diminue jusqu'à s'annuler, l'induction est
conservée en partie : le barreau est aimanté.
Pour H= 0 il reste une induction rémanente +Br.
Pour annuler cette induction il est nécessaire d'inverser le champ magnétique jusqu'à la valeur Hc appelé champ « coercitif ».
Si l'on diminue H jusqu'à la valeur -Hs, d'intensité égale à Hs puis que l'on ramène H à zéro
l'induction B dans le barreau reste à -Br.
Les pertes par hystérésis sont proportionnelle à la surface grisée sur la figure, elles dépendent
du matériau utilisé. Les aimants permanents artificiels sont réalisés avec des matériaux à fort
champ coercitif.
B (T)
BR champ magnétique rémanent
2
1
3
H
BR
H
4
HC excitation coercitive
H
HC
0
-1
H (A m )
Energie perdue par hystérésis :
B (T)
Lors de la décroissance du courant,
l’énergie restituée correspond à l’aire
de surface A’.
A'
A
Lors de la croissance de l’intensité du
courant, l’énergie emmagasinée
correspond à l’aire de surface A.
-1
H (A m )
0
Chaque fois que l’aimantation parcourt un
cycle, l’énergie perdue par unité de volume est
proportionnelle à l’aire de surface du cycle.
B (T)
-1
H (A m )
0
Matériaux durs
matériaux (ex. : acier) qui présentent une forte
aimantation rémanente et difficile à annuler (Hc est
grand). Ils sont utilisés pour faire des aimants
permanents.
Le cycle est large.
Matériaux doux
matériaux (ex. : fer) qui possèdent une aimantation
rémanente facile à annuler (Hc est petit). Ils sont utilisés
pour les moteurs et les tôles des circuits magnétiques des
transformateurs.
le cycle est étroit
Propriétés magnétiques des éléments atomiques
Caractéristiques et propriétés des différentes types magnétiques
4 L’induction électromagnétique
4.1 La découverte de l’induction
On savait depuis la découverte d’Ørsted en 1820 qu’un courant crée un champ magnétique. On
pensa donc qu’on pouvait aussi faire l’inverse : obtenir un courant à partir d’un champ
magnétique.
Pendant 10 ans, on ne parvient pas à obtenir un courant dans un fil avec un champ magnétique,
peu importe la configuration de champ magnétique et de fil. On pouvait par exemple tenter la
situation suivante.
Le courant passant dans le solénoïde du bas fait un champ magnétique, mais il n’apparait aucun
courant dans le fil du haut (ou de différence de potentiel aux bornes de ce fil, ce qui revient au
même) quand le courant circule dans le fil du bas.
Finalement, en 1830, Joseph Henry et Michael Faraday découvrent indépendamment comment
on peut obtenir un courant dans une boucle de fil. Henry fit la découverte en premier, mais c’est
Faraday qui publia ses résultats en premier.
Dans la situation illustrée sur notre figure (qui
est pratiquement équivalent au montage qui a
permis à Faraday de découvrir le phénomène),
on remarque qu’il y a un courant dans le fil du
haut uniquement pendant un bref moment
quand on ferme ou quand on ouvre
l’interrupteur.
Ampère avait d’ailleurs observé, avant Faraday, ces courants qu’il y a pendant un bref instant
quand on démarre le courant, mais il avait pensé que c’était un problème avec l’appareil.
Faraday et Henry venaient de découvrir l’induction électromagnétique. Ce qu’on obtient en fait
est une différence de potentiel entre les deux extrémités du fil formant la boucle (qui peut faire
plusieurs tours comme c’est le cas dans notre figure). La différence de potentiel obtenue
s’appelle la différence de potentiel induite et elle est notée :
Cette différence de potentiel fera un courant si la boucle de fil se referme sur elle-même pour
faire un circuit. On aura alors un courant induit.
Faraday découvre très rapidement qu’il y a plusieurs façons d’obtenir une différence de
potentiel induite (ou un courant induit). Prenons deux cas qui nous permettront de découvrir
les lois régissant l’induction électromagnétique.
Expérience 1
Dans le premier cas, on obtient une différence de potentiel induite
en approchant ou en éloignant un aimant d’une boucle de fil.
On peut alors faire les observations suivantes :
1.
Il y a une différence de potentiel induite uniquement si l’aimant et la bobine
s’approchent ou s’éloignent l’un de l’autre. On peut déplacer l’aimant pour le
faire, mais on pourrait aussi déplacer la bobine de fil tout en laissant l’aimant à
la même place.
2.
Plus on déplace l’aimant rapidement, plus la différence de potentiel induite est
importante.
3.
Quand on approche l’aimant avec le pôle nord en premier, il y a un courant
dans un sens (figure de gauche). Si on éloigne l’aimant, le courant dans la
bobine est dans l’autre sens (figure de droite). Si on approche l’aimant avec le
pôle sud en premier, le courant sera inversé par rapport à ces figures.
Le vidéo suivant illustre cette expérience :
http://www.youtube.com/watch?v=hajIIGHPeuU
Expérience 2
On obtient aussi une différence de potentiel induite ou un courant
induit si on fait tourner une boucle de fil dans un champ
magnétique.
On peut alors faire les observations suivantes :
1. Il y a une différence de potentiel induite uniquement si la bobine tourne. Notez qu’on
pourrait obtenir une différence de potentiel en laissant la boucle immobile et en faisant
tourner les aimants autour de la boucle.
2. Plus la boucle tourne rapidement, plus la différence de potentiel induite est importante.
3. La direction du courant dans la boucle alterne pendant la rotation. Le courant est dans
un sens pendant la moitié de la rotation et il est dans l’autre sens pendant l’autre moitié
de la direction. Le changement de direction se fait quand le plan de la boucle est
perpendiculaire aux lignes de champ.
Voyons comment on peut interpréter chacune de ces observations.
4.2 Le flux magnétique
La différence de potentiel induite dépend de la variation de flux magnétique.
Revenons sur les premières observations de nos expériences :
« Il y a une différence de potentiel induite uniquement si l’aimant et la bobine s’approchent ou
s’éloignent l’un de l’autre. On peut déplacer l’aimant pour le faire, mais on pourrait aussi
déplacer la bobine de fil tout en laissant l’aimant à la même place ».
et :
« Il y a une différence de potentiel induite uniquement si la bobine tourne. Notez qu’on pourrait
obtenir une différence de potentiel en laissant la boucle immobile et en faisant tourner les
aimants autour de la boucle ».
Dans les deux cas, on remarque qu’il y a une variation du nombre de lignes de champ traversant
la surface délimitée par la boucle. En approchant l’aimant de la boucle, on augmente le nombre
de lignes de champ passant dans la boucle. En éloignant l’aimant, on diminue le nombre de
lignes de champ passant dans la boucle. En faisant tourner la boucle, le nombre de lignes de
champ traversant la boucle varie continuellement. Il est maximum quand le plan de la boucle est
perpendiculaire aux lignes de champ et il n’y a plus de lignes traversant la boucle quand le plan
de la boucle et parallèle aux lignes de champ.
Des observations de ce type permettent donc à Faraday de conclure assez vite que la différence
de potentiel induite et le courant induit dépendaient de la variation du nombre de lignes de
champ traversant une surface délimitée par la boucle.
Comme le flux magnétique calcule le nombre de lignes de champ traversant une surface, cela
signifie que la différence de potentiel induite et le courant induit dépendent de la variation du
flux magnétique dans la bobine.
Définition du flux magnétique.
On définit comme suit le flux magnétique traversant une surface :
La valeur de ce flux est proportionnelle au nombre de lignes de champ magnétique qui
traversent la surface.
Ce flux est en Tm². On a donné un nom à l’unité mesurant le flux magnétique, c’est le weber
(Wb)
Le flux d'induction magnétique Φ qui traverse une surface S est égal au nombre de lignes de
forces du champ d'induction magnétique B qui pénètre la surface S. Il correspond au produit
scalaire de ces deux vecteurs. Son unité d'expression dans le système international d'unités est
le Weber (unité homogène à des volt-seconde).
Une conséquence importante de la conservation du flux d’induction magnétique est la non
existence des monopôles magnétiques.
L’angle est l’angle entre le champ et le vecteur A, qui est un vecteur perpendiculaire au plan de
la boucle, donc dans la direction de l’axe de la boucle.
Toutefois, il y a deux vecteurs possibles pour A, car il y a deux côtés à une surface. On peut
clairement définir une convention avec une surface fermée, car il y a un intérieur et un extérieur
dans ce cas. Si la surface n’est pas fermée, il n’y a pas de convention et on peut prendre le côté
de la surface qu’on veut pour notre vecteur A.
Dans l’exemple précédent, on aurait donc pu prendre un des deux vecteurs suivants :
Avec le vecteur de la figure de gauche, l’angle avec le champ dans l’exemple est de 60°, alors
qu’il aurait été de 120° avec le vecteur de la figure de droite. En utilisant le vecteur de la figure
de droite, on aurait obtenu un flux de même grandeur, mais négatif.
S’il n’y a pas de convention, lequel doit-on choisir? En fait, vous pouvez prendre celui que vous
voulez. La suggestion : choisir le vecteur A qui fait le plus petit angle avec le champ. Avec cette
suggestion, on prend 60° dans l’exemple. Une fois votre choix de la direction de A fait, ne le
changez plus pendant le problème, même si le champ change de direction.
4.3 La différence de potentiel induite dépend du taux de variation du flux
Revenons sur les deuxièmes observations :
« Plus on déplace l’aimant rapidement, plus la différence de potentiel induite est Importante ».
Et :
« Plus la boucle tourne rapidement, plus la différence de potentiel induite est importante ».
Ces observations montrent que le temps que dure la variation du flux est aussi important.
Un changement de flux constant de 10 Wb en 5 secondes va induire une différence de
potentiel deux fois plus grande qu’un changement de flux de 10 Wb en 10 secondes. Plus le
changement se fait rapidement, plus la différence de potentiel induite est grande. Ces
observations nous amènent à conclure que :
si le rythme de variation est constant.
Si le rythme de variation n’est pas constant, la différence de potentiel induite va
continuellement changer. La valeur instantanée de la différence de potentiel induite sera égale
au taux instantané de variation du flux magnétique. On a donc :
Des expériences montrent que la constante de proportionnalité est simplement le nombre de
tours de fil dans la boucle (N).
On montrera plus tard qu’on doit avoir cette constante de proportionnalité pour qu’il y ait
conservation de l’énergie.
4.4 La loi d’induction de Faraday
On va maintenant compléter la loi avec les observations sur le sens du courant :
« Quand on approche l’aimant avec le pôle nord en premier, il y a un courant dans un sens
(figure de gauche). Si on éloigne l’aimant, le courant dans la bobine est dans l’autre sens
(figure de droite). Si on approche l’aimant avec le pôle sud en premier, le courant sera inversé
par rapport aux courants de ces figures ».
« La direction du courant dans la boucle alterne pendant la rotation. Le courant est dans un
sens pendant la moitié de la rotation et il est dans l’autre sens pendant l’autre moitié de la
direction. Le changement de direction se fait quand le plan de la boucle est perpendiculaire
aux lignes de champ ».
Définition du sens positif pour le courant
Voici comment on va tenir compte du sens du courant dans la formule. On va premièrement
définir un sens positif pour le courant dans notre boucle. Le sens positif va dépendre du choix
de la direction du vecteur A qui a été fait lors du calcul du flux magnétique. Une fois notre A
choisi, on met notre pouce dans la direction de ce vecteur.
Nos doigts nous indiquent alors la direction positive du courant dans la boucle.
Le sens du courant est indiqué par le signe dans la formule de l’induction
Avec cette convention, on remarque, lors d’expérience, que quand le flux dans la boucle
augmente, le courant est dans le sens négatif. Quand le flux diminue, le courant est dans le sens
positif.
On peut tenir compte du signe de ce courant avec la formule de l’induction en l’ajustant pour
qu’elle donne le bon signe. On arrive alors à notre version définitive de la formule d’induction
électromagnétique :
Ainsi, quand le flux augmente, la dérivée est positive, ce qui nous donne une différence de
potentiel négative, ce qui nous indique que le courant sera dans le sens négatif. Si le flux
diminue, la dérivée sera négative et la différence de potentiel sera positive, ce qui signifie que le
courant sera dans le sens positif.
Cela explique bien nos observations avec l’aimant et la
bobine. Prenons le cas où le pôle nord de l’aimant est vers
la bobine pour illustrer le tout. Supposons qu’on ait choisi
un vecteur A dans la direction indiquée sur la figure pour
l’aire de la bobine.
Avec cette direction pour A, le flux dans la bobine est positif
(puisque le champ dans la bobine est dans la même direction
que le vecteur A). Quand on approche l’aimant, le champ
dans la bobine augmente, ce qui fait augmenter le flux. La
dérivée du flux est donc positive, et le courant est dans le
sens négatif.
Quand on éloigne l’aimant, le champ dans la bobine diminue,
ce qui fait diminuer le flux. La dérivée du flux est donc
négative, et le courant est dans le sens positif.
Avec la bobine qui tourne, le courant va alterner puisque le
flux va augmenter puis diminuer à tour de rôle pendant la
rotation de la boucle. Nous examinerons davantage cette
situation dans une section plus loin.
Différence de potentiel si la boucle ne se referme pas sur elle-même
Si la boucle ne se referme pas, il n’y aura pas de courant, mais il
y aura quand même une différence de potentiel. Pour trouver
quelle extrémité du fil aura le potentiel le plus grand, on trouve
le sens du courant qu’il y aurait si le fil était refermé sur luimême. Ce courant nous indique vers quelle extrémité du fil les
charges positives iront s’accumuler et c’est cette extrémité qui
aura le potentiel le plus grand.
Il existe une autre façon de déterminer le sens du courant induit. C’est la loi de Lenz.
La loi de Lenz
Prenons un exemple pour illustrer cette loi.
Supposons qu’on approche un aimant (pôle nord en premier) d’un anneau
métallique tel qu’illustré sur l’image. Dans ce cas, le flux dans la boucle
augmente et le champ qui fait le flux est vers la droite.
La loi de Lenz nous dit que si le flux augmente, le courant induit va faire
un champ magnétique induit dans le sens contraire du champ qui fait le
flux. Comme le champ qui fait le flux dans l’anneau est vers la droite, le
champ induit est vers la gauche. Ainsi, pour que le champ soit vers la
gauche, il faut que le courant soit dans la direction indiquée sur la
figure.
Si on éloigne l’aimant, le flux diminue et le champ est toujours vers la
droite.
La loi de Lenz nous dit que si le flux diminue, le courant induit va faire
un champ magnétique induit dans le même sens que le champ qui fait le
flux. Comme le champ qui fait le flux dans l’anneau est vers la droite, le
champ induit est vers la droite. Ainsi, pour que le champ soit vers la
droite, il faut que le courant soit dans la direction indiquée sur la figure.
Ce sont les mêmes directions que celle qu’on obtiendrait avec la méthode du signe du courant.
Notez que si l’anneau était coupé de sorte qu’il ne se referme pas sur lui-même, le courant ne
pourrait pas circuler l’anneau ne pourrait pas agir comme un aimant. Il n’y aurait donc pas de
force entre l’anneau et l’aimant dans ce cas.
On peut voir ces effets dans la vidéo suivante :
http://www.youtube.com/watch?v=4PdXTMEb_8s
5 Les générateurs
5.1 Différence de potentiel aux bornes d’un générateur
Dès la découverte de l’induction, Faraday tente de fabriquer un générateur, c'est-à-dire un
appareil qui va fournir une différence de potentiel. À un politicien qui lui demandait à quoi
allaient servir ses découvertes, Faraday aurait répondu qu’il ne le savait pas, mais qu’un jour le
gouvernement pourrait le taxer… Il avait bien raison puisque la très grande majorité de
l’énergie électrique produite aujourd’hui est obtenue à partir de l’induction électromagnétique
(le reste provient de batteries ou des panneaux solaires).
Après quelques essais, la solution retenue fut de faire tourner une
boucle de fil dans un champ magnétique.
Si on relie ces deux fils à un circuit, on aura du
courant. On pourrait, par exemple, faire
fonctionner une ampoule. C’est ce qu’on peut
voir dans cette vidéo :
http://www.youtube.com/watch?v=-jd4-twQobs
En tournant ainsi à vitesse constante, l’angle entre le champ et le vecteur A change
continuellement. L’angle est :
où ω est la vitesse angulaire de rotation et θ0 est l’angle initial entre le champ B et A.
La différence de potentiel induite aux bornes de la boucle est donc :
Comme le champ magnétique B et l’aire de la boucle A sont des constantes, on peut les sortir de
la dérivée pour obtenir :
On va appeler ∆v cette différence de potentiel aux bornes de la source. Comme le sinus peut
valoir 1 au maximum, la valeur devant le sinus est la valeur maximale de la différence de
potentiel induite. On va appelée cette valeur maximale ∆v0. On a donc :
La différence de potentiel varie donc de façon sinusoïdale. On a donc la différence de potentiel
suivante en fonction du temps (sur cette figure θ0 = 0).
On obtient ce qu’on appelle une différence de potentiel alternative. Si on branche cette source à
un circuit, il y aura un courant qui variera aussi de façon sinusoïdale qu’on appelle un courant
alternatif, noté AC (pour alternative current). Quand le courant est toujours dans le même sens,
comme quand on branche une batterie à un circuit, on obtient un courant continu, noté DC
(pour direct current). C’est du courant alternatif qu’il y a dans votre prise de courant à la
maison. La différence de potentiel entre les deux trous de la prise a une amplitude de 220 V et
la fréquence d’oscillation est de 50 Hz.
L’animation suivante vous montre le flux
passant dans la boucle et le courant fourni par
le générateur en fonction de la position de la
boucle.
http://www.youtube.com/watch?v=wchiNm1CgC4
Comment faire pour que les fils ne s’emmêlent pas?
Si les fils de la bobine sont simplement branchés à un
circuit, ils vont s’entortiller un autour de l’autre avec la
rotation de la bobine. Comme pour les moteurs, on
utilise des petits balais métalliques qui frottent sur des
anneaux sur lesquels sont fixés les fils de la bobine.
Symbole du générateur
Voici le symbole du générateur servant à le représenter dans un circuit :
En fait, c’est le symbole pour n’importe quelle source de courant alternatif.
5.2 Un générateur, c’est aussi un moteur
Le moteur et le générateur sont identiques
Vous avez sans doute remarqué que les moteurs et les générateurs sont identiques. Dans les
deux cas, il y a une boucle de fil qui tourne dans un champ magnétique. En fait, les deux sont
exactement identiques et il est possible de se servir d’un générateur comme moteur ou d’un
moteur comme générateur. La différence est dans l’utilisation. Dans le cas du moteur, on fait
passer un courant dans les fils et la force magnétique fait tourner la boucle. Dans le cas d’un
générateur, on fait tourner la boucle avec une force externe, ce qui engendre la formation d’un
courant.
La vitesse de rotation maximale d’un moteur
En fait, c’est tellement identique que c’est ce qui limite la vitesse de rotation d’un moteur. La
première fois qu’on a parlé du moteur électrique, on aurait dû arriver à la conclusion que le
moteur allait continuellement accélérer puisque le moment de force fait sur la boucle par le
champ magnétique semblait être toujours le même.
En réalité, ce moment de force diminue avec la rotation parce que le
moteur est aussi un générateur. Quand la boucle se met à tourner, il y
a une variation de flux dans la boucle, ce qui crée une différence de
potentiel induite. Cette différence de potentiel est toujours opposée
à la différence de potentiel de la source qui envoie le courant dans la
boucle (figure), ce qui fait diminuer le courant.
Plus le moteur tourne vite, plus la différence de potentiel induite est
grande.
Ainsi, au départ, il n’y a que la différence de potentiel de la source et le courant est très grand.
Le moment de force est donc important et la boucle accélère beaucoup. Puis, avec le moteur
qui tourne de plus en plus vite, la différence de potentiel induite augmente. Comme elle
s’oppose à la source, cela fait diminuer le courant, ce qui diminue la force sur les fils et donc le
moment de force. L’accélération du moteur diminue jusqu’à ce que la différence de potentiel
induite soit égale à la différence de potentiel de la source.
À ce moment, il n’y a plus de courant dans le circuit et le moment de force est nul. Il n’y a donc
plus d’accélération et la boucle tourne à vitesse constante. Si le moteur fait tourner quelque
chose, le moteur fera un moment de force et la différence de potentiel fait par la source sera
un peu plus grande que la différence de potentiel induite, de sorte qu’il y aura un courant dans
la boucle. On atteindra l’équilibre quand le moment de force sur la boucle sera égal au moment
de force qu’il faut pour faire tourner l’objet branché au moteur.
6 Les inducteurs
6.1 L’inductance mutuelle
Définition de l’inductance mutuelle
Nous allons développer ici un raccourci pour calculer la différence de potentiel induite. Bien
qu’on puisse le faire pour des boucles de fils de n’importe quelle forme, on va prendre deux
solénoïdes près l’un de l’autre pour illustrer la situation.
Si le courant I1 varie, on a alors la séquence suivante :
- Si le courant I1 varie, alors le champ fait par le solénoïde 1 (B1) varie.
- Si le champ B1 varie, alors le flux fait dans le solénoïde 2 (φ2) varie.
- Si le flux φ2 varie, alors il y a une différence de potentiel induite aux bornes du
solénoïde 2 (E2).
Tout ça pour dire que si I1 varie, alors il y a une différence de potentiel induite aux bornes du
solénoïde 2 (E2). On veut pouvoir trouver E2 directement à partir de dI1/dt.
Premièrement, on sait que la différence de potentiel induite est :
Comme le flux est proportionnel au champ fait par la bobine 1 :
et que le champ est proportionnel au courant dans la bobine 1 :
On devrait avoir que :
et donc que :
Cela veut dire que :
où M, appelée l’inductance mutuelle, est la constante de proportionnalité entre E2 et dI1/dt.
Remarquez que l’effet peut se faire dans le sens inverse, ce qui signifie qu’une variation de
courant dans le circuit 2 entraîne la création d’une force électromotrice dans le circuit 1.
Ce qui est remarquable, mais ne nous le prouverons pas, c’est que la valeur de M est
exactement la même quand on inverse le rôle des bobines. Le choix que vous allez faire pour
désigner un circuit comme étant le « circuit 1 » et l’autre circuit comme étant le « circuit 2 » n’a
donc aucune influence et ce choix est arbitraire.
Comme E2 est en volts et que dI1/dt est en ampères par seconde, M doit être en Vs/A. On a
donné le nom de henry à cette unité.
Calcul de l’inductance mutuelle
La valeur de M dépend de la forme et de la position des deux circuits (celui où le courant
circule et l’autre où il y a un courant induit).
Comme la différence de potentiel induite peut être calculée avec ces deux formules :
On doit avoir :
Puisque M et N2 sont des constantes, on peut écrire :
En intégrant, on a :
(Il n’y a pas de constante d’intégration, car le flux est nul si le courant est nul).
On a finalement :
Ça semble simple à calculer, mais ce ne l’est pas. Pour obtenir la valeur du flux, il faut connaitre
le champ magnétique fait par le courant I1 partout à l’intérieur du circuit 2. Le calcul du champ
magnétique n’est pas toujours facile. Une fois qu’on a le champ partout à l’intérieur du circuit,
on doit l’intégrer sur toute la surface délimitée par le circuit pour calculer le flux dans le circuit,
ce qui peut être aussi un bon défi.
Il n’y a en fait qu’un seul cas simple : deux solénoïdes coaxiaux.
Dans ce cas, on a :
où r est le rayon du solénoïde ayant le plus petit rayon et l est toujours la longueur du solénoïde
le plus long.
6.2 L’auto-inductance
Définition de l’auto-inductance
Reprenons notre situation de la section précédente :
La bobine 1 ne fait pas uniquement un flux magnétique dans la bobine 2, elle en fait un aussi
dans elle-même. Si le champ magnétique change, il y aura un changement de flux dans la
bobine 2 et dans la bobine 1. Ainsi, le changement de courant dans la bobine 1 va entrainer la
création d’une différence de potentiel aux bornes des deux bobines. La variation de courant
dans la bobine 1 agit donc sur elle-même pour créer une différence de potentiel à ses bornes.
On appelle ce phénomène l’auto-induction.
On peut trouver cette différence de potentiel induite avec la loi d’induction de Faraday, mais on
va plutôt tenter de la trouver en prenant le même raccourci qu’on a fait dans la section
précédente : on veut trouver la différence de potentiel directement à partir du taux de variation
de courant. On veut donc travailler avec la règle suivante.
où L, appelé l’auto-inductance, est la constante de proportionnalité entre E et dI/dt. L’autoinductance L est aussi mesurée en henry.
Calcul de l’auto-inductance
La valeur de L dépend de la forme du circuit dans lequel passe le courant. Comme la différence
de potentiel induite peut être calculée avec ces deux formules :
On doit avoir :
Puisque M et N sont des constantes, on peut écrire :
En intégrant, on a :
(Il n’y a pas de constante d’intégration, car le flux est nul si le courant est nul).
On a finalement :
L’auto-inductance d’un solénoïde
Le cas le plus simple est l’auto-inductance d’un solénoïde. C’est aussi le cas le plus important,
car ce sont souvent les solénoïdes qui ont l’auto-inductance la plus grande. Elle est tellement
plus grande, qu’on va toujours négliger l’auto-inductance de tout le reste du circuit.
On trouve après calcul :
L’auto-inductance avec un noyau de fer
On augmente beaucoup l’inductance d’un solénoïde en plaçant un noyau de fer à l’intérieur du
solénoïde. Le fer étant dans un champ magnétique, il devient lui-même une source de champ
magnétique. Le champ magnétique est maintenant plus grand à l’intérieur du solénoïde
puisque le champ de fer s’ajoute à celui fait par le courant.
En fait, on peut mettre n’importe quelle substance ferromagnétique à l’intérieur du solénoïde.
Avec la substance, le champ devient µr fois plus fort, où µr est la perméabilité relative de la
substance. Voici la valeur approximative de la perméabilité relative typique pour quelques
substances ferromagnétiques :
(Notez que la valeur de la perméabilité du fer change beaucoup selon la pureté et la structure
cristalline du fer).
Puisque le champ est multiplié par µr, le flux est aussi multiplié par µr.
Puisque l’inductance est :
elle est aussi multipliée par µr. On a donc :
Le fait de mettre un cœur de fer dans un solénoïde peut donc multiplier par 200 l’inductance du
solénoïde.
6.3 Les inducteurs
Un objet ayant une auto-inductance élevée placé dans un circuit est un
inducteur. Généralement, il s’agit d’une bobine de fil qui joue ce rôle. Voici
quelques exemples d’inducteur utilisés dans des circuits.
Parfois, ça ressemble un peu moins à une bobine, mais c’est parce qu’elle
est simplement recouverte de céramique :
Symbole de l’inducteur
On utilise les symboles suivants pour représenter un inducteur dans un circuit :
Circuit avec une source et un inducteur
Si on branche un inducteur à une pile, on a le circuit suivant :
On pourrait noter la différence de potentiel aux bornes de l’inducteur
avec E, mais c’est plutôt rare qu’on va le faire dans un circuit parce qu’on
pourrait la confondre avec la différence de potentiel aux bornes de la
source. On va plutôt simplement utiliser ∆VL.
Dans notre circuit, la différence de potentiel aux bornes de l’inducteur doit être la même que
celle de la source. Or, il y a de différence de potentiel aux bornes de l’inducteur uniquement
quand le courant dans le circuit varie (si on néglige la résistance de l’inducteur). La grandeur de
cette différence de potentiel est :
Puisque cette différence de potentiel doit être la même que celle de la source, on a :
Puisque E et L sont des constantes, cela signifie que le courant
monte à un rythme constant dans ce circuit. On a donc le
graphique suivant pour le courant en fonction du temps.
La pente de la droite dans ce graphique est E /L.
Lois de Kirchhoff avec les inducteurs
On pourra utiliser les lois de Kirchhoff dans les circuits comportant des inducteurs. On doit donc
savoir ce qu’on doit faire avec les inducteurs avec la loi de maille.
Le signe négatif dans –L dI/dt signifie que quand le courant monte (dI/dt positif), il y a une
différence de potentiel qui s’oppose au courant. Cela veut dire qu’en traversant l’inducteur dans
le sens du courant, on va passer du potentiel le plus grand au potentiel le plus petit et le
potentiel va baisser :
Si on va dans le sens contraire du courant, on va passer du potentiel le plus bas au potentiel le
plus haut et le potentiel va monter.
Les règles pour la loi des mailles sont donc :
6.4 Les inducteurs en série et en parallèle
Inducteurs en série
Supposons qu’on ait plusieurs inducteurs branchés en série tels qu’illustrés sur cette figure :
Puisque le courant doit toujours être le même dans tous les inducteurs, le taux de variation du
courant dI/dt doit être le même dans les trois inducteurs.
La loi des mailles de ce circuit est donc :
On veut trouver l’inducteur équivalent qui va nous donner le même taux de
variation du courant.
La loi des mailles de ce circuit est :
Puisqu’on a la même source dans les deux cas, on peut égaler les E pour obtenir :
On peut facilement extrapoler à plusieurs inducteurs pour obtenir :
Inducteurs en parallèle
Supposons qu’on ait plusieurs inducteurs branchés en parallèle tels
qu’illustrés sur cette figure.
Dans ce cas, la différence de potentiel aux bornes des trois inducteurs
est E.
Selon la loi des nœuds, on doit avoir :
ce qui signifie que :
et donc que :
Puisqu’on doit avoir :
pour chaque inducteur.
On veut trouver l’inducteur équivalent qui va nous donner le même taux de
variation du courant. La loi des mailles de ce circuit est :
Puisqu’on doit avoir le même taux de variation du courant qu’avec les trois inducteurs, on a :
On peut facilement extrapoler à plusieurs inducteurs pour obtenir :
6.5 Circuit RL
Montée du courant
Le circuit RL en courant continu est le circuit suivant :
On veut savoir comment va changer le courant en fonction du
temps quand on va fermer l’interrupteur. Pour y arriver, on va faire
les lois de Kirchhoff de ce circuit.
En partant du coin inférieur gauche et en faisant le tour du circuit
dans le sens des aiguilles d’une montre, on a :
On doit donc résoudre cette équation pour connaitre le courant en fonction du temps. Il s’agit
d’une équation différentielle. La solution de cette équation est :
Dans l’exposant, on retrouve L/R dont la valeur est en seconde. On appelle souvent cette
combinaison la constante de temps du circuit et elle est notée τ.
C’est donc un courant qui monte en fonction du temps tel
qu’illustré sur ce graphique.
Sans l’inducteur, le courant aurait aussitôt monté à E / R, la valeur
du courant qu’on aurait avec seulement la source et la résistance.
Avec l’inducteur, la montée du courant est graduelle. L’inducteur
donne donc un genre d’inertie au courant qui l’empêche de varier
trop rapidement.
On ne peut donc pas répondre directement à la question « Combien faut-il de temps pour que
le courant atteigne sa valeur maximale? » puisque le courant n’atteint jamais, en théorie, la
valeur maximale. On peut cependant se donner une idée en définissant la demi-vie du circuit
comme le temps qu’il faut pour le courant atteigne 50% de la valeur maximale.
On a alors :
En isolant t½, on obtient :
Baisse du courant
Il peut arriver qu’un courant circule dans un inducteur et qu’il n’y
ait plus de source. Par exemple, on peut y arriver avec le circuit
suivant.
Initialement, on place l’interrupteur à la position 1. Le fil central
devient inutile et on a le circuit suivant :
Le courant à travers l’inducteur va alors monter lentement tel que vu
à la section précédente.
Puis soudainement, pendant qu’il y a un courant dans l’inducteur, on place
l’interrupteur à la position 2, ce qui élimine le fil où il y a la source. On a alors
la situation suivante :
On a alors un courant dans ce circuit, qu’on va appeler le courant initial I0. Le
courant va ensuite diminuer lentement parce que l’énergie est dissipée
lentement par la résistance.
La loi de Kirchhoff de ce circuit est :
La solution de cette équation différentielle est, en utilisant la condition initiale que I = I0 à t = 0 :
Ce qui nous donne le graphique suivant pour le courant en fonction du temps :
Même s’il n’y a plus de source dans ce circuit, on voit que le
courant continue à circuler. C’est alors l’inducteur qui joue le
rôle de source. On remarque encore une fois que l’inducteur
donne une certaine inertie au courant et que celui-ci ne peut
pas tomber à 0 immédiatement quand on débranche la
source.
Ce courant qui continue peut être assez dangereux si l’inductance
est élevée. Si l’inductance est très grande, le courant sera difficile à
arrêter et il y aura beaucoup de charges qui vont s’accumuler. Le
champ peut alors devenir tellement grand qu’il va dépasser la
rigidité électrique de l’air et il y aura une étincelle entre les deux
côtés de l’interrupteur.
On peut d’ailleurs voir de telles étincelles dans cette vidéo :
http://www.youtube.com/watch?v=aSmMFog10D0
6.6 Circuit LC
La charge et le courant
Le circuit LC est un circuit formé d’un condensateur initialement chargé et
d’un inducteur.
La figure nous montre le sens positif pour le courant et la charge. En fait, la seule convention
utilisée est que le courant positif arrive sur la plaque positive du condensateur. Ce n’est pas
nécessairement le véritable sens du courant. On verra plus loin si on obtient une valeur
positive ou négative.
La loi des mailles de ce circuit est (en allant dans le sens du courant en partant du coin
inférieur gauche) :
Le courant dans le circuit étant égal à la variation de charge du condensateur, on a :
et on obtient :
La solution de cette équation différentielle est :
Le courant dans le circuit est donc :
Le courant varie donc aussi de façon sinusoïdale avec une amplitude de :
Les graphiques de la charge et du courant sont donc :
6.7 Circuit RLC
Dans le circuit RLC étudié ici, il y a un inducteur, une résistance et un
condensateur initialement chargé.
La figure nous montre le sens positif pour le courant et la charge. En
fait, la seule convention utilisée est que le courant positif arrive sur la
plaque positive du condensateur. Ce n’est pas nécessairement le
véritable sens du courant. On verra plus loin si on obtient une valeur
positive ou négative.
La loi des mailles de ce circuit est (en allant dans le sens du courant en partant du coin
supérieur gauche) :
Le courant dans le circuit étant égal à la variation de charge du condensateur :
on obtient :
La solution de cette équation différentielle est :
Le graphique de la charge en fonction du temps ressemble donc à ceci (courbe en rouge).
En gros, on retrouve nos oscillations du circuit LC, mais l’amplitude des oscillations diminue
parce que de l’énergie se perd en chaleur dans la résistance. Il en reste donc de moins en moins
pour charger le condensateur ou pour faire le champ magnétique dans l’inducteur. L’amplitude
(qu’on va noter Q0t) étant la valeur de ce qu’on retrouve devant le cosinus, elle est
Les solutions sont complètement différentes si 1/LC < a² ou si 1/LC = a². Ce sont des situations
où l’effet de la résistance est plus grand que l’effet de l’inducteur. Dans ce cas, le circuit
ressemble davantage à un circuit RC qu’à un circuit LC. Il n’y a pas d’oscillation et le
condensateur se vide simplement à travers la résistance et sa charge diminue graduellement. Au
pire, le condensateur se recharge un peu dans le sens contraire, puis se vide à nouveau, mais
c’est tout. Nous n’étudierons pas plus que ça ces solutions.
7 Les circuits en courant alternatif
7.1 Impédance, déphasage et puissance fournie
Dans cette section, nous allons brancher différents circuits à une source de tension alternative.
On se rappelle que le symbole d’une telle source est le suivant :
Cette source va fournir un courant alternatif qui varie de façon sinusoïdale.
où i0 est l’amplitude du courant et ω est reliée à la fréquence de la source f par ω = 2πf.
On utilise des lettres minuscules ici pour les valeurs instantanées du courant et de la différence
de potentiel. Les lettres majuscules I et V seront utilisées un peu plus loin pour les valeurs
efficaces.
La différence de potentiel aux bornes de la source varie également de façon sinusoïdale :
On voit qu’on a mis un déphasage entre le courant et le potentiel. Cela voudrait dire que le
courant maximum n’est pas nécessairement atteint au moment où la différence de potentiel
aux bornes de la source est maximale.
Dans l’exemple de ce graphique, la différence de potentiel atteint sa valeur maximale un peu
avant que le courant atteigne sa valeur maximale. Ça peut sembler surprenant que le courant
arrive à une valeur maximale pendant que la source n’est pas à sa tension maximale, mais il
faut se rappeler qu’un condensateur chargé ou un inducteur traversé par un courant peuvent
agir comme des sources et fournir du courant. Il n’y a donc pas que la source qui peut fournir
du courant et il est possible que la valeur maximale du courant soit décalée par rapport au
maximum de la tension de la source à cause des courants fournis par les condensateurs et les
inducteurs.
Le déphasage φ donne l’écart entre les deux courbes (en radians). Cet écart, en proportion d’un
cycle qui est de 2π radians, est :
On doit avoir cette même proportion si on donne l’écart de temps par rapport à la période d’un
cycle, dont la durée est égale à la période T. On a donc :
L’écart de temps est donc :
Ce qui donne :
Une valeur positive de φ décale le graphique de la différence de potentiel vers la gauche. Dans
ce cas, la différence de potentiel arrivera à sa valeur maximale en premier. C’est la situation
illustrée sur la figure avec les deux graphiques.
Une valeur négative de φ décale le graphique de la différence de potentiel vers la droite. Dans ce
cas, c’est le courant qui arrivera à sa valeur maximale en premier.
Voici quels seront les éléments qu’on cherchera à obtenir pour chaque circuit qu’on branchera
aux bornes de la source.
1) Le lien entre i0 et ∆v0
On va définir le rapport de l’amplitude de la différence du potentiel et de l’amplitude du courant
comme étant l’impédance du circuit (Z).
On l’appelle l’impédance, car c’est un terme général signifiant qu’on a fait un rapport entre deux
amplitudes. C’était aussi un terme employé avec les ondes parce que c’était le rapport entre
l’amplitude de la force faisant l’onde et l’amplitude de la vitesse du milieu quand l’onde passe.
L’impédance est en ohms. Conceptuellement, elle est identique à la résistance dans les circuits
uniquement composés de résistance. Pour une même source, le courant sera plus petit si
l’impédance est plus grande et le courant sera très grand si l’impédance est faible. Dans ce cas,
pourquoi ne pas l’avoir appelé tout simplement la résistance du circuit? On va voir un peu plus
loin que la résistance n’est qu’un cas particulier de l’impédance.
Remarque : l’impédance fait le lien entre les amplitudes (i0 et ∆v0) non pas entre les valeurs du
courant et de la différence de potentiel à un moment précis (i et ∆v).
2) La valeur de φ
Ceci permettra de connaître l’écart de temps entre les maximums du courant dans le circuit et
de la différence de potentiel aux bornes de la source.
3) La puissance fournie par la source
Selon nos résultats des chapitres précédents, on a :
Si cette réponse est positive, la source fournit de l’énergie. Si elle est négative, la source reçoit
de l’énergie (qui peut être fournie par un condensateur ou un inducteur).
Pour obtenir la puissance moyenne, on va calculer l’énergie fournie sur un cycle. L’énergie
fournie pendant un temps dt est :
On trouve l’énergie totale fournie pendant un cycle en sommant toutes ces énergies pendant
un cycle.
On vous épargne les détails de cette intégrale. Le résultat est :
La puissance moyenne est l’énergie totale divisée par le temps qu’il a fallu pour fournir cette
énergie, qui est la période T ici. On a donc :
On obtient ainsi le résultat suivant :
Si la source fournit de la puissance, c’est que le circuit dissipe cette énergie. On l’appelle donc
aussi la puissance dissipée par le circuit.
7.2 Source de courant alternatif avec une résistance
La loi des mailles de ce circuit
On va maintenant examiner un circuit en courant alternatif avec une simple
résistance.
La loi des mailles de ce circuit est :
Dans cette équation, on retrouve les valeurs instantanées de la différence de potentiel et du
courant.
La loi des mailles doit être vraie à tous les instants dans ce circuit. On peut alors écrire :
Pour que cette équation soit toujours vraie (à toutes les valeurs de t), il faut que l’amplitude et la
phase (ce qu’il y a dans le sinus) des deux sinus soient identiques. On a donc :
Équation des amplitudes :
Équation des phases :
L’impédance
La première équation nous permet de trouver l’impédance de ce circuit :
ce qui signifie que :
Le déphasage
La deuxième équation nous permet de trouver le déphasage dans ce circuit :
Il est clair alors que le déphasage est :
On obtient donc les graphiques suivant pour le courant et la différence de potentiel :
On voit que le courant et la différence de potentiel sont en phase, ce qui signifie qu’ils
atteignent leurs maximums en même temps. Ce résultat n’est pas très surprenant. On a dit que
le courant pourrait être déphasé s’il y a des inducteurs ou des condensateurs qui agissent
comme des sources. Comme il n’y a pas d’inducteur ou de condensateur dans ce circuit, on
devait s’attendre à ce que le courant et la différence de potentiel soient en phase.
La puissance dissipée par le circuit et les valeurs efficaces
La puissance moyenne fournie par la source est évidemment :
Puisque le déphasage est nul, on arrive a :
On peut modifier cette formule en utilisant ∆v0 = Ri0 pour obtenir :
C’est une puissance dissipée parce que la puissance fournie par la source est dissipée en
chaleur dans la résistance.
Il arrive très souvent qu’on décrive les courants alternatifs avec les valeurs efficaces du courant
et de la différence de potentiel. Le courant efficace est défini ainsi :
Le courant efficace d’un courant alternatif est la valeur du courant continu qui dissipe la même
puissance moyenne dans une résistance que le courant alternatif.
On va noter ce courant I. Cela veut donc dire que :
ce qui nous donne :
La différence de potentiel efficace est définie ainsi :
La différence de potentiel efficace d’un courant alternatif est la valeur de la différence de
potentiel constante qui dissipe la même puissance moyenne dans une résistance que le courant
alternatif.
On va noter cette différence de potentiel ∆V. Cela veut donc dire que :
ce qui nous donne :
On peut alors donner la formule de la puissance dissipée par le circuit en utilisant les valeurs
efficaces. Ceci nous donne :
On revient donc aux formules obtenues avec les courants continus en utilisant les valeurs
efficaces.
L’impédance du circuit est aussi le rapport des valeurs efficaces puisque :
On peut donc calculer l’impédance avec les amplitudes ou les valeurs efficaces.
Exemple :
Dans le circuit suivant, la puissance moyenne dissipée par la résistance est
de 60 W.
a) Quelle est la valeur de la résistance ?
b) Quelle est l’amplitude du courant?
c) Quelle est la puissance instantanée maximale?
7.3 Source de courant alternatif avec un inducteur
La loi des mailles de ce circuit
On va maintenant examiner un circuit en courant alternatif avec un
simple inducteur.
La loi des mailles de ce circuit est :
On peut ensuite écrire :
On doit retrouver exactement la même chose de chaque côté de cette équation. Toutefois, ce
sera difficile de comparer, car il y a un sinus d’un côté et un cosinus de l’autre. Pour remédier à
cette situation, on utilise l’identité trigonométrique suivante :
On a alors :
Pour que cette équation soit toujours vraie (à toutes les valeurs de t), il faut que l’amplitude et
la phase (ce qu’il y a dans le sinus) des deux sinus soient identiques. On a donc :
Équation des amplitudes :
Équation des phases :
L’impédance
L’équation des amplitudes nous permet de trouver l’impédance de ce circuit :
ce qui signifie que :
L’impédance dépend maintenant de la fréquence de la source.
À haute fréquence, l’impédance de l’inducteur est élevée, ce qui veut dire qu’il y a peu de
courant. C’est qu’à haute fréquence, le courant doit changer de direction rapidement. Comme
l’inducteur empêche le courant de changer trop rapidement, le courant n’a pas le temps de
monter beaucoup avant de changer de direction. L’amplitude du courant est donc petite.
À basse fréquence, le courant aura davantage le temps de monter avant de changer de
direction, ce qui donnera une amplitude plus grande.
Le déphasage
L’équation des phases :
nous permet de trouver le déphasage dans ce circuit. Il est clair alors que le déphasage est :
On obtient alors les graphiques suivants pour le courant et la différence de potentiel :
On voit que le maximum de la différence de potentiel aux bornes de la source atteint sa valeur
maximale un quart de cycle avant que le courant arrive à sa valeur maximale. On remarque
même que le courant est nul quand la différence de potentiel est maximale et que la différence
de potentiel est nulle quand le courant est à son maximum. Le courant peut ainsi être déphasé
de la tension aux bornes de la source parce que la source ET l’inducteur peuvent tous les deux
générer un courant.
La puissance dissipée par le circuit
La puissance moyenne fournie par la source est évidemment :
Puisque le déphasage est de π/2, on arrive a :
Il ne se perd donc pas d’énergie dans ce circuit. Parfois la source donne de l’énergie à l’inducteur
et parfois c’est l’inducteur qui redonne de l’énergie qu’il avait emmagasinée sous forme de
champ magnétique. Sur un cycle, la source va donner autant d’énergie qu’elle en reçoit et la
puissance moyenne dissipée sera nulle.
Exemple
Dans le circuit suivant, déterminez…
a) l’amplitude du courant.
b) l’écart de temps entre le moment où la différence de potentiel atteint
son maximum et le moment où le courant atteint son maximum.
7.4 Source de courant alternatif avec un condensateur
La loi des mailles de ce circuit
On va maintenant examiner un circuit en courant alternatif avec un simple
condensateur :
La loi des mailles de ce circuit est :
Puisque le courant dans le circuit charge le condensateur, on a :
En intégrant, on obtient :
On peut donc écrire :
On doit retrouver exactement la même chose de chaque côté de cette équation. Toutefois, ce
sera difficile de comparer, car il y a un sinus d’un côté et un cosinus de l’autre. Pour remédier à
cette situation, on utilise l’identité trigonométrique suivante :
On a alors :
Pour que cette équation soit toujours vraie (à toutes les valeurs de t), il faut que l’amplitude et la
phase (ce qu’il y a dans le sinus) des deux sinus soient identiques et que la constante
d’intégration soit nulle. On a donc :
Équation des amplitudes :
Équation des phases :
L’impédance
L’équation des amplitudes nous permet de trouver l’impédance de ce circuit :
ce qui signifie que :
L’impédance dépend maintenant de la fréquence de la source.
À haute fréquence, l’impédance du condensateur est basse, ce qui veut dire qu’il y a beaucoup
de courant. C’est qu’à haute fréquence, le condensateur doit se charger très rapidement, ce qui
nécessite beaucoup de courant.
À basse fréquence, le condensateur se charge plus lentement, ce qui nécessite un courant plus
petit. Il y a donc peu de courant, ce qui veut dire que l’impédance du circuit est grande.
Le déphasage
L’équation des phases :
nous permet de trouver le déphasage dans ce circuit. Il est clair alors que le déphasage est :
On obtient alors les graphiques suivants pour le courant et la différence de potentiel :
On voit que le maximum de la différence de potentiel aux bornes de la source atteint sa valeur
maximale un quart de cycle après que le courant arrive à sa valeur maximale. On remarque
même que le courant est nul quand la différence de potentiel est maximale et que la différence
de potentiel est nulle quand le courant est à son maximum. Le courant peut ainsi être déphasé
de la tension aux bornes de la source parce que la source ET le condensateur peuvent tous les
deux générer un courant.
La puissance dissipée par le circuit
La puissance moyenne fournie par la source est évidemment :
Puisque le déphasage est de -π/2, on arrive à :
Il ne se perd donc pas d’énergie dans ce circuit. Parfois la source donne de l’énergie au
condensateur et parfois c’est le condensateur qui redonne de l’énergie qu’il avait emmagasinée
sous forme d’énergie électrique. Sur un cycle, la source va donner autant d’énergie qu’elle en
reçoit et la puissance moyenne dissipée sera nulle.
Exemple
Dans le circuit suivant, déterminez…
a) l’amplitude du courant.
b) la puissance instantanée de la source à t = 0,01 s.
7.5 Les circuits RLC en série
La loi des mailles de ce circuit
Le circuit RLC en série est un circuit dans lequel il y a une
résistance, un inducteur et un condensateur qui sont tous
branchés en série avec une source.
On peut déjà prévoir un peu ce qui va se passer selon la fréquence dans ce circuit. On a vu
que les inducteurs permettent de grands courants (petite impédance) à basse fréquence et de
petits courants à haute fréquence (grande impédance). On a vu également que les
condensateurs permettent de petits courants à basse fréquence (grande impédance) et de
grands courants (petite impédance) à haute fréquence. Une situation qu’on peut résumer
ainsi :
On pourrait donc se servir des inducteurs et des condensateurs pour faire des filtres qui
bloquent les hautes ou les basses fréquences.
Dans notre circuit, on devra s’attendre à un courant faible à basse fréquence parce que le
condensateur laissera passer peu de courant à basse fréquence. On devra s’attendre aussi à
un courant faible à haute fréquence parce que l’inducteur laissera passer peu de courant à
haute fréquence. Allons voir si c’est ce qu’on obtient.
La loi des mailles de ce circuit est :
En utilisant la formule de la différence de potentiel aux bornes de la source en fonction du
temps, du courant en fonction du temps et de la charge en fonction du temps (qu’on a trouvé
dans la section sur le condensateur), on a :
Puisque :
on peut écrire :
On va procéder un peu différemment ici pour résoudre cette équation. On va premièrement
transformer le côté gauche de cette équation en utilisant l’identité trigonométrique :
On obtient ainsi :
On va ensuite regrouper ensemble, de chaque côté de l’équation, tous les termes avec sin(ωt)
et regrouper ensemble tous les termes avec cos (ω t). On a alors :
Pour que cette équation soit toujours vraie (à toutes les valeurs de t), il faut que les termes
devant les sinus soient égaux de chaque côté de l’équation et que les termes devant les
cosinus soient aussi égaux de chaque côté de l’équation. On a donc :
Équation des sinus :
Équation des cosinus :
Ce sont les deux équations qu’on devra résoudre pour trouver l’amplitude et le déphasage.
L’impédance
Pour trouver l’impédance, on doit éliminer φ des deux équations. On peut y arriver avec le
truc suivant :
Si on remplace les sinus et les cosinus en utilisant nos deux équations, on arrive à :
ce qui nous permet de trouver l’impédance de ce circuit :
Ce qui signifie que :
Puisque ZL et ZC dépendent de la fréquence, l’impédance dépend de la fréquence de la source.
Le courant dans le circuit est i0 = ∆v0 / Z. L’amplitude du courant va donc dépendre de la
fréquence de la source, même si l’amplitude de la différence de potentiel de la source est
constante. Le graphique suivant vous montre l’impédance et l’amplitude du courant en fonction
de la fréquence.
On voit qu’à basse fréquence, l’impédance est
grande et le courant est faible comme on
l’avait prévu. C’est le condensateur qui limite
alors le courant dans le circuit à basse
fréquence.
On voit aussi qu’à haute fréquence,
l’impédance est grande et le courant est faible
comme on l’avait prévu. C’est alors l’inducteur
qui limite alors le courant dans le circuit à
haute fréquence.
Entre les deux, l’impédance est plus faible. À une certaine valeur de la fréquence, on a
l’impédance minimale et donc l’amplitude du courant maximum. On dit alors que le circuit est
en résonance et la fréquence à laquelle la résonance se produit est la fréquence de résonance
qu’on note f0.
En fait, l’impédance est minimale quand les deux termes ZL et ZC s’annulent mutuellement dans
la formule de l’impédance.
On a alors :
ce qui nous donne :
À cette fréquence, l’impédance :
est simplement R, puisque ZL = ZC,
On voit que l’impédance à la fréquence de résonance ne dépend que de la résistance. C’est
qu’à la fréquence, le condensateur et l’inducteur agissent comme des sources qui font des
différences de potentiel toujours exactement opposées l’une à l’autre. Elles s’annulent donc
mutuellement et le circuit agit comme s’il n’y avait qu’une résistance.
Le déphasage
Pour trouver le déphasage, reprenons nos deux équations obtenues avec la loi des mailles de
Kirchhoff.
Équation des sinus :
Équation des cosinus :
On peut trouver le déphasage avec le truc suivant :
Si on remplace les sinus et les cosinus en utilisant nos deux équations, on arrive à :
Ce qui nous permet de trouver le déphasage dans le circuit :
Le déphasage peut alors prendre n’importe
quelle valeur entre –π/2 et π/2.
Une valeur positive de φ signifie que la
différence de potentiel arrivera à sa valeur
maximale avant le courant.
Une valeur négative de φ signifie que le
courant arrivera à sa valeur maximale avant la
différence de potentiel.
La puissance dissipée par le circuit
La puissance moyenne fournie par la source est évidemment :
on arrive donc aux multiples formules suivantes en jouant avec les différentes équations :
La dernière formule, obtenue à partir de la cinquième et de Z cosφ = R, montre bien qu’il n’y a
que la résistance qui dissipe l’énergie dans un circuit RLC. L’inducteur et le condensateur
peuvent temporairement emmagasiner de l’énergie, mais elles vont finir par la redonner à la
source et l’énergie ne sera donc pas perdue.
La puissance maximale dissipée se produit quand l’amplitude du courant est la plus grande (ou
quand le courant efficace est le plus grand, ce qui revient au même). Cela se produit bien sûr à
la fréquence de résonance.
L’amplitude de la différence de potentiel aux bornes de chaque élément du circuit
On trouve la différence de potentiel aux bornes de chaque élément à partir du courant qui
traverse les éléments (qui est le même pour tous les éléments puisqu’ils sont en série).
Selon ce qu’on a vu dans les sections précédentes, ces différences de potentiel sont donc :
Il ne faut pas penser qu’en additionnant ces amplitudes on va arriver à l’amplitude de la
différence de potentiel de la source, comme on le faisait avec les lois des mailles. La loi des
mailles est bonne, mais avec les valeurs des différences de potentiel qu’il y a à un certain
moment. Les amplitudes ne sont pas les valeurs instantanées de la différence de potentiel aux
bornes des éléments du circuit, elles sont plutôt les valeurs maximales. Ces valeurs maximales
ne se produisent pas en même temps pour chaque élément du circuit et elles ne sont donc pas
des valeurs des différences de potentiel à un certain moment dans le circuit. Par exemple,
quand la différence de potentiel aux bornes de la résistance est à sa valeur maximale, les
différences de potentiel aux bornes de l’inducteur et du condensateur sont nulles.
On peut quand même faire le lien entre ces amplitudes et l’amplitude de la source en utilisant la
formule de l’impédance.
Ce qui donne :
On obtient la deuxième équation avec les valeurs efficaces en divisant la première par √2 .
La syntonisation d’un poste avec une radio
Une radio est un simple circuit RLC qui reçoit des ondes électromagnétiques qui jouent le rôle
de source. Dans ce circuit, l’impédance est très grande, sauf à la fréquence de résonance. Si la
fréquence de la source, donc celle des ondes, n’est pas égale à la fréquence de résonance du
circuit, le courant dans le circuit sera peu important, car l’impédance est élevée. Si la fréquence
de la source, donc celle des ondes, est égale à la fréquence de résonance du circuit, le courant
dans le circuit sera important, car l’impédance est faible à cette fréquence.
Une radio reçoit en fait une superposition d’ondes à toutes les fréquences et chacune de ces
ondes fait un courant dans le circuit. Toutefois, seule l’onde à la fréquence de résonance fait un
courant important. C’est donc le courant donné par cette onde qui va dominer et c’est ce signal
qu’on va entendre.
On peut changer facilement la fréquence captée en changeant la fréquence de résonance du
circuit. On le fait généralement en changeant la valeur de la capacité dans le circuit. Cela peut se
faire, par exemple en changeant simplement la distance entre les plaques d’un condensateur à
plaques parallèles.
7.6 Les circuits LC, RC ou RL en série
Pour résoudre des circuits dans lequel il y a simplement deux éléments en série avec la source,
on utilise ce qu’on a trouvé pour les circuits RLC, mais avec les règles suivantes.
Mettre R = 0 s’il n’y a pas de résistance
Mettre ZL = 0 s’il n’y a pas d’inducteur
Mettre ZC = 0 s’il n’y a pas de condensateur
7.7 Les transformateurs
Un transformateur est un appareil qui permet de changer l’amplitude de la différence de
potentiel. C’est simplement par induction que ce changement se fait. Le transformateur est
formé simplement de deux bobines reliées par un cadre métallique.
Il va y avoir une différence de potentiel aux bornes d’une bobine (appelé bobine primaire ou
enroulement primaire). On verra alors apparaître, par induction électromagnétique, une
différence de potentiel aux bornes de l’autre bobine (appelé bobine secondaire ou
enroulement secondaire).
Quand on applique une différence de potentiel aux bornes de la bobine primaire, il circule un
courant dans la bobine et il y a donc un champ magnétique fait par cette bobine. On ne l’a pas
vu, mais les lignes de champ sont pratiquement prisonnières dans un cadre métallique. Les
lignes de champ vont donc suivre le cadre pour aller passer à l’intérieur de la bobine
secondaire pour ensuite revenir dans la bobine primaire.
Si le courant varie dans la bobine 1, le champ sera variable et le flux dans la bobine 2 sera
variable. La différence de potentiel induite dans la bobine 2 sera donc :
(Il y a N2 tours de fil pour la bobine secondaire). Il va également se passer la même chose dans
la bobine 1. En fait, si on fait la loi de Kirchhoff sur le circuit primaire, on doit avoir :
Autrement dit, la différence de potentiel faite par le générateur doit se perdre dans la bobine.
Elle pourrait se perdre à cause de la résistance des fils, mais il n’y a pas que ça.
Le champ magnétique dans le cadre métallique passe dans les deux bobines, ce qui fait un flux
dans les deux bobines. Si ce flux change, il devrait y avoir une différence de potentiel induite
dans les deux bobines. Si on néglige la résistance du fil de la bobine primaire, c’est uniquement
cette différence de potentiel induite par les variations de flux qui fait la différence de potentiel
qu’on doit avoir aux bornes de la bobine. On doit avoir que :
(Il y a N1 tours de fil pour la bobine primaire). On a donc :
Ce qui nous amène à :
et donc à :
On a obtenu la seconde équation en divisant la première équation par √2 pour obtenir la
relation entre les valeurs efficaces.
On a donc la situation suivante.
Remarquez que les tensions sont en opposition de phase. Il en est ainsi puisque la direction du
champ dans les deux bobines est inversée. (Remarquez qu’on pourrait corriger cela en
entourant le fil de la bobine secondaire dans l’autre sens, mais de toute façon, ça n’a pas
beaucoup d’importance en pratique).
C’est donc uniquement le nombre de tours de fils des bobines qui détermine si on va monter ou
descendre l’amplitude de la tension avec un transformateur. Si N2 > N1, l’amplitude de la
tension va monter et on a alors un transformateur survolteur. Si N2 < N1 l’amplitude de la
tension va baisser et on a alors un transformateur dévolteur.
On ne peut pas utiliser un transformateur si la tension n’est pas alternative. Si on branche une
batterie au transformateur, la différence de potentiel aux bornes de la bobine 1 sera toujours la
même et il n’y aura pas de variation de courant, et donc pas de variation de champ magnétique
et de flux. Il n’y aura pas donc d’induction et ainsi la différence de potentiel aux bornes de la
bobine secondaire sera toujours nulle. De plus, comme il n’y a plus d’induction, seule la
résistance du fil 1 pourra faire la différence de potentiel qu’on doit avoir aux bornes de la
bobine primaire pour annuler la différence de potentiel de la source. Comme la résistance d’un
fil n’est pas très grande, le courant sera très important et on risque alors de faire bruler le
transformateur.
Le courant circulant dans le circuit primaire sera aussi différent de celui qui circule dans le
circuit secondaire. Supposons donc qu’il y a une résistance branchée sur la bobine secondaire
pour former un circuit.
La puissance fournie à la résistance :
(Ce pourrait en fait être n’importe quoi qui est branché au circuit secondaire, car la puissance
est toujours I∆V.) La puissance fournie par le générateur est :
Si on suppose qu’il ne se perd pas d’énergie dans le transformateur (en fait, il se perd à peu
près 1% de l’énergie dans un transformateur), les puissances devraient être les mêmes et on a
alors :
Ce qui nous donne :
On a obtenu la première équation en multipliant la deuxième équation par √2 pour obtenir la
relation entre les amplitudes.
Terminons en vous montrant le symbole du transformateur pour le représenter dans les circuits.
Il existe quelques variantes, en voici 2.
8 La distribution électrique
(sources : edf et Luc Lasne)
8.1 Histoire de l’électrification
8.2 L’organisation des réseaux
L'électricité circule depuis le lieu où elle est fabriquée jusqu’à l’endroit où elle est consommée,
par l’intermédiaire d’un réseau de lignes électriques aériennes ou souterraines. Il permet de
transporter et de distribuer l'énergie électrique sur l'ensemble du territoire et même vers
d'autres pays d'Europe.
Il est organisé à la manière d’un réseau routier avec ses grands axes, ses axes secondaires et ses
échangeurs :
le réseau de transport joue le rôle du réseau des autoroutes et des routes nationales ;
le réseau de distribution joue celui du réseau des routes départementales.
Pour passer d'un réseau à un autre, les postes de transformation jouent le rôle d'échangeurs.
En France, l'énergie électrique est acheminée vers environ 33 millions de consommateurs
(particuliers, professionnels, industrie, collectivités territoriales…), dont les besoins sont très
variés. La consommation varie donc en permanence au cours de la journée et de l'année.
Comme l'électricité ne peut pas se stocker, la production doit être ajustée à cette
consommation.
Le réseau français d'acheminement de l'énergie électrique est organisé en 2 niveaux : le réseau
de transport et le réseau de distribution.
La production
Presque toutes les centrales produisent de l’électricité avec des générateurs (la seule exception
étant les panneaux solaires). La seule chose qui change, c’est la source d’énergie utilisée pour
faire tourner le générateur.
Très souvent, on va le faire tourner avec de la vapeur. On peut chauffer cette vapeur avec du
charbon (centrale au charbon), du pétrole (centrale au mazout), avec du gaz (centrale au gaz)
ou avec une réaction nucléaire (centrale nucléaire). On peut aussi utiliser le vent (éolienne) ou
le passage de l’eau (centrale hydroélectrique)
De plus, tous les générateurs de tout le réseau doivent être synchronisés, ce qui veut dire qu’ils
doivent tous arriver au maximum de la tension en même temps. Cela est très important, car un
générateur déphasé par rapport aux autres pourrait recevoir du courant, ce qui le
transformerait en moteur. Si, par exemple, c’est une éolienne, elle deviendrait alors un gros
ventilateur. Elle consommerait alors de l’énergie plutôt que d’en produire.
Les générateurs sont plus complexes que ceux montrés
précédemment, mais le principe reste le même. Dans la plupart des
cas, ce sont les aimants qui tournent (rotor) alors que la boucle de fil
reste immobile (stator).
Généralement, il y a encore plus de pôles magnétiques que
cela. Le générateur ressemble plus à cette image.
Le rotor est fixé à la turbine, où la force s’applique pour faire tourner le générateur :
De plus, il y a trois séries de bobines dans un
générateur. Chaque série de bobines est
légèrement décalée par rapport à la précédente.
Sur l’image suivante, on montre les trois séries
de bobines (1,2,3) dans le stator (chaque bobine
est un simple anneau sur cette figure. On voit
ces anneaux de côté, ce qui veut dire qu’on voit
un fil qui entre et un fil qui sort de la page pour
chaque anneau).
Il y aura une différence de potentiel induite dans chacune de ces séries de bobines, mais les
maximums de la différence de potentiel ne sont pas atteints en même temps dans chaque série
de bobines. Le potentiel est déphasé de 1/3 de cycles par rapport aux deux autres séries de
bobines. On obtient donc 3 différences de potentiel déphasées l’une par rapport à l’autre.
C’est ce qu’on appelle le courant triphasé.
Nous pouvons voir sur cette figure la différence de potentiel aux bornes des 3 séries de
bobines et voir qu’elles sont déphasées de 1/3 de cycle l’un par rapport aux autres.
Il y a deux avantages majeurs à utiliser un système à trois phases :
1) On utilise les 3 phases pour équilibrer la force contre-électromotrice sur le générateur. Avec
une seule phase, le moment de force varierait trop durant un tour, ce qui entrainerait des
vibrations pouvant aller jusqu’à détruire le générateur.
2) Les moteurs électriques fonctionnant avec un courant triphasé sont très efficaces.
Le transport, généralités
On va ensuite transporter l’électricité. Pour y arriver, on va premièrement monter la différence
de potentiel au maximum. On fait cela pour diminuer les pertes d’énergie dans les fils. En effet,
comme la puissance fournie est :
on va diminuer le courant dans les fils si on augmente la différence de potentiel.
Les pertes dues à la résistance des fils :
sont alors diminuées.
Évidemment, on ne peut pas trop monter cette différence de potentiel, car le champ électrique
fait par les fils pourrait devenir trop grand, ce qui ionisera l’air et entrainerait la production
d’éclairs entre le fil et le sol ou entre les fils de transport, ce qui entrainerait des pertes d’énergie
encore plus grande. Au Québec, on augmente l’amplitude de la différence de potentiel jusqu’à
600 000 V sur les grandes lignes de transport ce qui veut dire que la tension efficace est de 424
000 V.
Plus précisément :
Pourquoi utilise-t-on du courant alternatif ?
Dans les réseaux électriques, on utilise du courant alternatif, mais on pourrait très bien utiliser
aussi le courant continu.
On installa les premiers réseaux électriques peu après l’invention de la première ampoule
électrique fiable en 1879 par Edison. Le réseau implanté à New York par Edison utilisait un
courant continu alors que le réseau développé par George Westinghouse utilisait un courant
alternatif. Edison s’opposait au courant alternatif, car celui-ci est plus dangereux.
En effet, les courants alternatifs ont des effets plus importants sur les muscles que les courants
continus, ce qui augmente les dangers de mort par électrocution, spécialement si le courant
passe par le cœur. Voici d’ailleurs un tableau montrant les différences entre les deux types de
courants.
On voit que les effets se produisent avec des courants plus faibles en courant alternatif.
D’ailleurs, Edison suggéra fortement à l’état de New York, qui cherchait un moyen plus civilisé
que la pendaison pour exécuter les criminels, d’utiliser une chaise électrique fonctionnant avec
du courant alternatif pour illustrer à quel point le courant alternatif pouvait être dangereux.
Toutefois, les avantages du courant alternatif sont indéniables.
Les principaux avantages sont, en ordre d’importance :
1) On peut facilement changer l’amplitude de la différence de potentiel avec un transformateur.
Les transformateurs ne fonctionnent pas avec du courant continu et il est donc beaucoup plus
difficile de changer la tension du courant continu. Avec de petits réseaux, il était inutile de
changer la tension, mais avec de grandes lignes de transport, il est essentiel d’utiliser une
tension la plus élevée possible pour le transport.
2) Les générateurs produisent déjà une différence de potentiel alternative. On n’a donc pas à le
transformer en courant continu comme on doit le faire si on veut utiliser un réseau en courant
continu. Cela élimine l’appareil nécessaire pour faire la transformation.
Le réseau de transport
Le réseau de transport transporte l'énergie électrique des centres de production, les centrales
électriques, aux zones de consommation :
à l’échelle nationale, via le réseau de grand transport et d'interconnexion, vers :
les grandes zones de consommation,
les pays frontaliers : Italie, Espagne, Allemagne, Belgique, Suisse et Royaume-Uni (par
le câble sous-marin IFA 2000) afin d’assurer la stabilité du réseau, la sécurité
d’approvisionnement, les échanges commerciaux.
puis à l’échelle régionale et départementale, via le réseau de répartition, vers :
les agglomérations,
les entreprises fortement consommatrices comme la SNCF, la RATP, ou les industries
(chimiques, sidérurgiques et métallurgiques).
Cela représente 100 000 km de lignes Très Haute Tension (THT) et Haute Tension (HT),
exploitées, entretenues et développées par Réseau Transport Electricité (RTE).
À 400 000 volts, les lignes THT
permettent de limiter les pertes
d’énergie pour le transport de
quantités très importantes d’électricité
sur de longues distances. Grâce à des
postes de transformation, la tension
est ensuite abaissée à 225 000 (THT),
90 000 (HT) ou 63 000 volts (HT) pour
acheminer l’électricité en quantité
moindre et sur de plus courtes
distances.
Le réseau de distribution
Exploité, entretenu et développé par Électricité Réseau Distribution France (ERDF), il permet de
transporter l'énergie électrique à l’échelle locale, des centres de distribution vers le client final :
les petites et moyennes entreprises, les villes, les grandes surfaces, les commerces, les artisans,
les particuliers...
Il peut exister localement des sources de production qui injectent de l'électricité sur le réseau
(éolien, microcentrales hydrauliques, photovoltaïques...).
Grâce à des postes de transformation,
la HT (90 000 ou 63 000 volts) est
abaissée en Moyenne Tension (20 000
volts) ou Basse Tension (400 ou 230
volts).
Au
total,
700
000
transformateurs relient les 586 000 km
de lignes MT aux 654 000 km de lignes
BT, dont 213 000 sous terre.
A noter que selon l'appellation
courante, on parle de THT, HT, MT et BT.
L'appellation normalisée parle de HTB
(THT et HT), de HTA (MT) et de BT.
Schéma général de la production, du
transport et de la distribution
d’énergie
Le maillage territorial
Les réseaux « maillent » les territoires à partir de grandes lignes qui se ramifient, à l’image des
veines et des artères du corps humain...
Interconnexion
Les réseaux fonctionnent actuellement en « interconnexion généralisée » internationale. Cela
permet essentiellement des échanges commerciaux mais à la base était nécessaire afin de ne
pas sur-dimensionner le parc de production de chacun.
8.3 Le matériel
L'acheminement de l'électricité en France repose sur un matériel capable de la transporter, de
moduler sa tension et de l'aiguiller en fonction des besoins des consommateurs.
Les lignes de transport
Pylônes : animation
Une ligne aérienne haute tension compte en général 3 câbles électriques les uns à côté des
autres.
Lorsqu'une ligne est composée de 6 câbles, il s'agit en fait de 2 lignes différentes (3 câbles par
ligne).
Un câble supplémentaire, appelé câble de garde est généralement disposé au-dessus de la ligne
de transport et la protège de la foudre.
Il y a trois fils principaux dans la ligne de transport, soit
un fil pour chaque phase du courant triphasé (les deux
fils complètement en haut des pylônes sont des fils de
protections contre la foudre.)
Le graphique suivant vous montre la différence de potentiel qu’il y a entre le sol et chacun de
ces fils en fonction du temps.
Les tensions sur chaque fil de cette figure sont :
Des pylônes ou supports maintiennent ces câbles à une certaine distance du sol, de façon à
assurer la sécurité des personnes et des installations situées au voisinage des lignes.
Il existe différentes catégories et modèles de pylônes en fonction de :
la tension
l'aspect des lieux
le respect de l'environnement
les conditions climatiques
Le parcours d'une ligne électrique aérienne suit rarement une ligne
droite car il tient compte de différents paramètres :
environnementaux : les forêts, les parcs naturels… ;
humains : les villages, les exploitations agricoles...
Les lignes peuvent aussi être souterraines ou enfouies.
La mise en souterrain des lignes de transport présente notamment
l'avantage de protéger les lignes des effets du climat (tempêtes, chutes
de neige, foudre ...) et de respecter certaines exigences
environnementales.
RTE s'est engagé à ne pas augmenter le kilométrage de son réseau aérien. Ainsi, 150 km de
nouvelles lignes haute tension ont été construites en souterrain par an de 2010 à 2012. Cette
technologie n'est cependant pas adaptée à toutes les situations, et est utilisée que plus
rarement en très haute tension.
Les postes de transformation THT/HT - HT/MT
Pour rendre l'électricité transportable sur de longues distances
dans le réseau d'interconnexion avec des pertes minimes
d'énergie, un transformateur placé à la sortie des principales
centrales élève la tension à 400 000 volts.
Puis, le long des lignes dans le réseau de transport et de distribution, l'énergie électrique est
guidée, répartie et sa tension est abaissée successivement dans des postes de transformation
pour être livrée en quantité et en tension adaptées aux besoins des différents consommateurs
et pour alimenter les postes sources du réseau de distribution.
L'énergie électrique n'a pas la même tension quand elle entre dans le poste et quand elle en
sort. Exemple : un poste 225 kV/ 90 kV signifie que du courant 225 000 volts entre dans le poste
et qu'il en sort du courant à 90 000 volts.
Ces installations électriques sont composées de 3 types d'appareils :
des transformateurs qui abaissent la tension ;
des disjoncteurs, capables d'interrompre automatiquement en cas de nécessité ;
des sectionneurs, qui établissent ou interrompent un circuit à la demande,
permettant l'aiguillage de l'énergie électrique.
Ce sont des lieux fermés et commandés à distance à partir de postes principaux, appelés
Pupitres de Commandes Groupées.