Comptage de points sur courbe elliptique en caractéristique deux

Comptage de points sur courbe elliptique en
caract´eristique deux par l’algorithme A.G.M
Morgan Barbier
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Etudiant en Licence troisi`eme ann´ee de math´ematiques
`a l’universit´e des sciences et techniques de Rouen
27 aoˆut 2006

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Remerciements
Je tiens tout particuli`erement `a remercier le responsable de mon stage, Mon-
sieur David Lubicz, cryptologue au Centre d’´ ELectronique de l’ARmement (CE-
LAR), pour le temps pr´ecieux qu’il a pu me consacrer pendant la pr´eparation et
tout au long de ce stage. Il m’a toujours conseill´e, orient´e et corrig´e avec patience
lorsque cela fˆut n´ecessaire. Monsieur David Lubicz m’a ´enorm´ement appris, que
ce soit en math´ematiques et cryptologie, o`u en m´ethodologie scientifique.
Je remercie ´egalement Madame Magali Bardet, Maˆıtre de conf´erence d’Infor-
matique `a l’universit´e de Rouen membre du Laboratoire d’Informatique Fonda-
mentale Appliqu´ee de Rouen (LIFAR), pour l’´evaluation de ce rapport et pour
la soutenance effectu´ee `a l’universit´e de Rouen.
Je ne peux oublier Monsieur Jean-Fran¸cis Michon Professeur d’Informatique
`a l’universit´e de Rouen membre ´egalement du LIFAR, qui m’a conseill´e lors de
la pr´eparation de mon stage. Je tiens `a le remercier pour tout le temps qu’il a
pu me consacrer.
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Egalement merci `a Madame Patrizia Donato Professeur de Math´ematiques
`a l’universit´e de Rouen qui a su ´ecouter et agr´eer mes souhaits concernant la
r´ealisation de ce stage.
Merci `a Johann Barbier Ing´enieur des ´ Etudes et Techniques d’Armement au
Celar, pour toutes les relations ´etablies au sein du Celar, des soir´ees pass´ees `a
veiller dans le but de m’aider `a comprendre certaines parties de ce stage, alors
qu’il avait d´ej`a un emploi du temps surcharg´e. Avec l’aide de son ´epouse, ils
m’ont offert le gˆıte, le couvert et un environnement id´eal pour ´etudier.
Je le remercie ´egalement pour ces nombreuses ann´ees o`u il a su m’orienter dans
mes choix p´edagogiques et tout le soutien moral qu’il m’a apport´e.
Je remercie ´egalement toute l’´equipe du Celar pour son accueil. Elle s’est
montr´ee agr´eable et de bons conseils. J’ai une pens´ee pour les autres stagiaires
du Celar : Nad`ege Ayroulet, Pierre Joandel, Fran¸cois Pouliquen avec qui on a
partag´e de bons moments.

Table des mati`eres
1 Les pr´e-requis math´ematiques 9
1.1 Les nombres p-adiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 D´efinition de Zp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.2 Le corps Qpet ses extensions totalement non-ramifi´ees . . 12
1.2 Les courbes elliptiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.1 D´efinition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2.2 Quelques propri´et´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 A.G.M 17
2.1 Comptage de points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.1 Probl`eme du logarithme discret . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.1.2 Algorithme de Pohlig-Hellman . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.2 Pr´esentation de l’algorithme A.G.M . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.3 Exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3 Impl´ementation de l’A.G.M 23
3.1 Les probl`emes rencontr´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.1 Le relev´e p-adique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.1.2 Modulo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.2 Optimisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3 Complexit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.1 A.G.M homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.3.2 A.G.M non-homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Conclusion 31
A A.G.M en Magma 33
A.1 A.G.M homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
A.2 A.G.M non-homog`ene . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
B Les autres algorithmes 43
B.1 Algorithme de Shanks, Baby-Step Giant-Step . . . . . . . . . . . 43
B.2 Algorithme de Gauß . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
B.3 D´etermination d’une racine par la m´ethode de Newton . . . . . . 44
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4TABLE DES MATI ` ERES
B.4 Racine carr´ee inverse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
B.5 Calcul de la norme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Bibliographie 49

Introduction
Le commerce ´electronique et les transactions bancaires n´ecessitent de pou-
voir ´emettre et recevoir des informations confidentielles, de v´erifier leur int´egrit´e
et de pouvoir signer des documents num´eriques. Pour r´epondre `a ce besoin, il
est utilis´e la cryptologie qui se compose en deux partie : d’une part la crypto-
graphie et d’autre part la cryptanalyse. Il existe deux types de cryptographie :
la cryptographie sym´etrique et la cryptographie asym´etrique. Pour illustrer ces
diff´erentes notions, on fait appel `a trois protagonistes : Alice et Bob veulent
communiquer de fa¸con sure pendant que Estelle ´ecoute diff´erents canaux de
communication.
Pour les syst`eme asym´etriques, chaque utilisateur poss`ede une paire de cl´es :
une priv´ee qui n’est connue que de lui mˆeme, et une cl´e publique qui est `a disposi-
tion de tout le monde, stock´ee dans un endroit que l’on suppose sˆur. Alice veut
transmettre un message `a Bob par l’interm´ediaire d’un syst`eme asym´etrique.
Alice applique alors l’algorithme de chiffrement Eavec pour param`etre d’entr´ee
la cl´e publique de Bob KBpet le message clair M, qui donnera en sortie le mes-
sage chiffr´e M′. Bob appliquera l’algorithme de d´echiffrement Dqui prendra en
entr´ee la cl´e priv´ee de Bob KBset le message chiffr´e M′, il en r´esultera alors le
message clair M. Voici les formules correspondantes :
M′=EKBp(M), M =DKBs(M′).
En g´en´eral, un syst`eme asym´etrique est utilis´e pour diffuser `a Alice et `a Bob
la cl´e confidentielle d’un syst`eme sym´etrique. Ils peuvent ainsi communiquer par
un syst`eme sym´etrique qui est moins coˆuteux `a mettre en œuvre qu’un syst`eme
asym´etrique, car les phases de chiffrement et de d´echiffrement d’un syst`eme
asym´etrique sont assez lourdes.
L’espion Estelle est alors en possession du message chiffr´e, elle dispose par
ailleurs de l’algorithme de chiffrement Eet de l’algorithme de d´echiffrement D.
Si le syst`eme cryptographique choisi est un syst`eme asym´etrique, Estelle poss`ede
´egalement les cl´es publiques. Son but est d’acc´eder au message clair. Avec ces
informations l’espion peut tenter une cryptanalyse. On mesure la s´ecurit´e des al-
gorithmes en fonction du temps que doit mettre Estelle pour r´eussir une attaque.
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