Laboratoire d`Analyse – Recherche en Economie Quantitative

Jean – Paul Kimbambu, Tsasa Vangu
Laboratoire d’Analyse – Recherche en Economie Quantitative
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Algorithme du Cycle Optimal, Jean-Paul Tsasa
Laboratoire d’ Analyse – Recherche en Economie Quantitative
One pager
Décembre 2012
Vol. 4 – Num. 014
Copyright © Laréq 2012
Algorithme du Cycle Optimal de Scarf – Shapley
Description de l’Efficacité, du Noyau et de l’Équilibre Concurrentiel
Jean – Paul Kimbambu, Tsasa Vangu*
Résumé
Ce papier présente l’algorithme du cycle optimal, outil permettant de bien appréhender les
notions d’efficacité, de noyau et d’équilibre, utilisées notamment en théorie d’équilibre
général, et l’illustre à l’aide de deux exemples numériques intuitifs. L’analyse semble
privilégier exclusivement le cas de biens indivisibles.
Mots – clé : algorithme du cycle optimal, bien indivisible.
Abstract
The objective of this paper is to illustrate the algorithm of optimal cycle using some numerical
examples for indivisible goods.
Introduction
Ce papier se propose d’illustrer l’algorithme du cycle optimal, proposé initialement par Herbet E. Scarf et
Lloyd S. Shapley. Cet algorithme est utilisé généralement en analyse microéconomique, notamment en
théorie d’équilibre général, pour allouer efficacement les biens entre agents économiques dans un
processus d’échange. Il se fonde implicitement sur Scarf et Shapley (1974), Roth et Postlewaite (1977)
et Elhers (2012). Nous considérons dans cette application le cas de biens indivisibles. Par exemple, une
maison ou une voiture est un bien indivisible car ne pouvant être alloué, en temps normal, qu’en unité
entière. Nous considérons deux sections dans notre développement. La première s’attache à décrire le
cadre d’analyse et à définir les notions d’efficacité, de noyau et d’équilibre concurrentiel, et la deuxième
présente et illustre, par des exemples numériques intuitifs, l’algorithme du cycle optimal.
Efficacité, Noyau et Equilibre concurrentiel
Avant de présenter l’objet de cette section, il nous semble indiquer, selon les termes propres à Lucas,
d’avoir une version explicite du cadre d’analyse sous les yeux. Le problème d’échange que nous
considérons correspond à une liste :
On admet que chaque agent  dans l’ensemble  : (i) possède un bien indivisible, sans ambiguïté, noté  ;
(ii) n’est aucunement motivé de posséder plus d’un bien indivisible, et il s’ensuit, sans ambiguïté, que 
dénote également l’ensemble de biens indivisibles ; (iii) n’est jamais indifférent entre deux biens
indivisibles distincts ; (iv) est doté d’une relation de préférence  telle que  signifie que l’agent 
préfère la maison  à la maison  et qu’au regard de l’assertion (iii),  La relation  étant un
* Ph.D. student en Sciences économiques, Université de Montréal et Chercheur au Laboratoire d’Analyse – Recherche
en Economie Quantitative [LAREQ]. Mail : [e-mail].

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ordre†, assure la cohérence dans la comparaison des éléments de l’ensemble  Conséquemment,  est
un ensemble ordonné.
Au regard des assertions (i) – (iv), il ressort que la relation entre l’ensemble de biens et l’ensemble
d’agents peut être décrite par une bijection : 
Par exemple, pour  agents possédant  biens indivisibles, on a :
Figure 1 : Ensemble bijectif
Cette relation peut également s’écrire comme :  tel que 
dénote l’allocation du bien indivisible  à l’agent 
Analysons, à présent, quand est – ce qu’une allocation  : (i) est efficace, (ii) appartient au noyau et
(iii) constitue un élément de l’ensemble d’allocations concurrentielles.
La définition d’une allocation efficace distingue deux versions : stricte et faible. Au sens strict, une
allocation est efficace si et seulement si aucune autre allocation ne la domine au sens de Pareto (Pareto –
optimalité). Considérons, à cet effet, une allocation  allouée à l’agent  de l’ensemble  et une
allocation quelconque notée   est efficace au sens strict si et seulement si :
Parallèlement, au sens faible, une allocation est efficace si seulement si aucune allocation ne la domine
strictement. Ainsi,  est efficace au sens faible si et seulement si :
Il apparaitra plus clair, dans la suite de ce papier, d’admettre que l’ensemble d’allocations efficace
correspond à l’ensemble d’élément maximaux de la relation  et ce dernier est nécessairement non
vide car on notera toujours au moins une allocation efficace dans le processus d’échange.
† Mathématiquement, un ordre est un préordre antisymétrique, soit une relation qui est à la fois réflexive, transitive,
complète et antisymétrique.
.
.
.
.
.
.

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En transposant la version stricte et faible de la notion d’efficacité dans la définition du noyau, il vient que
le noyau d’un problème d’échange peut, également, être strict ou faible. Au sens strict, un noyau est un
sous – ensemble de  noté  contenant toutes les allocations dominées par aucune autre allocation :
En considérant une définition faible, le noyau correspond à l’ensemble d’allocations stables tel que :
D’après la définition faible, toute allocation appartenant au noyau  n’est strictement dominée par
aucune allocation. Par ailleurs, remarquons que la condition : (i)  attribue aux agents de
l’ensemble  la capacité de collaborer et d’intra – changer leurs biens ; (ii)  implique, à la fois, la
stabilité et l’efficacité. L’allocation  est stable lorsque les membres de l’ensemble  s’opposent
naturellement à toute autre allocation  et efficace (au sens faible bien sûr) lorsque les membres de
l’ensemble  ne peuvent s’y opposer.
En équilibre concurrentiel, on prélève, pour le problème d’échange  une liste :
telle que pour tout  :
(i)  ;
(ii) 
La condition (i) traduit la contrainte budgétaire de l’agent  et la condition (ii) signale que l’agent  reçoit
l’élément maximal de sa relation de préférence dans son ensemble budgétaire.  est l’allocation
concurrentielle pour tout  tel que  est un équilibre concurrentiel. Et, l’allocation  concurrentiel et
le vecteur de prix  concurrentiel s’obtiennent par l’algorithme du cycle de Scarf – Shapley.
Algorithme du cycle optimal
L’algorithme du cycle d’échange proposé par Scarf et Shapley est un matériel d’analyse qui décrit les
notions d’efficacité, de noyau et d’équilibre concurrentiel dans un processus d’échange. Avant de décrire,
définissons un cycle (fermé) par un exemple simple. Soit l’ensemble :
On note un cycle lorsqu’on a au moins une des situations suivantes: (i) l’agent  préfère prioritairement
 et possède  avant l’échange ou (ii) l’agent  préfère prioritairement  mais possède  avant
l’échange tel qu’il y a un agent  préférant prioritairement  mais possède  avant l’échange ; un agent
 préférant prioritairement  mais possède  avant l’échange,…, jusqu’à un agent  préférant
prioritairement  mais possède  avant l’échange.
Décrivons à présent l’algorithme des cycles d’échanges. D’une part, nous montrerons que l’algorithme de
Scarf – Shapley est toujours bien défini et efficient et d’autre part, nous mettrons en évidence sa

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puissance en illustrant par un exemple que les agents, à chaque fois, peuvent toujours se coaliser et
intra – échanger afin d’avoir les biens qu’ils préfèrent prioritairement.
Description de l’algorithme de Scarf – Shapley (1974)
* Dérivation de l’allocation 
Etape 1a, pour chaque  noter 
 le bien indivisible préféré de l’agent  dans 
 Calculer tous les cycles de 
. Les cycles de   sont tous les ensembles  tels
que : 
 Nommer  l’union de tous les cycles de 
 tel qu’on a :
Etape 2a, de même, pour tout  
 on note 
 le bien indivisible préféré par un agent  dans l’ensemble  
.
.
.
.
Ainsi, on obtient l’allocation recherchée par un agent  en procédant identiquement jusqu’à ce
que tous les biens soient alloués.
* Dérivation de l’allocation 
Etape 1b, noter  le nombre d’étapes de l’algorithme du cycle optimal dans le problème d’échange
 et  la partition de  qu’il engendre ;
Etape 2b, Choisir  nombres  et fixer 
 étant fini, à chaque étape, il existe au moins un cycle et à l’issue du processus, on parvient
à identifier les allocations appartenant au noyau et à l’équilibre concurrentiel.
Avant de passer à l’illustration numérique, notons que : (i) le noyau du problème d’échange 
contient une et une seule allocation, notée  obtenue par l’algorithme du cycle optimal ; (ii) le problème
d’échange  possède une et une seule allocation concurrentielle, obtenue par l’algorithme du
cycle optimal.
Considérons un premier exemple, présenté dans le tableau 1. Nous comptons 8 agents, et chaque agent
 possède un bien .
Tableau 1 : Allocation de biens entre agents et Préférences
1
2
3
4
5
6
7
8
4
3
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Si l’on considère l’agent 3, par exemple. On note qu’il préfère prioritairement 2 à 3 ; 3 à 4 ; 4 à 1 et ainsi
de suite. Alors que l’agent 4 préfère prioritairement sa propre maison à 5 ; 5 à 1 ; 1 à 7 et ainsi de suite.
En appliquant l’algorithme du cycle optimal, on obtient le résultat suivant.
il vient que : 
ainsi, on a : 
et donc, on obtient : 
La structure de prix correspondant à ce problème se dérive comme suit. Puisque  la partition
engendrée par l’ensemble  est donc :  Il s’ensuit que :
ainsi, on obtient :
Et donc : 
L’égalité de prix dans un ensemble quelconque  permet aux agents  appartenant à  d’intra –
échanger leurs biens et d’obtenir, chacun, les biens qu’ils préfèrent prioritairement.
Considérons un deuxième exemple, avec 6 agents.
Tableau 2 : Allocation de biens entre agents et Préférences
1
2
3
4
5
6
2
3
4
1
6
3
4
5
6
7
5
1
3
2
4
2
1
5
1
6
3
4
3
6
On obtient ainsi 
 et donc,  et 
 et donc,  avec 
Nous estimons, dans le cadre de ce papier, que ces deux exemples suffisent pour bien illustrer la
puissance et la simplicité d’application de cet algorithme. Notons au passage que si à ce jour, cet outil
d’analyse est devenu standard, à l’époque de sa conceptualisation, Scarf et Shapley (1974), dès
l’introduction de leur papier, employèrent le « conditionnel » pour présenter leur apport dans la
compréhension de problèmes se rapportant à l’allocation de biens indivisibles. A ce jour, on peut noter,
distinctivement et sans nul doute, que cet algorithme constitue une des contributions majeures en
analyse économique moderne.