II.1 Généralités sur le Transformateur Monophasé

Chapitre II
Modélisation et Simulation des Transformateurs Electriques
II.1 Généralités sur le Transformateur Monophasé
II.1.1 Rôle
L'utilisation des transformateurs électriques ont pour rôle de changer les amplitudes des
grandeurs électriques variable (courants et tensions), à fréquence constante, en vue d’adapter le
récepteur (charge) à un réseau électrique.
Fig. 1. Transformateur de distribution
II.1.2 Constitution
Selon, la Fig. II.2, un transformateur
monophasé est constitué :
– d’un circuit magnétique fermé ;
– de deux bobinages, enroulés autour du
circuit magnétique.
Le circuit électrique lié au générateur est
Fig. 2. Transformateur monophasé
appelé le circuit primaire, celui qui est lié au récepteur est appelé le circuit secondaire.
Appelons V1 la valeur efficace de 𝑉1 au primaire et V2 la valeur efficace de 𝑉2 au secondaire
alors :
– Si V1 < V2, le transformateur est dit élévateur;
– Si V1 > V2, le transformateur est dit abaisseur ;
– Si V1 = V2, le transformateur est dit transformateur d’isolement ;
II.1.3 Symbole électrique du transformateur
Le transformateur peut être représenté par l’un des deux symboles reportés dans la fig. 3
Fig. 3. Symbole électrique d'un transformateur monophasé
II.1.4 Principe de fonctionnement
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Cette machine est basée sur la loi de Faraday (voir Eq. I.4). En effet, la tension alternative au
primaire va engendrer un flux magnétique alternatif qui traversant l’enroulement secondaire
produira une f.e.m induite.
Note : Le transformateur n'a aucunes parties en mouvement, il est dit : machine statique.
II.2 Model de transformateur parfait (ou idéal)
On appelle transformateur parfait, ou idéal, un transformateur vérifiant les conditions
suivantes:
-
Les pertes dans le fer sont nulles, c.à.d. (Pfer+Phys=0 et 𝜇 → ∞ );
-
Les résistances des enroulements sont nulles;
-
les flux de fuit sont nuls.
II.2.1 Expression des tensions
D’après la loi de Faraday, les forces
électromotrices e1 et e2 dépendent de la variation
du flux magnétique selon la relation:
𝑒1 = 𝑁1
𝑑∅
𝑑∅
𝑒𝑡 𝑒2 = 𝑁2
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝐼𝐼. 1)
Fig. 4. Transformateur parfait à vide
Où,
N1 : Nombre de spires des enroulements primaire;
N2 : Nombre de spires des enroulements secondaire.
D’après la loi de mailles appliquée au schéma électrique équivalent on aura :
𝑣1 = 𝑒1 = 𝑁1
𝑑∅
𝑑𝑡
𝐼𝐼. 2)
𝑣2 = 𝑒2 = 𝑁2
𝑑∅
𝑑𝑡
𝐼𝐼. 3)
𝑒𝑡
D'où :
𝑣2 =
𝑁2
𝑣 = 𝑚 𝑣1
𝑁1 1
V1: valeur efficace de la tension primaire;
V2: valeur efficace de la tension secondaire;
m: rapport de transformation.
II.2.2 Équation d’intensité
Réalisé par: TIR Zoheir
𝐼𝐼. 4)
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Dans le cas général, le courant au primaire
et celui au secondaire sont reliés à tout instant
par la relation d’Hopkinson (voir Eq. I.23) :
𝑁1 𝐼1 + 𝑁2 𝐼2 = ℜ𝑚 ∅𝑚
𝐼𝐼. 5)
Où,
Dans le cas idéal ℜm = 0 et la précédente
Fig. 5. Transformateur parfait en charge
équation s’écrit sous la forme :
𝑁1 𝐼1 + 𝑁2 𝐼2 = 0
𝐼𝐼. 6)
𝐼2
𝑁1
1
=−
=−
𝐼1
𝑁2
𝑚
(𝐼𝐼. 7)
Ceci implique que :
Si on remplace les grandeurs temporelles par des grandeurs efficaces, on aboutit à la relation,
valable dans le cas idéal :
𝐼2
1
=
𝐼1 𝑚
𝐼𝐼. 8)
II.2.3 Bilan de puissance
À partir des équations (II.4) et (II.8), nous pouvons écrire que
𝑉2 𝐼2 = 𝑚𝑉1 ∗
1
𝐼 = 𝑉1 𝐼1
𝑚 1
𝐼𝐼. 9)
D'où,
𝑆1 = 𝑉1 𝐼1 : La puissance apparente absorbée au primaire;
𝑆2 = 𝑉2 𝐼2 : La puissance apparente fournie au secondaire.
La puissance active P s’exprime comme
𝑃 = 𝑆 cos 𝜑
(𝐼𝐼. 10)
tandis que la puissance réactive Q vérifie :
𝑄 = 𝑆 𝑠𝑖𝑛 𝜑
(𝐼𝐼. 11)
P, Q et S sont reliées par la relation :
𝑆=
𝑃2 + 𝑄 2
(𝐼𝐼. 12)
Dans le cas du transformateur idéal :
𝑃1 = 𝑃2
(𝐼𝐼. 13)
𝑄1 = 𝑄2
(𝐼𝐼. 14)
Et
Note: Le transformateur idéal conserve les puissances actives, réactives et apparentes. Il
conserve aussi le déphasage.
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II.3 Modèle de transformateur réel
Dans un transformateur réel, on ne néglige plus les pertes. Aussi doit-on prendre en compte:
-
les pertes Joule dans les enroulements sont non-nulles;
-
les pertes fer ne sont plus nulle;
-
les flux de fuite au niveau du noyau ne sont pas nulles (voir Fig. 5).
Fig. 6a Flux de Fuite au niveau du noyau
Note : Marque de polarité (MP) d'un transformateur 1
II.3.1 Equation des flux de fuit
Le flux fourni par chacun des enroulements peut être exprimé comme :
∅1 = ∅𝑓1 + ∅𝑚
(𝐼𝐼. 15)
∅2 = ∅𝑓2 + ∅𝑚
(𝐼𝐼. 16)
D′où flux de mangétisation commun) ∅𝑚 = ∅𝑚1 + ∅𝑚2 =
𝑁1 𝐼1 𝑁2 𝐼2
+
ℜ𝑚
ℜ𝑚
Les flux totalisés dans les deux bobines s'écrivent alors
𝜆1 = 𝑁1 ∅1 = 𝑁1 ∅𝑚 + ∅𝑓1 𝑒𝑡 𝜆2 = 𝑁2 ∅2 = 𝑁2 ∅𝑚 + ∅𝑓2
𝐼𝐼. 17)
D'après L'eq (I.26), on a:
𝑁12
𝑁12
𝑁1 𝑁2
𝜆1 =
+
𝐼1 +
𝐼
ℜ𝑚 ℜ𝑓1
ℜ𝑚 2
𝐿11
𝑒𝑡
𝑁1 𝑁2
𝜆2 =
𝐼 +
ℜ𝑚 1
𝐿12
𝑁22 1𝑁22
+
𝐼
ℜ𝑚 ℜ𝑓2 2
𝐿21
(𝐼𝐼. 18)
𝐿22
Les équations des flux de deux bobines couplé magnétiquement sont :
𝜆1 = 𝐿11 𝐼1 + 𝐿12 𝐼2
𝑒𝑡
𝜆2 = 𝐿21 𝐼1 + 𝐿22 𝐼2
(𝐼𝐼. 19)
II.3.2 Equations des tensions
Les tensions induites dans les deux bobines en valeurs efficaces sont données par
𝐸1 =
𝑑𝜆1
𝑑𝐼1
𝑑𝐼2
= 𝐿11
+ 𝐿12
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑒𝑡
𝐸2 =
𝑑𝜆2
𝑑𝐼2
𝑑𝐼1
= 𝐿22
+ 𝐿21
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
(𝐼𝐼. 20)
D’après la loi de mailles appliquée aux circuits électriques (primaire et secondaire) on aura :
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Plus d'information sur MP, veuillez de lire les pages 443-447 du livre "Electrotechnique" Wildi et Sybille 4 ème edition
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𝑑𝜆1
𝑑𝐼1
𝑑𝐼2
= 𝑅1 𝐼1 + 𝐿11
+ 𝐿12
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝜆2
𝑑𝐼2
𝑑𝐼1
𝑉2 = −𝑅2 𝐼2 +
= −𝑅1 𝐼1 + 𝐿22
+ 𝐿21
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑉1 = 𝑅1 𝐼1 +
19
(𝐼𝐼. 21)
(𝐼𝐼. 22)
II.3.3 Bilan énergétique et rendement
La chaîne des pertes d’un transformateur est donnée sur la Fig. 5.
Fig. 18. Chaîne des pertes dans un transformateur.
Si l’on fait le bilan, on obtient la relation :
𝑃1 = 𝑃𝐽1 + 𝑃𝐽2 + 𝑃𝑓𝑒𝑟 + 𝑃2
(𝐼𝐼. 23)
le rendement se déduit de la relation :
𝜂=
𝑃1 − 𝑃𝐽1 − 𝑃𝐽2 − 𝑃𝑓𝑒𝑟
𝑃1
II.5 Modèle de Transformateur triphasé
On peut transformer la tension d’une source triphasée à l’aide de trois transformateurs
monophasés identiques comme l’indique la Fig. II. 19.
Fig. 19.Transformateurs à phases indépendantes.
Les primaires de ces transformateurs seront :
-
en étoile
-
en triangle
Pour les bobinages secondaires pourront être couplés que dans les primaires. Dans cette
disposition, les flux magnétiques Φ1, Φ2, Φ3, correspondant à des circuits magnétiques
complètement indépendants. Dans ce cas, on dit qu’il s’agit d’un transformateur triphasé à flux
libre.
On obtient, avec les orientations de la Fig. 19, les équations de fonctionnement :
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𝑑𝜆1
𝑑𝑡
𝑑𝜆2
𝑉2 = 𝑅2 𝐼2 +
𝑑𝑡
..
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𝑉1 = 𝑅1 𝐼1 +
𝑉3′ = 𝑅3′ 𝐼3′ +
(𝐼𝐼. 24)
𝑑𝜆3′
𝑑𝑡
D'où, les équations des flux :
𝜆1 = 𝐿1 𝐼1 + 𝐿11′ 𝐼1′
𝜆2 = 𝐿2 𝐼2 + 𝐿22′ 𝐼2′
𝜆3 = 𝐿3 𝐼3 + 𝐿33′ 𝐼3′
(𝐼𝐼. 25)
Les tensions primaires (𝑉1 , 𝑉2 , 𝑉3 ) et secondaires (𝑉1′ , 𝑉2′ , 𝑉3′ ) sont des tensions simples ou
composées suivant le mode de couplage des phases. De la même façon, les courants (𝐼1 , 𝐼2 , 𝐼3 ) et (𝐼1′ ,
𝐼2′ , 𝐼3′ ) représentent des courants de ligne ou des courants dans les dipôles.
En Pratique, les trois transformateurs sont réunis en un seul circuit magnétique comportant
trois colonnes. Chacune de ces colonnes porte un bobinage primaire et un bobinage secondaire
comme cela est représenté sur le schéma de principe de la Fig. 19.
Fig. 20. Transformateur à trois colonnes
Les équations de fonctionnement restent la même que dans le cas précédent, et les flux dans
les trois colonnes devinent comme ci-dessous :
𝜆1 = 𝐿1 𝐼1 + 𝐿12 𝐼2 + 𝐿13 𝐼3 + 𝐿11′ 𝐼1′ + 𝐿12′ 𝐼2′ + 𝐿13′ 𝐼3′
𝜆2 = 𝐿21 𝐼1 + 𝐿2 𝐼2 + 𝐿23 𝐼3 + 𝐿21′ 𝐼1′ + 𝐿22′ 𝐼2′ + 𝐿23′ 𝐼3′
…
𝜆3′ = 𝐿3′ 1 𝐼1 + 𝐿3′ 2 𝐼2 + 𝐿3′ 3 𝐼3 + 𝐿3′ 1′ 𝐼1′ + 𝐿3′ 2′ 𝐼2′ + 𝐿3′ 𝐼3′
Travail pratique N° 02.
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Manipulation N°01 (Transformateur monophasé)
Manipulation N°02 (Transformateur triphasé)
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(𝐼𝐼. 26)